2020年高考数学大二轮专题复习浙江版[76分]10+7标准练(一)

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浙江专版2020年高考数学二轮专题复习保分大题规范专练一(20201124122840)

保分大题规范专练（一）1. 已知函数f&）=sin （3v+e ）（3>0, — ”<0〈0）的最小正周期是n,将函数f&）的图象向左平移才个单位长度后所得的函数图象过点尸（0, 1）.（1）求函数f （x ）的解析式：（2）若曲［o,日，求函数fU ）的值域.2 it解：（1）由函数f3=sin3x+0）（G 〉O, —九〈0<0）的最小正周期是得——=n,即（if0的图象过点（0,1）,得牛+ </»=；+2&刃，&WZ,又—得 0 = —y,所以函数解析式为Z =sin （2L*）.所以 sin （2x —百）丘［—1 , 即函数f3的值域为［一*，1 .2. 在四棱锥尸丽Q 中，平面如丄底^ABCD, PDLCD.疋为牝的中点，底而是直角梯形” AB" CD 、ZADC=90° , AB=AD=PD=\, CD=2.（1）求tlE ：亦//平而叱（2）求直线亦与平而敕所成角的余弦值.解：法一：（1）证明：取刃的中点只连接胡AF. 由于疔是△加的中位线，所以EF 咙CD.又也統*仞，所以EF 統AB,JI6⑵由xG所以四边形如■是平行四边形，所以庞〃朋又护=平而用2所以亦〃平而咖(2)取丹的中点M连接則，则刃/是△磁的中位线，所以三"〃万C在△反P 中，BD=BC=d CD=2、则B C+B/=C Z所以应丄皿又平而加丄底而ABCD. PDLCD, 则刃丄平而馭P, PDVBC.从而万Q丄平而磁，刃/丄平而磁，ZEBH即是直线颱与平面啟?所成的角.AB=AD=PD=\. CD=2、解得滋=芈，£件+丹=芈，A/15从而cosZf®娇=七一.o所以直线亦与平而翊所成角的余弦值为电I 法二：因为平Ifil PCDL平而月万平而PCDC平而PDICD、砂平|fi] PCD. 所以PDA.AD.因为ZADC=90° ,所以肋丄Q,则加，DC,莎两两垂直.以0为坐标原点，DA. DC、莎分别为*, y, z轴建立空间直角坐标系(图略).则0(0,0, 0),月(1,0,0), 5(1, 1,0), C(0, 2, 0), P(0, 0,1),⑴证明：话=(-1, 0,平面用Q即平而xOz.所以可取其一法向量m= (0, 1, 0)・则厉•血=0,即辰丄血又磁平而用D所以册〃平面PAD.(2)设平而啟?的一个法向量为”=(為y, z),n • DP =0, 则彳.n • DB =0,z=0t即[卄。

2020浙江高中数学二轮专强化练第1部分高中客观的解法

专题强化训练[根底达标]1．2021·宁波高考模拟全集U＝A∪B＝{∈Z|0≤≤6}，A∩∁U B＝{1，3，5}，那么B＝A．{2，4，6} B．{1，3，5}C．{0，2，4，6} D．{∈Z|0≤≤6}解析：＝A∪B＝{∈Z|0≤≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩∁U B＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，应选C2．复数满足1＋i＝|错误!－i|，那么错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!a＝9由错误!，得错误!即B0，2，故min＝2，故的最大值与最小值之差为7，选C5．在数列{a n}中，假设a1＝2，且对任意正整数m，，总有a m＋＝a m＋a，那么{a n}的前n项和S n＝A．n3n－1C．nn＋1解析：＋1＝a n＋a1，即有a n＋1－a n＝a1＝2，所以数列{a n}是以2为首项、2为公差的等差数列，a n＝2＋2n－1＝2n，S n＝错误!＝nn＋1．6．函数f＝|－2|－n 在定义域内的零点的个数为A．0B．1C．2 D．3解析：的定义域为0，＋∞，在同一直角坐标系中画出函数1＝|－2|>0，2＝n >0的图象，如下图．由图可知函数f在定义域内的零点个数为27．函数f＝co ·og2||的图象大致为解析：选B函数的定义域为－∞，0∪0，＋∞，且f错误!＝co错误!og2错误!＝－co 错误!，f错误!＝co错误!·og2错误!＝－co错误!，所以f错误!＝f错误!，排除A、D，又f错误!＝－co错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! n⇒λ2＝错误!∈错误!⇒mn＝5⇒m＝5，n＝1，所以a*b＝错误!答案：错误!错误!15．函数f＝错误!其中m>，使得关于的方程f＝b有三个不同的根，那么m 的取值范围是__________．解析：函数f的大致图象如下图，根据题意知只要m>4m－m2即可，又m>0，解得m>3，故实数m的取值范围是3，＋∞．答案：3，＋∞16．假设二次函数f＝42－2，0，B0，n，那么a＝1，0，b＝0，1，错误!错误!－1，－2，错误!n＝2，那么错误!错误!－2n－2＝5－m＋2n≤5－2错误!＝5－2×2＝1，当且仅当m＝2n＝2时，取得最大值17．2021·绍兴一中高三期中到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为A．相交直线B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧解析：选C如下图，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB＝a，对称，且1·2＝－错误!，那么m等于________．解析：由条件得A1，1、B2，2两点连线的斜率＝错误!＝－1，而2－1＝2错误!－错误!，得1＋2＝－错误!，且错误!，错误!在直线＝＋m上，即错误!＝错误!＋m，即1＋2＝1＋2＋2m又因为A1，1、B2，2两点在抛物线＝22上，所以有2错误!＋错误!＝1＋2＋2m，即2[1＋22－212]＝1＋2＋2m，可得2m＝3，解得m＝错误!答案：错误!15．用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2比方1 524的概率＝________．解析：用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，根本领件总数n＝A错误!＝12021中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的根本领件有：1 352，1 425，1 524，3 142，3 524，3 514，3 152，5 241，5 314，5 142，共10个，所以千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2比方1 524的概率：＝错误!错误!答案：错误!16．a＝3，2，b＝2，－1，假设向量λa＋b与a＋λb夹角为锐角，那么实数λ的取值范围是________．解析：因为a＝3，2，b＝2，－1，所以λa＋b＝3λ＋2，2λ－1，a＋λb＝3＋2λ，2－λ，因为向量λa＋b与a＋λb夹角为锐角，所以λa＋b·a＋λb＝3λ＋2×3＋2λ＋2λ－1×2－λ>0且3λ＋22－λ－2λ－13＋2λ≠0，整理可得，4λ2＋18λ＋4>0且λ≠±1解不等式可得，λ>错误!或λ错误!错误!或λ<错误!且λ≠117．2021·广州市综合测试一设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝2，对任意，q∈N*，都有a＋q＝a＋a q，那么fn＝错误!n∈N*的最小值为________．解析：a1＝2，对任意，q∈N*，都有a＋q＝a＋a q，令＝1，q＝n，那么有a n＝a n＋a1＝a n＋2，故{a n}是等差数列，所以a n＝2n，S n＝2×错误!＝n2＋n，fn ＋1＝错误!＝错误!＝错误!＝n＋1＋错误!－1当n＋1＝8时，f7＝8＋错误!－1＝错误!；当n＋1＝7时，f6＝7＋错误!－1＝错误!，因为错误!<错误!，那么fn＝错误!n∈N*的最小值为错误!答案：错误!。

(浙江专用)2020版高考数学大二轮复习专题二阶段质量检测(二)专题一～二“综合检测”

阶段质量检测(二) 专题一～二“综合检测”(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中是α⊥β的充分不必要条件的是( )A ．m ∥α，n ∥β，m ∥nB ．m ∥α，n ∥β，m ⊥nC ．m ⊥α，n ∥β，m ⊥nD ．m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n解析：选D 若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β，充分性成立；若α⊥β，无法得出m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，必要性不成立，故选D.2．“sin A >tan A ”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若sin A >tan A ，则sin A >sin A cos A ，因为sin A >0，所以1>1cos A，易得－1<cosA <0，所以A ∈π2，π，所以△ABC 为钝角三角形．假设B ＝2π3，A ＝π6，△ABC 为钝角三角形，则sin A ＝12<tan A ＝33.所以“sin A >tan A ”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件．3．(2019·杭州三校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.23B.43C.83D.163解析：选C 由三视图可知该几何体可以看作是棱长为2的正方体截去一个三棱锥和一个三棱柱后剩余的四棱锥A BCDE ，如图所示，则其体积为23－12×23－13×12×2×2×2＝83，故选C.4．(2019·嘉兴、丽水、衢州高三模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调，则ω的最大值是( )A ．12B ．11C ．10D ．9解析：选B 由x ＝－π4为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的零点，x ＝π4为函数f (x )＝sin(ωx＋φ)的图象的对称轴得－π4ω＋φ＝k 1π，π4ω＋φ＝k 2π＋π2(k 1，k 2∈Z ),则ω＝2(k 2－k 1)＋1(k 1，k 2∈Z )．①又因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调，所以12·2πω≥π3－π4，即ω≤12.②结合①②得ω的最大值为11，故选B.5．为了得到函数y ＝sin2x ＋π3的图象，只需将y ＝cos 2x 的图象上的每一点( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：选B y ＝cos 2x ＝sin2x ＋π2，由y ＝sin2x ＋π2的图象向右平移π12个单位长度得到的函数图象的解析式是y ＝sin2x －π12＋π2＝sin2x ＋π3.所以选B.6．已知AG →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，且A ，B ，C 三点不共线( ) A ．若λ＝13，μ＝13，则G 是△ABC 的重心B ．若λ＝23，μ＝13，则G 是△ABC 的垂心C ．若λ＝13，μ＝23，则G 是△ABC 的内心D ．若λ＝23，μ＝23，则G 是△ABC 的外心解析：选A 如图，设△ABC 中BC 边上的中线为AD ，则AD →＝12(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝2AD →.当λ＝μ＝13时，AG →＝13AB →＋13AC →，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝23AD →.所以G 为△ABC 的重心，A 正确．当AG →＝13AB →＋23AC →或AG →＝23AB →＋13AC →时，G ，B ，C 三点共线，故B 、C 错误；当λ＝μ＝23时，AG →＝23(AB →＋AC →)＝43AD →，即点G 在中线AD 的延长线上，而外心为三角形三边中垂线的交点，所以G 不一定是△ABC 的外心，D 错误，故选A.7.如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点．下列结论中，正确的是( )A ．EF ⊥BB 1 B ．EF ∥平面ACC 1A 1 C ．EF ⊥BD D ．EF ⊥平面BCC 1B 1解析：选B 如图，取BB 1的中点M ，连接ME ，MF ，延长ME 交AA 1于点P ，延长MF 交CC 1于点Q ，连接PQ .∵E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，∴P 是AA 1的中点，Q 是CC 1的中点，从而可得E 是MP 的中点，F 是MQ 的中点，所以EF ∥PQ ，又PQ ⊂平面ACC 1A 1，EF ⊄平面ACC 1A 1，所以EF ∥平面ACC 1A 1.故选B.8．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M 是直线AB 1上的动点，点P 是△A 1C 1D 所在平面内的动点，记直线D 1P 与直线CM 所成的角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线解析：选A 将空间中线线角的最值问题转化为线面角的问题．点在动，平面没有动，将动变成定．连接CA ，CB 1，可知平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，所以CM ∥平面A 1C 1D .所以把CM 平移到平面A 1C 1D 中，直线D 1P 与直线CM 所成角的最小值即为直线D 1P 与平面A 1C 1D 所成的线面角，即原问题转化为直线D 1P 与平面A 1C 1D 所成的线面角为π3.因为点P 是△A 1C 1D 上的动点，所以点P 的轨迹为一个圆(如图所示)．9．若向量a ，b 满足|a |＝4，b ·(a －2b )＝0，则|a －4b |＝( ) A ．0 B ．4 C ．8D ．12解析：选B 因为b ·(a －2b )＝0，所以b 与a －2b 垂直，如图，在Rt △ACB 中，AB →＝a ，AC →＝2b ，CB →＝a －2b ，O 为AB 的中点，则|CO →|＝|AO →－AC →|＝12a －2b ＝12|AB →|＝2，所以|a －4b |＝4.10.如图，矩形ABCD 的边长AB ＝3，AD ＝1，以AC 为折痕将△ACD折起，使点D 到达点M 的位置，记AM 与平面ADC 所成角为α，记二面角M AD C 为β，记∠MAB 为γ，则在翻折过程中一定正确的结论是( )A ．α≤β≤γB ．β≤α≤γC ．γ≤α≤βD ．α≤γ≤β解析：选A 过点M 作平面ABCD 的垂线，垂足为H ，连接AH ，过点H 分别作直线AD 和AB 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接ME ，MF ，则sin α＝MH AM ，sin β＝MH EM ，sin γ＝MF AM.在Rt △MEA 中，EM <AM ，又α，β均为锐角，故α<β，而当平面ACM 与平面ABC 重合时，α＝β，故α≤β.而在Rt △MHF 中，MF >MH ，故α<γ，又当点H 落到AB 上时，MF ＝MH ，此时α＝γ，故α≤γ.又因为cos β＝EH EM ，cos γ＝AFAM，而EH ＝AF ，EM ≤AM ，故β≤γ. 综上，α≤β≤γ，故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．已知tan α＝2，则tan α＋π4＝________，cos 2α＝________.解析：∵tan α＝2，∴tan α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝－3，∴cos 2α＝cos 2αcos 2α＋sin 2α＝11＋tan 2α＝15. 答案：－3 1512．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______，表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体是以四边形ABB 1A 1为底面的四棱柱，根据三视图易求得该几何体的体积V ＝1＋22×2×2＝6.∵四边形ABB 1A 1为直角梯形，且A 1B 1＝1，AA 1＝AB ＝2，∴BB 1＝5， ∴表面积S ＝2×2＋2×2＋1×2＋2×5＋2×(1＋2)×22＝16＋2 5.答案：6 16＋2 513．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若a (1－cos C )＝c cos A ，且|BA →＋BC →|＝8，则△ABC 面积的最大值是________．解析：由a (1－cos C )＝c cos A 及正弦定理得sin A (1－cos C )＝sin C cos A ，移项得sin A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，因为A ，B ∈(0，π)，所以A ＝B ，所以a ＝b ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以c ＝2b cos A .设AC 边上的中线为BD ，由|BA →＋BC →|＝8得到BD 的长为4，由余弦定理得16＝c 2＋b 22－2c ×b 2cos A ，所以b 2＝641＋8cos 2A ，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝64sin A cos Asin 2A ＋9cos 2A＝64tan A ＋9tan A.由基本不等式得S ≤323，当且仅当tan A ＝3时，等号成立．所以△ABC 面积的最大值为323.答案：32314．(2019·绍兴适应性考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .若cos A ＝13，b ＝23c ，且△ABC 的面积是2，则b ＝________，sin C ＝________. 解析：由cos A ＝13得sin A ＝1－cos 2A ＝223，则△ABC 的面积为12bc sin A ＝12b ×3b 2×223＝2，解得b ＝2，则c ＝322，由余弦定理得a ＝ b 2＋c 2－2bc cos A ＝322＝c ，所以sinC ＝sin A ＝223. 答案： 222315．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P ABCD ，已知其体积为8，AB ＝2，BC ＝3，则该“阳马”的最长侧棱长等于________，表面积等于________．解析：由题意知，该“阳马”的直观图如图所示．由体积V ＝13×AB ×BC ×PA ＝8，可知高PA ＝4，∴该四棱锥的最长侧棱长PC ＝AC 2＋PA 2＝29，表面积为2×3＋12×(2×4＋3×4＋2×5＋3×25)＝21＋3 5.答案：29 21＋3 516．已知向量a ，b 满足|a －b |＝|a ＋3b |＝2，则|b |的取值范围是________．解析：法一：如图，作OA →＝a ，OC →＝b ，OB →＝－3b ，则|CA →|＝|a －b |＝2，|BA →|＝|a ＋3b |＝2.所以0≤|BC →|＝|4b |≤4，故有0≤|b |≤1. 法二：由|a －b |＝|a ＋3b |＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4，|a |2＋9|b |2＋6a ·b ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＋3|b |2＝4，－|a |cos θ＝|b |，其中θ表示向量a 与向量b 的夹角，当cos θ≠0时，有|a |＝－|b |cos θ，代入|a |2＋3|b |2＝4，有－|b |cos θ2＋3|b |2＝4，所以|b |2＝41cos 2θ＋3，因为0<cos 2θ≤1，所以0<|b |2≤1；而当cos θ＝0时，|a |＝2，|b |＝0.故有0≤|b |≤1.答案：[0,1]17.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，点M 为AB 1的中点，点P 为体对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点(点P ，Q 可以重合)，则MP ＋PQ 的最小值为________．解析：由题意，要求MP ＋PQ 的最小值，就是求点P 到底面ABCD的距离的最小值与MP 的最小值之和．Q 是P 在底面ABCD 上的射影时，点P 到底面的距离最小，此时Q 在AC 上，且PQ ⊥AC .展开三角形ACC 1与三角形AB 1C 1，使它们在同一个平面上，如图，易知∠B 1AC 1＝∠C 1AC ＝30°，AM ＝32，PQ ⊥AC ，可知当MQ ⊥AC ，即P ，Q ，M 三点共线时，MP ＋PQ 最小，最小值为32sin 60°＝34. 答案：34三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)(2019·金华十校期末)已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12的值； (2)已知锐角△ABC ，f (A )＝1，S △ABC ＝12，b ＋c ＝22，求边长a .解：(1)∴f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin π＝0.(2)由f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，得A ＝π6. 则⎩⎪⎨⎪⎧S △ABC ＝14bc ＝12，b ＋c ＝22，即有⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝2，b 2＋c 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4－2×2×32＝4－2 3. 故a ＝ 4－23＝3－1.19．(本小题满分15分)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC 1⊥平面ABC ，BC ＝CA ＝AC 1.(1)求证：AC ⊥平面AB 1C 1； (2)求二面角A 1BB 1C 的余弦值．解：(1)证明：在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1.因为∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC ，所以AC ⊥B 1C 1.因为AC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AC 1⊥AC ，因为AC 1∩B 1C 1＝C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1，B 1C 1⊂平面AB 1C 1，所以AC ⊥平面AB 1C 1.(2)法一：因为点A 1在平面A 1ABB 1内，故只需求二面角A BB 1C 的平面角．分别取BB 1，CC 1的中点M ，N ，连接AM ，MN ，AN ，由(1)可知，AB 1＝AC 21＋B 1C 21＝AC 2＋BC 2＝AB ，因为M 为BB 1的中点，所以AM ⊥BB 1.因为AC 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AC 1⊥BC ，又因为∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC ，因为AC ∩AC 1＝A ，AC ⊂平面ACC 1，AC 1⊂平面ACC 1，所以BC ⊥平面ACC 1，因为CC 1⊂平面ACC 1，所以BC ⊥CC 1，即平行四边形BCC 1B 1为矩形，因为M ，N 分别为BB 1，CC 1的中点，所以MN ⊥BB 1，所以∠AMN 为二面角A BB 1C 的平面角．设BC ＝CA ＝AC 1＝1，则AB ＝AB 1＝BB 1＝2，MN ＝1，AN ＝22，所以AM ＝62. 由余弦定理得，cos ∠AMN ＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫622－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222×1×62＝63，所以二面角A 1BB 1C 的余弦值为63. 法二：如图所示，以A 为原点，分别以AC 所在直线为x 轴，底面内AC 的垂线为y 轴，AC 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝CA ＝AC 1＝1，由题意知A (0,0,0)，B (1,1,0)，C (1,0,0)，B 1(0,1,1)，所以AB →＝(1,1,0)，AB →1＝(0,1,1)，CB →＝(0,1,0)，CB →1＝(－1,1,1)．设平面A 1B 1BA 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面BB 1C 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AB →＝0，m ·AB →1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，y 1＋z 1＝0，可取m ＝(1，－1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CB 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝0，－x 2＋y 2＋z 2＝0，可取n ＝(1,0,1)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝63，由题意知，所求二面角的平面角为锐角，故二面角A 1BB 1C 的余弦值为63.20．(本小题满分15分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin C －3sin Bsin A ＋sin B ＝a －bc. (1)求角A 的大小；(2)若2sin A sin B ＝1＋cos C ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ，与△ABC 的外接圆交于点E (异于点A )，AE →＝λAD →，求λ的值．解：(1)因为sin C －3sin B sin A ＋sin B ＝a －bc ，所以由正弦定理得(c －3b )c ＝(a ＋b )(a －b )，即a 2＝b 2＋c 2－3bc ，即cos A ＝32，所以A ＝30°. (2)因为2sin A sin B ＝1＋cos C ＝1－cos(A ＋B )＝1－cos A cos B ＋sin A sin B ，所以cos(A －B )＝1，从而A ＝B ，所以B ＝30°，C ＝120°.如图，不妨设AC ＝1，O 为△ABC 外接圆圆心，则AO ＝1，AB ＝3，∠ADC ＝∠EAO ＝45°. 在△ADC 中，由正弦定理，得ADsin 120°＝AC sin ∠ADC ＝1sin 45°.即AD ＝62. 在△AOE 中，由∠EAO ＝∠OEA ＝45°，OA ＝1，从而AE ＝ 2.所以λ＝AE AD ＝233.21．(本小题满分15分)如图，已知四棱锥A BCDE 中AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，AE ＝26，CD ∥BE ，BE ＝2CD ＝4，∠EBC ＝60°.(1)求证：EC ⊥平面ABC ；(2)求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值．解：(1)证明：在△ABC 中，由余弦定理得AC ＝23，在△EBC 中，由余弦定理得EC ＝23，由CE 2＋CA 2＝EA 2，CE 2＋CB 2＝EB 2，得EC ⊥CA ，EC ⊥CB ，又CA ∩CB ＝C ，所以EC ⊥平面ACB .(2)如图，取AC 中点O ，连接BO ，以C 为坐标原点，CA ，CE 所在直线分别为x ，z 轴，以过点C 且平行于BO 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz ，则C (0,0,0)，E (0,0,23)，A (23，0,0)，B (3，1,0)，所以AB →＝(－3，1,0)，AE →＝(－23，0,23)， BE →＝(－3，－1,23)，CD →＝12BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，－12，3，设n ＝(x ，y ，z )是平面ABE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AE →·n ＝0，即⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，－23x ＋23z ＝0，取x ＝1，则y ＝3，z ＝1，即n ＝(1，3，1)，记直线AD 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos 〈AD →，n 〉|＝|AD →·n ||AD →|·|n |＝33055，即直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值为33055. 22．(本小题满分15分)如图，在三棱台ABC A 1B 1C 1中，AB ＝4，BC ＝2，CA ＝23，B 1C 1＝1，CC 1＝3，BC ⊥CC 1.D 是AC 上的一点，满足AD ＝3DC ，过点B 1，C 1，D 的平面交AB 于点F .(1)求证：BC ∥DF ；(2)若二面角A BC B 1的平面角的大小为60°，求直线AB 1与平面B 1C 1DF 所成角的正切值．解：(1)证明：因为ABC A 1B 1C 1为三棱台，所以BC ∥B 1C 1，又因为BC ⊄平面B 1C 1DF ，B 1C 1⊂平面B 1C 1DF ，所以BC ∥平面B 1C 1DF ，又因为BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面B 1C 1DF ＝DF ，所以BC ∥DF . (2)因为AB ＝4，BC ＝2，CA ＝23，所以AB 2＝BC 2＋CA 2，所以BC ⊥CA ，又因为BC ⊥CC 1，平面ABC ∩平面BCB 1＝BC ，所以∠ACC 1是二面角A BC B 1的平面角，即∠ACC 1＝60°，又因为CD ＝14CA ＝32，CC 1＝3，所以C 1D ＝CC 21＋CD 2－2CC 1·CD cos 60°＝32，所以C 1D 2＋CD 2＝CC 21，所以∠C 1DC ＝90°，即AD ⊥DC 1，因为BC ∥DF ，BC ⊥AC ，所以AD ⊥DF ，又因为DC 1∩DF ＝D ，DC 1⊂平面B 1C 1DF ， DF ⊂平面B 1C 1DF ，所以AD ⊥平面B 1C 1DF ，连接DB 1，则∠AB 1D 是直线AB 1与平面B 1C 1DF 所成的角．易知BC ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，因为DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以B 1C 1⊥DC 1，又因为DC 1＝32，B 1C 1＝1，所以DB 1＝132，所以tan ∠AB 1D ＝AD DB 1＝332132＝33913.所以直线AB 1与平面B 1C 1DF所成角的正切值为33913.。

2020年高考数学大二轮专题复习浙江版10+7分项练(二)

(二) 平面向量1．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，且a －b 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,2)B ．(－∞ ,2)C ．(－∞，0)∪[2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)答案 D解析 a －b ＝()0，2－m ，由于a －b 与b的夹角为钝角，由夹角公式得()a －b ·b ||a －b ·||b ＝2m －m 2||2－m ·1＋m 2<0，即2m －m 2<0，解得m <0或m >2.当向量a －b ，b 共线时，0·m －()2－m ·1＝0，m ＝2，此时a －b ＝()0，0，与b 的夹角不是钝角，不合题意．故m 的取值范围是m <0或m >2.2．设P 是△ABC 所在平面上的一点，若|2AP →－BP →－CP →|＝2，则P A →·PB →＋P A →·PC →的最小值为( )A.12 B ．1 C ．－12 D ．－1 答案 C解析由|2AP →－BP →－CP →|＝2，可得|AP →＋PB →＋AP →＋PC →|＝|AB →＋AC →|＝2. 设BC 的中点为D ，即|AD →|＝1.点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，O 为AD 中点． ∴P A →·PB →＋P A →·PC → ＝P A →·(PB →＋PC →) ＝2P A →·PD →＝2(PO →＋OA →)·(PO →＋OD →)＝2(PO →＋OA →)·(PO →－OA →)＝2(PO →2－OA →2) ＝2PO →2－12≥－12.当且仅当|PO →|＝0，即点P 与点O 重合时，P A →·PB →＋P A →·PC →取最小值－12.故选C.3．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A ·sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB→|CB →|，则xy 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析在△ABC 中，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ， ∵sin B ＝cos A ·sin C ，∴sin(A ＋C )＝cos A sin C ， ∴sin A cos C ＝0，∵sin A ≠0， ∴cos C ＝0，∴C ＝90°， ∵AB →·AC →＝9，S △ABC ＝6，∴bc cos A ＝9，12bc sin A ＝6，∴tan A ＝43，∴sin A ＝45，cos A ＝35，bc ＝15，∴a ＝4，b ＝3，c ＝5，以CA 所在直线为x 轴，以CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)．P 为AB 上一点，存在实数λ使得CP →＝λCA →＋(1－λ)CB →＝(3λ，4－4λ)(0≤λ≤1)．设CA →|CA →|＝e 1，CB →|CB →|＝e 2，则e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)， ∴CP →＝(x,0)＋(0，y )＝(x ，y )，∴x ＝3λ，y ＝4－4λ， ∴4x ＋3y ＝12，又4x ＋3y ≥212xy ，即xy ≤3，当且仅当4x ＝3y ，即x ＝32，y ＝2时，等号成立．4．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，且0<θ<π2，已知对任意实数t ∈(－1,1)，|b ＋t a |无最小值，则以下说法正确的是( ) A ．若θ和|b |确定，则|a |唯一确定 B ．若θ和|b |确定，则|a |有最大值 C ．若θ确定，则|a |≥|b |D ．若θ不确定，则|a |与|b |的大小关系不确定答案 B解析 |b ＋t a |2＝t 2|a |2＋2t a ·b ＋|b |2 ＝t 2|a |2＋2t |a ||b |·cos θ＋|b |2，因为其对任意实数t ∈(－1,1)没有最小值，所以－2|a |·|b |cos θ2|a |2＝－|b |cos θ|a |≤－1 或－2|a |·|b |cos θ2|a |2＝－|b |cos θ|a |≥1，又因为0<θ<π2，所以－|b |cos θ|a |≤－1，即|b |cos θ|a |≥1，则当θ和|b |确定时，|a |有最大值为|b |cos θ，故选B.5．(2019·金华调研)已知向量a ，b 满足：|a |＝2，〈a ，b 〉＝60°，且c ＝－12a ＋t b (t ∈R )，则|c |＋|c －a |的最小值为( ) A.13 B ．4 C ．2 3 D.934答案 A解析如图所示，设a ＝OA →，c ＝OC →，点C 是直线l 上的动点，该问题即为求CO ＋CA 的最小值，作点O 关于直线l 的对称点O ′，则CO ＋CA ＝CO ′＋CA ≥AO ′，在△AOO ′中，AO ＝2，OO ′＝3，∠AOO ′＝150°，由余弦定理得AO ′＝OA 2＋OO ′2－2OA ·OO ′·cos 150°＝13.所以|c |＋|c －a |的最小值为13.6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝2，|c －a |＋|c －2b |＝23，则c ·(a ＋b )的取值范围是( ) A ．[4,10] B ．[6，＋∞) C ．[6,12] D ．[12，＋∞)答案 C解析因为|a |＝|b |＝a ·b ＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝12，所以向量a ，b 的夹角为π3，则不妨设a ＝OA →＝(2,0)，b ＝OB →＝(1，3)， 2b ＝OD →＝(2,23)，c ＝OC →＝(x ，y )，则|c －a |＋|c －2b |≥|c －a －(c －2b )|＝|2b －a |＝23，即|AC →|＋|DC →|≥|AD →|＝23，当且仅当点C 在线段AD 上时，等号成立，又|c －a |＋|c －2b |＝23，则c ＝(2，y )(0≤y ≤23)，则c ·(a ＋b )＝(2，y )·(3，3)＝6＋3y ∈[6,12]，故选C.7．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( ) A ．4 3 B ．4 2 C ．2 3 D ．2 2 答案 A解析由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，得cos 〈OA →，OB →〉＝12，即向量OA →，OB →的夹角为π3，则不妨设OA →＝(3，1)，OB →＝(3，－1)，则由OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R 得点P 所表示的区域为以(3，1)，(3，－1)，(－3，－1)，(－3，1)为顶点的矩形区域，则其面积为2×23＝43，故选A.8．在平行四边形ABCD 中，AC →，BD →在AB →上的投影分别为3，－1，则BD →在BC →上的投影的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－1,3) C ．(0，＋∞) D ．(0,3)答案 A解析以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则由AC →，BD →在AB →上的投影分别为3，－1得x B ＝2，x C ＝3，x D ＝1，则不妨设C (3，a )，D (1，a )(a ≠0)，则BD →＝(－1，a )，BC →＝(1，a )，则BD →在BC →上的投影为BD →·BC →|BC →|＝a 2－1a 2＋1，设f (a )＝a 2－1a 2＋1，则易得函数f (a )为偶函数，且f ′(a )＝2aa 2＋1－a a 2＋1(a 2－1)a 2＋1＝a 3＋3a(a 2＋1)a 2＋1，则易得f (a )在(0，＋∞)上单调递增，又当a →0时，f (a )→－1，当a →＋∞时，f (a )→＋∞，所以BD →·BC →|BC →|＝a 2－1a 2＋1∈(－1，＋∞)，故选A.9．已知△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，AC ＝4，点O 为△ABC 的内心，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OA →，则( ) A ．I 3<I 2<I 1 B ．I 1<I 2<I 3 C ．I 3<I 1<I 2 D ．I 2<I 3<I 1答案 A解析如图，设切点分别为M ，Q ，H ，|OH →|＝|OQ →|＝|OM →|＝r (r 为圆O 的半径)，则|AM →|＝|AH →|，|BM →|＝|BQ →|，|CQ →|＝|CH →|，OM ⊥AB ，OQ ⊥BC ，OH ⊥AC .又I 1＝OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →) ＝r 2－|MA →||MB →|，同理，I 2＝OB →·OC →＝r 2－|QB →|·|QC →|， I 3＝OC →·OA →＝r 2－|HC →|·|HA →|， ∵|HC →|＋|HA →|＝4，|MB →|＋|MA →|＝2， ∴|HC →|>|MB →|，∴|HA →||HC →|>|MA →||MB →|，∴I 3<I 1，同理得I 3<I 2，I 2<I 1， ∴I 3<I 2<I 1，故选A.10．(2019·宁波模拟)在空间直角坐标系中，OA →＝(2a,2b,0)，OB →＝(c －1，d,1)，O 为坐标原点，满足a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝4，则下列结论中不正确的是( ) A.OA →·OB →的最小值为－6 B.OA →·OB →的最大值为10 C ．|AB |的最大值为26 D ．|AB |的最小值为1 答案 B解析设B (x ，y ，z )，则x ＝c －1，y ＝d ，z ＝1，由c 2＋d 2＝4，得(x ＋1)2＋y 2＝4，z ＝1，即B 的轨迹为z ＝1平面上圆心为(－1,0,1)，半径为2的圆，同理A 的轨迹为z ＝0平面上圆心为原点，半径为2的圆，根据数量积投影计算，显然当B 在B 1，A 在A 1时，(OA →·OB →)max ＝6，当B 在B 1，A 在A 2时，(OA →·OB →)min ＝－6， |AB |max ＝|A 2B 1|＝12＋52＝26，由于上面圆(x ＋1)2＋y 2＝4，z ＝1在z ＝0上的投影与下面z ＝0平面上圆心为原点半径为2的圆有交点，所以|AB |min 为平面z ＝1与平面z ＝0的距离，即|AB |min ＝1，故选B.11．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且满足|a |＝2，|b |＝1，则a ·b ＝________，|a ＋2b |＝________.答案 1 2 3解析 ∵|a |＝2，|b |＝1，向量a 与b 的夹角为π3，∴a ·b ＝|a ||b |cos π3＝1，由此可得()a ＋2b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×1＋4×12＝12， ∴|a ＋2b |＝()a ＋2b 2＝23.12．已知圆的半径为1，A ，B ，C ，D 为该圆上四个点，且AB →＋AC →＝AD →，则△ABC 面积的最大值为________．答案 1解析如图所示，由AB →＋AC →＝AD →知，ABDC 为平行四边形，又A ，B ，C ，D 四点共圆，∴ABDC 为矩形，即AD 为圆的直径，S ＝12AB ·AC ≤12·AB 2＋AC 22＝14AD 2，当且仅当AB ＝AC 时，取等号． ∴当AB ＝AC 时，△ABC 的面积取得最大值为14×4＝1.13．已知平面向量a ，b ，满足|a |＝2，|a －b |＝2|a ＋b |，则|b |的最小值为________，最大值为________．答案 236解析方法一由|a －b |＝2|a ＋b |，得(a －b )2＝4(a ＋b )2，展开整理得3a 2＋3b 2＋10a ·b ＝0，设向量a ，b 的夹角为θ，上式即为 12＋3|b |2＋20|b |cos θ＝0，得cos θ＝－12＋3|b |220|b |≥－1，即3|b |2－20|b |＋12≤0，解得23≤|b |≤6，故|b |的最小值为23，最大值为6.方法二由||a |－|b ||≤|a －b |＝2|a ＋b |≤2(|a |＋|b |)，得－2(2＋|b |)≤2－|b |≤2(2＋|b |)，此式显然成立，同理|a |＋|b |≥|a －b |＝2|a ＋b |≥2||a |－|b ||，即2|2－|b ||≤2＋|b |，得－2－|b |≤4－2|b |≤2＋|b |，解得23≤|b |≤6，故|b |的最小值为23，最大值为6.14．(2019·杭州模拟)设O 为△ABC 的外接圆圆心，若存在正实数k ，使得AO →＝AB →＋kAC →，则k 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析因为AO →＝AB →＋kAC →，所以BO →＝kAC →，如图所示，OA ＝OB ＝OC ＝R ，显然OA ＋OC >AC ＝1k BO ，即2R >1k R ，解得k >12.15．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－12 解析设b 与c 的夹角为θ，由题意得b ＋c ＝－a ，所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1，所以cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32(k －1)2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥||b |－|c ||，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.16.点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →.若x ＝12，则y ＝________，若S △AMN ＝23S △ABC ，则x ＋y ＝________.答案 1 2解析因为点G 为△ABC 的重心，即点G 为△ABC 的三条中线的交点，则当x ＝12时，点M 为AB 的中点，则直线MN 即为△ABC 的一条中线所在的直线，所以点N 与点C 重合，则AN →＝AC →，即y ＝1. 因为点G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)，则MG →＝AG →－AM →＝13(AB →＋AC →)－xAB →＝⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →，GN →＝AN →－AG →＝yAC →－13(AB →＋AC →)＝⎝⎛⎭⎫y －13AC→－13AB →，由MG →与GN →共线，得存在唯一实数λ使得 ⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →＝λ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫y －13AC →－13AB →，则⎩⎨⎧13－x ＝－13λ，13＝λ⎝⎛⎭⎫y －13，化简得x ＋y ＝3xy ，又因为S △AMN ＝23S △ABC ，所以12x |AB →|·y |AC →|sin ∠BAC＝23×12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ，解得xy ＝23，则x ＋y ＝3xy ＝2.17．(2015·浙江)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝__________，y 0＝________，|b |＝________.答案 1 2 2 2解析方法一对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y 2，所以当x ＝2－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y 2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.方法二 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12， ∴〈e 1，e 2〉＝π3. 不妨设e 1＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，e 2＝(1,0,0)，b ＝(m ，n ，t )．由题意知⎩⎨⎧ b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫52，32，t . ∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝⎛⎭⎫52－12x －y ，32－32x ，t ， ∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝⎛⎭⎫52－x 2－y 2＋⎝⎛⎭⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值．此时t 2＝1，故|b |＝ ⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＋t 2＝2 2.。

(浙江专用)2020版高考数学大二轮复习专题一小题考法课一平面向量课时跟踪检测

平面向量[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练]一、选择题1．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：选C ∵BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2,3)＝(1，t －3)，|BC →|＝1， ∴12＋(t －3)2＝1，解得t ＝3，∴BC →＝(1,0)， ∴AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．9 B ．10 C ．12D ．13解析：选D ∵向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，∴a ·b ＝2×5×cos 120°＝－5， ∴(2a －b )·a ＝2a 2－a ·b ＝2×4＋5＝13，故选D.3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 解析：选A 作出示意图如图所示.EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB→＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →.故选A.4．设向量a ＝(－2,1)，a ＋b ＝(m ，－3)，c ＝(3,1)，若(a ＋b )⊥c ，则cos 〈a ，b 〉＝( )A ．－35B.35C.55D ．－255解析：选D 由(a ＋b )⊥c 可得，m ×3＋(－3)×1＝0，解得m ＝1.所以a ＋b ＝(1，－3)，故b ＝(a ＋b )－a ＝(3，－4)．所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－2×3＋1×(－4)(－2)2＋12×32＋(－4)2＝－255，故选D. 5．P 是△ABC 所在平面上一点，满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选B ∵P 是△ABC 所在平面上一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0， ∴|CB →|－|(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，两边平方并化简得AB →·AC →＝0， ∴AB →⊥AC →，∴∠A ＝90°，则△ABC 是直角三角形．6.如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,3]C ．[－3，－1]D ．[－3,1]解析：选A 建立平面直角坐标系如图所示，可得O (0,0)，A (－2,0)，C (－1,0)，设B (2cos θ，2sin θ)．θ∈[0,2π)．则CO →·CB →＝(1,0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1,3]．故选A.7．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP →＝1a AC →＋a －1aAD →，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－72解析：选C 由AP →＝1a AC →＋a －1aAD →知点P 在直线CD 上，以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0,0)，A (0,2)，B (23，0)，D (3，1)，∴直线CD 的方程为y ＝33x ，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x ，则PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，2－33x ，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－x ，－33x ，PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ，－33x ，∴PB →＋PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫23－2x ，－233x ， ∴PA →·(PB →＋PC →)＝－x (23－2x )＋23x 2－433x ＝83x 2－1033x ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5382－258，∴当x ＝538时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值－258.8．已知单位向量a ，b ，c 是共面向量，a·b ＝12，a·c ＝b·c <0，记m ＝|λa －b |＋|λa－c |(λ∈R )，则m 2的最小值是( )A ．4＋ 3B ．2＋ 3C ．2＋ 2D ．4＋ 2解析：选B 由a·c ＝b·c ，可得c ·(a －b )＝0，故c 与a －b垂直，又a ·c ＝b ·c <0，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设OD →＝λa ，则|λa －b |＋|λa －c |＝|BD →|＋|CD →|≥|b －c |＝|BC →|，由图可知最小值为BC ，易知∠OBC ＝∠BCO ＝15°，所以∠BOC ＝150°，在△BOC 中，BC 2＝BO 2＋OC 2－2BO ·OC ·cos∠BOC ＝2＋ 3.所以m 2的最小值是2＋ 3.9．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y－2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB →＝(1,0)，AD →＝(0,2)，AP →＝λAB →＋μAD →＝(λ，2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3. 10．(2018·浙江高考)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1 C ．2D ．2－ 3解析：选A 法一：∵b 2－4e ·b ＋3＝0， ∴(b －2e )2＝1，∴|b －2e |＝1.如图所示，把a ，b ，e 的起点作为公共点O ，以O 为原点，向量e 所在直线为x 轴，则b 的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，|a －b |就是线段AB 的长度．要求|AB |的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M 到直线OA 的距离减去圆的半径长，因此|a －b |的最小值为3－1.法二：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1,0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，不妨令点A在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.二、填空题11．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________.解析：∵c 2＝(2a －5b )2＝4a 2－45a ·b ＋5b 2＝9， ∴|c |＝3.又∵a ·c ＝a ·(2a －5b )＝2a 2－5a ·b ＝2，∴cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝23.答案：2312.如图，在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝________.解析：∵在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4， ∴AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →＋DB →＝AC →－BD →， BC →＋AD →＝BD →＋DC →＋AC →＋CD →＝AC →＋BD →，∴(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝(AC →－BD →)(AC →＋BD →)＝AC →2－BD →2＝9－16＝－7. 答案：－713．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝2|a －b |，|a |＝3，则|b |的最大值是________；最小值是________．解析：由|a ＋b |＝2|a －b |两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4(a 2－2a ·b ＋b 2)，化简得到3a 2＋3b 2＝10a ·b ≤10|a ||b |，|b |2－10|b |＋9≤0，解得1≤|b |≤9.答案：9 114．在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且AD BD＝2，则CD →·CA →＝________；若CD →＝xCA →＋yCB →，则xy ＝________.解析：以A 为坐标原点，AB →，AC →分别为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，所以CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2·(0，－2)＝4.由CD →＝xCA →＋yCB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2＝x (0，－2)＋y (2，－2)，所以43＝2y ，－2＝－2x －2y ，解得x ＝13，y ＝23，所以xy ＝29.答案：4 2915．若向量a ，b 满足(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3，且|b |≥2，则a ·b ＝__________，a 在b 方向上的投影的取值范围是__________．解析：向量a ，b 满足(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3， ∴a 2＋2a ·b ＋b 2－b 2＝3， ∴9＋2a ·b ＝3，∴a ·b ＝－3；则a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b|＝－3|b|，又|b |≥2，∴－32≤－3|b |<0，∴a 在b 方向上的投影取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0. 答案：－3 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，016．(2019·江苏高考)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB →·AC →＝6AO →·EC →，则AB AC的值是________．解析：法一：如图，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ，由D 是BC的中点，可知F 为BE 的中点．又BE ＝2EA ，则EF ＝EA ，从而可得AO ＝OD ，则有AO →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)，EC →＝AC →－AE →＝AC →－13AB →，所以6AO →·EC →＝32(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →－13AB →＝32AC →2－12AB →2＋AB →·AC →＝AB →·AC →，整理可得AB → 2＝3AC → 2，所以AB AC＝ 3.法二：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．设E (1,0)，C (a ，b )，则B (3,0)，D ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32，b 2.⎭⎪⎬⎪⎫l AD ：y ＝ba ＋3x ，l CE：y ＝ba －1(x －1) ⇒O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4. ∵AB →·AC →＝6AO →·EC →， ∴(3,0)·(a ，b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4·(a －1，b )，即3a ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋3)(a －1)4＋b 24，∴a 2＋b 2＝3，∴AC ＝ 3.∴AB AC＝33＝ 3. 答案： 317．已知在△ABC 中，AC ⊥AB ，AB ＝3，AC ＝4.若点P 在△ABC 的内切圆上运动，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为________，此时点P 的坐标为________．解析：因为AC ⊥AB ，所以以A 为坐标原点，以AB ，AC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (3,0)，C (0，4)．由题意可知△ABC 内切圆的圆心为D (1,1)，半径为1.因为点P 在△ABC 的内切圆上运动，所以可设P (1＋cos θ，1＋sinθ)(0≤θ<2π)．所以PA →＝(－1－cos θ，－1－sin θ)，PB →＋PC →＝(1－2cos θ，2－2sin θ)，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－1－cos θ)(1－2cos θ)＋(－1－sin θ)(2－2sin θ)＝－1＋cos θ＋2cos 2θ－2＋2sin 2θ＝－1＋cos θ≥－1－1＝－2，当且仅当cos θ＝－1，即P (0,1)时，PA →·(PB →＋PC →)取到最小值，且最小值为－2.答案：－2 (0,1)[B 级——能力小题保分练]1．(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为点A ，B ，C 不共线，由向量减法的三角形法则，可知BC →＝AC →－AB →，所以|AB →＋AC →|>|BC →|等价于|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|，不等号两边平方得AB →2＋AC →2＋2|AB →|·|AC →|cos θ>AC →2＋AB →2－2|AC →|·|AB →|cos θ(θ为AB →与AC →的夹角)，整理得4|AB →|·|AC →|cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件． 2.如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝12λBC →，DF →＝λDC →，则AE →·BF →的最小值是( )A ．46＋13B ．46－13C ．46＋132D ．46－132解析：选B 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，∠ADC ＝120°，易得AD ＝BC ＝2.由动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上得，⎩⎪⎨⎪⎧0<12λ<1，0<λ<1，所以12<λ<1.所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC→＋CF →)＝AB →·BC →＋BE →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·CF →＝|AB →|·|BC →|cos 120°＋|BE →|·|BC →|－|AB →|·|CF →|＋|BE →|·|CF →|cos 60°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1λ×2－4×(1－λ)×2＋1λ×(1－λ)×2×12＝－13＋8λ＋3λ≥－13＋28λ×3λ＝46－13，当且仅当λ＝64时取等号．所以AE →·BF →的最小值是46－13.3．(2019·温州适应性测试)已知平面向量a ，b ，c 满足：a ·b ＝0，|c |＝1，|a －c |＝|b －c |＝5，则|a －b |的最小值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选 B |a －b |2＝|(a －c )－(b －c )|2＝(a －c )2－2(a －c )(b －c )＋(b －c )2＝50－2(a ·b －a ·c －b ·c ＋1)＝48＋2(a ＋b )·c ＝48＋2|a ＋b |cos θ(其中θ为a ＋b 与c 的夹角)，因为|a －b |＝|a ＋b |，所以|a －b |2＝48＋2|a －b |cos θ，则由cos θ∈[－1,1]，得48－2|a －b |≤|a －b |2≤48＋2|a －b |，解得6≤|a －b |≤8，即|a －b |的最小值为6，此时向量a ＋b 的方向与向量c 的方向相反，故选B.4．(2019·嘉兴、丽水、衢州高三模拟)已知a ，b ，c 是平面内的三个单位向量，若a ⊥b ，则|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |的最小值为( )A.29B.29－3 2C.19－2 3D ．5解析：选A 因为a ，b ，c 为平面内三个单位向量，且a ⊥b ，则不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1，则|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |＝(2x ＋1)2＋(2y )2＋(x －3)2＋(y －2)2＝3(x 2＋y 2)＋x 2＋y 2＋4x ＋1＋(x －3)2＋(y －2)2＝ (x ＋2)2＋y 2＋ (x －3)2＋(y －2)2，其表示圆心在原点的单位圆上的点到点A (－2,0)，B (3,2)的距离之和，因为直线AB 与单位圆有交点，所以|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －3)2＋(y －2)2≥ (3＋2)2＋(2－0)2＝29，当且仅当点(x ，y )为圆心在原点的单位圆与直线AB 的交点时，等号成立，所以|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |的最小值为29，故选A.5．已知向量a ，b 的夹角为π3，|b |＝2，对任意x ∈R ，有|b ＋x a |≥|a －b |，则|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪t b －a 2(t ∈R )的最小值为________．解析：向量a ，b 夹角为π3，|b |＝2，对任意x ∈R ，有|b ＋x a |≥|a －b |，两边平方整理可得x 2a 2＋2x a ·b －(a 2－2a ·b )≥0，则Δ＝4(a ·b )2＋4a 2(a 2－2a ·b )≤0，即有(a 2－a ·b )2≤0，即为a 2＝a ·b ，则(a －b )⊥a ，由向量a ，b 夹角为π3，|b |＝2，由a 2＝a ·b ＝|a |·|b |·cos π3，得|a |＝1，则|a －b |＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，画出AO →＝a ，AB →＝b ，建立平面直角坐标系，如图所示：则A (1,0)，B (0，3)， ∴a ＝(－1,0)，b ＝(－1，3)； ∴|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪t b －a 2＝(1－t )2＋(3t )2＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t 2＋(3t )2＝4t 2－2t ＋1＋4t 2－t ＋14＝2⎝⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－342＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋382 表示P (t,0)与M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38的距离之和的2倍，当M ，P ，N 共线时，取得最小值2|MN |. 即有2|MN |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14－182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋382＝72. 答案：726．(2019·宁波模拟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －b |＝1，则|a ＋c |的取值范围为________．解析：法一：令m ＝a ＋c ，则问题转化为|m |的取值范围．由三角不等式，有||m |－|a ＋b ||≤|m －(a ＋b )|，则|a ＋b |－1≤|m |≤1＋|a ＋b |，又||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，即1≤|a ＋b |≤3，故0≤|m |≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0,4]．法二：如图，由已知，作O B →＝b ，分别以点O ，B 为圆心作单位圆，则－a 的终点A 在圆O 上，c 的终点C 在圆B 上，则A C →＝c －(－a )＝c ＋a ，故|a ＋c |＝|A C →|表示两圆上两点连线的长，因此，由圆的性质，得0≤|A C →|≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0,4]．答案：[0,4]。

2020浙江新高考数学二轮复习专题强化练：专题一 1 第1讲集合、常用逻辑用语 Word版含解析

专题强化训练 [基础达标]1．已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2，3] B ．(－2，3]C ．[1，2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q ＝{x |x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x |－2＜x ＜2}，故得P ∪(∁R Q )＝{x |－2＜x ≤3}．故选B.2．(2019·金华模拟)已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选A.法一：因为A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}＝{y |y ＞1}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}＝{y |y ＞12}，所以A ∩B ＝{y |y ＞1}，故选A. 法二：取2∈A ∩B ，则由2∈A ，得log 2x ＝2，解得x ＝4＞2，满足条件，同时由2∈B ，得⎝⎛⎭⎫12x＝2，x ＝－1，满足条件，排除选项B ，D ；取1∈A ∩B ，则由1∈A ，得log 2x ＝1，解得x ＝2，不满足x ＞2，排除C ，故选A.3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅，故a 的值为2，选B.4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a ，b 为两个非零向量，设命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：a 与b 共线，则命题p 是命题q 成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.|a ·b |＝|a ||b |⇔|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝±1⇔a ∥b ，故是充要条件，选C.5．(2019·衢州质检)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.6．“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1 解析：选C.若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0，故选C.7．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.8．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题解析：选B.对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题为“若x ≠π3，则tan x≠3”，易知当x ＝4π3时，tan x ＝3，故选项D 为假命题．综上可知，选B.9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的体积不变 C ．与所有12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任意一点，则|MN |的最小值是3－22解析：选D.A.因为AB 1∥DC 1，AC ∥A 1C 1，且AC ∩AB 1＝A ，所以平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，正方体的体对角线BD 1＝3，设B 到平面ACB 1的距离为h ，则V B AB 1C ＝13×12×1×1×1＝13×12×2×2×32h ，即h ＝33，则平面ACB 1与平面A 1C 1D 的距离d ＝3－2h ＝3－2×33＝33，故A 正确． B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B 正确，C ．与所有12条棱都相切的球的直径2R 等于面的对角线B 1C ＝2，则2R ＝2，R ＝22，则球的体积V ＝43πR 3＝43×π×(22)3＝23π，故C 正确．D ．设正方体的内切球的球心为O ，正方体的外接球的球心为O ′，则三角形ACB 1的外接圆是正方体的外接球O ′的一个小圆，因为点M 在正方体的内切球的球面上运动，点N 在三角形ACB 1的外接圆上运动，所以线段MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径，因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，所以线段MN 长度的最小值是32－12.故D 错误．故选D. 10．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，集合M 中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选C.由36－x 2>0可解得－6<x <6，又x ∈N ，故x 可取0，1，2，3，4，5，故S ＝{0，1，2，3，4，5}．由题意可知：集合M 不能含有0，1，且不能同时含有2，4.故集合M 可以是{2，3}，{2，5}，{3，5}，{3，4}，{4，5}．11．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二：(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1.z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎭⎬1，12，2，显然该集合中共有3个元素．答案：312．(2019·温州瑞安高考数学模拟)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝______，(∁U A )∪B ＝________．解析：因为U ＝{1，2，3，4，5，6}， ∁U B ＝{1，5，6}，∁U A ＝{3，4，5，6}，所以A ∩(∁U B )＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，(∁U A )∪B ＝{3，4，5，6}∪{2，3，4}＝{2，3，4，5，6}．答案：{1} {2，3，4，5，6}13．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．答案：114．一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充分必要条件是________．解析：必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )，所以b ＝0.充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ，因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．答案：b ＝015．A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是________．解析：有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有： ①(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，此时B ＝∅；②(2，1)，此时B ＝{1}； ③(3，2)，此时B ＝{1，2}．所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89.答案：8916．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．解析：因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0.解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝ 4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意．(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪{1}．答案：(－∞，－1]∪{1}17．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错． ②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}， f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错． ③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}，则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}，则f (P )∪f (M )＝R ，故④错．答案：①②③④[能力提升]1．已知集合P ＝{y |y ＝(12)x ，x ≥0}，Q ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，则P ∩Q 为( )A ．(0，1]B ．∅C ．(0，2)D ．{0}解析：选A.由已知得，因为x ≥0，且0＜(12)x ≤(12)0＝1，所以P ＝(0，1]，又因为2x －x 2＞0⇒0＜x ＜2，所以Q ＝(0，2)，因此P ∩Q ＝(0，1]，故选A.2．已知z ＝m 2－1＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R ，i 为虚数单位)，则“m ＝－1”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意，当m ＝－1时，z 的实部为(－1)2－1＝0，虚部为(－1)2－3×(－1)＋2＝6，此时z 为纯虚数，即充分性成立；当z 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m 2－3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1m ≠2，m ≠1⇒m＝－1，即必要性成立，故选C.3．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{x |x ＜－1或x ≥1} B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}．故选B.4．若x ∈R ，则“x ＞1”是“1x ＜1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A.由x ＞1，一定能得到1x ＜1，但当1x ＜1时，不能推出x ＞1(如x ＝－1时)，故“x＞1”是“1x＜1”的充分非必要条件．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的必要而不充分的条件是( ) A ．a －1＞b B ．a ＋1＞b C ．|a |＞|b |D ．a 3＞b 3解析：选B.“a ＞b ”不能推出“a －1＞b ”，故选项A 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a ＋1＞b ”，但“a ＋1＞b ”不能推出“a ＞b ”，故满足题意；“a ＞b ”不能推出“|a |＞|b |”，故选项C 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a 3＞b 3”，且“a 3＞b 3”能推出“a ＞b ”，故是充要条件，不满足题意．6．(2019·绍兴质检)已知集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(－2，0)B ．[－2，0)C ．∅D ．(－2，1)解析：选B.因为集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，所以∁R A ＝{x |－2≤x ≤1}，集合B＝{x|x＞2或x＜0}，所以(∁R A)∩B＝{x|－2≤x＜0}＝[－2，0)，故选B.7．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是()A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线解析：选C.A.α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；C.利用线面平行的性质定理，可得C 正确；D.若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选C.8．已知f(x)＝ax2＋bx，其中－1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b ＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f(x)＝ax2＋bx，所以a＋b＞1⇔f(1)＞1.因为存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1，所以|f(x)|max＞1.因为－1≤a＜0，b＞0，所以函数f(x)的对称轴x＝－b2a＞0.计算：f(0)＝0，f(1)＝a＋b，f(－b2a)＝b2－4a＞0.f(1)＞1，所以f(－b2a)＝b2－4a＞1，反之也成立，若b2＞－4a，则b＞－4a＞1－a.所以“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的充要条件．9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.10．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列B ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列解析：选 D.c n ⊥b n ⇒c n ·b n ＝na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝0，即a n ＋1a n＝－nn ＋1；所以数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列；c n ∥b n ⇒(n ＋1)a n －na n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ；所以a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝21×32×…×nn －1＝n (n ≥2)，即a n ＝na 1.所以数列{a n }是等差数列． 11．已知A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，3}，记：A ＋B ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }，试用列举法表示A ＋B ＝________．解析：因为a ∈A ，b ∈B ，所以当a ＝0时，a ＋b ＝－1或3，当a ＝1时，a ＋b ＝0或4，当a ＝2时，a ＋b ＝1或5，所以A ＋B ＝{－1，0，1，3，4，5}．答案：{－1，0，1，3，4，5}12．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝________．解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，又因它的解为x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．答案：{1，3}13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 114．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为________．解析：若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.答案：115．给出下列四个命题：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确命题的序号是________．解析：由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以④正确．答案：①④16．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|x<m或x>m＋3}，Q＝{x|x2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)17．(2019·杭州市七校高三联考)下列命题中正确的有________．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＝sin 2 C ，则△ABC 为直角三角形；③若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则tan A tan B >1；④若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝S n －S n －1(n >1)．解析：命题①：由数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n －a n －1＝d (n ≥2)(ⅰ)，又数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，则a n ＝qa n －1(n ≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qa n －1－a n －1＝(q －1)a n －1＝d (n ≥2)，要使(q －1)·a n －1＝d (n ≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q －1＝d ＝0，也就是q ＝1，d ＝0.所以数列{a n }为非零常数列，故不正确；命题②：由正弦定理可把sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C 转化为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，所以三角形为直角三角形，故正确；命题③：若A 、B 是锐角三角形的两内角，则tan A >0，tan B >0，π>A ＋B >π2，则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B<0，得tan A ·tan B >1，故正确；命题④：若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2），故不正确．故正确的命题为：②③.答案：②③。

【2020高考数学《大二轮专题复习与增分策略》浙江版】专题一第1讲

第1讲三角函数的图象与性质热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，则sin 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45答案 C解析因为角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，所以tan θ＝3，则sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝610＝35.故选C.(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( ) A.12 B.13 C.16 D ．－16 答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)已知角α的终边上一点坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π3 答案 C解析角α的终边上一点坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，即为点⎝⎛⎭⎫12，－32，在第四象限，且满足cos α＝12，且sin α＝－32，故α的最小正值为5π3，故选C.(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A解析由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知，f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α ＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1＝4＋6－25＝85. 热点二三角函数的图象及应用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y ＝sin x ――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． (先伸缩后平移)y ＝sin x ―――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin ωx ―――――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．例2 (1)将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ等于( ) A.π6 B.5π6 C.4π3 D.5π3 答案 C解析根据诱导公式可得y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ，故sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即π2＋φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－2π3＋2k π，k ∈Z ，又∵0≤φ<2π，∴φ＝4π3，故选C.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，求θ的值．解函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如题图所示，则A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，当x ＝7π12时，f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ＝2，所以7π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ，若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，令2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z 或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向．跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度答案 A解析由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度即可．(2)(2019·宜昌调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f (2 019)＝________.答案－1解析根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象，可得A ＝2，2πω＝2⎝⎛⎭⎫136－76＝2， ∴ω＝π.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫76，0，可得π×76＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝－7π6＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，∴φ＝5π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋5π6， ∴f (2 019)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π×2 019＋5π6＝－2sin π6＝－1. 热点三三角函数的性质 1．三角函数的单调性y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )． 2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 (2019·湖州三校联考)已知函数f (x )＝2cos 2x －23sin x cos x . (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)求方程f (x )＝－13在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内的所有实根之和．解 (1)f (x )＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间，故2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)由1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝－13，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝23，由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，且12<23<1，得方程f (x )＝－13在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不等实根α，β，且满足α＋β2＝π3，∴α＋β＝2π3.思维升华函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 已知函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以函数f (x )的最小正周期为π. 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝π3＋k π2(k ∈Z )，故函数f (x )图象的对称轴的方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f (x )的取值范围是[－1,2].真题体验1．(2018·全国Ⅰ，理，16)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．答案－332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当12<cos x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.2．(2018·浙江，18)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解 (1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得cos α＝－35. 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.3．(2017·浙江，18)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12，得 f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得，π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．押题预测1．已知直线3x －y －1＝0的倾斜角为α，则cos α－2sin αsin α＋cos α的值为( )A ．－1110B ．－12C ．－114D ．－54答案 D解析由3x －y －1＝0得，y ＝3x －1，∴tan α＝3，又cos α－2sin αsin α＋cos α＝cos α－2sin αcos αsin α＋cos αcos α＝1－2tan αtan α＋1＝1－2×33＋1＝－54.2．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2答案 C解析 C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3，C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2，故选C.3．已知函数f (x )＝sin x ＋3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R . (1)求f (2 019π)的值；(2)若f (α)＝1，且0＜α＜π，求cos α的值．解 (1)f (2 019π)＝sin 2 019π＋3sin ⎝⎛⎭⎫2 019π＋π2＋ sin ⎝⎛⎭⎫2 019π＋π3＝0＋(－3)－32＝－332. (2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＋12sin x ＋32cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由f (α)＝1得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13＜12，又因为0＜α＜π，故π2＜α＜2π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－223，所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π3 ＝⎝⎛⎭⎫－223×12＋13×32＝3－226.A 组专题通关1．(2019·浙江省重点中学联考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪12－4sin x cos x ，若f (x －a )＝－f (x ＋a )恒成立，则实数a 的最小正值为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 D解析由f (x －a )＝－f (x ＋a )可判断函数f (x )的周期为4a ，又f (x )＝⎪⎪⎪⎪12－4sin x cos x ＝⎪⎪⎪⎪12－2sin 2x ，其最小正周期为T ＝2π2＝π，所以4a ≥π，即a ≥π4，故选D.2．(2019·余姚中学模拟)设f (x )＝cos x ，a ＝f (ln 2)，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫ln 13，则下列关系式正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．b ＞a ＞c答案 C解析因为函数f (x )＝cos x 是偶函数，所以c ＝f ⎝⎛⎭⎫ln 13＝f (ln 3)，且0＜ln 2＜ln 3＜ln π＜π，函数f (x )在区间[0，π]上单调递减，所以f (ln 2)＞f (ln 3)＞f (ln π)，即a ＞c ＞b ，选C.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)与g (x )＝cos(2x ＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案 A解析由ωx ＋π3＝π2＋k 1π，k 1∈Z ，得函数f (x )的对称轴为x ＝π6ω＋k 1πω，k 1∈Z ，由2x ＋φ＝k 2π，k 2∈Z ，得函数g (x )的对称轴为x ＝－φ2＋k 2π2，k 2∈Z .因为两函数的对称轴完全相同，所以⎩⎨⎧π6ω＝－φ2，1ω＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度后得到的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，故选A.4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2等于( )A.322B ．－322C ．－32D.32答案 C解析由题图可得：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最大值是3，最小值是－3，∴A ＝3，又∵T 4＝7π12－π3，ω>0，∴T ＝π，ω＝2，将⎝⎛⎭⎫π3，－3代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝－1， ∴2π3＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－7π6＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π，∴φ＝5π6，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝3sin ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－32，故选C. 5．设函数f (x )＝sin 2x ＋a cos x ＋b 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，且与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，且与b 有关答案 B解析令t ＝cos x ，则g (t )＝－t 2＋at ＋b ＋1(0≤t ≤1)，由题意得，①当a2<0，即a <0时，g (t )在[0,1]上单调递减，g (0)为最大值，g (1)为最小值，此时M －m ＝1－a ；②当a2>1，即a >2时，g (t )在[0,1]上单调递增，g (0)为最小值，g (1)为最大值，此时M －m ＝a －1; ③当12≤a2≤1，即1≤a ≤2时，g (t )在⎣⎡⎦⎤0，a 2上单调递增，在⎣⎡⎦⎤a 2，1上单调递减，g ⎝⎛⎭⎫a2为最大值，因为g (0)＝b ＋1≤a ＋b ＝g (1)，所以g (0)为最小值，此时M －m ＝a 24；④当0≤a 2<12，即0≤a <1时，g ⎝⎛⎭⎫a 2为最大值，g (1)为最小值，此时M －m ＝a 24＋1－a .综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 答案330 解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)， ∴x ＝－3，y ＝－1， ∴tan α＝y x ＝33，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 7．(2019·葫芦岛调研)已知f (x )＝2sin 2ωx (ω>0)的周期为π，则当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，f (x )的最小值为________．答案－ 3解析由T ＝2π2ω＝π，得ω＝1，∴f (x )＝2sin 2x ，由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，得π3≤2x ≤4π3， ∴当2x ＝4π3，即x ＝2π3时，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin 4π3＝－3，即f (x )min ＝－ 3.8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 9．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______．答案 3解析由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3. 10．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－22，求角x 的大小； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值．解 (1)∵f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x －22sin 2x＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－22，∴cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－12. 由题意可得x ∈(0，π)， ∴2x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，9π4， ∴2x ＋π4＝2π3或4π3，∴x ＝5π24或13π24.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－2，1]． ∴f (x )的最小值为－2，此时2x ＋π4＝π，即x ＝3π8.B 组能力提高11．如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35 答案 B解析 ∵点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，设∠AOB ＝θ，∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45，即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1， ∴θ＋α＝π3，则α＝π3－θ，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＝35. 12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫7π12，2π3上单调，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0，则ω的最大值为( )A ．7B ．9C ．11D ．13 答案 B解析由题意，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫7π12，2π3上单调，则2π3－7π12＝π12≤T 2，解得T ≥π6，所以2πω≥π6，即ω≤12，又由f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0，则3π4－π4＝T 4＋k2T ，k ∈Z ，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω，k ∈Z ，解得ω＝2k ＋1，k ∈Z ，当k ＝5时，ω＝11，则f (x )＝sin(11x ＋φ)，又由f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，即f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫11π4＋φ＝1，取φ＝－π4，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，此时函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫7π12，2π3上不单调，不满足题意．当k ＝4时，ω＝9，则f (x )＝sin(9x ＋φ)，又由f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，即f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫9π4＋φ＝1，取φ＝π4，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，此时函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫7π12，2π3上是单调函数，满足题意，所以ω的最大值为9，故选B.13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象过两点A ⎝⎛⎭⎫0，22，B ⎝⎛⎭⎫π4，0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则( ) A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5x ＋3π4 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋3π4 答案 C解析由已知得sin φ＝22，0<φ<π，所以φ＝π4或3π4.当φ＝π4时，sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π4＝0，所以ω＝－1＋4k (k ∈N *)．若ω＝3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4在⎝⎛⎭⎫0，π4内有一个极大值点，不符合题意；若ω＝7，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π4在⎝⎛⎭⎫0，π4内极大值点为π28，小于极小值点5π28，符合题意；当φ＝3π4时，sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋3π4＝0，所以ω＝－3＋4k ()k ∈N *.若ω＝5，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫5x ＋3π4在⎝⎛⎭⎫0，π4内有一个极小值点，不符合题意；若ω＝9，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋3π4在⎝⎛⎭⎫0，π4内有极小值点π12和极大值点7π36，不符合题意．综上所述，应选C.14．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫2 020π3＝________. 答案 0解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ， ∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x . ∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为2π， ∴f ⎝⎛⎭⎫2 020π3＝f ⎝⎛⎭⎫674π－2π3＝f ⎝⎛⎭⎫－2π3＝0. 15．方程⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝|log 18x |的解的个数为________．(用数值作答) 答案 12解析由题意得求方程||sin x ＝||log 18x 的解的个数，因为y ＝||sin x 的周期为π，而11π2<18<13π2，又当x ∈(0,1)时，y ＝sin x 与y ＝－log 18x 有一个交点，当x ∈(1，π)时，y ＝sin x 与y ＝log 18x 有一个交点，当x ∈(k π，k π＋π)(k ＝1,2,3,4,5)时，y ＝|sin x |与y ＝log 18x 有两个交点，因此共有2×6＝12(个)交点．16．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，∴a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，即k π<x <k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增；当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减． ∴g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π6，k ∈Z ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

【2020高考数学《大二轮专题复习与增分策略》浙江版】[76分]10+7标准练(四)

[76分]10＋7标准练(四)1．已知全集U＝{1,2,3,4}，若A＝{1,3}，B＝{3}，则(∁U A)∩(∁U B)等于()A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}答案 D解析根据题意得∁U A＝{2,4}，∁U B＝{1,2,4}，故(∁U A)∩(∁U B)＝{2,4}．2．已知各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“q>1”是“S2＋2S6>3S4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析方法一因为等比数列{a n}的各项均为正数，所以a1>0.若q>1，则S2＋2S6－3S4＝a1(1－q2)1－q＋2a1(1－q6)1－q－3a1(1－q4)1－q＝a1q2(1＋2q4－3q2)q－1＝a1q2(2q2－1)(q2－1)q－1>0，所以S2＋2S6>3S4.而当S2＋2S6>3S4成立时，q可以为1，所以“q>1”是“S2＋2S6>3S4”的充分不必要条件，故选A.方法二因为等比数列{a n}的各项均为正数，所以q>0，S2>0.令S2＋2S6－3S4＝q2S2(2q2－1)>0，得q>22，所以“q>1”是“S2＋2S6>3S4”的充分不必要条件，故选A.3．(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝a e x＋x ln x在点(1，a e)处的切线方程为y＝2x＋b，则() A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.4．(2019·全国Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23 B.35 C.25 D.15 答案 B解析根据题意得，所求概率P ＝C 23C 12C 35＝3×210＝35.5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π2，0，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝12，则ω的最小值为( )A.23 B ．1 C.43 D ．2 答案 A解析方法一当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或π4ω＋φ＝2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或π4ω＝(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或ω＝4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.7．(2019·浙江省宁波市镇海中学模拟)已知|a |＝2，|b |＝|c |＝1，则(a －b )·(c －b )的最小值为( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－1 答案 A 解析三数平方(a －b )·(c －b )＝b 2－a ·b －b ·c ＋a ·c＝b 2＋(b －a －c )2－a 2－b 2－c 22≥1＋0－4－1－12＝－2，当b －a －c ＝0时，等号成立．8．已知a >0，b >0，(2a ＋b )2－6ab ＝1，则ab2a ＋b 的最大值是( )A ．1 B.12 C.13 D.14答案 D解析因为a >0，b >0，(2a ＋b )2－6ab ＝1，所以(2a ＋b )2＝1＋3·2ab ≤1＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22，得2a ＋b ≤2，又a >0，b >0，所以(2a ＋b )2＝1＋6ab >1，所以1<2a ＋b ≤2. 令t ＝2a ＋b ，t ∈(1,2]，则ab2a ＋b＝t 2－16t ＝16⎝⎛⎭⎫t －1t ，易知y ＝16⎝⎛⎭⎫t －1t 在(1,2]上是增函数，所以当t ＝2时，y ＝16⎝⎛⎭⎫t －1t 取到最大值14，故ab2a ＋b 的最大值是14，故选D.9．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( ) A ．(2,22] B ．(22，4] C ．(4,2＋22] D ．(2＋22，6]答案 C解析由题意可得tan A ＋B 2＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C2，又cos C 2≠0，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝(a ＋b )22，∴(a ＋b )2≤8，据此有a ＋b ≤22， ∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 又三角形满足两边之和大于第三边，即a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．10.如图，已知点A ，B 分别是双曲线C ：x 2－y 2＝a 2和它的渐近线上的点，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，且|OA |＝|OB |＝|OF 1|，则( )A.AF 1→·OF 1→>BF 2→·OF 2→B.AF 1→·OF 1→＝BF 2→·OF 2→C.AF 1→·AB →>BF 2→·BA →D.AF 1→·AB →＝BF 2→·BA → 答案 D解析方法一坐标法计算由于|OA |＝|OB |＝|OF 1|，所以A ，B ，F 1，F 2均在以O 为圆心，c 为半径的圆上，且∠BOF 2＝π4，不妨设c ＝2，∠AOF 1＝θ，由渐近线位置关系可知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，可得各点坐标A (－2cos θ，2sin θ)，B (2，2)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，可知AF 1→＝(－2＋2cos θ，－2sin θ)，OF 1→＝(－2,0)，BF 2→＝(2－2，－2)，OF 2→＝(2,0)，AB →＝(2＋2cos θ，2－2sin θ)．求得AF 1→·OF 1→＝4(1－cos θ)，BF 2→·OF 2→＝4－22，因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，可知AF 1→·OF 1→<BF 2→·OF 2→，故A ，B 均错误；因为AF 1→·AB →＝(－2＋2cos θ)(2＋2cos θ)－2sin θ(2－2sin θ)＝4－22＋(22－4)cos θ－22sin θ，BF 2→·BA →＝(2－2)(－2－2cos θ)－2(－2＋2sin θ)＝4－22＋(22－4)cos θ－22sin θ，可知AF 1→·AB →＝BF 2→·BA →，故D 正确．方法二向量投影计算不妨设∠AOF 1＝θ，由渐近线位置关系可知∠BOF 2＝π4，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，因为|OA |＝|OB |＝|OF 1|＝c ，作AC ⊥x 轴交x 轴于点C ，BD ⊥x 轴交x 轴于点D ，由数量积投影计算，得AF 1→·OF 1→＝AO →·OF 1→＋OF 1→2＝－|OC |·|OF 1|＋|OF 1|2， BF 2→·OF 2→＝BO →·OF 2→＋OF 2→2＝－|OD |·|OF 2|＋|OF 2|2，因为|OC |>|OD |，可得AF 1→·OF 1→<BF 2→·OF 2→，取AB 中点E ，因为A ，B ，F 1，F 2均在以O 为圆心，c 为半径的圆上，可得OE ⊥AB ，作F 1G ⊥AB 交AB 于点G ，作F 2H ⊥AB 交AB 于点H ，可得|GE |＝|EH |，所以|GA |＝|HB |，AF 1→·AB →＝－|AB |·|GA |，BF 2→·BA →＝－|BA |·|HB |，所以AF 1→·AB →＝BF 2→·BA →，故选D.11．已知i 是虚数单位，复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i.则复数z 1＝__________；若复数z 2是z 1的共轭复数，则|z 2|＝________. 答案 2－i5解析由题意得z 1＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2()1＋i (1－i )＋2＝－2i 2＋2＝2－i ，z 2是z 1的共轭复数，则它们的模相等；||z 2＝||z 1＝4＋1＝ 5.12．已知随机变量ξ的分布列为则E (ξ)＝________，D (2ξ－1)＝________. 答案 43 209解析由已知可得E (ξ)＝0×16＋1×13＋2×12＝43，D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－432×16＋⎝⎛⎭⎫1－432×13＋⎝⎛⎭⎫2－432×12＝59， ∴D (2ξ－1)＝4D (ξ)＝209.13．设直线l 1：x －2y ＋1＝0的倾斜角为α，直线l 2：x －my ＋1＝0的倾斜角为β，满足α＋β＝π4，且l 2截圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －p ＝0所得的弦长为6，则m ＝________，p ＝________. 答案 3 4解析因为直线l 1：x －2y ＋1＝0的倾斜角为α，所以l 1的斜率k 1＝tan α＝12，因为直线l 2：x －my ＋1＝0的倾斜角为β，且满足α＋β＝π4，所以l 2的斜率k 2＝1m ＝tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝tan π4－tan α1＋tan α·tan π4＝1－121＋12×1＝13，所以m ＝3，则l 2：x －3y ＋1＝0，又圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝p ＋5，由此可知直线l 2：x －3y ＋1＝0过圆心(2,1)，则所截弦长为2p ＋5＝6，故p ＝4.14．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2x ，y ≥x ，y ＋x ≤4，则z ＝y －4x 的取值范围是________；z ＝y －4|x |的取值范围是________．答案 [－6,24] [－8,4]解析作出不等式组表示的平面区域(阴影部分包含边界)，由图知，当目标函数z ＝y －4x 经过点A (2,2)时取得最小值2－4×2＝－6，经过点B (－4,8)时取得最大值8－4×(－4)＝24，所以z ＝y －4x 的取值范围是[－6,24]；z ＝y －4|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧y ＋4x ，x <0，y －4x ，x ≥0，由图知，当x <0时，z ＝y＋4x ，在点B (－4,8)处取得最小值8＋4×(－4)＝－8，在点C (0,4)处取得最大值4，所以当x <0时，z ∈[－8,4)，当x ≥0时，z ＝y －4x 在点A (2,2)处取得最小值2－4×2＝－6，在点C (0,4)处取得最大值4－4×0＝4，所以当x ≥0时，z ∈[－6,4]，所以z ＝y －4|x |的取值范围是[－8,4]．15．(2019·浙江省宁波市镇海中学模拟)一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有________．答案 75 解析分类讨论由题意可转化为蜜蜂经过5次变换分别为{－1,1，－2,2}中一个，由0变为3， N 1：2，－2,1,1,1：N 1＝A 25＝20，N 2：2,2，－1－1,1：N 2＝C 25×C 13＝30， N 3：2，－2,2,2，－1：N 3＝C 15×C 14＝20，N 4：1，－1,1,1,1：N 4＝C 15＝5，所以共75种方法．16．(2013·浙江)设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab ＝________. 答案－1解析当x ＝0时，得0≤b ≤1，当x ＝1时，得a ＋b ＝0，∴a ＝－b ∈[－1,0]．当x ≥0时，x 4－x 3＋ax ＋b ＝x 4－x 3＋ax －a ＝x 3(x －1)＋a (x －1)＝(x －1)(x 3＋a )≤(x 2－1)2 ①当x ＝1时，a ∈R .②当x >1时，a ≤x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54恒成立．则a ≤－1.③当0≤x <1时，a ≥x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54恒成立．则a ≥－1. 综上知：a ＝－1.∴b ＝1.可以验证当x ≥0时，0≤x 4－x 3－x ＋1恒成立． ∴ab ＝－1.17．在内切圆圆心为M 的△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，在平面ABC 内，过点M 作动直线l ，现将△ABC 沿动直线l 翻折，使翻折后的点C 在平面ABM 上的射影E 落在直线AB 上，点C 在直线l 上的射影为F ，则|EF ||CF |的最小值为________．答案 810－25解析画出图象如图所示．由l ⊥C 1F ，l ⊥C 1E ，可得l ⊥平面C 1EF ，所以C ，F ，E 三点共线．以AB ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则A (－3,0)，C (0,4)，M (－1,1)，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，则直线CE 的方程为y ＝－1k x ＋4.令y ＝0，求得x E ＝4k ，而y E＝0.所以E (4k ,0)．由点到直线的距离公式可计算得|EF |＝|4k 2＋k ＋1|1＋k 2，|CF |＝||3－k 1＋k 2，所以||EF ||CF ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2＋k ＋1k －3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4()k －3＋40k －3＋25≥24()k －3·40k －3－25＝810－25，当且仅当k ＝3－10时等号成立．即最小值为810－25.。

【2020高考数学《大二轮专题复习与增分策略》浙江版】专题一第2讲

第2讲三角恒等变换与解三角形热点一三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2 021π3等于( ) A.23 B.13 C ．－23 D ．－13 答案 B解析 cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2 021π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3＋673π，＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3＋π＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3， ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝33， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2 021π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3 ＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π3－1＝－⎝⎛⎭⎫23－1＝13.(3)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 答案 C解析因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)已知sin α＝cos α＋12，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________．答案－142解析由sin α＝cos α＋12，得1－2sin α·cos α＝14，即有sin αcos α＝38.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＋cos α＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α＝72. 从而cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( ) A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案 B解析 tan α＝cos 2β1－sin 2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β＝(cos β＋sin β)(cos β－sin β)(cos β－sin β)2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＝π4＋β，即α－β＝π4. 热点二正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C ＝sin 2A . (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝1，求a 的最小值．解 (1)由正弦定理得：b 2＋c 2－2bc ＝a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)S ＝12bc sin A ＝1，从而bc ＝22，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4≥42－4(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，故a min ＝22－1.思维升华关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2019·杭州外国语学校模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝bc cos C ＋c 2cos B . (1)求B 的大小；(2)若△ABC 的面积为2534，且b ＝5，求sin A ＋sin C .解 (1)由余弦定理可得2ac cos B ＝bc cos C ＋c 2cos B ， ∴2a cos B ＝b cos C ＋c cos B ，由正弦定理可得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )＝sin A .∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝2534，∴ac ＝25.①又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝25，② 由①②可得a ＝c ＝5，∴△ABC 为等边三角形，sin A ＝sin C ＝32， ∴sin A ＋sin C ＝ 3.热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 已知函数f (x )＝4sin x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值和f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解 (1)f (x )＝4sin x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫cos x cos π3＋sin x sin π3－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝3，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝3，A ∈(0，π)，得A ＝2π3，又a ＝3，由余弦定理得3＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ，所以bc ≤1，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ≤34，当且仅当b ＝c ＝1时，取得最大值34. 思维升华解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解．跟踪演练3 已知函数f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，角C 为锐角且f (C )＝－3，求ab 的最大值．解 (1)f (x )＝sin 2x －3(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3，令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)∵f (C )＝－3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2C －π3＝0， ∴C ＝π6或C ＝2π3(舍去)．当C ＝π6时，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，即a 2＋b 2－3＝3ab ≥2ab －3， ∴ab ≤6＋33，当且仅当a ＝b 时，ab 取得最大值6＋3 3.真题体验1．(2019·浙江，14)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________. 答案1225 7210解析在Rt △ABC 中，易得AC ＝5，sin C ＝AB AC ＝45.在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BCsin ∠BDC ×sin ∠BCD ＝322×45＝1225，sin ∠DBC ＝sin [π－(∠BCD ＋∠BDC )]＝sin(∠BCD ＋∠BDC )＝sin ∠BCD ·cos ∠BDC ＋cos ∠BCD ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.又∠ABD ＋∠DBC ＝π2，所以cos ∠ABD ＝sin ∠DBC ＝7210. 2．(2018·浙江，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________. 答案2173 解析如图，由正弦定理a sin A ＝b sin B，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．3．(2017·浙江，14)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________. 答案152104解析依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14，所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC＝12×2×2×154＝152. 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理得，cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.押题预测1．已知sin 2α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________．答案1010解析因为2⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2－2α，则2α＝π2－2⎝⎛⎭⎫π4－α，所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α，所以45＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α，所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝110，又π4－α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1010.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝30°，C ＝45°，c ＝3，点P 是平面ABC 内的一个动点，若∠BPC ＝60°，则△PBC 面积的最大值是________．答案938解析 ∵A ＝30°，C ＝45°，c ＝3， ∴由正弦定理a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c ·sin Asin C ＝3×1222＝322.又∠BPC ＝60°，∴在△PBC 中，令PB ＝m ，PC ＝n ，由余弦定理可得cos ∠BPC ＝m 2＋n 2－922mn ＝12，∴m 2＋n 2－92＝mn ≥2mn －92(当且仅当m ＝n ＝322时等号成立)，∴mn ≤92，∴(S △PBC )max ＝12mn sin ∠BPC ＝938.3．已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m ＞0)的最大值为2. (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，f ⎝⎛⎭⎫A －π4＋f ⎝⎛⎭⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．解 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2，而m ＞0，于是m ＝2， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )． (2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝23，化简f ⎝⎛⎭⎫A －π4＋f ⎝⎛⎭⎫B －π4＝46sin A sin B ，得 sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，即a 2＋b 2－ab ＝9，即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0. 解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝334.A 组专题通关1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79 C ．－79 D ．－89 答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33 C ．－33D ．－ 3 答案 D解析因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2cos B ＝ac ，则该三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形答案 A解析由2cos B ＝ac 及余弦定理得2×a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－b 2ac ＝a c ，整理得c 2＝b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．4．已知锐角△ABC 外接圆的半径为2，AB ＝23，则△ABC 周长的最大值为( ) A ．4 3 B ．6 3 C ．8 3 D ．12 3 答案 B解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵锐角△ABC 外接圆的半径为2，AB ＝23， ∴c sin C ＝2R ，即23sin C＝4， ∴sin C ＝32，又C 为锐角， ∴C ＝π3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B＝4，得a ＝4sin A ，b ＝4sin B ，又c ＝23，∴a ＋b ＋c ＝4sin A ＋4sin B ＋2 3＝23＋4sin B ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B＝6sin B ＋23cos B ＋23＝43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋23， ∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时， a ＋b ＋c 取得最大值43＋23＝6 3.5．已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3答案 D解析方法一由tan 2α有意义，α为锐角可得α≠45°，∵α为锐角，∴tan α>0，∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋3(1－tan 2α)2tan α＝12⎝⎛⎭⎫tan α＋3tan α ≥12×2tan α·3tan α＝3，当且仅当tan α＝3tan α，即tan α＝3，α＝π3时等号成立．故选D. 方法二 ∵α为锐角，∴sin α>0，cos α>0， ∴2tan α＋3tan 2α＝2sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＝4sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝12⎝⎛⎭⎫sin αcos α＋3cos αsin α≥12×2sin αcos α·3cos αsin α＝3，当且仅当sin αcos α＝3cos αsin α，即α＝π3时等号成立．故选D.6．(2019·黄冈调研)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且C ＝π4，c ＝2，a ＝x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( ) A.2<x <1 B.2<x <2 C ．1<x <2D ．1<x < 2答案 B解析在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即x sin A ＝2sin π4，可得sin A ＝12x ，由题意得，当A ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4且 A ≠π2时，满足条件的△ABC 有两个，所以22<12x <1，解得2<x <2，则x 的取值范围是()2，2. 7．设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为r 与R ，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________；当BC ＝1时，△ABC 的面积为________．答案－14 31516解析 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，∴由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4.令a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4t 2＋9t 2－16t 212t 2＝－14， ∴sin C ＝154. 当BC ＝1时，AC ＝32， ∴S △ABC ＝12×1×32×154＝31516. 8．在△ABC 中，AD 为边BC 上的中线，AB ＝1，AD ＝5，B ＝45°，则sin ∠ADC ＝________，AC ＝________. 答案 210 113解析在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B，则sin ∠ADB ＝AB sin B AD ＝1×225＝210，则sin ∠ADC ＝sin(π－∠ADB )＝sin ∠ADB ＝210. 在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即52＝12＋BD 2－2BD cos 45°，解得BD ＝42(舍负)，则BC ＝2BD ＝82，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝12＋(82)2－2×1×82cos 45°＝113，所以AC ＝113.9.如图，在△ABC 中，BC ＝2，∠ABC ＝π3，AC 的垂直平分线DE 与AB ，AC 分别交于点D ，E ，且DE ＝62，则BE 2＝________.答案 52＋ 3 解析如图，连接CD ，由题设，有∠BDC ＝2A ，所以CD sin π3＝BC sin 2A ＝2sin 2A ，故CD ＝3sin 2A. 又DE ＝CD sin A ＝32cos A ＝62，所以cos A ＝22，而A ∈(0，π)，故A ＝π4，因此△ADE 为等腰直角三角形，所以AE ＝DE ＝62. 在△ABC 中，∠ACB ＝5π12，所以AB sin 5π12＝2sin π4，故AB ＝3＋1，在△ABE 中，BE 2＝(3＋1)2＋⎝⎛⎭⎫622－2×(3＋1)×62×22＝52＋ 3. 10．(2019·绍兴一中模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝2c sin C ，△ABC 的面积S ＝abc .(1)求角C ；(2)求△ABC 周长的取值范围．解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝－12，∴C ＝2π3. (2)由(1)知2c ＝sin C ，∴2a ＝sin A,2b ＝sin B .△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝12(sin A ＋sin B ＋sin C )＝12⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋34 ＝12⎝⎛⎭⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋34＝12⎝⎛⎭⎫12sin A ＋32cos A ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋34. ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， ∴A ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3∈⎝⎛⎦⎤32，1， ∴△ABC 的周长的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2＋34. B 组能力提高11．已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( )A ．－43或0 B.43或0 C ．－43D.43答案 A解析因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2，解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，即tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43.12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos 2A －B 2＋cos C ＝32，且△ABC 的面积为14c 2，则C 等于( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 A解析 2cos 2A －B 2＋cos C ＝cos(A －B )＋1－cos(A ＋B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＋1－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2sin A sin B ＋1＝32⇒sin A sin B ＝14， S △ABC ＝12ab sin C ＝14c 2⇒12sin A sin B sin C ＝14sin 2C ⇒sin C ＝12(sin C ≠0)， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π6或C ＝5π6，又cos C ＝32－2cos 2A －B 2≥32－2＝－12， ∴C ＝π6. 13．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S ＝a 24，给出以下结论：①sin A ＝2sin B sin C ；②tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ；③tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ；④tan A tan B tan C 有最小值8.其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析由S ＝a 24＝12ab sin C ，得a ＝2b sin C ，又a sin A ＝b sin B，得sin A ＝2sin B sin C ，故①正确；由sin A ＝2sin B sin C ，得sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同时除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，故②正确；因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B，且tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ，所以tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C ，整理移项得tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，故③正确；由tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，tan A ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1，且tan A ，tan B ，tan C 都是正数，得tan A tan B tan C ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1·tan B tan C ＝2tan B tan Ctan B tan C －1·tan B tan C ＝2(tan B tan C )2tan B tan C －1，设m ＝tan B tan C －1，则m >0，tan A tan B tan C ＝2(m ＋1)2m＝2⎝⎛⎭⎫m ＋1m ＋4≥4＋4m ·1m ＝8，当且仅当m ＝tan B tan C －1＝1，即tan B tan C ＝2时取“＝”，此时tan B tan C ＝2，tan B ＋tan C ＝4，tan A ＝4，所以tan A tan B tan C 的最小值是8，故④正确，故选D.14．(2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；c a的取值范围是________．答案 π3(2，＋∞) 解析由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B .又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ，∴tan B ＝3，又∠B ∈(0，π)，∴∠B ＝π3. 又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A >π2， ∴0<∠A <π6. 由正弦定理得c a ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－∠A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A. ∵0<tan A <33， ∴1tan A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即c a>2. ∴c a的取值范围是(2，＋∞)．15．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2.(1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；(2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．解 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β.因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1. 又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4. (2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3. 由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24. 因为AD >BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144. 因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74. 所以△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． 16．已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝135°，则AP 的最小值为________．答案 17－ 2解析设∠PBC ＝θ，∠BCP ＝α，因为∠BPC ＝135°，所以θ＋α＝45°，则α＝45°－θ，所以cos α＝cos(45°－θ)＝22(cos θ＋sin θ)， sin α＝sin(45°－θ)＝22(cos θ－sin θ)，在Rt △ABC 中，可得cos C ＝213，sin C ＝313，则cos ∠ACP ＝cos(C －α)＝cos C cos α＋sin C sin α＝213×22(cos θ＋sin θ)＋313×22(cos θ－sin θ) ＝52213cos θ－2213sin θ，在△BCP 中，由正弦定理得 PC sin θ＝BC sin ∠BPC ＝2sin135°＝22，则PC ＝22sin θ，在△ACP 中，由余弦定理可得AP 2＝AC 2＋PC 2－2AC ·PC cos ∠ACP＝()132＋(22sin θ)2－2×13×22sin θ· ⎝ ⎛⎭⎪⎫52213cos θ－2213sin θ ＝13＋12sin 2θ－20sin θcos θ＝13＋12×1－cos 2θ2－10sin 2θ ＝19－(6cos 2θ＋10sin 2θ)＝19－234sin(2θ＋φ)，且0°<2θ<90°，tan φ＝35. 所以当2θ＋φ＝90°时，取得最小值，此时AP 2＝19－234，所以AP 的最小值为19－234＝17－ 2.。

(浙江专用)2020高考数学二轮复习高考仿真模拟练(二)

高考仿真模拟练(二)(时间：120分钟；满分：150分)选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝x－1}，则( )A．M＝P B．M⊆PC．P⊆M D．M∩P＝∅2．已知m1－i＝1＋n i，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋n i在复平面内对应的点到坐标原点的距离为( )A. 3 B．3C. 5 D．53．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于( ) A．2 B．－1C．1 D．－25．函数y＝(2x－1)e x的图象是( )6．已知O是坐标原点，若点M(x，y)为平面区域{x＋y≥2x≤1y≤2上的一个动点，则目标函数z＝－x＋2y的最大值是( )A．0 B．1C．3 D．47．设随机变量X的概率分布列如下表所示：若F(x)＝P(A.13B.16C.12D.568．已知单位向量a ，b 满足|2a －b |＝2，若存在向量c ，使得(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，62＋1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤62－1，62C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤62－1，62＋1D ．[6－1，6＋1]9.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15 B.25 C.35D.4510．已知函数f (x )＝x ＋2bx＋a ，x ∈[a ，＋∞)，其中a >0，b ∈R ，记m (a ，b )为f (x )的最小值，则当m (a ，b )＝2时，b 的取值范围为( )A ．b >13B ．b <13C ．b >12D ．b <12二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．双曲线x 2－y 23＝1的离心率是________，渐近线方程是________．12.一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为________，正四棱锥的体积为________．13．已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2a sin B ＝3b ，b ＝2，c ＝3，AD 是内角的平分线，则BC ＝________，BD ＝________．14．在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，则数列{a n }的通项公式为________．若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，则数列{b n }的前n 项和S n 为________．15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．16．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为________．17．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的取值范围．19.(本题满分15分)如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，侧棱AA1⊥底面ABCD，M是AC的中点，∠BAD＝120°，AA1＝AB.(1)证明：MD1∥平面A1BC1；(2)求直线MA1与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．(本题满分15分)已知f(x)＝e x－a ln x(a∈R)．(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a＝－1时，若不等式f(x)>e＋m(x－1)对任意x∈(1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围．21.(本题满分15分)如图，已知直线PA ，PB ，PC 分别与抛物线y 2＝4x 交于点A ，B ，C 与x 轴的正半轴分别交于点L ，M ，N 且|LM |＝|MN |，直线PB 的方程为2x －y －4＝0.(1)设直线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2＝k 1k 2； (2)求S △PABS △PBC的取值范围．22．(本题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a 2n，n ∈N *.记S n ，T n 分别是数列{a n }，{a 2n }的前n 项和．证明：当n ∈N *时，(1)a n ＋1＜a n ； (2)T n ＝1a 2n ＋1－2n －1；(3)2n －1＜S n ＜2n .高考仿真模拟练(二)1．解析：选B.因为集合M ＝{y |y >0}，P ＝{y |y ≥0}，故M ⊆P ，选B.2．解析：选C.法一：由已知可得m ＝(1＋n i)(1－i)＝(1＋n )＋(n －1)i ，因为m ，n 是实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧n －1＝0，n ＋1＝m ，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，即m ＋n i ＝2＋i ，m ＋n i 在复平面内对应的点为(2，1)，其到坐标原点的距离为5，故选C.法二：m 1－i ＝m （1＋i ）1－i 2＝m 2＋m 2i ＝1＋n i ，故⎩⎪⎨⎪⎧m2＝1，m 2＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，m ＋n i 在复平面内对应的点到坐标原点的距离为22＋12＝ 5.3．解析：选A.根据已知条件，由于直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，如果两个平面平行α∥β，则必然能满足l ⊥m ，反之，如果l ⊥m ，则对于平面α，β可能是相交的，故条件能推出结论，但是结论不能推出条件，故选A.4．解析：选C.题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C. 5．解析：选A.令y ＝(2x －1)e x＝0，解得x ＝12，函数有唯一的零点，故排除C 、D.当x →－∞时，e x→0，所以y →0，故排除B.故选A.6.解析：选D.作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图所示，由图知当点M 为点C (0，2)时，目标函数z ＝－x ＋2y 取得最大值，即为－1×0＋2×2＝4，故选D.7．解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.8．解析：选C.如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OA ′→＝2a ，因为|2a －b |＝2，所以△OA ′B 是等腰三角形．因为(c －2a )·(c －b )＝0，所以(c －2a )⊥(c －b )，即A ′C ⊥BC ，所以△A ′BC是直角三角形，所以C 在以A ′B 为直径，1为半径的圆上．取A ′B 的中点M ，因为cos ∠A ′BO ＝14，所以OM 2＝1＋1－2×1×1×14＝32，即OM ＝62，所以|c |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤62－1，62＋1.9．解析：选D.连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45. 10．D11．2 y ＝±3x12．解析：由正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图如图，则该正四棱锥的正视图为三角形PEF (E ，F 分别为AD ，BC 的中点)，因为正四棱锥的所有棱长均为2，所以PB ＝PC ＝2，EF ＝AB ＝2，PF ＝3，所以PO ＝PF 2－OF 2＝3－1＝2，所以该正四棱锥的正视图的面积为 12×2×2＝2；正四棱锥的体积为13×2×2×2＝423.答案： 242313．解析：由2a sin B ＝3b 及正弦定理得2sin ∠BAC ·sin B ＝3sin B ，所以sin ∠BAC ＝32. 因为∠BAC 为锐角，所以∠BAC ＝π3.因为AD 是内角平分线，所以BD DC ＝AB AC ＝c b ＝32.由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7，BD ＝357.答案：7357 14．解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝8，所以q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n.设数列{b n }的公差为d ，因为b 3＝a 3＝23＝8，b 5＝a 5＝25＝32，且{b n }为等差数列，所以b 5－b 3＝24＝2d ，所以d ＝12，所以b 1＝b 3－2d ＝－16，所以S n ＝－16n ＋n （n －1）2×12＝6n 2－22n .答案：2n6n 2－22n15．解析：把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.答案：6016．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ，易知此时|PA |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|12＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2 17．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22所以x 1＋x 2＝5.答案：518．解：(1)由题意得f (x )＝32sin 2x ＋12sin x cos x ＝12sin(2x －π3)＋34，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π. (2)由0≤x ≤π2知，－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以函数f (x )的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12＋34.19．解：(1)证明：连接B 1D 1交A 1C 1于点E ，连接BE ，BD . 因为ABCD 为菱形，所以点M 在BD 上，且ED 1∥BM ，又ED 1＝BM ，故四边形ED 1MB 是平行四边形，则MD 1∥BE ，又BE ⊂平面A 1BC 1，MD 1⃘平面A 1BC 1，因此，MD 1∥平面BC 1A 1.(2)由于A 1B 1C 1D 1为菱形，所以A 1C 1⊥B 1D 1，又ABCD A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，有A 1C 1⊥BB 1，则A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ，因此，平面BB 1D 1D ⊥平面BC 1A 1.过点M 作平面BB 1D 1D 和平面BC 1A 1交线BE 的垂线，垂足为H ，得MH ⊥平面BC 1A 1. 连接HA 1，则∠MA 1H 是直线MA 1与平面BC 1A 1所成的角．设AA 1＝1，因为ABCD 是菱形且∠BAD ＝120°，则AM ＝12，MB ＝32.在Rt △MAA 1中，由AM ＝12，AA 1＝1，得MA 1＝52.在Rt △EMB 中，由MB ＝32，ME ＝1，得MH ＝217. 所以sin ∠MA 1H ＝MH MA 1＝210535. 20．解：(1)由f (x )＝e x－a ln x ，则f ′(x )＝e x－a x，f ′(1)＝e －a ，切点为(1，e)，所求切线方程为y －e ＝(e －a )(x －1)，即(e －a )x －y ＋a＝0.(2)由f (x )＝e x－a ln x ，a ＝－1，原不等式即为e x＋ln x －e －m (x －1)>0. 记F (x )＝e x＋ln x －e －m (x －1)，F (1)＝0. 依题意有F (x )>0对任意x ∈(1，＋∞)恒成立，求导得F ′(x )＝e x＋1x－m ，F ′(1)＝e ＋1－m ，令g (x )＝e x＋1x－m ，则g ′(x )＝e x－1x2，当x >1时，g ′(x )>0，则F ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，有F ′(x )>F ′(1)，若m ≤e ＋1，符合题意；若m >e ＋1，则F ′(1)<0，又F ′(ln m )＝1ln m>0，故存在x 1∈(1，ln m )，使F ′(x 1)＝0，当1<x <x 1时，F ′(x )<0，F (x )在(1，x 1)上单调递减，F (x )<F (1)＝0，舍去．综上，实数m 的取值范围是(－∞，e ＋1]．21．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x2x －y －4＝0，解得x ＝1，4，由图象可知，P (1，－2)，易知M (2，0)，由题意可设L (2－t ，0)，N (2＋t ，0)，0<t <2，所以k 1＝21－t (t ≠1)，k 2＝21＋t ，所以1k 1＋1k 2＝1－t 2＋1＋t2＝1，故k 1＋k 2＝k 1k 2.(2)由(1)得，l PA ：2x ＋(t －1)y ＋2t －4＝0，0<t <2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x 2x ＋（t －1）y ＋2t －4＝0⇒y 2＋(2t －2)y ＋4t －8＝0，得A ((2－t )2，4－2t )，同理可得B ((2＋t )2，4＋2t )．设A 点到PB 的距离为d 1，C 点到PB 的距离为d 2，所以d 1＝|2（2－t ）2－（4－2t ）－4|5＝|2t 2－6t |5，d 1＝|2（2＋t ）2－（4＋2t ）－4|5＝|2t 2＋6t |5所以S △PAB S △PBC ＝d 1d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －3t ＋3＝3－t 3＋t ＝63＋t－1. 因为0＜t ＜2，所以S △PAB S △PBC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫15，1. 22．证明：(1)由a 1＝1及a n ＋1＝a n 1＋a 2n 知a n ＞0，故a n ＋1－a n ＝a n 1＋a 2n －a n ＝－a 3n 1＋a 2n＜0，所以a n ＋1＜a n ，n ∈N *.(2)由1a n ＋1＝1a n＋a n ，得1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2，从而1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2＝1a 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋2×2＝…＝1a 21＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＋2n ，又a 1＝1，所以T n ＝1a 2n ＋1－2n －1，n ∈N *. (3)由(2)知，a n ＋1＝1T n ＋2n ＋1，由T n ≥a 21＝1，得a n ＋1≤12n ＋2. 所以，当n ≥2时，a n ≤12n ＝22n ＜2n ＋n －1＝2(n －n －1)，由此S n ＜a 1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)]＝1＋2(n －1)＜2n ，又a 1＝1，故S n ＜2n .另一方面，由a n ＝1a n ＋1－1a n ，得 S n ＝1a n ＋1－1a 1≥2n ＋2－1＞2n －1. 综上，2n －1＜S n ＜2n ，n ∈N *.。

【2020高考数学《大二轮专题复习与增分策略》浙江版】专题一第3讲

第3讲平面向量热点一平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)如图，在△ABC 中，AB ＝3DB ，AE ＝2EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝⎛⎭⎫25，25B.⎝⎛⎭⎫14，13C.⎝⎛⎭⎫37，37D.⎝⎛⎭⎫25，920答案 A解析由D ，F ，C 三点共线，可得存在实数λ，使得DF →＝λDC →，即AF →－AD →＝λ(AC →－AD →)，则AF →＝(1－λ)AD →＋λAC →＝23(1－λ)AB →＋λAC →＝23(1－λ)a ＋λb . 由E ，F ，B 三点共线，可得存在实数μ，使得EF →＝μEB →，即AF →－AE →＝μ(AB →－AE →)，则AF →＝μAB →＋(1－μ)AE →＝μAB →＋23(1－μ)AC →＝μa ＋23(1－μ)b .又a ，b 不共线，由平面向量基本定理可得⎩⎨⎧23(1－λ)＝μ，λ＝23(1－μ)，解得⎩⎨⎧λ＝25，μ＝25，所以AF →＝25a ＋25b .所以x ＝25，y ＝25，即(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫25，25，故选A. (2)已知W 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝120°，设AW →＝λ1AB →＋λ2AC →，则2λ1＋λ2＝________. 答案 3解析以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示，根据已知条件可知A (0,0)，B (4,0)，C (－1，3)．根据外心的几何性质可知W 在直线x ＝2上． AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，AC 的斜率为－3，故AC 中垂线的斜率为33，故中垂线所在方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x ＋12，令x ＝2，解得W ⎝⎛⎭⎫2，433. 由AW →＝λ1AB →＋λ2AC →，得⎝⎛⎭⎫2，433＝λ1()4，0＋λ2()－1，3，解得λ1＝56，λ2＝43，所以2λ1＋λ2＝53＋43＝3.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析设BP →＝kBN →，因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝⎛⎭⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，又AB →，AC →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)已知A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，过点P (m,0)的直线分别与线段AC ，BC 交于点M ，N (点M ，N 不同于点A ，B ，C )，且OA →＝xOM →＋yON →(x ，y ∈R )，若2≤|m |≤3，则x ＋y 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，－13∪⎣⎡⎦⎤13，12 解析设OP →＝λOA →，则有|λ|＝|OP →||OA →|＝|m |，∵M ，N ，P 三点共线，且点O 不在直线MN 上，∴OP→＝nOM →＋(1－n )ON →.从而有nOM →＋(1－n )ON →＝λx OM →＋λy ON →，又OM →与ON →是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝n ，λy ＝1－n ，得x ＋y ＝1λ.由2≤|λ|≤3，得x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，－13∪⎣⎡⎦⎤13，12. 热点二平面向量的数量积 1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.3．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．例2 (1)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤255，22 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)，故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)，则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝(2－2λ)2＋(2－4λ)2＝20⎝⎛⎭⎫λ－352＋45，当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值22，当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎡⎦⎤255，22.(2)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1答案 B解析方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，图①B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.方法三 (极化恒等式)设BC 的中点为O ，OA 的中点为M ，连接OP ，PM ，如图③图③∴P A →·(PB →＋PC →)＝2PO →·P A →＝2|PM →|2－12|AO →|2＝2|PM →|2－32≥－32.当且仅当M 与P 重合时取等号．思维升华 (1)数量积的计算通常有以下几种方法：数量积的定义、坐标运算、极化恒等式、数量积的几何意义．(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值为________．答案 13解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当t ＝12时等号成立．(2)在△ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值为________．答案154解析方法一设EF 的中点为M ，连接CM ，则CM ＝12，即点M 在如图所示的圆弧上，则DE →·DF →＝|DM →|2－|EM →|2＝|DM →|2－14≥⎪⎪⎪⎪CD －122－14＝154. 方法二 (极化恒等式) 设EF 的中点为M ，连接CM . 则|CM →|＝12，即点M 在如图所示的圆弧上，则DE →·DF →＝|DM →|2－|EM →|2＝|DM →|2－14≥⎪⎪⎪⎪|CD →|－122－14＝154.真题体验1．(2017·浙江，10)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3答案 C解析 ∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →，又OB →与CA →所成角为钝角， ∴I 1－I 2＜0，即I 1＜I 2. ∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB －|OC →||OD →|cos ∠COD ＝cos ∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)，又∠AOB 为钝角，OA ＜OC ，OB ＜OD ， ∴I 1－I 3＞0，即I 1＞I 3. ∴I 3＜I 1＜I 2，故选C.2．(2016·浙江，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a·e |＋|b·e |≤6，则a·b 的最大值是________．答案 12解析由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b|a ＋b |，则|a·e |＋|b·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a·(a ＋b )|a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·(a ＋b )|a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a·(a ＋b )|a ＋b |＋b·(a ＋b )|a ＋b | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋b )·(a ＋b )|a ＋b |＝|a ＋b |.∵|a·e |＋|b·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a·b ≤6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a·b ≤6， ∴a·b ≤12，∴a·b 的最大值为12.3．(2019·浙江，17)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1 AB →＋λ2 BC →＋λ3 CD →＋λ4 DA →＋λ5 AC →＋λ6 BD →|的最小值是________，最大值是________．答案 0 2 5解析以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5.押题预测1.如图，已知圆O 的半径为2，A ，B 是圆O 上任意两点，且∠AOB ＝2π3，PQ 是圆O 的直径，若点C 满足OC →＝3λOA →＋3(1－λ)OB →(λ∈R )，当CP →·CQ →取得最小值时，λ的值为( )A.12B.13C.14D.15答案 A解析由已知得OP →＋OQ →＝0，OP →·OQ →＝－4，OA →·OB →＝2×2×cos 2π3＝－2，OA →2＝OB →2＝4，所以CP →·CQ →＝(CO →＋OP →)·(CO →＋OQ →)＝CO →2＋(OP →＋OQ →)·CO →＋OQ →·OP →＝CO →2＋OQ →·OP →＝[3λOA →＋3(1－λ)·OB →]2－4＝9λ2OA →2＋9(1－λ)2OB →2＋18λ(1－λ)OA →·OB →－4＝36λ2＋36(1－λ)2－36λ(1－λ)－4＝36(3λ2－3λ＋1)－4＝108⎝⎛⎭⎫λ－122＋5≥5，当且仅当λ＝12时取等号，所以当λ＝12时，CP →·CQ →取得最小值5.故选A.2.如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，AD ⊥BD ，|AD →|＝3，∠BAD ＝π6，CM →＝12(CA →＋CB →)，CN →＝12(CD →＋CA →)，则CM →·CN →的最大值为________．答案 14(13＋4)解析方法一 (坐标法)以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵AD ⊥BD ，|AD →|＝3，∠BAD ＝π6，∴BD ＝1，设∠CDB ＝θ，则D (0，cos θ)，B (sin θ，0)， A (3cos θ，cos θ＋3sin θ)，∵CM →＝12(CA →＋CB →)，CN →＝12(CD →＋CA →)，∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋3cos θ2，3sin θ＋cos θ2， CN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos θ2，2cos θ＋3sin θ2，则CM →·CN →＝14(5cos 2θ＋43sin θcos θ＋3sin 2θ)＝14(23sin 2θ＋cos 2θ＋4)＝14[13sin(2θ＋φ)＋4]≤14(13＋4)，故CM →·CN →的最大值为14(13＋4)．方法二 (极化恒等式法)设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，连接MN ，CH ，HG ，CG ，CM →·CN →＝|CG →|2－14|MN →|2＝|CG →|2－116，∵|CG →|≤|CH →|＋|HG →|＝12＋134，∴CM →·CN →≤⎝⎛⎭⎫12＋1342－116＝14(13＋4)，故CM →·CN →的最大值为14(13＋4)．3．已知平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，若对任意共面的单位向量e ，记|a ·e |＋|b ·e |的最大值为M ，则M 的最小值等于________．答案 2 5解析记OA →＝a ，OB →＝b ，OE →＝e ，不难发现：如图1，当〈a ，b 〉为锐角时， |a ·e |＋|b ·e |＝|PQ |≤|AB 1|＝M ＝|a ＋b |；如图2，当〈a ，b 〉为钝角时， |a ·e |＋|b ·e |＝|PQ |≤|AB |＝M ＝|a －b |；如图3，当〈a ，b 〉为直角时，|a ·e |＋|b ·e |＝|PQ |≤|AB |＝M ＝|a －b |＝|a ＋b |，由上述三种情形可知，M ＝(|a ·e |＋|b ·e |)max ＝max{|a ＋b |，|a －b |}，由平行四边形法则可知，当a ⊥b 时，M min ＝min{max{|a ＋b |，|a －b |}}＝a 2＋b 2＝2 5.A 组专题通关1．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. 故选A.2．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( ) A ．－112B.112 C ．－292D.292答案 C解析由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，xλ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 方向上的投影为( ) A.43 B ．－43 C.23 D ．－23 答案 C解析由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0，即a 2－3a·b ＝4－3a·b ＝0，a·b ＝43，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4．(2018·天津)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0 答案 C解析如图，连接MN .∵BM →＝2MA →，CN →＝2NA →， ∴AM AB ＝13＝AN AC， ∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13，∴BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)， ∴BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2) ＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.故选C.5．Rt △ABC 的斜边AB 等于4，点P 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则P A →·PB →的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，52 B.⎣⎡⎦⎤－52，52 C.[]－3，5 D.[]1－23，1＋23答案 C解析 P A →·PB →＝()PC →＋CA →·()PC →＋CB → ＝PC →2＋()CA →＋CB →·PC →＋CA →·CB →. 因为CA →·CB →＝0，PC →2＝1，||CA →＋CB →＝4，所以P A →·PB →＝1＋()CA →＋CB →·PC →，所以当PC →与CA →＋CB →同向时取最大值5，反向时取最小值－3.6．已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝π3，M 为△OAB 内一点(包括边界)，OM→＝xOA →＋yOB →，若OM →·BA →≤－1，则以下结论一定成立的是( ) A.23≤2x ＋y ≤2 B.12x ≤y C ．－1≤x －3y D.23≤x ＋y ≤1 答案 B解析因为|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝π3，则不妨设OA →＝(1,0)，OB →＝(1，3)，则OM →＝xOA →＋yOB →＝(x ＋y ，3y )，BA →＝(0，－3)，所以OM →·BA →＝－3y ≤－1，解得y ≥13.又因为点M 为△OAB 内一点(包含边界)，所以x ，y 满足的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥13，x ＋y ≤1，取x ＝0，y ＝13，此时2x ＋y ＝13<23，故A 选项不一定成立；由y ≥13，x ＋y ≤1，得x ≤23，所以x 2≤13≤y ，故B 选项一定成立；取x ＝0，y ＝1，此时x －3y ＝－3<－1，故C 选项不一定成立；取x ＝0，y ＝13，此时x ＋y ＝13<23，故D 选项不一定成立，综上所述，选B.7．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(t,2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则实数t ＝________. 答案－2解析向量a ＝(1，－1)，b ＝(t,2)，a ＋b ＝(1＋t,1)， a －b ＝(1－t ，－3)，根据(a ＋b )∥(a －b )得，－3(1＋t )＝1－t ，解得t ＝－2.8．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，则|a ＋2b |＝________；a 与a －2b的夹角为__________．答案 23π3解析由题意得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝1，所以|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝23，|a－2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝2，则cos 〈a ，a －2b 〉＝a ·(a －2b )|a ||a －2b |＝|a |2－2a ·b |a ||a －2b |＝12，所以a 与a －2b 的夹角为π3.9．在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．答案 (1，＋∞)解析 AE →＝|AE ||AD |AD →＝|AE ||AD |⎝⎛⎭⎫14AB →＋34AC →，记x ＝|AE |4|AD |∈(0，＋∞)，则λ＝x ，μ＝3x ，所以(λ＋1)2＋μ2＝(x ＋1)2＋9x 2 ＝10x 2＋2x ＋1∈(1，＋∞)．10．(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．答案 4 2 5解析设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2， ∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ.令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ.则y 2＝10＋225－16cos 2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．11.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析方法一 (几何法)设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b .AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b .CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.方法二 (坐标法)以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设C (a ,0)，A (3x ,3y )，则E (2x ,2y )，F (x ，y )，B (－a ,0)，BA →＝(3x ＋a ,3y )，CA →＝(3x －a ,3y )，BF →＝(x ＋a ，y )，CF →＝(x －a ，y )，BE →＝(2x ＋a ,2y )，CE →＝(2x －a ,2y )， ∴BA →·CA →＝9(x 2＋y 2)－a 2＝4，BF →·CF →＝x 2＋y 2－a 2＝－1，解得x 2＋y 2＝58，a 2＝138，∴BE →·CE →＝4(x 2＋y 2)－a 2＝78.方法三 (极化恒等式)设DC ＝a ，DF ＝b ，BA →·CA →＝|AD →|2－|BD →|2＝9b 2－a 2＝4. BF →·CF →＝|FD →|2－|BD →|2＝b 2－a 2＝－1，解得b 2＝58，a 2＝138，∴BE →·CE →＝|ED →|2－|BD →|2＝4b 2－a 2＝78.12．(2019·台州模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于M ，N 两点，若c 2＝a 2＋b 2，P 为圆O 上的任意一点，则PM →·PN →的取值范围为________．答案 [－6,10]解析方法一 (坐标法)以O 为坐标原点，MN 的平行线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．圆心O 到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝1，r ＝4，则M (－15，－1)，N (15，－1)，设P (4cos θ，4sin θ)，则PM →＝(－15－4cos θ，－1－4sin θ)， PN →＝(15－4cos θ，－1－4sin θ)，PM →·PN →＝16cos 2θ－15＋16sin 2θ＋8sin θ＋1＝2＋8sin θ∈[－6,10]，故PM →·PN →的取值范围为[－6,10]．方法二 (极化恒等式)圆心O 到直线ax ＋bx ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝1，则|MN |＝242－1＝215.设MN 的中点为A ，PM →·PN →＝|P A →|2－|MA →|2＝|P A →|2－15， ∵|OP →|－|OA →|≤|P A →|≤|OP →|＋|OA →|， ∴3≤|P A →|≤5，所以PM →·PN →＝|P A →|2－15∈[－6,10]．B 组能力提高13．(2019·嘉丽衢联考)已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a ⊥b ，则|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |的最小值为( ) A.29 B.29－3 2 C.19－2 3 D ．5答案 A解析设c ＝(x ，y )，a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则x 2＋y 2＝1，从而 |a ＋2c |＋|3a ＋2b －c | ＝(2x ＋1)2＋(2y )2＋(x －3)2＋(y －2)2＝3(x 2＋y 2)＋x 2＋y 2＋4x ＋1＋(x －3)2＋(y －2)2 ＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －3)2＋(y －2)2≥52＋22＝29，等号可取到．14．若平面向量a ，b ，e 满足|a |＝2，|b |＝3，|e |＝1，且a ·b －e ·(a ＋b )＋1＝0，则|a －b |的最小值为( )A ．1 B.13－4 3 C.12－4 3D.7答案 B解析方法一因为(a ＋b －e )2＝a 2＋b 2＋1＋2a ·b －2e ·(a ＋b )＝12，所以|a ＋b －e |＝23，所以23－1≤|a ＋b |≤23＋1，又因为(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)＝26，所以|a －b |＝26－(a ＋b )2≥13－43，故选B. 方法二设〈e ，a ＋b 〉＝θ，则由a ·b －e ·(a ＋b )＋1＝0得a ·b －|e |·|a ＋b |cos θ＋1＝0，所以cos θ＝1＋a ·b |a ＋b |＝1＋a ·b 13＋2a ·b ，由|cos θ|≤1得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a ·b 13＋2a ·b ≤1，解得－23≤a ·b ≤23，所以|a －b |＝13－2a ·b ∈[13－43，13＋43]，故|a －b |min ＝13－43，故选B.15．已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，233 解析如图所示，记θ＝〈β，β－α〉，由正弦定理得|β|sin 60°＝|α|sin θ，∴|α|＝sin θ×23＝233sin θ. 又0°<θ<120°，∴0<sin θ≤1.即0<|α|≤233. 16．已知|c |＝2，向量b 满足2|b －c |＝b ·c .当b ，c 的夹角最大时，|b |＝________.答案 2 2解析设〈b ，c 〉＝θ，则由2|b －c |＝b ·c 得4(b －c )2＝(b ·c )2，即4|b |2sin 2θ－16|b |cos θ＋16＝0，则4cos θ＝|b |sin 2θ＋4|b |≥2|b |sin 2θ·4|b |＝4sin θ，当且仅当|b |sin 2θ＝4|b |，即|b |＝2sin θ时，等号成立，则tan θ＝sin θcos θ≤1，所以θ≤π4，当θ＝π4时，|b |＝2 2. 17．已知平面中的三个向量a ，b ，c 满足a ·b ＝1，〈a ，b 〉＝π3，c ·a ＝1，c ·b ＝2，则|c |的最小值是________．答案 233解析由a ·b ＝1，〈a ，b 〉＝π3，得|a ||b |＝2，设a ＝(t ,0)(t ＞0)，则b ＝⎝⎛⎭⎫1t ，3t ，设c ＝(x ，y )，由c ·a ＝1，c ·b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ xt ＝1，x t ＋3y t ＝2，消去t 得x 2＋3xy ＝2，由此得y ＝2－x 23x ⎝⎛⎭⎫x ＝1t ＞0，所以|c |＝x 2＋y 2＝x 2＋(2－x 2)23x 2 ＝43⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－1≥43⎝⎛⎭⎫2x 2·1x 2－1 ＝43＝233(当且仅当x ＝1时等号成立)．故|c |min ＝233.。

【2020高考数学《大二轮专题复习与增分策略》浙江版】专题二第1讲

第1讲空间几何体热点一三视图与直观图1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．例1(1)某几何体的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图可以为()答案 B解析由俯视图与正视图可知，该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱，因此其侧视图为矩形内有一条虚线，虚线靠近矩形的左边部分，只有选项B符合题意．(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．答案 2＋22解析如图，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图所示．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴这块菜地的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．跟踪演练1(1)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()答案 D解析由正视图和俯视图得该几何体可以为一个底面为等腰三角形的三棱锥和一个与三棱锥等高，且底面直径等于三棱锥的底面等腰三角形的底的半圆锥的组合体，则其侧视图可以为D选项中的图形，故选D.(2)如图所示是一个几何体的三视图及有关数据，则该几何体的棱的长度中，最长棱的长度是()A．2 3 B．2 2 C. 5 D. 3答案 B解析由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，其中P A＝PB＝AB＝AD＝BC＝CD＝2，PD＝P A2＋AD2＝22；PC＝PB2＋BC2＝22，所以最长的棱的长度为2 2.热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2 (1)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线(实线、虚线)画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为( )A ．20B ．20＋π4C ．20＋3π4D ．20＋5π4答案 B解析由三视图可得几何体如图所示，由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体，∴S ＝6×22－2×1×2－5×14π＋14×2π×2＋18×4π＝20＋π4.(2)(2019·温州模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)等于________，表面积(单位：cm 2)等于________．答案 3 12＋2 2解析根据几何体的三视图，得该几何体为以等腰梯形ABCD 与等腰梯形A 1B 1C 1D 1为底面，高为1的直四棱柱，如图，由柱体体积公式得V ＝12×(2＋4)×1×1＝3.又等腰梯形ABCD 与等腰梯形A 1B 1C 1D 1全等，面积和为12×(2＋4)×1×2＝6，矩形C 1D 1DC 的面积为2×1＝2，矩形A 1B 1BA 的面积为4×1＝4，矩形B 1C 1CB 与矩形A 1D 1DA 的面积相等，又由正视图可得BC ＝2，所以矩形B 1C 1CB 与矩形A 1D 1DA 的面积和为2×2×1＝22，所以表面积为6＋2＋4＋22＝12＋2 2.思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和． (2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪演练2 (1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B解析由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的一半底面重合，则其表面积为12×4πr 2＋πr 2＋2r ×2r ＋12×2πr ×2r ＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2，故选B.(2)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2 答案 D解析由三视图可知，该几何体是高为4的直三棱柱，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，斜边长为22，所以几何体的表面积S ＝2×12×2×2＋(2＋2＋22)×4＝20＋8 2.热点三多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．例3 (1)在三棱锥P －ABC 中，△ABC 和△PBC 均为边长为3的等边三角形，且P A ＝362，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为( ) A.13136πB.10103πC.5152πD.556π答案 C解析取BC 的中点D ，连接PD ，AD ，因为△ABC 和△PBC 均为等边三角形，所以AD ⊥BC ，PD ⊥BC ，AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ⊂平面P AD ，所以BC ⊥平面P AD ，因为△ABC 和△PBC 均为边长为3的等边三角形，所以AD ＝PD ＝332，又因为P A ＝362，P A 2＝PD 2＋AD 2，所以PD ⊥AD ，过△ABC 的外心O 1作平面ABC 的垂线，过△PBC 的外心O 2作平面PBC 的垂线，设两条垂线交于点O ，则O 为三棱锥P －ABC 外接球的球心． O 1O ＝O 2D ＝32，AO 1＝PO 2＝3，所以OA 2＝OO 21＋AO 21＝154，所以外接球的半径R ＝OA ＝152，所以三棱锥P －ABC 外接球的体积V ＝43πR 3＝5152π.(2)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )A.25π4B.25π16C.1 125π4D.1 125π16 答案 D解析把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20,24,16的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥B －KLJ 即为所求的三棱锥，其中KC 1＝9，C 1L ＝LB 1＝12，B 1B ＝16， ∴KC 1C 1L ＝LB 1B 1B，又∵∠KC 1L ＝∠BB 1L ＝90°，则△KC 1L ∽△LB 1B ，∠KLB ＝90°，故可求得三棱锥各面面积分别为S △BKL ＝150，S △JKL ＝150，S △JKB ＝250，S △JLB ＝250，故表面积为S 表＝800.三棱锥体积V ＝13S △BKL ·JK ＝1 000，设内切球半径为r ，则r ＝3V S 表＝154，故三棱锥内切球体积V 球＝43πr 3＝1 125π16.思维升华三棱锥P －ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1)点P 可作为长方体上底面的一个顶点，点A ，B ，C 可作为下底面的三个顶点．(2)P －ABC 为正四面体，则正四面体的每条棱都可作为正方体的一条面对角线．跟踪演练3 (1)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知底面ABC 为正三角形，AA 1⊥平面ABC ，AB ＝63，AA 1＝16，则该三棱柱外接球的表面积为( ) A ．400π B ．300π C ．200π D ．100π 答案 A解析如图，O ′为底面中心，O 为外接球球心，在正三角形ABC 中求得O ′A ＝6，又OO ′＝8，∴外接球半径OA ＝10， ∴S 球＝4π×100＝400π.(2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( )A.12B.13C.14D.18 答案 C 解析如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长，则12lR ＝2πr 2，即12·2π·r ·R ＝2πr 2，解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形，设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径，则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14.真题体验1.(2018·浙江，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 C解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为2,1，高为2， ∴该几何体的体积为V ＝2×⎣⎡⎦⎤12×(2＋1)×2＝6. 故选C.2．(2019·全国Ⅰ，文，16)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．答案2解析如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝(3)2－12＝ 2.押题预测1．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A．5 B．6 C．7 D．8答案 C解析由三视图可知该几何体的直观图是棱长为2的正方体去掉一个棱长为1的正方体，则该几何体的体积V＝2×2×2－1×1×1＝7.2．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为()A．6πB．12πC．32πD．36π答案 B解析因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，AC，AM ⊂平面SAC，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝22，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面积S＝4πR2＝12π，故选B.3．已知某实心机械零件的三视图如图所示，若该实心机械零件的表面积为66＋4π，则a＝________.答案 3解析根据三视图可知，该几何体是四棱柱与两个圆柱的组合体，且四棱柱的底面是边长为a的正方形，高为4的直四棱柱，圆柱体的底面圆直径为2，高为1，所以该组合体的表面积为S＝2(a2＋4a＋4a)＋2π×1×1×2＝2(a2＋8a)＋4π＝66＋4π，解得a ＝－11(舍)或a＝3.A组专题通关1．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是()A．2 B．2 2 C．2 3 D．4 答案 C解析由三视图得该几何体如图中的三棱锥A－BCD所示，则S△ABD＝12×(22)2×32＝23，S△BCD＝12×2×2＝2，S△ABC＝S△ADC＝12×22×2＝22，所以最大面的面积为23，故选C.2．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为( )A ．16πB ．8π C.16π3 D.8π3答案 A解析 ∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，∴侧面展开图的弧长为5×8π5＝8π，设底面圆半径为r ，弧长8π＝底面周长＝2πr ，∴r ＝4， ∴圆锥的高h ＝52－42＝3，∴圆锥体积V ＝13×π×r 2×h ＝16π.3．某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是△A ′B ′C ′，如图(2)所示，其中O ′A ′＝O ′B ′＝2，O ′C ′＝3，则该几何体的表面积为( )A ．36＋12 3B ．24＋8 3C ．24＋12 3D ．36＋8 3答案 C解析由题图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为23的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,23，6，三视图还原为几何体是图中的三棱锥P －ABC ，且S △P AB ＝S △PBC ＝12×4×6＝12，S △ABC ＝12×4×23＝43，△P AC 是腰长为52，底边长为4的等腰三角形，S △P AC ＝8 3.综上可知，该几何体的表面积为2×12＋43＋83＝24＋12 3.故选C.4．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则该几何体的表面积为( )A ．6＋4πB ．6＋3πC ．9＋4πD ．9＋3π 答案 A解析根据三视图知，该几何体是半圆柱体，画出直观图如图所示，结合图中数据，计算该几何体的表面积为 S ＝2×12π·12＋12×2π·1×3＋2×3＝4π＋6.5．榫卯(sǔnmǎo )是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用．代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为( )A ．8＋16π，2＋8πB ．9＋16π，2＋8πC ．8＋16π，4＋8πD ．9＋16π，4＋8π答案 A解析由三视图知该榫头是由上下两部分构成：上方为长方体(底面为边长是1的正方形，高为2)，下方为圆柱(底面圆半径为2，高为2)．其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积，所以S ＝2×(2π×2)＋2×(π×22)＋4×(1×2)＝8＋16π. 其体积为圆柱与长方体体积之和，所以V ＝(π×22)×2＋1×1×2＝8π＋2.6．某多面体的三视图如图所示，每个小方格都是长度为1的正方形，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为( )A.618πB.69πC.63πD.13π 答案 A解析结合三视图，还原直观图，如图所示，三棱锥D －ABC 即为该几何体，结合题意可知AD ＝2，DC ＝4，点B 到平面ACD 的距离为2，故体积为V 1＝13×12×2×4×2＝83，取BD 的中点O ，结合题意可知AD ⊥平面EAB ，故∠DAB ＝90°，DC ⊥平面BCE ，可知∠DCB ＝90°，故结合直角三角形的性质可知，点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，故该三棱锥的外接球半径r ＝12BD ＝6，故外接球体积V 2＝43πr 3＝86π，故三棱锥的体积和外接球体积之比为618π.7．在三棱锥S －ABC 中，侧棱SA ⊥底面ABC ，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，SA ＝25，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.643π B.2563πC.4363πD.2 048327π答案 B解析由题意知，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos ∠ABC ，解得AC ＝7，设△ABC 的外接圆半径为r ，则△ABC 的外接圆直径2r ＝AC sin ∠ABC ＝732，∴r ＝733，又∵侧棱SA ⊥底面ABC ，∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离d ＝12SA ＝5，则外接球的半径R ＝⎝⎛⎭⎫7332＋()52＝643，则该三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝2563π. 8．某几何体的正视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧视图的图形是________．(写出所有可能的序号)答案 ①②③解析如图a 三棱锥C －ABD ，正视图与俯视图符合题意，侧视图为①；如图b 四棱锥P －ABCD ，正视图与俯视图符合题意，侧视图为②；如图c 三棱锥P －BCD ，正视图与俯视图符合题意，侧视图为③.9．如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD 是矩形，ABFE 和CDEF 都是等腰梯形，且AD ⊥平面CDEF ，现测得AB ＝20 cm ，AD ＝15 cm ，EF ＝30 cm ，AB 与EF 间的距离为25 cm ，则几何体EF －ABCD 的体积为________cm 3.答案 3 500解析在EF 上，取两点M ，N (图略)，分别满足EM ＝NF ＝5，连接DM ，AM ，BN ，CN ，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得V ＝12×20×15×20＋2×13×12×20×15×5＝3 500.10．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是________cm 3，表面积是________cm 2.答案 16 82＋46＋24解析易知该几何体是一个底面为直角梯形，一条侧棱垂直底面的四棱锥，所以该几何体的体积V ＝13×(4＋2)×42×4＝16(cm 3)，表面积为(4＋2)×42＋4×42＋4×22＋4×422＋43×222＝82＋46＋24(cm 2)．11．已知二面角α－l －β的大小为π3，点P ∈α，点P 在β 内的正投影为点A ，过点A 作AB ⊥l ，垂足为点B ，点C ∈l ，BC ＝22，P A ＝23，点D ∈β，且四边形ABCD 满足∠BCD ＋∠DAB ＝π.若四面体P ACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．答案 86π解析 ∵∠BCD ＋∠DAB ＝π， ∴A ，B ，C ，D 四点共圆，直径为AC . ∵P A ⊥平面β，AB ⊥l ，∴易得PB ⊥l ，即∠PBA 为二面角α－l －β的平面角，即∠PBA ＝π3，∵P A ＝23，∴BA ＝2，∵BC ＝22，∴AC ＝2 3. 设球的半径为R ，则23－R 2－()32＝R 2－()32，∴R ＝6，V ＝4π3(6)3＝86π.12．(2019·全国Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm ，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.答案 118.8解析由题意得长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V 四棱锥O －EFGH ＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．B 组能力提高13．若四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A.81π5B.81π20C.101π5D.101π20 答案 C解析根据三视图还原几何体为一个四棱锥P －ABCD ，如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，由于△P AD 为等腰三角形，P A ＝PD ＝3，AD ＝4，四边形ABCD 为矩形，CD ＝2，过△P AD 的外心F 作平面P AD 的垂线，过矩形ABCD 的中心H 作平面ABCD 的垂线，两条垂线交于一点O ，则O 为四棱锥外接球的球心，在△P AD 中，cos ∠APD ＝32＋32－422×3×3＝19，则sin ∠APD＝459，2PF ＝AD sin ∠APD ＝4459＝955，PF ＝9510，PE ＝9－4＝5，OH ＝EF ＝5－9510＝510，BH ＝1216＋4＝5， OB ＝OH 2＋BH 2＝5100＋5＝50510，所以S ＝4π×505100＝101π5.14．(2019·滨州模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是线段BC 1上一动点，则AP ＋DP 的最小值为( ) A.3－ 6B.3－ 3C.3＋ 3D.3＋ 6答案 D 解析根据题意可得正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①：将AP 所在平面ABC 1D 1与DP 所在平面DBC 1一并展开如图②，由图可知，AP ＋PD ＝AD 时取得最小值，则AB ＝1，BC 1＝BD ＝DC 1＝2，所以∠ABD ＝150°，在△ABD 中，由余弦定理可得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos 150°＝1＋2＋2×1×2×32＝3＋6，所以AD ＝3＋ 6. 15.如图，在侧棱长为3的正三棱锥A －BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P ，且点P 到点B 的距离始终等于23，则动点P 在三棱锥表面形成的曲线的长度为________．答案 323π解析设动点P 在三棱锥表面形成曲线是EFGH ，如图所示．则BE ＝BH ＝23，在Rt △BAH 中，cos ∠HBA ＝323＝32， ∴∠HBA ＝π6，∠HBG ＝π4－π6＝π12， ∴HG ＝23×π12＝36π，同理EF ＝36π；在Rt △HAE 中，∠HAE ＝π2，AH ＝AE ＝(23)2－32＝3，∴HE ＝π2×3＝32π，在等边三角形BCD 中，∠CBD ＝π3， ∴GF ＝23×π3＝233π，则这条曲线的长度为36π＋36π＋32π＋233π＝332π. 16．半径为3＋6的球体内装有4个半径相同的小球，则小球半径的最大值是________．答案 6解析设小球半径的最大值为r ，R ＝3＋ 6.由题意知，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体的棱长为2r ，该正四面体的中心(外接球球心)就是大球的球心，该正四面体的高为4r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫24r 2－r 232＝8r 23＝263r .设正四面体的外接球半径为x ，则x 2＝⎝⎛⎭⎫263r －x 2＋⎝⎛⎭⎫23r 32. 所以x ＝62r ，所以R ＝62r ＋r ＝3＋6，所以r ＝ 6.17．已知点A ，B ，C 在半径为2的球O 的球面上，且OA ，OB ，OC 两两所成的角相等，则当三棱锥O －ABC 的体积最大时，平面ABC 截球O 所得的截面圆的面积为________．答案 8π3解析由题意知，三棱锥O －ABC 为正三棱锥，如图所示：D 为BC 中点，OG ⊥平面ABC ，且G 为△ABC 的重心，设AB ＝x ，则AG ＝23AD ＝23×32x ＝33x ， ∴OG ＝OA 2－AG 2＝4－13x 2， V O －ABC ＝13×34x 2·4－13x 2＝112x 4(12－x 2)，令t ＝x 2∈(0,12)⇒g (t )＝t 2(12－t )⇒g ′(t )＝－3t 2＋24t ，令g ′(t )＝0，解得t ＝8，且t ∈(0,8)时，g (t )单调递增；t ∈(8,12)时，g (t )单调递减，∴x 2＝t ＝8时，三棱锥O －ABC 体积最大，此时AG 2＝⎝⎛⎭⎫33x 2＝83，平面ABC 截球O 所得的截面圆的面积S ＝π·AG 2＝83π. 18．棱长为36的正四面体A －BCD 的内切球上有一动点M ，则MB ＋13MC 的最小值为__________．答案 433解析由MB ＋13MC 结构看，需要把13MC 转化为M 点到某定点的距离．设内切球球心为O ，△ABD 的中心为Q ，由正四面体性质易求OQ ＝36，OC ＝96，BQ ＝123，且内切球的半径为36，现在只需要在直线OC 上找一个定点P ，使MP ＝13MC ，即在平面OAC 内找MP ＝13MC .设BD 的中点为N ，当M 分别在H ，Q 位置时，由MP ＝13MC ，得满足条件的只有一点P ，P 在OC 之间且OP ＝6，即MP ＝13MC ，且可证对内切球面上任意一点M ，上式均成立．所以MB ＋13MC ＝MB ＋MP ≥PB ＝PQ 2＋QB 2＝(46)2＋(123)2＝433，当M 为线段BP 与球面的交点时，取得最小值．。

2020浙江高中数学二轮专强化练解答规范练

解答题标准练二1．函数f＝2错误!in co －2co2＋11求函数f的单调递增区间；2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设满足fB＝2，a ＝8，c＝5，求co A的值．2如图，四棱锥恒成立，求实数的m最小值；2对任意的1，2∈0，2且1＜2，假设存在0∈1，2，使得f′0＝错误!，求证：0＜错误!4抛物线C：2＝4上动点＝2，2，2，那么错误!即错误!取2＝1，那么m＝1，1，2．又co〈m，n〉＝错误!＝－错误!，结合图形知，二面角H a＝f e＝错误!因为关于的不等式f≤m恒成立，所以f ma≤m，所以m≥错误!，即m的最小值为错误!2证明：因为对任意的1，2∈0，2，假设存在0∈1，2，使得f′0＝错误!，即错误!＝错误!，所以错误!2－1－[f2－f1]＝0令F＝错误!2－1－[f2－f1]，那么有F0＝0，所以F′＝错误!2－1，当∈0，2时，2n －3＜2n 2－3＜0，又有2－1＞0，所以F′＜0，即F在0，2上是减函数．又因为F错误!＝错误!2－1－[f2－f1]＝错误!2－1－错误!＝错误!错误!－错误!错误!，令错误!＝t＞1，所以F错误!＝错误!错误!，设ht＝t·错误!－错误!，所以h′t＝错误!，设t＝t－t n t－1，所以′t＝－n t＜0t＞1，所以t在1，＋∞上是减函数，所以t＜1＝′t＜0，所以ht在1，＋∞上是减函数，所以ht＜h1＝0所以F错误!＝错误!ht＜0＝F0，因为F在0，2上是减函数，所以0＜错误!4．解：1设直线P A的方程为＝＋b，那么A8－2b，8－b．设P1，1，Q2，2，由错误!得2－4＋4b＝0，所以Δ＝16－16b＞0，b＜1，错误!，又1＋8－b＝22，解得错误!或错误!，经检验都是方程的解，所以P0，0或P16，－8．2设A2t1－8，t1，B2t2－8，t2，t1，t2≥在抛物线C上，可得错误!错误!＝4错误!，整理得t错误!＋21－16t1＋64－错误!＝0，同理t错误!＋21－16t2＋64－错误!＝0，所以t1，t2是方程t2＋21－16t＋64－错误!＝0的两个不相等的非负根．所以错误!，所以－8≤1＜0于是|AB|＝错误!|t1－t2|＝2错误!错误!≤32错误!，当且仅当1＝－8时取等号．所以|AB|的最大值为32错误!5．解：1由题设a n>0，当n＝1时，a1＝错误!；当n≥2时，a错误!＝2n－2n－1＝2n－1，所以a n＝2错误!又a1＝错误!不满足a n＝2错误!，所以数列{a n}的通项公式为a n＝错误!2由1知数列{a n}的通项公式为a n＝错误!，故错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1·2错误!n≥2，记S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，那么当n≥2时，S n＝错误!＋错误!－1[错误!＋错误!2＋…＋错误!n－1]＝错误!＋错误!－1·错误!＝2错误!－错误!，故S n＝错误!当n∈N*，n≥2时，要使得2错误!－错误!>n－错误!恒成立，即2n>n2恒成立．由于当n＝4时，2n＝n2，考察函数f＝2－2的单调性，易证当>4时，函数f＝2－2单调递增，且＝4时，f＝0，所以当n≥5时，错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!>n －错误!恒成立，故所求n的取值范围是n≥5。

浙江专版2020年高考数学二轮专题复习知能专练十等差数列等比数列

一.选择题1. （2017 -苏州模拟）设，为等差数列&｝的前刀项和,&=仏，少=一2,则少=（）A. —6C ・一2解析：选A 根据等差数列的立义和性质可得， 0=4（站 + 念）=4（型+&6）,又 &=4亦所以头=0.又比=—2,所以as=—4, <29=—6.2. （2017 -全国卷III ）等差数列&｝的首项为1,公差不为0.若豪,比，灰成等比数列,则UJ 前6项的和为（）A. —24B. —3 C ・3 D ・8解析：选A 设等差数列｛站｝的公差为d,因为卞，②，念成等比数列，所以比46 =玉，即（a 】 + 0 （a 】 + 50 =（比+ 2刃又 a ： = l,所以 d +2</=0.又狞0,则d=_2、6X5所以｛去｝前6项的和3=6X1+「^X （-2） =-24・3. 已知等比数列&｝中，a ： + a 尸一2,则决&+2戲+靳）的值为（）A ・4B ・6C ・8D ・一 94. （2017 •宝鸡质检）设等差数列&｝的前n 项和为S“且S=18,,=30（n>9）,若9=336,则力的值为（） A. 18C. 20 解析：选D 因为&｝是等差数列，所以$=9比= 18,夷=2, SM 叮弘=—十 —=^X 32 = 16n=336,解得 n=21.5. （2016 •浙江髙考）如图，点列U ）, ｛&｝分别在某锐角的两边上,且|丛（=|右血B. —4 D. 2B. 19 D. 21儿工凡口 nGN\ B 占…\= 5餾』，表示点尸与Q 不重合）.若也=佔，，为△ SB 小的而枳，则（）A. ｛$｝是等差数列C ・｛也｝是等差数列 ft ｝ B t 虬…5. KrB. ｛£｝是等差数列 D ・｛旳是等差数列解析：选A 由题意，过点血£…，凡，从…分别作直线B 际的垂线，髙分别记为厶，hif hz>…，h 环A,»i,…，根据平行线的性质，得力“ hz, hz 、…，hny h,\“…成等差数列，又$=£x Bb&Xk, 磁』为定值，所以｛S,｝是等差数列.故选A.ay • ag.. a.q ___ □ «T ：A 1) • rliJ -1) ♦ 1 ♦ ••• x(fl -l) I r-1 —二、填空题7. （2017 •全国卷III ）设等比数列｛/满足业+色=一1,创一念=一3,则克= ______________ . 解析：设等比数列｛^｝的公比为G则业 + 比=& （1 + q ） = —1,比—比=由（1 —q 「）= —3,两式相除，得出=4,解得q=-2,厶=1,所以a 】 = a&= —&A •数列UJ 为等差数列, B.数列仏｝为等比数列, 公差为q公比为『C.数列｛胡为等比数列, 公比为严D •数列｛小为等比数列，公比为6・己知等比数列｛a 』的公比为 q 、记 b n = a a <^~D 41 + 4： + • • • + a,Sfl -1）1-l>+2 .......................... ArOi-l ）+>（/»,刀WN*）,则以F 结论一定正确的是（）解析：选C 等比数列｛韵的通项公式所以 6=-41 因为如丄=Cn 2 | ; ■« 5 即q", •-，’/n 2fn —1)4 (m-1)(1+m-l) in"(n —1)所以数列｛為为等比数列，公比为^015- 1M 2 =£q因为 $=4站一3,则 3c=4a“一3SM2),所以当 n^2 时，^=5,—5, !=4^-4^ 1,4整理得禺=尹“ “又a ： = lH0,4所以｛/是首项为1，公比为扌的等比数列.可得 bn =th-\- (b ：— bd + (厶一厶)+ •••+ {bn —bn 1) =21—1 n^N*).当72=1时上式也满足条件.所以数列⑹的通项公式为人=3x(#)' '— 1 (心).12. (2017 •全国卷I)记，为等比数列｛山的前c 项和.已知$=2, &=一6.(1) 求&｝的通项公式；(2) 求9，并判断S,“，S”弘七是否成等差数列.解：⑴设UJ 的公比为GE 1 + q = 2, 由题设可得L 】+卄孑=-6.故UJ 的通项公式为/=(一2)：=(~t + T v]=2^故5m S’ 成等差数列.(2)由(1)知比由 £^+i =a.o+2^(n£N*), (2)由(1)可得$= -2 X[1 — 一 2 11- -24 由于 —§+ (―1) 严_2川 3解得。

2020版高考数学浙江(含2019最新模拟题,有解析)滚动检测七 1~10章

滚动检测七(1～10章)(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{y |y ＝2x ＋1}，B ＝{x ∈Z |x 2≤5}，则A ∩B 等于( ) A ．(1，5] B ．(1,2] C ．{2} D ．{1,2} 答案 C解析由2x ＋1>1得A ＝(1，＋∞)，而B ＝{0,1，－1,2，－2}，故A ∩B ＝{2}．故选C. 2．已知命题p ：方程x 25＋k ＋y 23－k ＝1表示椭圆，命题q ：－5<k <3，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析对于p,5＋k >0,3－k >0且5＋k ≠3－k ，可得－5<k <3且k ≠－1，易知p 是q 的充分不必要条件，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <1，3x －7，x ≥1，则不等式f (x )<2的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－2,3)C ．(2,3)D ．(－3，－2)答案 A解析当x <1时，f (x )<2可化为log 2(1－x )<2，即0<1－x <4，解得－3<x <1；当x ≥1时，f (x )<2可化为3x －7<2，即3x <9，解得1≤x <2.综上，不等式f (x )<2的解集为(－3,1)∪[1,2)＝(－3,2)． 4．若函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期是π5，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A.34 B.12 C.14 D ．0 答案 A解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫ωx －π6＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2ωx －π32(ω>0)的最小正周期T ＝2π2ω＝π5，得ω＝5，所以f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫5x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫5π6－π6＝34.5．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n .若S 3＝6，S 5＝20，则S 7的值为( ) A ．32 B ．36 C ．40 D ．42 答案 D解析方法一设公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝6，S 5＝20，得⎩⎨⎧3a 1＋3×22d ＝6，5a 1＋5×42d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，从而S 7＝7×0＋7×62×2＝42.方法二设S n ＝An 2＋Bn ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝6，S 5＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9A ＋3B ＝6，25A ＋5B ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，从而得S 7＝49A ＋7B ＝42. 方法三设公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝6，S 5＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 2＝6，5a 3＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 3＝4，所以d ＝2，得a 4＝a 3＋d ＝6，所以S 7＝7a 4＝42. 方法四易知S 33，S 55，S 77成等差数列，所以2×S 55＝S 33＋S 77，得S 7＝42.6．(2018·浙江省高三调研考试)已知直线l ：y ＝x ＋b 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，从直线l 上的一点P 向圆N ：x 2＋(y －3)2＝1引切线，切点为Q ，线段PQ 长度的最小值为7，则b 的值为( )A ．－1B ．7C ．7或－1D ．2 答案 A解析由题意得M (2,0)，圆心M 到直线l 的距离 |2＋b |2<2，解得－22－2<b <22－2， |PQ |＝|PN |2－|NQ |2＝|PN |2－1，|PQ |最小，则|PN |最小，即转化为直线y ＝x ＋b 上的点与圆心N 的最小距离，设圆心N (0,3)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ，则d ＝|b －3|2＝22，解得b ＝7或－1，又－22－2<b <22－2，所以b ＝－1.7．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤6，则点P (x －y,3x ＋2y )满足的平面区域的面积为( )A ．3B ．6C ．15D ．30 答案 C解析设a ＝x －y ，b ＝3x ＋2y ，则x ＝2a ＋b 5，y ＝b －3a5，所以a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥0，b －3a ≥0，b －a ≤6，该不等式组表示的平面区域是一个以(0,0)，(－2,4)，(3,9)为顶点的三角形区域，结合图形可知(图略)，其面积S ＝12×6×(3＋2)＝15.故选C.8．已知a >0，b >0，定义H (a ，b )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ＋22－b，9a ＋2b ，则H (a ，b )的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 答案 A解析由定义H (a ，b )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ＋22－b，9a ＋2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧H (a ，b )≥a ＋22－b，H (a ，b )≥9a ＋2b，⇒2H (a ，b )≥a ＋22－b ＋9a ＋2b ，即2H (a ，b )≥⎝⎛⎭⎫a ＋9a ＋(22－b ＋2b ) ≥2a ·9a＋222－b ·2b ＝6＋4＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9a ，22－b ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1时取等号，所以H (a ，b )min ＝5.9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上一动点，若△F 1PF 2的面积为b 2，且∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率为( ) A.3＋2 B. 3 C.3＋1 D ．2 3 答案 C解析设∠F 1PF 2＝α(0<α<π)，则在△PF 1F 2中，利用余弦定理可得，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos α，即4c 2＝4a 2＋2|PF 1|·|PF 2|(1－cos α)，2b 2＝|PF 1||PF 2|(1－cos α)，|PF 1||PF 2|＝2b 21－cos α，因为12F PF S ＝12|PF 1||PF 2|sin α＝b 2sin α1－cos α＝b 2，所以sin α＝1－cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝0，又0<α<π，所以α＝π2，即∠F 1PF 2＝π2，即PF 1⊥PF 2，因为∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，所以∠PF 2F 1＝π3，∠PF 1F 2＝π6，所以|PF 1|＝3c ，|PF 2|＝c ，所以|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ，则e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选C.10．(2018·衢州模拟)如图，△BCD 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，△ABC 中∠BAC ＝90°，△ABC 沿着BC 翻折成三棱锥A －BCD 的过程中，直线AB 与平面BCD 所成的角均小于直线AC 与平面BCD 所成的角，设二面角A －BD －C ，A －CD －B 的大小分别为α，β，则( )A ．α>βB ．α<βC ．存在α＋β>πD ．α，β的大小关系不能确定答案 B解析作AH ⊥平面BCD ，分别作HM ⊥BD ，HN ⊥CD 于M ，N 两点(图略)．由AB 与平面BCD 所成的角∠ABH 总小于AC 与平面BCD 所成的角∠ACH ，则AB >AC .设O 为BC 的中点，则点H 在DO 的右侧，所以有HM >HN ，故tan α＝tan ∠AMH ＝AH HM ，tan β＝tan ∠ANH＝AHHN，因此，tan α<tan β，即α<β，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．若2－i i ＋a (i 是虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则a ＝________，|(2a ＋1)＋3i|＝________.答案 1213解析因为2－i i ＋a ＝(2－i )(a －i )(a ＋i )(a －i )＝2a －1－(2＋a )ia 2＋1，又2－ii ＋a 为纯虚数，所以2a －1＝0且2＋a ≠0，解得a ＝12，则(2a ＋1)＋3i ＝2＋3i ，所以|(2a ＋1)＋3i|＝|2＋3i|＝13.12．(2018·浙江省普通高中高考模拟)已知⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中各项系数的绝对值之和为4 096，则n ＝______，该展开式中的常数项为________．答案 6 1 215解析 ⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中各项系数的绝对值之和与⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 的展开式中各项系数之和相等，令x ＝1，则4n ＝4 096，则n ＝6.⎝⎛⎭⎫3x －1x 6的展开式的通项 T k ＋1＝C k 6(3x )6－k⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k 36－k C k 6332kx -，令3－32k ＝0，则k ＝2，T 3＝(－1)234C 26＝1 215. 13．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，该几何体的各条棱中最长棱的长度为________．答案 217解析还原该几何体，并将其放入长方体中，如图中三棱锥A －BCD 所示，则V A －BCD ＝V C －ABD ＝13×12×3×2×2＝2.经计算知，三棱锥A －BCD 的各条棱的长度分别为AB ＝3，BC ＝AD ＝22，BD ＝CD ＝5，AC ＝17，则最长棱的长度为17.14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 答案 n ·2n －1解析 a n ＋1－2a n ＝2n 两边同除以2n ＋1，可得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，12为公差的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，∴a n ＝n ·2n －1. 15．设a ，b ，e 为平面向量，若|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |的最小值为________，a ·b 的最小值为________．答案 3 54解析 ∵|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝2，∴(a ＋b )·e ＝3，设(a ＋b )与e 的夹角为θ(θ∈[0，π])，则|a ＋b |·|e |cos θ＝3，∴|a ＋b |＝3cos θ(θ∈[0，π])， ∴|a ＋b |min ＝3，当且仅当cos θ＝1即θ＝0时取最小值． ∵|e |＝1，∴不妨设e ＝(1,0)．∵a ·e ＝1，b ·e ＝2，∴可设a ＝(1，m )，b ＝(2，n )， ∴a －b ＝(－1，m －n )．∵|a －b |＝2，∴1＋(m －n )2＝2，化为(m －n )2＝3， ∴(m ＋n )2＝3＋4mn ≥0，∴mn ≥－34，当且仅当m ＝－n ＝±32时取等号．∴a ·b ＝2＋mn ≥2－34＝54.16．2017年某县为检查“精准扶贫”的落实情况，对甲、乙、丙三个镇进行重点调研，甲镇最多派3个人，乙镇最多派2个人，丙镇只派1个人．调研工作组由3男2女组成，由于该县位于偏远山区，因此女同志不单独调研，每个镇至少派1个人，则不同的分配方法有________种．答案 18解析分析知有2种分配途径：(1)甲镇派2个女同志，则必有1个男同志，有C 13种分配方法，另2个男同志分别分配在乙镇和丙镇，分配方法有A 22种，此时分配方法的种数为C 13×A 22＝6；(2)甲镇派1个女同志，乙镇派1个女同志，共A 22种分配方法，3个男同志只能每镇派1个，共有A 33种，又A 22×A 33＝12，所以共有12种分配方法．又12＋6＝18，所以共有18种分配方法．17．已知函数f (x )＝－x 2＋|x －2a |＋ax (a ∈R )，若函数f (x )在[0,1]上的值域为[1,2]，则实数a 的值为________．答案－1或1解析由题意得，1≤f (0)＝|2a |≤2，① 1≤f (1)＝a －1＋|2a －1|≤2，② 由①得12≤|a |≤1.当12≤a ≤1时，由②得，1≤3a －2≤2,1≤a ≤43，所以a ＝1，此时f (x )＝－x 2＋|x －2|＋x ，又x ∈[0,1]，所以f (x )＝－x 2＋2∈[1,2]，满足题意；当－1≤a ≤－12时，同理可得a ＝－1，此时f (x )＝－x 2＋|x ＋2|－x ，又x ∈[0,1]，所以f (x )＝－x 2＋2∈[1,2]，满足题意．故实数a 的值为－1或1.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos C ＋c cos A ＝12(a ＋c )．(1)若4sin A ＝3sin B ，求ca的值；(2)若C ＝2π3，且c －a ＝8，求△ABC 的面积．解方法一 a cos C ＋c cos A ＝12(a ＋c )，由余弦定理得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝12(a ＋c )，所以a ＋c ＝2b .方法二因为a cos C ＋c cos A ＝12(a ＋c )，所以由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12(sin A ＋sin C )，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝12(sin A ＋sin C )，由正弦定理得b ＝12(a ＋c )，即a ＋c ＝2b .(1)4sin A ＝3sin B ，由正弦定理得4a ＝3b ，所以a ＋c ＝2·43a ，所以c a ＝53.(2)由c －a ＝8，得b ＝a ＋4，c ＝a ＋8，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得(a ＋8)2＝a 2＋(a ＋4)2－2a ·(a ＋4)cos2π3，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)，所以b ＝10，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝15 3.19．(15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且∠ABC ＝120°.点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F .(1)求证：EF ∥平面P AB ；(2)若P A ＝PD ＝AD ＝2，且平面P AD ⊥平面ABCD ，求PB 与平面ABEF 所成角的正弦值． (1)证明 ∵底面ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD ，∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD ＝EF ， ∴AB ∥EF ，∵AB ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB .(2)解方法一要求PB 与平面ABEF 所成角的正弦值，只要求出点P 到平面ABEF 的距离，设点P 到平面ABEF 的距离为h ，PB 与平面ABEF 所成的角为θ，取AD 的中点G ，连接PG ，BG ，BF .∵P A ＝PD ，∴PG ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥GB ， ∵PG ＝BG ＝3，∴PB ＝6，不难求得BF ＝2，S △ABF ＝394，S △P AF ＝32，点B 到平面P AF 的距离为BG ＝3，由V P －ABF ＝V B －P AF ，可得 13S △ABF ·h ＝13S △P AF ·BG ， ∴394h ＝32，∴h ＝23913，则sin θ＝h PB ＝239136＝2613，∴PB 与平面ABEF 所成角的正弦值为2613. 方法二取AD 的中点G ，连接PG ，GB ，∵P A ＝PD ，∴PG ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ， ∴PG ⊥GB ，在菱形ABCD 中，∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°，G 是AD 中点，∴AD ⊥GB ，如图，建立空间直角坐标系Gxyz ，∵P A ＝PD ＝AD ＝2，则G (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－2，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，∵AB ∥EF ，E 是棱PC 的中点， ∴F 是棱PD 的中点，∴E ⎝⎛⎭⎫－1，32，32，F ⎝⎛⎭⎫－12，0，32， AF →＝⎝⎛⎭⎫－32，0，32，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，－32，0，PB →＝(0，3，－3)，设平面ABEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AF →＝0，n ·EF →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝3x ，y ＝33x ，不妨取x ＝3，则平面ABEF 的一个法向量为n ＝(3，3，33)， ∵sin θ＝|cos 〈n ，PB →〉|＝|n ·PB →||n ||PB →|＝639×6＝2613，∴PB 与平面ABEF 所成角的正弦值为2613. 20．(15分)(2019·台州质检)已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 1＋a 4＝－716，且对任意的n ∈N *，有S n ，S n ＋2，S n ＋1成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝n ，T n ＝⎪⎪⎪⎪b 1a 1＋⎪⎪⎪⎪b 2a 2＋…＋⎪⎪⎪⎪b n a n，且(n －1)2≤m (T n －n －1)对任意的n ≥2，n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为对任意的n ∈N *，有S n ，S n ＋2，S n ＋1成等差数列，所以2S n ＋2＝S n ＋S n ＋1，令n ＝1，则2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，整理得2a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(2＋q )．因为a 1≠0，所以2(1＋q ＋q 2)＝2＋q ，又q ≠0，所以q ＝－12.又a 1＋a 4＝－716，所以a 1＝－12，所以a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n . (2)因为b n ＝n ，由(1)知⎪⎪⎪⎪b n a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ⎝⎛⎭⎫－12n ＝n ·2n ，所以T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，两式相减，得－T n ＝1×21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，所以T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2n ＋11－2－n ×2n ＋1＝(n －1)×2n ＋1＋2. 当n ≥2，n ∈N *时，T n >n ＋1，所以(n －1)2≤m (T n －n －1)对任意的n ≥2，n ∈N *恒成立，即m ≥n －12n ＋1－1对任意的n ≥2，n ∈N *恒成立．令f (x )＝x －12x ＋1－1(x ≥2)，则f (x ＋1)－f (x )＝x 2x ＋2－1－x －12x ＋1－1＝(2－x )2x ＋1－1(2x ＋2－1)(2x ＋1－1)<0，所以n －12n ＋1－1≤2－123－1＝17.所以m ≥17，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫17，＋∞. 21．(15分)已知抛物线C 1，C 2的方程分别为x 2＝2y ，y 2＝2x .(1)求抛物线C 1和抛物线C 2的公切线l 的方程；(2)过点G (a ，b )(a ，b 为常数)作一条斜率为k 的直线与抛物线C 2：y 2＝2x 交于P ，Q 两点，当弦PQ 的中点恰好为点G 时，试探求k 与b 之间的关系．解 (1)由题意可知，直线l 的斜率显然存在，且不等于0，设直线l 的方程为y ＝tx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，y ＝tx ＋m ，消去y 并整理得x 2－2tx －2m ＝0，因为直线l 与抛物线C 1相切，所以Δ1＝(－2t )2－4×(－2m )＝0，整理得t 2＋2m ＝0.①同理，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝tx ＋m ，得2tm ＝1.② 由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝－1，m ＝－12，所以直线l 的方程为y ＝－x －12. (2)由题意知直线PQ 的方程为y －b ＝k (x －a )，即y ＝k (x －a )＋b .联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －a )＋b ，消去y 得k 2x 2＋(－2k 2a ＋2kb －2)x ＋k 2a 2＋b 2－2kab ＝0，当k ＝0时，直线PQ 与抛物线C 2：y 2＝2x 只有一个交点，故k ≠0，设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2k 2a －2kb ＋2k 2，所以x 1＋x 22＝k 2a －kb ＋1k 2. 又y 1＋y 2＝k (x 1－a )＋b ＋k (x 2－a )＋b＝k (x 1＋x 2)－2ka ＋2b ＝2k 2a －2kb ＋2k－2ka ＋2b ＝2k 2a －2kb ＋2－2k 2a ＋2kb k ＝2k，所以y 1＋y 22＝1k. 要满足弦PQ 的中点恰好为点G (a ，b )，根据中点坐标公式可知⎩⎨⎧ x 1＋x 22＝a ，y 1＋y 22＝b ，即⎩⎨⎧k 2a －kb ＋1k 2＝a ，1k ＝b ，所以kb ＝1.故k 与b 之间的关系是互为倒数．22．(15分)已知函数f (x )＝e x －x 2－ax .(1)若函数f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)若a ＝1，证明：当x >0时，f (x )>1－ln 22－⎝⎛⎭⎫ln 222. 参考数据：e ≈2.718 28，ln 2≈0.69.(1)解方法一由f (x )＝e x －x 2－ax ，得f ′(x )＝e x －2x －a ，因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )＝e x －2x －a ≥0在R 上恒成立，得a ≤e x －2x 在R 上恒成立．设g (x )＝e x －2x ，则g ′(x )＝e x －2.令g ′(x )＝e x －2＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，g ′(x )<0；当x >ln 2时，g ′(x )>0.则函数g (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝ln 2时，g (x )取得最小值，且g (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－2ln 2，所以a ≤2－2ln 2，所以a 的取值范围为(－∞，2－2ln 2]．方法二由f (x )＝e x －x 2－ax ，得f ′(x )＝e x －2x －a ，因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )＝e x －2x －a ≥0在R 上恒成立．设h (x )＝e x －2x －a ，则h ′(x )＝e x －2.令h ′(x )＝e x －2＝0，得x ＝ln 2，当x <ln 2时，h ′(x )<0；当x >ln 2时，h ′(x )>0.则函数h (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝ln 2时，h (x )取得最小值，且h (ln 2)＝e ln 2－2ln 2－a ＝2－2ln 2－a .由于f ′(x )＝h (x )，则2－2ln 2－a ≥0，得a ≤2－2ln 2，所以a 的取值范围为(－∞，2－2ln 2]．(2)若a ＝1，则f (x )＝e x －x 2－x ，得f ′(x )＝e x －2x －1.由(1)知函数f ′(x )在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．又f ′(0)＝0，f ′(1)＝e －3<0，f ′⎝⎛⎭⎫1＋12ln 2＝11ln 22e +－2⎝⎛⎭⎫1＋12ln 2－1＝2e －3－ln 2>0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫1，1＋12ln 2，使得f ′(x 0)＝0，即0xe －2x 0－1＝0.当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.则函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，则当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值，且f (x 0)＝0x e －x 20－x 0，所以当x >0时，f (x )≥f (x 0)．由0x e －2x 0－1＝0，得0xe ＝2x 0＋1，则f (x 0)＝0x e －x 20－x 0＝2x 0＋1－x 20－x 0＝－x 20＋x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－122＋54.由于x 0∈⎝⎛⎭⎫1，1＋12ln 2，则f (x 0)＝－⎝⎛⎭⎫x 0－122＋54>－⎝⎛⎭⎫1＋12ln 2－122＋54＝1－ln 22－⎝⎛⎭⎫ln 222.所以当x >0时，f (x )>1－ln 22－⎝⎛⎭⎫ln 222.。