高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(60)随机事件的概率与古典概型A

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2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：12.1 随机事件的概率 .pdf

12.1 随机事件的概率
知识梳理考点自诊
-2-
1.事件的分类
可能发生也可能不发生
知识梳理考点自诊
-3-
2.频率与概率
(1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是
否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数 ,
称事件A出现的比例
为事件A出现的频率 .
考点1
考点2
考点3
-11-
对点训练1(2018河北石家庄模拟,7)“辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索,降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条,则为 “成功着陆”,舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%,挂住第二条、第三条拦阻索的概率为62%,捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%.现有一架歼-15战机白天着舰演练20次,则其被第四条拦阻索挂住的次数约为( B )
A.5 B.3 C.1 D.4 解析:由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1-18%-
62%-5%=15%,故其被第四条拦阻索挂住的次数约为20×0.15=3.
考点1
考点2
考点3
-12-
随机事件的频率与概率例2某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
件的概率公式知C正确.
4.(2018陕西榆林模拟,4)一箱产品中有一、二等品和次品,现从中
随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事
件C={抽到次品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.3,则事件“抽到的产品不
是次品”的概率为 ( A )

高三数学第一轮复习课时作业(60)随机事件的概率与古典概型B

课时作业(六十)B 第60讲随机事件的概率与古典概型时间：35分钟分值：80分基础热身1．在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.12，在80～89分的概率为0.55，在70～79分的概率为0.15，在60～69分的概率为0.08.则小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率与考试不及格(低于60分)的概率分别是( )A ．0.90,0.10B ．0.67,0.33C ．0.67,0.10D ．0.70,0.102．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率为( ) A.29 B.736 C.16 D.143．如图K60－1，三行三列的方阵有9个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33 图K60－1A.37B.47C.114D.13144．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是( ) A.1564 B.15128 C.24125 D.48125 能力提升5．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次5点向上的概率是( )A.5216B.25216C.31216D.912166．甲袋中有不可识别的m 个白球，n 个黑球，乙袋中有不可识别的n 个白球，m 个黑球(m ≠n )，现从两袋中各摸一个球．事件A ：“两球同色”，事件B ：“两球异色”，则P (A )与P (B )的大小为( )A ．P (A )<P (B ) B ．P (A )＝P (B )C ．P (A )>P (B )D ．视m 、n 大小确定7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( )A.151B.168C.1306D.14088．以平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率P 为( )A.367385B.376385C.192385D.183859．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为________．(结果用分数表示)10．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为________．11．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．12．(13分)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．难点突破13．(12分)2011·重庆卷某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数X的分布列与期望．课时作业(六十)B【基础热身】 1．C 解析取得80分及以上的概率为：0.12＋0.55＝0.67；不及格的概率为：1－0.67－0.15－0.08＝0.10. 2．A 解析基本事件的总数是36，点P 落在圆内的基本事件是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8个，故所求的概率是836＝29.3．D 解析从中任取三个数共有C 39＝84种取法，没有同行、同列的取法有C 13C 12C 11＝6，至少有两个数位于同行或同列的概率是1－684＝1314，选D.4．A 解析将5本不同的书全发给4名同学共有45种发法，其中每名同学至少有一本书的发法有C 25A 44，故每名同学至少有一本书的概率是P ＝C 25A 4445＝1564，选A.【能力提升】5．D 解析抛掷3次，共有6×6×6＝216个事件．一次也不出现5，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未出现5的事件总数为5×5×5＝125.于是没有出现一次5点向上的概率P ＝125216所求的概率为1－125216＝91216.6．A 解析基本事件总数为(m ＋n )2，记事件A 为“两球同色”，则A 可分为“两球皆白”与“两球皆黑”两个互斥事件，∴P (A )＝mn (m ＋n )2＋mn (m ＋n )2＝2mn(m ＋n )2.而B 与A 是对立事件，且m ≠n ，所以P (B )＝1－P (A )＝m 2＋n2(m ＋n )2>P (A )．故选A.7．B 解析基本事件总数为C 318＝17×16×3. 选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3(n －1)，a 1＝1时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法； a 1＝2时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法； a 1＝3时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法．所以P ＝4＋4＋417×16×3＝168.8．A 解析由平行六面体的八个顶点，共能作成的三角形有C 38＝56个，从中任意取出两个三角形的方法数为C 256，由于平行六面体共有六个面和六个对角面，且每一个面上有四个顶点，从中任意取出三个点作成的三角形都是共面三角形，从而任取两个三角形共面的情况有12C 24＝72个，即任意取出的两个三角形恰好共面的概率是P 1＝72C 256＝18385.由于事件A ：“任意取出两个三角形不共面”与事件B ：“任意取出的两个三角形恰好共面”是对立事件，故所求概率P ＝1－P 1＝367385，选A.9.119190解析方法1：将事件“两人不属于同一个国家”分拆为下列基本事件：A ：“一中一法”，B ：“一中一美”；C ：“一美一法”，则A 、B 、C 互斥，由P (A )＝C 14C 15C 220，P (B )＝C 111C 15C 220，P (C )＝C 111C 14C 220.∴P ＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝119190.方法2：设事件A ：“两人不属于同一国家”的对立事件为A ：“两人同属一个国家”，∵P (A )＝C 211＋C 24＋C 25C 220＝71190， ∴P (A )＝1－71190＝119190.10.3554解析从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除．所有的三位数有A 310－A 29＝648个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}、被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{0,3,6,9}，若要求所得的三位数被3整除，则可以进行如下分类：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A 33＝12个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A 34－A 23＝18个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C 13·C 13·C 13·A 33＝162个；④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C 13·C 13·2·A 22＝36个．这样能被3整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为420648＝3554.11.1315解析方法1：设事件A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题．将A 分拆为B ：“甲选乙判”，C ：“甲选乙选”，D ：“甲判乙选”三个互斥事件，则P (A )＝P (B )＋P (C )＋P (D )．而P (B )＝C 16C 14C 110C 19，P (C )＝C 16C 15C 110C 19，P (D )＝C 14·C 16C 110C 19，∴P (A )＝2490＋3090＋2490＝7890＝1315.方法2：设事件A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立事件为A ：甲乙两人均抽判断题．∴P (A )＝C 14C 13C 110C 19＝1290，∴P (A )＝1－1290＝7890＝1315. 故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为1315. 12．解答 (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件A 为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，则P (A )＝C 16C 130C 236＝27，所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是27.(2)设事件B 为“采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等”，可以分为：事件B 1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B 2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况，则P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 221C 36＋C 19C 16C 36＝44105，所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是44105.【难点突破】13．解答这是等可能性事件的概率计算问题．(1)解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有C 24·22种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·2234＝827.解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验，记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A )＝13.从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为P 4(2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)X 的所有可能值为1,2,3.又P (X ＝1)＝334＝127，P (X ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 22)34＝1427 ⎝⎛⎭⎫或P (X ＝2)＝C 23(24－2)34＝1427， P (X ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49⎝⎛⎭⎫或P (X ＝3)＝C 24A 3334＝49.综上知，X 有分布列从而有E (X )＝1×127＋2×27＋3×9＝27.。

2020高考数学(理)一轮复习课时作业60随机事件的概率含解析

A. B.
C. D.
解析：将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件
总数为6×6＝36(个)，
这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共11个，
∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为P＝ .故选D.
(2)若某高三学生已选修A门课，则该学生同时选修B、C中哪门课的可能性大？
解析：(1)由频率估计概率得所求概率
P＝＝0.68.
(2)若某学生已选修A门课，则该学生同时选修B门课的概率为P＝＝，
选修C门课的概率为P＝＝，
因为 < ，
所以该学生同时选修C门课的可能性大．
[
11．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
②A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
10．[2019·河南八市重点高中质量监测]某校在高三抽取了500名学生，记录了他们选修A、B、C三门课的情况，如下表：
科目
学生人数
A
B
C120Biblioteka 是否是60
否
否
是
70
是
是
否
50
是
是
是
150
否
是
是
50
是
否
否
(1)试估计该校高三学生在A、B、C三门选修课中同时选修两门课的概率；
解析：(1)这个试验的所有可能结果Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)，(a2，a1)，(b，a1)，(b，a2)}．

届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：9.1随机事件的概率与古典概型

•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 7:42:30 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/142021/9/142021/9/14Sep-2114-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/142021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021
(3)并(和)事件．若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或称 A 与 B 的和事件)，记作 A∪B(或 A＋B)． ①与集合定义类似，并事件可用如图所示表示．
②事件 A 与事件 B 的并事件等于事件 B 与事件 A 的并事件，即 A＋B＝B＋A.
(5)利用对立事件概率公式解题 ①明确对立事件的概率，即 A、B 事件互斥，A、B 中必有一个发生，其中一个易求、另一个不易求时用 P(A)＋P(B)＝1 即可迎刃而解． ②常适用于直接计算符合条件的事件个数较繁时，可间接地先计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，再由公式求出符合条件的事件的概率． ③应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．该公式常用于“至多”、“至少”型问题的探求．
考点串串讲
1．随机事件 (1)对于随机事件，知道它发生的可能性大小是非常重要的，要了解随机事件发生的可能性大小最直接的方法就是试验．一个试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有结果是明确可知的，但不止一个； ③每次试验总是出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果．像这样的试验是一个随机试验． (2)一般来说，随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量的重复试验中，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上，这个常数可以用来度量事件 A 发生的可能性的大小，定义为概率．

北师大版版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布随机事件与古典概型教学案理

一、知识梳理１．概率与频率（１）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n（A）＝错误!为事件A出现的频率．（２）对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率f n（A）来估计概率P（A）．２．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）B⊇A（或A⊆B）相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B（或AB）互斥事件若A∩B为不可能事件，那么A∩B＝∅（１）概率的取值范围：0≤P（A）≤１．（２）必然事件的概率：P（A）＝１．（３）不可能事件的概率：P（A）＝0．（４）概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．（５）对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P（A∪B）＝１，P（A）＝１—P（B）．４．古典概型（１）基本事件的特点１任何两个基本事件是互斥的；２任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．（２）特点１试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．２每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．（３）概率公式P（A）＝错误!．５．对古典概型的理解（１）一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．（２）古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．常用结论关注三个易错点１．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数．２．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．３．概率的一般加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）—P（A∩B）中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B），此时P（A∩B）＝0．二、教材衍化１．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）Ａ．至多有一次中靶Ｂ．两次都中靶Ｃ．只有一次中靶Ｄ．两次都不中靶解析：选Ｄ．“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．２．一个盒子里装有标号为１，２，３，４的４张卡片，随机地抽取２张，则取出的２张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．解析：抽取两张卡片的基本事件有：（１，２），（１，３），（１，４），（２，３），（２，４），（３，４），共6种，和为奇数的事件有：（１，２），（１，４），（２，３），（３，４），共４种．所以所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!３．袋中装有6个白球，５个黄球，４个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为________．解析：从袋中任取一球，有１５种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!４．已知５件产品中有２件次品，其余为合格品．现从这５件产品中任取２件，恰有一件次品的概率为________．解析：从５件产品中任取２件共有C错误!＝１0（种）取法，恰有一件次品的取法有C错误!C错误!＝6（种），所以恰有一件次品的概率为错误!＝0．6．答案：0．6一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）事件发生的频率与概率是相同的．（）（２）随机事件和随机试验是一回事．（）（３）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．（）（４）两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．（）（５）若A，B为互斥事件，则P（A）＋P（B）＝１．（）（6）在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）×（6）×二、易错纠偏错误!错误!（１）确定互斥事件、对立事件出错；（２）基本事件计数错误．１．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是错误!，甲获胜的概率是错误!，则甲不输的概率为________．解析：由题意得，甲不输的概率为错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!２．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于５的偶数点出现”，事件B表示“小于５的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为________．解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，所以P（错误!）＝１—P（B）＝１—错误!＝错误!，显然A与错误!互斥，从而P（A＋错误!）＝P（A）＋P（错误!）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!３．已知函数f（x）＝２x２—４ax＋２b２，若a∈{４，6，8}，b∈{３，５，7}，则该函数有两个零点的概率为________．解析：要使函数f（x）＝２x２—４ax＋２b２有两个零点，即方程x２—２ax＋b２＝0有两个实根，则Δ＝４a２—４b２>0，又a∈{４，6，8}，b∈{３，５，7}，即a>b，而a，b的取法共有３×３＝9（种），其中满足a>b的取法有（４，３），（6，３），（6，５），（8，３），（8，５），（8，7），共6种，所以所求的概率为错误!＝错误!.答案：错误!随机事件的频率与概率（师生共研）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶４元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶２元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于２５，需求量为５00瓶；如果最高气温位于区间[２0，２５），需求量为３00瓶；如果最高气温低于２0，需求量为２00瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高[１0，１５）[１５，２0）[２0，２５）[２５，３0）[３0，３５）[３５，４0）气温天数２１6３6２５7４（１）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率；（２）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【解】（１）这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶，当且仅当最高气温低于２５，由表格数据知，最高气温低于２５的频率为错误!＝0．6，所以这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率的估计值为0．6．（２）当这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，若最高气温不低于２５，则Y＝6×４５0—４×４５0＝900；若最高气温位于区间[２0，２５），则Y＝6×３00＋２（４５0—３00）—４×４５0＝３00；若最高气温低于２0，则Y＝6×２00＋２（４５0—２00）—４×４５0＝—１00．所以，Y的所有可能值为900，３00，—１00．Y大于零当且仅当最高气温不低于２0，由表格数据知，最高气温不低于２0的频率为错误!＝0．8，因此Y大于零的概率的估计值为0．8．错误!（１）概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．（２）随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．１．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X＝70时，Y＝４60；X每增加１0，Y增加５．已知近２0年X的值为１４0，１１0，１60，70，２00，１60，１４0，１60，２２0，２00，１１0，１60，１60，２00，１４0，１１0，１60，２２0，１４0，１60．（１）完成如下的频率分布表：近２0年六月份降雨量频率分布表降雨量70１１１４0１60２00２２0频率错误!错误!错误!年六月份该水力发电站的发电量低于４90（万千瓦时）或超过５３0（万千瓦时）的概率．解：（１）在所给数据中，降雨量为１１0毫米的有３个，为１60毫米的有7个，为２00毫米的有３个．故近２0年六月份降雨量频率分布表为：降雨量70１１0１４0１60２00２２0故P（“发电量低于４90万千瓦时或超过５３0万千瓦时”）＝P（Y<４90或Y>５３0）＝P（X<１３0或X>２１0）＝P（X＝70）＋P（X＝１１0）＋P（X＝２２0）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.故今年六月份该水力发电站的发电量低于４90（万千瓦时）或超过５３0（万千瓦时）的概率为错误!.２．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：（１）记A（２）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的１60%”．求P（B）的估计值；（３）求续保人本年度平均保费的估计值．解：（１）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于２．由所给数据知，一年内出险次数小于２的频率为错误!＝0．５５．故P（A）的估计值为0．５５．（２）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于１且小于４．由所给数据知，一年内出险次数大于１且小于４的频率为错误!＝0．３，故P（B）的估计值为0．３．（３）由所给数据得保费0．8５aa１．２５a１．５a１．7５a２a频率0．３00．２５0．１５0．１５0．１00．0５调查的２00１５＋１．５a×0．１５＋１．7５a×0．１0＋２a×0．0５＝１．１9２５a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为１．１9２５a.互斥事件、对立事件的概率（师生共研）某商场有奖销售中，购满１00元商品得１张奖券，多购多得，１000张奖券为一个开奖单位，设特等奖１个，一等奖１0个，二等奖５0个．记１张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：（１）１张奖券的中奖概率；（２）１张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】（１）设“１张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C）＝错误!，因为A，B，C两两互斥，所以P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝错误!＝错误!，故１张奖券的中奖概率为错误!.（２）设“１张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“１张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P（N）＝１—P（A∪B）＝１—错误!＝错误!.故１张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为错误!.错误![提醒] 间接法体现了“正难则反”的思想方法．１．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是３．１４１５9２6<π<３．１４１５9２7．为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把３．１４１５9２6称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字１，４，１，５，9，２，6中随机选取２位数字，整数部分３不变，那么得到的数大于３．１４的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．选择数字的总的方法有５×6＋１＝３１（种），其中得到的数不大于３．１４的数为３．１１，３．１２，３.１４，所以得到的数大于３．１４的概率为P＝１—错误!＝错误!.故选Ａ．２．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数0１２３４５人及５人以上概率0．１0．１60．３0．３0．１0．0４求：（２）至少３人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“１人排队等候”为事件B，“２人排队等候”为事件C，“３人排队等候”为事件D，“４人排队等候”为事件E，“５人及５人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．（１）记“至多２人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0．１＋0．１6＋0．３＝0．５6．（２）法一：记“至少３人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0．３＋0．１＋0．0４＝0．４４．法二：记“至少３人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝１—P（G）＝0．４４．古典概型的概率（多维探究）角度一简单的古典概型的概率（１）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于２的偶数可以表示为两个素数的和”，如３0＝7＋２３．在不超过３0的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于３0的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）将３名教师和３名学生共6人平均分成３个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有１名教师和１名学生的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）不超过３0的素数有２，３，５，7，１１，１３，１7，１9，２３，２9，共１0个，从中随机选取两个不同的数有C错误!种不同的取法，这１0个数中两个不同的数的和等于３0的有３对，所以所求概率P＝错误!＝错误!，故选Ｃ．（２）将３名教师和３名学生共6人平均分成３个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n＝C错误!C错误!C错误!＝90，每个小组恰好有１名教师和１名学生包含的基本事件个数m ＝C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!＝３6，所以每个小组恰好有１名教师和１名学生的概率为P＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｂ．【答案】（１）C （２）B角度二古典概型与其他知识的综合问题（１）从集合{２，３，４，５}中随机抽取一个数a，从集合{１，３，５}中随机抽取一个数b，则向量m＝（a，b）与向量n＝（１，—１）垂直的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）已知a∈{—２，0，１，２，３}，b∈{３，５}，则函数f（x）＝（a２—２）e x＋b为减函数的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（３）将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２平行的概率为P１，相交的概率为P２，若点（P１，P）在圆（x—m）２＋y２＝错误!的内部，则实数m的取值范围是（）２Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）由题意可知m＝（a，b）有：（２，１），（２，３），（２，５），（３，１），（３，３），（３，５），（４，１），（４，３），（４，５），（５，１），（５，３），（５，５），共１２种情况．因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×１＋b×（—１）＝0，即a＝b，满足条件的有（３，３），（５，５）共２个，故所求的概率为错误!.故选Ａ．（２）函数f（x）＝（a２—２）e x＋b为减函数，则a２—２<0，又a∈{—２，0，１，２，３}，故只有a＝0，a＝１满足题意，又b∈{３，５}，所以函数f（x）＝（a２—２）e x＋b为减函数的概率是错误!＝错误!.故选Ｃ．（３）对于a与b各有6种情形，故总数为３6种．两条直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２平行的情形有a＝２，b＝４或a＝３，b＝6，故概率为P１＝错误!＝错误!，两条直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２相交的情形除平行与重合（a＝１，b＝２）即可，所以P２＝错误!＝错误!，因为点（P１，P２）在圆（x—m）２＋y２＝错误!的内部，所以错误!错误!＋错误!错误!＜错误!，解得—错误!＜m＜错误!，故选Ｄ．【答案】（１）A （２）C （３）D错误!（１）求古典概型的概率的步骤第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；第三步，利用公式P（A）＝错误!，求出事件A的概率．（２）求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．１．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有３个阳爻的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由6个爻组成的重卦种数为２6＝6４，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有３个阳爻的种数为C错误!＝错误!＝２0．根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ａ．２．２0２１年广东新高考将实行３＋１＋２模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有１２种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有C错误!＝6（种）方法，所以他们选课相同的概率为错误!，故选Ｄ．３．２0１9年１月１日，济南轨道交通１号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”的活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为________．解析：法一：若小王和小李都没被选中，则有C错误!种方法，若小王和小李有一人被选中，则有C错误! C错误!种方法，故所求概率P＝错误!＝错误!.法二：若小王和小李都被选中，则有１种方法，故所求概率P＝１—错误!＝错误!.答案：错误![基础题组练]１．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0．４５，既用现金支付也用非现金支付的概率为0．１５，则不用现金支付的概率为（）Ａ．0．３Ｂ．0．４Ｃ．0．6 Ｄ．0．7解析：选Ｂ．设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P（C）＝１—P（A）—P（B）＝１—0．４５—0．１５＝0．４，故选B.２．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了１00位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）Ａ．0．５Ｂ．0．6Ｃ．0．7 Ｄ．0．8解析：选Ｃ．根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为错误!＝0．7．３．现有５人参加抽奖活动，每人依次从装有５张奖票（其中３张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到３张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第４人抽完结束的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．将５张奖票不放回地依次取出共有A错误!＝１２0种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到２张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有３A错误!A错误!A错误!＝３6种取法，所以P＝错误!＝错误!.故选Ｃ．４．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得３0个橘子的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由题意可知等级从低到高的５个诸侯所分的橘子个数组成公差为m的等差数列，设“男”分得的橘子个数为a１，其前n项和为S n，则S５＝５a１＋错误!m＝80，即a１＋２m＝１6，且a１，m 均为正整数，若a１＝２，则m＝7，此时a５＝３0，若a１＝４，m＝6，此时a５＝２8，若a１＝6，m＝５，此时a５＝２6，若a１＝8，m＝４，此时a５＝２４，若a１＝１0，m＝３，此时a５＝２２，若a１＝１２，m＝２，此时a５＝２0，若a１＝１４，m＝１，此时a５＝１8，所以“公”恰好分得３0个橘子的概率为错误!.故选Ｂ．５．（２0２0·陕西榆林模拟）大学生小明与另外３名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙３个村小学进行支教，若每个村小学至少分配１名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．依题意，小明与另外３名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙３个村小学的分配方法是１个学校２人，另外２个学校各１人，共有C错误!A错误!＝３6（种）分配方法，若小明必分配到甲村小学，有C错误!A错误!＋C错误!A错误!＝１２（种）分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为错误!＝错误!，故选C.6．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有１0个车次的正点率为0．97，有２0个车次的正点率为0．98，有１0个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为错误!＝0．98．答案：0．987．（２0２0·四川绵阳诊断改编）某展会安排了分别标有序号为“１号”“２号”“３号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“３号”车的概率分别为P１，P２，则P１＝________，P２＝________．解析：三辆车的出车顺序可能为：１２３，１３２，２１３，２３１，３１２，３２１，共6种．方案一坐３号车可能为：１３２，２１３，２３１，共３种，所以P１＝错误!＝错误!；方案二坐３号车可能为：３１２，３２１，共２种．所以P２＝错误!＝错误!.答案：错误!错误!8．已知|p|≤３，|q|≤３，当p，q∈Z，则方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根的概率是________．解析：由方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根，可得Δ＝（２p）２—４（—q２＋１）>0，即p２＋q２>１．当p，q∈Z时，设点M（p，q），如图，直线p＝—３，—２，—１，0，１，２，３和直线q＝—３，—２，—１，0，１，２，３的交点，即为点M，共有４9个，其中在圆上和圆内的点共有５个（图中黑点）．当点M（p，q）落在圆p２＋q２＝１外时，方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根，所以方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!9．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）0１000２000３000４000（２）在样本车辆中，车主是新司机的占１0%，在赔付金额为４000元的样本车辆中，车主是新司机的占２0%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为４000元的概率．解：（１）设A表示事件“赔付金额为３000元”，B表示事件“赔付金额为４000元”，以频率估计概率得P（A）＝错误!＝0．１５，P（B）＝错误!＝0．１２．由于投保金额为２800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为３000元和４000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0．１５＋0．１２＝0．２7．（２）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔４000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0．１×１000＝１00（辆），而赔付金额为４000元的车辆中，车主为新司机的有0．２×１２0＝２４（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为４000元的频率为错误!＝0．２４，由频率估计概率得P （C）＝0．２４．１0．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（１）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（２）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（３）求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．解：（１）记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件E A，那么P（E A）＝错误!＝错误!，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是错误!.（２）记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P（E）＝错误!＝错误!，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P（错误!）＝１—P（E）＝错误!.（３）有两人同时参加A岗位服务的概率P２＝错误!＝错误!，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P１＝１—P２＝错误!.[综合题组练]１．已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，基本事件总数n＝A错误!＝6，恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m＝C错误!C错误!C错误!＝３，所以恰有一人取到自己身份证的概率为p＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ａ．２．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个２×２×３的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走３次向上，２次向右，２次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A错误!＝５0４0（种）．因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是２次向右和２次向前全排列为A错误!.接下来，就是把３次向上插到４次不向上之间的空隙中，５个位置排３个元素，也就是A错误!，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有A错误!A错误!＝１４４0（种），所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝错误!＝错误!.故选Ｂ．３．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为a i，若存在正整数k，使a１＋a＋…＋a k＝6，则称k为幸运数字，则幸运数字为３的概率是________．２解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子３次，所含基本事件总数n＝6×6×6，要使a１＋a２＋a３＝6，则a，a２，a３可取１，２，３或１，１，４或２，２，２三种情况，其所含的基本事件个数m＝A错误!＋１C错误!＋１＝１0．故幸运数字为３的概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!４．如下的三行三列的方阵中有九个数a ij（i＝１，２，３；j＝１，２，３），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．错误!解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C错误!＝错误!＝8４种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C错误!·C错误!·C错误!＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为１—错误!＝错误!.答案：错误!５．某电子商务公司随机抽取１000名网络购物者进行调查．这１000名购物者网上购物金额（单位：万元）均在区间[0．３，0．9]内，样本分组为：[0．３，0．４），[0．４，0．５），[0．５，0．6），[0．6，0．7），[0．7，0．8），[0．8，0．9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额（单位：元）与购物金额关系如下：购物金额分组[0．３，0．５）[0．５，0．6）[0．6，0．8）[0．8，0．9]发放金额５0１00１５0２00（２）以这１000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于１５0元的概率．解：（１）购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：错误!（５0×４00＋１00×３00＋１５0×２80＋２00×２0）＝96．（２）由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及（１）知，P（y＝１５0）＝P（0．6≤x<0．8）＝0．２8，P（y＝２00）＝P（0．8≤x≤0．9）＝0．0２，从而，获得优惠券金额不少于１５0元的概率为P（y≥１５0）＝P（y＝１５0）＋P（y＝２00）＝0．２8＋0．0２＝0．３．6．（２0２0·延安一模）某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过１kg的包裹收费１0元；质量超过１kg的包裹，除１kg收费１0元之外，超过１kg的部分，每１kg（不足１kg，按１kg 计算）需再收５元．该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：求该人支付的快递费不超过３0元的概率；（２）该公司从收取的每件快递的费用中抽取５元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过１５0件，工资１00元，目前前台有工作人员３人，那么公司将前台工作人员裁员１人对提高公司利润是否更有利？解：（１）由题意，寄出方式有以下三种可能：。

北师版高考总复习一轮数学精品课件第十一章第四节随机事件的概率与古典概型

D:至多有一件次品.
下列选项正确的是(
)
A.A∪B=C
B.B∪D是必然事件
C.A∩B=C
D.A∩D=C
答案 AB
解析对于A选项,事件A∪B指至少有一件次品,即事件C,故A正确;对于B选
项,事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品,次品件数包含0到5,即
代表了所有情况,即B∪D为必然事件,故B正确;对于C选项,事件A和B不可
把样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件
3.事件的关系与运算
事件的关系或运算
包含
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
互为对立
含义
符号表示
事件A发生,则事件B一定发生 A⊆B
A与B至少一个发生
A∪B或A+B
A与B同时发生
A∩B或AB
A与B不能同时发生
A∩B=⌀
A与B有且仅有一个发生
A∩B=⌀,A∪B=Ω
所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
选择L1的人数 6
12
18
12
12
选择L2的人数 0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大
空间.
2.事件的分类
必然
确定事件
事件
事件
含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω必然发
生,因此称Ω为必然事件Fra bibliotek不可能空集⌀也是Ω的一个子集,可以看作一个事件,由于它不包含任

【金版新学案】高考数学总复习课时作业60 随机事件的概率理北师大版

课时作业(六十) 随机事件的概率A 级1．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.33．某城市2012年的空气质量状况如表所示：时，空气质量为轻微污染．该城市2011年空气质量达到良或优的概率为( )A.35B.1180C.119D.564．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A＝“a为3”，事件B＝“a 为4”，事件C＝“a为奇数”，则下列结论正确的是( )A．A与B为互斥事件B．A与B为对立事件C．A与C为对立事件D．A与C为互斥事件5．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为( )A.13B.12C.23D.566．向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为________．7．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：8．(2012·宁波模拟)已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同色的概率是________．9.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，他至少参加2个小组的概率是________，他至多参加2个小组的概率为________．10．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：(1)(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y 、z 的值．11．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？B 级1．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．2．(2011·陕西卷)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．详解答案课时作业(六十)A 级1．C 从1,2，…，9中任取2个数字包括一奇一偶、二奇、二偶共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．2．C 事件“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，由于P (A )＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.3．A 由题意知，0≤T ≤100时，空气质量达到良或优，故空气质量为优或良的概率为110＋16＋13＝35. 4．A 依题意得，事件A 、B 为互斥事件，A 、C 不是互斥事件，A 、C 不是对立事件． 5．C 由于事件总数为6，故P (A )＝26＝13.P (B )＝46＝23，从而P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13，且A 与B 互斥，故P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.故选C. 6．解析：设A 、B 、C 分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A 、B 、C 彼此互斥，且P (A )＝0.025，P (B )＝P (C )＝0.1.设D 表示军火库爆炸，则P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 所以军火库爆炸的概率为0.225. 答案： 0.2257．解析：由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为：20－1－2－3＝14，故约占苹果总数的1420＝0.70，即70%.答案： 708．解析：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735.答案：17359．解析：随机选一名成员，恰好参加2个组的概率P (A )＝1160＋760＋1060＝715，恰好参加3个组的概率P (B )＝860＝215，则他至少参加2个组的概率为P (A )＋P (B )＝715＋215＝35，至多参加2个组的概率为1－P (B )＝1－215＝1315.答案： 35 131510．解析： (1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x ＝0.56，∴x ＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z ＝1，∴z ＝0.04. 由派出医生最少3人的概率为0.44，得y ＋0.2＋z ＝0.44， ∴y ＝0.44－0.2－0.04＝0.2.11．解析：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 14＋P B ＋P C ＋P D ＝1P B ＋P C ＝512PC ＋PD ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P B ＝14PC ＝16PD ＝13故得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，13.B 级1．解析： (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.2．解析：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：121212择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1.P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B1) <P(B2)，∴乙应选择L2.。

高考数学一轮复习第九章第四节随机事件的概率课时作业理含解析北师大版

第四节随机事件的概率授课提示：对应学生用书第381页〖A 组基础保分练〗1．在下列六个事件中，随机事件的个数为（）①如果a ，b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋a ；②从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．A ．2B ．3C ．4D ．5 〖解析〗①⑥是必然事件，③⑤是不可能事件；②④是随机事件．〖答案〗A2．从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件A ：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是（）A ．事件A 发生的概率等于15B ．事件A 发生的概率等于25C ．事件A 是不可能事件D ．事件A 是必然事件〖解析〗从正五边形的五个顶点中随机选择三个顶点连成的三角形都是等腰三角形，所以事件A 是必然事件．〖答案〗D 3．（2021·河北衡水中学模拟）从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0．2，该同学的身高在〖160，175〗（单位：cm ）内的概率为0．5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为（） A ．0．2 B ．0．3 C ．0．7 D ．0．8 〖解析〗该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0．2－0．5＝0．3．〖答案〗B4．（2021·银川模拟）已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为（）A ．16，16B ．12，23C ．16，23D ．23，12〖解析〗“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－12－13＝16．设“甲不输”为事件A ，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P （A ）＝16＋12＝23⎝⎛⎭⎫或设“甲不输”为事件A ，则A 可看作是“乙胜”的对立事件，所以P （A ）＝1－13＝23.〖答案〗C 5．（2021·黄石联考）天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨，投三次骰子代表三天，产生的三个随机数作为一组，得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353．则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（）A ．12，38B ．12，18C ．13，15D ．13，29〖解析〗由题意可得，每天下雨的概率P （A ）＝26＝13；由10组数据可得三天中有两天下雨的概率P （B ）＝210＝15．〖答案〗C6．在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（）A ．310B ．58C ．710D ．25〖解析〗从1，2，3，4，5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310．〖答案〗A 7．（2021·吉林模拟）从分别写有0，1，2，3，4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是_________．〖解析〗从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），所以数字之和恰好等于4的概率是P ＝15．〖答案〗158．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为_________．〖解析〗随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．满足两段绳长均不小于2米的为（2，4），（3，3），（4，2），共3种情况．所以所求概率为35．〖答案〗359求：（1（2）至少3人排队等候的概率．〖解析〗记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥．（1）记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ＋B ＋C ，所以P （G ）＝P （A ＋B ＋C ）＝P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝0．1＋0．16＋0．3＝0．56．（2）法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ＋E ＋F ，所以P （H ）＝P （D ＋E ＋F ）＝P （D ）＋P （E ）＋P （F ）＝0．3＋0．1＋0．04＝0．44．法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P （H ）＝1－P （G ）＝0．44．10．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧奋战，经过近期训练，某队员射击一次命中（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率．〖解析〗记事件“射击一次，命中k 环”为A k （k ∈N ＋，k ≤10），则事件A k 彼此互斥．（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得P （A ）＝P （A 9）＋P （A 10）＝0．28＋0．32＝0．60．（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生．由互斥事件概率的加法公式得P （B ）＝P （A 8）＋P （A 9）＋P （A 10）＝0．18＋0．28＋0．32＝0．78．（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B －表示事件“射击一次，命中不足8环”．∴P （B －）＝1－P （B ）＝1－0．78＝0．22．〖B 组能力提升练〗1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是（） A ．互斥但非对立事件 B ．对立事件 C ．相互独立事件 D ．以上都不对〖解析〗由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．〖答案〗A 2．（2021·西安五校模拟）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任选2张，如果事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是（）A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡〖解析〗因为事件“2张全是移动卡”的概率是310，1－310＝710，所以概率是710的事件是事件“2张全是移动卡”的对立事件，也就是“2张不全是移动卡”，即“至多有一张移动卡”．〖答案〗A 3．（2021·长沙模拟）同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A ．78B ．58C ．38D ．18〖解析〗由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将1枚硬币连续抛掷三次，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，有1种结果，所以至少一枚正面向上的概率是1－18＝78．〖答案〗A 4．（2021·合肥模拟）某城市有连接8个小区A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率为（）A ．13B ．23C ．14D ．34〖解析〗由题意知，此人从小区A 前往小区H 的所有最短路径为：A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条．记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，共4个，所以P （M ）＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23．〖答案〗B5．口袋内装有一些大小、形状均相同的红球、白球和黑球，如果从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，那么摸出黑球的概率是_________．〖解析〗事件“摸出红球或白球”与事件“摸出黑球”是对立事件，设“摸出红球或白球”为事件M ，则M －表示“摸出黑球”，由对立事件的概率公式得P （M －）＝1－P （M ）＝1－（0．42＋0．28）＝0．3．〖答案〗0．36．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是_________．〖解析〗从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735．〖答案〗17357．（2021·徐州模拟）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民．现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少？〖解析〗（1）设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，则P （A ）＝80－40200＝15． ∴当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低15．（2）由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民各抽出2人，设从A 类市民抽出的两人分别为A 1，A 2，设从B 类市民抽出的两人分别为B 1，B 2．设“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，则事件M 中首先抽出A 1的事件有（A 1，A 2，B 1，B 2），（A 1，A 2，B 2，B 1），（A 1，B 1，A 2，B 2），（A 1，B 1，B 2，A 2），（A 1，B 2，A 2，B 1），（A 1，B 2，B 1，A 2）．共6种．同理首先抽出A 2，B 1，B 2的事件也各有6种．故事件M 共有4×6＝24种．设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有（B 1，B 2，A 1，A 2），（B 1，B 2，A 2，A 1），（B 2，B 1，A 1，A 2），（B 2，B 1，A 2，A 1），共4种．∴P （N ）＝424＝16．∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是16．〖C 组创新应用练〗1．若p ：“事件A 与事件B 是对立事件”，q ：“概率满足P （A ）＋P （B ）＝1”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件〖解析〗若事件A 与事件B 是对立事件，则A ＋B 为必然事件，再由概率的加法公式得P （A ）＋P （B ）＝1．设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P （A ）＝78，P （B ）＝18，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不是对立事件，所以p 是q的充分不必要条件．〖答案〗A 2．（2019·高考全国卷Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0．97，有20个车次的正点率为0．98，有10个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_________．〖解析〗x －＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0．98．则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0．98．〖答案〗0．98。

高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(60)随机事件的概率与古典概型B.pdf

《Unit 8 A green world Task 2》学习目标：根据以下信息完成写作 The Earth is in trouble! We need to take steps to protect the enviroment.. To recycle a great way to save energy, space and money mean clear air and water such as glass, paper, plastic, old clothes and shoes To save water turn off the tap when we brush our teeth and taking shorter showers. reuse it if possible Take our own shopping bags to the supermarket. Use reusable bottles for drinks and put our lunch in a reusable box To save energy Turn off the lights when we leave a room Turn off the power when our TV or computer is not in use It is time for us to take action to make the Earth a better place! 正文部分： The Earth is in trouble! We need to take steps to protect the enviroment.. Recycling is ______________________________________. It also means_________________________________________. Many things can be recycled,__________________________________________________. However, we must remember that recycling is not the only way to protect the environment. For example, we can save water by __________________________________________________. We can also save water by _____________________________. It is important for us to __________________________,___________________________________________________. Moreover, if we always remember to _______________________when we leave a room and__________________________ when our TV or computer __________________________, we can save__________________________. It is time for us to take action to make the Earth a better place! 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。

高三数学一轮复习：1224随机事件的概率与古典概型

A∩B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥
若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，则称事件 A 与事件 B 互为对立事件
符号表示 B⊇A(或 A⊆B)
A＝B A∪B(或 A＋B)
A∩B(或 AB) A∩B＝∅
A∩B＝∅且 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝1
3．概率的几个基本性质（1）概率的取值范围：0≤P(A)≤1. （2）必然事件的概率 P(E)＝1. （3）不可能事件的概率 P(F)＝0. （4）概率的加法公式
随件事件的概率与古典概型
1．概率和频率（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A 出现的频率．（2）对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作 P(A)．
2．事件的关系与运算
包含关系
相等关系并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥事件
对立事件
定义若事件 A 发生，事件 B 一定发生，则称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)
若 B⊇A 且 A⊇B，则称事件 A 与事件 B 相等
若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)
解 (1)设“1 张奖券中奖”为事件 M，则 M＝A∪B∪C，
依题意，P(A)＝1 0100，P(B)＝1 10000，P(C)＝1 50000，

2019届北师大版高三数学(理)复习学案：学案60 随机事件的概率(含答案)

学案60 随机事件的概率导学目标： 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．自主梳理1．事件的分类(1)一般地，我们把在条件S下，____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称____________．(2)在条件S下，____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称____________．(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做________________________________，简称随机事件．事件一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称____________________为事件A出现的频数，称事件A出现的比例________________为事件A出现的频率．(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________，这个常数叫事件A的概率．(1)概率的取值范围：________.(2)必然事件的概率：P(E)＝____.(3)不可能事件的概率：P(F)＝____.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________.(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝____，P(A)＝________.自我检测1．(2018·台州月考)下列说法正确的是( )A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的2．(2018·中山期末)如果把必然事件和不可能事件看做随机事件的极端情形，随机事件A的概率取值范围是( )A．P(A)>0 B．P(A)≥0C．0<P(A)<1 D．0≤P(A)≤13．(2018·中山期末)从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取3个的必然事件是( ) A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品4．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为( )A．① B．② C．③ D．④5．(2018·广州调研)关于互斥事件的理解，错误的是( )A．若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生B．若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一C．A发生，B不发生；B发生，A不发生；A、B都不发生D．若A、B又是对立事件，则A、B中有且只有一个发生探究点一随机事件的概念例1一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球．(1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？变式迁移1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.探究点二随机事件的频率与概率例2某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频数分布直方图”如图，请回答：(1)该中学参加本次高中数学竞赛的学生有多少人？(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？(结果保留分数)变式迁移2(1)填写上表．(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？探究点三互斥事件与对立事件的概率例3(2018·新乡模拟)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．变式迁移3 一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？1．随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率mn总是接近于常数P(A)，称P(A)为事件A的概率．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A 的概率，然后利用P(A)＝1－P(A )可得解．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )①恰好有1件次品和恰好有两件次品； ②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少1件次品和全是正品．A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④ 2．(2018·广州模拟)下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率mn就是事件A 发生的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①④⑤C ．①②③④⑤D ．②③3．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么( ) A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4．(2018·平顶山月考)某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有1次中靶B ．2次都中靶C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶5．(2009·安徽)考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于( )A ．1 B.12 C.13D ．0二、填空题(每小题4分，共12分)6．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g ～501.5 g 之间的概率约为________．7．(2018·福建)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．8．(2018·上海)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．三、解答题(共38分)9．(12分)(2018·南京模拟)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．10．(12分)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？11．(14分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．学案60 随机事件的概率自主梳理1．(1)一定会发生必然事件 (2)一定不会发生不可能事件 (3)相对于条件S 的随机事件 2.(1)n 次试验中事件A 出现的次数n A f n (A)＝n An(2)常数稳定性3．发生一定发生 B ⊇A A ⊆B A ⊇B A ＝B 当且仅当事件A 发生或事件B 发生 A∪B A ＋B 当且仅当事件A 发生且事件B 发生 A∩B AB 不可能 ∅ 不可能必然 A B 4.(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0 (4)P(A)＋P(B) (5)1 1－P(B)自我检测1．B 2.D 3.D 4.B 5.B 课堂活动区例1 解题导引解决这类问题的方法主要是弄清每次试验的意义及每个基本事件的含义，正确把握各个事件的相互关系，判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件，主要是依据在一定条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现(可能出现、可能不出现)，它们的概率(范围)分别为1,0，(0,1)．解 (1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率是0.(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是38.(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1.变式迁移1 解 (1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 发生可导致事件E 一定不发生，且事件E 发生也会导致事件B 一定不发生，故B 与E 还是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B 发生，事件D 也可能发生，故B 与D 不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，故事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．例2 解题导引本题利用直方图求出获奖的频率，作为概率的近似值．通过大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率是求一个事件的概率的基本方法．注意频率是随机的、变化的，而概率是一个常数，频率在其附近摆动．解 (1)由频数分布直方图可知，参加本次数学竞赛的学生有4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)． (2)90分以上的人数为7＋5＋2＝14(人)，∴获奖的频率为1432＝716，即本次竞赛获奖的概率大约是716.变式迁移2 解 (1)频率是在试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，由此得，进球频率依次是68，810，1215，1720，2530，3240，3850，即0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76. (2)因为频率是概率的近似值，所以这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8.例3 解题导引用互斥事件和对立事件的概率公式解题，关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，然后结合互斥事件与对立事件的定义分析出是否是互斥事件与对立事件，再决定用哪一个公式．利用互斥事件求概率体现了分类讨论的思想，利用对立事件求概率体现了“正难则反”的策略．解方法一 (利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P(A 1)＝512，P(A 2)＝412，P(A 3)＝212，P(A 4)＝112，根据题意知，事件A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为 P(A 1∪A 2)＝P(A 1)＋P(A 2) ＝512＋412＝34. (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P(A 1∪A 2∪A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3) ＝512＋412＋212＝1112. 方法二 (利用对立事件求概率) (1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A 1∪A 2)＝1－P(A 3∪A 4)＝1－P(A 3)－P(A 4)＝1－212－112＝34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4，所以P(A 1∪A 2∪A 3)＝1－P(A 4)＝1－112＝1112.变式迁移3 解方法一从9张任取2张共有36种，记为(1,2)，(1,3)，…，(8,9)，记事件A 为任取2张，号数至少有一个为奇数，则A ＝{(1,2)，…，(1,9)，(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,9)，(3,4)，…，(3,9)，…，(8,9)}．共有8＋4＋6＋3＋4＋2＋2＋1＝30.∴P(A)＝3036＝56.方法二事件A 的对立事件为任取2张，号数都为偶数，∴A ＝{(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)}共6种． ∴P(A)＝1－P(A )＝1－636＝56. 课后练习区 1．D2．B [由概率的相关定义知①④⑤正确．]3．B [由互斥事件、对立事件的定义可知互斥不一定对立，对立一定互斥，即甲是乙的必要条件但不是充分条件．]4．C [由互斥事件定义可知，如果两事件互斥，两个事件不能同时发生．“至少有一次中靶”包括“恰有一次中靶”或“两次都中靶”．故A 、B 、D 都能同时发生．]5．A [由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥，且四棱锥的各个侧面是全等的三角形，底面四个顶点构成一个正方形，从这6个点中任选3个点构成的三角形可分为以下两类：第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中的任意一个面的中心，构成的是等腰直角三角形，此时剩下的三个点也连成一个与其全等的三角形．第二类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选3个点所在的平面彼此相邻)此时构成的是正三角形，同时剩下的三个点也构成与其全等的三角形，故所求概率为1.]6．0.25 7.35解析从5个球中任取2个球有C 25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C 13C 12＝6(种)，故所求概率为610＝35. 8．0.985解析 9位同学出生月份的所有可能种数为129,9人出生月份不同的所有可能种数为A 912，故P ＝1－A 912129≈1－0.015 47≈0.985.9．解 (1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率P(A)＝1220＝35.(6分)(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则事件B 的概率为P(B)＝1－220＝910.(12分)10．解设事件A 、B 、C 、D 分别表示“任取一球，得到红球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到黄球”，“任取一球，得到绿球”，则由已知得P(A)＝13，(3分)P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝512，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝512，P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－13＝23.(10分)解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14.故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为 14，16，14.(12分) 11．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}共18个基本事件组成．(4分)由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，事件M 由6个基本事件组成，因而P(M)＝618＝13.(8分)(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成，(10分)所以P(N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P(N )＝1－16＝56.(14分)。

北师大版版高考数学一轮复习计数原理概率随机变量及其分布随机事件的概率古典概型与几何概型教学案理解析版

[考纲传真] １．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.２．了解两个互斥事件的概率加法公式.３．理解古典概型及其概率计算公式.４．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.５．了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.6．了解几何概型的意义．１．频率与概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P（A）．２．事件的关系与运算互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．对立事件：不会同时发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件．３．概率的几个基本性质（１）概率的取值范围：0≤P（A）≤１.（２）必然事件的概率P（E）＝１.（３）不可能事件的概率P（F）＝0.（４）互斥事件概率的加法公式１如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．２若事件A与事件错误!互为对立事件，则P（A）＝１—P（错误!）．４．古典概型与几何概型名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个基本事件有无限个计算公式P（A）＝P（A）＝.如果事件A１，A２，…，A n两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P（A１∪A２∪…∪A n）＝P（A１）＋P（A２）＋…＋P（A n）．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（）（２）在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．（）（３）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．（）（４）概率为0的事件一定为不可能事件．（）[答案] （１）√（２）√（３）√（４）×２．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数１0２0５0１00２00５00击中靶心次数8１9４４9２１78４５５Ａ．0．80 Ｂ．0．8５Ｃ．0．90 Ｄ．0．99C[由题意，该射手击中靶心的频率大约在0．9附近上下波动，故其概率约为0．90．故选Ｃ．]３．（教材改编）投掷两枚均匀的硬币，则两枚硬币均正面朝上的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!A[P＝错误!×错误!＝错误!，故选Ａ．]４．（教材改编）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A[P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C）＝错误!，P（D）＝错误!，∴P（A）>P（C）＝P（D）>P（B）．]５．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．A与B，A与C，B与C，B与D B与D[设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B ＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D ＝I，故B与D互为对立事件．]随机事件的频率与概率【例１】（２0１7·全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶４元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶２元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于２５，需求量为５00瓶；如果最高气温位于区间[２0,２５），需求量为３00瓶；如果最高气温低于２0，需求量为２00瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[１0,１５）[１５,２0）[２0,２５）[２５,３0）[３0,３５）[３５,４0）天数２１6３6２５7４（１）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率；（２）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．[解] （１）这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶，当且仅当最高气温低于２５，由表格数据知，最高气温低于２５的频率为错误!＝0．6，所以这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率的估计值为0．6．（２）当这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，若最高气温不低于２５，则Y＝6×４５0—４×４５0＝900；若最高气温位于区间[２0,２５），则Y＝6×３00＋２×（４５0—３00）—４×４５0＝３00；若最高气温低于２0，则Y＝6×２00＋２×（４５0—２00）—４×４５0＝—１00．所以，Y的所有可能值为900,３00，—１00．Y大于零当且仅当最高气温不低于２0，由表格数据知，最高气温不低于２0的频率为错误!＝0．8，因此Y大于零的概率的估计值为0．8．[规律方法] （１）概率与频率的关系概率是常数，是频率的稳定值，频率是变量，是概率的近似值．有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．（２）随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．易错警示：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．利润５0元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品亏损１0元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获得利润３0元．（１）若商店一天购进该商品１0件，求当天的利润y（单位：元）关于当天的需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（２）商店记录了５0天该商品的日需求量n（单位：件），整理得下表：日需求量n/件89１0１１１２频数9１１１５１0５（ⅱ）若商店一天购进１0件该商品，以５0天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，求当天的利润大于５00元的概率．[解] （１）当日需求量n≥１0时，利润y＝５0×１0＋（n—１0）×３0＝３0n＋２00；当日需求量n＜１0时，利润y＝５0×n—（１0—n）×１0＝60n—１00．所以日利润y关于日需求量n的函数解析式为y＝错误!（２）（ⅰ）由（１）及表格可知，这５0天中有9天的日利润为３80元，有１１天的日利润为４４0元，有１５天的日利润为５00元，有１0天的日利润为５３0元，有５天的日利润为５60元，所以这５0天的日利润的平均数为错误!×（３80×9＋４４0×１１＋５00×１５＋５３0×１0＋５60×５）＝４77．２（元）．（ⅱ）若当天的利润大于５00元，则日需求量大于１0件，则当天的利润大于５00元的概率P＝错误!＝错误!.古典概型【例２】（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于２的偶数可以表示为两个素数的和”，如３0＝7＋２３．在不超过３0的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于３0的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１7·全国卷Ⅱ）从分别写有１,２,３,４,５的５张卡片中随机抽取１张，放回后再随机抽取１张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）C（２）D[（１）不超过３0的素数有２,３,５,7,１１,１３,１7,１9,２３,２9，共１0个，从中随机选取两个不同的数有C错误!种不同的取法，这１0个数中两个不同的数的和等于３0的有３对，所以所求概率P＝错误!＝错误!，故选Ｃ．（２）从５张卡片中随机抽取１张，放回后再随机抽取１张的情况如图：基本事件总数为２５，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为１0，∴所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ｄ．][规律方法] １．计算古典概型事件的概率可分三步：（１）计算基本事件总个数n；（２）计算事件A所包含的基本事件的个数m；（３）代入公式求出概率P.２．（１）用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．（２）利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用．每个小盒中至少有１个小球，那么甲盒中恰好有３个小球的概率为（）Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１8·石家庄一模）用１,２,３,４,５组成无重复数字的五位数，若用a１，a２，a３，a４，a分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a１＜a２＜a３＞a４＞a５特征的五位数的概率５为________．（１）C（２）错误![（１）将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁４个不同的小盒中，每个小盒中至少有１个小球有C错误!种放法，甲盒中恰好有３个小球有C错误!种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为错误!＝错误!.故选Ｃ．（２）１,２,３,４,５可组成A错误!＝１２0个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的５必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有C错误!C 错误!＝6个，故出现a１＜a２＜a３＞a４＞a５特征的五位数的概率为错误!＝错误!.]几何概型【例３】（１）（２0１6·全国卷Ⅰ）某公司的班车在7：３0,8：00,8：３0发车，小明在7：５0至8：３0之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过１0分钟的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１8·合肥二模）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午５：00到6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间在下午５：３0到6：00之间．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在１0分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜领取商品的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!（３）已知在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝２，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥OABCD的体积不小于错误!的概率为________．（１）B（２）D（３）错误![（１）这是几何概型问题，总的基本事件空间如图所示，共４0分钟，等车时间不超过１0分钟的时间段为：7：５0至8：00和8：２0至8：３0，共２0分钟，故他等车时间不超过１0分钟的概率为错误!＝错误!，故选Ｂ．（２）如图，设快递员和小李分别在下午５点后过了x分钟和y分钟到小李家，则所有结果构成的区域为{（x，y）|0≤x≤60,３0≤y≤60}，这是一个矩形区域，y—x＞１0表示小李比快递员晚到超过１0分钟，事件M表示小李需要去快递柜领取商品，其所构成的区域是如图所示的直角梯形ABCD的内部区域及边界（不包含AB），由错误!可得错误!即A（５0,60），由错误!可得错误!即B（２0,３0），所以由几何概型的概率计算公式可知P（M）＝错误!＝错误!，故选Ｄ．（３）当四棱锥OABCD的体积为错误!时，设O到平面ABCD的距离为h，则错误!×２２×h＝错误!，解得h＝错误!.如图所示，在四棱锥PABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为错误!.因为PA⊥底面ABCD，且PA＝２，所以错误!＝错误!，所以四棱锥OABCD的体积不小于错误!的概率P＝错误!＝错误!３＝错误!３＝错误!.][规律方法] 解答几何概型试题要善于根据题目特点寻找基本事件所在线、面、体，寻找随机事件所在的线、面、体，把几何概型的计算转化为相应的长度、面积和体积的比值的计算．（１）在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．（２）两个变量在某个范围内取值，对应的“区域”是面积．（１）随机地取两个实数x和y，使得x∈[—１,１]，y∈[0,１]，则满足y≥x２的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM＜AC的概率为________．（１）B（２）错误![（１）满足x∈[—１,１]，y∈[0,１]的区域为矩形区域（包括边界）（图略），面积为２，满足y≥x２的区域的面积S＝错误!—１（１—x２）dx＝错误!|错误!＝错误!，故所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ｂ．（２）在AB上取AC′＝AC（图略），则∠ACC′＝错误!＝67．５°，记A＝{在∠ACB内部任作一射线CM与线段AB交于点M，AM＜AC}，则所有可能结果的区域为∠ACB，事件A构成的区域为∠ACC′.又∠ACB＝90°，∠ACC′＝67．５°，∴P（A）＝错误!＝错误!.]１．（２0１8·全国卷Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AＣ．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p１，p２，p３，则（）Ａ．p１＝p２Ｂ．p１＝p３Ｃ．p２＝p３Ｄ．p１＝p２＋p３A[设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S １＝错误!bc ，区域Ⅱ的面积S ２＝错误!π×错误!２＋错误!π×错误!２—错误!＝错误!π（c ２＋b ２—a ２）＋错误!bc ＝错误!bc ，所以S １＝S ２，由几何概型的知识知p １＝p ２，故选Ａ．]２．（２0１7·全国卷Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!B [不妨设正方形ABCD 的边长为２，则正方形内切圆的半径为１，可得S 正方形＝４．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝错误!S 圆＝错误!，所以由几何概型知所求概率P ＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｂ．]３．（２0１6·全国卷Ⅱ）从区间[0,１]随机抽取２n 个数x １，x ２，…，x n ，y １，y ２，…，y n ，构成n 个数对（x １，y １），（x ２，y ２），…，（x n ，y n ），其中两数的平方和小于１的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!C [因为x １，x ２，…，x n ，y １，y ２，…，y n 都在区间[0,１]内随机抽取，所以构成的n 个数对（x １，y １），（x ２，y ２），…，（x n ，y n ）都在正方形OABC 内（包括边界），如图所示．若两数的平方和小于１，则对应的数对在扇形OAC 内（不包括扇形圆弧上的点所对应的数对），故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以π＝错误!.]４．（２0１４·全国卷Ⅰ）４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!D [４名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有２４＝１6（种），其中仅在周六（周日）参加的各有１种，∴所求概率为１—错误!＝错误!.]。

北师版高考数学一轮总复习课后习题课时规范练79 随机事件的概率与古典概型

课时规范练79 随机事件的概率与古典概型基础巩固练1.某人在打靶中,连续射击2次,至多有一次中靶的对立事件是( )A.至少有一次中靶B.两次都中靶C.两次都不中靶D.恰有一次中靶2.一批瓶装纯净水,每瓶标注的净含量是550 mL,现从中随机抽取10瓶,测得各瓶的净含量为(单位:mL):若用频率分布估计总体分布,则该批纯净水每瓶净含量在547.5 mL~552.5 mL之间的概率估计为( )A.0.3B.0.5C.0.6D.0.73.(新高考Ⅰ,5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为( )A.16B.13C.12D.234.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A∪B)=( )A.0.3B.0.6C.0.7D.0.95.(广东东莞模拟)“春雨惊春清谷天,夏满芒夏暑相连,秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒,每月两节不变更,最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”,凝结着中华民族的智慧,是中国传统文化的结晶,如五月有立夏、小满,六月有芒种、夏至,七月有小暑、大暑,现从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气,则这两个节气不在同一个月的概率为( )A.45B.12C.15D.110A.对于任意事件A,都有P(A)>0B.必然事件的概率为1C.如果事件A与事件B互斥,那么一定有P(A)+P(B)=1D.若A,B是一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)7.(多选题)已知某养老院75岁及以上的老人占60%.75岁以下的老人中,需要有人全天候陪同的占10%;75岁及以上的老人中,需要有人全天候陪同的占30%.如果从该养老院随机抽取一位老人,则以下结论中正确的是( )A.抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35%B.抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%C.抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%D.抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40%8.(山东省实验中学模拟)某学校门口现有2辆共享电动单车,8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆,则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为.9.(浙江宁波高一统考期末)据浙江省新高考规则,每名同学在高一学期结束后,需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科,还需要从生物学、技术这两门理科学科和思想政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门,设事件E=“选择生物学学科”,F=“选择一门理科学科”,G=“选择政治学科”,H=“选择一门文科学科”,现给出以下四个结论:①G和H是互斥事件但不是对立事件;②F和H是互斥事件也是对立事件;③P(F)+P(G)=1;④P(E∪H)=P(E)+P(H).其中,正确结论的序号是.(请把你认为正确结论的序号都写上)10.(黑龙江佳木斯模拟)学校安全工作事关学生的健康成长,关系到千万个家庭的幸福和安宁,关系到整个社会的和谐稳定.为了普及安全教育,某市准备组织一次安全知识竞赛.某学校为了选拔学生参赛,按性别采用分层随机抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试,根据200名同学的测试成绩得到如下表格:(1)现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训,再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛,求这3名学生中至少有一名女生的概率;(2)根据数据,试问:该校男生和女生在了解安全知识的程度是否与性别有关?附:参考公式χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.综合提升练11.(山东济南模拟)从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形,则所得三角形是直角三角形的概率为( )A.310B.12C.35D.91012.(河北邢台模拟)为了进一步提升员工素质,某公司人力部门从本公司2 600名一线员工中随机抽取100人,进行理论知识和实践技能两项测试(每项测试结果均分为A,B,C三等),取得各等级的人数如下表:已知理论知识测试结果为A的共40人.在参加测试的100人中,从理论知识测试结果为A或B,且实践技能测试结果均为C的人中随机抽取2人,则这2人理论知识测试结果均为A的概率是( )A.35B.25C.12D.3413.有5个形状大小相同的球,其中3个红色、2个蓝色,从中一次性随机取2个球,则下列说法正确的是( )A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率14.(广东韶关模拟)已知甲、乙、丙、丁四位高三学生拍毕业照,这四位同学排在同一行,则甲、乙两位学生相邻的概率为..现有15.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17甲、乙两人从袋中轮流取球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有1人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1)求袋中原有白球的个数;(2)求取球2次即终止的概率;(3)求甲取到白球的概率.创新应用练16.(广东惠州模拟)已知(2x+√x)n(n∈N*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,现从展开式中任取2项,则取到的项都是有理项的概率为( )A.27B.37C.14D.3817.(山东烟台模拟)已知集合U={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20},若从U的所有子集中,等可能地抽取满足条件“A∪B=U,A∩B=⌀”和“若x∈A,则22-x∈B”的两个非空集合A,B,则集合A中至少有三个元素的概率为( )A.443B.732C.96121D.117256课时规范练79 随机事件的概率与古典概型1.B 解析某人在打靶中,连续射击2次的所有可能结果为:①第一次中靶,第二次中靶;②第一次中靶,第二次未中靶;③第一次未中靶,第二次中靶;④第一次未中靶,第二次未中靶.至多有一次中靶包含了②③④三种可能结果,故其对立事件为①,即两次都中靶.2.D 解析从数据可知,在随机抽取的10瓶水中,净含量在547.5mL~552.5mL之间的瓶数为7,频率为710=0.7,以样本频率估计概率,可知该批纯净水每瓶净含量在547.5mL~552.5mL之间的概率估计为0.7.3.D 解析从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有C72=21种不同的取法,若两数不互质,则不同的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,故所求概率P=21-721=23.故选D.4.C 解析因为P(C)=0.6,事件B与C对立,所以P(B)=1-0.6=0.4,又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.5.A 解析由题意,从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气,∴样本点有C62=15个,其中任取两个在同一个月的有3个,∴这两个节气不在同一个月的概率为P=1-315=45.6.BD 解析对于A,对于任意事件A,都有P(A)≥0,故A错误;对于B,必然事件的概率为1,显然正确,故B正确;对于C,如果事件A与事件B对立,那么一定有P(A)+P(B)=1,但互斥事件不一定对立,故C错误;对于D,若A,B是一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)正确,故D正确.故选BD.7.BC 解析不妨设共有100名老人,则根据题意可作出如下表格:所以如果从该养老院随机抽取一位老人,抽到的老人年龄在75岁以下的概率为40%,故A错误;抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%,故选项B正确;抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%,故选项C 正确;抽到的老人年龄在75岁及以上且不需要有人全天候陪同的概率为42%,故选项D 错误,故选BC.8.715 解析恰好有2辆共享自行车被租用的概率为P=C 82C 21C 103=28×2120=715.9.②④ 解析事件H=“选择一门文科学科”,包含“选择思想政治学科”“选择历史学科”“选择地理学科”,所以事件G=“选择思想政治学科”,包含于事件H,故事件G,H 可以同时发生,不是互斥事件,故①错误;事件F=“选择一门理科学科”,与事件H=“选择一门文科学科”,不能同时发生,且必有一个事件发生,故F 和H 是互斥事件也是对立事件,故②正确;由题意可知P(F)=25,P(G)=15,所以P(F)+P(G)=35≠1,故③错误;事件E=“选择生物学学科”,与事件H=“选择一门文科学科”,不能同时发生,故E 和H 是互斥事件,所以P(E ∪H)=P(E)+P(H),故④正确. 10.解(1)200名学生中得分超过85分的人数为150人,其中男生人数为100人,女生人数为50人,因此按性别进行分层随机抽样得: 样本中男生人数为100150×6=4人,样本中女生人数为50150×6=2人,设这3名学生中有至少一名女生为事件A,则P(A)=1-C 43C 20C 63=1-15=45.(2)由表可得,χ2=200×(20×50-30×100)2120×80×50×150=1009≈11.11>6.635,所以有99%的把握认为性别与了解安全知识的程度有关.11.C 解析不妨以点A为例,以点A为其中一个顶点的三角形有△ABC,△ABD,△ABE,△ABF,△ACD,△ACE,△ACF,△ADE,△ADF,△AEF,共10个,其中直角三角形为△ABD,△ABE,△ACD,△ACF,△ADE,△ADF,共6个,故所得三角形是直角三角形的概率为610=35.12.B 解析由题知理论知识测试结果为A,且实践技能测试结果为C的有4人,理论知识测试结果为B,且实践技能测试结果为C的有2人,所以所求概率为P=615=25.13.C 解析当取出的两球为一红一蓝时,可得“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”均发生,即A错误;当取出的两球为一红一蓝时,可得“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”均发生,即B错误;记“至少取到1个红球”为事件A,“至少取到1个蓝球”为事件B,“至多取到1个红球”为事件C,“至多取到1个蓝球”为事件D,故P(A)=C 32+C 31C 21C 52=910,P(B)=C 22+C 31C 21C 52=710,P(C)=C 22+C 31C 21C 52=710,P(D)=C 32+C 31C 21C 52=910,显然P(A)>P(B),P(C)<P(D),即C 正确,D 错误.14.12解析四位同学排列,共有A 44=24种不同排法,若甲、乙两位学生相邻,共有A 22A 33=12种不同排法,所以甲、乙两位学生相邻的概率P=1224=12.15.解(1)设袋中原有n(0<n<7)个白球,从袋中任取2个球都是白球有C n 2=n (n -1)2(种)结果,从袋中任取2个球共有C 72=21(种)结果.由题意知17=n (n -1)221=n (n -1)42,所以n(n-1)=6,解得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球.(2)记“取球2次即终止”为事件A,则P(A)=C 41C 31A 72=27.(3)记“甲取到白球”为事件B.“第i 次取到白球”为事件A i ,i=1,2,3,4,5.因为甲先取,所以甲只能在第1次,第3次和第5次取球.所以P(B)=P(A 1∪A 3∪A 5)=P(A 1)+P(A 3)+P(A 5)=C 31C 71+A 42C 31A 73+A 44C 31A 75=37+635+135=2235.16.A 解析因为展开式中只有第4项的二项式系数最大,所以展开式的总项数为7项,故n=6,展开式的通项为T r+1=C 6r(2x)6-r (√x)r =C 6r 26-r x 6-32r ,当r是偶数时该项为有理项,所以r=0,2,4,6,有4项,所以从展开式中任取2项,都是有理项的概率为P=C 42C 72=27.17.C 解析由A ∪B=U,A∩B=⌀可得A,B 中没有重复数字,由x ∈A,则22-x ∈B 可得A,B 不为空集,且可将U 中10个数字分为5组,分别为2或20,4或18,6或16,8或14,10或12,且每组数中的一个数如果在集合A 中,另一个必在集合B 中,所以集合A 中元素的个数小于等于集合B 中元素的个数,所以集合A 中元素的个数可能为1,2,3,4,5,所以集合A 的可能的个数为C 101+C 52(C 21)2+C 53(C 21)3+C 54(C 21)4+C 55(C 21)5=242,所以P=1-C 101+C 52(C 21)2242=96121.。

北师版高考理科数学一轮总复习课课时规范练60 随机事件的概率

课时规范练60 随机事件的概率基础巩固组1.在5张电话卡中,有3张A 卡和2张B 卡,从中任取2张,若事件“2张全是A 卡”的概率是310,那么概率为710的事件是( )A.至多有一张A 卡B.恰有一张A 卡C.都不是A 卡D.至少有一张A 卡答案:A2.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A 为“向上的点数为1或4”,事件B 为“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是( ) A.A 与B 互斥 B.A 与B 对立 C.P(A+B)=23D.P(A+B)=13 答案:C解析:事件A 与B 不互斥,当向上点数为1时,两者同时发生,故事件A 与B 也不对立.事件A+B表示向上点数为1,3,4,5之一,所以P(A+B)=46=23.故选C.3.(广西南宁三中二模)从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,现有如下说法:①至少有一个黑球与都是黑球是互斥事件;②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件;③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥事件;④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案:C解析:设两个红球为球a、球b,两个黑球为球1、球2,则从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,所有可能的结果为(a,b),(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(1,2),共6种.①至少有一个黑球与都是黑球有公共事件(1,2),故二者不是互斥事件,判断错误;②至少有一个黑球与至少有一个红球有公共事件(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),故二者不是互斥事件,判断正确;③恰好有一个黑球包含事件(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),恰好有两个黑球包含事件(1,2),故二者是互斥事件,判断正确;④至少有一个黑球包含事件(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(1,2),都是红球包含事件(a,b),故二者是对立事件,判断正确.故选C.4.若随机事件A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a 的取值范围是 . 答案:54,43解析:由题意可知{0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A )+P (B )≤1,则{0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1,解得{1<a <2,54<a <32,a ≤43,故54<a≤43.5.已知随机事件A,B 发生的概率满足条件P(A ∪B)=34,某人猜测事件A ∩B发生,则此人猜测正确的概率为 . 答案:14解析:因为事件A ∩B 与事件A ∪B 是对立事件,所以P(A ∩B )=1-P(A ∪B)=1-34=14.6.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,都是白子的概率为1235.求从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率.解:设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B 互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=17+1235=1735,即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为1735.7.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率是0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率是0.3,设各车主购买保险相互独立.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率;(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.解:记A表示事件“该车主购买甲种保险”,B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”,C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种”,D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”.(1)由题意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A∪B,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.(2)因为D与C是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.8.从A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下.所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.解:(1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计概率,可得所求概率为0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率分布如下表:(3)记事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;记事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.用频率估计概率及由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),故乙应选择L2.综合提升组9.(山西朔州怀仁一中二模)7月24日,中共中央办公厅国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》,要求学校做好课后服务,结合学生的兴趣爱好,开设体育、美术、音乐、书法等特色课程.某初级中学在课后延时一小时开设相关课程,为了解学生选课情况,在该校全体学生中随机抽取50名学生进行问卷调查,得到如下数据:(附:计算得到χ2≈8.333)根据以上数据,对该校学生情况判断不正确的是( )A.估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占25B.从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈,则他们每个个体被抽到的概率为15C.从不喜欢体育的20名学生中任选4人做访谈,则事件“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人不喜欢音乐”为对立事件D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系答案:C解析:对于A选项,估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占2050=25,正确;对于B选项,每个个体被抽到的概率为630=15,正确;对于C选项,“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人喜欢音乐”为对立事件,则C错误;对于D选项,由χ2≈8.333>6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系,故D正确.故选C.10.(四川绵阳三模)某车间从生产的一批产品中随机抽取了1 000个零件进行一项质量指标的检测,整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示,则下列结论错误的是( )A.a=0.005B.估计这批产品该项质量指标的众数为45C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60D.从这批产品中随机选取1个零件,其质量指标在[50,70)的概率约为0.5 答案:C解析:(a+0.035+0.030+0.020+0.010)×10=1,解得a=0.005,故A正确;=45,所以众数为45,故B正确; 频率最大的一组为第二组,中间值为40+502质量指标大于等于60的有两组,频率之和为(0.020+0.010)×10=0.3<0.5,所以60不是中位数,故C错误;由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为(0.03+0.02)×10=0.5,可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件,其质量指标在[50,70)的概率约为0.5,故D正确.故选C.创新应用组11.下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天).(1)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(只写出结论,不要求证明)(2)求此人到达该市当日空气质量优良的概率;(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.解:(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.(2)设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,13).,且A i∩A j=⌀(i≠j,j=1,2,…,13).根据题意,P(A i)=113设B为事件“此人到达当日空气优良”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13..所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)=613(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A,即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于150,且小于300”,由题意可知P(A)=P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)=P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)=8.13。

高考总复习理数(北师大版)课时作业提升64随机事件的概率

课时作业提升(六十四) 随机事件的概率A 组夯实基础1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件解析：选D 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ＋B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数138576131810119A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37解析：选A 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A ．4．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为( )A ．25B ．12C ．23D ．13解析：选A 从已知数据得，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二所有学生中任取一人，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为25.5．若随机事件 A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫54，2B ．⎝⎛⎭⎫54，32 C ．⎣⎡⎦⎤54，32D ．⎝⎛⎦⎤54，43解析：选D 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜2－a ＜1，0＜4a －5＜1，3a －3≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜2，54＜a ＜32，a ≤43⇒54＜a ≤43. 6．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0、1、2的概率分别为0.4、0.5、0.1，则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．解析：方法一记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D ，由题意知事件A ，B ，C 彼此互斥，而事件D 包含事件A 与B ，所以P (D )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.方法二记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D ，由题意知C 与D 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.1＝0.9.答案：0.97．(2018·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________.解析：m 可能取到的值有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，对应的基本事件个数依次为1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1，∴两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大．答案：78．(2018·泰安模拟)某城市2017年的空气质量状况如下表所示：100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：359．有编号分别为1,2,3的三个白球，编号分别为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取出的两个球颜色相同的概率； (2)求取出的两个球颜色不同的概率．解：从六个球中取出两个球的基本事件是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个基本事件．(1)记事件A 为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个基本事件，故P (A )＝315＝15；记“取出的两个球是黑球”为事件B ，同理可得P (B )＝15.记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 对立，根据对立事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.B 组能力提升1．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45解析：选D 利用统计图表可知在区间[25,30)上的频率为1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15,20)上的频率为0.04×5＝0.2，故所求二等品的概率为0.45.2．(2018·青岛模拟)设条件甲：“事件A 与B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．3．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为( )A ．12B ．18C ．24D ．32解析：选B 设女同学有x 人，则该班到会的共有(2x －6)人，所以x 2x －6＝23，得x ＝12，故该班参加聚会的同学有18人．故选B ．4．(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：这两只球颜色相同的概率为C 22C 24＝16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56.答案：565．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y，且x >0，y >0，则x ＋y的最小值为________．解析：由题意可知 4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝5＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥9，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝2y 时等号成立．答案：96．(2018·福建联考)现有7名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语．从中随机选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．解：(1)从7人中选出通晓日语、俄语和韩语志愿者各1名，所有基本事件数为3×2×2＝12.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则它包含的基本事件有1×2×2＝4.P (M )＝412＝13.(2)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N －表示“B 1，C 1全被选中”，由于N －包含的基本事件：(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，事件N －有3个基本事件组成，所以P (N －)＝312＝14，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－14＝34.7．上午7：00～7：50，某大桥通过100辆汽车，各时段通过汽车辆数及各时段的平均车速如下表：(1)确定x ，y 的值，并计算这100辆汽车过桥的平均速度；(2)估计一辆汽车在7：00～7：50过桥时车速至少为50公里/小时的概率(将频率视为概率)．解：(1)由题意有x ＋15＋20＝44,30＋y ＝56，解得x ＝9，y ＝26.所求平均速度为9×60＋15×56＋20×52＋30×46＋26×50100＝51(公里/小时)．(2)车速至少为50公里/小时的概率 P ＝9＋15＋20＋26100＝0.7.。

2025年高考数学一轮复习课时作业-随机事件的概率与古典概型【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-随机事件的概率与古典概型【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B,则()A.A∪B表示向上的点数是1或3或5B.A=BC.A∪B表示向上的点数是1或3D.A∩B表示向上的点数是1或52.(5分)抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”,事件B为“向上一面点数为6的约数”,则P(A+B)=()A.13B.12C.23D.563.(5分)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.234.(5分)(2024·厦门模拟)厦门山海健康步道云海线全长约23千米,起于东渡邮轮广场,终于观音山沙滩,沿线串联筼筜湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”.市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览,则选取的景点中有“水”的概率为()A.13B.49C.59D.1091655.(5分)(多选题)(2024·佛山模拟)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动,中奖名额不限,设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”,则()A.A与B为互斥事件B.B与C为对立事件C.A∩B与为互斥事件D. ∩ 与C为对立事件6.(5分)(多选题)(2024·长春模拟)有两批种子,甲批种子15粒,能发芽的占80%,乙批种子10粒,能发芽的占70%,则下列说法正确的有()A.从甲批种子中任取2粒,至少1粒能发芽的概率是3435B.从乙批种子中任取2粒,至多1粒能发芽的概率是715C.从甲、乙两批中各任取1粒,至少1粒能发芽的概率是4750D.如果将两批种子混合后,随机抽出1粒,能发芽的概率为19257.(5分)(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为________.8.(5分)某城市2023年的空气质量状况如表所示:污染指数T3060100概率1101613污染指数T110130140概率730215130其中污染指数T≤50时,空气质量状况为优;50<T≤100时,空气质量状况为良;100<T≤150时,空气质量状况为轻微污染.该城市2023年空气质量状况达到良或优的概率为__________.9.(10分)经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如表:排队人数012344人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率;(2)至少3人排队等候的概率.【能力提升练】10.(5分)如果事件A,B互斥,记 , 分别为事件A,B的对立事件,那么()A.A∪B是必然事件B. ∪ 是必然事件C. 与一定互斥D. 与一定不互斥11.(5分)(多选题)(2024·长春模拟)设m,n∈{-2,-1,0,1,2,3},曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的为()A.曲线C表示双曲线的概率为15B.曲线C表示椭圆的概率为16C.曲线C表示圆的概率为110D.曲线C表示两条直线的概率为1612.(5分)(2024·厦门模拟)17世纪中叶,人们认为同时掷两枚骰子时,若不给两枚骰子标记号,两枚骰子的点数和为6或7的可能结果数相同,则出现的概率就应该相同.然而有人发现,多次的试验结果和人们的预想不一致,这个问题最终被伽利略解决.则()A.当不给两枚骰子标记号时,出现点数和为6的结果有5种B.当给两枚骰子标记号时,出现点数和为7的结果有3种C.当给两枚骰子标记号时,出现点数和为7的概率为16D.当给两枚骰子标记号时,出现点数和为6的概率比出现点数和为7的概率更大13.(10分)近年来,我国科技成果斐然,北斗三号全球卫星导航系统已开通多年,北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星,共30颗卫星组成.现从地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星中任选两颗进行信号分析.(1)求恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗的概率;(2)求至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星的概率.(2)记至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星为事件B,则B包含(1,a), (1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(a,b),(a,c),(b,c),所以P(B)=1215=45.14.(10分)袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球,分别为黑球、黄球、绿球,从中任意取一球,得到黑球或黄球的概率是59,得到黄球或绿球的概率是23,试求:(1)从中任取一球,得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少;(2)从中任取两个球,得到的两个球颜色不相同的概率是多少.2025年高考数学一轮复习课时作业-随机事件的概率与古典概型【含解析】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B,则()A.A∪B表示向上的点数是1或3或5B.A=BC.A∪B表示向上的点数是1或3D.A∩B表示向上的点数是1或5【解析】选A.设A={1,3},B={1,5},则A∩B={1},A∪B={1,3,5},所以A≠B,A∩B表示向上的点数是1,A∪B表示向上的点数为1或3或5.2.(5分)抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”,事件B为“向上一面点数为6的约数”,则P(A+B)=()A.13B.12C.23D.56【解析】选D.由题意得,抛掷结果有6种等可能的结果,事件A即为向上一面的点数为2或4或6,事件B即为向上一面的点数为1或2或3或6,事件A+B即为向上一面的点数为1或2或3或4或6,所以P(A+B)=56.3.(5分)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.23【解析】选D.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有C72=21种不同的取法,若两数不互质,不同的取法有:(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,故所求概率P=21-721=23.4.(5分)(2024·厦门模拟)厦门山海健康步道云海线全长约23千米,起于东渡邮轮广场,终于观音山沙滩,沿线串联筼筜湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”.市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览,则选取的景点中有“水”的概率为()A.13B.49C.59D.109165【解析】选C.11个景点随机选取相邻的3个游览,共有9种情况,选取景点中有“水”的对立事件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的,共有4种情况,则其概率P=49,则11个景点中随机选取相邻的3个游览,则选取的景点中有“水”的概率P=1-49=59.5.(5分)(多选题)(2024·佛山模拟)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动,中奖名额不限,设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”,则()A.A与B为互斥事件B.B与C为对立事件C.A∩B与为互斥事件D. ∩ 与C为对立事件【解析】选CD.因为事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”,对于A中,事件A与B可能同时发生,所以A错误;对于B中,由事件C的对立事件为甲、乙都不中奖,所以B错误;对于C中,由事件A∩B表示甲、乙都中奖,事件表示甲、乙都不中奖,所以不可能同时发生,所以A∩B与为互斥事件,所以C正确;对于D中,由事件 ∩ 表示甲、乙都不中奖,事件C表示甲、乙至少有一人中奖,所以 ∩ 与C为对立事件,所以D正确.6.(5分)(多选题)(2024·长春模拟)有两批种子,甲批种子15粒,能发芽的占80%,乙批种子10粒,能发芽的占70%,则下列说法正确的有()A.从甲批种子中任取2粒,至少1粒能发芽的概率是3435B.从乙批种子中任取2粒,至多1粒能发芽的概率是715C.从甲、乙两批中各任取1粒,至少1粒能发芽的概率是4750D.如果将两批种子混合后,随机抽出1粒,能发芽的概率为1925【解析】选ACD.甲批种子15粒,能发芽的占80%,乙批种子10粒,能发芽的占70%,则甲批有15×80%=12粒发芽,乙批有10×70%=7粒发芽.A:从甲批种子任取2粒,至少1粒能发芽的概率为P=1-C32C152=3435,故A正确;B:从乙批种子任取2粒,至多1粒能发芽的概率为P=C32C102+C31C71C102=815,故B错误;C:从甲、乙两批种子中各取1粒,至少1粒能发芽的概率为P=1-C31C31C151C101=4750,故C正确;D:将两批种子混合后,随机抽取1粒能发芽的概率为P=C191C251=1925,故D正确.7.(5分)(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为________.【解析】根据题意,从正方体的8个顶点中任选4个,有C84=70种取法,若这4个点在同一个平面,有侧面6个、对棱面6个,一共有6+6=12种情况,则这4个点在同一个平面的概率P=1270=635.答案:6358.(5分)某城市2023年的空气质量状况如表所示:污染指数T3060100概率1101613污染指数T110130140概率730215130其中污染指数T≤50时,空气质量状况为优;50<T≤100时,空气质量状况为良;100<T≤150时,空气质量状况为轻微污染.该城市2023年空气质量状况达到良或优的概率为__________.【解析】从题表中可以看出,空气质量为优的概率为110空气质量为良的概率为16+13=12.所以空气质量状况达到良或优的概率为110+12=35.答案:359.(10分)经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如表:排队人数012344人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率;(2)至少3人排队等候的概率.【解析】记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“4人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)方法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F) =P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.方法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.【能力提升练】10.(5分)如果事件A,B互斥,记 , 分别为事件A,B的对立事件,那么()A.A∪B是必然事件B. ∪ 是必然事件C. 与一定互斥D. 与一定不互斥【解析】选B.如图①所示,A∪B不是必然事件, ∪ 是必然事件, 与不互斥;如图②所示,A∪B是必然事件, ∪ 是必然事件, 与互斥.11.(5分)(多选题)(2024·长春模拟)设m,n∈{-2,-1,0,1,2,3},曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的为()A.曲线C表示双曲线的概率为15B.曲线C表示椭圆的概率为16C.曲线C表示圆的概率为110D.曲线C表示两条直线的概率为16【解析】选BD.对于A,当mn<0时,曲线C表示双曲线,则当m >0,n <0时,有C 31·C 21=6种,当m <0,n >0时,有C 21·C 31=6种,所以曲线C 表示双曲线的概率为12C 61C 61=13,故A 不正确;对于B,当m >0,n >0,且m ≠n 时,曲线C 表示椭圆,所以有A 32=6种,曲线C 表示椭圆的概率为6C 61C 61=16,故B 正确;对于C,当m =n >0时,曲线C 表示圆,有3种情况,曲线C 表示圆的概率为3C 61C 61=112,故C 不正确;对于D,当m =0,n >0或m >0,n =0时,曲线C 表示两条直线,当m =0,n >0时,有3种情况,当m >0,n =0时,有3种情况,共6种情况,曲线C 表示两条直线的概率为6C 61C 61=16,故D 正确.12.(5分)(2024·厦门模拟)17世纪中叶,人们认为同时掷两枚骰子时,若不给两枚骰子标记号,两枚骰子的点数和为6或7的可能结果数相同,则出现的概率就应该相同.然而有人发现,多次的试验结果和人们的预想不一致,这个问题最终被伽利略解决.则()A .当不给两枚骰子标记号时,出现点数和为6的结果有5种B .当给两枚骰子标记号时,出现点数和为7的结果有3种C .当给两枚骰子标记号时,出现点数和为7的概率为16D .当给两枚骰子标记号时,出现点数和为6的概率比出现点数和为7的概率更大【解析】选C .对A,当不给两枚骰子标记号时,出现点数和为6的结果有1,5,2,4,3,3共三种情况,故A 错误;对B,当给两枚骰子标记号时,出现点数和为7的结果有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1共6种情况,故B 错误;对C,由B,出现点数和为7的情况共6种,投掷两枚骰子所有可能的情况有6×6=36种,故出现点数和为7的概率为636=16,故C正确;对D,当给两枚骰子标记号时,出现点数和为6的结果有1,5,2,4,3,3, 4,2,5,1共5种情况,故出现点数和为7的概率为536<16,故D错误.13.(10分)近年来,我国科技成果斐然,北斗三号全球卫星导航系统已开通多年,北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星,共30颗卫星组成.现从地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星中任选两颗进行信号分析.(1)求恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗的概率;(2)求至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星的概率.【解析】(1)记地球静止轨道卫星为1,2,3,记倾斜地球同步轨道卫星为a,b,c,则所有的选择为(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(1,c),(2,3),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c), (a,b),(a,c),(b,c).记恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗为事件A,则A包含(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),所以P(A)=915=35;(2)记至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星为事件B,则B包含(1,a), (1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(a,b),(a,c),(b,c),所以P(B)=1215=45.14.(10分)袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球,分别为黑球、黄球、绿球,从中任意取一球,得到黑球或黄球的概率是59,得到黄球或绿球的概率是23,试求:(1)从中任取一球,得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少;(2)从中任取两个球,得到的两个球颜色不相同的概率是多少.【解析】(1)从中任取一球,分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A,B,C,由于A,B,C为互斥事件,根据已知得( )+ ( )+ ( )=1, ( )+ ( )=59,( )+ ( )=23,解得 ( )=13, ( )=29, ( )=49,所以从中任取一球,得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13,29,49.(2)由(1)知黑球、黄球、绿球的个数分别为3,2,4,得到的两个球同色的可能有:两个黑球共3种情况,两个黄球只有1种情况,两个绿球共有6种情况.而从9个球中取出2个球的情况共有36种,所以任取两个球,得到的两个球颜色相同的概率为3+6+136=518,则得到的两个球颜色不相同的概率是1-518=1318.。