圆的两解题
初中数学 圆的解题方法总结
初中数学圆的解题方法总结情形1. 弦若圆的题目中出现关于弦的相关知识点，要想到弦相关的定理和一些性质，垂径定理、弦心距、勾股定理等．例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O 上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．分析：（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．证明：（1）∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如图，连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝(r﹣8)²+12²，解方程得r＝13．所以⊙O的直径为26．情形2. 直径出现直径时，要联想圆心角、圆周角等性质，构造等腰三角形、直角三角形等图形。
例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．分析：（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答即可．证明：（1）∵若点D恰好与点O重合，∴∠COD＝60°（跳步啦），∴∠ABC＝∠OBC＝∠COD＝30°；（2）∠ABM＝2∠ABC，作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，∵对称，∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，连接CO，D'O，AC，∴∠AOC＝2∠ABC，∠D'OC＝2∠D'BC，∴∠AOC＝∠D'OC，∴AC＝D'C，∵DC＝D'C，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，设∠ABC＝α，则∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．情形3：切线如果题目给出有切线，我们可以思考添加过切点的半径，连结圆心和切点，利用切线的性质和定理构造出直角或直角三角形，再使用勾股定理解出一些边角关系。
有关圆的知识点总结
有关圆的知识点总结一、圆的定义圆是由一个平面上所有到一个给定点的距离都相等的点构成的图形。
这个给定点叫做圆心，相等的距离叫做半径。
圆的符号为O，半径的符号通常用r来表示。
二、圆的元素圆由一些基本元素构成，包括圆心、半径、直径、弧和扇形。
1. 圆心：圆的中心点，通常用O表示。
2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用r表示。
3. 直径：圆的两个端点在圆上的两点之间的距离，通常用d表示。
4. 弧：圆上两点之间的曲线部分，通常用l表示。
5. 扇形：由圆心、圆上两点和这两点所构成的圆弧围成的区域。
三、圆的性质1. 圆上任意一点到圆心的距离都相等。
2. 圆上任意两点之间的弧长与这两点所夹的圆心角成正比。
3. 圆的直径是圆的最长直线距离，其长度是半径的两倍。
4. 圆的周长等于圆的直径乘以π（π≈3.14），即C=2πr。
5. 圆的面积等于半径的平方乘以π，即A=πr²。
四、圆的相关定理1. 圆心角定理：同一个圆上的圆心角是相等的。
2. 弦与弦的定理：在同一个圆上，如果两条弦相等，则对应的圆心角也相等。
3. 弧长定理：圆弧所对的圆心角与弧长的关系为：l=πrθ180°。
4. 正多边形外接圆半径定理：正n边形的外接圆半径R=边长/2sin(π/n)。
5. 正多边形内切圆半径定理：正n边形的内切圆半径r=边长/2tan(π/n)。
五、圆的应用1. 圆的几何解题：利用圆的相关定理和性质来解决几何问题。
2. 圆的物理应用：在物理学中，圆的相关知识被广泛应用于运动学、力学和光学等领域。
3. 圆的工程应用：在工程学中，圆被广泛应用于建筑设计、机械制造和航空航天等领域。
4. 圆的数学应用：在数学学科中，圆的相关知识在解析几何、微积分和代数学等领域有着重要的应用价值。
总结：圆是一种基本的几何图形，它具有独特的性质和广泛的应用价值。
通过深入学习圆的相关知识，可以更好地理解和应用它在数学和现实生活中的作用。
初中数学精品解题：圆的解题方法归纳(9页)
OCB A圆的解题方法归纳1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
1、AB 是的直径，CD 是的一条弦，且CE ⊥AB 于E ，连结AC ，BC 。
若BE=2，CD=8，求AB 和AC 的长。
解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ∴CE=ED=4设⊙O 的半径为r ，OE=OB-BE=r-2 在Rt △OEC 中，r=5 ∴AB=10 又CD=8， ∴CE=DE=4， ∴AE=8 ∴AC=2、圆O 的直径AB 和弦CD 交于E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30求CD 。
答案2． 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
1、如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=2、如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BAC=50°，则∠ADC=ACFOEB DO CB A3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
1、如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是2、如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D；求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线解：（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°∴AD是⊙O的直径连结OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A =30°∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线.4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
圆综合题技巧大全
圆综合题技巧大全圆综合题，是指在几何题中涉及到圆的性质和定理的题目。
掌握圆综合题的解题技巧对于提高几何解题的能力至关重要。
下面是一些解圆综合题的技巧和方法，希望能够对大家有所帮助。
1.学习圆的性质和定理：在解圆综合题之前，首先要掌握圆的基本性质和定理，比如切线定理、割线定理、弧长公式等。
只有了解了这些基本知识，才能够更好地应用到实际题目中去。
3.运用相似性质：在解圆综合题时，经常需要用到相似性质。
要注意观察图形中的相似三角形，利用它们之间的比例关系解题。
有时候可以构造相似三角形，利用已知条件来求解未知量。
4.利用轴对称性：圆具有轴对称的性质，这个特点在解题中是非常有用的。
当题目中涉及到对称图形时，可以利用轴对称性来简化计算过程，缩小解题的范围。
5.利用切线和弦的性质：圆的切线和弦都有一些特殊的性质，掌握了这些性质可以帮助我们更好地解题。
比如圆内切四边形的特点是两对对边互补，圆内接三角形切线长的平方等于切点到圆心的距离乘以切点到切线的距离等。
6.利用角度关系：圆综合题中也经常涉及到角度的计算。
要注意观察图形中的各种角度，利用它们之间的关系来解题。
比如垂径定理可以用来求解圆中的角度，交角平分线定理可以用来证明两条弦相等等。
7.画图辅助：在解题过程中，画图是非常重要的一步。
通过画图可以更好地理解题目中的条件和要求，有助于找到解题的思路。
在画图时要准确地表示出各个线段的长度和各个角度的大小，这样可以更方便地进行计算和推理。
8.多角度思考：解题时要善于从不同的角度思考，尝试不同的方法来解决问题。
有时候，一个问题可以有多种解法，通过多角度思考可以找到最简单和最直观的解法。
以上是解圆综合题的一些技巧和方法，希望能对大家在解题过程中有所帮助。
通过多做练习和总结，相信你会逐渐掌握解圆综合题的技巧，提高几何解题的能力。
圆中的双解题
离为 ６ ｍ，圆的半径 为 １ ０ ｃ ｍ，则腰 Ａ Ｂ的长 为 ８ 、 ／ 或 ４
Ｖ３－ ￣ ｍ。
简析：本题应考虑 Ｏ在线段 Ａ Ｄ内或不在线段 Ａ Ｄ内
简析 ：本题应考虑到 Ｃ Ｄ可能和 Ｏ Ｂ交于点 Ｅ也可能
和Ｏ Ａ交于 点 Ｅ两 种情 况 。 ２ ． 已知 △Ａ Ｂ Ｃ内接 于 圆 中 ， Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ， 圆心 Ｏ到 Ｂ Ｃ的距
以点 ｃ为圆心作一个圆 ， 使（ ３Ｃ与ＱＡ相切 ， 那么ＱＣ的半 径为 ！ 。 ４ － ／ ｊ 、 圆的 圆心在 原 点 ， 半径为 ３ ， 大 圆的 圆心 坐标 为 （ ａ ， Ｏ ） ， 半径为 ５ ， 如果两圆相切， 那么 ａ 的值为 主曼 主２ 。 简析 ：这三个题均要考虑到两圆相切要分 内切与外切 两种情 况 ， 而１ １ 题不 仅 要考 虑两 圆相 切要 分 内切 与外 切 两 种情况 ，还要考虑到大圆的圆心既可能在 Ｘ 轴的正半轴上 也可能在 Ｘ 轴 的负半轴上。 ５ ． 已知 两个 同心 圆 的半径 为 Ｒ和 ｒ （ Ｒ ＞ｒ ） ， 则 和这 两个 道理表述在前， 后面紧跟分析。 第二 ， 认真对待讲评 ， 学会订 正。 自己做得正确的题， 看看和老师所讲的思路是否一致 ， 当成巩固； 自己做错的及 时订正 ， 该做记号的做记号 ， 知道 错杜 哪里 。 第三 ， 训 练 良好 的心理 素质 。 把 平 时的练 习小 测 验 当成是 大考 ， 养成 认真 审题 ， 规 范表 达 的习惯 ， 日积月 累 ， 才 能把大 考 当成平 时 的练 习 ， 从 容应 对 。 凡事贵在坚持 ， 高一教学要稳扎稳打 ， 把上述做法渗透
高考数学命题热点名师解密：专题(25)圆的解题方法(文)(含答案)
专题26 圆的解题方法一．【学习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题.2.能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题.3.能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.二．方法规律总结1.在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式.圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元一次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化.如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.2.在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件.3.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化.涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程.4.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法，即利用圆心到直线的距离，两圆心连线的长与半径和、差的关系判断求解.5.求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：(1)几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出.(2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出.(以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得).6.求直线被圆截得的弦长(1)几何方法：运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2·r2－d2.(2)代数方法：运用韦达定理.弦长|AB|＝[（x A＋x B）2－4x A·x B]（1＋k2）.7.注意利用圆的几何性质解题.如：圆心在弦的垂直平分线上，切线垂直于过切点的半径，切割线定理等，在考查圆的相关问题时，常结合这些性质一同考查，因此要注意灵活运用圆的性质解题. 三．【典例分析及训练】例1．圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，，设的坐标为,则, ,,因为，所以，即，又，联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.故答案为B.练习1．已知圆上的动点和定点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，取点，连接，，，，，，，因为,当且仅当三点共线时等号成立,的最小值为的长，，，故选D.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，解答本题的关键是将转化为.练习2．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.练习3．直线l是圆C1：（x+1）2+y2=1与圆C2：（x+4）2+y2=4的公切线，并且l分别与x轴正半轴，y轴正半轴相交于A，B两点，则△AOB的面积为A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设OA=a，OB=b，由三角形相似可得：，得a=2．再由三角形相似可得：，解得b=．∴△AOB的面积为．故选A．（二）圆的一般方程例2．若由方程x2－y2＝0和x2＋(y－b)2＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是( )A．b≥2或b≤－2 B．b≥2或b≤－2 C．－2≤b≤2 D．－2≤b≤2【答案】B练习1．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.练习2．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=2【答案】C【解析】若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则，解得a=–1．故答案为：C（三）点与圆的位置关系例3．例3．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是A． B． C． D．【答案】B练习 1.已知点，，是圆内一点，直线，，，围成的四边形的面积为，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，四条直线围成的四边形面积，故选A.练习2．设点M（3，4）在圆外，若圆O上存在点N，使得，则实数r的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，要使圆O：x2+y2＝r2（r＞0）上存在点N，使得∠OMN＝，则∠OMN的最大值大于或等于时一定存在点N，使得∠OMN＝，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时OM＝5，ON＝，又点M（3，4）在圆x2+y2＝r2（r＞0）外，∴实数r的取值范围是．故选：C．（四）圆的几何性质例4．如图，在平面直角坐标系内，已知点，，圆C的方程为，点P为圆上的动点．求过点A的圆C的切线方程．求的最大值及此时对应的点P的坐标．【答案】（1）或；（2）最大值为，.【解析】当k存在时，设过点A切线的方程为，圆心坐标为，半径，，解得，所求的切线方程为，当k不存在时方程也满足；综上所述，所求的直线方程为：或；设点，则由两点之间的距离公式知，要取得最大值只要使最大即可，又P为圆上的点，，，此时直线OC：，由，解得舍去或，点P的坐标为练习1．已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线相切，与y轴交于M，N两点，且．Ⅰ求圆C的标准方程；Ⅱ过点的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；Ⅲ已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，满足题意.【解析】Ⅰ由题意知圆心，且，由知中，，，则，于是可设圆C的方程为又点C到直线的距离为，所以或舍，故圆C的方程为，Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，故，解得，又当时满足题意，因此所求的直线方程为或，Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，则即，则，令，解得或，因此存在，，或，满足题意，方法二：设是圆C上任意一点，由得，化简可得，对照圆C的标准方程即，可得，解得解得或，因此存在，或，满足题意．练习2．设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，函数y，即（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下半部分，又由点Q（2a，a﹣3），则Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a＝1，圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+n）2+（y+2）2＝9相外切，则有3+2＝5，变形可得：（m+n）2＝25，则mn，故选：C．练习3．已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵||＝||＝1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．∴的最大值．故选：C．练习4．设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则，即，∴当时，，故的最大值为.故选C.（五）轨迹问题例 5.已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O 为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）令，则当，即时面积最大为2又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令故直线的方程为：（3）设点，由于点则，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以练习1．已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，求以弦GH 为直径的圆的面积最小值及此时直线m的方程.学-科网（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.（O 为坐标原点）【答案】（1）；（2）圆的面积最小值（3）【解析】（1）解：设点由中点坐标公式有又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为：（2）由题意知，原心到直线的距离∴当即当时，弦长最短，此时圆的面积最小，圆的半径，面积又，所以直线斜率，又过点故直线的方程为：（3）设点，由于点法一：所以，令有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程. 当直线与圆相切时，取得最大或最小故有所以法二：∴从而练习2．四棱锥P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．球的一部分 D．抛物线的一部分【答案】A练习3．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，且l1⊥l2，∴P在线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02＝1，∴1，故A错误，B正确；3x02+2y02＞2x02+2y02＝2（x02+y02）＝2＞1，故C正确；由圆x2+y2＝1在P（x0，y0）的切线方程为：x0x+y0y＝1，如图，∵坐标原点O（0，0）与点（）在直线x0x+y0y＝1的同侧，且x0×0+y0×0＝0＜1，∴，故D正确．∴不正确的选项是A．故选：A．练习4．已知圆C： (为锐角) ,直线l：y=kx,则A．对任意实数k与,直线l和圆C相切 B．对任意实数k与,直线l和圆C有公共点C．对任意实数k与,直线l和圆C相交 D．对任意实数k与,直线l和圆C相离【答案】B【解析】由题意，圆心坐标为：，所以圆心的轨迹方程为：，所以圆心与原点的距离为1，所以圆必过原点.由于直线过原点，所以直线与圆必有交点.故选B.（六）直线与圆的位置关系例6.已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.（1）求圆和抛物线的标准方程；（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.【答案】（1）的标准方程为.的标准方程为（2）见证明【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为.已知在直线上，故可设因为，关于对称，所以，解得所以的标准方程为.因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为.（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为则到直线的距离为，所以，由消去并整理得：.设，，则，，.所以因为，，，所以所以，即.练习1．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）直线的斜率，的中点坐标为直线的方程为（2）设圆心，则由点在上，得．①又直径，，．②由①②解得或，圆心或圆的方程为或练习2．已知直线，曲线，若直线与曲线相交于、两点，则的取值范围是____；的最小值是___.【答案】【解析】直线l：kx﹣y k＝0过定点（1，），曲线C为半圆：（x﹣2）2+y2＝4（y≥0）如图：由图可知：k OP，k PE，∴；要使弦长AB最小，只需CP⊥AB，此时|AB|＝22，故答案为：[，]；．练习3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x2+y2＝1和点，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为_____．【答案】【解析】如图所示，取点K（﹣2，0），连接OM、MK．∵OM＝1，OA＝，OK＝2，∴，∵∠MOK＝∠AOM，∴△MOK∽△AOM，∴，∴MK＝2MA，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|，在△MBK中，|MB|+|MK|≥|BK|，∴|MB|+2|MA|＝|MB|+|MK|的最小值为|BK|的长，∵B（1，1），K（﹣2，0），∴|BK|＝.故答案为：．练习4．已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为_____，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．【答案】0或2 ．（七）圆与圆的位置关系例1．在平面直角坐标系中，已知点和直线：，设圆的半径为1，圆心在直线上.（Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线.（1）求圆的方程；（2）求切线的方程；（Ⅱ）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）(1)或（2）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）(1)由得圆心为，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：.（2）由圆方程可知过的切线斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即，∴，解之得：或，∴所求圆的切线方程为：或.即或.（Ⅱ）∵圆的圆心在直线：上，设圆心为，则圆的方程为：，又∵，∴设为，则整理得：，设为圆,∴点应该既在圆上又在圆上∴圆和圆有公共点，∴,即：，解之得：即的取值范围为：.练习1．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆.(1)求圆的方程；(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在，且个数为2【解析】(1)设外接圆的方程为,将代入上述方程得：解得则圆的方程为(2)设点的坐标为，因为，所以化简得：.即考查直线与圆的位置关系点到直线的距离为所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。
圆的解题技巧总结
切割线定理：圆的切线上任 意一点到圆心的距离等于该 点到切点的线段与切线垂直 的线段长度的乘积
圆心坐标为(h, k)， 半径为r
方程为(xh)^2+(yk)^2=r^2
圆的标准方程是描 述圆最常用的方程 形式，包含了圆心 坐标和半径的信息
通过圆的标准方程 可以求解出圆的半 径和圆心坐标
圆的一般方程 为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
圆的外切多边形：各边到圆心的距离相等，且等于半径
圆的内接多边形：各边到圆心的距离相等，且等于半径
外切多边形和内接多边形的性质：外切多边形的周长等于圆的周长，内接多边形的面积等于 圆的面积
解题技巧：利用外切多边形和内接多边形的性质，可以解决与圆相关的几何问题
圆的面积计算公式为：S=πr²，其 中r为圆的半径
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圆上三点确定一个圆 圆内接四边形对角互补 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对弧的圆心角的一半 直径所对的圆周角是直角
圆周角定理：圆周角等于同弧所对的圆心角的一半。 推论1：直径所对的圆周角等于直角。 推论2：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论3：同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于该弧所对圆心角的一半。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论1：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论2：两个弦切角相等，如果它们所夹的弧相等。
推论3：如果弦切角等于一个给定的角度，那么它所夹的弧所对的圆心角也等于这个角度 的两倍。
相交弦定理：圆的两条相交 弦的长度之积等于两弦之间 的弦心距的乘积
圆的解题技巧总结
圆的解题技巧总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=例3如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．1．忽视点的可能位置．例5△ABC是半径为2的圆的内接三角形，若3BC cm，则∠A的度数为______．22．忽视点与圆的位置关系．例6点P到⊙0的最短距离为2cm，最长距离为6cm，则⊙0的半径是______．3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7已知四边形ABCD是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，⊙0的半径是5cm，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8点P在⊙0外，OP=13cm，PA切⊙0于点A，PA=12cm，以P为圆心作⊙P与⊙0相切，则⊙P的半径是______．例9若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13cm和15cm，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD⊥OA 于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P ，试说明OB 是⊙P 的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12已知：如图，⊙O 为Rt△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13如图，⊙0为Rt△ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长．例14如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC ，OF⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是()A．180°B．90°C．120°D．135°例16圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是():π:1C．2：1D．3：1例17如图，小红要制作一个高4cm，底面直径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是()A．15πcm2B．6π13cm2D．30cm213cm2C．12π⋅例18下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD，BC=CD,AB=2AD,∠ABC＝∠ADB=90°．(1)求∠C的度数；(2)以C为圆心，CB为半径作圆弧BD得一扇形CBD，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC＝a，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20如图，△ABC中，内切圆⊙I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190； (2)A BIC o ∠+=∠2190． 例21如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为().A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21C ．r c b a ）（++31D ．r c b a ）（++41 七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例22如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为()A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是()A ．π323-B ．33π-C ．332π-D ．π-32 3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6cm ，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O '相切，点O '在CD 上，且AB∥CD ，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法例27如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是()A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π-C ．22.21a a π+-D ．2221a a π- 7．折叠法例28如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法例29如图所示，将半径为2cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF＝______cm．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点0为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．(1)求证：BN⋅=BCAB⋅BM(2)如果CM是⊙0的切线，N为OC的中点，当AC＝3时，求AB的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33如图，⊙02与半圆O l内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3⊙0的直径AB=2cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O 的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5（2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。
29-4圆的双解题
圆的双解题圆与圆的位置关系引起的多解1.若半径为7和9的两圆相切，则这两圆的圆心距长一定为 （ ）A. 16B. 2C. 2或16D. 不确定2.若⊙1O 和⊙2O 相交于B A 、两点，⊙1O 和⊙2O 的半径分别为2和2，公共弦长为2，则21AO O ∠的度数为 ( )A. ︒105B. ︒75或︒15C. ︒105或︒15D. ︒153.已知⊙A ，⊙B 相切，圆心距为10cm ，其中⊙A 的半径为4cm ，则⊙B 的半径为_______4.在ABC ∆中，︒=∠90C ，3=AC ，4=BC ，分别为点C A 、为圆心作⊙A 、⊙C ，且⊙C 与直线AB 不相交，⊙A 与⊙C 相切，设⊙A 半径为r ，那么r 的取值范围是_______.圆心两侧的对称（应）关系1.已知的半径是5cm ，弦CD AB //，cm AB 6=，cm CD 8=，则AB 与CD 的距离是（ ）A.1 cm B.7 cm C. 1 cm 或7 cm D. 无法判断2.⊙O 的直径cm BC cm AE 16,20==弦.D AE BC 于且⊥,则ABC ∆的面积为____________.3.在矩形ABCD 中，125==BC AB ，,⊙A 的半径为2，若以C 为圆心作一个圆，使⊙C 与⊙A 相切，那么⊙C 的半径为______________.4.⊙O 上有C B A 、、三点，34==AC AB ，,⊙O 的半径为3，则BC 的长为_____________.5.⊙O 中，弦CD AB 、相交于点E ，若︒=∠30AOC ，︒=∠60BOD ，则AEC ∠的度数为_______.6.如图，⊙A 的半径为2，过A （4,3）作直线l 平行于x 轴，交y 轴于B ，点P 由B 出发沿直线l 向右运动。
当直线OP 被⊙A 所截得弦长为5512时，则BP 的长为___________.点与圆的位置关系，弦与直径的关系变化1.一个点到圆上的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则圆的半径为cm ________.2.已知同心圆⊙O ，AB 为大圆的直径，CD 为大圆的弦，且CD 与小圆相切于点E ，若B A 、到弦CD 的距离分别为13和55，则小圆的半径为_______.3.已知⊙O 的直径AB=6，弦AC ，CD 的长分别为3和33，则ACD ∠=_______.圆内接三角形中的多解1.等腰ABC ∆内接于⊙O ，若⊙O 半径是5cm,底边BC 长8cm,这个等腰三角形腰长AB=__________cm.2.ABC ∆是⊙O 的内接三角形，OD ⊥BC ，垂足为D ，若︒=∠40BOD ，则BAC ∠的度数为__________。
九年级数学上学期期末考点大串讲专题02 对称图形——圆(23个考点)
专题02对称图形——圆（23个考点）【知识梳理+解题方法】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．八．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．九．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．十．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十一．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十二．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十三．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十四．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十五．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．十六．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十七．切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方＝P A•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC＝P A•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2＝P A•PB＝PC•PD．十八．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十九．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二十．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二十一．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．二十二．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积＝×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十三．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．【专题过关】一．圆的认识（共1小题）1．（2021秋•泰州月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．垂径定理（共2小题）2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2B．4C．5D．6三．垂径定理的应用（共3小题）4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米5．（2021秋•启东市校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD＝16cm，则球的半径为（）A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm6．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是寸．（1尺＝10寸）四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）7．（2020秋•梁溪区校级期中）下列语句，错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦8．（2021秋•溧水区期中）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．五．圆周角定理（共2小题）9．（2022•建湖县二模）如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝36°，D是弧AC的中点，那么∠BAC 的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．18°10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝．六．圆内接四边形的性质（共1小题）11．（2021秋•姜堰区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．70°C．80°D．90°七．相交弦定理（共2小题）12．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．13．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．八．点与圆的位置关系（共2小题）14．（2021秋•滨湖区校级月考）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．与⊙O的位置关系无法确定15．（2022•常州模拟）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（）A．OP＞4B．0≤OP＜4C．OP＞2D．0≤OP＜2九．确定圆的条件（共2小题）16．（2021秋•连云港月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．②C．③D．④17．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．一十．三角形的外接圆与外心（共3小题）18．（2021秋•苏州期末）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（2，3）C．（5，2）D．（1，4）19．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为．20．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．一十一．直线与圆的位置关系（共4小题）21．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（）A．x轴相交B．y轴相交C．x轴相切D．y轴相切22．（2022•徐州）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．23．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为；（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是．24．（2022•虎丘区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO 于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝5，CF＝3，求MF的长．一十二．切线的性质（共3小题）25．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（）A．1B．2C．3D．426．（2022•锡山区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．27．（2022•如东县一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB为直径作⊙O交AC与点D，过点D的切线交BC于点E．（1）求∠BED的度数；（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．一十三．切线的判定（共1小题）28．（2020•江阴市模拟）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sin B＝，BD＝5，求BF的长．一十四．切线的判定与性质（共6小题）29．（2022•高新区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ADE＝30°，AB＝6，求的长．30．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．31．（2022•盐城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（2）若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积．32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切线；③OB＝BD．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．33．（2022•洪泽区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD是过点C的直线，AE⊥CD，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC，AC恰好平分∠EAB．（2）若AC＝2，∠CAB＝30°，求阴影部分的面积．34．（2022•无锡模拟）如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若四边形ADBC是平行四边形，且AD＝4，求⊙O的半径．一十五．弦切角定理（共1小题）35．（2021•江阴市校级三模）如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°一十六．切线长定理（共2小题）36．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是．37．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．一十七．切割线定理（共1小题）38．（2020秋•溧阳市期末）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，P A＝4，那么PC的长等于（）A．6B．2C．2D．2一十八．三角形的内切圆与内心（共1小题）39．（2021秋•泰兴市期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm一十九．正多边形和圆（共2小题）40．（2022•惠山区校级二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF 的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°41．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝．二十．弧长的计算（共4小题）42．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（）A．B．C．πD．2π43．（2022•海门市二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF ＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．（1）求的长；（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．44．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．45．（2022•南通一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求∠ACB的度数；（2）若BC＝6，求的长．二十一．扇形面积的计算（共1小题）46．（2022•张家港市一模）如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝3：1，若此扇形OAB的面积为，则的长为（）A．B．C．D．二十二．圆锥的计算（共2小题）47．（2022•高新区二模）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A．B．2C．D．448．（2022•淮阴区校级一模）圆锥的高是，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（）A．2πB．C．4πD．π二十三．圆柱的计算（共2小题）49．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（）A．12cm2B．24cm2C．12πcm2D．24πcm250．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是．答案与解析【专题过关】一．圆的认识（共1小题）1．（2021秋•泰州月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．【点评】考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．二．垂径定理（共2小题）2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．【解答】解：如图所示，连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．∵点A的坐标为（0，4），∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2B．4C．5D．6【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，∵CD＝16，∴CE＝8，在Rt△COE中，OE＝，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，故选：B．【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．三．垂径定理的应用（共3小题）4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）。
直线与圆的位置关系中的两定问题
解题探索 直线与圆的位置关系中的两定问题符晓燕（江苏省如东高级中学，２２６４００） 直线与圆的位置关系是高中必修２的内容．在本节课的学习过程中，学生只有参与到直线和圆的位置关系的观察、抽象、归纳、概括、类比、转化、化归、分析与综合等数学活动中，才能实现直线和圆的位置关系的教育价值．其中直线与圆的位置关系中的两定问题是常见的考察学生综合能力的重要题型．这类问题中一般涉及变量或动点，但最终的数值或点却是一定的．解决这类问题的一般思路是利用方程思想探得定值或定点，利用设而不求或等式恒等的性质求出定点、定值．下面例举几例，与大家一起分享．１ 求值要笃志，切问而近思在直线与圆的位置关系中，定值问题是学生怕且不易解决的问题，所以要尽力的先得到结果，然后再三思切题．例１ 如图所示，已知圆Ａ的圆心在直线ｙ＝－２ｘ上，且该圆存在两点关于直线ｘ＋ｙ－１＝０对称，又圆Ａ与直线ｌ１：ｘ＋２ｙ＋７＝０相切，过点Ｂ（－２，０）的动直线ｌ与圆Ａ相交于Ｍ，Ｎ两点，Ｑ是ＭＮ的中点，直线ｌ与ｌ１相交于点Ｐ．（１）求圆Ａ的方程；（２）（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ ＢＰ是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由．分析：第一问是基础，第二问才是关键，在第二问中学生往往看到有三个动点就难以下笔了，有恒心的学生锲而不舍就能达到美丽的彼岸．解决的难点是要设点，设而不求．解：（１）由圆存在两点关于直线ｘ＋ｙ－１＝０对称知圆心Ａ在直线ｘ＋ｙ－１＝０上．由ｙ＝－２ｘ，ｘ＋ｙ－１＝０{，得Ａ（－１，２），设圆Ａ的半径为Ｒ，∵圆Ａ与直线ｌ１：ｘ＋２ｙ＋７＝０相切，∴Ｒ＝｜－１＋４＋７｜槡５槡＝２５，∴圆Ａ的方程为（ｘ＋１）２＋（ｙ－２）２＝２０．（２）法一（三个动点）设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），Ｐ（ｘ０，ｙ０）（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ ＢＰ＝［（ｘ１＋２，ｙ１）＋（ｘ２＋２，ｙ２）］·（ｘ０＋２，ｙ０）＝（ｘ１＋ｘ２＋４，ｙ１＋ｙ２）·（ｘ０＋２，ｙ０） 只要把直线与圆联立，求出ｘ１＋ｘ２，ｙ１＋ｙ２，ｘ０，ｙ０即可．当直线ｌ的斜率存在时，设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ＋２），由ｙ＝ｋ（ｘ＋２），ｘ＋２ｙ＋７＝０{，解得Ｐ－４ｋ－７１＋２ｋ，－５ｋ１＋２()ｋ，∴→ＢＰ＝－５１＋２ｋ，－５ｋ１＋２()ｋ，（ｘ＋１）２＋（ｙ－２）２＝２０，ｙ＝ｋ（ｘ＋２）{．消去ｙ，得ｘ１＋ｘ２＝－４ｋ２＋４ｋ－２１＋ｋ２，ｙ１＋ｙ２＝４ｋ２＋２ｋ１＋ｋ２{．代入 式得（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ＢＰ＝４ｋ＋２１＋ｋ２，４ｋ２＋２ｋ１＋ｋ()２·－５１＋２ｋ，－５ｋ１＋２()ｋ＝－５（４ｋ＋２）－５ｋ（４ｋ２＋２ｋ）（１＋ｋ２）（１＋２ｋ）＝１０，当直线ｌ与ｘ轴垂直时，得Ｍ（－２，槡２＋１９），Ｎ（－２，槡２－１９），Ｐ－２，－()５２，则→ ＢＰ＝０，－()５２，又→ ＢＭ＋→ ＢＮ＝（０，４），∴（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ＢＰ＝（０，４）·－２，－５()２＝－１０．∴（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ ＢＰ＝２→ ＢＡ·→ ＢＰ＝－１０．法二（两个动点）∵ＡＱ⊥ＢＰ，∴→ ＡＱ·→ＢＰ＝０，∴（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ ＢＰ＝２→ ＢＱ·→ ＢＰ；ｘＱ＝ｘ１＋ｘ２２，ｙＱ＝ｙ１＋ｙ２２．当直线ｌ与ｘ轴垂直时，得Ｐ－２，－()５２，·８６·则→ ＢＰ＝０，－()５２，又，Ｑ（－２，２），→ＢＱ＝（０，２），∴（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ ＢＰ＝２→ ＢＱ·→ ＢＰ＝－１０；当直线ｌ的斜率存在时，设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ＋２），由ｙ＝ｋ（ｘ＋２），ｘ＋２ｙ＋７＝０{，解得Ｐ－４ｋ－７１＋２ｋ，－５ｋ１＋２()ｋ，∴→ＢＰ＝－５１＋２ｋ，－５ｋ１＋２()ｋ，∴（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ ＢＰ＝２→ ＢＱ·→ ＢＰ＝２２ｋ＋１１＋ｋ２，２ｋ２＋ｋ１＋ｋ()２·－５１＋２ｋ，－５ｋ１＋２()ｋ＝－１０，综上所述，（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ＢＰ为定值－１０．法三（一个动点）∵ＡＱ⊥ＢＰ，∴→ ＡＱ·→ＢＰ＝０，∴（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ ＢＰ＝２→ ＢＱ·→ ＢＰ＝２（→ ＢＡ＋→ ＡＱ）·→ ＢＰ＝２→ ＢＡ·→ ＢＰ；当直线ｌ与ｘ轴垂直时，得Ｐ－２，－()５２，则→ ＢＰ＝０，－()５２，又→ ＢＡ＝（１，２），∴（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ ＢＰ＝２→ ＢＡ·→ ＢＰ＝－１０；当直线ｌ的斜率存在时，设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ＋２），由ｙ＝ｋ（ｘ＋２），ｘ＋２ｙ＋７＝０{，解得Ｐ－４ｋ－７１＋２ｋ，－５ｋ１＋２()ｋ，∴→ＢＰ＝－５１＋２ｋ，－５ｋ１＋２()ｋ，∴（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ ＢＰ＝２→ ＢＡ·→ ＢＰ＝２－５１＋２ｋ－１０ｋ１＋２()ｋ＝－１０，综上所述，（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ＢＰ为定值－１０．学生对于这一方法比较容易接受，计算量小．法四（没有动点）设直线ｌ１与圆的切点为Ｔ，课证得Ａ，Ｂ，Ｔ三点共线，（→ ＢＭ＋→ ＢＮ）·→ ＢＰ＝２→ ＢＡ·→ ＢＰ＝２→ ＢＡ·（→ＢＴ＋→ ＴＰ）．由于→ ＢＡ⊥→ ＴＰ，所以２→ ＢＡ·（→ ＢＴ＋→ ＴＰ）＝２→ ＢＡ·→ ＢＴ＝－２｜→ ＢＡ｜｜→ ＢＴ槡槡｜＝－２×５×５＝－１０，这个结论中的三个点都是定点，故结果为定值，且两向量共线，所以只要计算其模即可了．也可通过几何知识用相似得到结果．此方法是运用数量积的定义，转化成投影来计算，从而得出数量积为定值与直线ｌ的斜率无关．这也是向量的本质所在．这种方法的思维能力要求极高，但是学生不易接受，但是培养学生的深层次的思考有助于学生的开拓性思维．２ 定点在苍穹，天高任鸟飞定点的求法，思路要开阔，有时定点定值可以互换位置，故一般要求学生找准思路．例２ 已知直线ｌ：４ｘ＋３ｙ＋１０＝０，半径为２的圆Ｃ与ｌ相切，圆心Ｃ在ｘ轴上且在直线ｌ的右上方．（１）求圆Ｃ的方程；（２）过点Ｍ（１，０）的直线与圆Ｃ交于Ａ，Ｂ两点（Ａ在ｘ轴上方），问在ｘ轴正半轴上是否存在定点Ｎ，使得ｘ轴平分∠ＡＮＢ？若存在，请求出点Ｎ的坐标；若不存在，请说明理由．解：（１）设圆心Ｃ（ａ，０）ａ＞－()５２，则｜４ａ＋１０｜５＝２，解得ａ＝０或ａ＝－５（舍）．所以圆Ｃ的方程为ｘ２＋ｙ２＝４．（２）当直线ＡＢ⊥ｘ轴时，ｘ轴平分∠ＡＮＢ．当直线ＡＢ的斜率存在时，设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），Ｎ（ｔ，０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），由ｘ２＋ｙ２＝４，ｙ＝ｋ（ｘ－１{），得（ｋ２＋１）ｘ２－２ｋ２ｘ＋ｋ２－４＝０，所以ｘ１＋ｘ２＝２ｋ２ｋ２＋１，ｘ１ｘ２＝ｋ２－４ｋ２＋１．若ｘ轴平分∠ＡＮＢ，则ｋＡＮ＝－ｋＢＮ，即ｙ１ｘ１－ｔ＋ｙ２ｘ２－ｔ＝０，则ｋ（ｘ１－１）ｘ１－ｔ＋ｋ（ｘ２－１）ｘ２－ｔ＝０，即２ｘ１ｘ２－（ｔ＋１）（ｘ１＋ｘ２）＋２ｔ＝０，亦即２（ｋ２－４）ｋ２＋１－２ｋ２（ｔ＋１）ｋ２＋１＋２ｔ＝０，解得ｔ＝４，所以当点Ｎ坐标为（４，０）时，能使得∠ＡＮＭ＝∠ＢＮＭ总成立．变题１：若过点Ｍ（１，０）的直线与圆Ｃ交于Ａ，Ｂ两点（Ａ在ｘ轴上方），已知Ｎ（４，０）直线ＡＮ和ＢＮ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，求证：ｋ１＋ｋ２为定值．解：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），当直线ＡＢ的斜率不存在时，Ａ（１，槡３），Ｂ（１，槡－３），ｋ１＋ｋ２＝槡３１－４＋槡－３１－４＝０．当直线ＡＢ的斜率存在时，设为ｋ，直线ＡＢ的方·９６·程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｘ２＋ｙ２＝４{，消去ｙ，ｘ１＋ｘ２＝－２ｋ１＋ｋ２，ｘ１ｘ２＝－３１＋ｋ２，ｋ１＋ｋ２＝ｙ１ｘ１－４＋ｙ２ｘ２－４＝ｋ（ｘ１－１）ｘ１－４＋ｋ（ｘ２－１）ｘ２－４＝２ｋ＋３ｋ１ｘ１－４＋１ｘ２()－４＝２ｋ＋３ｋｘ１＋ｘ２－８（ｘ１－４）（ｘ２－４）＝２ｋ＋３ｋ×－()２３＝０．综上ｋ１＋ｋ２＝０．变题２：若已知Ｎ（４，０），直线ＡＮ和ＢＮ与圆分别交于Ａ，Ｂ两点，且直线ＡＮ和ＢＮ的斜率分别为ｋ１＋ｋ２＝０，求证：直线ＡＢ过定点．解：若直线ＡＢ的斜率存在，设为ｋ，直线ＡＢ的方程设为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，ｙ＝ｋｘ＋ｂ，ｘ２＋ｙ２＝４{，消去ｙ，ｘ１＋ｘ２＝－２ｋｂ１＋ｋ２，ｘ１ｘ２＝ｂ２－４１＋ｋ２ｋ１＋ｋ２＝ｙ１ｘ１－４＋ｙ２ｘ２－４＝ｋｘ１＋ｂｘ１－４＋ｋｘ２＋ｂｘ２－４＝２ｋ＋（４ｋ＋ｂ）１ｘ１－４＋１ｘ２()－４＝２ｋ＋（４ｋ＋ｂ）ｘ１＋ｘ２－８（ｘ１－４）（ｘ２－４）＝２ｋ＋（４ｋ＋ｂ）－２ｋｂ１＋ｋ２－８ｂ２－４１＋ｋ２＋８ｋｂ１＋ｋ２＋１６＝２ｋ＋（４ｋ＋ｂ）－２ｋｂ－８（１＋ｋ２）（ｂ２－４）＋８ｋｂ＋１６（１＋ｋ２）＝２ｋ－（４ｋ＋ｂ）２ｋ（４ｋ＋ｂ）＋８（４ｋ＋ｂ）２＋１２＝０，∴ｂ＝－ｋ，ｙ＝ｋ（ｘ－１）．直线ＡＢ过定点（１，０）．若直线的斜率不存在则符合条件的直线ＡＢ可以有无数条，其中也包括过点（１，０）的，综上直线ＡＢ过定点（１，０），得证．例２是过ｘ轴上的定点的，只有一个变量，根据条件可以求出该变量，从而求出定点；变题２是直线中由斜率和纵截距两个变量，一般是求出斜率与纵截距的关系，有点斜式可得定点；变１是由定点可得定值是两定之间的位置互换，且在极限情况下的也能保证结论成立．参考文献：［１］伍春兰．直线与圆的位置关系的数学味道［Ｊ］．数学通报，２０１６，５５（２）檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸．（上接第６７页）例题４ 已知函数ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，ｇ（ｘ）＝λ（ｘ２－１）（λ为常数），若对 ｘ∈［１，＋∞），不等式ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）恒成立，求实数λ的取值范围．解答：令ｈ（ｘ）＝λ（ｘ２－１）－ｘｌｎｘ，ｈ′（ｘ）＝２λｘ－ｌｎｘ－１．令ｕ（ｘ）＝２λｘ－ｌｎｘ－１，ｕ′（ｘ）＝２λ－１ｘ．（１）当λ≥１２时，∵ｘ＞１，∴２λ－１ｘ＞０，∴ｕ′（ｘ）＞０．∴ｕ（ｘ）在（１，＋∞）上单调增，∴ｕ（ｘ）＞ｕ（１）＝２λ－１≥０．∴ｈ′（ｘ）＞０，∴ｈ（ｘ）在［１，＋∞）上单调增，∴ｈ（ｘ）≥ｈ（１）＝０恒成立．（２）当０＜λ＜１２时，令ｕ′（ｘ）＝０，∴ｘ＝１２λ．当ｘ∈１，１２()λ时，ｕ′（ｘ）＜０．此时ｕ（ｘ）＜ｕ（１）＝２λ－１＜０，所以当ｘ∈１，１２()λ，ｈ′（ｘ）＜０．所以ｈ（ｘ）在ｘ∈１，１２()λ上单调减，∴ｈ（ｘ）＜ｈ（１）＝０，不满足题意．（３）当λ≤０，显然不恒成立．综上所述，λ≥１２．本题跟例题３一样，如果分离参数则求不出函数的最值，无法求解．本题要先把不等式ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）移项，构造函数ｈ（ｘ）＝λ（ｘ２－１）－ｘｌｎｘ然后再用含参函数讨论法求解即可．含参不等式恒成立问题，虽然题目涉及知识面广，但是常见的转化就是上面两种方法，我们通常首选分离参数法，如果分离参数不能求解时，我们再构造函数，用含参函数讨论法来求解．·０７·。
与圆相关题的解题策略
与圆相关题的解题策略作者：赵钦荣来源：《初中生·考试》2010年第11期数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括,是数学能力与数学素养的重要组成部分. 在解具体数学题的过程中,能够总结出解题方法和思路,就可以收到举一反三、事半功倍的效果.下面把解与圆相关题的策略总结如下.一、构造法例1(2010年上海卷)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”,如图1所示,“海宝”从圆心O出发,先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处,再沿正南方向行走14米至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B、C都在圆O上.(1)求弦BC的长;(2)求圆O的半径.(本题参考数据:sin67.4°=■,cos67.4°=■,tan67.4°=■)解:(1)过点O作OD⊥AB,则∠AOD+∠AON=90°,即sin∠AOD=cos∠AON=■.AD=AO×sin∠AOD=13×■=5,OD=AO×sin67.4°=13×■=12.由已知可得AB∥NS,AB⊥BC,所以E点是BC的中点,且BE=DO=12.所以BC=24.(2)连接OB.OE=BD=AB-AD=14-5=9.在Rt△BEO中,BE=12,所以BO=■=■=■=15,即圆O的半径为15米.温馨小提示:理解方位角的概念,根据垂径定理构造直角三角形是解题的前提.二、分类讨论法例2⊙O和⊙O1相切于A,直线OO1交⊙O于另一点B,交⊙O1于另一点F,过B点作⊙O1的切线,切点为D,交⊙O于C点,DE⊥AB,垂足为E. 求证:CD=DE.证明:当两圆内切时,如图2.连接DF、AD.∵ AF为⊙O1的直径,∴ FD⊥AD.又DE⊥AB,∴∠DFE=∠EDA.在△EDA和△CDA中,∵ BC为⊙O1的切线,∴∠CDA=∠DFE, 从而∠CDA=∠EDA.连接AC, AB为⊙O的直径,∴ AC⊥BC.又AD公共,∴ Rt△EDA≌Rt△CDA.∴ CD=DE.当两圆外切时,如图3,结论仍成立.证明略.温馨小提示:证明此题要注意两点,两圆相切分内切和外切两种;两圆相切,切点一定在两圆圆心的连线上.三、方程法例3如图4,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,弦CD、AF相交于点G,过点D作⊙O的切线交AF的延长线于M,且■=■.(1)在图中找出相等的线段(直接在横线上填写,所写结论至少3组,所添辅助线段除外,不写推理过程):.(2)连接AD、DF,若AO=■■,OE=■■,求AC∶DF的值.解:(1)CE=DE,AG=CG,DG=FG.(2)连接AC. ∵ AB⊥CD,∴ EC=ED,AC=AD.由相交弦定理,得AE·BE=CE2.∴ CE=3.∴ CD=AF=6.又∵∠GDF=∠GFD,∴ GD=GF.设EG=x,则AG=6-(3-x)=3+x.在Rt△AEG中,AG2=AE2+EG2,∴ (3+x)2=(■)2+x2,解得x=1.而△AGC∽△DGF,∴ ■=■=■=2.温馨小提示:要熟练掌握垂径定理、圆周角定理、相交弦定理和切割线定理,这是解题的基础.四、整体求解法例4有六个等圆拼成甲、乙、丙三种形状,使相邻两圆均互相外切,如图5所示,圆心的连线(虚线)分别构成正六边形、平行四边形和正三角形,将圆心连线外侧的6个扇形(阴影部分)的面积之和依次记为S、P、Q,则().A. S>P>QB. S>Q>PC. S>P且P=QD. S=P=Q分析:逐一计算各个图形中阴影部分的面积,显然有些麻烦. 若将六个扇形的圆心角视为一个整体,则可以利用多边形内角和定理,整体求解.解:在图甲中,六个圆心角之和为n1=(6-2)×180°=720°;图乙中六个圆心角之和为平行四边形的内角和加上两个半圆的圆心角,即n2=360°+2×180°=720°;图丙中六个圆心角之和为三角形内角和加上三个半圆的圆心角,即:n3=180°+3×180°=720°.由此可见,这三个图形中的六个扇形的面积之和是相等的. 因此,它们外部阴影部分的面积相等,即S=P=Q. 选D.温馨小提示:观察图形特点,从整体上考虑问题是求解的关键.五、割补法例5如图6,将半径为2 cm的⊙O分割成十个区域,其中弦AB、CD关于点O对称,EF、GH 关于点O对称,连接PM,则图中阴影部分的面积是cm2(结果用π表示).分析:如图6,根据对称性可知,S1=S2,S3=S4,S5=S6,S7=S8. 因此阴影部分的面积是整个圆面积的■,应为■π×22=2π(cm2).温馨小提示:把阴影部分分成5部分,圆的剩余部分也分成5部分,使之对应面积两两相等,这样能简捷求解. ■。
圆与圆题型及解题方法
圆与圆题型及解题方法圆与圆的题型是高中数学中比较常见的类型之一，也是学生们必须掌握的知识点。
在解决这类问题时，我们需要掌握基本的圆的性质和相关定理，并且善于运用代数方法和几何方法进行求解。
下面，我们将介绍一些常见的圆与圆题型以及解题的方法。
一、两圆位置关系1.两圆相离：两圆不相交，相离的情况下，它们的距离可以通过两圆心的距离公式来求解。
2.两圆相切：两圆相切于一点，它们的半径和圆心之间的距离相等。
3.两圆相交：两圆相交于两个不同的交点，交点的数量可以通过求解联立方程来求出。
4.一个圆在另一个圆内部：内切情况下，两圆心的距离小于两圆的半径之差。
外切情况下，两圆心的距离大于两圆的半径之和。
5.两个圆完全重合：两个圆重合，它们的半径和圆心重合。
二、圆的切线圆的切线是指与圆相切于某一点的直线，可以通过画圆心的连线，利用三角形的性质来求出切线的长度。
三、圆的公切线公切线是指两个圆的外切线或内切线，包括两个圆的外公切线、内公切线和一个圆内切另一个圆的内公切线。
可以通过利用两个圆的半径和圆心之间的距离公式，求解公切线的长度。
四、圆的内接四边形内接四边形是指四边形的四个角都在圆上，可以利用勾股定理和圆上对角线互补定理来求解内接四边形的各个角度，从而求出周长和面积。
五、圆的切线定理切线定理是指，从圆外一点引一条切线和从这个点引一条割线，割线与圆的交点分别连接圆心，两条线段的长度相等。
可以利用圆的半径和割线的长度来求解切线的长度。
总之，圆与圆的题型是高中数学中重要的知识点之一，需要学生们掌握基本的圆的性质和相关定理，并且善于应用代数方法和几何方法进行求解。
通过反复练习和对圆的理解深入，我们可以在解决圆与圆的问题中得心应手，并且在高考中取得优异的成绩。
初三数学圆知识点总结和解题技巧
初三数学圆知识点总结和解题技巧初中数学几何中圆是比较重要的一部分,下面给大家总结了,初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧,来看看吧初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧初三数学圆知识点总结一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径;2、直线圆的与置位关系1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心5.垂于直径半直线必为圆的的切线6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线7.垂于直径半直线是圆的的切线8.圆切线垂的直过切于点半径3、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”二、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;3平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等;垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧三、弦、弧等与圆有关的定义1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦;如图中的AB2、直径经过圆心的弦叫做直径;如途中的CD直径等于半径的2倍;3、半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆;4、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“ ”,读作“圆弧AB”或“弧AB”;大于半圆的弧叫做优弧多用三个字母表示;小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角;2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距;3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等;推论：在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等;六、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角;2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等;推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;七、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有：dd=r 点P在⊙O上;d>r 点P在⊙O外;八、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆;2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆;3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心;4、圆内接四边形性质四点共圆的判定条件圆内接四边形对角互补;九、反证法先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法;十、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系,具体如下：1相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;2相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,3相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离;如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d>r;十一、切线的判定和性质1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径;十二、切线长定理1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长;2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角;十三、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种;如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种;如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交;2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距;3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么两圆外离d>R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r两圆内切d=R-rR>r两圆内含dr4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;十四、三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆;2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心;十五、与正多边形有关的概念1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心;2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径;3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距;4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角;十六、正多边形和圆1、正多边形的定义各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形;2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆;十七、正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形;一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心;2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心;3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形;十八、弧长和扇形面积1、弧长公式n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为2、扇形面积公式其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长;3、圆锥的侧面积其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径;初中数学圆解题技巧半径与弦长计算,弦心距来中间站;圆上若有一切线,切点圆心半径连;切线长度的计算,勾股定理最方便;要想证明是切线,半径垂线仔细辨;是直径,成半圆,想成直角径连弦;弧有中点圆心连,垂径定理要记全;圆周角边两条弦,直径和弦端点连;弦切角边切线弦,同弧对角等找完;要想作个外接圆,各边作出中垂线;还要作个内接圆,内角平分线梦圆;如果遇到相交圆,不要忘作公共弦;内外相切的两圆,经过切点公切线;若是添上连心线,切点肯定在上面;要作等角添个圆,证明题目少困难;辅助线,是虚线,画图注意勿改变;假如图形较分散,对称旋转去实验;基本作图很关键,平时掌握要熟练;解题还要多心眼,经常总结方法显;切勿盲目乱添线,方法灵活应多变;分析综合方法选,困难再多也会减;虚心勤学加苦练,成绩上升成直线;以上就是初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧,的详细介绍希望对您有所帮助;。
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=> 与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λAx ＋By ＋Ｃ＝０λ∈Ｒ3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0,2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ22y x +＋222F y E x D ++＝0λ≠-１,此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０ 特别地,当λ＝－１时,上述方程为根轴方程．两圆相交时,表示公共弦方程；两圆相切时,表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ,可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-= 二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点,并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程; 解一：求出两交点-1,3-6,-2,再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式;注：标准式中可先求圆心的两个坐标,而圆心正好在两交点的中垂线上;解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：1．两交点的中垂线与直线相交；2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；3．两圆心连线与直线相交;解三：利用圆系方程求出圆心坐标,圆心在直线方程上,代入直线方程求解; 例１、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 解：方法3：由题可设所求圆的方程为：22y x +＋3x －y －2＋λ2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０∵ 0,0在所求的圆上,∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０;2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例21：求过两圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的交点且面积最小的圆的方程;分析：本题若先联立方程求交点,再设所求圆方程,寻求各变量关系,求半径最值,虽然可行,但运算量较大;自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行;为了避免讨论,先求出两圆公共弦所在直线方程;则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题;解：圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的公共弦方程为22110x y +-=过直线22110x y +-=与圆225x y +=的交点的圆系方程为 2225(2211)0x y x y λ+-++-=,即2222(1125)0x y x y λλλ+++-+=依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心(,)λλ--必在公共弦所在直线22110x y +-=上;即22110λλ--+=,则114λ=- 代回圆系方程得所求圆方程22111179()()448x y -+-= 例２2; 求经过直线l ：2x ＋y ＋4＝０与圆Ｃ：22y x +＋2x －4y ＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程． 解：设圆的方程为：22y x +＋2x －4y ＋1＋λ2x ＋y ＋4＝０ 即22y x +＋y x )4()1(2-++λλ＋1＋4λ＝０则[]54)58(45)41(4)4()1(4412222+-=+--++=λλλλr ,当λ＝58时,2r 最小,从而圆的面积最小,故所求圆的方程为：2255y x +＋26x －12y ＋37＝０ 练习：1．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +7=0的两个交点且过原点的圆的方程;常数项为零2．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且圆心在x 轴上的圆的方程;圆心的纵坐标为零3．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且面积最小的圆方程;半径最小或圆心在直线上4．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且与x 轴相切的圆的方程；并求出切点坐标;圆心到x 轴的距离等于半径3、利用圆系方程求参数的值：例3：已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P,Q 两点,O 为坐标原点,若OP OQ ⊥,求实数m 的值;分析：此题最易想到设出1122(,),(,)P x y Q x y ,由OP OQ ⊥得到12120x x y y +=,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于m 的方程,最后验证得解;倘若充分挖掘本题的几何关系OP OQ ⊥,不难得出O 在以PQ 为直径的圆上;而P,Q 刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程;解：过直线230x y +-=与圆2260x y x y m ++-+=的交点的圆系方程为： 226(23)0x y x y m x y λ++-+++-=,即22(1)2(3)30x y x y m λλλ++++-+-=………………….①依题意,O 在以PQ 为直径的圆上,则圆心1(,3)2λλ+--显然在直线230x y +-=上,则12(3)302λλ+-+--=,解之可得1λ=又(0,0)O 满足方程①,则30m λ-=,故3m =;4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例4 圆系22y x +＋2k x ＋4k ＋10y ＋10k ＋20＝０k ∈Ｒ,k ≠-１中,任意两个圆的位置关系如何解：圆系方程可化为：22y x +＋10y ＋20＋k 2x ＋4y ＋10＝０∵ 与k 无关 ∴ ⎩⎨⎧=+++=++020*********y y x y x 即⎩⎨⎧=++=++5)5(05222y x y x 易知圆心０,-５到直线x ＋2y ＋5＝０的距离恰等于圆22)5(++y x ＝５的半径．故直线x ＋2y ＋5＝０与圆22)5(++y x ＝５相切,即上述方程组有且只有一个解,从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点,故它们的关系是外切或内切．总结：在求解过直线与圆,圆与圆交点的圆有关问题时,若能巧妙使用圆系方程,往往能优化解题过程,减少运算量,收到事半功倍的效果;。
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1、已知：点P到⊙O的最短距离为2cm，最长距离为8cm，求圆的半径。
分析：如图，R＝5cm或R＝3cm
2、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长。
分析：
（1）O点在△ABC内部，由Rt△BOD得BD＝4，由Rt△ABD得AB＝4■。
（2）O点在△ABC外部，得AB=2■。
3、已知：在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB//CD，求AB与CD之间的距离。
分析：平行弦在圆心的同侧或异侧。
∴AB与CD之间的距离为22cm或8cm
4、已知：半径为5cm的⊙O中，平行弦AB、CD间的距离为1cm，AB=8cm。
求：另一条弦CD长
分析：平行弦在圆心两侧的情况不存在，在同侧的位置有两种，如图CD的长为2■和6。
5、已知：圆的半径为2cm，圆中一条弦长等于半径，则圆心到弦的距离为_____，此弦所对的圆周角是_____。
分析：一弦对两个圆周角，△OAB为等边三角形。
∴圆心到弦的距离为■cm
∠ACB＝30°，∠ADB＝150°
6、已知：直径AB，AC、AD为弦，AB＝2cm，AC＝■cm，AD＝1cm。
求：∠CAD的度数
分析：D点位置如图有两种
∴∠CAD＝15°或105°
7、已知：顶角∠A＝50°的等腰△ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，求∠ADB的度数。
分析：AB为⊙O的弦，把⊙O分成两条弧，D点位置不确定可分别位于两条弧上。
∴∠ADB＝115°或65°
8、已知：相交两圆的公共弦长为6cm，两圆的半径分别为3■cm和5cm，求这两个圆的圆心距。
分析：两个圆心位于公共弦的同侧或异侧
∴两个圆的圆心距为1cm或7cm
9、已知：两圆的半径分别为1cm和3cm，若两圆相切，求圆心距。
分析：相切分内切和外切两种情况
∴圆心距为2cm或4cm。