第6章 远期

t [ ] n
• t时刻的实际汇率 h(t) ,交割h(t)与h(t)的差，其他 在市场上购买。 • 远期汇差(forward margin)：按d(t)报价
t (r r0 ) d(t ) h(t ) h(0) h(0) n t 1 r0 n


第五节
远期价格的期限结构
• 远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格 之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F* 为在T*（T*>T）时刻交割的远期价格, r为T时刻到 期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率, T 到T* 时刻的无风险远期利率为 r 。则不同期限远 ˆ 期价格之间的关系：
F Fe
*
ˆ r(T* -T)
其中，
r * (T * t ) r (T t ) ˆ r T* -T
• 这是因为： F=Ser（T－t）
F Se
*
r * (T * t )
• 两式相除，可得
F Fe
*
r * (T * t ) r (T t )
• 可以得到不同期限远期价格之间的关系：
r t T
r*
？ T*
• 一般地说，如果现在时刻为t，T时刻到期的即期 利率为r，T*时刻（T*>T）到期的即期利率为r* ， 则t时刻的 T*-T 期间的远期利率 r ，可以通过 ˆ 下式求得：
ˆ 1 r 1 r
T t
T * T
1 r

* * T t

• 以连续复利计算得：
一、远期合约
• 远期合约 • 有法定义务在将来某一特定日期（到期 日）； • 以协议确定的某一特定的价格（远期货期 货价格）； • 买卖某一确定数量的； • 一项标的资产。 • Forward Contracts，delivery price， Maturity date， basic underlying asset
《金融工程》
第六章 远期和期货的定价
主讲人：刘玉灿
南京理工大学经济管理学院
第六章
远期和期货的定价
Hale Waihona Puke • 第一节 远期的价格与价值
• 第二节 远期利率
• 第三节 远期汇率
• 第四节 期货合约的定价
• 第五节 期货价格和现货价格的关系
第一节
远期的价格与价值
• 远期合约/期货合约: • 有法定义务在将来某一特定日期（到期 日）； • 以协议确定的某一特定的价格（远期货 期货价格）； • 买卖某一确定数量的； • 一项标的资产。
三、无收益资产远期合约的定价
• 构建如下两种组合： 组合A：一份远期合约f多头加上一笔数额为 Ke-r（T－t）的现金； 组合B：一单位标的资产S。 • 在组合A中，Ke-r（T－t） 的现金以无风险利 率投资，投资期为（T－t）。到T时刻，其 金额将达到K。这是因为： Ke-r（T－t）er（T－t）=K
收回6个月贷款x(1+0.05/2)，贷出100万给公司 x(1+0.05/2) =100，x=100/(1+0.05/2)
• 12个月T*时刻（还贷款时刻）：
收回贷款本息100(1+r/2),还款x(1+0.055) 100(1+r/2)=x(1+0.055)
第二节 远期利率（续）
• 银行即期贷款和远期贷款哪个收益更高？ • 例 银行能以10%年利率借入，以11%年利率贷出， 即期贷出100万，期限6个月，远期贷出100万，期限 6个月。资本充足率8%。
第二节 远期利率（续）
• 情形2: 远期贷出100万 • 资产负债表（前6个月）： 存放同业100万 客户存92万(6个月)、自有8万 总资产100万 负债和权益100万 • 资产负债表（后6个月）： 客户贷100万 客户存92万(6个月) 、自有8万 总资产100万 负债和权益100万 • 12个月损益： 存放同业100*0.1/2=5 客户贷款100*0.11/2=5.5 客户存款支付利息92*0.1=9.2 资本金利得5+5.5-9.2=1.3，年回报=1.3/8=16.25%
f 1000 e0.050.25 1080 e0.10.25 65.76
第二节 远期利率
• 例 某公司6个月后需100万贷款,期限6个月 • 当前6个月利率5%(年),12个月利率5.5% • 当前时刻0:
银行借入x元，期限12个月；贷出x元，期限6个月
• 6个月T时刻（需贷款时刻）：
• 情形1:即期贷出100万，需自有资金8万 • 资产负债表： • 客户贷100万 客户存92万、自有8万 总资产100万 负债和权益100万 损益：贷款利息100*0.11/2=5.5 支付客户利息92*0.1/2=4.6 资本金利得5.5-4.6=0.9， 年回报=(0.9/8)*2=22.5%
（一）远期合约定价的假设
基本的假设 • 没有交易费用和税收。 • 市场参与者能以相同的无风险利率借入贷出资金。 • 远期合约没有违约风险。 • 允许现货卖空行为。 • 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动， 从而使套利机会消失，算出的理论价格就是在没有 套利机会下的均衡价格。 • 期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这 意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多 头和空头地位。
2、支付已知红利率资产的现货-远期平价公式
• 支付已知收益率资产的远期价格：
F Se
( r q )(T t )
• 这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公 式。这表明，支付已知收益率资产的远期价格等 于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价 格在T时刻的终值。
例子
• 假设S&P500指数现在的点数为1000点，该 指数所含股票的红利收益率预计为每年5% （连续复利），连续复利的无风险利率为 10% ， 3 个 月 期 S&P500 指 数 期 货 的 市 价 为 1080点，求该期货的合约价值和期货的理 论价格。 • 可得：
1 tr / n 报价货币B h(t ) h(0) h(0) 基础货币A的本息 的本息 1 tr0 / n
第三节 远期汇率（续）
• 情形2：t≥n，用[t/n]表示t/n的整数部分
t t (1 r ) {1 ( [ ])r} 报价货币B的本息 n n h(t ) h(0) h(0) t [ ] 基础货币A的本息 t t (1 r0 ) n {1 ( [ ])r0 } n n
第三节 远期汇率（续）
• 一般地，货币A：基础货币，当前年利率r0 ；B：报 价货币，当前年利率r。当前时刻t=0，1年=n天 • t>0时刻的汇率(1货币A=h(t)货币B) • 情形1：t<n • 为在t后得1元货币B，现在需贷出x元，1=x(1+rt/n) • 而现在x(货币B)=x/h(0)(货币A) • 为在t后得1元货币B，现在需借入x/h(0)货币A，t天 后变成x/h(0) (1+r0t/n)。这时 • t天后，货币B=(1+r0t/n)/[h(0) (1+rt/n)]货币A
• 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来 交割换来一单位标的资产。由无套利定价 原理知，这两种组合在t时刻的价值相等。 即： f+ Ke-r（T－t）=S f=S－Ke-r（T－t） • 无收益资产远期合约多头的价值等于标的 资产现货价格与交割价格现值的差额。即 一单位无收益资产远期合约多头可由一单 位标的资产多头和Ke-r（T－t）单位无风险负 债组成。
• 组合A和B在T时刻的价值都等于一单位标的 证券。因此，在T时刻，这两个组合的价值 应相等，即： f+ Ke-r（T－t）=S-I f=S-I-Ke-r（T－t） • 支付已知现金收益资产可看成是资产价格为 S-I的无收益资产的远期合约。
（三）支付已知收益率q资产远期合约的定价
• 支付已知现金收益资产可看成是资产价格 为Se-q(T-t)的无收益资产的远期合约。 • 1、支付已知收益率资产远期合约定价的一 般方法 组合A：一份远期合约多头加上一笔数 额为Ke-r（T－t）的现金； 组合B：e-q（T－t） 单位证券并且所有收 入都再投资于该证券，其中q为该资产按连 续复利计算的已知收益率。
四、现货-远期平价定理
• 由于远期价格（F）就是使合约价值（f）为零 的交割价格（K），即当f=0时，K=F。据此可 以令f=S－Ke-r（T－t）中f=0，则 F=Ser（T－t） • 无 收 益 资 产 的 现 货 - 远 期 平 价 定 理 （ SpotForward Parity Theorem），或称现货期货平 价定理(Spot-Futures Parity Theorem)。这 表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其 标的资产现货价格的终值。
• 根据无套利定价原理，卖空价高的资产， 买入价低的资产。
• 假设F>Ser（T－t），
• 若F<Ser（T－t），
（二） 支付已知现金收益资产远期合约的定价 支付已知现金收益资产远期合约定价的一 般方法
• 为了给支付已知现金收益资产的远期定价， 可构建如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r（T－t）的现金; 组合B：一单位标的证券加上利率为无风险 利率、期限为从现在到现金收益派发日、本 金为I的负债。
（二）无套利定价法
• 无套利定价法的基本思路为：构建两种投资 组合，让其终值相等，则其现值一定相等； • 否则就可以进行套利，即卖出现值较高的投 资组合，买入现值较低的投资组合，并持有 到期末，套利者就可赚取无风险收益。 • 众多套利者这样做的结果，将使较高现值的 投资组合价格下降，而较低现值的投资组合 价格上升，直至套利机会消失，此时两种组 合的现值相等。这样，就可根据两种组合现 值相等的关系求出远期价格。