b Confidence Intervals81B置信区间

什么是置信区间（置信水平Confidencelevel）？其与样本量的关系

什么是置信区间（置信水平Confidencelevel）？其与样本量的关系置信区间(置信水平Confidence level)是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。

置信区间越大，置信水平越高。

一、置信区间的概念置信区间又称估计区间，是用来估计参数的取值范围的。

常见的52％－64％，或8－12，就是置信区间（估计区间）。

置信区间是按下列三步计算出来的：第一步：求一个样本的均值第二步：计算出抽样误差。

人们经过实践，通常认为调查:100个样本的抽样误差为±10％500个样本的抽样误差为±5％1,200个样本时的抽样误差为±3％第三步：用第一步求出的“样本均值”加、减第二步计算的“抽样误差”，得出置信区间的两个端点。

举例说明：美国Gallup（盖洛普）公司就消费者对美国产品质量的看法，对美国、德国和日本三国共计3,500名消费者（每个国家约1,200名）分别进行了调查,调查结果：有55%的美国人认为美国产品质量好,而只有26%的德国人和17%的日本人持同样看法。

抽样误差为±3％，置信水平为95％。

则这三个国家消费者的置信区间分别为：国别样本均值抽样误差置信区间美国55%±3%52％－58％德国26%±3％23％－29％日本17%±3％14％－20％二、关于置信区间的宽窄窄的置信区间比宽的置信区间能提供更多的有关总体参数的信息。

假设全班考试的平均分数为65分，则置信区间间隔宽窄度表达的意思0－100分100宽等于什么也没告诉你30－80分50较窄你能估出大概的平均分了（55分）60－70分10窄你几乎能判定全班的平均分了（65分）三、样本量对置信区间的影响影响：在置信水平固定的情况下，样本量越多，置信区间越窄。

下面是经过实践计算的样本量与置信区间关系的变化表（假设置信水平相同）：样本量置信区间间隔宽窄度10050%—70%20宽80056.2%－63.2%7较窄1,60057.5%—63%5.5较窄3,20058.5%—62%3.5更窄由上表得出:1、在置信水平相同的情况下，样本量越多，置信区间越窄。

置信度区间

置信度区间介绍置信度区间（Confidence Interval）是统计学中一个重要的概念，在数据分析和推断中扮演着重要的角色。

它是基于样本数据计算出的一个区间，用于估计总体参数的范围。

通过置信度区间，我们可以对总体参数的真实值进行推测，并给出一个信心水平。

置信度的定义置信度是对估计值准确性的度量，表示某个区间包含真实参数值的程度。

在统计学中，置信度通常以百分比的形式给出，如95%置信度。

构建置信度区间构建置信度区间需要考虑样本的大小、样本的均值和标准差以及所选的置信度水平。

以下是构建置信度区间的一般步骤：1.收集样本数据并计算样本的均值和标准差。

2.根据样本的大小和所选的置信度水平，确定置信度的标准差。

3.根据正态分布表，找到置信度区间对应的临界值。

4.计算置信度区间的上界和下界，并表示为估计值加减一个标准误差的倍数。

置信度区间的解释置信度区间给出了总体参数的一个范围估计，并指示了估计值的准确性。

例如，一个95%的置信度区间意味着，在一系列的实验中，有95%的区间包含了真实参数值。

值得注意的是，置信度区间并不说明真实参数值在区间内的概率。

真实参数值要么落在区间内，要么不在区间内，不存在“有95%的概率真实参数在区间内”的说法。

置信度区间的应用置信度区间在统计推断中有着广泛的应用。

它可以用于估计总体均值、总体比例、总体方差等参数。

估计总体均值当我们想要估计总体均值时，可以通过样本均值构建置信度区间。

假设样本均值为x̄，样本标准差为s，样本大小为n，选取的置信度为1-α（α为显著性水平），则置信度区间的计算公式为：x̄± Z(α/2) * s/√n其中，Z(α/2)为标准正态分布的临界值，α/2为双尾检验的显著性水平。

估计总体比例当我们想要估计总体比例时，可以通过样本比例构建置信度区间。

假设样本比例为p̄，样本大小为n，选取的置信度为1-α（α为显著性水平），则置信度区间的计算公式为：p̄± Z(α/2) * √(p̄(1-p̄)/n)其中，Z(α/2)为标准正态分布的临界值，α/2为双尾检验的显著性水平。

Meaning and use of confidence intervals意义与使用的置信区间共14页文档

computing a confidence interval for the population mean • calculate a confidence interval for the population mean using sample data • state the assumptions underlying the above calculation
Recall this theorem says that the sampling distribution of the mean has a normal distribution, for large sample sizes.
So even when data are not normal, the formula for a 95% confidence interval will give an interval whose “confidence” is still high - approximately 95%.
• Whenever sample data is used to find an estimate of a popn parameter, it should be accompanied by a measure of its precision!
• The formula s/n applies only when using x
Better attach some measure of uncertainty than worry about exact confidence level.
11
Note: The formula on slide 6 for a confidence interval applies when estimation of is of interest. Different assumptions on the data, and interest in other population parameters, will lead to different confidence intervals. Practical work follows …

置信区间(详细定义及计算)

P{
2
z } 1
2

n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{

n
z
2

X

n
z
2}
1
P{X

n
z 2

X

n
z 2} 1
这就是说随机区间

[ X n z 2 , X n z 2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形
数学期望和方差 2的区间估计。 5
设 X1, X 2 ,, X n 为总体 X ~ N (, 2 ) 的样本，
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 1 ，这里是一个很小
的正数，称为显著水平。
2
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的两个统计量
1 1( X1, X 2 ,, X n ),
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96) 即 (x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。

Confidence Interval(置信区间)

我们将采用如下所示的单边测试
我们将采用如下所示的单边测试
方法.
方法.
a
1a
a
1a
<
>
置信区间
风险
风险
置信区间
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在此a=.05的例子中，整体风险区域是在一边的. 用适当的Z值写出相对应的不等式.
X 1.645 n
X 1.645 n
7
The Effect Of Level of Significance (a On Confidence Interval
X
Z a
n
X
Za
n
2
2
X Za n or X Za n
A confidence interval describes range of plausible values for a population parameter.
Interval size is based on one of several statistical distributions.
A sample of 10 parts from one of the torsioning stations yielded an average torsion of 198.75lbs with an s=2.333 lbs. Are the parts being made to spec?
Foot Lbs Torque (197.844, 199.627) -2.97 0.008
Variable
95.0% CI
T
P
Foot Lbs Torque 20
Variable
N
198.735 Mean

概率论和数理统计（李慧斌）复习大纲-第7章-置信区间-Confidence-Intervals

概率论与数理统计(李慧斌)复习大纲Chapter 7 Confidence Intervals置信区间7.1 Sampling Distribution 抽样分布统计量的分布称为抽样分布。

在本节中，我们将从正态分布推导出随机样本的样本方差分布，以及样本均值和样本方差的各种函数的分布。

复习：Thm 5.5.2若X1, X2,…, X n独立且满足，i= 1,2,…,n，若C1, C2,…, C n不全为零，则Corollary 5.5.2 设随机变量X1, X2,…, X n组成随机样本，满足正态分布，其中均值μ和方差σ2，则7.2 χ2Distribution卡方分布定义：若随机变量X1, X2,…, X n独立同分布且其中每个随机变量都满足标准正态分布，所以有着以n阶自由度卡方分布(χ2distribution with n degrees of freedom)，记作，n来源于独立随机变量中以n阶自由度的χ2分布的概率密度函数其中欧拉函数定义为χ2分布的性质：定理1定理2 （χ2分布的可加性）若X ~χ2 (n) , Y ~χ2(m)，X, Y独立，则X+Y ~ χ2 (n+m)例：设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，证明Thm 7.3.1 设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，则：（1）与独立；（2）注：，虽然基于n个，但是它们之和为0，所以指定数量的n-1确定剩余值。

因此有n-1阶自由度。

结果表明，只有从正态分布中抽取随机样本，样本均值和样本方差才是独立的。

证明如下：的联合概率分布函数为其中A为正交矩阵(orthogonal matrix)，且的联合概率分布函数为因此独立且⇒与独立且7.4 The t Distribution t分布定义：设X ~ N(0, 1), Y ~χ2 (n)且X和Y独立，则随机变量所满足的分布称为n阶自由度t分布，记作，其中的概率密度函数为t分布的性质：（1）f(x)图像呈钟型，且中心为0；（2）它的一般形状类似于平均分布0的正态分布的概率密度函数。

置信区间法

置信区间法一、概述置信区间法（Confidence interval）是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。

在实际应用中，我们通常无法获得全体数据，只能通过从总体中抽取样本来进行推断。

而置信区间法可以帮助我们利用样本数据来估计总体参数，并给出一个可信的范围。

二、置信水平置信水平（Confidence level）是指在重复抽样的情况下，置信区间包含真实参数值的比例。

通常情况下，我们使用95%或99%作为置信水平。

三、构建置信区间构建置信区间需要以下三个步骤：1. 确定总体分布类型和总体参数；2. 根据样本数据估计总体参数；3. 利用统计方法确定置信区间。

四、正态分布情况下的置信区间当总体分布为正态分布时，可以使用t分布或标准正态分布来构建置信区间。

1. 样本量大于30且已知总体标准差时，使用标准正态分布构建置信区间；2. 样本量小于30或未知总体标准差时，使用t分布构建置信区间。

五、t分布情况下的置信区间当样本量小于30或未知总体标准差时，使用t分布构建置信区间。

1. 确定置信水平和自由度；2. 根据样本数据计算样本均值和样本标准差；3. 计算t值；4. 根据t分布表查找临界值；5. 构建置信区间。

六、实例假设我们想要估计一批产品的平均重量。

我们从该批产品中随机抽取了20个样本，得到平均重量为100g，标准差为10g。

现在我们希望以95%的置信水平来估计总体平均重量的范围。

1. 确定总体分布类型和总体参数：假设总体分布为正态分布，未知总体参数；2. 根据样本数据估计总体参数：样本均值为100g，样本标准差为10g；3. 利用统计方法确定置信区间：（1）因为样本量大于30且已知总体标准差，所以使用标准正态分布构建置信区间；（2）查找标准正态分布表可得到95%置信水平下的临界值为1.96；（3）根据公式：（x̄-zα/2 * σ/√n, x̄+zα/2 * σ/√n），计算置信区间为（96.08g, 103.92g）。

置信区间(Confidence Interval)

置信区间（Confidence Interval）分类：专业学习2010-04-28 13:32阅读(6841)评论(5)一直做着的不确定性分析，很多时候会涉及到置信区间的概念，但一直没能有个清晰的认识，今天终于从网上查资料，具体核实了置信区间的含义。

95%置信区间（Confidence Interval,CI）：当给出某个估计值的95%置信区间为【a,b】时，可以理解为我们有95%的信心（Confidence）可以说样本的平均值介于a到b之间，而发生错误的概率为5%。

有时也会说90%，99%的置信区间，具体含义可参考95%置信区间。

置信区间具体计算方式为:(1)知道样本均值(M)和标准差(ST)时：置信区间下限：a=M - n*ST; 置信区间上限：a=M + n*ST;当求取90% 置信区间时n=1.645当求取95% 置信区间时n=1.96当求取99% 置信区间时n=2.576（2）通过利用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法获得估计值分布时：先对所有估计值样本进行排序，置信区间下限：a为排序后第lower%百分位值; 置信区间上限：b为排序后第upper%百分位值.当求取90% 置信区间时 lower=5 upper=95;当求取95% 置信区间时lower=2.5 upper=97.5当求取99% 置信区间时lower=0.5 upper=99.5当样本足够大时，（1）和（2）获取的结果基本相等。

参考资料：http://140.116.72.80/~smallko/ns2/confidence_interval.htm附刚准备MATLAB 求取置信区间源码：……………………………………………………………………………………………………………………%%% 置信区间的定义90%，95%，99%clearclcsampledata=randn(10000,1);a=0.01; %0.01 对应99%置信区间，0.05 对应95%置信区间，0.1 对应90%置信区间if a==0.01n=2.576; % 2.576 对应99%置信区间，1.96 对应95%置信区间，1.645 对应90%置信区间elseif a==0.05n=1.96;elseif a==0.1n=1.645;end%计算对应百分位值meana=mean(sampledata);stda=std(sampledata);sorta=sort(sampledata); %对数据从小到大排序leng=size(sampledata,1);CIa(1:2,1)=[sorta(leng*a/2);sorta(leng*(1-a/2))]; %利用公式计算置信区间CIf(1:2,1)=[meana-n*stda;meana+n*stda];。

置信区间（Confidenceinterval）是啥

置信区间（Confidenceinterval）是啥
可信程度那种~
对这个样本的某个总体参数的区间估计。

置信区间展现的是这个参数的真实值有⼀定概率落在测量结果的周围的程度。

置信区间给出的是被测量参数测量值的可信程度范围，即前⾯所要求的“⼀定概率”。

这个概率被称为置信⽔平
如果在⼀次⼤选中某⼈的⽀持率为55%，⽽置信⽔平0.95上的置信区间是（50%,60%），那么他的真实⽀持率有百分之九⼗五的机率落在百分之五⼗和百分之六⼗之间，因此他的真实⽀持率不⾜⼀半的可能性⼩于百分之2.5（假设分布是对称的）。

如例⼦中⼀样，置信⽔平⼀般⽤百分⽐表⽰，因此置信⽔平0.95上的置信区间也可以表达为：95%置信区间。

置信区间的两端被称为置信极限。

对⼀个给定情形的估计来说，置信⽔平越⾼，所对应的置信区间就会越⼤。

置信区间与置信水平

置信区间与置信水平“置信区间与置信水平、样本量的关系置信水平Confidence level置信水平是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。

置信区间越大，置信水平越高。

一、置信区间的概念置信区间又称估计区间，是用来估计参数的取值范围的。

常见的52％－64％，或8－12，就是置信区间（估计区间）。

置信区间是按下列三步计算出来的：第一步：求一个样本的均值第二步：计算出抽样误差。

人们经过实践，通常认为调查:100个样本的抽样误差为±10％500个样本的抽样误差为±5％1,200个样本时的抽样误差为±3％第三步：用第一步求出的“样本均值”加、减第二步计算的“抽样误差”，得出置信区间的两个端点。

举例说明：美国Gallup（盖洛普）公司就消费者对美国产品质量的看法，对美国、德国和日本三国共计3,500名消费者（每个国家约1,200名）分别进行了调查,调查结果：有55%的美国人认为美国产品质量好,而只有26%的德国人和17%的日本人持同样看法。

抽样误差为±3％，置信水平为95％。

则这三个国家消费者的置信区间分别为：国别样本均值抽样误差置信区间美国55% ±3% 52％－58％德国26% ±3％ 23％－29％日本17% ±3％ 14％－20％二、关于置信区间的宽窄窄的置信区间比宽的置信区间能提供更多的有关总体参数的信息。

假设全班考试的平均分数为65分，则置信区间间隔宽窄度表达的意思0－100分 100 宽等于什么也没告诉你30－80分50 较窄你能估出大概的平均分了（55分）60－70分10 窄你几乎能判定全班的平均分了（65分）三、样本量对置信区间的影响影响：在置信水平固定的情况下，样本量越多，置信区间越窄。

下面是经过实践计算的样本量与置信区间关系的变化表（假设置信水平相同）：样本量置信区间间隔宽窄度100 50%—70% 20 宽800 %－% 7 较窄1,600 %—63% 较窄3,200 %—62% 更窄由上表得出:1、在置信水平相同的情况下，样本量越多，置信区间越窄。

置信区间与置信水平

“置信区间与置信水平、样本量的关系置信水平Confidence level置信水平是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。

置信区间越大，置信水平越高。

一、置信区间的概念置信区间又称估计区间，是用来估计参数的取值范围的。

常见的52％－64％，或8－12，就是置信区间（估计区间）。

置信区间是按下列三步计算出来的：第一步：求一个样本的均值第二步：计算出抽样误差。

人们经过实践，通常认为调查:100个样本的抽样误差为±10％500个样本的抽样误差为±5％1,200个样本时的抽样误差为±3％第三步：用第一步求出的“样本均值”加、减第二步计算的“抽样误差”，得出置信区间的两个端点。

举例说明：美国Gallup（盖洛普）公司就消费者对美国产品质量的看法，对美国、德国和日本三国共计3,500名消费者（每个国家约1,200名）分别进行了调查,调查结果：有55%的美国人认为美国产品质量好,而只有26%的德国人和17%的日本人持同样看法。

抽样误差为±3％，置信水平为95％。

则这三个国家消费者的置信区间分别为：国别样本均值抽样误差置信区间美国55% ±3% 52％－58％德国26% ±3％ 23％－29％日本17% ±3％ 14％－20％二、关于置信区间的宽窄窄的置信区间比宽的置信区间能提供更多的有关总体参数的信息。

假设全班考试的平均分数为65分，则置信区间间隔宽窄度表达的意思0－100分 100 宽等于什么也没告诉你30－80分50 较窄你能估出大概的平均分了（55分）60－70分10 窄你几乎能判定全班的平均分了（65分）三、样本量对置信区间的影响影响：在置信水平固定的情况下，样本量越多，置信区间越窄。

下面是经过实践计算的样本量与置信区间关系的变化表（假设置信水平相同）：样本量置信区间间隔宽窄度100 50%—70% 20 宽800 56.2%－63.2% 7 较窄1,600 57.5%—63% 5.5 较窄3,200 58.5%—62% 3.5 更窄由上表得出:1、在置信水平相同的情况下，样本量越多，置信区间越窄。

置信区间与置信水平

“置信区间与置信水平、样本量的关系置信水平Confidence level置信水平是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。

置信区间越大，置信水平越高。

一、置信区间的概念置信区间又称估计区间，是用来估计参数的取值范围的。

常见的52％－64％，或8－12，就是置信区间（估计区间）。

置信区间是按下列三步计算出来的：第一步：求一个样本的均值第二步：计算出抽样误差。

人们经过实践，通常认为调查:100个样本的抽样误差为±10％500个样本的抽样误差为±5％1,200个样本时的抽样误差为±3％第三步：用第一步求出的“样本均值”加、减第二步计算的“抽样误差”，得出置信区间的两个端点。

举例说明：美国Gallup（盖洛普）公司就消费者对美国产品质量的看法，对美国、德国和日本三国共计3,500名消费者（每个国家约1,200名）分别进行了调查,调查结果：有55%的美国人认为美国产品质量好,而只有26%的德国人和17%的日本人持同样看法。

抽样误差为±3％，置信水平为95％。

则这三个国家消费者的置信区间分别为：国别样本均值抽样误差置信区间美国55% ±3% 52％－58％德国26% ±3％ 23％－29％日本17% ±3％ 14％－20％二、关于置信区间的宽窄窄的置信区间比宽的置信区间能提供更多的有关总体参数的信息。

假设全班考试的平均分数为65分，则置信区间间隔宽窄度表达的意思0－100分 100 宽等于什么也没告诉你30－80分50 较窄你能估出大概的平均分了（55分）60－70分10 窄你几乎能判定全班的平均分了（65分）三、样本量对置信区间的影响影响：在置信水平固定的情况下，样本量越多，置信区间越窄。

下面是经过实践计算的样本量与置信区间关系的变化表（假设置信水平相同）：样本量置信区间间隔宽窄度100 50%—70% 20 宽800 %－% 7 较窄1,600 %—63% 较窄3,200 %—62% 更窄由上表得出:1、在置信水平相同的情况下，样本量越多，置信区间越窄。

ci around 置信区间

置信区间（Confidence Interval，简称CI）是统计学中常用的概念，它可以帮助我们估计某个总体参数的范围，从而对样本数据的特征有更准确的了解。

置信区间的计算方法有多种，可以根据不同的需求选择合适的计算方式。

在实际应用中，置信区间经常被用于市场调研、医学研究、经济预测等领域，为决策提供了重要的参考依据。

一、置信区间的定义置信区间是对总体参数的一个区间估计，它的形式为估计量加减一个误差范围。

在统计学中，常常用置信水平（confidence level）来表示置信区间的可靠程度，常见的置信水平为90、95和99。

95的置信水平表示在进行大量重复抽样时，有95的抽样所得的置信区间将包含真实的总体参数值。

二、置信区间的计算方法1. 总体参数为均值的置信区间计算方法当我们需要估计总体均值的置信区间时，可以使用常见的Z分布或t 分布来计算置信区间。

如果总体标准差已知且样本量较大，可以使用Z分布计算置信区间；如果总体标准差未知或样本量较小，需要使用t 分布计算置信区间。

置信区间的计算公式为：Z分布情况下：\[CI = \bar{X} \pm Z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]t分布情况下：\[CI = \bar{X} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\]其中，CI表示置信区间，\(\bar{X}\)表示样本均值，Z或t表示对应的分布上分位点，\(\sigma\)表示总体标准差（Z分布情况下使用），s表示样本标准差，n表示样本量。

2. 总体参数为比例的置信区间计算方法当我们需要估计总体比例的置信区间时，可以使用正态分布来计算置信区间。

置信区间的计算公式为：\[CI = \hat{p} \pm Z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\]其中，CI表示置信区间，\(\hat{p}\)表示样本比例，Z表示正态分布的上分位点，n表示样本量。

置信区间与置信水平样本量的关系

置信区间与置信水平、样本量的关系置信区间与置信水平、样本量的关系(2008-10-28 08:39:39)标签：置信区间与置信水平教育分类：数学相关置信水平Confidence level置信水平是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。

置信区间越大，置信水平越高。

一、置信区间的概念置信区间又称估计区间，是用来估计参数的取值范围的。

常见的52％－64％，或8－12，就是置信区间（估计区间）。

置信区间是按下列三步计算出来的：第一步：求一个样本的均值第二步：计算出抽样误差。

人们经过实践，通常认为调查:100个样本的抽样误差为±10％500个样本的抽样误差为±5％1,200个样本时的抽样误差为±3％第三步：用第一步求出的“样本均值”加、减第二步计算的“抽样误差”，得出置信区间的两个端点。

举例说明：美国Gallup（盖洛普）公司就消费者对美国产品质量的看法，对美国、德国和日本三国共计3,500名消费者（每个国家约1,200名）分别进行了调查,调查结果：有55%的美国人认为美国产品质量好,而只有26%的德国人和17%的日本人持同样看法。

抽样误差为±3％，置信水平为95％。

则这三个国家消费者的置信区间分别为：国别样本均值抽样误差置信区间美国55% ±3% 52％－58％德国26% ±3％23％－29％日本17% ±3％14％－20％二、关于置信区间的宽窄窄的置信区间比宽的置信区间能提供更多的有关总体参数的信息。

假设全班考试的平均分数为65分，则置信区间间隔宽窄度表达的意思0－100分100 宽等于什么也没告诉你30－80分50 较窄你能估出大概的平均分了（55分）60－70分10 窄你几乎能判定全班的平均分了（65分）三、样本量对置信区间的影响影响：在置信水平固定的情况下，样本量越多，置信区间越窄。

置信区间(详细定义及计算)

18
2.未知σ2时，μ的置信区间
当总体X的方差未知时, 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。
已知 T X ~ t(n 1)
S2
n X
则对给定的α, 令
P{ S2
n
t (n 1)} 1
2
查t 分布表, 可得 t (n 1) 的值。
P{X
S n
t
2 (n
2
1)
X
S n
t
2
(n
1)}
1
则μ的置信度为1－ α的置信区间为
S
2
的概率分布是难以计算的,
2
而
p
y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
2
x
24
即 py
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
p(y)d y
2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)}
2
1
(n 1)S 2
P{
2
(n
1)
2
(n 1)S
2 1
(n
2
} 1)
1

置信区间的计算与解读

置信区间的计算与解读置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。

在实际应用中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。

通过计算置信区间，我们可以利用样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，以表明我们对估计结果的不确定性程度。

一、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。

1. 参数估计法参数估计法是基于总体参数的已知分布进行计算的。

常见的参数估计法有正态分布的置信区间和二项分布的置信区间。

正态分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从正态分布N(μ, σ^2)，样本容量为n，样本均值为x̄，样本标准差为s。

置信水平为1-α，α为显著性水平。

置信区间的计算公式为：x̄± Z(1-α/2) * (σ/√n)其中，Z(1-α/2)为标准正态分布的上分位数，可以在标准正态分布表中查找。

二项分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从二项分布B(n, p)，样本容量为n，样本成功次数为x，置信水平为1-α，α为显著性水平。

置信区间的计算公式为：p̄± Z(1-α/2) * √(p̄(1-p̄)/n)其中，p̄为样本成功率，可以通过样本成功次数除以样本容量得到。

2. 非参数估计法非参数估计法是基于样本数据的分布进行计算的。

常见的非参数估计法有中位数的置信区间和百分位数的置信区间。

中位数的置信区间计算方法如下：假设样本容量为n，样本数据按升序排列，第k个观测值为中位数，置信水平为1-α，α为显著性水平。

置信区间的计算公式为：[x(k-1)/2, x(n-k+1)/2]其中，x(k-1)/2为第k-1个观测值，x(n-k+1)/2为第n-k+1个观测值。

百分位数的置信区间计算方法类似，只需将中位数的位置换成相应的百分位数的位置。

二、置信区间的解读置信区间给出了对总体参数的估计范围，通常以置信水平来表示。

置信水平越高，估计结果的可信度越高，但估计范围也会相应增大。

置信区间(详细定义及计算)

也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 1 ，这里是一个很小
的正数，称为显著水平。
2
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的两个统计量
1 1( X1, X 2 ,, X n ),
的范围与所能承受的平均张力。 0.05
解本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
置信区间。由公式知μ的置信区间为 [ X
S n
t
2
(n
1)]
x 6720 s2 282 查表 t0.05 (8) t0.025(8) 2.306
则所求μ的置信区间为
2
[6720

28
它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
8

2
2

[ X n z 2 , X n z 2 ]
z
z
2
2
它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
其置信度为 1－α。
置信下限
X

n
z
2
置信上限

X n z 2
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形
数学期望和方差 2的区间估计。 5
设 X1, X 2 ,, X n 为总体 X ~ N (, 2 ) 的样本，
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一

置信区间(详细定义及计算)

t
2
(n
1),
X
S n
t
2
(n
1)]
[X
S n
t
2
(n
1)]
19
为了调查某地旅游者的消费额为X，随机访问了
40名旅游者。得平均消费额为 x 105 元，样本方差
s2 282 设 X ~ N (, 2 )求该地旅游者的平均消费额
μ的置信区间。 0.05 解本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
（双侧置信区间）.
1 为置信度，为显著水平.
4
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取显著水平 0.025, 0.05, 0.1, 等. 即取置信水平 1 0.975 或 0.95，0.9 等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间，使 [1,2 ]
[ X n t 2 (n 1)]
则所求μ的2 置信区间为 [1259 24.58 , 1259 24.58] 21
为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位
kg/cm2), 随机选取了9个样本作试验，由试验所得数据得
x 6720 s2 282 设钢索所能承受的张力X， X ~ N (, 2 ) 分别估计这批钢索所能承受的平均张力
2.306]
即 [6650.9 , 6889.1]
3
则钢索所能承受的平均张力为 6650.9 kg/cm2
22
已知总体 X ~ N (, 2 )
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间，这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与
σ2差多少？容易看出把 S 2 看成随机变量，又能找到

置信区间(详细定义及计算)

即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 ˆ2 ˆ1
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的
条件下尽可能提高精度.
16
已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）
服从正态分布 X ~ N (,1), 其中μ未知,现在抽取
25个样品做试验，得数据后计算得
t
2
(n
1),
X
S n
t
2
(n
1)]
[X
S n
t
2
(n
1)]
19
为了调查某地旅游者的消费额为X，随机访问了
40名旅游者。得平均消费额为 x 105 元，样本方差
s2 282 设 X ~ N (, 2 )求该地旅游者的平均消费额
μ的置信区间。 0.05 解本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
0.04
X
P{ z0.04 P{X

n
2 z0.01}
n
z0.01 X
0.95

n z0.04}

0.95
z0.04
0.01
z0.01
则μ的置信度为0.95的置信区间为

[ X n z0.01 , X n z0.04 ]
与上一个置信区间比较，同样是 1 0.95
[ X n t 2 (n 1)]
则所求μ的2 置信区间为 [1259 24.58 , 1259 24.58] 21
为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位
kg/cm2), 随机选取了9个样本作试验，由试验所得数据得

置信区间的通俗理解

置信区间的通俗理解统计学是一门研究数据分析和推断的学科，它的发展历程也伴随着人类社会的发展而逐步完善。

在实际应用中，我们常常需要对样本数据进行分析，以得出总体的特征和性质。

但是样本的结果并不能完全代表总体的结果，因此我们需要通过一定的方法来推断总体的特征和性质。

而置信区间就是这样一种方法。

一、什么是置信区间置信区间，英文名为Confidence Interval，简称CI，是指对总体某一参数的区间估计。

这个区间的构造方法是，利用样本数据计算出一个区间，这个区间的两端分别是样本统计量的值，这个区间的范围就是置信区间。

这个区间的意义是，我们可以通过这个区间来推断总体参数的真实值，而这个推断的结果是有一定的置信度的。

二、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种，一种是基于t分布的方法，另一种是基于正态分布的方法。

这两种方法的具体步骤如下：1.基于t分布的方法(1)计算样本的均值和标准差；(2)确定置信水平和自由度；(3)查t分布表，确定t值；(4)计算置信区间。

2.基于正态分布的方法(1)计算样本的均值和标准差；(2)确定置信水平和样本容量；(3)查正态分布表，确定z值；(4)计算置信区间。

三、置信区间的解释置信区间的解释是指，这个区间的范围是我们对总体参数真实值的推断结果。

这个推断的结果是有一定的置信度的，通常以置信水平的形式来表示。

例如，我们可以说“在95%的置信水平下，总体参数的真实值在置信区间内”。

四、置信区间的应用置信区间的应用非常广泛，例如：1.在医学研究中，可以通过置信区间来推断某种治疗方法的效果；2.在市场调查中，可以通过置信区间来推断某种产品的市场占有率；3.在工程设计中，可以通过置信区间来推断某种材料的强度特性。

总之，置信区间是一种非常重要的统计方法，它可以帮助我们对总体参数的真实值进行推断，并且这个推断结果是有一定置信度的。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的置信水平和计算方法，以得到准确可靠的结果。