课题:解直角三角形 (2)
2022年初中数学《解直角三角形2》精品教案
28.2.1 解直角三角形第2课时教学目标【知识与技能】本节主要探索的是运用解直角三角形的知识去解决某些简单的根本问题. 【过程与方法】1.用解三角形的有关知识去解决简单的根本问题的过程.2.选择适宜的边角关系式,使运算简便.努力培养学生数形结合,把根本问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决问题的能力. 【情感态度】通过解决问题,激发学生学数学的兴趣,使全体学生积极参与,并体验成功的喜悦.教学重难点【教学重点】引导学生根据题意找出正确的直角三角形,并找到恰当的求解关系式,把根本问题转化为解直角三角形的问题来解决. 【教学难点】使学生学会将有关简单的问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系.课前准备 无 教学过程一、知识回忆1.解直角三角形的意义:在直角三角形中,由元素求出所有未知元素的过程,叫做直角三角形2.直角三角形中诸元素之间的关系:〔1〕三边之间的关系:a 2+62=c 2(勾股定理〕 〔2〕锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; 〔3〕边角之间的关系:ba A cb Ac a A ===tan cos sin ,,. 把∠A 换成∠B 同样适用.二、思考探究,获取新知我们已经掌握了运用直角三角形的边角关系 解直角三角形,那么请思考:对于简单的根本问题,我们能否用解直角三角形的方法去解决呢?如图,河宽AB(假设河的两岸平行〕,在C 点测得∠ACB = 30°,D 点测得∠ADB=60°,又CD=60m ,那么河宽AB 为多少米?〔结果保存根号〕【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD 的度数,判断出△ACD 的形状,再由锐角三角函数的定义即可求出AB 的值.【教学说明】此题考查的是解直角三角形的应用,涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值. 三、典例精析,掌握新知例1 如图,为了测量河两岸A 、两点的距离,在与AB 垂直的方向上取点C ,测得AC =m , ∠ACB = α那么AB 等于〔 〕A. m sin αB. n cos αC. m tan αD. m /tan α【分析】此题易因记错∠α的正切或运算关系掌握不好而选错. 答案 C例2 如图,小明在公园里放风筝,拿风筝线的手B 离地面高度AB 为1.5米,风筝飞到C 处时的线长BC 为30米,这时测得∠CBD=60°,求此时风筝离地面的高度.〔结果精确到0.1米,73.13 )【分析】 在Rt △BCD 中,由BC =30米,∠CBD=60°,利用正弦可求得CD ,又DE=AB ,从而风筝离地面的高度CE=CD+DE.【教学说明】解答此题的关键是利用解直角三角形来求CD 的长,利用矩形的性质求DE 的长. 四、运用新知、深化理解1.课外活动小组测量学校旗杆的高度,如图,当太阳光线与地面成 30°角时,测得旗杆AB 在地面上影长BC 长为24米,那么旗杆AB 的 高约是多少 ?2.如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O ,直径A 河底线,弦处有8m 已测得1312DOE sin =∠.〔1〕求半径OD;〔2〕根据需要,睡眠要以每小时0.5m 的速度下降,那么经过多长时间才能将水排干?【教学说明】可让学生自主探究,也可小组内讨论.教师巡视,发现问题给予指导.【答案】1.解:∵太阳光线与地面成30°角,旗杆AB 在地面上的影长BC 为24米,∴旗杆AB 的高度约是:)(m 3830tan 24=︒=AB .2..分析:解决此题的关键是求出OE 的值.由垂径定理易求出DE 的长,Rt △OED 中,根据DE的长以及∠EOD 的正弦值,可求出半径OD 的长, 再由勾股定理即可求出OE 的值.OE 的长除以水面下降的速度,即可求出将水排干所需要的时间.五、师生互动、课堂小结1.解直角三角形的关键是找到与和未知相关联的直角三角形,当 图形中没有直角三角形时,要通过作辅助线构造直角三角形.〔作 某边上的高是常用的辅助线〕2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系,所以在复习时要形 成知识结构,要把解直角三角形作为一种工具,能在解决各种问题 时合理运用.课后作业1.布置作业:从教材P77〜79习题28.2中选取.2.完成练习册中本课时的练习.教学反思本课时以自主探究和小组讨论为主,以教师归纳讲解为辅,激发学生自主学习的兴趣和能力,使学生进一步稳固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解,培养学生数形结合的思想.第1课时教学目标【知识与技能】进一步运用反比例函数的知识解决实际问题. 【过程与方法】经历“实际问题一建立模型一问题解决〞的过程,开展学生分析问题,解决问题的能力. 【情感态度】运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中,感受数学的应用价值,提高学习兴趣. 教学重难点【教学重点】运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.【教学难点】用反比例函数的思想方法分析、解决实际应用问题.课前准备无教学过程一、情境导入,初步认识问题我们知道,确定一个一次函数y = kx+b的表达式需要两个独立的条件,而确定一个反比例函数表达式,那么只需一个独立条件即可,如点A(2,3)是一个反比例函数图象上的点,那么此反比例函数的表达式是,当x=4时,y的值为,而当y=13时,相应的x的值为,用反比例函数可以反映很多实际问题中两个变量之间的关系,你能举出一个反比例函数的实例吗?二、典例精析,掌握新知例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位:m2 )与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系?(2 )公司决定把储存室的底面积定为 500m2,施工队施工时应该向地下掘进多深?2)?【分析】圆柱体体积公式V=S • d,通过变形可得S=Vd,当V—定时,圆柱体的底面积S是圆柱体的高〔深〕d的反比例函数,而当S= 500m2时,就可得到d的值,从而解决问题〔2),同样地,当d= 15m —定时,代入S = Vd可求得S,这样问题〔3)获解.例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度V(单位:吨/天〕与卸货时间t单位:天〕之间有怎样的函数关系?(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多货?【分析】由装货速度×装货时间=装货总量,可知轮船装载的货物总量为240吨;再根据卸货速度=卸货总量÷卸货时间,可得V与t的函数关系式为V=240t,获得问题〔1)的解;在(2)中,假设把t=5代入关系式,可得V=48,即每天至少要卸载48吨,那么可保证在5天内卸货完毕.此处,假设由V =240t得到t=240V,由t≤5,得240V≤5,从而V≥48,即每天至少要卸货48吨,才能在不超过5天内卸货完毕.【教学说明】例2仍可由学生自主探究,得到结论.鼓励学生多角度出发,对问题〔2)发表自己的见解,在学生交流过程中,教师可参与他们的讨论,帮助学生寻求解决问题的方法,对有困难的学生及时给予点拨,使不同层次的学生在学习中都有所收获.例3如下图是某一蓄水池每1h的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数图象.(1) 请你根据图象提供的信息求出此蓄水的蓄水量.(2) 写出此函数的函数关系式.(3) 假设要6h排完水池的水,那么每1h的排水量应该是多少?(4) 如果每1h排水量是5m3,那么水池中的水将用多长时间排完?【分析】解此题关键是从图象中获取有关信息,会根据图象答复.解:(1)由图象知:当每1h排水4m3时,需12h排完水池中的水,∴蓄水量为4×12 = 48〔m3 )(2)由图象V与t成反比例,设V=kt(k≠0).把V=4,t=12代入得k=48,∴V =48t(t>0).(3)当t=6时,486V== 8,即每1h排水量是8m3⑷当V=5时,5 = 48t,485t∴== 9.6(h),即水池中的水需要用9.6h排完.【教学说明】例3相比前面两例,难度增加,教师在讲解此题时,要辅导学生从图象中获取信息,会根据图象答复下列问题.三、运用新知,深化理解1.某玻璃器皿公司要挑选一种容积为1升 (1升=1立方分米〕的圆锥形漏斗.(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?(2)如果漏斗口的面积为100厘米2,那么漏斗的深为多少?2.市政府方案建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为106m3,某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务.(1)运输公司平均每天的工作量V(单位:m3/天〕与完成运送任务所需的时间t〔单位:天〕之间具有怎样的函数关系?(2)这个运输公司共有100辆卡车,每天一共可运送土石方104m3.那么公司完成全部运输任务需要多长时间?【教学说明】以上两题让学生相互交流,共同探讨,获得结果,使学生通过对上述问题的思考,稳固所学知识,增强运用反比例函数解决问题的能力.在完成上述题目后,教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学〞局部.【答案】1.解:〔1)13Sd=1,S =3d(d>0)(2)100cm2 = 1dm2,当S = 1dm2时,3d=1,d=3dm.2.解:(1)661010,(Vt V tt==>0) .(2)t=662410101010V== .即完成任务需要100天.四、师生互动,课堂小结谈谈这节课的收获和体会,与同伴交流.课后作业1.布置作业:从教材“习题26. 2〞中选取.“课时作业〞局部.教学反思本节课是用函数的观点处理实际问题,其中蕴含着体积、面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际情境,建立函数模型,并进一步明确数学问题,将实际问题置于已有的知识背景之中,用数学知识重新解释这是什么,可以是什么,从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时,应充分利用函数的图象,渗透数形结合的思想.学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为根底,另外在小学也学过反比例,并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数,学生已经有了一定的知识准备.因此,本节课教师可从身边事物入手,使学生真正体会到数学知识来源于生活,有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程,给学生留下充足的时间来进行交流活动,不断引导学生利用数学知识来解决实际问题.。
《解直角三角形》教案
《解直角三角形》教案一、教学目标1、知识与技能目标(1)理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
(2)能够将实际问题转化为数学问题,建立解直角三角形的数学模型,并运用解直角三角形的方法解决实际问题。
2、过程与方法目标(1)通过对解直角三角形的学习,培养学生分析问题和解决问题的能力,以及数学建模的思想。
(2)通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,提高学生的运算能力和逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观目标(1)让学生在学习过程中体会数学与实际生活的紧密联系,激发学生学习数学的兴趣。
(2)通过解决实际问题,培养学生的应用意识和创新精神,让学生在成功中获得自信,在挫折中锻炼意志。
二、教学重难点1、教学重点(1)直角三角形中五个元素之间的关系。
(2)解直角三角形的方法。
2、教学难点(1)将实际问题转化为数学问题,建立解直角三角形的数学模型。
(2)正确选择合适的锐角三角函数关系式解直角三角形。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示一些与直角三角形相关的实际问题,如测量建筑物的高度、计算斜坡的长度等,引出解直角三角形的概念,激发学生的学习兴趣。
2、知识讲解(1)直角三角形的五个元素直角三角形有三条边和两个锐角,共五个元素,分别是两条直角边a、b 和斜边 c,以及两个锐角 A 和 B。
(2)五个元素之间的关系①三边关系(勾股定理):a²+ b²= c²②锐角关系:∠A +∠B = 90°③边角关系:sin A = a/c,cos A = b/c,tan A = a/b(3)解直角三角形由直角三角形中除直角外的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形。
3、例题讲解例 1:在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,a = 3,c = 5,求 b 和∠A、∠B 的度数。
28.2解直角三角形(教案)
-难点3:针对含有两个未知数的直角三角形问题,如已知斜边和一个锐角,求另外两个未知数。通过讲解和举例,让学生掌握解题步骤,如先求出另一个锐角,再利用三角函数求解未知边长。
其次,在新课讲授环节,我发现部分学生对三角函数的定义和应用掌握不够扎实。在讲解过程中,我可能过于注重理论推导,而忽略了与实际例子的结合。针对这一问题,我打算在接下来的课程中,增加。
此外,在实践活动环节,虽然学生分组讨论和实验操作进行得如火如荼,但我发现部分小组在讨论过程中偏离了主题,讨论了一些与课程内容关联性不强的问题。在今后的教学中,我需要加强对学生讨论方向的引导,确保实践活动紧扣课程内容。
今天我们在课堂上学习了解直角三角形这一章节,回顾整个教学过程,我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先,关于导入新课环节,我通过提问方式引导学生思考日常生活中的直角三角形实例,但感觉学生的反应并不如预期。可能是我提出的问题不够具体,或者是学生的生活经验有限,导致他们难以快速进入学习状态。在今后的教学中,我需要更贴近学生生活实际,提出更具启发性的问题,激发他们的兴趣。
在学生小组讨论环节,我注意到有些学生发言不够积极,可能是他们对讨论主题不感兴趣或者缺乏自信。为了提高学生的参与度,我计划在下一节课中,鼓励学生提出自己的观点,并适时给予表扬和鼓励,让他们在讨论中找到成就感和自信心。
最后,关于课堂总结环节,我觉得自己总结得还不够到位,没有完全覆盖本节课的重点和难点。在今后的教学中,我需要更加注重课堂总结,明确指出重点和难点,帮助学生巩固所学知识。
(3)将实际问题抽象成直角三角形模型,运用三角函数解决生活问题。
解直角三角形的应用教案
二、教学重点和难点
重点:解直角三角形在测量方面的应用。 难点:综合应用知识程度较高的例 3。
教师活动
1、 回顾三角形 求解的一般公 式。 2、 使学生加深 对基础知识的 识记与理解。 3、 多媒体展示 加深印象。
学生活动
积极思考、 踊 跃回答。
RtABC中的已知条件
应选公式
一般解法
sin A
斜边 c 和一个锐角 A 一 边 一 角 一直角边 a (b)和一个锐 角A
a c b cos A c a tan A b
流, 教师指导。 三 角 形 应 用
450 300 6米
1
五、巩固提高
例 2、如图,河对岸有水塔 AB。在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30°,向 塔前进 12m 到达 D,在 D 处测得 A 的仰角为 45°,求塔高。
1、 引导学生分 析题目,并回 答计算。 3、 让学生充分 体会到解直角 三角形的用处 之大。
用函数求角度值
二、提出问题,引入新课
我们在生活中,观看一个较高的物体需要抬起头来往上看,用一个词语来描述 叫做什么?(仰视)那低下头看一个物体又怎么描述呢?(俯视) 那么,我们来看一下这个分析图:
教师先提出问 题,待学生回 答完成后,老 师解释仰角、 俯角的概念。
回答问题并 学习新知识
视线 仰角 俯角 水 平 线
视线
三、给出问题,共同探究。
例1、热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30 ,看这栋楼 底部的俯角为 60 ,热气球与楼的水平距离为 120m,你能算出楼的高度吗? 引导提示: 1、你能不能把它抽象成数学问题? 2、看一下其中的图形是什么形状? 3、 根据已知条件和所学知识, 这种形状的图形能不 能解? (解题过程略)
28.2解直角三角形(2)
年级 九年级 课题28.2解直角三角形(2)课型 新授教学媒体多媒体教 学 目 标识能知技1. 使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题,能运用解直角三角形的方法解决问题;2.认识仰角、俯角等概念,学会综合运用所学知识解决实际题.过程 方法 经历解直角三角形的实际应用,运用转化思想,学会把实际问题转化为数学问题来解决,培养学 生分析问题、解决问题的能力.情感 态度 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生用数学的意识教学重点将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形元素之间的关系,从而利用所学的知识解决实际问 题.教学难点 将实际问题转化为数学模型教学过程设计一、复习引入1. 什么是解直角三角形?2. 直角三角形的边边、角角、边角之间有哪些关系?3. 怎样解直角三角形?这节课利用解直角三角形的知识解决实际问题,引出课题 二、自主探究教材75页例4 分析:(1)什么是仰角、俯角?在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角;视线在水 平线下方的角是俯角. (2 )如何根据题意构造几何图形? (3 )怎样求出BC 的长?在两个直角三角形中分别求出 BD CD 也可以先求出 AB AC 的长,再运 用勾股定理求出BC. 归纳:该题是测量楼高的问题,涉及到仰角、俯角的概念,解决这个问 题运用了解直角三角形的已知一个锐角和一条直角边求另一条直角边的 方法补充在山顶上处D 有一铁塔,在塔顶B 处测得地面上一点 A 的俯角a =60°,在教学程序及教学内容 师生行为 设计意图教师提岀问题,引 导学生思考,回答, 教师强调解直角三 角形的注意事项为下面应用解直角 三角形知打下基 础,并引岀课题教材74页例3分析:(1)从飞船上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球 相切时的切点;(2 )所要求的距离应该是点 P 与切点之间的弧长。
(3)已知哪些条件?求弧长需要知道哪些条件?(4) 如图,。
解直角三角形.2解直角三角形教案
解直角三角形【探究目标】1.目的与要求 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题. 2.重点难点 能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形,能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题.3.情感、态度与价值观 通过解直角三角形的应用,培养学生学数学、用数学的意识和能力,激励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物.【探究指导】在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形. 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系,如下图:角角关系:两锐角互余,即∠A+∠B =90°;边边关系:勾股定理,即222c b a =+;边角关系:锐角三角函数,即b a B abB c aB c bB a b A b aA c bA c aA ========cot ,tan ,cos ,sin cot ,tan ,cos ,sin解直角三角形,可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形:(1)已知两条边(一直角边和一斜边;两直角边);(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角;斜边和一锐角).这两种情形的共同之处:有一条边.因此,直角三角形可解的条件是:至少已知一条边.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是:把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形),就是要舍去实际事物的具体内容,把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系.借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义,也有助于把实际问题抽象为数学问题.当需要求解的三角形不是直角三角形时,应恰当地作高,化斜三角形为直角三角形再求解.在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,如没有特殊要求外,边长保留四个有效数字,角度精确到1′.例1 在△ABC 中,∠C =90°,根据下列条件解直角三角形. (1)c =10,∠B =45°,求a ,b ,∠A ; (2)26,62==b a ,求c ,∠A ,∠B思路与技巧 求解直角三角形的方法多种多样,如(1)可以先求a 或b ,也可以先求∠A ,依据都是直角三角形中的各元素间的关系,但求解时为了使计算简便、准确,一般尽量选择正、余弦,尽量使用乘法,尽量选用含有已知量的关系式,尽量避免使用中间数据.解答 (1)∠A =90°-45°=45°2545sin 10sin =︒⋅=⋅=A c a 25==a b(2)64722422=+=+=b a c ,216462sin ==A 所以︒=∠30A︒=∠-︒=∠6090A B例2 如图,CD 是Rt △ABC 斜边上的高,32=BC ,22=CD ,求AC ,AB ,∠A ,∠B(精确到1′).思路与技巧 在Rt △ABC 中,仅已知一条直角边BC 的长,不能直接求解.注意到BC 和CD 在同一个Rt △BCD 中,因此可先解这个直角三角形.解答 在Rt △BCD 中281222=-=-=CD BC BD33322cos 363222sin ======BC BD B BC CD B用计算器求得 ∠B =54°44′于是∠A =90°-∠B =35°16′ 在Rt △ABC 中,62366sin 63332cos =⨯=⨯==⨯==B AB AC B BC AB例3 气象台测得台风中心在某港口A 的正东方向400km 处,正在向正西北方向转移,距台风中心300km 的范围内将受其影响,问港口A 是否会受到这次台风的影响?思路与技巧 如图19—48,就是要求出A 到台风移动路线BC 的距离是否大于300km ,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠ABC =45°,AB =400km ,是AC 可求.解答 在Rt △ABC 中,由于ABC AB AC∠=sin所以AC =AB ·sin ∠ABC =400×sin45°300283220022400<≈=⨯=所以港口A 将受到这次台风的影响.例4 如图,两幢建筑物的水平距离为56.5m ,从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物的底部的俯角是42°,从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是22°,求这两幢建筑物的高度(精确到0.1m).思路与技巧 如图,AB 、CD 表示两幢建筑物,AB ⊥BD ,CD ⊥B D ,BD =56.5m ,根据俯角、仰角的意义,∠DAE =42°,∠ACF =22°,于是Rt △ABD 、Rt △ACF 都可解.解答 在Rt △ABD 中, ∠ADB =∠DAE =42° BD =56.5(m)AB =BD ·tan ∠ADB=56.5×tan42° ≈50.9(m) 在Rt △ACF 中, AF =CF ·tan ∠ACF =56.5×tan 22° ≈22.8(m) 所以CD =AB-AF=28.1(m)答:两幢建筑物的高度分别为50.9m ,28.1m例5 如图,沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m ,坡度由原来的1:2改为1:2.5,已知坝高6m ,坝长50m 求:(1)加宽部分横断面AFEB 的面积; (2)完成这一工程需要多少土方?思路与技巧 只须求出梯形AFEB 的下底EB 的长,作AG ⊥BC ,FH ⊥EB ,垂足分别为G 、H ,根据坡度的意义,可以求出坡AB 、坡EF 的水平长度.解答 (1)作AG ⊥BC ,FH ⊥EB ,垂足分别为G 、H ,由题意得 HG =AF =2(m).AG =FH =6(m) 在Rt △ABG 中,因为21==BG AG i所以BG =2×6=12(m) 在Rt △FEH 中,因为5.21==EH FH i所以EH =2.5×6=15(m)所以EB =EH+HG-BG =15+2-12=5(m)所以()()()2216522121m AG EB AF S AFEB =⨯+=⨯+=梯形()31050502150m S V AFEB =⨯=⨯=梯形答:加宽部分横断面AFEB 的面积为221m ,完成这一工程需要1050方土.例6 海上有两条船,甲船在乙船的正南方向,甲船以每小时40海里的速度沿北偏东60°方向航行,乙船沿正东方向以每小时20海里的速度航行,问两船会不会相撞?为什么?思路与技巧 根据题意画出图形,如图19—51,可知甲、乙两船的路线可能会成为直角三角形中60°所对的直角边和斜边,两船同时出发,在相同的时间内所走路程的比如果正好等于60°的正弦就会相撞,否则不会.解答 如图,因为乙船的速度为每小时20海里,甲船的速度为每小时40海里,所以乙船与甲船所走路程的比为1:2.又212360sin ≠=︒所以不会发生相撞.例7 某市为改变城市交通状况,在大街拓宽工程中,要伐掉一棵树AB .在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离B 点3m 远的D 点测得树的顶部A 点的仰角为60°,树的底部B 的仰角为30°,如图19—52,问距离B 点8m 远的保护物是否在危险区内?思路与技巧 本题的实质是要计算大树的高度,如果大于8m ,说明保护物在危险区内,否则不在.由于大树不在哪一个直角三角形中,根据条件,过C 作CE ⊥AB ,则可把AB 放在Rt △ACE 和Rt △BCE 中进行求解.解答 过C 作CE ⊥AB ,垂足为E. 由题意可知,CE =DB =3m 在Rt △CEB 中,()m CE BE 732.133330tan ≈⨯=︒⋅=在Rt △ACE 中,()m CE AE 196.53360tan ≈⨯=︒⋅=所以AB =AE+BE =5.196+1.732=6.928(m)<8(m)所以距离B 点8m 远的保护物不在危险区域内.【探究活动】提出问题 运用解直角三角形的知识可以解斜三角形(锐角三角形或钝角三角形)吗?探究准备 锐角△ABC(已知b ,a 和∠C).钝角△ABC(已知∠A ,c ,∠B)(∠A ,∠B ,∠C 的对边为a ,b ,c)如图.探究过程 直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据,它们只有在直角三角形中才成立,因此要想用它们来解斜三角形,必须把斜三角形转化为直角三角形,转化的方法一般是作高,如图19—53甲可以作AD ⊥BC 于D ,这样构造了两个直 角三角形Rt △ABD 和Rt △ACD ,Rt △ACD 中,CD =b cos ∠C ,AD =b sin ∠C ,因为BC =a ,所以BD =a -b cos ∠C ,在Rt △ABD 中,C b a Cb BD AD B ∠-∠==cos sin tan ,得出∠B ,进而求出∠A =180°-∠B-∠C ,()()2222cos sin C b a C b BD AD AB ∠++∠=+=C ab a b ∠-+=cos 222()1sin cos 22=∠+∠C C 同样方法,图乙中,可以过C 作CD ⊥AB 于D ,先解Rt △ACD .再解Rt △CDB .探究评析 “化斜为直”是运用解直角三角形的知识解斜三角形的根本方法,其做法是通过作斜三角形的一条高,把斜三角形化为两个直角三角形,再根据条件分别在两个直角三角形中做文章.例8 如图,公路上A 、B 两处相距lkm ,测得城镇C 在A 处的北偏东35°方向,在B 处的北偏西40°方向.求城镇C 到A 处、B 处的距离分别是多少?思路与技巧 弄清楚两个方向角是解决问题的第一步,根据题意∠1=35°,∠2=40°,AB =lkm ,发现△ABC 不是直角三角形,故通过“化斜为直”转化,作CD ⊥AB 于D ,如图19—55,则∠ACD=∠l=35°,∠BCD=∠2=40°,但是Rt△ACD与Rt△BCD都无法直接求解,因而可利用CD是这两个直角三角形的公共边以及AD+DB=AB=lkm的条件,设法列方程求解.解答作CD⊥AB,垂足为D,设CD=x则在Rt△ACD中,AD=x·tan∠ACD=x·tan35°在Rt△CDB中,BD=x·tan∠BCD=x·tan40°因为AD+BD=AB=1所以x(tan35°+tan40°)=1x=1÷(tan35°+tan40°)≈0.6496(km)于是()()kmCDBCkmCDAC848.050sin,793.055sin≈︒=≈︒=答:城镇C到A处的距离约93km,到B处的距离约是0.848km.。
《解直角三角形》教案
《解直角三角形》教案一、教学内容本节课的教学内容来自人教版数学五年级下册第117页至119页,主要讲解解直角三角形的知识和方法。
内容包括直角三角形的定义、直角三角形的性质、解直角三角形的步骤和方法等。
二、教学目标1. 让学生掌握直角三角形的定义和性质,理解解直角三角形的步骤和方法。
2. 培养学生运用直角三角形知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点重点:直角三角形的定义和性质,解直角三角形的步骤和方法。
难点:如何运用直角三角形知识解决实际问题。
四、教具与学具准备教具:黑板、粉笔、直角三角形模型、直尺、三角板。
学具:练习本、直角三角形模型、直尺、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入:老师拿一个直角三角形模型,问同学们:“这个图形是什么三角形?”(直角三角形)“谁能告诉我直角三角形有什么特点?”(有一个角是直角,两条直角边)2. 讲解直角三角形的定义和性质:直角三角形是指有一个角是直角的三角形,这个直角所对的边叫做直角边,另外两个角叫做锐角。
直角三角形的性质有:直角三角形的两个锐角互余,直角三角形的斜边最长。
3. 讲解解直角三角形的步骤和方法:(1)画出直角三角形,标出已知量和所求量。
(2)根据已知量和直角三角形的性质,列出方程。
(3)解方程,求出所求量。
4. 例题讲解:已知直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm,求斜边的长度。
解:根据勾股定理,斜边的长度为√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5cm。
5. 随堂练习:(1)已知直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm,求斜边的长度。
(2)一个直角三角形的斜边长是13cm,其中一个锐角是30°,求另一个锐角的大小。
6. 作业设计:(1)已知直角三角形的斜边长是20cm,其中一个锐角是60°,求另一个锐角的大小。
答案:另一个锐角的大小是30°。
解直角三角形教案精选5篇
解直角三角形教案精选5篇解直角三角形教案篇一一、教学目标〔一〕知识教学点使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.〔二〕能力训练点通过综合运用勾股定理,直角三角形的'两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.〔三〕德育渗透点渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.二、教学重点、难点和疑点1.重点:直角三角形的解法.2.难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用.3.疑点:学生可能不理解在的两个元素中,为什么至少有一个是边.三、教学过程〔一〕明确目标1.在三角形中共有几个元素?2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?〔1〕边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角,那上述式子就可以写成。
〔2〕三边之间关系a2+b2=c2〔勾股定理〕〔3〕锐角之间关系∠A+∠B=90°.以上三点正是解直角三角形的依据,通过复习,使学生便于应用.〔二〕整体感知教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形,目的是运用锐角三角函数知识,对其加以复习稳固.同时,本课又为以后的应用举例打下根底,因此在把实际问题转化为数学问题之后,就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的.综上所述,解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课.〔三〕重点、难点的学习与目标完成过程1.我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素〔至少有一个是边〕后,就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个元素中必有一条边呢?激发了学生的学习热情.2.教师在学生思考后,继续引导“为什么两个元素中至少有一条边?〞让全体学生的思维目标一致,在作出准确答复后,教师请学生概括什么是解直角三角形?〔由直角三角形中除直角外的两个元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形〕.3.例题例1在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且c=287.4,∠B=42°6′,解这个三角形.解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,此题在处理时,首先,应让学生独立完成,培养其分析问题、解决问题能力,同时渗透数形结合的思想.其次,教师组织学生比拟各种方法中哪些较好完成之后引导学生小结“一边一角,如何解直角三角形?〞答:先求另外一角,然后选取恰当的函数关系式求另两边.计算时,利用所求的量如不比原始数据简便的话,最好用题中原始数据计算,这样误差小些,也比拟可靠,防止第一步错导致一错到底.例2在Rt△ABC中,a=104.0,b=20.49,解这个三角形.在学生独立完成之后,选出最好方法,教师板书.4.稳固练习解直角三角形是解实际应用题的根底,因此必须使学生熟练掌握.为此,教材配备了练习针对各种条件,使学生熟练解直角三角形,并培养学生运算能力.说明:解直角三角形计算上比拟繁锁,条件好的学校允许用计算器.但无论是否使用计算器,都必须写出解直角三角形的整个过程.要求学生认真对待这些题目,不要马马虎虎,努力防止出错,培养其良好的学习习惯.〔四〕总结与扩展1.请学生小结:在直角三角形中,除直角外还有五个元素,知道两个元素〔至少有一个是边〕,就可以求出另三个元素.2.出示图表,请学生完成abcAB1√√2√√3√b=acotA√4√b=atanB√5√√6a=btanA√√7a=bcotB√√8a=csinAb=ccosA√√9a=ccosBb=csinB√√10不可求不可求不可求√√注:上表中“√〞表示。
6-16网课数学A学案(8.7一8.13)
8月7号初三数学学案(A)课题:解直角三角形(1)【预习检查】1.如图所示,一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下,树顶落在离数根24米处。
问大树在折断之前高多少米?2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,b=10,求a,c,∠A【目标展示】1.理解直角三角形中5个元素的之间关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2.经历解直角三角形的过程,概括出解直角三角形的方法,提高分析问题、解决问题的能力.【新知研习】研习1:已知在Rt△ABC中,∠C为直角,在a、b、c、∠A、∠B这五个元素中,知道几个元素,就能求出其它未知元素?研习2:解直角三角形的依据是哪些?【典型例题】例题1.在Rt△ABC中,∠C =900,∠A =300,a=5,求b、c的大小.例2.在Rt△ABC中,∠C =900,a=10,c=20,请解此直角三角形【归纳总结】【巩固拓展】1.在Rt△ABC中,下列情况,三角形可解的是()A.已知AC=3,∠C=900,B.已知∠C =900,∠B=300,C.已知∠C =900,∠B =600,BC=6,D.已知AC=42.已知△ABC中,AB=24,∠B=450,∠C=600,AH⊥BC于H,则CH=.3.已知在Rt△ABC中,∠C =900,b=32,c=4,求a 、∠A、∠B4.如图,△ABC中,BC=6,AC=63,∠A=30°,求AB的长.5.如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=4,CE=43,求△ABC的面积。
6.(2019•宿迁)如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是.【预习指导】解直角三角形(2)CA B8月8号初三数学学案(A )课题:解直角三角形(2)1.如图,在Rt △ABC 中,a=6,b=63,解这个直角三角形.【目标展示】1.理解直角三角形中5个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的2个锐角互余及锐角三角函数解有关多边形中的边角问题.2.经历解直角三角形的过程,概括出解多边形的方法,提高分析问题和解决问题的能力. 【新知研习】研习1:遇到在非直角三形中求边长时怎么办?研习2:什么叫做正多边形?什么叫做正多边形的半径?它的中心角怎么计算【典型例题】例1.如图,△ABC 中,BC=6,AC=63,∠A=30°,求AB 的长.【归纳总结】【巩固拓展】1. 一个正六边形的边长为4㎝,则这个正六边形的面积为_______.2.在⊿ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,则BC= .3.在⊿ABC 中,∠C=90°,若sinA+sinB=57,a+b=28,求c4.如图,在四边形ABCD 中,AB=2,CD=1,∠A=60°∠D=∠B=90°,求这个四边形ABCD 的面积.5.一副直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长.【预习指导】锐角三角函数的简单应用(1)B DCAA BO 8月9号初三数学学案(A )课题:锐角三角函数的简单应用(1) 【预习检查】 【预习检查】1.在Rt △ABC 中,其中∠C=90°,则sinA= ,cosA= ,tanA= . 2.小明在荡秋千,已知秋千的长度为2m, 求秋千升高1m 时,秋千与竖直方向所成的角度.【目标展示】1.通过具体的一些实例,能将实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系.2.经历由实际问题数学化过程,进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用,要求学生掌握不断探索解决实际问题的方法和规律. 【新知研习】研习1:一个圆绕圆心旋转1周需m (min ),那么它旋转了n(min)后的旋转角是多少?(m>n ).【典型例题】例1.“五一”节,小明和同学一起到游乐场游玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20m ,旋转1周需要12min .小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m )开始1周的观光,经过2min 后,小明离地面的高度是多少(精确到0.1m )?思路点拨:设经过2min 后,小明从点B 到达点C 的位置,由题意知:弧BC 即为圆周长的1/6,作C D ⊥OB,垂足为D ,在Rt △COD 中,OC 与∠COD 已知,则OD 可求,进而可求得小明离地面的高度.例2. (1)在例1的条件下摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次到达30.5m?(2)小明将有多长时间连续保持在离地面30.5m以上的空中?问:(1)“如何理解首次”(2)“引导学生去思考,此时在空中什么位置”,并画出图形.例3.经过多长时间后,小明离地面的高度将首次达到5m?经过多长时间后,小明离地面的高度将再次达到10.5m?【巩固拓展】1.如图,起重机的机身高AB为20m,吊杆AC的长为36m,•吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°,则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度是,离机身的最远水平距离是.(精确到0.1m)2.单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到A B′的位置时,∠BAB′=11°,问这时摆球B′较最低点B升高了多少?(精确到1cm )【预习指导】锐角三角函数的简单应用(2)B'BAsin110.191,cos110.982,tan110.194︒≈︒≈︒≈8月10号初三数学学案(A )课题:锐角三角函数的简单应用(2) 【预习检查】__________是仰角。
解直角三角形(第二课时)
16
30°
2a 0
3
例:我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向,楼高都 是16米,某时太阳光线与水平线的夹角为30 °,如果南 北两楼间隔仅有20米,试求:(1)此时南楼的影子落 在北楼上有多高?(2)要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙脚,两楼间的距离应当是多少米?
a
4
例:我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向,楼高都 是16米,某时太阳光线与水平线的夹角为30 °,如果南 北两楼间隔仅有20米,试求:(1)此时南楼的影子落 在北楼上有多高?(2)要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙脚,两楼间的距离应当是多少米?
a
5
例:我市某住宅小区高层建筑均为正南正北向,楼高都 是16米,某时太阳光线与水平线的夹角为30 °,如果南 北两楼间隔仅有20米,试求:(1)此时南楼的影子落 在北楼上有多高?(2)要使南楼的影子刚好落在北楼 的墙脚,两楼间的距离应当是多少米?
16
30°
a?
6
仰角和俯角
在视线与水平线所成的角中 , 视线 在水平线上方的叫做仰角 , 在水平 线下方的叫做俯角.
C
北 600
北 300
A
BD
a
13
结束寄语
下课了!
• 屡战屡败,似乎会挫伤人的信心, 但屡败屡战则是英雄本色!
a
14
a
1
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫 解直角三角形
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2+b2=c2(勾股定理);
(2)锐角之间的关系: ∠ A+ ∠ B= 90º;
B
(3)边角之间的关系:
sinA=
a c
cosA=
b c
c a
解直角三角形2赛课用1课件
1.什么是解直角三角形? 2.解直角三角形主要依据是:
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系: (3)边角之间的关系:
【学习目标】
• 1、了解仰角、俯角的概念.
• 2、根据直角三角形的知识解决与仰角、俯 角有关的实际问题.
• 3、借助辅助线解决实际问题,掌握数形结 合、抽象归纳的思想方法。
解 在Rt△CDE中,
∵ CE=DE×tan a
=AB×tan a
=10×tan 52°
≈12.80
∴ BC=BE+CE
=DA+CE
D D
≈ 1.50+12.80
=14.3(米)
答:旗杆的高度约为14.3米.
A
52
22.7
CC
?
EE B
练一练
2、如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度
33.1
在ΔADC中 ∠ACD=90°
∵ ∠CAD=29° AC=32m
tanCAD DC AC
DC ACt an29
17.7
∴BD=BC+CD=33.1+17.7≈51
答:大厦高BD约为51m.
B
C
46 A
32m
C
29
A
D
拓展提高
一位同学测河宽,如图,在河岸上一点A观测河对岸 边的一小树C,测得AC与河岸边的夹角为45°,沿河岸边 向前走200米到达B点,又观测河对岸边的小树C,测得BC 与河岸边的夹角为30°,问这位同学能否计算出河宽?若 不能,请说明理由;若能,请你计算出河宽.
Dβ
D.下降 200 3米
C
A
解:在ΔABC中,∠ACB =90°
28.2.1解直角三角形教案
难点解析:学生在解决实际问题时,可能难以将所学知识灵活运用。教师应设计丰富的实例,让学生在不同情境下运用直角三角形和三角函数知识,提高问题解决能力。
(4)理解直角三角形在现实生活中的应用,培养学生的数学建模素养;
难点解析:学生对直角三角形在实际生活中的应用可能认识不足,教师应通过举例和实践活动,让学生体会直角三角形在现实生活中的重要性,培养学生的数学建模素养。
在教学过程中,教师要关注学生的掌握情况,针对重点和难点内容进行讲解和强调,确保学生理解透彻。同时,通过举例和实践,帮助学生将所学知识应用于实际问题,提高学生的核心素养。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是“解直角三角形”这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过需要测量或计算三角形边长和角度的情况?”(如测量旗杆的高度等)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
4.增强学生的数学建模素养,通过探索直角三角形的性质和求解方法,培养学生运用数学知识构建模型解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
(1)掌握直角三角形的定义及特点,理解直角三角形的内角和边的关系;
举例:通过具体图形,使学生明确直角三角形的定义,了解直角三角形的内角和边长的关系,如直角三角形中,一个角是直角(90°),另外两个角的和为90°,即互补关系。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了直角三角形的基本概念、勾股定理和三角函数的重要性及其应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对解直角三角形原理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
解直角三角形 教案
解直角三角形教案教案标题:解直角三角形教案目标:1. 理解直角三角形的定义和性质;2. 掌握解直角三角形的方法和步骤;3. 能够应用解直角三角形的知识解决实际问题。
教学准备:1. 教师准备:教学课件、直角三角形的图形和实物模型、解直角三角形的示例题目和答案;2. 学生准备:直角三角形的定义和性质的笔记、直尺、铅笔、计算器。
教学过程:步骤一:导入和复习(5分钟)1. 教师通过展示直角三角形的图形和实物模型,引发学生对直角三角形的认识和兴趣;2. 复习直角三角形的定义和性质,要求学生回答直角三角形的特点和性质。
步骤二:解直角三角形的方法和步骤(15分钟)1. 教师介绍解直角三角形的方法和步骤,包括勾股定理、正弦定理和余弦定理;2. 通过示例题目演示解直角三角形的步骤,解释每一步的原理和意义;3. 强调解直角三角形时需要注意的常见错误和解题技巧。
步骤三:练习和巩固(20分钟)1. 学生分组进行练习,完成教师提供的解直角三角形的练习题;2. 教师巡回指导,解答学生的问题,纠正他们的错误;3. 鼓励学生互相合作,共同解决难题。
步骤四:应用和拓展(10分钟)1. 教师提供一些实际问题,要求学生运用解直角三角形的知识解决问题;2. 学生个别或小组讨论,找出解决问题的方法和步骤;3. 学生展示解决问题的过程和结果,进行讨论和评价。
步骤五:总结和反思(5分钟)1. 教师总结解直角三角形的方法和步骤,强调学生的学习成果;2. 学生反思自己在解直角三角形过程中的收获和困难,提出问题和建议;3. 教师回答学生的问题,给予肯定和鼓励。
教学延伸:1. 学生可以通过使用计算机软件或在线资源,进一步练习和巩固解直角三角形的知识;2. 学生可以尝试解决更复杂的直角三角形问题,拓展解题能力;3. 学生可以与同学分享解直角三角形的方法和经验,互相学习和提高。
教学评估:1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现,给予口头评价;2. 教师布置解直角三角形的作业,检查学生的掌握情况;3. 教师可以通过小测验或考试,对学生的解直角三角形能力进行评估。
解直角三角形教案
解直角三角形教案解直角三角形教案直角三角形是初中数学中的重要内容之一,也是几何学中的基础概念。
本文将为大家介绍一份解直角三角形的教案,帮助学生更好地理解和掌握直角三角形的相关知识。
一、教学目标通过本节课的学习,学生应能够:1. 理解直角三角形的定义和性质;2. 掌握直角三角形中的各个要素,如斜边、直角边、对边和对角;3. 运用勾股定理解决直角三角形相关问题;4. 运用正弦、余弦、正切等三角函数解决直角三角形相关问题。
二、教学内容1. 直角三角形的定义和性质直角三角形是指其中一个角为直角(即90度)的三角形。
直角三角形的性质包括:直角边互相垂直、斜边是直角边的平方和的平方根等。
2. 直角三角形的要素直角三角形的要素包括:斜边、直角边、对边和对角。
斜边是直角三角形的最长边,直角边是与直角相邻的两条边,对边是与直角三角形的直角边不相邻的边,对角是直角三角形的两个直角边之间的夹角。
3. 勾股定理勾股定理是解决直角三角形问题的重要定理,它表明在直角三角形中,直角边的平方和等于斜边的平方。
即a² + b² = c²,其中a和b为直角边的长度,c为斜边的长度。
4. 三角函数三角函数是解决直角三角形问题的有力工具。
其中,正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)是最常用的三角函数。
正弦函数定义为对边与斜边的比值,余弦函数定义为邻边与斜边的比值,正切函数定义为对边与邻边的比值。
三、教学过程1. 引入直角三角形的概念通过展示一张直角三角形的图片,引导学生观察并讨论直角三角形的特点,引出直角三角形的定义和性质。
2. 探究直角三角形的要素通过给出一个直角三角形的图形,让学生自主观察并找出斜边、直角边、对边和对角,引导学生理解这些要素的含义和关系。
3. 学习勾股定理通过一个生活中的实际问题,如测量房间的对角线长度,引出勾股定理的应用场景。
然后,通过具体的例子,教授勾股定理的原理和使用方法。
解直角三角形教案
解直角三角形教案【作文】解直角三角形教案一、引言直角三角形是初中数学里的重要概念之一,也是三角函数的基础。
本教案旨在通过直观的图示和详细的解题步骤,帮助学生掌握解直角三角形相关知识,提高他们的数学运算能力。
二、教学目标1. 理解直角三角形的定义和性质;2. 掌握解直角三角形的基本方法;3. 能够运用解直角三角形的知识解决实际问题。
三、教学内容1. 直角三角形的定义和性质直角三角形指的是其中一个角为90度的三角形。
直角三角形的两条边与直角的关系是勾股定理的基础。
2. 解直角三角形的基本方法解直角三角形的基本方法分为以下几个步骤:步骤1:观察题目中给出的已知条件,确定所求的目标。
步骤2:根据已知条件和所求目标,选择适合的三角函数关系式。
步骤3:代入已知条件,解方程求得所需要的信息。
步骤4:验证所得结果是否符合实际情况。
步骤5:整理解题过程,得出最终答案。
3. 解直角三角形的实例讲解以具体的实例进行解题演示,让学生通过实际操作和分析来理解解直角三角形的过程。
实例:已知直角三角形的一条直角边长为3cm,斜边长为5cm,求另一条直角边的长。
解题步骤:步骤1:已知条件为直角边长为3cm,斜边长为5cm,所求目标为另一条直角边长。
步骤2:选择适合的三角函数关系式。
根据已知条件可以使用正弦函数来解题,即sinθ = 直角边/斜边。
步骤3:代入已知条件,解方程求得直角边的长度。
sinθ = 3/5,求得sinθ ≈ 0.6。
通过逆正弦函数,得到θ的近似值θ ≈ arcsin(0.6) ≈ 0.643。
步骤4:验证结果是否符合实际情况。
检查通过计算得到的另一条直角边的长是否符合勾股定理。
3² + 直角边² ≈ 5²,9 + 直角边² ≈ 25,直角边² ≈ 16,直角边≈ 4。
符合,所以推断结果正确。
步骤5:整理解题过程,得出最终答案。
根据计算得到直角边的长度约为4cm。
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课题:解直角三角形
【学习目标】
1.理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系,能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角
函数解直角三角形.
2.掌握用数形结合和转化的思想方法解决有关问题.
【学习重点】
利用三角函数解决有关实际问题.
【学习难点】
灵活运用三角函数解直角三角形.
情景导入 生成问题
旧知回顾:
1.在△ABC 中,∠C =90°,三边长为a ,b ,c ,∠A 的正弦、余弦、正切分别是什么?
解:sin A =a c ,cos A =b c ,tan A =a b
. 2.在Rt △ABC 中,除直角外,还有三边和两个锐角5个元素,知道哪几个元素可以求出其他的元素呢?
答:知道一边一锐角或知道两边可以求出其他未知元素.
自学互研 生成能力
知识模块一 解直角三角形的概念
【自主探究】
阅读教材P 72:
1.理解解直角三角形的定义.
2.交流对引例(比萨斜塔倾斜的问题)的学习体会.
【合作探究】
教材P 72探究:
(1)在直角三角形中,除直角外的五个元素之间有哪些关系?
(2)知道五个元素中的几个,就可以求其余元素?
答:(1)①三边关系;②锐角关系;③边角关系;
(2)已知Rt △中除直角外的五个元素中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余的三个未知元素.
归纳:一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知
元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
知识模块二 解直角三角形的依据
【自主探究】
阅读教材P 72~P 73,理解解直角三角形需要哪些条件.
【合作探究】
如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,那么除直角C 外的5个元素之
间有什么关系?
答:(1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2;
(2)两锐角之间的关系:∠A +∠B =90°;
(3)边角之间的关系:sin A =∠A 的对边斜边=a c ,cos A =∠A 的邻边斜边=b c ,tan A =∠A 的对边∠A 的邻边=a b
. 知识模块三 新知应用
【自主探究】
阅读教材P 73例1、例2,体会解直角三角形的过程:
【合作探究】
在Rt △ABC 中,∠C =90°,c =0.8328,b =0.2954,解这个直角三角形.
解:∵sin B =b c =0.29540.8328
≈0.3547,∴∠B ≈20°46′,∠A =90°-∠B =90°-20°46′=69°14′.∵tan A
=a b
,∴a =b·tan A =0.2954×tan 69°14′≈0.779. 交流展示 生成新知
【交流预展】
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问
题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
【展示提升】
知识模块一 解直角三角形的概念
知识模块二 解直角三角形的依据
知识模块三 新知应用
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1.在△ABC 中,∠C =90°,若∠B =2∠A ,b =3,则a =( C )
A .33
B .6
C . 3
D .32 2.如图,在△ABC 中,cos B =22,sin C =35,AC =5,则△ABC 的面积是212
,.)
(第2题图) (第3题图)
3.(南通中考)如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,已知CD =2,AC =3,则sin B 的值是34
,.) 【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1.这节课的学习,你的收获是:
________________________________________________________________________
2.存在困惑:________________________________________________________________________。