广东省执信中学2013-2014学年高二下学期期中文科数学试卷(带解析)

广东省执信中学2013-2014学年高二下学期期中文科数学试卷
（带解析）
1．已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}1,3,5,A =则U C A =( ) A.{}2,4 B.{}1,3,5 C.{}1,2,3,4,5 D.∅ 【答案】A 【解析】
试题分析：因为全集{}1,2,3,4,5U =,对于 集合{}1,3,5,A ={}2,4U C A = 考点：全集与补集
2．已知复数1z i =-，则2
1
z z =-（ ）
A ．2
B ．2-
C ．2i
D ．2i - 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意22(1)22111z i i
z i i
--===----
考点：复数的运算
3．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 2
2
D ．ln 2 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意()ln f x x x =，则()(ln )ln 1f x x x x ''==+，故由题
0000()ln 12ln 1f x x x x e '=+=⇒=⇒=
考点：导数及其运算
4．“3
π
α=
”是“sin α=
”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】
试题分析：由sin 3
π
αα=
⇒=
sin α=不一定得到3πα=，故“3
πα=”是
“sin α=
”的充分不必要条件。

选B 考点：充要条件
5．命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是( )
A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0
B ．x ∃∈R ，2210x x -+>
C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0
D ．x ∀∈R ，2210x x -+< 【答案】C 【解析】
试题分析：“x ∃∈R ”的否定是“x ∀∈R ”，“ 2210x x -+<”的否定是“221x x -+≥0”.故
命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是x ∀∈R ，221x x -+≥0 考点：命题的否定
6．若点(),P x y 满足线性约束条件20
2200x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则4z x y =+的最大值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 【答案】D 【解析】
试题分析：由4z x y =+得4y x z =-+，画出202200x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩表示的可行域如图，联立
20220x y x y -=⎧⎨
-+=⎩，解得23
43x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，平移直线4y x =-，由图可知，使4z x y =+取得最大值的最优解为24B 33（，）．4z x y ∴=+的最大值为24
4433
⨯
+＝．
考点：简单的线性规划问题
7．已知,a b R ∈且b a >，则下列不等式中成立的是( )
A ．1>b a
B ．22b a >
C ．()0lg >-b a D.b
a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121
【答案】D
【解析】
试题分析：A ．当0,0.a b a b <<>时
1a
b
>不成立，同理B ．22b a > 、 C ．()0lg >-b a 也不成立，由指数函数的单调性， D.b
a
⎪⎭
⎫
⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121成立
考点：不等式，指数函数的单调性
8．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．
16 B ．13 C ．1
2 D
【答案】A 【解析】
试题分析：由三视图，该几何体为底面为等腰直角三角形、高为1的直三棱柱，其体积为
111111326
V =⋅⋅⋅⋅=
考点：三视图，柱体的体积
9．定义：||||||sin a b a b θ⨯=，其中θ为向量a 与b 的夹角，若||2a =，||5b =，6a b ⋅=-，则||a b ⨯ 等于 （ ）
A ．8-
B ．8
C ．8-或8
D ．6 【答案】B 【解析】
主视图
侧视图
俯视图
试题分析：由题意，
34
5,6,6,cos sin 55a b
a b a b a b
θθ⋅==⋅=-∴=
=-⇒=⋅，故
sin 8a b a b θ⨯=⋅=
考点：向量的夹角的计算
10．函数)(x f 是R 上的可导函数,0x ≠时，()()0f x f x x '+
>，
则函数1()()g x f x x
=+的零点个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 【答案】D 【解析】， 试题分析：
0x ≠时，()()()()0,0f x x f x f x f x x x '⋅+'+
>∴>，则讨论1
()0f x x
+=的根的个数转化为
求()10xf x +=的根的个数.设()()1F x xf x =+，则当0x >时，
()()()0F x x f x f x ''=⋅+>,函数()()1F x xf x =+在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，()()()0F x x f x f x ''=⋅+<,函数()()1F x xf x =+在(,0)-∞上单调递减，而函数)(x f 是R 上的连续可导函数，故()()1F x xf x =+无实数根
考点：函数的零点与方程根的联系，导数的运算
11．在长为3m 的线段AB 上任取一点P , 则点P 与线段两端点A 、B 的距离都大于1m 的概率是 . 【答案】
13
【解析】
试题分析：设“长为3m 的线段AB ”对应区间[0]3，,“与线段两端点A 、B 的距离都大于1m ”为事件 A ，则满足A 的区间为[1]2， 根据几何概型的计算公式可得，32301
()3
P A -=-= 考点：几何概型
12．双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2， 一个焦点的坐标为()0,2，则此双曲线的方程是 ．
【答案】2
2
13
y x -= 【解析】
试题分析：∵离心率等于2，一个焦点的坐标为20（，）， 2c
c a
∴==2，
，且焦点在x
轴上，2
2
2
2
13a c a b b b ∴==+∴=⇒=所以双曲线的方程为2
2
13
y x -= 考点： 双曲线的性质
13．将石子摆成如下图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构成,
判断数列的第10项10=a ______________;
【答案】D 【解析】
试题分析：由已知的图形我们可以得出：图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：
n=1时，11
523(23)2;2
a ==+=⨯+⨯ n=2时，21
9234(24)3;2
a ==++=⨯+⨯
n=3时，31
142345(25)4;2
a ==+++=⨯+⨯
…
由此我们可以推断：1
[2(2)](1)2
n a n n =⨯++⨯+ ∴101
[212]11772
a =
⨯+⨯=，故选D 考点：归纳推理
14．曲线1C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到曲线2C ：12112
x t y t
⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为 ．
【答案】1 【解析】 试题分析：()2
21111x cos C x y y sin θθ=+⎧⇒-+=⎨
=⎩
：；
则圆心坐标为10（，）； 21211102
x t C x y y t ⎧
=-⎪⎪⇒++=⎨
⎪=-⎪⎩：；
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为2d =
=
所以要求的最短距离为11d -=
考点： 点到直线的距离，圆的参数方程，直线的参数方程
15．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，APC ∠的角平分线交AC 于点Q ，则AQP ∠的大小为_________．
【答案】135AQP ∠=︒ 【解析】 试题
分析：如图所示，连接OC ，则
2O A O C O A C O C A P O C O A C
=∴∠=∠∴∠=∠+∠=， 又因为∠APC 的角平分线为PQ ，OPQ CPQ ∴∠=∠，在OCP 中
2180POC OPC OCP OAC OPQ OCP ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒（），
又
904545135OCP OAC OPQ CQP OAC OPQ AQP ∠=︒∴∠+∠=︒∠=∠+∠=︒∴∠=︒
考点：圆的切线的性质及判定定理
16．设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，0ω>，x R ∈,且以2π为最小正周期． （1）求()0f ； （2）求()f x 的解析式；
（3）已知9
(
)4
125
f α
π
+
=，求sin α的值． 【答案】（1）()303sin 03sin 662
f ππω⎛
⎫
=⨯+
== ⎪⎝
⎭ （2）()3sin 46f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（3）4sin 5
α=± 【解析】
试题分析：（1）直接令0x =代入()3sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭即可求出()0f ； （2）由()3sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的周期2π求出4ω=，即可； （3）令4
12
x α
π
=
+
代入()3sin 46f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
化简得3
sin()cos 2
5
π
αα+
==
，利用平方关系即可求出sin α
(1)∵函数()3sin 6f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
， ∴()303sin 03sin 662
f ππω⎛⎫
=⨯+
== ⎪⎝
⎭ (2) ∵函数()3sin 6f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以
2
π
为最小正周期．
∴4ω= ∴()3sin 46f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
(3)∵9(
)4125f α
π
+
= ，∴93sin(4())41265αππ++=， ∴3sin()25πα+= ∴3cos 5α= ∴291sin 25α-= ∴216sin 25α= ∴4
sin 5
α=±
考点：函数()()sin f x A x ωϕ=+的图像和性质
17．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的
(1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系?说明理由.
【答案】(1)
5019
,2512502421===
P P 【解析】 试题分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数50，满足条件的事件数分别是24，19，根据概率公式得到结果．
（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系． (1)设“抽到积极参加班级工作的学生”为事件A ，“抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生”为事件B ，则由古典概型50
19
,2512502421=
==
P P (2)根据828.10538.1125
252624)761918(50))()()(()(222
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=
d b c a d c b a bc ad n χ 所以,我们有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系.
考点：古典概型，相关性分析
18．如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3
BAD π
∠=
．
O
D
C
B
A
F
E
(1)求证：平//CF AED 面B 面；
(2))若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF
-的体积． 【答案】(1)见解析 (2)3
A BDEF V -= 【解析】
试题分析：（1）利用直线与平面平行的判定定理证明//BF ADE 面，B //BC ADE 面C ，利用面面平行的判定定理可得结论；
(2)首先要找到四棱锥A B D E F -，为此连接AO ，AC ，AC
BD O =，易证
AO BDEF ⊥面， 即AO 为四棱锥A BDEF -的高，最后求得2
BDEF S a =，可求四棱锥
A BDEF -的体积
（1）由ABCD 是菱形 //BC AD ∴
,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面
//BC ADE ∴面
由BDEF 是矩形//BF DE ∴
,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面
//BF ADE ∴面
,,BC BCF BF BCF BC
BF B ⊂⊂=面面
//BCF ADE ∴面面
（2）连接AC ，AC
BD O =
由ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥
由ED ⊥ABCD 面,AC ABCD ⊂面
ED AC ∴⊥
,,ED BD BDEF ED
BD D ⊂=面
AO BDEF ∴⊥面，
则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3
BAD π
∠=，
则A BD ∆
为等边三角形，
由BF BD a ==；则,2
AD a AO ==
2BDEF S a =
，23
13A BDEF V a -=⋅=分 考点：平面与平面平行的判定；棱锥的体积 19．已知数列}{n a 中，11a =,*1()3
n
n n a a n N a +=
∈+.
（1）求2a ，3a 的值； （2）求证：⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （3）数列{}n b 满足n n n
n a n
b ⋅⋅
-=2
)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1
2)1(-+
<-n n n n T λ对一切*
N n ∈恒成立，求λ的取值范围.
【答案】（1）131,4132==a a （2）2
31
n n a =-（3）32<<-λ 【解析】
试题分析：（1）分别令1,2n n ==代入13
n
n n a a a +=
+，即可求出2a ，3a 的值 （2）根据需要求证的结果，由*111,()3n
n n a a a n N a +==
∈+构造数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+211n a ，可得111
11322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
（3）由（2）12-=n n n b ，利用错位相减法求得1224-+-=∴n n n T ，分类讨论当n 为偶数和n 为奇数时 的情况，可求λ的取值范围
（1）由*
111,()3n n n a a a n N a +==∈+知，
11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 又
111311,222n a a ⎧⎫
+=∴+⎨⎬⎩⎭是以32
为首项，3为公比的等比数列， 111332
=3,22231
n n n n
n a a -∴+⨯=∴=- （2）1
2-=
n n n b ， 1
221021
21)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯
=n n n n n T n n n n n T 2
1
21)1(2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=- ， 两式相减得
n n n n n n T 2
22212121212121210+-=⨯-++++=- ，
1
224-+-=∴n n n T 122
4)1(--<-∴n n λ
若n 为偶数，则3,22
41
<∴-<∴-λλn 若n 为奇数，则2,2,22
41->∴<-∴-<-∴-λλλn
32<<-∴λ
考点：等比数列，错位相减法求和，分类讨论思想
20．已知椭圆C 过点3(1,)2
A ，两个焦点为(1,0)-，(1,0).
(1)求椭圆C 的方程；
(2)E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值. 【答案】(1) 22143x y +=（2）直线AE 的斜率为定值12
【解析】
试题分析：(1) 由题意1c =，设椭圆方程为222211x y b b +=+，将3(1,)2
A 代入即可求出23b =，则椭圆方程可求.
(2) 设直线AE 方程为：3(1)2
y k x =-+，代入入22143x y +=得 222(34)4(32)41230k x k k x k k +=-+--=，再由点3(1,)2
A 在椭圆上，根据结直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，结合直线的位置关系进行求解．
（1）由题意1c =，设椭圆方程为22
22
11x y b b +=+， 因为点3(1,)2A 在椭圆上，所以229
1411b b +=+，解得23b =，234
b =- 所求椭圆方程为22
143
x y +=
（2）设直线AE 方程为3(1)2
y k x =-+，代入22143x y +=得 222(34)4(32)41230k x k k x k k +=-+--=
设(,)E E E x y ，(,)F F F x y ，点3
(1,)2
A 在直线AE 上 则22412334E k k x k --=+，3(1)2
E E y k x =-+； 直线A
F 的斜率与直线AE 的斜率互为相反数，在上式中用k -代替k 得
22412334F k k x k +-=+，3(1)2
E F y k x =--+， 直线AE 的斜率()2F E E F EF F E F E
y y k x x k k x x x x --++==--12= 所以直线AE 的斜率为定值
考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
21．已知函数()x f x e =x R ∈
(1)求()f x 在点(1,)e 处的切线方程；
(2)证明：曲线()y f x =与曲线2112
y x x =++有唯一公共点； (3)设a b <，比较2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由. 【答案】(1)y ex =
【解析】
试题分析：(1)首先求出()f x '，令1x =，即可求出()f x 在点(1,)e 处的切线方程的斜率，代入点斜式即可求出切线方程
(2)令 21()()12
h x f x x x =---则'()1x h x e x =--，根据''()1x h x e =-，讨论'()1x h x e x =--在(0,)+∞上单调递增，所以'()'(0)0y h x h =≥=，所以()y h x =在R 上单调递增，
，又(0)0h =，即函数()h x 有唯一零点0x =，所以曲线()y f x =与曲线2112
y x x =
++有唯一公共点(0,1). (3)作差得a a b e a b e a b a b a b a f b f b f a f ⋅-⋅⋅--++-=---+-)
(2)2()2()()(2)()(，令
()2(2)x g x x x e =++-⋅,讨论'()1(12)1(1)x x g x x e x e =++-⋅=+-⋅，
''()(11)0x x g x x e x e =+-⋅=⋅>的单调性，
得到()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(0)0g =，所以在(0,)+∞上()0g x >，可得a b <时，
()()()()2f a f b f b f a b a +->- （1) ()x f x e '=，则(1)f e '=，()f x 点(1,)e 处的切线方程为：(1)y e e x -=-,y ex =
(2) 令 2211()()1122
x h x f x x x e x x =---=---，x R ∈，则'()1x h x e x =--，''()1x h x e =-
且(0)0h =，'(0)0h =，''(0)0h =
因此，当0x <时，''()0h x <，'()y h x =单调递减；当0x >时，''()0h x >，'()y h x =单调递增.
所以'()'(0)0y h x h =≥=，所以()y h x =在R 上单调递增，又(0)0h =，即函数()h x 有唯一零点0x =，
所以曲线()y f x =与曲线2112y x x =
++有唯一公共点(0,1). (3) 设)
(2)()2()()2()()(2)()(a b b f a b a f a b a b a f b f b f a f -⋅⋅--+⋅+-=---+ a a b b a e a b e a b a b a b e a b e a b ⋅-⋅⋅--++-=-⋅⋅--+⋅+-=-)
(2)2()2()(2)2()2( 令()2(2)x g x x x e =++-⋅且0x >，则 '()1(12)1(1)x x
g x x e x e =++-⋅=+-⋅ ''()(11)0x x g x x e x e =+-⋅=⋅>，所以'()g x 在
0+∞（，）上单调增，且'(0)0g = ， 因此'()0g x >，()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(0)0g =，所以在(0,)+∞上()0g x > 即当0x >时，()2(2)0x g x x x e =++-⋅>且a b <， 所以(2)(2)02()
b a
a b a b a e e b a --++--⋅⋅>⋅-， 所以当a b <时，()()()()2f a f b f b f a b a
+->- 考点：导数在研究函数时的应用，曲线的切线方程。