2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语章末综合检测(一)新人教B版选修2_1

章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中是命题的为( )①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R，5x－3＞6.A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选D．①无法判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④为命题．2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B．量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．3．命题“若a＞0，则a2＞0”的逆命题是( )A．若a＞0，则a2≤0B．若a2＞0，则a＞0C．若a≤0，则a2＞0D．若a≤0，则a2≤0解析：选B．将原命题的条件和结论互换即得．4．对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是( )A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α解析：选C．因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C．5．已知a，b，c∈R，命题若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3的否命题是( )A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：选A．a＋b＋c＝3的否定形式是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定形式是a2＋b 2＋c 2＜3.6．已知a ，b 都是实数，命题p ：a ＋b ＝2；命题q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．由直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，得|a ＋b |2＝2，即a ＋b＝±2，所以p 是q 的充分但不必要条件．7．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，2x －1＞0B ．∀x ∈N ＋，(x －1)2＞0 C ．∃x ∈R ，lg x ＜1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析：选B ．A 中命题是全称命题，易知2x －1＞0恒成立，故是真命题；B 中命题是全称命题，当x ＝1时，(x －1)2＝0，故是假命题； C 中命题是存在性命题，当x ＝1时，lg x ＝0，故是真命题； D 中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题． 8．下列命题是真命题的是( ) A ．若x ＝y ，则1x ＝1yB ．若f (x )为偶函数，则f (－x )f (x )＝1 C ．若a ＝－2b ，则|a |＝2|b | D ．若a >b ＋1，则a 2>b 2解析：选C ．对A ，当x ＝y ＝0时，1x ，1y无意义，故A 为假命题．对B ，当f (x )＝0，x∈R 时，f (－x )f (x )无意义，故B 为假命题．C 为真命题．对D ，当a ＝1，b ＝－3时，a 2<b 2，故D 为假命题．9．已知命题p ：“若a ＞b ＞0，则log 12a ＜log 12b ＋1”，则命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．4B ．1C ．2D ．0解析：选C ．因为a ＞b ＞0，所以log 12a ＜log 12b ＋1.故原命题为真，反之不一定成立，故其逆命题为假．又因为原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，故选C ．10．给定下列命题：①“x ∈N ”是“x ∈N ＋”的充分不必要条件； ②“若sin α≠12，则α≠π6”；③“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题； ④命题“∃x ∈R ，使x 2－x ＋1≤0”的否定． 其中是真命题的是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．③④D ．②③④解析：选B ．“x ∈N ”是“x ∈N ＋”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为：若α＝π6，则sin α＝12正确，故②正确；若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，③错误；④正确． 11．在△ABC 中，能使sin A >32成立的充分不必要条件是( ) A ．A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3B ．A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3C ．A ∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2D ．A ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，5π6 解析：选C ．因为在△ABC 中，sin A >32时，π3<A <2π3，所以能使sin A >32成立的充分不必要条件是选项C ．12．下列命题中的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0” D ．命题“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”的逆否命题为真命题解析：选D ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不对；“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不对；命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 不对；在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sinB 为真，则它的逆否命题也为真命题，故D 正确．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．命题“∃x ∈{x |x 是正实数}，使x ＜x ”的否定为________命题．(填“真”或“假”)解析：原命题的否定为“∀x ∈{x |x 是正实数}，使x ≥x ”，是假命题． 答案：假14．设p ：x ＞2或x ＜23；q ：x ＞2或x ＜－1，则﹁p 是﹁q 的________条件．解析：﹁p ：23≤x ≤2.﹁q ：－1≤x ≤2.﹁p ⇒﹁q ，且﹁q ⇒/ ﹁p . 所以﹁p 是﹁q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要15．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ≥a ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：因为x 2－x ≥6， 所以x ≤－2或x ≥3.因为p 是q 的必要不充分条件， 所以{x |x ≥a }{x |x ≤－2或x ≥3}． 所以a ≥3. 答案：[3，＋∞) 16．下列命题：①∃α，β∈R ，使cos(α－β)＝cos α＋cos β； ②∀x ∈R ，x 6＋x 3＋1>0； ③∀x ，y ∈R ，x ＋y2≥xy ； ④∀x ，y ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≥xy . 其中假命题是________(写出所有假命题的序号)． 解析：①当α＝β＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝cos 0＝1， cos π3＋cos π3＝12＋12＝1，成立；②x 6＋x 3＋1＝(x 3)2＋(x 3)＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋122＋34>0成立；③当x ＝－3，y ＝1时，x ＋y 2＝－3＋12＝－1<0，且－3无意义；④⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≥xy ⇔(x ＋y )2≥4xy ⇔(x －y )2≥0成立． 答案：③三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)判断下列全称命题或存在性命题的真假． (1)∀x ∈R ，x 2＋1≥1；(2)有一个实数x ，使得x 2＋2x ＋3＝0； (3)存在两个相交平面垂直于同一条直线．解：(1)∀x ∈R ，总有x 2≥0，因而x 2＋1≥1，所以全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题．(2)由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使得x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在，所以存在性命题“有一个实数x ，使得x 2＋2x ＋3＝0”是假命题．(3)由于垂直于同一直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．18．(本小题满分12分)已知a >12且a ≠1，条件p ：函数f (x )＝log (2a －1)x 在其定义域上是减函数；条件q ：函数g (x )＝x ＋|x －a |－2的定义域为R ，如果p ∨q 为真，试求a 的取值范围．解：若p 为真，则0<2a －1<1，得12<a <1.若q 为真，则x ＋|x －a |－2≥0对∀x ∈R 恒成立．记f (x )＝x ＋|x －a |－2.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a －2，x ≥a ，a －2，x <a ，所以f (x )的最小值为a －2，即q 为真时，a －2≥0， 即a ≥2.于是p ∨q 为真时，得12<a <1或a ≥2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)． 19．(本小题满分12分)已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若﹁p 是﹁q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0且a ＜0得3a ＜x ＜a ， 所以p ：3a ＜x ＜a ，即集合A ＝{x |3a ＜x ＜a }． 由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，所以q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为﹁q ⇒﹁p ， 所以p ⇒q .所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a ＜0⇒－23≤a ＜0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.20．(本小题满分12分)已知命题p ：x －5x＜0，命题q ：函数y ＝log 2(x 2－x －12)有意义．(1)若p ∧q 为真命题，求实数x 的取值范围； (2)若p ∨(﹁q )为假命题，求实数x 的取值范围． 解：由x －5x＜0，得0＜x ＜5， 要使函数y ＝log 2(x 2－x －12)有意义， 需x 2－x －12＞0， 解得x ＜－3或x ＞4.(1)若p ∧q 为真命题，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜5，x ＜－3或x ＞4，解得4＜x ＜5.(2)若p ∨(﹁q )为假命题，则p 与﹁q 都为假命题， 所以﹁p 与q 都为真命题，因为﹁p ：x ≤0或x ≥5，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥5，x ＜－3或x ＞4，解得x ＜－3或x ≥5.21．(本小题满分12分)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x ＞a ；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，如果“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求a 的取值范围．解：命题p ：“∀x ∈R ，x 2－2x ＞a ”， 即x 2－2x ＝(x －1)2－1＞a 恒成立⇒a ＜－1. 命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”， 即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实数根．所以Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0⇔a ≤－2或a ≥1. 因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以p 与q 一真一假．当p 真，q 假时，－2＜a ＜－1；当p 假，q 真时，a ≥1.所以a 的取值范围是(－2，－1)∪[1，＋∞)．22．(本小题满分12分)对于函数f (x )，若命题“∀x 0∈R ，f (x 0)≠x 0”的否定为真命题，则称x 0为函数f (x )的不动点．(1)若函数f (x )＝x 2－mx ＋4有两个相异的不动点，求实数m 的取值集合M ；(2)在(1)中的条件下，设不等式(x －a )(x ＋a －2)＞0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知方程x 2－mx ＋4＝x ，即x 2－(m ＋1)x ＋4＝0有两个相异的实根，所以Δ＝[－(m ＋1)]2－16＞0，解得m ＞3或m ＜－5，即M ＝{m |m ＜－5或m ＞3}．(2)解不等式(x －a )(x ＋a －2)＞0，当a ＞1时，N ＝{x |x ＞a 或x ＜2－a }；当a ＜1时，N ＝{x |x ＞2－a 或x ＜a }；当a ＝1时，N ＝{x |x ≠1}．因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分不必要条件，所以NM .当a ＞1时，⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤－5，a ≥3(等号不同时取到)，解得a ≥7；当a ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－5，2－a ≥3(等号不同时取到)，解得a ≤－5；当a ＝1时，不合题意，舍去．综上可得实数a 的取值范围是a ≥7或a ≤－5.。