初一数学分类讨论思想例题分析及练习

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初一数学找规律分类讨论思想

找规律经典模型及例题汇总一、a n n a 与例题：（10西城二模）一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）。

∴第6个整数是67326=+，第n 个整数是32+n （n 为正整数）．练习：1、（10怀柔二模）按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是，第n 个数是．答案：1125，122+n n2、（09东城一模）按一定规律排列的一列数依次为：21，31，101，151，261，351…，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________．答案：12)1(1+-+n n例题：（10通州一模）某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .解：第8年的老芽数是21a ，新芽数是13a ，总芽数是34a ，则比值为3421．练习：1、（08石景山一模）小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8……，则这列数的第8个数是．答案:212、(09房山二模)填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，请填出图4中的数字.5675320531108975答案：7,9,11,176二、（n )1(-与1)1(+-n ）例题：（09通州二模）12. 观察并分析下列数据，寻找规律： 0，3，－6，3，－23，15，－32，……那么第10个数据是；第n 个数据是 .∴第10个数据是33 ，第n 个数据是33)1(1--+n n ．练习：1、（10房山一模）一组按规律排列的式子：2581114916,,,,...(0)a a a a a --≠，其中第8个式子是，第n 个式子是（n 为正整数）．答案：2364a-，1321)1(-+-n n a n2、（10门头沟二模）一组按一定规律排列的式子：－2a ，52a ，－83a ，114a ，…，（a ≠0）,则第n 个式子是（n 为正整数）答案：na n n13)1(--3、（09崇文一模）一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是，第n 个数是（n 为正整数）．答案：8，)1(2)1(11+-++n n例题：（08通州二模）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是． ∴第10行倒数第三个数是3601901721=-．练习：1、（08大兴一模）自然数按一定规律排成下表，那么第200行的第5个数是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15… … … … …. …. ….. ………. 答案：199052、如图的数字方阵中，方框所缺的数，按照适宜的规律填上（） A 、100 B 、128 C 、129 D 、130 答案：C例题：（11平谷二模）如图，将连续的正整数1,2,3,4……依次标在下列三角形中，那么2011这个数在第个三角形的顶点处（第二空填：上，左下，右下）．∴2011这个数在第671个三角形的上顶点处．故答案为：671，上．练习：1、（08崇文一模）观察下列等式：1312-=，2318-=，33126-=，43180-=，531242-=，…….通过观察，用你所发现的规律确定200831-的个位数字是 . 答案：32、右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D .请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是_____________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是____________；当字母C 第12+n 次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是_______________（用含n 的代数式表示）. 答案：B ，603，6n+3例题：（09平谷一模）已知：,434434,323323,212212+=⨯+=⨯+=⨯……若ba ×10=b a+10（a 、b 都是正整数），则a+b 的最小值是．∴a+b 的最小值是19 练习：１.（10密云一模）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（） A ．第10个数 B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数答案：A例题1：（10昌平一模）观察下列图案：第1个图案第2个图案第3个图案照这样它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第5个图案中共有个三角形，第n （1n ，且n 为整数）个图案中三角形的个数为（用含有n 的式子表示）．解答：解：第5个图案中，有6+4×4=22（个）三角形；第n 个图案中，有6+4（n-1）=4n+2（个）三角形．例题2.（10西城一模）在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形ABCD 中，四个顶点坐标分别是（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是个；若菱形A n B n C n Dn的四个顶点坐标分别为（－2n ,0），（0, n ），（2n ，0），（0，－n ）（n 为正整数），则菱形A nB nC nD n 能覆盖的单位格点正方形的个数为（用含有n 的式子表示）. 答案为：4n 2-4n ．练习：．1、（10大兴一模）如图4所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是x第1个第2个第3个…答案：)2(+n n2、（08顺义二模）如图，图①，图②，图③，图④……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第n 个“山”字中的棋子个数是．答案：5n+23、（08丰台二模）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：请问第n 个图案中有白色纸片的张数为A ．43n +B ．31n +C ．nD ．22n + 答案：B4、（10丰台一模）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有个．第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形(图4)…图①图②图③图④答案：80个.例题：（10海淀一模）如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△211B D C 的面积为1S ，△322BDC 的面积为2S ，…，△1n n n B D C +的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．S 2=S △B3C2A -S △AC2D2=21×4×3 - 21×4×332 即第n 个图形的面积S n =13+n n．练习：1、（11丰台二模）已知：如图，在Rt ABC △中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥ 于点E 1，联结1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，联结2BE 交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点45、D D 、…、n D ，分别记112233△、△、△、BD E BD E BD E …、n n BD E △的面积为123、、、S S S …n S ．设△ABC 的面积是1, 则S 1= ，n S = （用含n 的代数式表示）. 答案：S 1=41,S n = 2)1(1+n S △ABC ．A2、（10平谷一模）如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，，，．则第一个黑色梯形的面积=1S ；观察图中的规律，第n(n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．答案：4, 8n-43、（10延庆二模）如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥答案：1)41(2,32---n ππ4、（10门头沟一模）如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________（n 为正整数）.1P2P3P......B 1B 2A 1A OB答案:2n-25.（11延庆二模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为)0,1(，点D 的坐标为)2,0(．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形C C B A 111；延长11B C 交x 轴于点2A ，作正方形1222C C B A … 按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为_____________（用含n 的代数式表示）．答案：5×（23）4，5×（23）2n-2．例题：（10丰台二模）如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°．联结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；联结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160D AC ∠=°，……．按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________．第1个菱形第2个菱形第3个菱形 …… 第n 个菱形边长 1 3 33()13-n练习：1、09西城二模）如图，在平面直角坐标系中，B 1(0，1)，B 2(0，3)，B 3(0，6)，B 4(0，10)，…，以B 1B 2为对角线作第一个正方形A1B 1C 1B 2，以B 2B 3为对角线作第一个正方（形A 2B 2C 2B 3，以B 3B 4为对角线作第一个正方形A 3B 3C 3B 4，…，如果所作正方形的对角线B n B n +1都在y 轴上，且B n B n +1的长度依次增加1个单位，顶点A n 都在第一象限内（n ≥1，且n 为整数），那么A 1的纵坐标为，用n 表示C 1D 1C 2DC ABD C 2A n 的纵坐标答案：2，()212+n .2、（09延庆二模）如图，菱形111AB C D 的边长为1，160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ，以2AD 为一边，做第二个菱形222AB C D ，使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ，以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ，使360B ∠=；依此类推，这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是答案：123-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n3、（08昌平一模）如图，在Rt ABC △中，90C =∠，12BC AC ==，，把边长分别为123n x x x x ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中：第一个正方形CM 1P 1N 1的顶点分别放在Rt ABC △的各边上；第二个正方形M 1M 2P 2N 2的顶点分别放在11Rt APM △的各边上,……, 其他正方形依次放入。

初一上册分类讨论典型例题

初一上册分类讨论典型例题初一上册的数学课程中，分类讨论是一个重要的学习内容。

通过典型例题的讨论，可以帮助学生掌握分类讨论的方法和技巧。

下面我将从不同的角度给出一些分类讨论的典型例题。

1. 分类讨论整数的奇偶性：问题，将100个自然数分成两类，一类是奇数，一类是偶数，问两类中至少有多少个数？解答，我们可以分别讨论奇数和偶数的个数，然后找到一个满足条件的分法。

假设奇数的个数为x，那么偶数的个数就是100-x。

根据题意，我们需要找到一个分法，使得两类中至少有一个数。

如果奇数的个数是0或者100，那么无论怎么分，都无法满足条件。

所以我们需要考虑1<=x<=99的情况。

当x=1时，偶数的个数是99，显然满足条件。

当x=99时，偶数的个数是1，也满足条件。

所以答案是至少有1个数。

2. 分类讨论几何图形的性质：问题，在一个平面上，有4个点，问它们是否能构成一个矩形？解答，我们可以通过分类讨论来解决这个问题。

首先，我们知道一个矩形有4个顶点，且相对的边相等且平行。

所以我们可以通过计算这4个点之间的距离和斜率来判断它们是否构成一个矩形。

假设这4个点是A、B、C、D。

我们可以计算AB、AC、AD、BC、BD、CD的长度，如果其中有两条边相等且另外两条边也相等，那么它们可能构成一个矩形。

然后我们再计算AB与CD的斜率、AC与BD的斜率、AD与BC的斜率，如果这三个斜率的乘积等于-1，那么它们也可能构成一个矩形。

通过这样的分类讨论，我们可以判断这4个点是否能构成一个矩形。

3. 分类讨论方程的解：问题，解方程2x^2-5x+2=0。

解答，这是一个二次方程，我们可以通过分类讨论来解决它。

首先，我们可以计算Δ=b^2-4ac，其中a=2，b=-5，c=2。

如果Δ>0，那么方程有两个不相等的实数解；如果Δ=0，那么方程有两个相等的实数解；如果Δ<0，那么方程没有实数解。

计算得到Δ=25-16=9，所以Δ>0，方程有两个不相等的实数解。

例析初一数学中的分类讨论问题

例析初一数学中的分类讨论问题
分类讨论作为一种教学方式，是初中阶段数学教学中最重要的教学形式之一，其教学内容涉及几何、基本运算、有理数与无理数等。

分类讨论能让学生们深入地探究数学知识，例如，以几何中关于根据两个点之间的距离来推断出一条直线上的其他点，它其实是在分类讨论中被提出并进行更深入分析来加深学习的一个重点问题。

在初一数学中，分类讨论是学生将学习到的数学知识联系起来、思考回答问题的一种非常重要的教学方式。

通过分类讨论的方式，学生们可以将之前学习过的内容，按照类别联系起来，例如：初一数学中，物体绕着图形旋转时发生的变化情况，这种现象其实是多类问题的总称，包括椭圆、圆形、抛物线等，分类讨论是通过将其进行分类分析，再根据每类的特点来提出正确的结论的一个重点。

另外，也可以将初一数学学习的数与比联系起来，即“分式”，这一概念也是分类讨论的重点，学生们可以将概念分为一元分式、二元分式以及分式运算等几大类，根据不同类别的情况，来推断出正确的结果。

因此，分类讨论是学习初一数学最重要的教学设计之一，它涉及到从数学概念到数学应用的多个方面，有利于学生提升数学素养以及科学思维能力。

同时，分类讨论还可以激发学生们学习数学的兴趣，增强学生们对数学学科的钟爱之情，从而拥有一个深刻而系统的数学知识体系。

初中数学专题复习分类讨论问题(含答案)

初中数学专题复习（1）分类讨论问题【简要分析】在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问题，就可能需要分类讨论。

另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。

把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。

它体现了化整为零与积零为整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。

分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。

分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【典型考题例析】例1：已知一次函数y x =-+3333与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，试在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。

分析：本题中△PAB 由于P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。

△PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB ；（2）PA=AB ；（3）PB=AB 。

先可以求出B 点坐标()033，，A 点坐标（9，0）。

设P 点坐标为()x ，0，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P 点坐标有四解，分别为()()()()-+-903096309630，、，、，、，。

（不适合条件的解已舍去）点拨：解答本题极易漏解。

解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。

另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。

由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。

例2：正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。

如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时，P ，D 两点间的距离。

苏教版初一数学绝对值专题2 绝对值的分类讨论

绝对值的分类讨论【知识概要】我们都知道：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值是零．即：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 或者精简为 ⎩⎨⎧≤-≥=)0()0(a a a a a 这两个列表是对“绝对值”这一概念的代数化概括，在绝对值的计算和化简方面发挥的作用极大．同时，这一概括也包含了初中数学的一个重要思想——分类讨论．下面我们就来看看“分类讨论”思想是如何渗透到与绝对值有关的题目中的，又是如何去解决这一类题目的．【例题讲解】【例1】<考点：化简>(1)如果a ，b 均为非零有理数，则bb a a +可取的值有个，是； (2)如果a ，b ，c 均为非零有理数，那么cc b b a a ++可取的值有个，是； (3)如果有理数0≠n a （n 为非负整数），那么201220122011201122111......a a a a a a a a y ++++=可取的值有个，是；(4)如果有理数0≠n a （n 为非负整数），那么201320132012201222112......a a a a a a a a y ++++=可取的值有个，是．归纳：当相加的代数式有n 个时，它可取的值有)1(+n 个．当n 为奇数时，可取的值是21+n 对相反数；当n 为偶数时，可取的值是0和2n 对相反数．【例2】<考点：化简取值>a ，b ，c 均为整数，且120132012=-+-a c ba ，试求ac c b b a -+-+-的值．【例3】<考点：零点分段法>(1)化简325-++x x ； (2)化简321++-+-x x x ．【例4】<考点：零点分段法结合最值问题>已知14162+--++=x x x y ，求y 的最大值．【例5】<考点：多个绝对值符号化简>解方程：7122=++-x x ．【例6】<考点：多重绝对值符号化简>求方程312=+-x x 的不同的解的个数．【例7】<考点：带字母的多重绝对值符号化简> 关于x 的方程a x =--12有三个整数解，求a 的值．【随堂练习】1、若0ab >，求a b ab a b ab++的值．2、三个有理数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且caca bc bc ab ab c c b b a a x +++++=，则代数式321ax bx cx +++的值为多少？3、若a ，b ，c 都是整数，且19919=-+-a c ba ，则a c cb b a -+-+-的值是多少？4、(1)化简1213-++x x ； (2)化简6311---++x x x ．5、非零整数m 、n 满足05=-+n m ，那么所有整数组()n m ,共有多少组？分别是哪些？6、求413=+-x x 的解．。

初一上册分类讨论典型例题

初一上册分类讨论典型例题
以下是初一上册几个典型例题的分类讨论：
1. 数学题：如算术题、几何题、方程题等。

这类题目需要学生具备基本的数学计算能力，并能运用所学的数学知识解决实际问题。

2. 语文题：如阅读理解题、写作题、词语运用题等。

这类题目考察学生的语文理解能力、语言表达能力以及词语运用能力等。

3. 英语题：如听力题、阅读理解题、语法题等。

这类题目考察学生的英语听、说、读、写能力，以及英语语法的掌握情况。

4. 科学题：如实验题、观察题、推断题等。

这类题目考察学生对科学知识的理解和应用能力，以及科学实验的设计和分析能力。

5. 历史题：如事件排序题、历史人物题、历史变迁题等。

这类题目考察学生对历史事件、人物和变迁的认知和理解能力。

6. 地理题：如地理知识运用题、地图题、地域分布题等。

这类题目考察学生对地理知识的掌握和运用能力，以及对地理事物的观察和分析能力。

以上是初一上册几个典型例题的分类讨论，不同的学科和题型要求学生具备不同的知识和技能，因此在备考时需要有针对性地进行复习和训练。

2019年中考数学之——分类讨论思想例题解析

2019年中考数学之——分类讨论思想例题解析分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．1：分式方程无解的分类讨论问题【例题】（2017贵州）分式方程=1﹣的根为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3【考点】B3：解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，解得：x=﹣1或x=3，经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，故选C【同步训练】（2017山东聊城）如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【考点】B5：分式方程的增根．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，故选D．2：“一元二次”方程系数或者函数最高次项系数的分类讨论问题【例题】（2017宁夏）关于x的方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（）A． B． C．且a≠1 D．且a≠1【分析】根据方程的形式可以看出最高次是2次，当a﹣1≠0时，定义和判别式的意义得到a ≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．当a=1时，则方程为一次方程，故有a=1。

【解答】解：根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，解得a≥﹣．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题【例题】（2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x=0或x=4﹣4或4＜x＜4．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P 有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．【同步训练】（2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为113°或92°．【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC==67°，∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°，故答案为113°或92°．4：动点问题的分类分类讨论问题4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；【例题】（2017.江苏宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得=，列出方程即可解决问题；（2）如图2中，首先证明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，∴∠B′AD=∠EDC′，∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=，∴DB′==，∴△ADB′′∽△DEC，∴=，∴=，∴x=﹣2．∴CE=﹣2．（2）如图2中，∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，∴∠B′AF=∠B′FA=45°，∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，∴DF=FG ，在Rt △AB′F 中，AB′=FB′=1，∴AF=AB′=，∴DF=DG=﹣，∴S △DFG =（﹣）2=﹣．（3）如图3中，点C 的运动路径的长为的长，在Rt △ADC 中，∵tan ∠DAC==，∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，∵∠C′AD=∠DAC=30°，∴∠CAC ′=60°，∴的长==π．【同步训练】如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB=8，AD=7，E 为AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP ），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是．【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=AE=5即可；②当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；③当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论．【解答】解：如图所示：①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=AE=5；②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边AP===4；③当PA=PE时，底边AE=5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；故答案为：5或4或5．4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。

初一几何分类讨论例题

初一几何分类讨论例题几何学是数学的重要组成部分，它探索、研究和描绘空间结构，在日常生活中也有重要作用。

尤其在初中学习中，几何学的知识是很重要的，而在学习几何学的过程中，讨论例题可以帮助学生更好地理解概念和方法。

本文将重点介绍初一学生讨论几何问题的例题，以帮助他们掌握几何知识。

一、分类讨论1.积问题初一几何分类讨论中，面积问题是一个重要的分类。

例题如下：（1）一块面积为10方厘米的矩形，把它切成两块，一块面积为4平方厘米，另一块面积为多少平方厘米？（2）两个矩形的宽相等，一块的面积是4平方厘米，另一块的面积是6平方厘米，那么这两个矩形的边长分别是多少？（3）一块圆形桌布的边缘有一个半径为3厘米的圆。

这块桌布的面积是多少？2.度问题初一几何分类讨论中，角度问题也是一个重要的分类。

例题如下：（1）一个正六边形，每个内角等于多少度？（2）一个六边形的内角之和等于1260度，那么每个内角等于多少度？（3）三角形的内角之和等于180度，三个内角的大小分别是多少度？3. 体积问题初一几何分类讨论中，体积问题也是一个重要的分类。

例题如下：（1）一个立方体的体积是14平方厘米，那么它的棱长是多少？（2）一个圆柱体的体积是54立方厘米，那么它的底面半径和高度分别是多少？（3）一个球体的体积是27立方厘米，那么球体的半径是多少？二、解决方法1.积问题（1）此题是一个减法问题，利用面积公式，即面积=长*宽，可以得出：一块面积为4平方厘米的矩形即为长为2厘米、宽也是2厘米；因此，另一块面积为：10-4=6方厘米。

（2）此题是一个方程问题，利用面积公式，即面积=长*宽，可得出：4=ax，6=bx，其中a和b是两个矩形的边长，即a=2厘米，b=3厘米。

（3）此题可以利用圆的面积公式求得，即面积=πr，其中r是半径，r=3厘米，因此面积为：π*3=28.274（保留小数点后两位）平方厘米2.度问题（1）此题可以利用多边形内角和公式求得，即内角和=（n-2）*180°，其中n是多边形的边数，即此处n=6，内角和=（6-2）*180°=720°，内角等于720°÷6=120°；（2）此处n=6，内角和=1260°，内角等于1260°÷6=210°；（3）此题可以利用三角形内角和公式求得，即内角和=180°，其中A B C分别是三角形的三个内角，由此可得A+B+C=180°，解得每个内角等于60°。

分类讨论初一例题

分类讨论初一例题
以下是一个初一的分类讨论的例题及其解答：
题目：已知数轴上A，B两点对应的数分别为-2和8，P为数轴上一点，对应的数为x。

在数轴上是否存在点P，使得PA-PB=6？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

解答：
首先，我们可以根据题目的信息，得到以下方程：
| -2 - x | - | 8 - x | = 6
其中，PA和PB分别代表点P和点A、B之间的距离。

由于A和B在数轴上的位置分别是-2和8，我们可以根据这两个数值来计算PA和PB。

接下来，我们需要考虑点P可能在A的左侧、B的右侧以及A和B之间（包括A和B）的三种情况。

如果点P在A的左侧，那么x < -2。

我们可以将方程改写为：
(-2 - x) - (8 - x) = 6
解这个方程，我们得到：
-2 - x - 8 + x = 6
从中我们可以得到x = -12，这是第一种情况下的解。

如果点P在B的右侧，那么x > 8。

我们可以将方程改写为：
(x - (-2)) - (x - 8) = 6
解这个方程，我们得到：
x + 2 - x + 8 = 6
从中我们可以得到x = -4，这是第二种情况下的解。

如果点P在A和B之间（包括A和B），那么我们可以将方程改写为：| x + 2 | - | x - 8 | = 6
解这个方程，我们得到：x = 2或x = 6。

这是第三种情况下的解。

综上所述，存在满足条件的点P，其对应的数值为-12、-4、2或6。

分类讨论的七年级数学题题目

以下是一些适合七年级学生的数学题，这些题目需要使用分类讨论的思维方式来解决：1.有理数的比较大小比较有理数的大小是七年级数学中的一个基本技能。

给定两个有理数，例如a和b，我们可以比较它们的大小。

首先，我们可以将这两个数进行绝对值比较，即比较|a|和|b|的大小。

如果|a|小于|b|，那么a小于b；如果|a|大于|b|，那么a大于b。

如果|a|等于|b|，那么我们需要进一步比较a和b的符号。

如果a和b都是正数，那么a 等于b；如果a和b都是负数，那么a等于b。

如果a和b中一个是正数另一个是负数，那么无法比较它们的大小。

例如，比较-3和2的大小。

首先，我们比较它们的绝对值。

|-3|等于3，而|2|等于2。

因为3大于2，所以-3小于2。

2.分式的约分分式的约分是七年级数学中的一个重要内容。

给定一个分式，例如a/b，我们可以将其约分成最简形式。

首先，我们需要找出分子a 和分母b的最大公约数。

然后，我们将分子a和分母b分别除以这个最大公约数。

这样就可以得到最简形式的分式。

例如，约分36/48。

首先，我们找到36和48的最大公约数是12。

然后，我们将36除以12得到3，将48除以12得到4。

所以，36/48约分成最简形式是3/4。

3.一元一次方程的解法一元一次方程是七年级数学中的一个基本方程形式。

给定一个一元一次方程，例如ax+b=0，我们需要找到它的解。

首先，我们需要确定方程的解的类型。

如果a等于0且b不等于0，那么方程无解；如果a等于0且b等于0，那么方程有无数个解。

如果a不等于0，那么方程有唯一解，这个解可以通过将方程变形得到。

例如，解方程2x+6=0。

首先，我们看到a=2且b=6。

因为a不等于0，所以方程有唯一解。

我们可以将方程变形得到x=-3。

所以，方程2x+6=0的解是x=-3。

4.绝对值的应用绝对值是七年级数学中的一个基本概念。

给定一个有理数，例如a，它的绝对值是|a|。

绝对值的性质包括：如果a小于0，那么|a|=-a；如果a大于或等于0，那么|a|=a。

初一数学分类讨论思想例题分析及练习

【例1】解方程：|x-1|=2分析：绝对值为2 的数有2个解：x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1说明应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。

其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。

1. 化简(如当a<0<b时，化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)处理方法：根据绝对值符号内的式子的正负性2. 类似于“解方程”(如本题)处理方法：注意解往往不只一个，需关注绝对值为正数的数有两个。

3. 使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|<2，求x的取值范围)处理方法：画数轴，|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。

【例2】试比较1+a与1-a的大小。

分析：常规的比较大小的方法有很多种，现阶段最常用的是作差法。

两个数量的大小可以通过它们的差来判断：①a>b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a<b即a-b<0解：作差 (1+a)-(1-a)=2a分类讨论：①当a>0时，2a>0，即(1+a)-(1-a)>0，即1+a>1-a②当a=0时，2a=0，即(1+a)-(1-a)=0，即1+a=1-a③当a<0时，2a<0，即(1+a)-(1-a)<0，即1+a<1-a答：当a>0时，1+a>1-a；当a=0时，1+a=1-a；当a<0时，1+a<1-a。

【例3】已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。

分析：注意点C的位置不能确定。

在直线上，与一个定点的距离为定值的点有两个。

处理方法：画一个示意图，往往能帮助理解。

解：如示意图，有两种情况。

如图1，点C在AB之间时，BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm如图2，点C在BA的延长线上时，BC=AB+AC=6cm+2cm=8cm【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？解：5个或4个或3个。

(数学思想篇)数学-分类讨论思想典型题型汇总

数学思想篇：五、分类讨论思想【思想指导】、我们在解数学题时，如果遇到的对象不确定，就要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，这就是分类讨论。

比如：①对字母的取值情况进行筛选，根据题意作出取舍；②在不同的数的范围内，对代数式表达为不同的形式；③对符合题意的图形，作出不同的形状、不同的位置关系等。

【范例讲析】：一、图形位置不确定时要分类讨论【例1】平面上一点P与⊙O上的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（）A.5B. 6C. 3或5D.6或10【例2】如图，已知点(1,0)A-和点(1,2)B，在坐标轴上确定点P使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有个.【例3】如图，(,)P x y是以坐标原点为圆心，5为半径的四周上的点,x y都是整数，则满足条件的点P共有个.二、根据绝对值的性质进行分类讨论【例4】若m n m n-=-且4,3m n==，则2()m n+= .三、由数学运算要求引起的分类讨论【例5】2(2)a--的平方根为__________.四、有动态背景的几何题要分类讨论【例6】如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，点D、C、E、F在同一直线上，现从点C、E重合的位置出发，让△ABC在直线EF上向右作匀速运动，而△DEF的位置不动，设两个三角形重合的部分的面积为y，运动的距离为x，下面表示y 与x的函数关系的图像大致是（）A. B. C. D.【例7】如图，在平面直角坐标系中，点P是经过三点的圆上动点（点P不与O、B重合），∠OPB的度数是（）A.45°B.90°C.135°D.45°或135°【例8】如图，∠NOM=90°，P为射线OM上的一点以点P为圆心，12OP为半径作⊙P，当射线ON绕点O按顺时针方向旋转到与⊙P相切时，旋转的度数是°.【例9】若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长为（）A.7B.10C.11D.10或11【例10】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作P⊥QBC于Q，过点Q作QR∥BA交AC.于R当点Q与点C 重合时，点P停止运动 .设BQ=x，QR=y.（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量取值范围）（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求x的值；若不存在，请说明理由.五、根据参数的不同取值范围分类讨论【例11】已知关于x的方程22(1)10kx k x k-++-=，当k为何值时，方程有实数根？第 1 页共 2 页第 2 页共 2 页【例12】如图，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 内切，那么由图示位置需要向右平移（）A.2个单位长度B.4个单位长度C.4或6个单位长度D.2、4或6个单位长度【优化训练】1. 当0a =时，方程0ax b +=（其中x 为未知数，b 是已知数）（） A ．有且只有一个解 B ．无解 C ．有无数个解 D ．无解或有无数个解2.已知3,4a b ==，若a b c 、、能组成直角三角形，则c ＝（） A .5 B .7 C.5或7 D .5或63.平面上A B 、两点到直线l 的距离分别为53-与53+，则线段的中点C 到直线l 的距离为A.5 B.3 C. 5或3 D.以上答案都不对4.同坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.5. 横断面直径为1米，水面宽0.6AB =米的圆形下水管道的最大深度 .6.已知实数m n 、满足2720m m -+=，2720m m -+=则m nn m+= .7.如图，若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm 和6cm 两部分，求该三角形各边长.8. m 为什么实数时，方程有实数根。

分类讨论初一例题

分类讨论初一例题摘要：一、引言二、初一数学分类讨论的重要性三、初一数学分类讨论例题解析1.相似三角形的判定2.平行线的性质3.四则运算法则4.因式分解四、总结与建议正文：【引言】在初中数学的学习过程中，分类讨论是一种重要的思维方式，能够帮助学生更好地理解和解决数学问题。

特别是在初一阶段，学生刚刚接触几何、代数等概念，学会分类讨论对于打下扎实的数学基础具有重要意义。

本文将结合初一数学的例题，对分类讨论的方法进行详细解析。

【初一数学分类讨论的重要性】分类讨论是一种逻辑严密、层次清晰的解题方法。

通过对问题进行分类，学生可以更好地抓住问题的本质，从而提高解题效率。

同时，分类讨论有助于培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，为今后的数学学习打下坚实基础。

【初一数学分类讨论例题解析】1.相似三角形的判定对于判定两个三角形是否相似，可以分为以下三种情况：（1）两角分别相等（2）两角和为180°，且一边分别相等（3）三边分别相等2.平行线的性质平行线的判定和性质问题可以分为以下几种情况：（1）同位角相等（2）内错角相等（3）同旁内角互补（4）平行线与横切线的性质3.四则运算法则在进行四则运算时，需要根据运算对象和运算符的性质进行分类：（1）纯数字运算（2）带分数运算（3）小数运算（4）百分数运算4.因式分解在进行因式分解时，需要根据多项式的性质进行分类：（1）提公因式法（2）公式法（3）分组分解法（4）十字相乘法【总结与建议】通过以上例题的解析，我们可以看出，分类讨论在初一数学中起到了至关重要的作用。

因此，建议学生在学习过程中，注重培养自己的分类讨论意识，养成对问题进行分类的习惯。

分类讨论初一例题

分类讨论初一例题摘要：1.引言：初一数学中的分类讨论2.分类讨论的概念和方法3.初一数学例题及分类讨论的运用4.结论：分类讨论的重要性和注意事项正文：【引言】初一数学中的分类讨论在初一数学学习中，我们经常会遇到一些问题需要进行分类讨论。

分类讨论是一种重要的数学思维方法，它能帮助我们更好地理解问题，找到问题的解决之道。

那么，什么是分类讨论？我们如何运用分类讨论来解决数学问题呢？接下来，我们将通过一些初一数学例题来详细介绍分类讨论的方法和运用。

【分类讨论的概念和方法】分类讨论，顾名思义，就是将问题按照某种特定的标准进行分类，然后对每一类问题进行分别讨论。

分类讨论的方法主要包括以下几种：1.按照问题中的已知条件进行分类。

2.按照问题中的变量性质进行分类。

3.按照问题中的几何图形进行分类。

【初一数学例题及分类讨论的运用】下面，我们通过一个初一数学例题来说明如何运用分类讨论来解决问题。

例题：一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求这个长方体的表面积。

分析：根据长方体的性质，我们知道它有六个面，每个面的面积都可以通过长、宽、高来计算。

因此，我们需要对长、宽、高进行分类讨论，分别计算每个面的面积，然后将它们相加得到表面积。

解答：1.当长、宽、高都不相等时，长方体的表面积为：2ab + 2ac + 2bc。

2.当长、宽、高中有两个相等时，长方体的表面积为：2ab + 4ac 或2ab + 4bc。

3.当长、宽、高都相等时，长方体的表面积为：4ab。

通过以上分类讨论，我们得到了长方体表面积的通用公式。

【结论】分类讨论的重要性和注意事项从上面的例题中，我们可以看到分类讨论在解决数学问题中的重要性。

它能帮助我们更加细致地分析问题，找到问题的解决之道。

然而，在使用分类讨论时，我们也需要注意以下几点：1.分类讨论要全面，不要遗漏任何一种情况。

2.在进行分类讨论时，要确保每一类问题都得到了正确的解答。

3.分类讨论后，要对各种情况的结果进行综合，得出最终的解答。

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