【金版教程】2017届高考理科数学二轮复习训练：2-3-4 转化与化归思想(含解析)

专项训练一、选择题1.已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A.[2－1，2＋1] B．[2－1，2＋2]C.[1，2＋1] D．[1，2＋2]答案 A解析由题意，不妨令a＝(0,1)，b＝(1,0)，c＝(x，y)，由|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|＝x2＋y2可看作(x，y)到原点的距离，而点(x，y)在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x，y)在位置P时到原点的距离最近，在位置P′时最远，而PO＝2－1，P′O＝2＋1，故选A.2.[2015·九江一模]在如下程序框图中，输入f0(x)＝sin(2x＋1)，若输出的f i(x)是28sin(2x＋1)，则程序框图中的判断框应填入()A ．i ≤6B ．i ≤7 C.i ≤8 D ．i ≤9答案 B解析 i ＝1时，f 1(x )＝2cos(2x ＋1)；i ＝2时，f 2(x )＝－22sin (2x ＋1)；i ＝3时，f 3(x )＝－23cos(2x ＋1)；i ＝4时，f 4(x )＝24sin(2x ＋1)；……；i ＝8时，f 8(x )＝28sin(2x ＋1)，循环结束，故选B.3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( )A.[－1,0] B ．[－1，＋∞) C.[0,3] D ．[3，＋∞)答案 D解析 由条件知f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，∵函数y ＝1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，∴y max <1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12＝3.∴a ≥3.故选D.4.在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当xy 取最大值时，|AD →|的值为( )A.4 B ．3 C.52 D.125答案 C解析 解法一：∵|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5， ∴△ABC 为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)，设D (a ，b )， 由AD →＝xAB →＋yAC →，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝4y ，∴xy ＝ab 12. 又∵D 在直线l BC ：x 3＋y4＝1上， ∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b 4≥2ab 12.∴ab 12≤14，即xy ≤14，此时a ＝32，b＝2，|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.解法二：由AD →＝xAB →＋yAC →，得x ＋y ＝1且x >0，y >0.∴xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14(当且仅当x ＝y ＝12时取得)．此时，|AD →|2＝9x 2＋16y 2＝94＋164＝254.∴|AD →|＝52.5.若函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx 的图象关于直线x ＝－π6对称，则ω的最小正值为( )A.3 B ．4 C.5 D ．6答案 C解析 由题意得y ＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6ω＋π3＝±1，即－π6ω＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝－6k －1，可得ω的最小正值为5.选C.6.[2015·兰州双基测试]如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.10π B ．8π C.6π D ．9π答案 B解析 由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥所得，所以其体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，为：4π×3－13×4π×3＝8π.二、填空题7.若f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f (x ＋3)≤f (x )＋3和f (x ＋2)≥f (x )＋2，且f (1)＝1，则f (2014)＝________.答案 2014解析 ∵f (x ＋1)≤f (x ＋3)－2≤f (x )＋3－2＝f (x )＋1，f (x ＋1)≥f (x ＋4)－3≥f (x ＋2)＋2－3≥f (x )＋4－3＝f (x )＋1，∴f (x )＋1≤f (x ＋1)≤f (x )＋1.∴f (x ＋1)－f (x )＝1.∴数列{f (n )}为等差数列，且f (1)＝1，d ＝1. ∴f (2014)＝f (1)＋2013×1＝2014.8.设实数a ，b满足⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋1≥0，3a ＋2b －4≥0，a ≤1，则9a 2＋4b 2的最大值是________．答案 25解析 令3a ＝x,2b ＝y ，则问题转化为已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －4≥0，x3≤1，求x 2＋y 2的最值问题．由x 2＋y 2的几何含义可知表示原点到点(x ，y )距离的平方，由可行域如图可知，点(3,4)距原点最远，故(x 2＋y 2)max ＝32＋42＝25.9.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.答案 10解析 由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.三、解答题10.[2015·大连双基]已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22. 11.已知函数f (x )＝x －1x ，g (x )＝a ln x ，其中x >0，a ∈R ，令函数h (x )＝f (x )－g (x )．(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)当a取(1)中的最大值时，判断方程h(x)＋h(2－x)＝0在(0,1)上是否有解，并说明理由．解(1)∵h(x)＝f(x)－g(x)，∴h′(x)＝f′(x)－g′(x)＝1＋1x2－ax＝x2－ax＋1x2.依题意，知不等式x2－ax＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a≤x＋1x在区间(0，＋∞)上恒成立，解得a≤2，即a的取值范围为(－∞，2]．(2)当a＝2时，h(x)＝x－1x－2ln x．∴h(x)＋h(2－x)＝2－2x(2－x)－2ln [x(2－x)]．令t＝x(2－x)∈(0,1)，构造函数φ(t)＝2－2t－2ln t，∵φ′(t)＝2t2－2t＝2－2tt2>0恒成立，∴函数φ(t)在(0,1)上单调递增，且φ(1)＝0.∴φ(t)＝2－2t－2ln t＝0在(0,1)上无解．即方程h(x)＋h(2－x)＝0在(0,1)上无解．12．[2015·山西考前质量监测]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝ 2.(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)设H 为CD 上一点，满足CH →＝2HD →，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，求二面角H －PB －C 的余弦值．解 (1)证明：由AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝1，可得BD ＝ 2.又BC ＝2，∴CD ＝2，∴BC ⊥BD .∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又PD ∩BD ＝D ， ∴BC ⊥平面PBD ， ∴平面PBD ⊥平面PBC .(2)由(1)可知∠BPC 为PC 与平面PBD 所成的角， ∴tan ∠BPC ＝63， ∴PB ＝3，PD ＝1.由CH →＝2HD →及CD ＝2，可得 CH ＝43，DH ＝23.以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则B (1,1,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，H ⎝⎛⎭⎪⎫0，23，0. 设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧HP →·n ＝0HB →·n ＝0，即⎩⎨⎧－23y 1＋z 1＝0x 1＋13y 1＝0，取y 1＝－3，则n ＝(1，－3，－2)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧PB →·m ＝0BC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－z 2＝0－x 2＋y 2＝0，取x2＝1，则m＝(1,1,2)．又cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝－217，观察可知二面角H－PB－C为锐角，故二面角H－PB－C的余弦值为21 7.。