无界弦振动的研究
弦振动的研究
弦振动的研究
弦振动是物理学中的一个重要研究课题，应用广泛，具有重要的理论和实际意义。简言之，弦振动是指弦的运动，包括弦的振动频率、振动模式、振幅等。
弦振动的基本方程是弦波方程或量子力学中极小作用量原理，可以通过一些理论和数学工具来描述。弦的运动包括纵波和横波，其振幅和频率与弦的材料、长度、张力等因素有关。弦振动理论的研究对于解决许多问题，如乐器的制造、声波的传播、光学、电子学等都非常重要。
传统的弦乐器包括小提琴、大提琴、中提琴、吉他、二胡等都是利用弦的振动来发出美妙的音乐。在传统的音乐制作中，乐器演奏者通过调整弦的长度、材料、张力和空气的共振效应来调节音高和音色。在摇滚音乐中，弦乐器的音乐效果可以被电吉他、电贝斯和合成器等电子乐器所模拟。这些电子乐器配备了内置的高级数字信号处理器，允许乐手模拟各种音效，并使用不同的音效修饰器来调节音色。
弦振动的研究也可以应用于声波传播的分析和量子场论的理论研究。声波的传播在医学成像中应用广泛，如超声波的成像。在物理学中，弦振动问题是量子场论中的一种简单的形式，弦理论和标准模型都对此进行了研究。
总之，弦振动是物理学中一个非常重要的研究课题，其理论和应用方面也非常广泛。通过研究弦振动，我们可以更深入地理解自然界的规律，并为科学技术的发展做出贡献。
弦振动研究试验（教材）
弦振动研究试验（教材）
弦振动研究试验
传统的教学实验多采⽤⾳叉计来研究弦的振动与外界条件的关系。采⽤柔性或半柔性的弦线，能⽤眼睛观察到弦线的振动情况，⼀般听不到与振动对应的声⾳。
本实验在传统的弦振动实验的基础上增加了实验内容，由于采⽤了钢质弦线，所以能够听到振动产⽣的声⾳，从⽽可研究振动与声⾳的关系；不仅能做标准的弦振动实验，还能配合⽰波器进⾏驻波波形的观察和研究，因为在很多情况下，驻波波形并不是理想的正弦波，直接⽤眼睛观察是⽆法分辨的。结合⽰波器，更可深⼊研究弦线的⾮线性振动以及混沌现象。
【实验⽬的】
1. 了解波在弦上的传播及弦波形成的条件。
2. 测量拉紧弦不同弦长的共振频率。
3. 测量弦线的线密度。
4. 测量弦振动时波的传播速度。
【实验原理】
张紧的弦线4在驱动器3产⽣的交变磁场中受⼒。移动劈尖6改变弦长或改变驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。仔细调整，可使弦线形成明显的驻波。此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖6处反射后⼜沿各⾃相反的⽅向传播，最终形成稳定的驻波。
图 1
为了研究问题的⽅便，当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖⽅向传播，称为⼊射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。⼊射波与反射波在同⼀条弦线上沿相反⽅向传播时将相互⼲涉，在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成⼏段形成波节和波腹。如图1所⽰。
设图中的两列波是沿X轴相向⽅向传播的振幅相等、频率相同、振动⽅向⼀致的简谐波。向右传播的⽤细实线表⽰，向左传播的⽤细虚线表⽰，当传⾄弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波⽤粗实线表⽰。由图1可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动⽅程推导出来。
弦振动的研究
n
则波速
v f 2l
n
实验内容： 1．观察驻波的形成和波形，波长的
变化。 （1）安装调试实验装置。如图所示，
接通电源后，调节螺钉 k ，使音叉振 动；
（2）改变弦线长（移动音叉）或砝码 质量，使之产生振幅最大且稳定的驻波 ，改变数次，观察波形、波长的变化情 况。
2、弦上横波的波长与张力的关系 增加砝码的质量，再细调弦长使其共 振，保持n=1或2个波段数，测出弦长l， 算出波长λ，重复测量取平均值。FT值 取20、40、60、80、100ɡ。
作 ~ FT 图，根据图求出斜率，求出 线密度ρ值，求其与测量值得百分差
E 测 100 %
3、计算波速 从以上测量中，选取合适的数据，用 两种方法求波速，说明其差异是否显著。
4、从测量纪录中，选一组数据， 计算弦振动频率，求其与音叉频率的百 分差。
v Baidu NhomakorabeaFT
（1）
设f为弦线的波动频率；λ为弦线上传播 的横波波长，则根据v ＝fλ和（1）式得
1 FT f
当f、ρ一定时λ与 成FT正比。
形成驻波的条件：两列波，频率相同
，振动方向相同，振幅基本相同，传播
方向相反。
当弦长l n 2（n=1，2，3，……）时，得
到稳定的最大幅度的驻波，波长 2l ，
弦振动的研究
物理与光电实验中心
弦振动的研究
弦振动的研究
１．测量驻波波长时，为了更准确测量取其形成驻波哪一段弦。用米尺进行多次测量，
其平均值，然后除以半波长的的数目得到半波长。 ,/2
1mg２．用作图法处理数据是依据：作图，以为纵标座标，以为横座M,,,f,标，为了使图作得更好，横座标邓点要均匀一些，最好尽可能多地用不同砝码测出其相应的
波长，然后取点作图较好。
３．弦线越细则柔韧性越好，越接近理想条件，所以弦细一点好。弦线的弹性对实验的
影响较大。由于作实验时，需加不同的砝码，如果弦线有弹性则不同的砝码弦线拉长的程度
就不一样。弦线的长度改变，则弦线的线密度也相应改变。由于计算频率时是按线密度为常
数计算的，所以弦线的弹性对实验有较大影响。
４．弦线的线密度是弦振动，实验计算时重要参量，为了准确地测量弦线的线密度，其
测量的方法，可用弦振动实验测量。
由公式：nTnT可导出 f,,,222L,2fL
由于砝码质量，音叉振动频率，弦长Ｌ和n均可以较准确测量，所以此法测弦线线密度较为准确。
,1T５．因为,又 L,,,2f,
1T 则： L,2f,
11 对上式两边取对数，有 IgL,IgT,Ig4,,Igf22
所以，从Ig,IgT图的截距可以求得f。
1．η代表在单位面积、单位速度梯度下的内摩擦力。假如两种液体，它们的速度梯度
及两流层接触面积相同，而摩擦力不同，则可以说它们是有不同的粘性；反过来；不同流体，
它们的粘性不同，它们的比例系数η也就不同，因而称描述粘性大小比例的比例常数η为流
体的粘滞系数。
2．由于泊肃叶公式应用的条件要求，液体沿均匀管稳定流动的过程中，管两端的压强差
弦振动——精选推荐
弦振动的实验研究
弦是指一段又细又柔软的弹性长线，比如二胡、吉它等乐器上所用的弦。用薄片拨动或者用弓在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过音箱的共鸣,就会发出悦耳的声音。对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在工程技术上也有着极其重要的意义。比如悬于两根高压电杆间的电力线、大跨度的桥梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从而对其加以控制。同时，弦的振动也提供了一个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，而后达朗贝尔等人通过对弦振动的研究开创了偏微分方程论。
本实验意在通过对一段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。
预备问题
1． 复习DF4320示波器的使用。 2． 什么是驻波？它是如何形成的？
3． 什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？
4． 张力对波速有何影响？试比较以基频和第一谐频共振时弦中的波速。 一、 实验目的：
1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波；
2、学会测量弦线上横波传播速度的方法：
3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力的关系。
二、实验原理
一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。令弦线长度方向为x 轴，弦被拉动的方向（与x 轴垂直的方向）为y 轴，如图1所示。若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张力为T ，对一小段弦线
基本波动方程的求解方法
关于弦振动得求解方法
李航
一、无界弦振动
1、一维齐次波动方程
达朗贝尔方程解无界得定解问题
⎰+-+-++=at x at x d a
at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),( 在常微分方程得定解问题中，通常就是先求方程得通解，然后利用定解条件确定通解所含得任意常数，从而得到定解问题得解。考虑无界得定解问题一般方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φϕ 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 得值由初始条件在区间],[at x at x +-内得值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 得依赖区域，在t x -平面上，它可瞧作就是过点),(t x ，斜率分别a
1± 为得两条直线在x 轴上截得得区间。
2、一维非齐次波动方程得柯西问题
达朗贝尔方程解非齐次定解问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂==)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φϕ
令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φϕ (II) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)得解可由达朗贝尔公式给出：
弦振动的研究
实验四 弦振动的研究
【实验目的】
1.观察弦振动时形成的驻波；
2.用两种方法测量弦线上横波的传播速度，比较两种方法测量的结果；
3.验证弦振动的波长与张力的关系。 【实验仪器和用具】
电振音叉(频率约为100Hz )，弦线，分析天平，滑轮，砝码，低压电源，米尺 【实验原理】
如图12-1所示，将细弦线的一端固定在电振音叉上，另一端绕过滑轮挂上砝码。当音叉振动时，强迫弦线振动(弦振动的频率应与音叉的频率f 相等)，形成一系列向滑轮端前
进的横波，在滑轮处反射后沿相反的方向传播，在音叉与滑轮间往返传播的横波的叠加形成一定的驻波。适当调节砝码的重量或弦长(音叉到滑轮间的弦线距离)，在弦上将出现稳定的、强烈的振动，即弦线与音叉的共振。弦线共振时，驻波的振幅最大，音叉端为振动的节点(非共振时，音叉端不是驻波的节点)，若此时弦上有n 个半驻波，则有n l /2=λ，弦上的波速υ则为
υf λ= (12-1)
或 2l
υf
n
= (12-2) 根据波动理论，横波在弦线上的传播速度υ与弦线张力T 及弦线的线密度ρ之间的关系为
T
υρ
=
（12-3）
将式(12-3)代入(12-1)得：
1(124)2T
n T f l λρ
ρ
=
=
-
式(12-4)表示，以一定频率振动的弦，，其波长λ将随张力T 及线密度ρ的变化而变
化的规律。同时也表示出，弦长l 、张力T 、线密度ρ一定的弦，其自由振动的频率不只一个，而是包括相当于 ,3,2,1=n 的 321,,f f f 等多种频率。其中1=n 的频率称作基频， 3,2=n 的频率称作第一、第二谐频，但基频较其它谐频强的多，因此它决定弦的频率，而各谐频决定它的音色。振动体有一个基频和多个谐频的规律不只在弦线上存在，而是普遍的现象。但基频相同的各振动体，其各谐频的的能量分布可以不同，所以音色不同。
弦振动的实验研究
弦振动的实验研究
弦是指一段又细又柔软的弹性长线，比如二胡、吉它等乐器上所用的弦。用薄片拨动或者用弓在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过音箱的共鸣,就会发出悦耳的声音。对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在工程技术上也有着极其重要的意义。比如悬于两根高压电杆间的电力线、大跨度的桥梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从而对其加以控制。同时，弦的振动也提供了一个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，而后达朗贝尔等人通过对弦振动的研究开创了偏微分方程论。
本实验意在通过对一段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。
预备问题
1． 复习DF4320示波器的使用。 2． 什么是驻波？它是如何形成的？
3． 什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？
4． 张力对波速有何影响？试比较以基频和第一谐频共振时弦中的波速。 一、 实验目的：
1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波；
2、学会测量弦线上横波传播速度的方法：
3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力的关系。
二、实验原理
一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。令弦线长度方向为x 轴，弦被拉动的方向（与x 轴垂直的方向）为y 轴，如图1所示。若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张力为T ，对一小段弦线微元dl 进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在y 方向的运动微分方程
弦振动的研究 实验报告
2010—2011学年度上学期物理实验教学示范中心
研究报告
L=37.5cm sina=h/L 单位：cm
h αλ/2
0 0 43.32
1.28 1.97 49.63
2.65 4.09 50.82
3.92 6.06 5
4.65
5.15 8.90 55.45
6.29 9.75 5
7.20
注：α为电动音叉与水平面的夹角，h为音叉一端距水平面间的高度，λ为波长。
由实验数据知电动音叉与水平面之间的夹角越大则弦振动的波长越大
令α=x y=λ/2 y=a-bx
有最小二乘法得
r==0.95故α与λ/2成线性关系
b==1.26故y=1.26x+44.32
指导教师意见：
指导教师：
年月日
1、研究现状：综述其他人对该实验项目的研究情况，取得了哪些成果。
弦振动的研究实验报告
弦振动的研究实验报告
弦振动的研究实验报告
引言
弦振动作为物理学中的一个重要研究领域，其在音乐、工程、物理等多个领域都有广泛的应用。本文将介绍一项关于弦振动的实验研究，通过实验数据和分析，探究弦振动的特性和规律。
实验目的
本次实验的目的是通过调节弦的张力和长度，观察弦振动的频率和波形变化，进一步了解弦振动的特性，并验证弦振动的相关理论。
实验器材
1. 弦：选择一根柔软且均匀的弦，如钢琴弦或者尼龙弦。
2. 弦激振器：用于激励弦振动的装置，可以是手摇的或者电动的。
3. 张力调节器：用于调节弦的张力，可以通过改变固定点的位置或者增加负重来实现。
4. 长度调节器：用于调节弦的长度，可以通过改变固定点的位置或者使用滑动支架来实现。
5. 频率计：用于测量弦振动的频率。
实验步骤
1. 设置实验装置：将弦固定在两个支架上，并通过张力调节器调整弦的张力。保持弦的长度初值为L0。
2. 激励弦振动：使用弦激振器在弦上施加横向力，使其振动。可以调整激振器的频率和振幅。
3. 测量频率：使用频率计测量弦振动的频率。记录下频率值f0。
4. 调整弦长度：通过滑动支架或者改变固定点的位置，改变弦的长度为L1，并再次测量频率f1。
5. 调整张力：通过增加负重或者改变固定点的位置，改变弦的张力，并测量频率f2。
6. 重复步骤4和5，记录不同长度和张力下的频率值。
实验结果与分析
通过实验数据的记录和分析，我们可以得到以下结论：
1. 弦的长度对振动频率的影响：当弦的长度增加时，振动频率减小。这符合弦振动的基本原理，即弦的长度与振动频率呈反比关系。
弦振动的实验研究
弦振动的实验研究
弦振动的实验研究
弦是指⼀段⼜细⼜柔软的弹性长线，⽐如⼆胡、吉它等乐器上所⽤的弦。⽤薄⽚拨动或者⽤⼸在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过⾳箱的共鸣,就会发出悦⽿的声⾳。对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在⼯程技术上也有着极其重要的意义。⽐如悬于两根⾼压电杆间的电⼒线、⼤跨度的桥梁等，在⼀定程度上也是⼀根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从⽽对其加以控制。同时，弦的振动也提供了⼀个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。欧拉最早提出了弦振动的⼆阶⽅程，⽽后达朗贝尔等⼈通过对弦振动的研究开创了偏微分⽅程论。
本实验意在通过对⼀段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。
预备问题
1．复习DF4320⽰波器的使⽤。 2．什么是驻波？它是如何形成的？
3．什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？
4．张⼒对波速有何影响？试⽐较以基频和第⼀谐频共振时弦中的波速。⼀、实验⽬的：
1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波；
2、学会测量弦线上横波传播速度的⽅法：
3、⽤作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张⼒的关系。
⼆、实验原理
⼀根两端固定并张紧的弦，静⽌时处于⽔平平衡位置，当在弦的垂直⽅向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作⽤下，弦将在平衡位置附近振动。令弦线长度⽅向为x 轴，弦被拉动的⽅向（与x 轴垂直的⽅向）为y 轴，如图1所⽰。若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张⼒为T ，对⼀⼩段弦线微元dl 进⾏受⼒分析，运⽤⽜顿第⼆定律定律，可得在y ⽅向的运动微分⽅程
弦振动实验原理
弦振动实验原理
弦振动是指一根细长的弹性线或细棒在一端受到外力作用后，产生的振动现象。弦振动实验是物理学中常见的实验之一，通过这个实验可以研究弦的振动特性，探究振动的规律和原理。本文将介绍弦振动实验的原理和相关知识。
首先，我们来了解一下弦振动的基本原理。当一根弹性线或细棒受到外力作用时，会产生振动。弦振动的基本特征包括频率、波长、振幅等。频率是指单位时间内振动的次数，通常用赫兹（Hz）来表示。波长是指振动在空间中传播一个完整
周期所需要的距离，通常用米（m）来表示。振幅是指振动的最大位移，通常用米（m）来表示。弦振动的频率、波长和振幅之间存在一定的数学关系，可以通过实
验来验证这些关系。
在进行弦振动实验时，我们通常会使用一根细长的弹性线或细棒，如琴弦、吉
他弦等。首先，我们需要固定一端，然后施加外力使其产生振动。可以通过手指、拨片或其他工具来施加外力。在实验过程中，我们可以通过测量振动的频率、波长和振幅来研究弦振动的规律。通常可以利用频率计、波形仪等仪器来进行测量。
弦振动实验的原理可以通过波动理论和振动理论来解释。根据波动理论，弦振
动是一种机械波，它的传播具有波动的特性，如反射、折射、干涉等。根据振动理论，弦振动是由弦的弹性和惯性共同作用产生的。当外力作用于弦上时，弦会产生弹性形变，然后由于惯性的作用产生振动。这些原理和理论可以帮助我们更好地理解弦振动实验的现象和规律。
弦振动实验在物理学教学和科研中具有重要的意义。通过这个实验，我们可以
深入理解波动和振动的基本原理，掌握相关的实验技能和方法。同时，弦振动实验也为我们提供了一个研究物质振动特性的有效手段，有助于深入探究物质的内在规律和特性。
物理实验：弦振动的研究
实验四弦振动的研究
两列振幅相等的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时，叠加形成驻波。驻波是波的干涉现象中的一种重要现象，它在声学、光学、无线电工程和检测技术等方面都有广泛的应用，利用驻波现象可以测量波长、波速和频率。
一、实验目的
1.了解固定均匀弦振动的传播规律，加深振动与波和干涉的概念。
2.了解固定均匀弦振动传播形成驻波的波形，加深对干涉的特殊形式——驻波的认识。
3.了解固定均匀弦振动固有频率的因素，测量均匀弦线上横波的传播速度及其线密度。
4.了解声音与频率之间的关系。
二、仪器与用具
ZCXS-A型吉他型弦音实验仪（如图1所示）、米尺。
图 1 实验装置示意图
1、接线柱插孔
2、频率显示
3、钢质弦线
4、张力调节旋钮
5、弦线导轮
6、电源开关
7、连续、断续波选择开关
8、频段选择开关 9、频率微调旋钮 10、幅度调节旋钮 11、砝码盘
实验装置如图1所示。吉他上有四支钢质弦线，中间两支是用来测定弦线线密度，旁边两支用来测定弦线张力。实验时，弦线3与音频信号源接通。这样，通有正弦交变电流的弦线在磁场中就受到周期性的安培力的激励。根据需要，可以调节频率选择开关和频率微调旋钮，从显示器上读出频率，通过调节幅度调节旋钮来改变正弦波发射强度。移动劈尖的位置，可以改变弦线长度，并可适当移动磁钢的位置，使弦振动调整到最佳状态。
根据实验要求：挂有砝码的弦线可用来间接测定弦线线密度或横波在弦线上的传播速度；利用安装在张力调节旋钮上的弦线，可测定弦线的张力。
三、实验原理
如图1所示，实验时,将弦线3（钢丝）绕过弦线导轮5与砝码盘11连接，并通过接线柱4接通正弦信号源。在磁场中，通有电流的金属弦线会受到磁场力（称为安培力）的作用，若弦线上接通正弦交变电流时，则它在
弦振动的实验研究
弦振动的实验研究
弦是指一段又细又柔软的弹性长线，比如二胡、吉它等乐器上所用的弦。用薄片拨动或者用弓在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过音箱的共鸣,就会发出悦耳的声音。对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在工程技术上也有着极其重要的意义。比如悬于两根高压电杆间的电力线、大跨度的桥梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从而对其加以控制。同时，弦的振动也提供了一个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，而后达朗贝尔等人通过对弦振动的研究开创了偏微分方程论。
本实验意在通过对一段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。
预备问题
1． 复习DF4320示波器的使用。 2． 什么是驻波？它是如何形成的？
3． 什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？
4． 张力对波速有何影响？试比较以基频和第一谐频共振时弦中的波速。 一、 实验目的：
1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波；
2、学会测量弦线上横波传播速度的方法：
3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力的关系。
二、实验原理
一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。令弦线长度方向为x 轴，弦被拉动的方向（与x 轴垂直的方向）为y 轴，如图1所示。若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张力为T ，对一小段弦线微元dl 进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在y 方向的运动微分方程
半无界弦振动方程与半无界杆热传导方程三类边界问题的研究
半无界弦振动方程与半无界杆热传导方程
三类边界问题的研究
半无界弦振动方程和半无界杆热传导方程是两个重要的边界问题，它们在工程和物理方面都有着广泛的应用。本文首先简要介绍了半无界弦振动方程与半无界杆热传导方程，然后着重介绍了这两个边界问题的研究现状，最后提出了未来可能的研究方向。
半无界弦振动方程是一类具有重要应用的边界问题，它是描述半无界弦上的振动物理量的方程。它是由两个振动物理量组成的系统，其中一个是弦的位移物理量，另一个是弦的速度物理量。它的解表明，当考虑到边界条件时，弦的振动特性受到边界条件的影响，这就是所谓的半无界弦振动问题。近年来，研究人员通过精确解、局部算子法、矩阵技术以及数值技术等方法，对半无界弦振动方程进行了深入的研究，取得了很多研究成果。
半无界杆热传导方程是用来描述半无界杆上热物理量的传递情况的一类边界问题，它包括一维杆上的温度物理量和杆的热流密度物理量。它的解表明，当考虑到边界条件时，杆上的热物理量会受到边界条件的影响，这就是所谓的半无界杆热传导问题。近年来，研究人员通过精确解、局部算子法、矩阵技术以及数值技术等方法，对半无界杆热传导方程也进行了深入的研究，取得了很多研究成果。
从以上研究现状可以看出，对半无界弦振动方程和半无界杆热传导方程的研究已经取得了很大的进展，但还有很多有待改进的地方。比如，目前对这两个方程的研究还没有考虑到复杂的边界条件，也没有考虑到弦和杆上不同结构的影响，也没有考虑到不同材料的影响。在今后的研究中，应该将这些因素考虑在内，以进一步深入地研究半无界弦振动方程和半无界杆热传导方程。
弦振动特性的研究
实验十 弦振动特性的研究
一 实 验 目 的
1． 观察弦振动时形成的驻波。
2． 用两种方法测量弦线上横波的传播速度，比较两种方法测得的结果。 3． 验证弦振动的波长与张力的关系。
二 仪 器 和 用 具
电振音叉（约100Hz ），弦线分析天平，滑轮，砝码，低压电源，米尺。
三 实 验 原 理
1 弦线上横波传播速度（一），如图1所示，将细弦线的一端固定在电振音叉上，另一端绕过滑轮挂上
砝码。当音叉振动量，强迫弦线振动（弦振动频率应当和音叉的频率ν等），形成列向滑轮端前进的横波,在滑轮处反射后沿相反方向传播。在音叉与滑轮间往反传播的横波的叠加形成一定的驻波，适当调节砝码
重量或弦长(音叉端到滑轮轴间的线长官，在弦上将出现稳定的强烈地振动，即弦与音叉共振。弦共振时，驻波的振幅最大，音叉端为稍许振动的节点（非共振时，音叉端不是驻波的节点），若此时弦上有n 个半波区，则n l /2=λ，弦上的波速v 则为
n
l v v 2γ
γλ
==或
（1）
2 弦线上横波传播速度（二），若横波在张紧的弦线上沿x 轴正方向传播，我们取d
AB =的微元段
加以讨论（图2）。设弦线的线密度（即单位长质量）为，
则此微元段弦线ds 的质量为ρds. 在A 、B 处受到左右邻段的张力分别为1,T T ，其方向为沿弦的切线
方向，与x 轴交成a 、2a 角。
由于弦线上传播的横波在x 方向无振动，所以作用在微元
段ds 上的张力的x 分量应该为零，即
0cos cos 1122=-a T a T （2）
又根据牛顿第二定律，在y 方向微元段的运动方程为
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无界弦振动的研究
马玉荣
摘 要 用行波法、积分变换法（傅里叶变换法、拉普拉斯变换法）、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。计算和分析表明：对于无界弦的自由振动问题，行波法和傅里叶变换法比较简便，这是常用的求解方法。对于无界弦受迫振动问题，利用叠加原理应用行波法和齐次化原理求解最简便。行波法对于求解无界弦振动问题有其特殊的优点，即，行波法已求出无界弦自由振动问题的达朗贝尔公式，无界弦受迫振动问题的公式，这些公式是通用的，只要把具体问题中初始条件的函数带入计算即可。
关键词 无界弦 行波法 傅里叶变换法 拉普拉斯变换法 分离变量法 格林函数法
一、引言
物理上及工程技术上常需要研究各种各样的振动问题，如弦的振动，杆的振动、膜的振动、体的振动等。弦的振动又有无界弦[1]
的振动、有界弦的振动。其中，研究无界弦的振动问题受到了人们的重视。
通过众多学者的努力，对无界弦振动问题的研究方法越来越多
[2-6]
。比如在运用特征线方法的基
础上利用线积分予以求解[3]
；有学者用分离变量法求解[4]
，将分离变量形式的解代入泛定方程求出泛定方程的特解，再将所有可能的特解线性组合为通解，最后将初始条件代入通解计算各项系数，最后得出定解。分离变量法本来适用于有界问题，作者这里用它求解无界问题，开拓了求解无界弦振动问题的新思路。还有用傅里叶变换法[5]
、行波法[6]
等求解无界弦振动问题。本篇文章将用行波法、傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。通过比较，找出计算比较简便的方法和最佳方法，并且运用Matlab 软件模拟出无界弦自由振动的几个图形，方便大家理解弦的自由振动。
二、无界弦的振动问题
无界弦的振动问题包括无界弦的自由振动和受迫振动。两种问题的方程分别为(I )和(II )它们都由泛定方程[1]
和初始条件[1]
构成。无界弦自由振动的泛定方程为(I )中的(1)式，受迫振动的泛定方程为(II )中的(1)式，两者的初始条件为(2)式和(3)式。其中tt u 是弦的横向加速度；xx u 是u 关于x 的二阶导，质点间的牵连体现在xx u 上；a 是振动在弦上的传播速度，错误！未找到引用源。是t 时刻
作用于x 处单位质量上的横向外力，错误！未找到引用源。是初始位移，)0,(x u t 是初始速度，错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。是任意函数，由具体题目给定。
(I ) ⎪⎩⎪
⎨⎧===-)3()()0,()2()
()0,()
1(02x x u x x u u a u t xx tt ψϕ (II ) ⎪⎩⎪
⎨⎧===-)
3()()0,()2()
()0,()1(),(2x x u x x u t x f u a u t xx tt ψϕ
1、无界弦的自由振动问题
这是一种最简单的情况：一根无限长的均质柔软轻弦在初始条件作用下所引起的自由横向振动在弦中传播的情况。其定解问题为(I )。 （1）行波法
[6]
错误！未找到引用源。式，从而求其通解。②用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。
⎪⎩⎪
⎨⎧===-)
3()()0,()2()()0,()1(02x x u x x u u a u t
xx tt ψϕ 泛定方程(1)的通解是
)4()
()(),(21at x f at x f t x u -++=
其中1f 和2f 是是两个任意函数，其形式可由初始条件确定。将(4)式代入(2)式和(3)，有：
)
()()()0,()()()()0,('2'121x x af x af x u x x f x f x u t ψϕ=-==+=
即 c d a
x f x f x
+=
-⎰ξξψ021)(1)()( 则⎰++=x c d a x x f 012)(21)(21)(ξξψϕ ⎰--=x c
d a x x f 022
)(21)(21)(ξξψϕ 则⎰++++=+at x c
d a at x at x f 012)(21)(21)(ξξψϕ
⎰-+-+=-at x c
d a at x at x f 022
)(21)(21)(ξξψϕ
所以，由(4)式得：
⎰+-+-++=at
x at
x d a at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( （5）
由于大多数偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有很大的局限性，但对于研究波动问题，有其特殊优点。
-10-8-6-4-20246810
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
-10
-8-6-4-20246810
-0.10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
u
例：现取初始位移⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=)
(0)7473(
7sin )(其余l
x l x
l
x πϕ，初始速度0)(=x ψ，由达朗贝尔公式得
)](7sin )(7[sin 21),(at x l
at x l t x u -++=π
π，用matlab 作出图像如图1：
图1 初位移不为
0初速度为0的达朗贝尔公式的图形
现取初始位移0)(=x ϕ，初速度为⎩⎨⎧≤≤=)(0
)
10(1
)(其余x x ψ，用matlab 作图如下：
图2初位移为0，初速度不为0的达朗贝尔公式的图形
我们把图2分解为图3和图4，图3为开始时)(at x +ψ的波形，图4为开始时)(at x --ψ的波形。
图3 图4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.05
-0.04-0.03-0.02-0.0100.01
0.020.030.040.05-10
-8
-6
-4
-20246810
-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81