天津理工大学复变复习题解(留)

课后习题参考解答第一部分 复变涵数 课后习题一 1、解（1）()(),1321334923232323231i i i i i i z -=+-=-+-=+=实部(),133Re =z虚部()32arctan arg ,32tan ,1313132133,132133132Im 2-=-==⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=-=z z i z z ϑ ()()()().2523232323311131312i i i i i i i i i i ii i z -=-+-=+--=+-+--=--=()().3421425492523,2523,25Im ,23Re 22=+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-==z i z z z 35arctan arg ,35tan -=-=z ϑ2、解 ()πππi e i =+=-sin cos 11()32223s in 3c o s 2,3a r g ,3t a n ,231,31ππππϑi e i z z z r i z =⎪⎭⎫ ⎝⎛+====+==+=3、解 ()()()()6arg ,3331tan ,213,3,31225πϑ-=-=-==-+=-=-z z i z i 记 ()i i i i i z 1631621233265sin 65cos 26sin 6cos 23,6sin 6cos 2555--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππ ()5,,1,0,62s in62c o s s in c o s 1266 =+++=+=-k k i k i ππππππi i w k 21236sin6cos,00+=+==ππ;i i w k =+==63sin 63cos 11ππ;i i w k 212365sin 65cos ,22+-=+==ππ;ii w k 212367sin 67cos ,30--=+==ππi i w k -=+==69sin 69cos,40ππ;i i w k 2123611sin 611cos,55-=+==ππ4、解()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+=-=-==+32sin 32cos 2sin cos 88,8,0813333ππππππk i k i x x x ，k=0,1, 2 i i w k 313sin 3cos 2,00+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ππ时;233sin 33cos 2,11-=⎪⎭⎫⎝⎛+==ππi w k 时i i w k 3135sin35cos 2,21-=⎪⎭⎫⎝⎛+==ππ时 ()082=+'''y y 微分方程的特征方程为3λ08=+，由上题的结果知此特征方程的根为i i 31,31,2321-=+=-=λλλ。

故08=+'''y y 微分方程的通解为()x c x c e e c y x 3si n 3cos 3221++=-λ.5、不等式π+-<<-1arg 1z 确定的区域为由射线1-=ϑ及πϑ+-=1构成的角区域，不包括两射线在内。

即为一半平面。

是无界的单连通区域。

如图所示。

（2）设iy x z +=，不等式141+<-z z 即()()y x y x ++<+-222141，两边平方得，()()22221161y x y x ++<+-15153415,1616321612222222->+++++<++-y x x y x x y x x经配方得2221581517⎪⎭⎫ ⎝⎛>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 。

此不等式所确定的区 域为中心在1517-=z 半泾为158的圆的外部区域（不包括圆周在内）是无界的多连通的。

如图所示。

（3）设,iy x z +=代入不等式622≤++-z z 得()(),6222222≤++++-y x y x 移项得()()2222262y x y x ++-≤++-两边平方得()()()2222222122362y x y x y x ++-+++≤+-()222222212453644y x y x x y x x ++-++++≤+++()(),2923,8362122222x y x x y x +≤+++≤++两边平方得()(),3648129222x x y x ++≤++x x y x x 36481936369222++≤+++159,45952222≤+≤+y x y x 15922=+y x 及其围成所以此不等式所确定的区域为椭圆。

的区域，有界单连通区域。

如图所示。

（4）设z=x+iy ()()222222Re Re y x xyi y x z -=+-=, 22y x -<1所确定的区域为等轴双曲线122=-y x 两支之间的部分。

6、解（1）,sin ,cos ,sin cos t b y t a x t ib t a z ==+=则1sin cos ,sin ,cos 2222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==b y a x t t b y t a x t 。

即椭圆12222=+by a x (),2ti t z +=令1,1,===xy ty t x ，即映射成等轴双曲线1=xy 。

7、解 记z=x+iy ()()22222211y x yi y x x y x iy x iy x iy x iy x iyx zw --+-=--=-+-=+==()()()x y x v y x u x i x y y i x x w x y 21,,,212122,122=-=-=-==即直线y=x 映射成直线u= —v 。

()()x y x y x x y x 2,112,112222222=+=++-=+-,222222x y i xx y x y i y x x w -=+-+=即映射成直线u=21..8、证明定理三 证 由定理一可知()()()()0.0.00,,lim 0y x iv y x u z f z f z z +==→ 的充要条件为()()00,,lim 00y x u y x u y y xx =→→， ()()00,,lim 0y x v y x v y y x x =→→再根据复变函数与二元实变量连续的定义可知，定理三成立。

9、证 因为()z f 在0z 连续，则()()0lim 00≠=→z f z f z z 。

故()0>z f 取()2z f =ε，由极限定义可知，必存在一正数()0>εδ使得当()εδ<-<00zz时有()()()200z f z f z f <-，由不等式()()()()()2000z f z f z f z f z f <-≤-可得()()()()22000z f z f z f z f <-<-从而 ()()()002320z f z f z f <<<于是，在邻域()εδ<-0z z 内()0≠z f 。

10、证 ()()()y y x v x y x u iy x z z f -==-==,,,,。

因为()()y x v x y x u ,,,=在全平面处处连续，故由定理三可知，()z z f =在复平面处处连续。

课后习题二 1、 解 ()zz f 1=，由导数定义知()()()220200011lim lim 11lim lim zz z z z z z z z z z z z z z f z z f z f z z z z -=∆+-=∆∆+∆-=∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆2、解 ()()()()y y x v x y x u iy x z f -==-=,,,,1221,0,0,2-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yv xv y u x x u，x v y u ∂∂-=∂∂成立，要使y v x u ∂∂=∂∂成立只要12=x ，21-=x ,故在直线21=z 上函数可导。

而在复平面上处处不解析。

()()()()33233,,2,,322y y x v x y x u i y x z f ==+=229,0,6y y v x v y u x x u =∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂要使yvx u ∂∂=∂∂成立，只要 ,9622y x =即y x 32±=，故此函数只在直线y x 32±=上可导，但在复平面上处处不解析。

3、解 ()()()()(),15,1145-='-=z z f z z f 故()z f 在复平面上处处解析。

()()(),1,01,12,1122222±==---='-=z z zzz f z 故除了点1±=z 外，此函数在复平面内处处解析。

4、解 ()(),112++=z z z z f 由()12+z z =0得,1,0±==z z 故()z f 的奇点为1,0±。

5、解 因为()(),2323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数()()2323,,,lxy x y x v y nx my y x u +=+=，.2,3,3,22222lxy yv ly x x v nx my y u nxy x u =∂∂+=∂∂+=∂∂=∂∂ 由于柯西－黎曼方程成立，故()()⎩⎨⎧--=+=2331222222lyx nx my lxy nxy ，由于对任薏的x,y 值两等式成立，故 由（1）知n=l,由（2）知3m=-l ,n=--3, 故n=l=-3。

6、解 ()()0cos sin sin sin 1=+=+=xshy i xchy iy x z ，于是()()⎩⎨⎧==20cos 10sin xshy xchy 因为0≠chy ，由（1）式得() ,2,1,00si n ±±==⇒=k k z x π 代入（2）得0cos =shy k π()00,,2,1,0,1cos =⇒=±±=±=y shy k k π。

()()()()()i k k i Ln z e e k z zππ1221arg 1ln 1,1012+=+-+=-=-=⇒=+（ ,2,1,0±±=k ）7、()()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-+-=-πππk i k i i i i Ln 2202arg ln 1=() ,2,1,0212±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-k i k π ()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-++-=+-πk i i i i i Ln 234arctan 5ln 43arg 43ln 432 () ,2,1,0234arctan 5ln ±±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=k k i ππ()()ie i e i e e e e i i -=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=--02sin 2cos 3221ππππ()()[]()3ln sin 3ln cos 34263ln 23arg 3ln 3i e e e e k k i k i i iLn i+====--++πππ()()()()[]{}πk i i i i i i i e e i 21a r g 1ln 115+++++==+()2ln sin 2lncos 24242ln i eek k i +==⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+-ππππ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+-22ln sin 22ln cos 24i ek ππ 8、(),1,,02,012===-=--z z z zz e e e e e shz 故因为2z=()()[]()i k k i Ln ππ1221arg 1ln 1+=+-+-=-() ,2,1,021±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k ik z π9、设,122,22-=-=-==--w w w w ww e ze e e z e e shw z012,,01222=--==--zy y e y ze e w w w 得二元一次方程记其根为y=1,12442222++=++=++z z e z z z z w 即,取对数得 ()12++=z z Ln w课后习题三1、 解 （1）先写出直线段的参数方程，显然其直角坐标方程为,3,,31t x t y x y ===则令直线段的参数方程为 ()()i t z it t t z t ty tx +='+=≤≤⎩⎨⎧==3,3,103 由积分算法2得()()()()()i i t i dt t i dt i it t dz z i32663301313333332122102302+=+=+=+=++=⎰⎰⎰+（2）设曲线1c 为从原点到点（3，0）的直线段2c其参数方程为ti z t t y x +=≤≤⎩⎨⎧==3103由积分算发法2得()()()()dz z dz z dz z dz z dz zc c i⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+21221,30,320,30,02302()9019273321210221===⋅=⎰⎰⎰t dt t dt t dz z cd z c ⎰22z=()()()()i ti ti d ti idt ti ⎰⎰+-=+=++=+132102326301331333 故i i dz z dz z dz z c c i3266326392122302+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+=⎰⎰⎰+ 沿两条路线的积分值相等。