肾炎诊断方案

肾炎诊断方案
摘要
人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断，肾炎的诊断也不例外。

本文对题目给出的1—60号确诊病例的化验结果进行分析，据此利用判别分析的思想，利用马氏距离判别法以及fisher判别法，分别建立相应的模型，并借助数学软件matlab7.1求得马氏距离判别函数和fisher判别函数。

按照以上两种方法，对未确诊的病例进行判断，得到的结果相同，结果如下：（其中“1”
行回代检验，得到相同的判别结果：第32、38、39、60号被判为患病，其余的与医院确诊的结果相同，正确判断的比例为93.3%，所以两种方法均可行。

针对问题三，我们利用多元统计分析中的逐步判别分析法，对化验结果数据进行分析，在多指标的情况下，利用matlab7.1软件计算各个指标对判别结果的贡献大小，筛选出影响人们患肾炎的主要因素为：Cu、Fe、Ca、Mg、Na。

为了检验结论的正确性，我们在剔除Zn、K的情况下，用以上两种判别方法对1—90号病例重新进行判别，得到的结果与不剔除的情况下的判别结果完全相同。

此外，我们还应用spss软件对模型进行了验证，得到的判别结果与应用matlab软件求的结果吻合。

在模型的改进方面，我们列出了几种比较可行的减少化验指标的方案供医护人员选择。

关键词：马氏距离判别法Fisher判别法逐步判别分析法
一问题重述
人们到医院就诊时，通常要化验一些指标来协助医生的诊断。

诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体内各种元素含量。

表B.1（见附录一）是确诊病例的化验结果，其中1－30号病例是已经确诊为肾炎病人的化验结果；31－60号病例是已经确诊为健康人的结果。

表B.2（见附录二）是就诊人员的化验结果。

我们的问题是：
1.根据表B.1中的数据，提出一种或多种简便的判别方法，判别属于患者
或健康人的方法，并检验你提出方法的正确性。

2.按照1提出的方法，判断表B.2中的30名就诊人员的化验结果进行判别，
判定他（她）们是肾炎病人还是健康人。

3.能否根据表B.1的数据特征，确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或
主要因素，以便减少化验的指标。

4.根据3的结果，重复2的工作。

5.对2和4的结果作进一步的分析。

二 符号说明
1.G1:患有肾炎的总体
2.G2:未患肾炎的总体
3. ()i x : 1—30号样本，每个样本有7种指标
4. (2)
x ：31—60号样本，每个样本有7种指标 5.
1:2
:3:4
:5
:6
:7
:Zn Cu Fe Ca Mg K Na x x x x x x x 的含量;
的含量;
的含量;的含量;
的含量;
的含量;
的含量
6. i ：样本()
i x 的均值（i=1，2）
7.(1)
s ：总体G1的样本离差阵
8. (2)
s ：总体G2的样本离差阵 9.No.:表示病例号
三 问题假设
1.假设两个总体的协方差阵相同
2.假设题目中的1—60号样本具有普遍性
3.假设检测指标时的前提条件相同
4.我们不考虑测试错误后造成的损失
5.假设检测人群患病与不患病的概率相同，即不考虑总体出现概率的差异对判别结果的影响
四 问题分析
诊断就诊人员是否患有肾炎，通常需要化验人体的各种微量元素的含量。

题目中已经给出了60个已经确诊病例的化验结果，其中1—30号病例是是已经确诊为肾炎病人的化验结果；31－60号病例是已经确诊为健康人的结果，我们需利用这些数据资料建立一种判别法则，如马氏距离判别法和fisher 判别法，然后判断61—90号病例哪些是患病的哪些是健康的，并利用此判别法则对已经确诊的60个病例进行回代检测，以此检验此判别方法的可靠性程度。

又由于肾炎诊断中有一些指标是影响人们患肾炎的主要因素，我们可以在不影响判断结果的前提下剔除那些次要的微量元素，以减少化验指标，提高工作效率。

五 模型的建立和求解
5.1模型一：
5.1.1模型准备：
距离判别的最直观的想法是计算样品到第i 类总体的平均数的距离，哪个距
离最小就将它判归哪个总体，所以，我们首先考虑的是是否能够构造一个恰当的距离函数，通过样本与某类别之间距离的大小，判别其所属类别。

设x ，y 是从均值为μ、协方差阵为V 的总体G 中抽取的两个样品，定义x ，y 两
点间的马氏距离为 定义样本X 和Gi 类之间的马氏距离为X 与Gi 类重心间的距离为： 对于两个协方差阵相同的p 维正态总体，对给定的样本Y ，判别Y 到底是来自哪一个总体，一个最直观的想法是计算Y 到两个总体的距离。

故我们用马氏距离来给定判别规则，有：
5.1.2 针对问题一和问题二，模型的建立与求解如下：
对于该问题，我们首先利用马氏距离判别法，建立判别函数，并给出相应的判别方法。

（1）计算两个样本的均值：
1μ=（143.103 23.067 113.393 698.167 201.133 12.334 526.833）T 2μ=（186.600 62.012 295.137 2511.133 90.370 21.924 367.210）T
’
（2）计算两个总体的样本离差阵：
s1= 0.0836 0.0018 0.0019 0.1759 0.0505 -0.1153 1.71940.0018 0.0007 0.0006 0.0144 0.0001 -0.0007 2.62020.0019 0.0006 0.0055 -0.0074 -0.0016 -0.0054 -010^6.11280.1759 0.0144 -0.0074 2.1172 0.1581 -0.2697 0.00510.0505 0.0001 -0.0016 0.1581 0.0636 -0.1059 0.0166-0.1153 -0.0007 -0.0054 -0.2697 -0.1059 1.9571 0.2139 -0.1128 0.0051 0.0166 0.2139 -0.0777 1.7194 -0.0777⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
s2=0.0026 -0.0002 -0.0005 0.0137 -0.0010 -0.0010 -0.0043-0.0002 0.0016 0.0027 0.0681 0.0106 0.0020 0.0079-0.0005 0.0027 0.0167 0.0825 0.0194 0.0046 10^7 0.01840.0137 0.0681 0.0825 4.6892 0.5073 0.0811 0.2735-0.0010 0.0106 0.0194 0.5073 0.0914 0.0193 0.0759-0.0010 0.0020 0.0046 0.0811 0.0193 0.0076 0.0332 -0.0043 0.0079 0.0184 0.2735 0.0759 0.0332 0.1730 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（3）计算样本的协方差阵
()()()()30(1)(1)(1)(1)111130(2)(2)(2)(2)21
22111()()ˆ11112()()ˆ11T T s x x x x V n n s x x x x V n n αααβββ====----==----∑∑
（4）假定两个总体的协方差阵相同，则
k
i G d i i i ,,2,1)()(),(2 =-∑'-=-μμx x x 1)
()(),(2y x y x y x 1
-∑'-=-d ()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧=<∈<∈),(),(22
121222222121G y d G y d G d G d G G d G d G 如待判，，，如，，，，如，y y y y y y
()()()222111221111111111222211111112121211
212(,)(,)
()()()()
2()()
2()2T T T T T T T T T T T
T T
D x G D x G x V x x V x x V x x V V x V x V x x V V x V x V V x V μμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμ--------------=-----=--+---+=----+⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭ 令()121
2
μμμ=
+，则 ()()112()T
x x V ωμμμ-=--
又当V 未知时，可用121
ˆ(12)2
V
s s n n =++-代替，再依()x ω的正负进行判别。

（5）求解模型：我们利用matlab7.1软件求解该模型(相关程序见附录三)，求得判别函数为
()x ω=-0.004*x1+0.2004*x2-0.0195*x3-0.0036*x4-0.0115*x5+0.0036*x7-0.0008*x6+4.7057，然后将待测样本的数据代入判别函数，求()x ω的值，若()x ω为正，则该样本患病；若()x ω为负，则该样本健康。

通过这种方法，我们得到如下结果（其中图一为()x ω—No.散点图）：
马氏判别法散点图
X
F
（其中在“实际诊断”和“预测结果”两项中，“1”表示患病，“2”表示健康） 结果分析：利用马氏距离判别法求得的判别函数对1—60号病例中的93.3%进行了正确分类。

该判别法将1—30患病的病例全部判为患病，将31—60健康的病例中第32、38、39、60号，共四个样本判为患病，其余的仍判为健康，相应的统计结果如下：
5.2模型二：
5.2.1模型准备： 从马氏距离判别法，我们已经看到判别函数是一个线性函数，由于线性判别函数
使用简便，因此我们希望能在更一般的情况下，建立一种线性判别函数。

Fisher 判别法是根据方差分析的思想建立起来的一种能较好区分各个总体的线性判别法。

该判别方法对总体的分布不做任何要求。

从两个总体中抽取具有P 个指标的样品观测数据，借助于方差分析的思想构造一个线性判别函数：
1122p p Y C X C X C X =+++，其中系数确定的原则是使两组间的组间离差最大，而每个组的组内离差最小。

当建立了判别式以后，对一个新的样品值，我们可以将他的P 个指标值代入判别式中求出Y 值，然后与某个临界值比较，就可以将该样品归某类。

5.2.2模型建立
假设我们可以得到一个线性判别函数：1122p p Y C X C X C X =+++,我们可以把两个总体的样品代入上面的判别式,得到：
（i =1，2，3，…30） （i =31，32，…60）
分别对上面两式左右相加，再除以样品个数，可得两个总体的重心:
最佳的线性判别函数应该是：两个重心的距离越大越好，两个组内的离差平方和越小越好。

组间离差平方和：剔除变量的个数
误判病例的个数
总体内部的方差和：
()
()
2
2
(1)
(1)
(2)
(2)
12'()E Y
Y
E Y
Y
c s s c
-+-=+
()()12I s s ''==
'+(1)(2)(1)(2)1
c X -X X -X c
2
c c 组间离差平方和组内方差和（），I 最大时判别函数最好。

据此求出判别函数1122p p Y C X C X C X =+++
（n1=n2=30）,将样本数据带入判别函数，函数
值为*y ，得到若*y >0y ，则患病，否则健康。

5.2.3模型的求解：
采用fisher 判别法，建立判别函数。

利用matlab 软件（相应程序见附录三）求得
)
2()2(22)2(11)2(ip
p i i i x c x c x c y +++= )
1()1(22)1(11)1(ip
p i i i x c x c x c y +++= 2
1)
2(2)1(10n n y n y n y ++=定义临界点为∑==p k k k x c y 1)1()1(∑==p k k k x c y 1)
2()2(()()(1)(2)(1)(2)1
2
X X X X ''=--c c =⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡k c c c 21⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+--)2()
1()2(2)1(2
)2(1)
1(1)21(2
1p p x x x x x x s s n
1
判别函数为：
F=-0.004*x1+0.2004*x2-0.0195*x3-0.0036*x4-0.0115*x5+0.0036*x7-0.0008*x6（②），临界点为0y =-4.7057。

将待诊断的化验结果带入（②）式，若F>-4.7057,则患病，若F<-4.7057，则健康。

利用此方法对1-90号病例的判别结果和马氏判别法的判别结果一致。

（图二：用Fisher 判别法将1—60号的化验结果带入（②）式求得F 值，利用matlab 作的F-No.散点图）
图二：
-20-15-10-5
5
fisher 判别法散点图
X
F
5.3结果分析： 有两种判别方法：
（1）马氏判别法，将待诊断病例的化验结果代人（①）式，若()x ω<0,则健康；若()x ω>0，则患病；
（2）fisher 判别法：将待诊断病例的化验结果带入（②）式，若F>-4.7057,则患病，若F<-4.7057，则健康。

这两种判别方法均对已确诊的1-60号病例中的93.3%进行了正确分类，而且对61—90号病例的判断结果相同，结果见表一。

5.4 针对问题三和四：
5.4.1模型建立：
我们运用多元统计分析中的逐步判别分析的方法，建立变量判别力函数f （k x ），并求出其临界值a F ，当f （k x ）<a F 时，将k x 剔除。

（1） 计算1-60个样本的总离差矩阵T=1s +2s （2） 计算样本的组内离差和W=()
()
()
()
2
30
)'
11()(a a a a i
i
a i x x x x
-
-
==∑∑
（3） 变量判别力的测度，主要利用矩阵T 和W 的行列式比值，定义∧=
T W
,变
量k x 的判别力度f=(7)f x ,(其中60表示已确诊的样本容量，k 表示所有样本类别数，本题中所有样本被分为“患病”和“健康”两类，所以k=2，q 为判别函数中变量的个数，本题中q=7，***(|)(,)/()k k k x X X x X ∧=∧∧)，(1,1)a f F k n k q ---+，如果f<(1,1)a F k n k q ---+,说明变量k x 对判
别结果影响很小，可将其剔除。

5.4.2模型的求解：
借助数学软件matlab 求得各个变量对判别的影响力度（相应程序件附录四）： f （1x ）= 0.1112,f （2x ）=16.3350,f （3x ）=3.5757,f （4x ）=23.1424 , f （5x ）=2.5676,f(6x )=0.0462,f(7x )=1.9060，在显著性水平为0.10的条件下，判断的临界值为a F =2.8046，则得到以下结论：
(6)(1)(7)(5)(3)(2)(4)a f x f x f x f x F f x f x f x <<<<<<<。

此时，为了确保剔除某个或某些变量后，对判别结果没有很大影响，我们首先剔除 最小的(6)f x 对应的变量6x ，即K 元素的含量，并利用matlab 软件对变量剔除后的判别结果进行检验，得到的判别结果与方法一和方法二的结果一致。

在剔除变量6x 的基础上，接着剔除变量1x ，即Zn 元素的含量，重复上述步骤，得到的判别结果仍与方法一和方法二的结果一致。

在剔除6x 、1x 的基础上，接着剔除7x ，此时的判别结果与方法一、二有一定差异，诊断结果见表四，同理：接着剔除x5，诊断结果见表四。

同时，为了粗略检验该方法的正确性，我们接着剔除了变量x3，即Fe 的含量，此时的判别结果与方法一、二有很大的不同，具体结果见表四，所以Fe 、Cu 、Ca 这三个指标必须保留。

问题四的结果见下表四。

时的判别结果一致，在剔除x6、x1的基础上，接着剔除变量时，判别结果发生改变，所以影响人们患肾炎的主要因素为：Cu、Fe、Ca、Mg、Na的含量。

根据以上结论，在假设不剔除变量时的判别结果正确的前提下，我们通过剔除K 和Zn两个指标，此时的判别结果与方法一、二的判别结果相同，判别结果见表一。

5.5对于问题五
最终结果对比分析：在减少适当的非关键指标的前提下，并不会影响我们对肾炎诊断的正确性。

所以，医院有必要通过适当的研究，作出决策——在不影响判别结果的前提下，取消某些指标的化验，可以提高效率，同时减少医护人员工作量，且同样可以做出正确的判断。

六模型的验证
在模型的求解过程中，我们仅用到matlab软件。

为了提高判别结果的可信度，我们利用spss软件对模型进行了验证。

（判别分析的spss过程见附录五）
通过验证，我们得到的判别结果与用matlab软件求得的判别结果一致。

所以该
模型是正确的。

七 模型的改进
在5.4中，我们求得各个变量对判别结果的影响力度的大小关系如下：(6)(1)(7)(5)(3)(2)(4)a f x f x f x f x F f x f x f x <<<<<<<，理论上讲，需剔除x6、x1、x7、x5四个变量，但在问题三中，我们为了确保判别结果的一致性只剔除了6x 和1x 两个变量。

如果我们以“剔除变量的个数与误判病例的个数的比值越大”为标准对变量进行剔除，通过表五可知，剔除x6、x1、x7、x5时，判别效果最好，此时的判别结果见表四的倒数第二列。

八 模型的推广
本文所建立的判别分析的模型为肾炎的诊断提供了判别依据，据此对待判病例进行了判别，并针对化验结果的七个指标进行分析建立了逐步判别分析模型，筛选出影响人们患肾炎的主要因素，从而减少了化验指标。

这些模型不仅适用于肾炎诊断，对任何已知分类数目的情况下根据一定的指标对不知类别的数据进行归类的实际情况，并通过对各项指标的分析，剔除次要指标，以减少工作量，提高工作效率。

九 参考文献
[1]数学建模与实验，北京：科学出版社，2005
[2]卢文喜 李俊 于福荣 于国庆 刘磊，逐步判别分析法在筛选水质评价因子中的应用，吉林大学学报（地球科学版），第39卷第一期：126—130，2009年1月。

[3]盛骤 谢式千 潘承毅，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2001.12
十 附录
附录一：
（一）马氏距离判别法：
程序：（1）函数M 文件：myfun.m
function f=myfun(A,B)
syms x1x2x3x4x5x6x7;
mean_a=mean(A,2);mean_b=mean(B,2);
s1=zeros(7,7);
s2=zeros(7,7);
for i=1:30
s1=s1+(A(:,i)-mean_a)*(A(:,i)-mean_a)';
s2=s2+(B(:,i)-mean_b)*(B(:,i)-mean_b)';
end
s=(s1+s2)/(30+30-2);
v=inv(s);
x=[x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7]';
f=(x-0.5*(mean_a+mean_b))'*v*(mean_a-mean_b);
程序M 文件：
clear all;
A=xlsread('H:\data.xls','Sheet1','B2:H31');
B=xlsread('H:\data.xls','Sheet1','B32:H61');
C=xlsread('H:\data.xls','Sheet2','B2:H31');
A=A';B=B';C=C';
syms x1x2x3x4x5x6x7;
f=myfun(A,B);
for j=1:30
t_a(j)=subs(f,{x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7},{A(1,j),A(2,j),A(3,j),A(4,j),A(5,j),A(6,j),A(7,j)}); t_b(j)=subs(f,{x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7},{B(1,j),B(2,j),B(3,j),B(4,j),B(5,j),B(6,j),B(7,j)});
t_c(j)=subs(f,{x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7},{C(1,j),C(2,j),C(3,j),C(4,j),C(5,j),C(6,j),C(7,j)});
end
plot(t_b,'r*'); hold on;plot(t_a,'g>');grid on
title('马氏判别法散点图');xlabel('X');ylabel('F');legend('无病','有病',2);
for j=1:30
if t_a(j)>0,t_a(j)=1;
else,t_a(j)=0;
end
if t_b(j)<0,t_b(j)=2;
else, t_b(j)=0;
end
if t_c(j)>0 ,t_c(j)=1;
else, t_c(j)=2; end
end
t_a,t_b,t_c
（二）fisher 判别法
clear all;
A=xlsread('H:\data.xls','Sheet1','B2:H31');
B=xlsread('H:\data.xls','Sheet1','B32:H61');
C=xlsread('H:\data.xls','Sheet2','B2:H31');
A=A';B=B';C=C';
mean_a=mean(A,2);mean_b=mean(B,2);
s1=zeros(7,7);
s2=zeros(7,7);
for i=1:30
s1=s1+(A(:,i)-mean_a)*(A(:,i)-mean_a)';
s2=s2+(B(:,i)-mean_b)*(B(:,i)-mean_b)';
end
w=s1+s2;
v=inv(w);
d=mean_a-mean_b;
f=(60-2)*v*d;
y_tt=(f'*mean_a+f'*mean_b)/2;
for j=1:30
t_a(j)=f'*A(:,j);
t_b(j)=f'*B(:,j);
t_c(j)=f'*C(:,j);
end
plot(t_b,'g>'); hold on;plot(t_a,'b<');grid on
title('fisher判别法散点图');xlabel('X');ylabel('F');legend('无病','
有病',2);
for j=1:30
if t_a(j)>y_tt,t_a(j)=1;
else,t_a(j)=0;
end
if t_b(j)<y_tt,t_b(j)=2;
else, t_b(j)=0;
end
if t_c(j)>y_tt ,t_c(j)=1;
else, t_c(j)=2; end
end
f,y_tt,t_a,t_b,t_c
附录四：
（一）变量剔除原则：程序如下：
clear all;
A=xlsread('H:\data.xls','Sheet1','B2:H31');
B=xlsread('H:\data.xls','Sheet1','B32:H61');
C=xlsread('H:\data.xls','Sheet2','B2:H31');
A=A';B=B';C=C';
mean_a=mean(A,2);mean_b=mean(B,2);
mean_s=(mean_a+mean_b)/2;
t=zeros(7,7);w=zeros(7,7);
for j=1:30
t=t+(A(:,j)-mean_s)*(A(:,j)-mean_s)'+(B(:,j)-mean_s)*(B(:,j)-mean _s)';
end
for j=1:30
w=w+(A(:,j)-mean_a)*(A(:,j)-mean_a)'+(B(:,j)-mean_b)*(B(:,j)-mean _b)';
end
ttt=det(w)/det(t);
for k=1:7
A=xlsread('H:\data.xls','Sheet1','B2:H31');
B=xlsread('H:\data.xls','Sheet1','B32:H61');
C=xlsread('H:\data.xls','Sheet2','B2:H31');
A=A';B=B';C=C';
A(k,:)=[];B(k,:)=[];C(k,:)=[];
mean_a=mean(A,2);mean_b=mean(B,2);
mean_s=(mean_a+mean_b)/2;
t=zeros(6,6);w=zeros(6,6);
for j=1:30
t=t+(A(:,j)-mean_s)*(A(:,j)-mean_s)'+(B(:,j)-mean_s)*(B(:,j)-mean
_s)';
end
for j=1:30
w=w+(A(:,j)-mean_a)*(A(:,j)-mean_a)'+(B(:,j)-mean_b)*(B(:,j)-mean _b)';
end
ff(k)=det(w)/det(t);
t(k)=ttt/ff(k);
f(k)=(60-7-2+1)/(2-1)*(1-t(k))/t(k);
end
（二）去除第一与第六个后的影响：
（1）函数M 文件：myfun2.m、
function f=myfun2(A,B)
syms x2x3x4x5x7;
mean_a=mean(A,2);mean_b=mean(B,2);
s1=zeros(5,5);
s2=zeros(5,5);
for i=1:30
s1=s1+(A(:,i)-mean_a)*(A(:,i)-mean_a)';
s2=s2+(B(:,i)-mean_b)*(B(:,i)-mean_b)';
end
s=(s1+s2)/(30+30-2);
v=inv(s);
x=[x2 x3 x4 x5 x7]';
f=(x-0.5*(mean_a+mean_b))'*v*(mean_a-mean_b);
（2）程序M文件
clear all;
A=xlsread('H:\data.xls','Sheet1','B2:H31');
B=xlsread('H:\data.xls','Sheet1','B32:H61');
C=xlsread('H:\data.xls','Sheet2','B2:H31');
A=A';B=B';C=C';
A([1,6],:)=[];B([1,6],:)=[];C([1,6],:)=[];
syms x2x3x4x5x7;
f=myfun2(A,B);
for j=1:30
t_a(j)=subs(f,{x2 x3 x4 x5
x7},{A(1,j),A(2,j),A(3,j),A(4,j),A(5,j)});
t_b(j)=subs(f,{x2 x3 x4 x5
x7},{B(1,j),B(2,j),B(3,j),B(4,j),B(5,j)});
t_c(j)=subs(f,{x2 x3 x4 x5
x7},{C(1,j),C(2,j),C(3,j),C(4,j),C(5,j)});
end
结果：同前
判别表达式：F= 0.2040*x2 -0.0195*x3 -0.0037*x4 -0.0117*x5+ 0.0034*x7+4.0939
附录五：利用spss软件检验模型：
(1)打开disc.sav数据。

然后点击Analyze－Classify－Discriminant，
把判别结果放入Grouping Variable，再定义范围，即在Define Range输入1－2的范围。

然后在Independents输入所有变量；
(2)在方法（Method）中选挑选变量的准则（检验方法；默认值为Wilks’
Lambda）
(3)为了输出Fisher分类函数的结果,在Statistics中的Function
Coefficient选 Fisher和UnStandardized（点则判别函数系数）
(4)要用逐步判别，则不选Enter independents together，而选择Use
stepwise method。