2014版陕西北师版数学文复习方略：课时提升作业第四章第一节平面向量的概念及线性运算

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2014版陕西北师版数学文复习方略：课时提升作业第一章第二节命题、充分条件与必要条件

课时提升作业(二)一、选择题1.已知命题p:若x>0,y>0,则xy>0,则p的否命题是( )(A)若x>0,y>0,则xy≤0(B)若x≤0,y≤0,则xy≤0(C)若x,y至少有一个不大于0,则xy<0(D)若x,y至少有一个小于或等于0,则xy≤02.(2013·吉安模拟)已知条件p:x≤1,条件q:<1,则 p是q的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.(2013·延安模拟)命题“若a,b∈R,a=b=0,则a2+b2=0”的逆否命题是( )(A)若a,b∈R,a2+b2=0,则a≠b≠0(B)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠b≠0(C)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0且b≠0(D)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0或b≠04.(2013·合肥模拟)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a x在R上是增函数”是“函数g(x)=x a在R上是增函数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5.已知a,b,c都是实数,则在命题“若a>b,则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )(A)4 (B)2 (C)1 (D)06.(2013·安康模拟)对任意实数a ，b ，c 给出下列命题: ①“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; ③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7.下列各小题中,p 是q 的充要条件的是( ) (1)p:m<-2或m>6;q:y=x 2+mx+m+3有两个不同的零点. (2)p:=1;q:y=f(x)是偶函数.(3)p:cos α=cos β;q:tan α=tan β. (4)p:A ∩B=A;q: U ðB ⊆U ð A.(A)(1)(2) (B)(2)(3) (C)(3)(4) (D)(1)(4)8.已知向量a =(1,2),b =(2,3),则λ<-4是向量m =λa +b 与向量n =(3,-1)夹角为钝角的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.(2013·西安模拟)已知集合M={x|log 2x ≤0},N={x|x 2-2x ≤0},则“a ∈M ”是 “a ∈N ”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件10.(2013·重庆模拟)设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab成立”是“+≥2成立”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件11.(能力挑战题)若m,n∈N+,则“a>b”是“a m+n+b m+n>a n b m+a m b n”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件12.(能力挑战题)已知a,b为实数,集合A={x|ax+b=0},则下列命题为假命题的是( )(A)当a≠0时,集合A是有限集(B)当a=b=0时,集合A是无限集(C)当a=0时,集合A是无限集(D)当a=0,b≠0时,集合A是空集二、填空题13.若“对于任意x∈R,ax2+ax+1>0”为真命题,则实数a的取值范围是.14.sinα≠sinβ是α≠β的条件.15.(能力挑战题)在空间中:①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是.16.(2013·渭南模拟)已知p:2x2-9x+a<0，q:且q是p的充分条件，则实数a的取值范围是.三、解答题17.已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈[,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.答案解析1.【解析】选D.否命题应在否定条件的同时否定结论,而原命题中的条件是“且”的关系,所以条件的否定形式是“x≤0或y≤0”.2.【解析】选A.⌝p:x>1;<1,解得x<0或x>1.所以⌝p是q的充分不必要条件.3.【解析】选D.“a=b=0”的否定为“a≠0或b≠0”,“a2+b2=0”的否定为“a2+b2≠0”,故原命题的逆否命题是“若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0或b≠0”.4.【解析】选D.当a=2时,函数f(x)=a x在R上为增函数,函数g(x)=x a在R上不是增函数;当a=时,g(x)=x a在R上是增函数,f(x)=a x在R上不是增函数.5.【解析】选B.原命题是一个假命题,因为当c=0时,不等式的两边同乘上0得到的是一个等式;原命题的逆命题是一个真命题,因为当ac2>bc2时,一定有c2≠0,所以必有c2>0,不等式两边除以同一个正数,不等号方向不变,即若ac2>bc2,则a>b成立.根据命题的等价关系,四个命题中有2个真命题.6.【解析】选B.对于①，a=b ⇒ac=bc ，但ac=bc a=b ，故①错.对于②，a+5是无理数⇔a 是无理数，故②正确. 对于③，a>ba 2>b 2，故③错.对于④，a<3⇒a<5，故④正确，故选B.7.【解析】选D.(1)y=x 2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件是m 2-4(m+3)>0,解得m<-2或m>6. (2)由=1可得f(-x)=f(x),函数y=f(x)是偶函数,但函数y=f(x)是偶函数时,有可能f(x)=0,此时无意义.(3)cos α=cos β≠0时,sin α=〒sin β,得出tan α=〒tan β,cos α=cos β=0时,tan α,tan β无意义. (4)A ∩B=A ⇔A ⊆B ⇔U ðB ⊆U ðA.综上可知,p 是q 的充要条件的是(1)(4).8.【解析】选A.m =(λ+2,2λ+3),m ,n 的夹角为钝角的充要条件是m ·n <0且m ≠μn (μ<0).m ·n <0,即3(λ+2)-(2λ+3)<0,即λ<-3;若m =μn ,则λ+2= 3μ,2λ+3=-μ,解得μ=,故m ≠μn (μ<0),所以,m ,n 的夹角为钝角的充要条件是λ<-3.λ<-4是m ,n 的夹角为钝角的充分不必要条件.9.【解析】选A.集合M={x|0<x ≤1},N={x|0≤x ≤2},故“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分不必要条件.10.【解析】选B.若a 2+b 2≥2ab,则+≥2不一定成立;若+≥2,则a 2+b 2≥2ab 成立.11.【解析】选D.a m+n +b m+n >a n b m +a m b n ⇔(a m -b m )(a n -b n )>0.当a>b 时,由于a,b 可能为负值,m,n 奇偶不定,因此不能得出(a m -b m )(a n -b n )>0;当(a m -b m )·(a n -b n )>0时,即使在a,b均为正数时也有a<b的可能,因此也得不出a>b.所以“a>b”是“a m+n+b m+n>a n b m+a m b n”的既不充分也不必要条件.【误区警示】因没有注意不等式性质成立的条件而出错.【变式备选】(2012·郑州模拟)若a1x2+b1x+c1<0和a2x2+b2x+c2<0的解集分别为集合M和N,a i,b i,c i(i=1,2)均不为零,那么“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的( ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选D.若a 1b2=a2b1且a1c2=a2c1,则有===k,当k<0时,M≠N;反之,若M=N,则a1b2=a2b1且a1c2=a2c1不一定成立,故“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的既不充分也不必要条件.12.【思路点拨】集合A是一个含有参数的方程的解的集合,根据参数的不同取值这个方程解的个数也不同,分类讨论即可解决.【解析】选C.A中,当a≠0时,有x=-,此时集合A是有限集;B中,当a=b=0时,一切实数x都是集合A的元素,此时集合A是无限集;C中,当a=0时,方程变为0x+b=0,此时只有b=0集合A才可能是无限集;D中,当a=0,b≠0时,没有实数x 满足ax+b=0,此时集合A是空集.13.【解析】问题等价于对任意实数x,不等式ax2+ax+1>0恒成立.当a=0时,显然成立;当a≠0时,只能是a>0且Δ=a2-4a<0,即0<a<4.故a的取值范围是[0,4). 答案:[0,4)【误区警示】因忽略二次项系数可能为零的情况而出错.14.【解析】即判断α=β是sinα=sinβ的什么条件,显然是充分不必要条件. 答案:充分不必要15.【解析】①中的逆命题是:在空间中,若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1C1内A1,B1,C1,D1四点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①中逆命题为假命题.②中的逆命题是:在空间中,若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以②中逆命题是真命题.答案:②16.【思路点拨】求出条件q，由q是p的充分条件知q p，再转化为不等式恒成立问题求解.【解析】由得≨2<x<3.≧q⇒p，≨x∈(2，3)时，2x2-9x+a<0恒成立.记f(x)=2x2-9x+a，则即≨a≤9.答案:(-≦，9]17.【解析】y=x2-x+1=(x-)2+,≧x∈[,2],≨≤y≤2,≨A={y|≤y≤2}.由x+m2≥1,得x≥1-m2,≨B={x|x≥1-m2}.≧“x∈A”是“x∈B”的充分条件,≨A⊆B,≨1-m2≤,解得m≥或m≤-,故实数m的取值范围是(-≦,-]∪[,+≦).【变式备选】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.【证明】必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则x=1满足方程ax2+bx+c=0,≨a+b+c=0.充分性:若a+b+c=0,则b=-a-c,≨ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,≨(ax-c)(x-1)=0,≨当x=1时,ax2+bx+c=0,≨x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.关闭Word文档返回原板块。

全程复习方略高中数学北师大必修四课时提升作业十四含解析

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课时提升作业 (十四)从位移、速度、力到向量一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·汉中高一检测)下列命题中,正确的是( )A.两个相等的向量的起点、方向、长度必须都相同B.若a,b是两个单位向量,则a=bC.若向量a和b共线,则向量a,b的方向相同D.零向量的长度为0,方向是任意的【解析】选D.两个向量相等,只要长度相等,且方向相同即可,起点可以不同,故A不正确;两个单位向量的方向不一定相同,所以它们不一定相等,故B不正确;方向相同或相反的向量为共线向量,故C不正确;零向量的长度为0,其方向是任意的,故D正确.2.(2014·潍坊高一检测)设O是正△ABC的中心,则向量,,是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量【解析】选C.向量,,分别是以三角形的顶点和中心为起点和终点的向量,因为O是正三角形的中心,所以O到三个顶点的距离相等,即||=||=||,故选C.3.下列三个说法正确的个数是①零向量是长度为0的向量,所以零向量与非零向量不平行.②若非零向量与是共线向量,则A,B,C,D四点共线.③因为向量∥,所以AB∥CD. ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选A.零向量与任意向量都平行,故①错误;方向相同或相反的向量为共线向量,若与无公共点,则A,B,C,D四点不一定共线,故②错误;当向量∥,AB与CD平行或共线,故③错误.本题应选A.4.四边形ABCD中,如果=,且||=||,则四边形ABCD为( )A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形【解题指南】由=,可得四边形ABCD为平行四边形,再由||=||,可得此平行四边形是矩形,从而得出结论.【解析】选C.四边形ABCD中,如果=,则四边形ABCD为平行四边形.再由||=||,可得平行四边形的对角线相等,四边形ABCD 是矩形,故选C.5.如图,设ABCD是菱形,下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是( )A.和B.和C.和D.和【解析】选B.由菱形的性质知:和大小相等,方向相同,故选B. 【误区警示】本题容易出现因概念不清而错选的情况.“用同一条有向线段表示”即“两个向量相等”.6.如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中不成立的是( )A.||=||B.与共线C.与共线D.=【解析】选C.由题目条件可知AB=EF,AB∥CD∥FG,CD=FG,但是∠DEH≠∠BDC,故BD与EH不平行,所以A,B,D成立,C不成立.二、填空题(每小题4分,共12分)7.把所有单位向量的起点集中于一点O,则它们终点的轨迹是.【解析】如图所示,轨迹是以O为圆心,半径为1的圆.答案:以O为圆心,以1为半径的圆8.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点,则这些向量的终点构成的图形是.【解析】由于这些向量平行于同一条直线,故这些向量为共线向量,当把这些向量的起点移到同一起点时,终点在过定点与已知直线平行的直线上.答案:直线9.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中:(1)与相等的向量有.(2)与共线的向量有.(3)与的模相等的向量有.(4)向量与(填“相等”“不相等”)【解析】因为O是正方形ABCD对角线的交点且四边形OAED,OCFB 都是正方形.(1)结合相等向量的定义可知与相等的向量有.(2)结合共线向量的定义可知与共线的向量有,,.(3)与的模相等的向量有,,,,,,.(4)向量与方向不同,故不相等.答案:(1)(2),,(3),,,,,,(4)不相等【误区警示】解此类题目时一定要分清相等向量、共线向量等概念的区别.三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·锦州高一检测)如图是4×5的矩形(每个小方格都是正方形),试作出与相等的向量,要求向量的起点和终点都在方格的顶点处.【解析】如图,,为所求.11.如图,四边形ABCD与ABDE都是平行四边形,则:(1)与向量共线的向量有哪些?(2)若||=1.5,求||.【解题指南】(1)根据共线向量的定义,方向相同或相反的向量为共线向量,故在同一直线上或平行直线上的向量都是共线向量.(2)利用向量共线的充要条件将用表示,求出模.【解析】(1),,,,,,.(2)由平行四边形的性质||=||=||,故||=2||=3.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·合肥高一检测)已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,则下列命题中错误的是( )A.C⊆AB.A∩B={a}C.C⊆BD.A∩B⊇{a}【解析】选B.与a共线的向量是与其方向相同或相反的向量,所以C ⊆A,故A对;A∩B={a,-a},故B错;因为B中的向量与a的长度相同,方向任意,故C⊆B,故C对;A∩B={a,-a},所以{a}⊆A∩B,故D对.故选B. 2.在长方体ABCD-A′B′C′D′的棱所在向量中,与向量模相等的向量有( ) A.0个 B.6个 C.7个 D.9个【解题指南】利用长方体的性质和向量的模相等即可得出.【解析】选 C.如图,与向量模相等的向量有,,,,,,,共7个.故选C.【误区警示】本题容易漏掉而误选B,解题时应紧扣题意,全面考察.3.在四边形ABCD中,=,则相等的向量是( )A.与B.与C.与D.与【解析】选D.由题意可知四边形ABCD是平行四边形,由=知A 不正确,由=知B错误.显然选项C错误,由=,故D正确.4.下列说法中,正确的是( )A.单位向量都共线B.任意向量与0平行C.平行向量不一定是共线向量D.向量就是有向线段【解析】选B.A选项,单位向量间不一定共线;B正确;C选项,平行向量一定是共线向量;D选项混淆了向量与有向线段,故选B.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·烟台高一检测)如图所示,△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个正三角形,△ABC的边长为a,图中列出了长度均为的若干个向量,则(1)与向量相等的向量是.(2)与向量平行的向量是.【解题指南】(1)在图形中找出与向量相等的向量,即找出和已知向量大小相等,方向相同的向量.(2)与向量平行的向量,是指所有与已知向量方向相同或相反的向量,图中很多,要做到不重不漏.【解析】(1)与向量相等的向量是和.(2)与向量平行的向量是,,,,.答案:(1),(2),,,,6.在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1)(1)是共线向量的有.(2)模相等的向量有.【解析】(1)因为向量a与d,b与e方向相反,故共线.(2)向量a,d,c的模相等.答案:(1)a与d,b与e(2)a,d,c三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·太原高一检测)某人从A点出发向西走了10m,到达B点,然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点,最后又向东走了10m到达D点.(1)作出向量,,(用1cm长的线段代表10m长)(2)求||.【解析】(1)如图.(2)因为=,故四边形ABCD为平行四边形,所以||=||=15(m).【拓展延伸】向量相等在判断图形性质中的应用向量相等指两个向量的方向相同,模相等,若两个向量所在的边不共线,则两个边平行且相等,这个特性往往作为判断平行四边形的依据.向量相等还具有判定平行的功能,解题时要注意应用.8.如图,在以长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为的所有向量.(3)试写出与相等的所有向量.【解题指南】(1)根据单位向量的定义及已知条件可得答案.(2)通过计算可得答案.(3)由相等向量的定义可得答案.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的向量,,,,,,,共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共8个.(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,故模为的向量有,,,,,,,共8个.(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有,及,共3个.【变式训练】O是正六边形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c,分别写出图中与a,b,c相等的向量.【解析】与a 相等的向量是:,,;与b相等的向量是:,,;与c相等的向量是:,,.关闭Word文档返回原板块。

2014版高中数学复习方略课时提升作业：4.2平面向量的坐标运算(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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课时提升作业(二十六)一、选择题1.(2013·宝鸡模拟)已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )(A)-a+b(B)a-b(C)-a-b (D)-a+b2.(2013·蚌埠模拟)已知向量a=(1-sinθ,1),b=(,1+sinθ),若a∥b,则锐角θ等于( )(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°3.(2013·抚州模拟)原点O是正六边形ABCDEF的中心,=(-1,-),=(1,-),则等于( )(A)(2,0) (B)(-2,0)(C)(0,-2) (D)(0,)4.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( )(A)(2,0) (B)(0,-2)(C)(-2,0) (D)(0,2)5.如图所示,已知=2,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是( )(A)c=b-a(B)c=2b-a(C)c=2a-b(D)c=a-b6.(2013·西安模拟)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是( )(A)m≠-2 (B)m≠(C)m≠1 (D)m≠-17.已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=k e1+e2.给出以下结论:①若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2;②若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2;③存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线;④不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线.其中正确结论的个数是( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8.(能力挑战题)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α,β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )(A)(x-1)2+(y-2)2=5(B)3x+2y-11=0(C)2x-y=0(D)x+2y-5=09.(2013·黄石模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=1,AB=3,动点P在△BCD内运动(含边界),设=α+β,则α+β的最大值是( )(A) (B)(C)(D)10.已知a=(sinα-cosα,2014),b=(sinα+cosα,1),且a∥b,则tan2α-的值为( )(A)-2014 (B)-(C)2014 (D)二、填空题11.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B 的坐标为.12.如图,在□ABCD中,=a,=b,=3,M是BC的中点,则= (用a,b表示).13.在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x= .14.(2013·合肥模拟)给出以下四个命题:①四边形ABCD是菱形的充要条件是=,且||=||;②点G是△ABC的重心,则++=0;③若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是等腰梯形;④若||=8,||=5,则3≤||≤13.其中所有正确命题的序号为.三、解答题15.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)求3a+b-2c.(2)求满足a=m b+n c的实数m,n.(3)若(a+k c)∥(2b-a),求实数k.答案解析1.【解析】选B.设c=λa+μb,∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),∴∴∴c=a-b.2.【解析】选B.∵a∥b,∴(1-sinθ)(1+sinθ)-1〓=0,∴sinθ=〒,又θ为锐角,∴θ=45°.3.【解析】选A.∵在正六边形ABCDEF中,OABC为平行四边形,∴=+, ∴=-=(2,0).4.【解析】选D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则由解得∴a =0m +2n ,∴a 在基底m ,n 下的坐标为(0,2). 5.【解析】选A.由=2得+=2(+),所以2=-+3,即c =b -a .6.【思路点拨】运用反证法,从三点可以共线考虑,然后取所得范围的补集. 【解析】选C.若点A,B,C 不能构成三角形,则只能共线. ∵=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), =-=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B,C 三点共线, 则1〓(m+1)-2m=0,即m=1.∴若A,B,C 三点能构成三角形,则m ≠1.7.【解析】选B.(1)若a 与b 共线,即a =λb ,即2e 1-e 2=λk e 1+λe 2,而e 1与e 2不共线, ∴解得k=-2.故①正确,②不正确.(2)若e 1与e 2共线,则e 2=λe 1,有11(2),(k ),=-λ⎧⎨=+λ⎩a e b e∵e 1,e 2,a ,b 为非零向量,∴λ≠2且λ≠-k, ∴a =b ,即a =b ,这时a 与b 共线,∴不存在实数k 满足题意.故③不正确,④正确. 综上,正确的结论为①④.8.【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设C(x,y),根据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于α,β,x,y 的关系式,消去α,β即可得解.【解析】选D.设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3).由=α+β,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).于是由③得β=1-α代入①②,消去β得再消去α得x+2y=5,即x+2y-5=0.【一题多解】由平面向量共线定理,得当=α+β,α+β=1时,A,B,C三点共线.因此,点C的轨迹为直线AB,由两点式求直线方程得=,即x+2y-5=0.9.【思路点拨】建立平面直角坐标系,设P(x,y),求出α+β与x,y的关系,运用线性规划求解.【解析】选 B.以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则D(0,1),B(3,0),C(1,1),设P(x,y).∴=(x,y),=(0,1),=(3,0).∵=α+β,即(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α),∴∴∴α+β=+y.由线性规划知识知在点C(1,1)处+y取得最大值.10.【思路点拨】根据向量的共线求出tanα,再利用三角变换公式求值.【解析】选C.由a∥b得=2014,即=2014,解得tanα=-.tan2α-=-=-=-=-.将tanα=-代入上式得,tan2α-=2014.【方法技巧】解决向量与三角函数综合题的技巧方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.11.【解析】由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).设B(x,y),则=(x-1,y-2)=b.由⇒又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,所以B(0,)或(,0).答案:(0,)或(,0)12.【解析】由题意知=+=+=-=-(+)=--=-+=-a+b.答案:-a+b13.【解析】由a=(1,2),a-b=(3,1)得b=(-4,2),故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6).由(2a+b)∥c得6x=-6,解得x=-1.答案:-114.【解析】对于①,当=时,则四边形ABCD为平行四边形,又||=||,故该平行四边形为菱形,反之,当四边形ABCD为菱形时,则=,且||=||,故①正确;对于②,若G为△ABC的重心,则++=0,故不正确;对于③,由条件知=-,所以∥且||>||,又||=||,故四边形ABCD为等腰梯形,正确;对于④,当,共线同向时,||=3,当,共线反向时,||=8+5=13,当,不共线时3<||<13,故正确.综上正确命题为①③④.答案:①③④15.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6).(2)∵a=m b+n c,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).∴解得(3)∵(a+k c)∥(2b-a),又a+k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).∴2〓(3+4k)-(-5)〓(2+k)=0,∴k=-.【变式备选】已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x,使两向量,共线.(2)当两向量与共线时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?【解析】(1)=(x,1),=(4,x).∵∥,∴x2-4=0,即x=〒2.∴当x=〒2时,∥.(2)当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),∴∥.此时A,B,C三点共线,从而,当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上.但x=2时,A,B,C,D四点不共线.关闭Word文档返回原板块。

2014版陕西北师版数学文复习方略课件：第四章第四节平面向量的应用

其中a=(x1,y1), b=(x2,y2) a·b=0 a⊥b⇔_______ x1x2+y1y2=0 ⇔__________ a=(x1,y1),b=(x2,y2) cos θ =
ab | a || b | _____
垂直问题
数量积的运算性质数量积的定义
夹角问题
（θ 为向量a,b的夹角）
（3）用向量方法解决平面几何问题的“三步法”. 设向量运算还原平面几何问题向量问题解决向量问题解决几
|F3|= 2 7, 选D.
2.若不重合的四点P，A，B，C，满足 PA PB PC 0,
AB AC mAP, 则实数m的值为(
) (D)5
(A)2
(B)3
(C)4
【解析】选B.PA PB PC PA PA AB PA AC 0，所以
AB AC 3PA 3AP, 故m=3.
2cos 1 2sin 1 0，
【拓展提升】向量与三角函数综合题的答题策略 (1)当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数并求有关三角函数的问题时，解题时首先利用向量相等、共线或垂直等将问题转化为三角函数问题，然后利用三角函数的知识解决 . (2)当题目条件中给出的向量坐标中含有三角函数 ,并且求向量的模或其他向量的表达形式，解题时要通过向量的运算，将问题转化为三角函数的有界性，求得最值（或值域） .
4.在△ABC中，已知向量 AB与AC 满足 ( AB AC ) BC 0 且
AB | AC | AB AC 1 , 则△ABC为( AB | AC | 2
)
(A)等边三角形
(C)等腰非等边三角形
(B)直角三角形
(D)三边均不相等的三角形

2014版陕西北师版数学文复习方略：课时提升作业第四章第三节平面向量的数量积

课时提升作业(二十六)一、选择题1.有下列四个命题:①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥b,则a·b=|a|·|b|.其中真命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.(2012·辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b3.(2013·渭南模拟)设向量a=(cos 25°,sin25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是实数,且u=a+t b,则|u|的最小值是( )(A) (B)1 (C) (D)4.(2013·南昌模拟)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-6),设a与b的夹角的正切值等于-,则x的值为( )(A) (B)2(C)-2 (D)-2,5.在△ABC中,=1,=2,则AB边的长度为( )(A)1 (B)3 (C)5 (D)96.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则a·b的范围是( )(A)(1,+∞) (B)(-1,1)(C)(-1,+∞) (D)(-∞,1)7.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图像是一条直线,则必有( )(A)a⊥b (B)a∥b(C)|a|=|b| (D)|a|≠|b|8.已知O是△ABC内部一点,++=0,·=2,且∠BAC=30°,则△AOB的面积为( )(A)2 (B)1 (C) (D)9.在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若m⊥n,则角A的大小为( )(A) (B)(C) (D)10.(能力挑战题)如图,已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B.且⊥,则向量的坐标为( )(A)(-,) (B)(-,)(C)(-,) (D)(-,)二、填空题11.(2013·黄山模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|= .12.如图,半圆的直径|AB|=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是.13.(2013·杭州模拟)以下命题:①若|a·b|=|a|·|b|,则a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影为;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,则·=20;④若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则|2b|>|a+2b|.其中所有真命题的序号是. 14.(能力挑战题)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则xy的范围是.三、解答题15.(2013·晋中模拟)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),·=5,2AD=10.(1)求D点的坐标.(2)设=(m,2),若3+与垂直,求的坐标.答案解析1.【解析】选A.设a,b夹角为θ,①(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ≤|a|2·|b|2=a2·b2;②|a+b|与|a-b|大小不确定;③正确;④a∥b,当a,b同向时有a·b=|a|·|b|;当a,b反向时有a·b=-|a|·|b|.故不正确.2.【思路点拨】将所给等式两边平方,找到两个向量的关系.【解析】选B.|a+b|=|a-b|⇒|a+b|2=|a-b|2⇒a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2⇒a·b=0⇒a⊥b.【变式备选】已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为,那么下列结论中一定成立的是( )(A)a=b (B)|a|=|b|(C)a⊥b (D)a∥b【解析】选B.由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.3.【解析】选C.≧|u|2=(a+t b)2=a2+2t a·b+t2b2=1+2t(cos 25°sin 20°+sin 25°cos 20°)+t2=t2+t+1=(t+)2+≥,≨|u|≥,故选C.4.【解析】选C.≧a=(3,1),b=(x,-6),设a与b的夹角等于θ,≨a·b=3x-6=cosθ,≨cosθ=.≧tanθ=-,≨cosθ=-.≨=-,整理得3x2-20x-52=0.解得x1=-2,x2=.经检验x2=是增根,x1=-2满足要求.≨x=-2.5.【思路点拨】根据数量积的定义计算,并结合解三角形的知识得到结果. 【解析】选B.过点C作AB的垂线,垂足为D.由条件得==||cosA=|AD|=1,同理|BD|=2.故|AB|=|AD|+|DB|=3.6.【解析】选C.≧a与a+2b同向,≨可设a+2b=λa(λ>0),则有b=a.又≧|a|==,≨a·b=·|a|2=〓2=λ-1>-1,≨a·b的范围是(-1,+≦),故应选C.7.【解析】选A.f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图像是一条直线,即f(x)的表达式是关于x的一次函数.而(x a+b)·(a-x b)=x|a|2-x2a·b+a·b-x|b|2,故a·b=0.又≧a,b为非零向量,≨a⊥b,故应选A.8.【解析】选D.由++=0得O为△ABC的重心,≨S△AOB=S△ABC.又·=||||cos30°=2,得||||=4,≨S△ABC=||||sin30°=1.≨S△AOB=.9.【解析】选B.由m⊥n可得m·n=0,即(b-c)b+(c-a)(c+a)=0,≨b2-bc+c2-a2=0.由余弦定理得cosA==,所以A=.10.【解析】选B.依题意设B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π.则=(1,1),=(cosθ,sinθ).因为⊥,所以·=0,即cosθ+sinθ=0,解得θ=,所以=(-,).【方法技巧】解题时引入恰当的参数θ是解题的关键,进而可利用三角函数的定义求得点B的坐标,可将问题转化为向量的坐标运算问题来解决.11.【解析】≧50=|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=5+20+|b|2,≨|b|=5.答案:512.【思路点拨】设|PO|=x(0≤x≤3),运用向量的数量积转化为函数知识求解. 【解析】设|PO|=x,则|PC|=3-x(0≤x≤3),则(+)·=2·=2·x·(3-x)·cosπ=2x(x-3)=2(x-)2-.≧0≤x≤3,≨当x=时,(+)·有最小值-.答案:-13.【解析】设a,b的夹角为θ,①中,由|a·b|=|a||b||cosθ|=|a||b|,知cosθ=〒1,故θ=0或θ=π,所以a∥b,故正确;②中a在b方向上的投影为|a |·cos θ=|a |·||||a b a b =||a b b=,故正确;③中,由余弦定理得cosC==,故·=-·=-5〓8〓=-20,故错误.④中,由|a +b |=|b |知|b |+|a +b |=|b |+|b |,≨|2b |=|b |+|a +b |≥|b +a +b |=|a +2b |,故错误.答案:①②14.【解析】由=x +y ,得 2OC =x 22OA +y 22OB +2xy ·. 又||=||=||=1,·=0, ≨1=x 2+y 2≥2xy,得xy ≤,而点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动,得x,y ∈[0,1],于是0≤xy ≤.答案:[0,]15.【解析】(1)设D(x,y),=(1,2),=(x+1,y).由题得222AB AD x 12y 5,AD x 1y 10,⎧=++=⎪⎨=++=⎪⎩（）≨或≨D 点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)≧3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2),≧3+与垂直,≨(3+)·=0,≨m+14=0,≨m=-14,≨=(-14,2).【变式备选】在平面直角坐标系中,已知向量a =(-1,2),又点A(8,0),B(n,t), C(ksin θ,t)(0≤θ≤).(1)若⊥a,且||=||(O为坐标原点),求向量.(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时,求·.【解析】(1)可得=(n-8,t),≧⊥a,≨·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,得n=2t+8,则=(2t,t).又||=||,||=8.≨(2t)2+t2=5〓64,解得t=〒8,当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.≨=(24,8)或=(-8,-8).(2)≧向量与向量a共线,≨t=-2ksinθ+16,tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-)2+.≧k>4,≨0<<1,故当sinθ=时,tsinθ取最大值,有=4,得k=8.这时,sinθ=,k=8,tsinθ=4,得t=8,则=(4,8),≨·=(8,0)·(4,8)=32.关闭Word文档返回原板块。

高考数学第四章第一节平面向量的概念及线性运算课时提升作业文北师大版

【全程复习方略】（陕西专用）2014高考数学第四章第一节平面向量的概念及线性运算课时提升作业文北师大版一、选择题1.(2013·合肥模拟)下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a,b,均有:|a|-|b|<|a|+|b|;②对任意两向量a,b,a-b与b-a是相反向量;③在△ABC中,+-=0;④在四边形ABCD中,(+)-(+)=0;⑤在△ABC中,-=.(A)①②③(B)②④⑤(C)②③④ (D)②③2.如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,CA,AB上的中线,它们交于点G,则下列各等式中不正确的是( )(A)=(B)=2(C)=(D)+=3.(2013·宜春模拟)在以下各命题中,假命题的个数为( )①“|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件②任一非零向量的方向都是唯一的③“a∥b”是“a=b”的充分不必要条件④若|a|-|b|=|a|+|b|,则b=0(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.(2013·株洲模拟)设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则( )(A)P,A,B三点共线 (B)P,A,C三点共线(C)P,B,C三点共线 (D)以上均不正确5.若O是A,B,P三点所在直线外一点且满足条件:=a1+a4021,其中{a n}为等差数列,则a2011等于( )(A)-1 (B)1 (C)-(D)6.设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是( )(A)|a+b|≤|a|+|b|(B)|a|-|b|≤|a+b|(C)|a|-|b|≤|a|+|b|(D)|a|≤|a+b|7.已知点O,N在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,则点O,N依次是△ABC的( )(A)重心,外心 (B)重心,内心(C)外心,重心 (D)外心,内心8.(2013·西安模拟)在△ABC中,M是BC边上一点,N是AM的中点,=λ+μ,则λ+μ= ( )(A) (B)(C) (D)9.(2013·蚌埠模拟)已知点P为△ABC所在平面上的一点,且=+t,其中t为实数,若点P落在△ABC的内部,则t的取值范围是( )(A)0<t< (B)0<t<(C)0<t< (D)0<t<10.设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点,则使+++=0成立的点M的个数为( )(A)0 (B)1 (C)5 (D)10二、填空题11.如图,在正六边形ABCDEF中,已知=c,=d,则= (用c与d表示).12.M,N分别在△ABC的边AB,AC上,且=,=,BN与CM交于点P,设=a,=b,若=x a+y b(x,y∈R),则x+y= .13.(2013·吉安模拟)如图所示,=3,O在线段CD上,且O不与端点C,D重合,若=m+(1-m),则实数m的取值范围为.14.(能力挑战题)已知△ABC中,=a,=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+λa+λb,则动点P的轨迹所过的定点为.三、解答题15.(能力挑战题)如图,在△ABC中,在AC上取点N,使得AN=AC,在AB上取点M,使得AM=AB,在BN的延长线上取点P,使得NP=BN,在CM的延长线上取一点Q,使MQ=λCM时,=,试确定λ的值.答案解析1.【解析】选D.①假命题.∵当b=0时,|a|-|b|=|a|+|b|,∴该命题不成立.②真命题.∵(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0,∴a-b与b-a是相反向量.③真命题.∵+-=-=0,∴命题成立.④假命题.∵+=,+=,∴(+)-(+)=-=+≠0,∴该命题不成立.⑤假命题.∵-=+=≠,∴该命题不成立.2.【思路点拨】解题时注意三角形中线对应向量的性质及三角形重心的性质.【解析】选C.由题意知点G为三角形的重心,故=,所以C错误.3.【解析】选A.∵a,b方向不同⇒a≠b;∴仅有|a|=|b|⇒/a=b;但反过来,有a=b⇒|a|=|b|.故命题①是正确的.命题②正确.∵a∥b⇒/a=b,而a=b⇒a∥b,故③不正确.∵|a|-|b|=|a|+|b|,∴-|b|=|b|,∴2|b|=0,∴|b|=0,即b=0,故命题④正确.综上所述,4个命题中,只有③是错误的,故选A.4.【解析】选B.∵+=2,∴-=-,即=,∴P,A,C三点共线.5.【解析】选D.因为A,B,P三点共线,且=a1+a4021,所以a1+a4021=1,故a2011==.6.【解析】选D.由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知A,B,C恒成立,取a+b=0,则D不成立.【误区警示】解答本题时容易忽视向量共线的情形.7.【解析】选C.由||=||=||知,O为△ABC的外心;++=0知,N为△ABC的重心.8.【解析】选A.设=m+n,∵B,M,C三点共线,∴m+n=1,又=2,∴2=m+n,即=+,∴λ+μ=+=(m+n)=.9.【解析】选D.如图,E,F分别为AB,BC的三等分点,由=+t可知,P点落在EF上,而=,∴点P在E点时,t=0,点P在F点时,t=.而P在△ABC的内部,∴0<t<.10.【思路点拨】类比三角形的“重心”的性质解题.【解析】选B.在平面中我们知道“三角形ABC的重心G满足:++=0”则此题就能很快地答出,点M 即为这4个点连线组成的平面图形的重心,即点M只有1个.11.【解析】连接BE,CF,设它们交于点O,则=d-c,由正六边形的性质得===d-c.又=d,∴=+=d+(d-c)=d-c.答案:d-c12.【解析】如图,设=λ,=μ,则在△ABP中,=+=a+λ=a+λ(-)=a+λ(b-a)=(1-λ)a+b.在△ACP中,=+=b+μ=b+μ(-)=b+μ(a-b)=a+(1-μ)b.由平面向量基本定理得解得因此故x+y=.答案:13.【解析】设=k,则k∈(0,).∴=+=+k=+k(-)=(1+k)-k,又=m+(1-m),∴m=-k,∵k∈(0,),∴m∈(-,0).答案:(-,0)14.【解析】依题意,由=+λa+λb,得-=λ(a+b),即=λ(+).如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,则=λ,∴A,P,D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点M.答案:边BC的中点【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛:利用共线向量定理,可以证明点共线,两直线平行,并进而判定一些特殊图形;利用向量的模,可以说明线段间的长度关系,并进而求解图形的面积.在后续内容中,向量的应用将更广泛.要注意图形中的线段、向量是如何相互转化的.15.【解析】=-=(-)=(+)=.=-=-λ=+λ.令=,∴+λ=,∴λ=(-)=,∴λ=.【变式备选】如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.【解析】设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在λ,μ∈R,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,而=+=2e1+3e2,∴∴∴=,∴=,即AP∶PM=4.。

2014版陕西北师版数学文复习方略：课时提升作业第四章第五节数系的扩充与复数的引入

课时提升作业(二十八)一、选择题1.（2013•铜川模拟）复数iz 1i =+在复平面上对应的点位于 ( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限2.(2013²景德镇模拟)复数(m 2-3m)+mi(m ∈R)是纯虚数,则实数m 的值是( ) (A)3 (B)0(C)0或3 (D)0或1或33.（2013•西安模拟）设i 是虚数单位，则1-i+i 2-i 3+i 4-…+i 20等于 ( )(A)i (B)-i (C)-1 (D)14.复数等于 ( )(A)-1+i (B)1+i(C)1-i (D)-1-i5.若+(1+i)2=a+bi(a,b ∈R),则a-b= ( ) (A)2 (B)-2 (C)2+2 (D)2-26.(2012²北京高考)在复平面内,复数对应的点的坐标为 ( )(A)(1,3) (B)(3,1)(C)(-1,3) (D)(3,-1)7.设i 是虚数单位,复数z=tan45°-i ²sin 60°,则z 2等于 ( ) (A)-i (B)-i (C)+i (D)+i8.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限9.已知m(1+i)=2-ni(m,n∈R),其中i是虚数单位,则()3等于( )(A)1 (B)-1(C)i (D)-i10.(能力挑战题)若sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为( )(A)2kπ-,k∈Z(B)2kπ+,k∈Z(C)2kπ±,k∈Z(D)π+,k∈Z二、填空题11.(2013•商洛模拟)复数z0=5+2i(i为虚数单位),复数z满足z²z0=5z+z0,则z= .12.定义一种运算如下:=x1y2-x2y1,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是.13.(能力挑战题)已知复数z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,则z1²z2的实部的最大值为,虚部的最大值为.14.若复数z=cosθ+isinθ且z2+=1,则sin2θ= .三、解答题15.已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值.(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.答案解析1.【解析】选A.()()()i1ii11z i1i1i1i22-===+++-，从而复数z在复平面上对应的点为1122（，），在第一象限.2.【解析】选A.∵(m2-3m)+mi是纯虚数,∴m2-3m=0且m≠0,∴m=3.3.【思路点拨】相邻四项的代数和为0，共21项.【解析】选D.1-i+i2-i3=0，根据i n的周期性知，相邻四项的代数和为0，故选D.4.【解析】选A.===-1+i.【变式备选】已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y的值为( )(A)4 (B)4+4i(C)-4 (D)2i【解析】选C.由(x-2)i-y=-1+i,得x=3,y=1,∴(1+i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4.5.【思路点拨】先化简等号左边的复数,再根据复数相等解题.【解析】选B.+(1+i)2=1-i-2+2i=-1+(2-1)i=a+bi,则a=-1,b=2-1,故a-b=-2.6.【思路点拨】化简复数后,利用复数的几何意义找出所对应的点.【解析】选A.===1+3i,所对应点的坐标为(1,3).7.【解析】选B.z=1-i,∴z2=-i.8.【思路点拨】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.【解析】选A.z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】选 A.z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.9.【解析】选C.由m(1+i)=2-ni,得m+mi=2-ni,故m=2,m=-n,故m=2,n=-2,故()3=()3=i.10.【解析】选B.由题意,得解得∴θ=2kπ+,k∈Z.11.【解析】由z0=5+2i及z〃z0=5z+z0,得z====1-i.答案:1-i12.【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.答案:-1-(-1)i13.【解析】z1〃z2=(cosθsinθ+1)+i(cosθ-sinθ).实部为cosθsinθ+1=1+sin 2θ≤,所以实部的最大值为.虚部为cosθ-sinθ=sin(-θ)≤,所以虚部的最大值为.答案:14.【解析】z2+2z=(cosθ+isinθ)2+(cosθ-isinθ)2=2cos 2θ=1⇒cos 2θ=,所以sin2θ==.答案:15.【思路点拨】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可.(2)设z=s+ti(s,t∈R),根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题.【解析】(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,∴解得a=b=3.(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),由|-3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),即(s+1)2+(t-1)2=8,∴Z点的轨迹是以O 1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,当Z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值.∵|OO 1|=,半径r=2,∴当z=1-i时,|z|有最小值且|z|min=.【变式备选】若虚数z同时满足下列两个条件:①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由. 【解析】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+=a+bi+=a(1+)+b(1-)i.又z+3=a+3+bi,z+是实数,根据题意有∵b≠0,∴解得或∴z=-1-2i或z=-2-i.关闭Word文档返回原板块。

北师版数学必修4平面向量

平面向量知识网络平面向量结构简图画龙点晴概念标量: 只有大小不计方向的量叫做标量.向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

零向量：长度为零的向量叫做零向量, 记作0, 零向量没有确定的方向。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

向量的模: 向量a 的大小(或长度)叫做向量的模, 记作|a |.负向量: 与已知的向量a 的模相等且方向相反的向量叫做已知向量a 的负向量, 记作-a .自由向量: 只有大小和方向而无特定位置的向量叫做自由向量.有向线段: 具有方向的线段叫做有向线段. 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向. 以A 为起点, B 为终点的有向线段记作AB . 起点、方向、长度是有向线段的在要素。

用有向线段表示向量：已知向量a 与有向线段AB . 当|a |=|AB |且a 与AB 同向时, 向量a 可用有向线段AB 表示, 叫做向量AB .向量加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的平行四边形: 平面上任意两个向量a 、b ，从同一点O 出发分别作向量OA =a ，OB =b ，以OA 、OB 为一组邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形的对角线OC 所代表的向量OB OA OC +== a+b 。

向量加法的三角形法则: 平面上任意两个向量a 、b ，任取一个起点O ，从O 出发作向量OA =a ，再从A 出发作向量AB =b ，则OB =OA +AB =a+b 。

说明：(1)“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点；(2)可以推广到n 个向量连加，和向量就是以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量； (3)a a a =+=+00；(4)不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则.向量的加法运算律: (1)交换律：a +b =b +a ; (2)向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ). 向量的减法: 平面上任意两个向量a 、b ，从同一点O出发分别作向量OA =a ，OB =b ，作向量BA , 则向量BA 叫做向量a 与b 的差, 记作a-b , 即BA = a-b. [活用实例][例1] 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2014版陕西北师版数学文复习方略：课时提升作业第四章第四节平面向量的应用

课时提升作业(二十七)一、选择题1.(2013·咸阳模拟)已知△ABC的顶点坐标为A(3,4),B(-2,-1),C(4,5),D在边BC上,且S△ABC=3S△ABD,则AD的长为( )(A)(B)2(C)3 (D)2.(2013·吉安模拟)已知a,b,c为非零的平面向量,甲:a·b=a·c,乙:b=c,则甲是乙的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.设P是曲线y=上一点,点P关于直线y=x的对称点为Q,点O为坐标原点,则·= ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.(2013•榆林模拟)在△ABC中，BC CA AB，，，a b c且a•b=b•c=c•a，则△ABC===的形状是 ( )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等边三角形5.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值为( )(A) (B)-(C)2 (D)-26.圆C:x2+y2=1,直线l:y=kx+2,直线l与圆C交于A,B,若|+|<|-|(其中O为坐标原点),则k的取值范围是( )(A)(0,) (B)(-,)(C)(,+∞) (D)(-∞,-)∪(,+∞)7.设E,F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,已知AB=3,AC=6,则·的值为( )(A)6 (B)8 (C)10 (D)48.(2012·三亚模拟)已知偶函数f(x)满足:f(x)=f(x+2),且当x∈[0,1]时,f(x)=sinx,其图像与直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,…,则·等于( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)169.在△ABC中,若向量m=(2,0)与n=(sinB,1-cosB)的夹角为,则角B的大小为( )(A) (B) (C) (D)10.(能力挑战题)已知圆O(O为坐标原点)的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么·的最小值为( )(A)-4+ (B)-3+(C)-4+2 (D)-3+2二、填空题11.设向量a与b的夹角为θ,a=(3,3),2b-a=(-1,1),则cosθ= .12.(2013·许昌模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P(0,-1),点A在x轴上,点B 在y轴非负半轴上,点M满足:=2,·=0,当点A在x轴上移动时,则动点M的轨迹C的方程为.13.(能力挑战题)已知开口向上的二次函数f(x)的图象的对称轴为x=2,设向量a=(|x+2|+|2x-1|,1),b=(1,2).则不等式f(a·b)<f(5)的解集为.14.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为.三、解答题15.(2013·淮南模拟)已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),其中α∈(,).(1)若||=||,求角α的值.(2)若·=-1,求tan(α+)的值.答案解析1.【解析】选C.由题意知,=,设D(x,y),则(x+2,y+1)=(6,6)=(2,2),≨≨点D的坐标为(0,1),≨=(-3,-3),≨||=3.2.【解析】选B.由a〃b=a〃c得a〃(b-c)=0,但不一定得到b=c;反之,当b=c时, b-c=0,可得a〃(b-c)=0,即a〃b=a〃c.故甲是乙的必要不充分条件.3.【解析】选C.设P(x1,),则Q(,x1),〃=(x1,)〃(,x1)=x1〃+〃x1=2.4.【解析】选D. 因a,b,c均为非零向量，且a•b=b•c，得b•(a-c)=0⇒b⊥(a-c)，又a+b+c=0⇒b=-(a+c)，≨［-(a+c)］•(a-c)=0⇒a2=c2，得|a|=|c|，同理|b|=|a|，≨|a|=|b|=|c|，故△ABC为等边三角形.5.【解析】选D.如图,由条件知△AFE∽△CFB,故==.≨AF=AC.≨=-=-=(+)-=-,≨m=,n=-.≨=-2.6.【思路点拨】利用|+|<|-|⇔(+)2<(-)2进行转化.【解析】选D.由|+|<|-|两边平方化简得〃<0,≨∠AOB 是钝角,所以O(0,0)到kx-y+2=0的距离小于, ≨<,≨k<-或k>,故选D.【方法技巧】向量与解析几何综合题的解答技巧平面向量与解析几何相结合主要从以下两个方面进行考查:一是考查向量,需要把用向量语言描述的题目条件转化成几何条件,涉及向量的线性运算,共线、垂直的条件应用等;二是利用向量解决几何问题,涉及判断直线的位置关系,求角的大小及线段长度等.7.【解析】选C.〃=(+)〃(+)=(+)〃(-) =〃-||2+〃(-)=||2=×(62+32)=10.8.【解析】选B.依题意P 1,P 2,P 3,P 4四点共线,与同向,且P 1与P 3,P 2与P 4的横坐标都相差一个周期,所以||=2,||=2,〃=||||=4.【误区警示】解答本题时容易忽视与共线导致无法解题.9.【思路点拨】利用m ,n 的夹角求得角B 的某一三角函数值后再求角B 的值. 【解析】选B.由题意得cos =||||m nm n =,即=,≨2sin 2B=1-cosB,≨2cos 2B-cosB-1=0, ≨cosB=-或cosB=1(舍去). ≧0<B<π,≨B=π.10.【思路点拨】引入辅助量,利用向量数量积的定义求得〃,再利用基本不等式求最值.【解析】选D.设||=||=x,∠APB=θ, 则tan =,cos θ=,则〃=x 2〃===x 2+1+-3≥2-3,当且仅当x 2+1=,即x 2=-1时,取“=”,故〃的最小值为-3+2,故选D.11.【解析】a =(3,3),2b -a =(-1,1),≨b =(1,2),则cos θ=||||a ba b ==.答案:12.【解析】设M(x,y),由=2得点B 为MA 的中点,所以A(-x,0).所以=(2x,y),=(-x,1). 由〃=0得y=2x 2.所以轨迹C 的方程为y=2x 2. 答案:y=2x 213.【思路点拨】由条件求得a 〃b ,利用单调性将问题转化为解不等式的问题. 【解析】由题意知f(x)在[2,+≦)上是增函数, ≧a 〃b =|x+2|+|2x-1|+2>2,≨f(a 〃b )<f(5)⇒a 〃b <5⇒|x+2|+|2x-1|<3(*), ①当x ≤-2时,不等式(*)可化为-(x+2)-(2x-1)<3, ≨x>-,此时x无解;②当-2<x<时,不等式(*)可化为x+2-(2x-1)<3,≨x>0,此时0<x<;③当x≥时,不等式(*)可化为x+2+2x-1<3,≨x<,此时≤x<.综上可知不等式f(a〃b)<f(5)的解集为(0,).答案:(0,)14.【解析】如图所示,渡船速度为,水流速度为,船实际垂直过江的速度为,依题意知||=,||=25. ≧=+,≨〃=〃+2OA,≧⊥,≨〃=0,≨25×cos(∠BOD+90°)+()2=0,≨cos(∠BOD+90°)=-,≨sin∠BOD=,≨∠BOD=30°,≨航向为北偏西30°.答案:北偏西30°15.【解析】(1)≧=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),≨||==,||=.由||=||得sinα=cosα,又α∈(,),≨α=π.(2)由〃=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,≨sinα+cosα=,≨sin(α+)=>0.又由<α<,≨<α+<π,≨cos(α+)=-.故tan(α+)=-.【变式备选】已知M(1+cos 2x,1),N(1,sin2x+a)(x∈R,a∈R,a是常数),且y=〃(O为坐标原点).(1)求y关于x的函数关系式y=f(x).(2)若x∈[0,]时,f(x)的最大值为2013,求a的值.【解析】(1)y=〃=1+cos2x+sin 2x+a,所以f(x)=cos2x+sin2x+1+a,即f(x)=2sin(2x+)+1+a.(2)f(x)=2sin(2x+)+1+a,因为0≤x≤.所以≤2x+≤,当2x+=即x=时f(x)取最大值3+a,所以3+a=2013,所以a=2010.关闭Word文档返回原板块。

【全程复习方略】(陕西专用)高考数学第四章第一节平面向量的概念及线性运算名师课件文北师大版

uuur BA.
2
2
2.判断下列四个命题：
①若a∥b，则a=b；②若|a|=|b|，则a=b；③若|a|=|b|,则
a∥b；④若a=b，则|a|=|b|.其中正确的个数是( )
(A)1
(B)2
(C)3 (D)4
【解析】选A.①中两向量共线，但这两向量的方向、模均不一
定相同，故不一定相等；②中两向量的模相等，但方向不一定
（2）向量数乘的运算律. 设λ,μ为实数，则①λ(μ a)= _(_λ__μ__)_a_; ②(λ+μ)a= _λ___a_+_μ___a_；③λ(a+b)= _λ___a_+_λ___b_.
（3）向量共线的判定定理和性质定理. ①向量共线的判定定理: a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得_b_=_λ___a_，则向量 b与非零向量a共线，即_b_=_λ___a_(a≠0，λ∈R)⇒a∥b. ②向量共线的性质定理: 若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得_b_=_λ___a_, 即a∥b(a≠0)⇒_b_=_λ___a_(_λ__∈__R_)_.
小写字母如a,b，…来表示.
（3）模：向量的_长__度__叫作向量的模，记作|a|,|b|或
uuur AB ，
uuuur
CD .
2.特殊向量
名称
说明
零向量
长度为_0_的向量，其方向是_任__意__的__，记作0或
r 0
单位向量长度为_单__位__1_的向量
平行或
如果表示两个向量的有向线段所在的直线_平__行__ 或_重__合__，则称这两个向量平行或共线.规定：零
②若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

北师大版高中数学必修四平面向量的基本概念课时学案

《§2.1 平面向量的实际背景及基本概念》学案学习目标：1、认识向量与数量的区别，了解平面向量的概念和向量的几何表示；2、掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念，并会区分平行向量、共线向量、相等向量、相反向量。

学习重难点：向量的概念与几何表示，平行向量、共线向量、相等向量、相反向量。

学习过程【自主学习】（一）、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量。

引言：请同学们指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？（二）、学习内容：一、向量的定义1、既有 __又有 __的量叫做向量。

2、数量与向量的区别：数量只有 ___，可以比较大小；向量有 __也有 _____，不能比较大小。

二、向量的几何表示1、用有向线段表示，有向线段的 __表示向量的大小，箭头所指的 __表示向量的方向；用有向线段的起点与终点字母表示：AB ，其中是起点，是终点。

2、用小写字母等表示，如：a 、b 、c 等。

三、向量的模向量AB 的大小，即向量AB 的长度，记作_______________.四、零向量长度为 __的向量，记为______，其方向是 _____.注意0与0的含义与书写区别。

五、单位向量长度为 ____的向量，其方向是 _。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

【重难点探究】六、平行向量与共线向量1、平行向量：方向__________或___________的__________向量叫做平行向量。

若向量a b 、平行，通常记作_____________. 规定：零向量与任意向量平行，即 0∥a .2、共线向量：向量由它的________和________确定，与起点无关，任一组平行向量都可以移A B CD A(起点)B （终点）a动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量。

【全程复习方略】(陕西专用)高中数学 4.4平面向量的应用配套课件北师大版

求出值域.
(2)①利用p∥q列出关于sinA的方程；
②由sinA,b及S△ABC=
1 2
bcsinA可求出c，再由余弦定理求a.
【规范解答】(1) ∵|a|=1，|b|=1，x ［0, ］，
2
a b cos 3x cos x sin 3x sin x cos2x，
22
22
g(x) a b a2 2a b b2
错误.
建议在学习平面向量的应用时，要高度关注以下两点：
备 (1)加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法考建去思考问题，考虑问题要全面. 议 (2)要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直
的坐标运算等.
1.(2012·豫南四校联考)已知△ABD是等边三角形，且
uuur AB

1
uuur AD
2
2
22
2
则函数g(x)=|a-b|的值域为______.
(2)(2012·临川模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为
a、b、c，向量p=( 1 sinA,12 ),q=(cos2A,2sinA),且p∥q.
7
①求sinA的值；②若b=2,△ABC的面积为3，求a.
【解题指南】(1)利用向量的基本运算写出关于x的函数，然后
(3)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 平面几何问题设向量向量问题运算解决向量问题还原解决几何问题
【即时应用】
判断下列命题的正误.(请在括号中填写“√”或“×”)
①若 AuuBur∥AuuCur，则三点A、B、C共线.
()
②在△ABC中，若
uuur AB

BuuCr＜0，则△ABC为钝角三角形.

北师大版高中数学高一必修4学案复习课(二)平面向量

复习课(二) 平面向量平面向量的有关概念及线性运算1．本考点多以选择、填空题形式考查，着重考查向量的有关概念辨别、平面向量的线性运算及共线向量定理，难度中档．2．知识归纳整合 (1)向量与有向线段：向量常用有向线段表示，它们是两个不同概念，有向线段由起点、终点方向唯一确定，而向量是由大小和方向来确定的．(2)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定，在解题时注意它们的特殊性．如“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”是假命题，因为当b 为零向量时，a 与c 为任意向量，两者不一定平行．(3)共线向量也叫平行向量，两向量所在的直线可以共线也可以平行． (4)相等向量一定是平行向量． (5)向量a 的单位向量为a|a |.(6)向量加法三角形法则：AB ＋BC ＝AC ，首尾相连，只需找到第一个向量的起点，最后一个向量的终点，则和向量就可找到．(7)向量减法的三角形法则：AB －AC ＝CB .差向量是第二个的终点指向第一个向量的终点的向量．(8)λa 依然是一个向量，与a 的方向相同(λ>0)或相反(λ<0)． [典例] (1)下列命题中，正确命题的个数是 ( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |.A ．3B ．2C ．1D ．0(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝ ( ) A ．BC B ．AD C.12BC D.12AD(3)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，tb ，13(a＋b )三向量的终点在同一条直线上．[解析] (1)根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．(2)由向量的加法法则，得BE ＝12(BA ＋BC )，CF ＝12(CB ＋CA )，因此EB ＋FC ＝－12(BA ＋BC )－12(CB ＋CA )＝－12(BA ＋CA )＝12(AB ＋AC )＝12×2AD ＝AD ，故选 B.[答案] (1)D (2)B(3)解：设OA ＝a ，OB ＝tb ，OC ＝13(a ＋b )，∴AC ＝OC －OA ＝13(a ＋b )－a ＝－23a ＋13b ，AB ＝OB －OA ＝tb －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC ＝λAB ，即－23a ＋13b ＝λ(tb －a )．又非零向量a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧ 13＝λt ，－λ＝－23，∴⎩⎨⎧t ＝12，λ＝23.∴当t ＝12时，三向量终点在同一条直线上．[类题通法](1)辨别向量概念问题时：一要紧扣相关定义，二要注意零向量易忽视． (2)平面向量的线性运算：①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．[题组训练]1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下列结论正确的是 ( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析：选B 因为|a －b |＝|a ＋b |，由向量的加法和减法法则，知以a ，b 为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以a ⊥b . 2.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB ＝a ，AC ＝b ，则AD ＝ ( ) A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b解析：选D 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD ＝12AB ＝12a ，所以AD ＝AC ＋CD ＝b ＋12a . 3.如图，在平行四边形ABCD 中，AE ＝13AB ，AF ＝14AD ，CE 与BF 相交于点G ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AG ＝( ) A.27a ＋17b B.27a ＋37b C.37a ＋17b D.47a ＋27b解析：选C 设AG ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则AG ＝mAB ―→＋4n AF ，∵F ，G ，B 三点共线，∴m ＋4n ＝1.连接AC ，则CG ＝AG －AC ＝AG －(AB ＋AD )＝(m －1)a ＋(n －1)b ，CE ＝BE －BC ＝－23AB －AD ＝－23a －b .∵C ，G ，E 三点共线，∴m －1－23＝n －1－1，即3m －2n ＝1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4n ＝1，3m －2n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝37，n ＝17.∴AG ＝37a ＋17b .平面向量的坐标运算1．考情本考点多以选择题、填空题形式考查，着重考查平面向量的坐标运算及共线向量定理的坐标表示及数量积的坐标运算，难度中档．2．知识归纳整合(1)向量加法、减法、数乘向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)向量坐标与起点、终点坐标的关系及向量的模①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.[典例] (1)(四川高考)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝ ( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6(2)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ＝(－4，－3)，则向量BC ＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)(3)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)． ①若AB ·AC ＝0，求c 的值； ②若c ＝5，求cos A 的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3. (2)法一：设C (x ，y )，则AC ＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A. 法二：AB ＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC ＝AC －AB ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.[答案] (1)B (2)A(3)解：①AB ＝(－3，－4)，AC ＝(c －3，－4)．由AB ·AC ＝0，可得－3(c －3)＋16＝25－3c ＝0，所以c ＝253.②∵AB ＝(－3，－4)，AC ＝(c －3，－4)＝(2，－4)，∴cos A ＝AB ·AC| AB ||AC |＝－6＋16520＝55.[类题通法](1)向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系．(2)对向量坐标运算注意a ∥b ，a ·b 的坐标运算形式易混淆．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，(a ＋b )∥b ，则b 可以为 ( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：选A 设b ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(x ＋1，y ＋2)，因为(a ＋b )∥b ，所以(x ＋1)y －x (y ＋2)＝0，化简得y －2x ＝0，只有A 满足．2．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么 ( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D ∵a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1,1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A ，B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1,1)，d ＝a －b ＝－(－1,1)，即c ∥d 且c 与d 反向．3．(江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－3平面向量的数量积1．考情本考点在各种题型均有考查，在解答题中常与三角函数交汇考查，着重考查数量积的计算、模、夹角及垂直问题，难度中档．2．知识归纳整合 (1)平面向量数量积①a ，b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，则|a ||b |·cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |·cos θ.规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a·b ＝0. ②a·b 的几何意义：a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． (2)已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).[典例] (1)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)如果向量a 和b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，那么a 和b 的夹角θ的大小为 ( )A ．30°B ．45°C ．75°D ．135°(3)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. ①若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；②设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．[解析] (1)由题意，得MA ·MD ＝⎝⎛⎭⎫12CB ＋BA ·⎝⎛⎭⎫－12 CB ＋CD ＝－14|CB |2＋12CB ·CD －12CB ·BA ＋BA ·CD ＝－14×(2)2＋12×2×1×cos 135°－12×2×2×cos 135°＋2×1×cos 0°＝－12－12＋1＋2＝2.(2)由a ·(a －b )＝0，∴a 2－a ·b ＝0， ∴a·b ＝1.又cos θ＝a·b |a |·|b |＝11×2＝22，且0°≤θ ≤180°，∴θ＝45°.[答案] (1)B (2)B(3)解：①证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .②因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.[类题通法](1)平面向量数量积的计算方法：①已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解． ②已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．(3)计算|a |时注意|a |＝a 2，易出错．[题组训练]1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |＝ ( ) A ．1 B. 3 C. 5 D ．3解析：选C 由于投影相等，故有|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉，因为|a |＝1，|b |＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5.2．已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA ＋3 PB 的最小值为________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝h ，则A (2,0)，B (1，h )．设P (0，y )(0≤y ≤h )，则PA ＝(2，－y )，PB ＝(1，h －y )，∴|PA ＋3 PB |＝25＋(3h －4y )2≥25＝5.故|PA＋3PB |的最小值为5. 答案：53．在平行四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－3,2)，则AD ·AC ＝________. 解析：AD ·AC ―→＝⎣⎡⎦⎤12(AC ＋BD )·AC ＝12[(1,2)＋(－3,2)]·(1,2)＝(－1,2)·(1,2)＝3. 答案：31.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF ＝( )A.12AB －13ADB.14AB ＋12AD C.13AB ＋12DA D.12AB －23AD 解析：选D 在△CEF 中，EF ＝EC ＋CF .因为点E 为DC 的中点，所以EC ＝12DC .因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF ＝23CB .所以EF ＝12DC ＋23CB ＝12AB ＋23DA ＝12AB －23AD .故选D.2．已知向量a ＝(m,1)，b ＝(m 2,2)．若存在λ∈R ，使得a ＋λb ＝0，则m ＝ ( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．0或－2 解析：选C ∵a ＝(m,1)，b ＝(m 2,2)，a ＋λb ＝0， ∴(m ＋λm 2,1＋2λ)＝(0,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋λm 2＝0，1＋2λ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，m ＝0或2.故选C. 3．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(2m ，m ＋1)．若AB ∥OC ，则实数m 的值为 ( )A.15 B ．－35 C ．－17D ．－3解析：选D AB ＝OB －OA ＝(3,1)，由AB ∥OC ，得3(m ＋1)＝2m ，解得m ＝－3，故选D.4．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即AC ·(BC＋BA ＋CA )＝0，∴2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°.故选C.5．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为 ( ) A ．1 B.12C.34D.32 解析：选D ∵|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向， ∴a 与c 的夹角为60°. 又|a －c |＝a 2－2a·c ＋c 2＝1－|c |＋|c |2＝⎝⎛⎭⎫|c |－122＋34，故|a －c |min ＝32. 6．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin B ＝1，向量p ＝(a ，b )，q＝(1,2)．若p ∥q ，则C 的大小为 ( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 由sin B ＝1，得B ＝π2，所以在△ABC 中，cos C ＝a b .又由p ＝(a ，b )，q ＝(1,2)，p ∥q ，得2a －b ＝0，a ＝b 2，故cos C ＝12，所以C ＝π3. 7．对于向量a ，b ，当且仅当________________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b|>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向8．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析：依题意得|e 1|＝|e 2|＝1，且e 1·e 2＝12，|b |＝2，所以向量a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b |＝2＋6×122＝52. 答案：529．已知向量a ＝(2,5)，b ＝⎝⎛⎭⎫14，y ，且a ⊥(a ＋2b )，则y ＝________.解析：由题意，知a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫52，5＋2y ，因为a ⊥(a ＋2b )，所以5＋5(5＋2y )＝0，解得y＝－3.答案：－310．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ，求点C ，D 和CD 的坐标．解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由题意可得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB ＝(3,6)，DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA ＝(－3，－6)．∵AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ， ∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)．则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. ∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此CD ＝(－2，－4)．11.如图，平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，DC 的中点，BE ，BF 与AC 分别交于点R ，T ，证明：R ，T 为AC 的三等分点．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AC ＝a ＋b ，BE ＝12b －a . 由于AR 与AC 共线，因此存在实数m ，使得AR ＝m (a ＋b )．又BR 与BE 共线，因此存在实数n ，使得BR ＝n BE ＝n ⎝⎛⎭⎫12b －a . 由AR ＝AB ＋BR ＝AB ＋n BE ，得m (a ＋b )＝a ＋n ⎝⎛⎭⎫12b －a ，整理得(m ＋n －1)a ＋⎝⎛⎭⎫m －12n b ＝0. 由于向量a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1＝0，m －12n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝13，n ＝23.所以AR ―→＝13AC . 同理TC ―→＝13A AC ，所以RT ―→＝13AC ，所以AR ＝RT ＝TC ，所以R ，T 为AC 的三等分点．12．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[]0，π，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝ 3.又θ∈[]0，π，∴θ＝π3. (2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝8＋8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3. 又θ∈[]0，π，∴θ－π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3. ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴|2a －b |2的最大值为16.∴|2a －b |的最大值为4.又|2a －b |<m 恒成立，∴m >4.，即实数m 的取值范围为(4，＋∞)．。

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