2013年北京市数学中考一、二模拟题分类汇编：几何综合
2013北京中考二模24题几何综合分类汇编
海淀24．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，ABC α∠=. 过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD ． （1）求证：AC AD =； （2）点G 为线段CD 延长线上一点，将射线GC 绕着点G 逆时针旋转β，与射线BD 交于点E ． ①若βα=，2GD AD =，如图2所示，求证：2DEG BCD S S ∆∆=；②若2βα=,GD kAD =，请直接写出DEGBCDS S ∆∆的值（用含k 的代数式表示）． 西城24．在△ABC 中，AB =AC ，AD ，CE 分别平分∠BAC 和∠ACB ，且AD 与CE 交于点M ．点N 在射线AD 上，且NA =NC ．过点N 作NF ⊥CE 于点G ，且与AC 交于点F ，再过点F 作FH ∥CE ，且与AB 交于点H ． (1) 如图1，当∠BAC =60°时，点M ，N ，G 重合． ①请根据题目要求在图1中补全图形；②连结EF ，HM ，则EF 与HM 的数量关系是__________； (2) 如图2，当∠BAC =120°时，求证：AF =EH ；(3) 当∠BAC =36°时，我们称△ABC 为“黄金三角形”，此时512BC AC-=．若EH =4，直接写出GM 的长．丰台24．在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转． （1）当点O 为AC 中点时，①如图1， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；图1图2备用图（2）当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC=，求OE OF的值．东城24. 在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，E 是AB 边上一点，EF CE ⊥交AD 于点F ，过点E 作AEH BEC ∠=∠，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N .（1）如图1，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；（2）如图2，当点H 在线段FD 上时，设BE x =，DN y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）连结AC ，当以点E ，F ，H 为顶点的三角形与△AEC 相似时，求线段DN 的长.朝阳24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = ax 2+bx +4与x 轴交于点A (-2，0)、B (6，0)，与y 轴交于点C ，直线CD ∥x 轴，且与抛物线交于点D ，P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式； （2）过点P 作PQ ⊥CD 于点Q ，将△CPQ 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º），COB A OE图1 FBAOCEFA BCE F图2图3y xBAD C O备用图yxBAD C O当cos α=35，且旋转后点P 的对应点'P 恰好落在x 轴上时，求点P 的坐标．房山24.（1）如图1，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且满足BE=CF ，联结AE 、BF 交于点H..请直接写出线段AE 与BF 的数量关系和位置关系； （2）如图2，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，联结BF ，过点E 作EG ⊥BF 于点H ，交AD 于点G ，试判断线段BF 与GE 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，联结GF 、HD.求证：①FG+BE ≥2BF; ②∠HGF=∠HDF.昌平24．（1）如图1，以AC 为斜边的Rt △ABC 和矩形HEFG 摆放在直线l 上（点B 、C 、E 、F 在直线l 上），已知BC =EF =1，AB =HE =2. △ABC 沿着直线l 向右平移，设CE =x ，△ABC 与矩形HEFG 重叠部分的面积为y （y ≠0）. 当x =35时，求出y 的值； （2）在（1）的条件下，如图2，将Rt △ABC 绕AC 的中点旋转180°后与Rt △ABC 形成一个新的矩形ABCD ，当点C 在点E 的左侧，且x =2时，将矩形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将矩形HEFG 绕着点E 逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点D 、H 重合时，连接AG ，求点D 到AG 的距离；（3）在（2）的条件下，如图3，当α=45°时，设AD 与GH 交于点M ，CD 与HE 交于点N ，求证：四边形MHND 为正方形.M N图3HG lFECB A DlABCEFGH图1图2D GlFECBA(H )第24题图1F BCA DEH第24题图2FBCDAGEH第21题图3FBCADGEH石景山24．如图，四边形ABCD 、1111A B C D 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形1111A B C D 可以绕中心O 旋转,正方形ABCD 静止不动． （1）如图1，当11D D B B 、、、四点共线时，四边形11DCC D 的面积为 __；（2）如图2，当11D D A 、、三点共线时，请直接写出11CD DD = _________； （3）在正方形1111A B C D 绕中心O 旋转的过程中，直线1CC 与直线1DD 的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想．顺义24．如图，直线MN 与线段AB 相交于点O , 点C 和点D 在直线MN 上，且45ACN BDN ∠=∠=︒.(1) 如图1所示，当点C 与点O 重合时 ，且AO OB =，请写出AC 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转到如图2所示的位置，AO OB =，（1）中的AC与BD的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到如图3，求ACBD的值．密云24．如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F分别在AB 、AC 边上，此时BD=CF ，BD ⊥CF 成立． （1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？C 1B 1A 1D 1D CBAOC 1B 1A 1D 1DCBA OC 1B 1A 1D 1DCBAO图1 图2 图3若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ．①求证：BD ⊥CF ；②当AB=4，AD=时，求线段BG 的长．门头沟24．已知：在△AOB 与△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，︒=∠=∠90COD AOB ．（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α (︒<<︒900α)．连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将图1中的 △COD 绕点 O 逆时针旋转到使 △COD 的一边OD 恰好与△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点．请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．图1O M AB C D图2D CB A MO图3D C BAM O。
2013年北京市11个区(县)中考二模数学试题(含参考答案及评分标准)-6
顺义区2013届初三第二次统一练习数学试卷学校 姓名 准考证号 考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．9的算术平方根是A ．9B ．3-C ．3D ． 3± 2．如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是A ．B ． C. D.3．一副扑克牌，去掉大小王，从中任抽一张，恰好抽到的牌是8的概率是 A ．154B ．113C ．152D ．144．把代数式269ab ab a -+分解因式，下列结果中正确的是A ．2(3)a b +B ．(3)(3)a b b +-C ．2(4)a b -D ．2(3)a b - 5．函数y kx k =-与ky x=（0k ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是6．如图，AEBD ∥，1120240∠=∠=°，°，则C ∠的度数是Ａ．10° Ｂ．20° Ｃ．30° Ｄ．40°7．若22a a -=-，则a 的取值范围是A ．2a >B ．0a >C ．2a ≤D ．0a ≤ 8．右图中是左面正方体的展开图的是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数23xy x -=-中，自变量x 的取值范围是 .10．甲、乙两个旅游景点今年5月上旬每天接待游客的人数如图所示，甲、乙两景点日接待游客人数的方差大小关系为：2S 甲 2S 乙．11．若把代数式257x x ++化为2()x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -= .12．正方形111A B C O ， 2221A B C C ,，3332A B C C ， …按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C …分别在直线(0)y kx b k =+>和x 轴上，已知点1(1,1)B ，2(3,2)B ，则点6B 的坐标是 ， 点n B 的坐标是 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：201273tan 30()4(32)2-+︒+--．14．解方程：21133x x x-+=--.15．已知220x x +-=，求代数式2(2)(3)(3)(1)x x x x x -++--+的值．A ．B ．C ．D ．A 3A 2A 1B 3B 2B 1C 3C 2C 1Oyx16．已知：如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，MN 是过点C 的一条直线，AM MN ⊥于M ，BN MN ⊥于N . 求证: AM CN =17．列方程或方程组解应用题:某企业向四川雅安地震灾区捐助价值17.6万元的甲、乙两种帐篷共200顶，已知甲种帐篷每顶800元，乙种帐篷每顶1000元，问甲、乙两种帐篷各多少顶？18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数22y x =-+的图象与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，与反比例函数图象相交于点A ，且2AB BC =. (1) 求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且APC ∆的面积等于12，直 接写出点P 的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，90ABC ACD ∠=∠=︒,62AB BC ==,2tan 3CDE ∠=. 求对角线BD 的长和ABD ∆的面积.20．已知：如图，O ⊙是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC =90°，点P 是O ⊙外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA=PB ． （1）求证：PB 是O ⊙的切线；（2）已知PA =23，BC =2，求O ⊙的半径．A NMCB EDCBAOABCP21．甲、乙两学校都选派相同人数的学生参加综合素质测试，测试结束后，发现每名参赛学生的成绩都是70分、80分、90分、100分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两学校的学生获得100分的人数也相等．根据甲学校学生成绩的条形统计图和乙学校学生成绩的扇形统计图，解答下列问题：（1）求甲学校学生获得100分的人数，并补全统计图；（2）分别求出甲、乙两学校学生这次综合素质测试所得分数的中位数和平均数，以此比较哪个学校的学生这次测试的成绩更好些．22． 问题：如果存在一组平行线a b c ，请你猜想是否可以作等边三角形ABC 使其三个顶点分别在,,a b c 上.小明同学的解答如下：如图1所示，过点A 作AM b ⊥于M ，作60MAN ∠=︒，且AN AM =，过点N 作CN AN ⊥交直线c 于点C ,在直线b 上取点B 使BM CN =，则ABC ∆为所求．(1) 请你参考小明的作法,在图2中作一个等腰直角三角形DEF 使其三个顶点分别在,,a b c 上，点D 为直角顶点；(2) 若直线,a b 之间的距离为1， ,b c 之间的距离为2， 则在图2中，DEF S ∆= ，在图1中，AC = ．甲学校学生成绩的条形统计图乙学校学生成绩的扇形统计图207080134人数分数59010060°90°120°90°100分90分80分70分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线232y x mx =+-．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴 总有两个交点；（2）若m 为整数，当关于x 的方程2320x mx +-=的两个有理数根都在1-与43之间 （不包括-1、43）时，求m 的值． （3）在(2）的条件下，将抛物线232y x mx =+-在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ，再将图象G 向上平移n 个单位，若图象G 与过点（0，3）且与x 轴平行的直线有4个交点，直接写出n 的取值范围是 ．24．如图，直线MN 与线段AB 相交于点O , 点C 和点D 在直线MN 上，且45ACN BDN ∠=∠=︒.(1) 如图1所示，当点C 与点O 重合时 ，且AO OB =，请写出AC 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转到如图2所示的位置，AO OB =，（1）中的AC与BD 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到如图3，求ACBD的值．1xyOABCDEFxyO25． 已知抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，连结AC BC ，，D 是线段OB 上一动点，以CD 为一边向右侧作正方形CDEF ，连结BF ．若8O B C S ∆=，AC BC =．（1）求抛物线的解析式； （2）求证：BF AB ⊥； （3）求FBE ∠的度数；（4）当D 点沿x 轴正方向移动到点B 时，点E 也随着运动，则点E 所走过的路线长 是 ．顺义区2013届初三第二次统一练习数学试题参考答案及评分参考一、选择题 号 案二、填空题9. 3x ≠ ； 10．22S S >乙甲 ； 11．134； 12．6(63B ，32) ， 1(21,2)n n n B -- ． 三、解答题13．解：原式=3333443+⨯+- …………………………………………4分 =43 ……………………………………………… 5分 14． 解：方程两边同乘以(3)x -，得， ………………………………………… 1分213x x --=-． ………………………………………… 2分解方程得 2x =． ………………………………………… 3分 当2x =时，30x -≠ ……………………………… 4分所以，原方程的根为2x = …………………………………………5分15．解：原式= 222443(23)x x x x x x -+++---…………………………………… 3分 =22244323x x x x x x -+++-++=27x x ++ ………………………………………… 4分 ∵220x x +-= ， ∴22x x +=∴原式=2+7=9 ………………………………………………5分 16．证明：∵,,AM MN BN MN ⊥⊥∴ 90AMC CNB ∠=∠=︒ ……………………………………………1分90MAC ACM ∠+∠=︒ ∵ 90ACB ∠=︒∴ 90BCN ACM ∠+∠=︒ ∴ MAC BCN ∠=∠在AMC ∆和CNB ∆中∵AMC CNB MAC BCN AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………………………………………3分 ∴AMC ∆≌CNB ∆ …………………………………………… 4分 ∴AM CN = ……………………………………………5分17．解：设甲种帐篷x 顶，乙种帐篷y 顶 ……………………………………1分 依题意，得2008001000176000x y x y +=⎧⎨+=⎩ …………………………………3分解以上方程组，得x =120，y =80答：甲、乙两种帐篷分别是120顶和80顶. ………………………………5分18．（1）由已知可得点(1,0)B ，点(0,2)C …………1分 ∴1,2OB CO ==过点A 作AD x ⊥轴于点D∴ BOC ∆∽BDA ∆ …………………2分 ∴12CO OB BC AD DB AB === ∴ 24,22AD CO DB OB ====∴ 点(3,4)A - …………………………3分 设反比例函数解析式为(0)ky k x=≠，点(3,4)A -在图象上， ∴ 12k =-∴ 反比例函数的解析式为12y x=-…………………………………4分 （2） 点(5,0)P 或(3,0)P - ………………………………………………5分 19．解：过点B 作BF AC ⊥于F∵90ABC ACD ∠=∠=︒, 62AB BC ==， ∴ 6BF AF CF === …………………1分 90BFC ACD ∠=∠=︒∴BF ∥CD∴ FBE CDE ∠=∠ …………………… 2分∴ 2tan tan 3FBE CDE ∠=∠= 即23EF BF = ∴ 4EF =∴2,3EC CD == ……………………………3分 ∴222264213BE BF EF =+=+=22222313D E E C C D =+=+=∴313BD BE DE =+= ……………………………………4分(2) 114522ABD ABE ADE S S S AE BF AE CD ∆∆∆=+=⋅+⋅= ……………5分20．解：（1）证明：连接OBOA OB =，PA PB = ∴ OAB OBA ∠=∠，PAB PBA ∠=∠．∴OAB PAB OBA PBA ∠+∠=∠+∠．即PAO PBO ∠=∠． ………………1分 又∵PA 是O ⊙的切线，∴90PAO ∠=°∴90PBO ∠=°∴OB PB ⊥．又∵OB 是O ⊙的半径，∴PB 是O ⊙的切线． …………………2分（2）解：连接OP ，交AB 于点D ．∵PA PB =，OA OB =，∴点P 和点O 都在线段AB 的垂直平分线上． ∴OP 垂直平分线段AB ． ∴ AD BD = ∵OA OC =∴112OD BC ==……………………………………3分∵90PAO PDA ∠=∠=°，APO DPA ∠=∠ ∴APO DPA △∽△ ∴AP PO DP PA= ∴2AP PO DP =·．……………………………………4分∴()2PO PO OD AP -=即()2223PO PO -=，解得4PO =．在Rt APO △中，222OA PO PA =-=，即O ⊙的半径为2． …………………………………………5分21．解：（1）设甲学校学生获得100分的人数为x ．由题意和甲、乙学校学生成绩的统计图得O AB C PD12356x x =+++ 得2x =所以甲学校学生获得100分的人数有2人．图(略) …………………………………2分(2）由（1）可知： 甲学校的学生得分与 相应人数为：乙学校的学生得分与 相应人数为：所以，甲学校学生分数的中位数为90（分）．甲学校学生分数的平均数为 270380590210051585.823526x ⨯+⨯+⨯+⨯==≈+++甲（分）…………3分乙学校学生分数的中位数为80（分） 乙学校学生分数的平均数为 370480390210050025083.3343263x ⨯+⨯+⨯+⨯===≈+++乙（分） …4分由于甲学校学生分数的中位数和平均数都大于乙学校学生分数的中位数和平均 数，所以甲学校学生的数学竞赛成绩较好． ……………………5分22. 解:(1)作图 …………………………………………………………2分 (2 ) 5DEF S ∆= …………………………………………………………3分AC =2213…………………………………………………………5分 23．解：（1）∵△=2243(2)24m m -⨯⨯-=+，分数 70 80 90 100 人数 2 3 5 2分数 70 80 90 100 人数 3 4 32∴无论m 为任何实数，都有2240m ∆=+>………………………… 1分 ∴抛物线与x 轴总有两个交点． …………………………………… 2分（2）由题意可知：抛物线232y x mx =+-的开口向上，与y 轴交于（0，-2）点，∵方程2320x mx +-=的两根在-1与43之间， ∴当x =-1和43x =时，0y >． 即320,16420.33m m -->⎧⎪⎨+->⎪⎩ ………………………………………… 4分 解得 512m -<<． ………………………………………… 5分 因为 m 为整数，所以 m =-2，-1，0 ．当 m=-2时， 方程的判别式△=28，根为无理数，不合题意.当 m=-1时， 方程的判别式△=25，根为1221,3x x ==-，符合题意. 当 m=0时， 方程的判别式△=24，根为无理数，不合题意.综上所述 m =-1 . ………………………………………… 6分（3）n 的取值范围是11312n <<．………………………………… 7分 24.(1) ,AC BD AC BD =⊥ ； ………………………………………… 2分（2） 仍然成立.证明: 过点A 作AE MN ⊥于E ,过点B 作BF MN ⊥于F∴90AEO BFO ∠=∠=︒∵AOE BOF ∠=∠,AO OB =∴AOE ∆≌BOF ∆∴AE BF = ………………………………………… 3分∵45ACN BDN ∠=∠=︒ ∴2,2AC AE BD BF ==∴ AC BD = ………………………………………… 4分延长AC 与DB 的延长线相交点H∴45DCH ACN ∠=∠=︒又∵45BDN ∠=︒∴90CHD ∠=︒∴AC BD ⊥ ………………………………………… 5分(3) 过点A 作AE MN ⊥于E ,过点B 作BF MN ⊥于F易证 AOE ∆∽BOF ∆∴ AE AO BF OB=． ………………………………………… 6分 ∵ OB kAO =，∴ 1AO OB k=． 由（2）知 2,2AC AE BD BF ==．212AC AE AE BD BF k BF=== ．………………………………………7分 25. 解：（1）由AC BC =，可知此抛物线的对称轴是y 轴，即0b =所以(0,),(4,0)C c B c由182OBC S OB OC ∆=⨯⨯=，得4c = 抛物线解析式为 2144y x =-+ …………………………………………2分 （2）由（1）得(0,4),(4,0)C B所以224590ACB OCB ∠=∠=⨯︒=︒ ………………………………3分 在ADC ∆和BFC ∆中90ACD DCB BCF ∠=︒-∠=∠，,AC BC DC FC ==所以ADC ∆≌BFC ∆ ………………………………………… 4分 所以45FBC CAD ∠=∠=︒所以90ABF ABC CBF ∠=∠+∠=︒所以BF AB ⊥ …………………………………………5分（3）作EM x ⊥轴，交x 于点M易证ODC ∆≌DME ∆所以4DM OC ==，OD EM =又因为4OD OB BD BD DM BD BM =-=-=-=所以BM EM =因为90EMB ∠=︒所以45MBE MEB ∠=∠=︒ …………………………………………7分（4）由（3）知，点E 在定直线上当D 点沿x 轴正方向移动到点B 时，点E 所走过的路线长等于42BC = ………………………………8分。
北京市各区2013年中考数学二模试题分类汇编 证明题
证明题西城1．如图，点C 是线段AB 的中点，点D ，E 在直线AB 的同侧，∠ECA =∠DCB ，∠D =∠E ．求证：AD =BE ．2．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC= 63． (1)求BD 的长； (2)求AD 的长．海淀3.已知：如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒.DC ⊥AC 于点C ,且CD CA =，DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E . 求证：CE AB =.4．如图，ABCD 中，E 为BC 中点，过点E 作AB 的垂线交AB 于点G ，交DC 的延长线于点H ,连接DG .若10BC =,45GDH ∠=︒，DG 82=，求CH 的长及ABCD 的周长.东城5. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边BC ，AD 上的点，且12∠=∠.求证：AE=CF .6．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E .(1）求证：AM =2CM ；（2）若12∠=∠，23CD =，求ME 的值.某某7．已知：如图，E 、F 为BC 上的点，BF=CE ，点A 、D 分别在BC 的两侧，且AE ∥DF ，AE =DF ．求证：AB ∥CD ．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AD = 4，∠B =105º，E 是BC 边的中点，∠BAE =30º，将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，连接FC ，求四边形ABCF 的周长．房山9已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F 在AB同侧，DE 与CF 相交于点O ，且AC =BD ， AE =BF ，A B ∠=∠.求证：DE =CF .FDBEDFCE BA ACD BEFO第9题图10.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =13，CD =4，点E 在边AB 上，DE ∥BC ．若CB CE =，且3tan =∠B ，求四边形ABCD 的面积.门头沟11．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =90º，BD ⊥AC 于点D ，点E 在BC 的延长线上，且BE =AB ，过点E 作EF ⊥BE ，与BD 的延长线交于点F .求证：BC =EF .门头沟12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =60º，AC 平分∠DAB ，BC ⊥AC ，AC 与BD 交于点E ，AD =6，CE 437，7tan 33BEC ∠=BC 、DE 的长及四边形ABCD 的面积．怀柔13．已知如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，BC ＝EF ，AB∥DE，∠A＝∠D． 求证：AC=DF ． 证明：13题图第10题图EABCD FE ABC DE14. 已知如图：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一点．连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若460,10AD DCB BS ===，∠. （1）求AS 的长度； （2）求OR 的长度． 解：大兴15.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，以AD 为斜边在△ABC 外作等腰直角三角形AED ，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．16．如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F ．若∠AFC=2∠D ，连结AC 、BE.求证：四边形ABEC 是矩形. 丰台17．已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，B D ∠=∠．求证：ABC CDE △≌△．18．如图，四边形ABCD 中， CD=2， 90=∠BCD ，14题图A BCDEFEDC BA ADBC EA60=∠B , 30,45=∠=∠CAD ACB ，求AB 的长．石景山19．如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F ．请在图中找出一对全等三角形，并加以证明．证明：20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、N 、分别在BC 、AB 上，将矩形ABCD 沿MN 折叠，设点B 的对应点是点E ． （1）若点E 在AD 边上，BM =27，求AE 的长； （2）若点E 在对角线AC 上，请直接写出AE 的取值X 围：． 解：昌平21.如图，AC //FE ,点F 、C 在BD 上，AC=DF , BC=EF .求证：AB=DE .22. 如图，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，∠DAB =∠ABC =90°，BE ⊥BD 且BE =BD ，连接EA 并延长交CD 的延长线于点F . 如果∠AFC =90°，求∠DAC 的度数.DCBGEN MDCBA ABC DEFABDF E密云23．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ， 求证：∠DBC =∠DCB 。
2013年历年北京市初三数学中考一、二模拟题分类汇编：应用题及答案
应用题1.（2013.朝阳一模18）北京地铁6号线正式运营后，家住地铁6号线附近的小李将上班方式由自驾车改为了乘坐地铁，这样他从家到达上班地点的时间缩短了0.3小时．已知他从家到达上班地点，自驾车时要走的路程为17.5千米，而改乘地铁后只需走15千米，并且他自驾车平均每小时走的路程是乘坐地铁平均每小时所走路程的23．小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是多少小时？2.（2013.昌平一模18）某学校组织九年级（1）班和（2）班的学生到离校5千米的“农业嘉年华”参观，（1）班学生的行进速度是（2）班学生速度的1.25倍，结果（1）班学生比（2）班学生早到15分钟，求（2）班学生的速度．3.（2013.大兴一模18）列方程或方程组解应用题：为了改善生态环境，防沙造林，某村计划在荒坡上种植480棵树，由于有志愿者的支援，每日比原计划多种13，结果提前4天完成任务，问原计划每天种多少棵树？4.（2013.大兴一模17）列方程或方程组解应用题：小红到离家2100米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校．已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．初中数学辅(1)小红步行的平均速度(单位：米/分)是多少？(2)小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）5.（2013.丰台一模18）列方程或方程组解应用题：去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米．抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度．6.（2013.海淀一模18）列方程（组）解应用题：雅安地震灾情牵动全国人民的心．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，加工了300顶帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的2倍，结果提前4天完成了任务．求原计划每天加工多少顶帐篷.7.（2013.怀柔一模18）某商店经销一种T恤衫，4月上旬的营业额为2000元，为扩大销售量，4月中旬该商店对这种T恤衫打9折销售（原销售价格的90%），结果销售量增加20件，营业额增加700元.求该种T恤衫4月上旬的销售价格.8.（2013.密云一模18）列方程或方程组解应用题:某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800 件投入市场，服装厂有A、B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B车间的1．2 倍，A、B 两车间共同完成一半后，A 车间出现故障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A、B 两车间每天分别能加工多少件．9.（2013.平谷一模18）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）15 20 25 …y（件）25 20 15 …若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．10.（2013.西城一模18）列方程（组）解应用题：某工厂原计划生产2400台空气净化器，由于天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了1200台．工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产10台，实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍．求原计划每天生产多少台空气净化器．应用题参考答案1.（2013.朝阳一模18） 解：设小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是x 小时. …………………………1分由题意，得 17.51520.33x x =⨯-. ……………………………………………………2分 解方程，得 x =0.7. ………………………………………………………………………3分经检验，x =0.7是原方程的解，且符合题意.……………………………………………4分答：小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是0.7小时. ……………………………5分2.（2013.昌平一模18）解：设（2）班学生的速度为x 千米/小时． …………… 1分依题意，得 55151.2560x x -= ． ……………………………… 2分 解之，得 x = 4 ． ……………………… 3分 经检验：x = 4是原方程的解，且符合实际意义． ………………… 4分 答：（2）班学生的速度为4千米/小时． ……………………………… 5分3.（2013.大兴一模18）解：设原计划每天种x 棵树, …………………1分依题意，得4x )311(480x480=+- . ………………………………………………2分 解得x = 30 . ……………………………………………………………………3分 经检验：x = 30是方程的解. ……………………………………………………4分 答：原计划每天种30棵树. ……………………………………………………5分 (2)小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）4.（2013.大兴一模17）解：(1)设小红步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的平均速度为3x 米/分． ··························· 1分 根据题意得：21002100203x x=+ ． ·············· 2分 得 70x = ． ····················· 3分 经检验70x =是原方程的解 ． ················ 4分 答：小红步行的平均速度是70米/分．(2)根据题意得:21002100404570370+=<⨯ ． ∴小红能在联欢会开始前赶到． …………………………………5分5.（2013.丰台一模18）解：设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为15x 千米/时. -- 1分由题意得， 60151.51515=-x x . 解得，x=20.经检验，x=20.是原方程的解，并且x=20,1.5x=30都符合题意.答：抢修车的的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时.6.（2013.海淀一模18）解：设原计划每天加工x 顶帐篷. ………………………1分1500300150030042x x---=.………………………3分 解得 150x =. ………………………4分经检验，150x =是原方程的解，且符合题意.答：原计划每天加工150顶帐篷. ………………………5分7.（2013.怀柔一模18）解：设该种T 恤衫4月上旬的销售价为每件x 元，根据题意得…… 1分20002000700200.9x x+=-…………………………………………… 3分 解之得x=50…………………………………………………… 4分经检验x=50是所得方程的解，且符合题意………………………………………… 5分 ∴该种T 恤衫4月上旬的销售价格是每件50元.8.（2013.密云一模18）设B 车间每天生产x 件，则A 车间每天生产1.2X 件，……………1分由题意得44004400201.2x x x +=+………………………………………..2分解得x=320……………………………………………………………...3分经检验x=320是方程的解……………………………………………..4分此时A 车间每天生产320⨯1.2=384件答：A 车间每天生产384件，B 车间每天生产320件……………….5分9.（2013.平谷一模18）解：（1）设此一次函数解析式为.y kx b =+ ………………1分则1525,2020.k b k b +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………2分 解得k =-1，b =40．即一次函数解析式为40y x =-+． ………………………………………………3分（2）每日的销售量为304010y =-+= ……………………………. ………….……..4分。
2013年北京市数学中考一、二模拟题分类汇编：圆
圆1.（2013昌平一摸19）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，延长AB 到E ，使BE =AB ，连接CE .（1）求证：直线CE 是⊙O 的切线；（2）连接OE 交BC 于点F ，若OF =2 , 求EF 的长.E2.（2013朝阳一摸20）如图，⊙O 是△ABC 是的外接圆，BC 为⊙O 直径，作∠CAD =∠B ，且点D 在BC 的延长线上．(1)求证：直线AD 是⊙O 的切线； (2)若sin ∠CAD =4，⊙O 的半径为8，求CD 长．3.（2013东城一摸21）如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F ，连结CF 并延长交BA 的延长线于点P .（1）求证：PC 是⊙O 的切线.（2）若AB =4，AP ∶PC =1∶2，求CF 的长.4.（2013房山一摸20）如图，BC 为半⊙O 的直径，点A ，E 是半圆周上的三等分点， AD BC ⊥，垂足为D ，联结BE 交AD 于F ，过A 作AG ∥BE 交CB 的延长线于G ． （1）判断直线AG 与⊙O 的位置关系，并说明理由． （2）若直径BC =2，求线段AF 的长．5.（2013海淀一摸20）已知：如图，在△ABC 中，AB AC =．以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)延长DE 交BA 的延长线于点F .若6AB =，sin B=5求线段AF 的长.6.（2013怀柔一摸20）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与A B 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN·MC 的值.第207.（2013门头沟一摸20）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，M 为AB 上一点，过点M 作DM ⊥AB ，交弦AC于点E ，交⊙O 于点F ，且DC ＝DE ． （1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）如果DM ＝15，CE ＝10，5cos 13AEM ∠=，求⊙O 半径的长．8.（2013密云一摸20）如图，PA PB 、分别与O 相切于点A B 、，点M 在PB 上，且//OM AP ，MN AP ⊥，垂足为N ． （1）求证：=OM AN ；（2）若O 的半径=3R ，=9PA ，求OM 的长．9.（2013平谷一摸20）如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，CAB ∠的平分线交O ⊙于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 的延长线于点E ，连接BC 交AD 于点F .（1）求证：ED 是O ⊙的切线； （2）若108AB AD ==，，求CF 的长.10.（2013石景山一摸20）如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =1，ED =2. (1)求证：∠ABC =∠ADB ； (2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．11.（2013顺义一摸20）如图，已知ABC △，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，点E 为AD 的中点，连结CE 交AB 于点F ，且BF BC =.（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若O 的半为2,3cos 5B =,求CE 的长.12.（2013通州一摸21）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．过点A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点D ，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ． （1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；（2）连接EO ，交AD 于点F ，若5AC =3AB ，求EOFO的值．CB13.（2013西城一摸20）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC点D ，过点D 作FE ⊥AB 于点E ，交AC 的延长线于点F． (1) 求证：EF 与⊙O 相切； (2) 若AE=6，sin ∠CFD=35，求EB 的长．14.（2013延庆一摸23）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 是它的两条切线，CO 平分∠ACD． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AC=2，BD=3，求AB 的长．15.（2013燕山一摸20）如图，△ABC 中，AC ＝B C ．以B C 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ．作直线DF ⊥AC 交AC 于点F ，交CB 的延长线于点E ． ⑴求证：直线EF 是⊙O 的切线；⑵若BC ＝6，AB ＝43，求DE 的长．16.（2013朝阳二摸20）如图，在△ABC 中，AC=BC ，D 是BC 上的一点，且满足∠BAD ＝12∠C ，以AD 为直径的⊙O 与AB 、AC 分别相交于点E 、F .（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线； （2）连接EF ，若tan ∠AEF ＝43，AD ＝4，求BD 的长.17.（2013丰台二摸20）已知：如图，直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C是⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA ，垂足为点D ． （1）求证：CD 与⊙O 相切； （2）若tan ∠ACD =21，⊙O 的直径为10，求AB 的长．B18.（2013海淀二摸20）如图，△ABC 中，E 是AC 上一点，且AE=AB ，BAC EBC ∠=∠21,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交EB 于点F .(1)求证：BC 与⊙O 相切； (2)若18,sin 4AB EBC =∠=,求AC 的长．19.（2013西城二摸21）如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ． (1) 求证：DE ⊥AC ；(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3sin 4∠=ABC ，求OF FC的值．20.（2013东城二摸21）如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．Array第六章圆参考答案1.（2013昌平一模19）（1）证明：连接OC∵四边形ABCD是O的内接正方形，∴AB=BC，CO平分∠DCB，∠DCB=∠ABC=90°.∴∠1=45°，∠EBC=90°.∵AB=BE，∴BC=BE.∴∠2=45°.∴∠OCE=∠1+∠2 = 90°.∵点C在O上，∴直线CE是O的切线. …………………………… 2分（2）解：过点O作OM⊥AB于M,∴11=22AM BM AB BE==.∴23BEME=. ……………………………………3分∵FB⊥AE,∴FB∥OM .∴△EFB∽△EOM . ………………………………………………4分∴EF EB EO EM=.∴223 EFEF=+.∴EF =4.…………………………………………………………5分2.（2013朝阳一模20）（1）证明：连接OA.∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°. (1)分∴∠B+∠ACB=90°.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.∵∠CAD=∠B，∴∠CAD+∠OAC=90°.即∠OAD=90°.∴OA⊥AD.∴AD是⊙O的切线. ……………………………………………………………………2分(2) 解：过点C作CE⊥AD于点E.∵∠CAD=∠B,∴sinB =sin ∠CAD=4.………………………………………………………………3分 ∵⊙O 的半径为8， ∴BC=16.∴AC =sin BC B ⋅=∴在Rt △ACE 中，CE=sin AC CAD ⋅∠=2.…………………………………………4分 ∵CE ⊥AD ,∴∠CED =∠OAD =90°.∴CE ∥OA . ∴△CED ∽△OAD . ∴CD CEOD OA=. 设CD =x ，则OD =x +8.即288x x =+. 解得x =83.所以CD =83.………………………………………………………………………………5分3.（2013东城一模21）（本小题满分5分） 解：（1）证明：连结OC ．∵ OE ⊥AC ，∴ AE =CE ． ∴ FA =FC ． ∴ ∠FAC =∠FCA ．∵ OA =OC ， ∴ ∠OAC =∠OCA ．∴ ∠OAC +∠FAC =∠OCA +∠FCA ． 即∠FAO =∠FCO ．∵ FA 与⊙O 相切，且AB 是⊙O 的直径， ∴ FA ⊥AB ．∴ ∠FCO =∠FAO =90°．∴ PC 是⊙O 的切线． ………………………………………………… 2分 （2）∵∠PCO =90°， 即∠ACO +∠ACP =90°. 又∵∠BCO +∠ACO =90°，∴ ∠ACP =∠BCO .∵ BO =CO ， ∴ ∠BCO =∠B . ∴ ∠ACP =∠B . ∵ ∠P 公共角， ∴ △PCA ∽△PBC .∴PC PA ACPB PC BC==. ∵ AP ∶PC =1∶2，∴ 1=2AC BC .∵ ∠AEO =∠ACB =90°，∴ OF ∥BC .∴ AOF ABC ∠=∠. ∴ 1tan tan 2AOF ABC ∠=∠=. ∴ 1tan 2AF AOF AO ∠==. ∵ AB =4， ∴ AO =2 . ∴ AF =1 .∴ CF =1 . ………………5分4.（2013房山一模20）解：（1）直线AG 与⊙O 相切. ------------------------------1分证明：连接OA ，∵点A ，E 是半圆周上的三等分点， ∴弧BA 、AE 、EC 相等，∴点A 是弧BE 的中点， ∴OA ⊥BE ．又∵AG ∥BE ，∴OA ⊥AG ．∴直线AG 与⊙O 相切．------------ -----------------------------2分 （2）∵点A ，E 是半圆周上的三等分点， ∴∠AOB =∠AOE =∠EOC =60°．又O A =OB ，∴△ABO 为正三角形． ---------------------------------3分 又AD ⊥OB ，OB =1， ∴BD =OD =12， AD ． ------------------------------------------4分又∠EBC =12EOC ∠=30°， 在Rt △FBD 中， FD =BD ⋅tan ∠EBC = BD ⋅ tan30°， A B C EDFG O∴AF =AD -DF--------------------------------------------5分5.（2013海淀一模20）(1)证明：连接OD . ………………………1分 ∵AB =AC , ∴B C ∠=∠. 又∵OB OD =, ∴1B ∠=∠. ∴1C ∠=∠. ∴OD ∥AC . ∵DE ⊥AC 于E , ∴DE ⊥OD . ∵点D 在⊙O 上，∴DE 与⊙O 相切. ………………………2分 (2)解：连接AD . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°. ∵AB =6，sin B =55， ∴sin AD AB B =⋅=556.………………3分 ∵123290∠+∠=∠+∠=︒， ∴13∠=∠. ∴ 3.B ∠=∠在△AED 中，∠AED =90°.∵sin 3AE AD ∠==，∴65555AE AD ==⨯=. ………………………4分 又∵OD ∥AE ， ∴△FAE ∽△FOD .∴FA AEFO OD =. ∵6AB =,∴3OD AO ==.AB ∴235FA FA =+.∴2AF =. ………………………5分6.（2013怀柔一模20）解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………1分 ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP∵OC 是⊙O 的半径∴PC 是⊙O 的切线 …………………………………………………2分 （2）连接MA,MB ∵点M 是的中点∴∴∠BCM=∠ABM ……………………3分 ∵∠BMC=∠BMN∴△MBN∽△MCB∴BMMNMC BM=∴BM 2=MC ·MN ……………………4分 ∵AB 是⊙O 的直径，弧AM=弧BM∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB=4 ∴BM=22∴MC·MN=BM 2=8 ……………………………………………………5分7.（2013门头沟一模20）（1）证明：如图1，连结OC ．∵OA ＝OC ，DC ＝DE ，∴∠A ＝∠OCA ，∠DCE ＝∠DEC ． 又∵DM ⊥AB ，∴∠A ＋∠AEM ＝∠OCA ＋∠DEC ＝90°． ∴∠OCA ＋∠DCE ＝∠OCD ＝90°．∴DC 是⊙O 的切线．………………………2分（2）解：如图2，过点D 作DG ⊥AC 于点G ，连结BC ．∵DC ＝DE ，CE ＝10，∴EG ＝12CE ＝5． ∵cos ∠DEG ＝cos ∠AEM ＝EG DE ＝513， AM=BM 图1A∴DE ＝13．∴DG ＝12． ∵DM ＝15，∴EM ＝DM -DE ＝2．…………3分 ∵∠AME ＝∠DGE ＝90°，∠AEM ＝∠DEG ， ∴△AEM ∽△DEG ． ∴AM EM AE =DG EG DE =．∴212513AM AE==． ∴245AM =，265AE =． ∴AC AE EC =+=765．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． ∴cos A ＝AM AC AE AB=．∴24715AB =．…………4分 ∴⊙O 的半径长为1247230AB =． ………………………………………………5分8.（2013密云一模20）（1）连接OA ，则OA AP ⊥． ∵MN AP ⊥，∴//MN OA ．……………………………...分 ∵//OM AP ，∴四边形ANMO 是矩形．………………..2分 ∴=OM AN ．（2）连接OB ，则OB BP ⊥．……………3分 ∵=OA MN ，=OA OB ，//OM AP ， ∴=OB MN ，=OMB NPM ∠∠．∴Rt OBM Rt MNP ∆≅∆…………………4分 ∴=OM MP ．设=OM x ，则=9-NP x ．在Rt MNP ∆中，有()222=3+9-x x ．∴=5x ．即=5OM ．…………………….5分9.（2013平谷一模20）解：（1）证明：连结OD ，则OA OD =． ∴ .OAD ODA ∠=∠ ∵ AD 平分CAB ∠，∴ .CAD OAD ODA ∠=∠=∠,∴ OD AE ∥． ………………………………….1分∴ 180AED ODE ∠+∠=°．∵ DE AE ⊥，即90AED ∠=°，∴ 90ODE ∠=°，即OD ED ⊥．∴ ED 与O ⊙相切．……………………………..2分（2）连结BD ． ∵AB 是O ⊙的直径， ∴90ADB ∠=°． ∴ .622=-=AD AB BD ……………………………………………………….3分∵ BAD CAD CBD ADB BDF ∠=∠=∠∠=∠，． ∴ .DAB DBF △∽△∴AD BD BD FD =，即866FD =，得92FD =． ∴ 97822AF AD FD =-=-=． …………………………………………………4分可证.AC FBD △∽△F∴ .CF AF = ∴ .2110CF = ……5分10.（2013石景山一模20）(1)证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ，又∵∠C =∠D ，∴∠ABC =∠ADB . …………1分 (2) ∵∠ABC =∠ADB 又∵∠BAE =∠DAB ，∴△ABE ∽△ADB ， …………………………2分 ∴AB AE AD AB =，∴AB 2=AD ·AE =(AE ＋ED )·AE =(1＋2)×1=3，∴AB 3分 (3) 直线FA 与⊙O 相切，理由如下：联结OA ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD =90°，∴BD ==4分BF =BO =12BD =∵AB BF =BO =AB ，可证∠OAF =90°，∴直线FA 与⊙O 相切．………………………………………5分11.（2013顺义一模20）⑴ BC 与⊙O 相切 证明：连接AE ，∵AC 是O 的直径∴90E ∠=∴90EAD AFE ∠+∠=︒ ∵BF BC =∴BCE BFC ∠=∠又 ∵E 为 AD 的中点∴EAD ACE ∠=∠ …………………………1分 ∴ 90BCE ACE ∠+∠=︒ 即AC BC ⊥ 又∵AC 是直径∴BC 是O 的切线 …………………………2分 （2）∵O 的半为2∴4AC =, ∵3cos 5B =由（1）知，90ACB ∠=， ∴5AB = ,3BC =∴3BF = ,2AF = ………………………… 3分 ∵EAD ACE ∠=∠, E E ∠=∠ ∴AEF ∆∽CEA ∆，∴12EA AF EC CA == ∴2EC EA =， …………………………4分设 ,2EA x EC x ==由勾股定理 22416x x +=，x = （舍负） ∴5CE =…………………………5分12.（2013通州一模21） (1)证明：连接OD. ∵OD OA =，∴OAD ODA ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠， ∴BAD CAD ∠=∠， ∴ODA CAD ∠=∠，∴AE ∥OD ， ∵DE AE ⊥， ∴ED DO ⊥， ∵点D 在⊙O 上，∴ED 是⊙O 的切线； ……………… 2分；（2）解法一：连接CB ,过点O 作OG AC ⊥于点G .…………… 3分；C 第21题图∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o ， ∵OG AC ⊥， ∴OG ∥CB ， ∴AG ACAO AB=， ∵5AC =3AB ，∴35AG AO =， ……………… 4分； 设35AG x AO x ==，，∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴四边形EGOD 是矩形， ∴EG OD =，AE ∥OD ，∴5DO x =，5GE x =，8AE x =, ∴△AEF ∽△DFO ，∴EF AEFO OD =， ∴85EF FO = ，∴135EO FO =. ……………… 5分．解法二：连接CB ,过点A 作AH DO ⊥交DO 的延长线于点H . ………… 3分；∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴四边形AHDE 是矩形， ∴EA DH =，AE ∥HD ，AH ∥ED ，∴CAB AOH ∠=∠， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o ， ∴ACB AHO ∠=∠， ∴△AHO ∽△BCA ， ∴OH ACAO AB=， ∵5AC =3AB ，∴35OH AO =， ……………… 4分； 设35OH x AO x ==，，∴5DO x =，8AE DH x ==, ∵AE ∥HD ， ∴△AEF ∽△DFO ，第21题图第21题图∴EF AEFO OD =， ∴85EF FO = ，∴135EO FO =. ……………… 5分．解法三：连接CB ,分别延长AB 、ED 交于点G . ………… 3分； ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴AE ∥OD ，90ODG ∠=o ，∴CAB DOG ∠=∠， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o， ∴ACB ODG ∠=∠， ∴△GDO ∽△BCA ， ∴OD ACOG AB=， ∵5AC =3AB ，∴35OD OG =， ……………… 4分； 设35OD x OG x ==，，∴5AO x =，8AG AO OG x =+=, ∵AE ∥OD ，∴△AEG ∽△ODG ，△AEF ∽△DFO ，∴ AG AE OG OD = ， EF AEFO OD =， ∴85EF FO = ，∴135EO FO =. ……………… 5分.13.（2013西城一模20）（1）证明：连接OD . （如图3） ∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC . ∵AB =AC ， ∴∠ACB =∠B . ∴∠ODC =∠B .∴OD ∥AB . ……………………………………………… 1分 ∴∠ODF =∠AEF .∵EF ⊥AB ，第21题图E B图3∴∠ODF =∠AEF =90°.∴OD ⊥EF .∵OD 为⊙O 的半径，∴EF 与⊙O 相切. ………………………………………………2分 （2）解：由（1）知：OD ∥AB ，OD ⊥EF .在Rt △AEF 中，sin ∠CFD = AE AF = 35，AE=6.∴AF =10. ………………………………………………………………3分 ∵OD ∥AB ， ∴△ODF ∽△AEF.∴AEODAF OF. 设⊙O 的半径为r ，∴10-r 10 = r6. 解得r = 154. (4)分∴AB = AC =2r = 152.∴EB =AB -AE = 152 -6= 32. ………… 5 分14.（2013延庆一模23）（1）证明：过O 点作OE⊥CD，垂足为E ， ∵AC 是切线，∴OA⊥A C ， ……………………………………………2分 ∵CO 平分∠ACD，OE⊥CD，∴OA=OE， ………………………………3分 ∴CD 是⊙O 的切线． ………………………………4分 （2）解：过C 点作CF⊥BD，垂足为F ，……………5分 ∵AC、CD 、BD 都是切线， ∴AC=CE=2，BD=DE=3，∴CD=CE+DE=5， …………………………6分 ∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°， ∴四边形ABFC 是矩形， ∴BF=AC=2，DF=BD ﹣BF=1，在Rt △CDF 中，CF 2=CD 2﹣DF 2=52﹣12=24， ∴AB=CF=2． …………………………………………………7分15.（2013燕山一模20）⑴证法一：如图，连结OD ，∵AC ＝BC ， ∴∠A ＝∠ABC ∵OD ＝OB ，∴∠ABC ＝∠BDO ， ∴∠BDO ＝∠A ，∴OD∥AC ， ………………………1分 ∵AC DF ⊥，∴DF OD ⊥，∴直线EF 是⊙O 的切线． ………………………2分证法二：如图，连结OD ，CD ，∵BC 是⊙O 直径，∴∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB ．∵AC ＝BC ，∴AD ＝BD ，即D 是AB 的中点． ………………………1分 ∵O 是BC 的中点， ∴DO∥AC ．∵EF ⊥AC 于F ， ∴DO EF ⊥，∴直线EF 是⊙O 的切线． ………………………2分⑵解法一：如图，连结CD ，由⑴证法二，∠BDC ＝90°，D 是AB 的中点，AB ＝43， ∴AD ＝BD ＝23．在Rt △ADC 中，AC ＝6，AD ＝23，由勾股定理得：CD ＝22AD AC -＝26，又∵EF ⊥AC ， ∴DF ＝ACCD AD⋅＝66232⋅＝22，∴CF ＝22DF CD -＝4， …………………4分 又∵DO∥C F ， ∴CF OD EF ED =，即4322=+ED ED ，解得ED ＝62． ………………………5分 解法二：如图，连结OD ，CD ，BG ，同解法一得∠BDC ＝90°，CD ＝26， ………………………3分 ∵BC 是⊙O 直径，∴∠BGC ＝90°， 在△ABC 中，有CD AB ⋅⋅21＝BG AC ⋅⋅21， ∴BG ＝ACCD AB ⋅＝66234⋅＝42， ………………………4分又∵∠BGC ＝∠CFE ＝90°， ∴BG EF ∥，∴∠E ＝∠GBC ． 在Rt △BGC 中，BC ＝6，BG ＝42， ∴CG ＝22BG BC -＝2，tan ∠GBC ＝BG CG ＝31， 在Rt △EOD 中，OD ＝21BC ＝3，tan ∠E ＝tan ∠GBC ＝31，∴ED ＝EOD∠tan ＝62． ………………………5分16.（2013朝阳二模20）（1）证明：在△ABC 中，∵AC=BC ，∴∠ CAB = ∠B .∵∠ CAB +∠B +∠C ＝180º， ∴2∠B +∠C ＝180º.∴12BC ? ＝90º. ……………………………………………………1分 ∵∠BAD ＝12∠C ，∴B BAD ? ＝90º.∴∠ADB ＝90º. ∴AD ⊥BC.∵AD 为⊙O 直径的，∴直线BC 是⊙O 的切线. …………………………………………………2分（2）解：如图，连接DF ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AFD = 90º. ……………………………………………………………………3分 ∵∠ADC ＝90º，∴∠ADF +∠FDC ＝∠CD +∠FDC ＝90º.∴∠ADF ＝∠C . …………………………………………………………………4分 ∵∠ADF ＝∠AEF ，tan ∠AEF ＝43， ∴tan ∠C ＝tan ∠ADF ＝43. 在Rt△ACD 中， 设AD ＝4x ，则CD ＝3x .BA∴5.AC x = ∴BC ＝5x ，BD ＝2x . ∵AD ＝4， ∴x ＝1.∴BD ＝2. ……………………………………5分17.（2013丰台二模20）（1）证明：连结OC∵ 点C 在⊙O 上，OA =OC ，∴ .OCA OAC ∠=∠∵ CD PA ⊥，∴ 90CDA ∠= ，有90CAD DCA ∠+∠= . ∵ AC 平分∠PAE ，∴ .DAC CAO ∠=∠ ∴ .DAC OCA ∠=∠ ---------1分∴ 90.DCO DCA ACO DCA DAC ∠=∠+∠=∠+∠=∵ 点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，∴ CD 为⊙O 的切线. ---------2分 （2）解: 过点O 作OG ⊥AB 于G.∵90OCD ∠= ,CD PA ⊥,∴四边形OCDG 是矩形. ∴OG =CD , GD =OC . ---------3分 ∵ ⊙O 的直径为10，∴OA =OC =5.∴DG =5. ∵tan ∠ACD 12AD CD ==，设AD =x , CD=2x ,则OG=2x.∴ AG =DG-AD=5- x . 在Rt AGO △中，由勾股定理知222.AG OG OA +=∴ ()22(5)225.x x -+= 解得122,0()x x ==舍. ----------------4分∴ 22(52)6AB AG ==⨯-= . -------------------------5分18.（2013海淀二模20） (1)证明：连接AF .∵AB 为直径， ∴∠90AFB =︒. ∵AE AB =，∴△ABE 为等腰三角形.∴∠12BAF =∠BAC . ∵BAC EBC ∠=∠21，∴∠BAF =∠.EBC -------------------------1分∴∠FAB +∠FBA =∠EBC +∠90FBA =︒.∴∠90ABC =︒ .∴BC 与⊙O 相切. -------------------------2分 (2) 解：过E 作EG BC ⊥于点.G∠BAF =∠EBC ，∴1sin sin 4BAF EBC ∠=∠=. 在△AFB 中，∠90AFB =︒， ∵8AB =，∴BF AB =⋅sin ∠18 2.4BAF =⨯=--------------3分∴24BE BF ==.在△EGB 中，∠90EGB =︒， ∴1sin 4 1.4EG BE EBC =⋅∠=⨯=------------------4分∵EG BC ⊥，AB ⊥BC ， ∴EG ∥.AB ∴△CEG ∽△.CAB∴CE EGCA AB =. ∴1.88CE CE =+ ∴8.7CE =∴8648.77AC AE CE =+=+= -------------------------5分19.（2013西城二模21）(1)证明：连接OD .∵DE 是⊙O 的切线，∴DE ⊥OD ，即∠ODE=90° . ……………………………………………1分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴O 是AB 的中点. 又∵D 是BC 的中点， . ∴OD ∥AC .∴∠DEC=∠ODE= 90° .∴DE ⊥AC . ……………………………………………………………… 2分(2)连接AD .∵OD ∥AC ， ∴ECODFC OF =. …………………………………………………………………… 3分 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB= ∠ADC =90° . 又∵D 为BC 的中点，∴AB =AC . ∵sin ∠ABC= AD AB=34，故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分∵DE ⊥AC ，∴∠ADC= ∠AED= 90°. ∵∠DAC= ∠EAD ， ∴△ADC ∽△AED . ∴=AD ACAE AD. ∴AC AE AD ⋅=2. ∴94=AE x .∴74=EC x .∴87==OF OD FC EC . ………………………………………………………………… 5分 20.（2013东城二模21）解：（1）证明：连接OA ． ∵∠B =60°，∴∠AOC =2∠B =120°．又∵OA=OC ，∴∠ACP =∠CAO =30°．∴∠AOP =60°． ∵AP=AC ，∴∠P =∠ACP =30°． ∴∠OAP=90°，∴OA ⊥A P ．∴ AP 是⊙O 的切线． …………………2分 （2）解：连接AD ．∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CAD =90°．∴AD =AC •tan30°=33⨯∵∠ADC =∠B =60°，∴∠PAD =∠ADC ﹣∠P =60°﹣30°=30°．∴∠P =∠PAD ．∴PD=AD …………………5分。
2013年北京市数学中考一、二模拟题分类汇编：几何综合
第九章 几何综合1.（2013.昌平一模24）在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A2.（2013.朝阳一模24）在R t △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点． （1）如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EBDC的值； （2）如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC ，求k 的值．图2B 图 1FB3.（2013.大兴一模24）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EF GP的面积为S，请直接写．．S．．．出．S与x的函数关系式，并求出的最小值．4.（2013.东城一模24）问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=12∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.5.（2013.房山一模24）（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE = AD.（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是（只填序号即可）①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.6.（2013.海淀一模24）在△ABC中，∠ACB＝90︒．经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于ABC∠，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．（1）若45ABC∠=︒，CD=1（如图），则AE的长为；（2）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；（3）若直线CE、AB交于点F，56CFEF=，CD=4，求BD的长．ABB第24题图1第24题图2AD7.（2013.怀柔一模24）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD 、BN,CD 的延长线交BN 于点F ．（1）当∠A DN 等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由；（2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，并说明理由．8.（2013.门头沟一模24）已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，点M 在线段DF 上，且∠BAE ＝∠BDF ，∠ABE ＝∠DBM ．（1） 如图1，当∠ABC ＝45°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ； （2） 如图2，当∠ABC ＝60°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；（3）① 如图3，当ABC α∠=（0<<90α︒︒）时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是；② 在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连结CP ，若AB ＝7，AE＝求sin ∠ACP 的值．AB CDEF M MFED CA ACD EF M 图1图2图39.（2013.密云一模24）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，， 60B =︒∠. （1）点E 到BC 的距离为 ；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.C（备用）A D EB F CA DE BF CP N10.（2013.平谷一模24）（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且BD CE =，连接AE 、CD 相交于点P .请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN =，连接AN 、CM 相交于点P ，请你猜想∠APM = °，并写出你的推理过程.11.（2013.石景山一模24）如图，△ABC 中，∠90ACB =︒, 2=AC ，以AC 为边向右侧作等边三角形ACD ．（1）如图24-1,将线段AB 绕点A 逆时针旋转︒60，得到线段1AB ，联结1DB ，则与1DB 长度相等的线段为 （直接写出结论）；（2）如图24-2，若P 是线段BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,求ADQ ∠的度数；（3）画图并探究：若P 是直线BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,是否存在点P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．12.（2013.西城一模24）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =α，点P 在△ABC 的内部．(1) 如图1，AB =2AC ，PB =3，点M 、N 分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______， △PMN 周长的最小值为_______；(2) 如图2，若条件AB =2AC 不变，而PA =2，PB =10，PC =1，求△ABC 的面积； (3) 若PA =m ，PB =n ，PC =k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数．图24-1 图24-2DB 1ABCD备用图ACD备用图ACD13.（2013.顺义一模24）如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合．三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点.G（1）求证：EF EG =；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =，BC b =，求EFEG的值．14.（2013.通州一模24）已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.15.（2013.海淀二模24）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，ABC α∠=. 过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD ．图1 图2 （1）求证：AC AD =；（2）点G 为线段CD 延长线上一点，将射线GC 绕着点G 逆时针旋转β，与射线BD 交于点E ．①若βα=，2GD AD =，如图2所示，求证：2DEG BCD S S ∆∆=； ②若2βα=,GD kAD =，请直接写出DEGBCDS S ∆∆的值（用含k 的代数式表示）．第九章 几何综合参考答案1.（2013.昌平一模24）解：（1）如图1，依题意得：△A 1C 1B ≌△ACB .……… 1分∴BC 1=BC ，∠A 1C 1B =∠C =30°. ∴∠BC 1C = ∠C =30°.∴∠CC 1A 1 = 60°.…………………………… 2分A DB CA 1C 1ABC图1（2）如图2，由（1）知：△A 1C 1B ≌△ACB .∴A 1B = AB ，BC 1 = BC ，∠A 1BC 1 =∠ABC . ∴∠1 = ∠2，114263A B AB C B BC === ∴ △A 1BA ∽△C 1BC ………………… 3分 ∴112ΔΔ2439A BA C BCS S ⎛⎫== ⎪⎝⎭. ………………4分∵1Δ3C BC S =， ∴1Δ43A BA S =. ……………………………5分（3）线段EP 1长度的最大值为8，EP 1长度的最小值1. ………… 7分2.（2013.朝阳一模24）解：(1)EB DC =. ………………………………………………………………………2分 (2)过点C 作CF ∥EB 且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G , 连接BF .∴四边形EBFC 是平行四边形. …………………………………………………3分 ∴CE ∥BF 且CE =BF . ∴∠ABF =∠A =90°. ∵BF =CE =kAB .∴BFk AB=. ∵BD =kAE ，∴BDk AE=.… ……………………………………………………………………4分 ∴BF BD AB AE=.∴DBF ∆∽EAB ∆. ……………………………………………………………5分 ∴DFk BE=,∠GDB=∠AEB . ∴∠DGB =∠A =90°. ∴∠GFC =∠BGF =90°. ∵12CF EB DC DC ==. 21C 1CBA 1A图2B∴DF DFEB CF==∴k…………………………………………………………………………7分3.（2013.大兴一模24）（1）证明： ∵PE=BE ， ∴∠EBP=∠EPB . 又∵∠EPH=∠EBC=90°, ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP . 即∠PBC=∠BPH . 又∵AD ∥BC , ∴∠APB=∠PBC .∴∠APB=∠BPH . ………………………………………2分 （2）△PHD 的周长不变，为定值 8 ………………………3分 证明：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q 由（1）知∠APB=∠BPH 又∵ ∠A=∠BQP=90°，BP=BP ∴ △ABP ≌△QBP ∴ AP=QP , AB=BQ 又∵ AB=BC ∴ BC = BQ又∵ ∠C=∠BQH=90°，BH=BH ∴ △BCH ≌△BQH ∴ CH=QH∴ △PHD 的周长为：PD+DH+PH =AP+PD+DH+HC =AD+CD =8………………5分（3）21282S x x =-+ 配方得，21(2)62S x =-+，∴当x =2时，S 有最小值6 …………………………………7分4.（2013.东城一模24）（本小题满分7分）AB CDEF G H PQ=180°，=180°．BN5.（2013.房山一模24）(1)证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60° ∴∠BCE=∠ACD∴△BCE ≌△ACD （SAS ）∴BE=AD --------------1分 （2）①②③都正确 --------------4分 （3）证明：在PE 上截取PM=PC ，联结CM由（1）可知，△BCE ≌△ACD （SAS ） ∴∠1=∠2设CD 与BE 交于点G,,在△CGE 和△PGD 中 ∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60° ∴△CPM 是等边三角形--------------5分 ∴CP=CM ，∠PMC=60° ∴∠CPD=∠CME=120°∵∠1=∠2,∴△CPD ≌△CME （AAS ）---6分 ∴PD=ME∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD. -------7分即PB+PC+PD=BE .6.（2013.海淀一模24）（1）2AE =.………………………1分（2）线段AE 、CD 之间的数量关系为2AE CD =.………………………2分 证明：如图1，延长AC 与直线l 交于点G ． 依题意，可得∠1＝∠2． ∵∠ACB ＝90︒， ∴∠3=∠4. ∴BA BG =.∴CA ＝CG ．………………………3分∵AE ⊥l ，CD ⊥l ， ∴CD ∥AE ． ∴△GCD ∽△GAE ． ∴12CD GC AE GA =＝． ∴2AE CD =．………………………4分AACB（3）解：当点F 在线段AB 上时，如图2， 过点C 作CG ∥l 交AB 于点H ，交AE 于点G ． ∴∠2＝∠HCB ． ∵∠1=∠2， ∴∠1＝∠HCB ． ∴CH BH =． ∵∠ACB ＝90︒，∴∠3+∠1＝∠HCB +∠4 =90︒． ∴∠3＝∠4． ∴CH AH BH ==． ∵CG ∥l ，∴△FCH ∽△FEB ． ∴56CF CH EF EB =＝． 设5,6CH x BE x ==，则10AB x =．∴在△AEB 中，∠AEB ＝90︒，8AE x =． 由（2）得，2AE CD =． ∵4CD =, ∴8AE =. ∴1x =.∴10,6,5AB BE CH ===． ∵CG ∥l ，∴△AGH ∽△AEB ． ∴12HG AH BE AB ==． ∴3HG =．………………………5分 ∴8CG CH HG =+=． ∵CG ∥l ，CD ∥AE , ∴四边形CDEG 为平行四边形. ∴8DE CG ==.∴2BD DE BE =-=．……………………6分 当点F 在线段BA 的延长线上时，如图3， 同理可得5CH =,3GH =,6BE =. ∴DE =2CG CH HG =-=． ∴ 8BD DE BE =+=．∴2BD =或8．……………………7分7.（2013.怀柔一模24）（1）解：图3图2当∠ADN 等于90度时，∠ACE=∠EBF. ……………………………1分 理由如下：∵∠ACB=∠ADN =90°， ∴△ABC 和△AND 均为直角三角形 又∵AC=AD ，AB=AN∴△ABC ≌△AND ……………………………2分 ∴∠CAB=∠DAN∴∠CAD=∠BAN 又∠ACD=∠ADC, ∠ABN=∠ANB∴∠ACD= ∠ABN 即∠ACE=∠EBF……………………………3分（2）解：当2βα=时，△ACE ≌△FBE ． ……………………………4分在△ACD 中，∵AC=AD ，∴αβ-=-=∠-=∠ 9021802180CAD ACD ……………………………5分在Rt △ABC 中，∠ACD+∠BCE=90°，即9090BCE α︒-+∠=︒，∴∠BCE=α．∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE ……………………6分 ∴CE=BE由（1）知：∠ACE=∠EBF,又∠AEC=∠BEF∴△ACE ≌△FBE ．………………………7分8.（2013.门头沟一模24）解：（1）DM AE =．………………………………………………………………………2分（2）12DM AE =． ………………………………………………………………3分 （3）① cos DM AE =α． …………………………………………………………4分② 如图，连结AD 、EP ． ∵AB =AC ，∠ABC =60°， ∴△ABC 为等边三角形．又∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠DAC =30°，BD =DC =12BC =72． ∵∠BAE =∠BDM ，∠ABE =∠DBM ，∴△ABE ∽△DBM ． ∴12BM DB BE AB ==．∴EB =2BM ． 又∵PB =2BM ，∴EB =PB ．∵60EBP ABE ABP PBC ABP ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒, ∴△BEP 为等边三角形． ∴EM ⊥BP ．∴∠BMD =90°．∵D 为BC 的中点，M 为BP 的中点，∴DM ∥PC ．∴∠BPC =∠BMD = 90°． ∵AB CB =，BE BP =，∠ABE ＝∠DBM ， ∴△ABE ≌△CBP ．∴BCP BAE ∠=∠，∠BPC =∠BEA = 90°．在Rt △AEB 中，∵∠BEA =90°，AE=AB =7，∴cos EAB ∠=∴cos cos PCB BAE ∠=∠=5分 在Rt △ABD中，sin AD AB ABD =⋅∠= 在Rt △NDC中，cos DC CN NCD =∠∴ND =∴NA AD ND =-=． 过点N 作NH ⊥AC 于H ．∴12NH AN ==6分∴sin NH ACP CN ∠==……………………………………………………7分9.（2013.密云一模24）（1）如图1，过点E 作EG ⊥BC 于点G ． ∵E 为AB 的中点，HP ACEF M N 图2①当点N 在线段AD 上运动时，周长不变．∵PM ⊥EF ，EG ⊥EF ， ∴PM ∥EG ． ∵EF ∥BC ，同理MN=AB=4．如图2，过点P 作PH ⊥MN 于H ， ∵MN ∥AB ，∴∠NMC=∠B=60°，∠PMH=30度． ②当点N 上运动时，存在．M N=2MR=310.（2013.平谷一模24）解：（1）60°……………..1分 （2）45° ………………………………..2分证明：作AE ⊥AB 且AE CN BM ==.可证EAM MBC ∆≅∆. ……………………………..3分 ∴ ,.ME MC AME BCM =∠=∠∵ 90,CMB MCB ∠+∠=︒∴ 90.CMB AME ∠+∠=︒ ∴ 90.EMC ∠=︒∴ EMC ∆是等腰直角三角形,45.MCE ∠=︒ ...................5分 又△AEC ≌△CAN （s ， a ， s ）.. (6)分∴ .ECA NAC ∠=∠ ∴ EC ∥AN. ∴45.APM ECM ∠=∠=︒…………………………………………………………………..7分11.（2013.石景山一模24）解：(1) BC …………………………… 1分 （2由作图知AQ AP =，∠︒=06PAQ ∵△ACD 是等边三角形．∴AD AC =,PAQ CAD ∠=︒=∠06 ∴QAD PAC ∠=∠ 在△PAC 和△QAD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AC QAD PAC AQ AP ∴△PAC ≌△QAD∴︒=∠=∠90ACP ADQ …………………………… 3分 （3）如图3，同①可证△PAC ≌△QAD ，︒=∠=∠90ACP ADQ图3 图4AB CDPQD BQPCA当AD ∥CQ 时，︒=∠-︒=∠90180ADQ CQD∵︒=∠60ADC ∴︒=∠30QDC ∵2==AC CD∴31==DQ CQ ，∴3==DQ PC 且AD CQ ≠…………………………… 5分∴此时四边形ACQD 是梯形．如图4，同理可证△PAC ≌△QAD ,︒=∠=∠90ACP ADQ 当AQ ∥CD 时，︒=∠=∠60ADC QAD ,︒=∠30AQD∵2==AC AD∴4AQ DQ ==，∴PC DQ ==此时DQ 与AC 不平行，四边形ACDQ 是梯形．综上所述，这样的点P 有两个，分别在C 点两侧，当P 点在C 点左侧时，3=PC ；当P 点在C点右侧时，PC =…………………………… 7分12.（2013.西城一模24）解：（1）cos α，△PMN 周长的最小值为 3 ； …………2分（2）分别将△PAB 、△PBC 、△PAC 沿直线AB 、BC 、AC 翻折，点P 的对称点分别是点D 、E 、F ，连接DE 、DF ，（如图6）则△PAB ≌△DAB ，△PCB ≌△ECB ，△PAC ≌△FAC . ∴AD =AP =AF ， BD =BP =BE ，CE =CP =CF .∵由（1）知∠ABC =30°，∠BAC =60°，∠ACB =90°， ∴∠DBE =2∠ABC =60°，∠DAF =2∠BAC =120°， ∠FCE =2∠ACB =180°.∴△DBE 是等边三角形，点F 、C 、E 共线.∴DE =BD =BP EF =CE +CF =2CP =2. ∵△ADF 中，AD =AF ，∠DAF =120°， ∴∠ADF =∠AFD =30°.∴DF .∴22210EF DF DE +==.∴∠DFE =90°. ………………………………………………………4分PBAC DE F图6∵2ABC DBE DFE DAF BDAFE S S S S S ∆∆∆∆==++多边形，∴2112222ABC S ∆=++=∴ABC S ∆=. ……………………………………………5分 （3）∠APB =150°. ………………………………………………………… 7分 说明：作BM ⊥DE 于M ，AN ⊥DF 于N .（如图7） 由（2）知∠DBE =2α，∠DAF =1802α- . ∵BD =BE=n ，AD =AF=m ， ∴∠DBM =α，∠DAN =90α- . ∴∠1=90α- ，∠3=α. ∴DM =sin n α，DN =cos m α. ∴DE =DF =EF . ∴∠2=60°.∴∠APB =∠BDA =∠1+∠2+∠3=150°.13.（2013.顺义一模24）（1）证明：∵9090GEB BEF DEF BEF ∠+∠=∠+∠=°，°，∴.DEF GEB ∠=∠ 又∵ED BE =，∴Rt Rt FED GEB △≌△.∴.EF EG = ………………………………………………………2分（2）成立.证明：如图，过点E 分别作BC CD 、的垂线，垂足分别为H I 、，则90EH EI HEI =∠=，°.∵9090GEH HEF IEF HEF ∠+∠=∠+∠=°，°，∴.IEF GEH ∠=∠∴Rt Rt FEI GEH △≌△.∴.EF EG = …………………………………4分321NMPACD EFB图7（3）解：如图，过点E 分别作BC CD 、的垂线，垂足分别为M N 、，则90MEN ∠=°，.EM AB EN AD ∥，∥∴.EM CE EN AB CA AD == ∴.EM AD a EN AB b ==…………………………………5分 ∴9090GME MEF FEN MEF ∠+∠=∠+∠=°，°， ∴.MEN GEM ∠=∠∴Rt Rt FEN GEM △∽△. ∴.EF EN b EG EM a ==…………………………………7分14.（2013.通州一模24）解：（1）过点A 作AG BC ⊥于点G . ∵∠ADB=60°，2AD =， ∴1DG =，AG =∴ 3GB =，∴tan AG ABG BG ∠==， ∴30ABG ∠=o，AB = ……………… 1分； ∵ △ABC 是等边三角形，∴ 90DBC ∠=o，BC =， ……………… 2分；由勾股定理得：CD ===…… 3分；（2）作60EAD ∠=o ，且使AE AD =，连接ED 、EB . ………… 4分； ∴△AED 是等边三角形， ∴AE AD =，60EAD ∠=o ，∵ △ABC 是等边三角形， ∴AB AC =，60BAC ∠=o ，∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠， 即EAB DAC ∠=∠，∴△EAB ≌△DAC . ……………… 5分；∴EB =DC .G第24题图D CBA 第24题图ECBA当点E 、D 、B 在同一直线上时，EB 最大，∴246EB =+=， ……………… 6分； ∴ CD 的最大值为6，此时120ADB ∠=o . ……………… 7分. 另解：作60DBF ∠=o ，且使BF BD =，连接DF 、AF . 参照上面解法给分.15.（2013.海淀二模24）解:(1) ∵BD 平分ABC ∠，∴12∠=∠． ∵AD ∥BC ， ∴23∠=∠．∴13∠=∠．---------------1分 ∴AB AD =． ∵AB AC =，∴AC AD =．---------------2分 （2）①证明：过A 作AH BC ⊥于点H ．∴90AHB ∠=．∵AB AC =，ABC α∠=， ∴ACB ABC α∠=∠=． ∴1802BAC α∠=︒-． 由（1）得=AB AC AD =．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．∴12BDC BAC ∠=∠． ∴90GDE BDC α∠=∠=︒-.----------3分∵G ∠=β=αABC =∠， ∴90G GDE ∠+∠=︒． ∴90DEG AHB ∠=∠=︒．∴△DEG ∽△AHB ．------------------4分 ∵2GD AD =，AB AD =，FA BCD第24题图∴22DEG AHB S GD S BA ∆∆==4． ∵AD ∥BC ，∴2BCD ABC AHB S S S ∆∆∆==．∴2DEG BCD S S ∆∆=．----------------------5分 ②2=DEG BCDS k S ∆∆． -------------------------7分。
北京中考数学一、二模拟考试代几综合试题汇编
2013年北京中考数学一、二模拟考试代几综合试题汇编1.（2013.昌平一模25）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C在x轴上，点A，E在y轴上，OB︰OC=1︰3，AE=7，且tan∠OCE=3，tan∠ABO=2.（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）点D在（1）中的抛物线上，四边形ABCD是以BC为一底边的梯形，求经过B、D两点的一次函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点D作直线DQ∥y轴交线段CE于点Q，在抛物线上是否存在点P，使直线PQ与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.2.（2013.朝阳一模25）如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．(1)求此二次函数的解析式．(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．①直接写出点P所经过的路线长．②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF的度数；若变化，请说明理由．③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．3.（2013.大兴一模25）小明同学在研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请你帮小明解答以下问题：（1）若测得（如图1），求的值；（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；（3）对该抛物线，小明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、所连的线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．。
2013年东城区初三中考一模数学试题及答案(免费下载)
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2009-2013年北京市中考试题之几何综合题集锦
2009-2013年北京市中考试题之几何综合题集锦例1．（2013年北京）24．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
图1 图2（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。
解：（1）30-.2ABD =α∠……………………………………………………………1分 （2）△ABE 是等边三角形．………………………………………………………2分 证明：连结AD ，CD ．∵ ∠DBC =60°，BD =BC ，∴ △BDC 是等边三角形，∠BDC =60°，BD =DC …………………3分又∵ AB =AC ，AD =AD ， ∴ △ABD ≌△ACD ． ∴ ∠ADB =∠ADC ，∴ ∠ADB=150°．………………4分 ∵ ∠ABE =∠DBC =60°， ∴ ∠ABD =∠EBC ．又∵ BD =BC ，∠ADB =∠ECB =150°， ∴ △A BD ≌△EBC ． ∴ AB =EB ．∴ △ABE 是等边三角形．…………………………………………5分 （3）解：∵ △BDC 是等边三角形， ∴ ∠BCD =60°．∴ ∠DCE =∠BCE -∠BCD =90° 又∵ ∠DEC =45°，∴ CE =CD =BC ．………………………………………………………6分 ∴ ∠EBC =15°． ∵ ∠EBC =∠ABD =30°-2α，∴ α=30°．……………………………………………………………7分 例2．（2012年北京）24．在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。
2013年北京二模数学代数几何综合题汇编(无需编辑)
2013年北京二模数学代数几何综合题汇编1．（西城区）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 和抛物线W交于A ，B 两点，其中点A 是抛物线W 的顶点．当点A 在直线l 上运动时，抛物线W 随点A 作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB 的长度保持不变． 应用上面的结论，解决下列问题：如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y x =-．点A 是直线1l 上的一个动点，且点A 的横坐标为t ．以A 为顶点的抛物线21:C y x bx c =-++与直线1l 的另一个交点为点B ． (1) 当0t =时，求抛物线1C 的解析式和AB 的长；(2) 当点B 到直线OA 的距离达到最大时，直接写出此时点A 的坐标；(3) 过点A 作垂直于y 轴的直线交直线21:2l y x =于点C ．以C 为顶点的抛物线22:C y x mx n =++与直线2l 的另一个交点为点D ．①当AC ⊥BD 时，求t 的值；②若以A ，B ，C ，D 为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的t 的取值范围．图2 备用图2．（海淀区）在平面直角坐标系xOy 中，点的坐标是，过点作直线垂直轴，点是直线上异于点的一点，且.过点作直线的垂线m ，点在直线m 上，且在直线的下方，.设点的坐标为.（1） 判断△OBC 的形状，并加以证明； （2） 直接写出与的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（3） 延长交（2）中所求函数的图象于点.求证：CD =CO ×DO .A 0,2()A l yB l A ÐOBA =a B lC l ÐOCB =2a C x ,y ()y x COD3. （东城区）定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点.（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是______ .（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d.（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长.4．（石景山区）（1）如图1，把抛物线2y x =-平移后得到抛物线1C ，抛物线1C 经过点(4,0)A -和原点(0,0)O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线2y x =-交于点Q ，则抛物线1C 的解析式为____________；图中阴影部分的面积为_____．（2）若点C 为抛物线1C 上的动点，我们把90ACO ∠=时的△ACO 称为抛物线1C 的内接直角三角形.过点(1,0)B 做x 轴的垂线l ，抛物线1C 的内接直角三角形的两条直角边所在直线AC 、CO 与直线l 分别交于M 、N 两点，以MN 为直径的⊙D 与x 轴交于E 、F 两点,如图2.请问：当点C 在抛物线1C 上运动时，线段EF 的长度是否会发生变化？请写出并证明你的判断．图1图25.（丰台区）如图，把△OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，32,2OA AB ==，把△OAB 沿轴的负方向平移2OA 的长度后得到△DCE .（1）若过原点的抛物线2+yax bx c =+经过点B 、E ，求此抛物线的解析式； （2）若点在该抛物线上移动，当点P 在第一象限内时，过点作轴于点，连结.若以、、为顶点的三角形与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似，直接写出点的坐标；（3）若点M (-4，n ) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M 的对应点为M ′，点B 的对应点为B ′．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6. （大兴区）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=45．（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．7. （昌平区）如图，已知半径为1的1O e 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O e 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8. （顺义区）已知抛物线c bx x y ++-=241与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C ，连 AC 、BC ，D 是线段OB 上一动点，以CD 为一边向右侧作正方形CDEF ，连结BF 。
2013年北京市数学中考一、二模拟题分类汇编：四边形
四边形1.（2013顺义一模19）已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD DC ⊥，45ABD ∠=︒，30ACD ∠=︒，AD CD ==，求AC 和BD的长.2.（2013石景山一模19）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD DC ⊥，△DBC 是等边三角形，︒=∠45ABD ，2=AD .求四边形ABCD 的周长.3.（2013西城一模19）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， AC ⊥AB ，AB =2，且AC ︰BD =2︰3． (1) 求AC 的长； (2) 求△AOD 的面积．DCBADCBAEA4.（2013平谷一模19）已知：如图，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，120D ∠=︒，E是AD 上一点，∠BED=135°，BE =DC =2DE = 求(1)点C 到直线AD 的距离； （2）线段BC 的长．5.（2013通州一模20）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC ，△DCE 是等边三角形，DE交AB 于点F ，求△BEF 的周长．6.（2013密云一模19）如图，已知菱形ABCD ，AB=AC ，E 、F 分别是BC 、AD的中点，连接AE 、CF（1）证明：四边形AECF 是矩形； （2）若AB=8，求菱形的面积。
DA DFEB C7.（2013门头沟一模19）如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠ADC =120º，AB =AD ，E 是BC 的中点，DE =15，DC =24，求四边形ABCD 的周长．8.（2013丰台一模19）如图，四边形ABCD 中，AB = AD ，∠BAD =90°，∠CBD =30°，∠BCD =45°， 若AB =22.求四边形ABCD 的面积．9.（2013海淀一模19）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ,BD 相交于点E ,DAB ∠=CDB ∠=90︒,ABD ∠=45︒,∠DCA =30︒,AB =.求AE 的长和△ADE 的面积．ABCDDCE AB10.（2013怀柔一模19）将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△ABC）的长直角边与含45°角的三角板（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝23，P是AC上的一个动点，连接DP．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；11.（2013房山一模19）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,A C=10,试求CD的长．12.（2013朝阳一模19）如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，∠B=60°，AD=6，AB=3，AB⊥AC,在CD上选取一点E，连接AE，将△ADE沿AE翻折，使点D落在AC上的点F处．求（1）CD的长；（2）DE的长．第19题图13.（2013昌平一模21）已知：如图，在□ABCD 中，∠BAD ，∠ADC 的平分线AE ，DF 分别与线段BC 相交于点E ，F ，AE 与DF 相交于点G ．（1）求证：AE ⊥DF ；（2）若AD =10，AB =6，AE =4，求DF 的长．GA EBCDF14.（2013大兴一模19）已知：如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线BE 平行于对角线AC ，AE=AC （E ，C 均在AB 的同侧）.求证：∠CAE=2∠BAE .15.（2013东城一模20）如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点． （1）求证：∠CED =∠DAG ；（2）若BE =1，AG =4，求sin AEB 的值．EDCBA16.（2013燕山一模19）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，∠C＝60°，AD＝3，E为DC 中点，AE∥BC．求BC的长和四边形ABCD的面积．第五章四边形参考答案1.（2013顺义一模19）解：∵BD DC⊥∴90BDC∠=︒∵30ACD∠=︒，AD CD==，∴60,30,DEC DAC ACD∠=︒∠=∠=︒tan302DE CD=⋅︒==EBACD∴ 24EC DE == ，30ADE ∠=︒ …………………………………………1分∴ 2AE DE == ……………………………………………………… 2分- ∴ 246AC AE EC =+=+= ………………………………………………3分过点A 作AM BD ⊥,垂足为M ∵ 60AEB DEC ∠=∠=︒∴sin 602AM AE =⋅︒== 1cos60212ME AE =︒=⨯= ………………………………………………4分 ∵45ABD ∠=︒∴BM AM ==∴123BD BM ME DE =++=+=+…………………………5分2.（2013石景山一模19）解：过点A 作BD AE ⊥于点E ………1分∵AD DC ⊥ ∴︒=∠90ADC ∵△DBC 是等边三角形 ∴︒=∠60BDC∴︒=∠30ADB ………………… 2分 在Rt △AED 中，2=AD ∴121==AD AE 由勾股定理得：3=DE ………………………………3分在Rt △AEB 中，︒=∠45ABD ∴1==AE BE∴2=AB ………………………………4分∴31+=BD∴31+===BD BC DC∴322432222++=+++=+++AD CD BC AB …………5分即四边形ABCD 的周长为3224++.3.（2013西城一模19）解：（1）如图2.∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O∴OA = 12 AC ，OB = 12 BD . …………… 1分 ∵AC ︰BD =2︰3， ∴OA ︰OB =2︰3 .设OA =2x (x >0)，则OB =3x .ABCDE∵AC ⊥AB ，∴∠BAC =90°.在Rt △OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2. …………………………………… 2分 ∵AB =2，∴(2x )2+22=(3x )2. 解得x =±255(舍负).∴AC =2OA = 855. …………………………………………………… 3分（2）∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∴OB =OD .∴S △AOD = S △AOB = 12 AO ²AB = 12³455³2= 455. ……………………… 5分4.（2013平谷一模19）解：（1）作CF ⊥AD 交AD 的延长线于F . …………..1分 ∵ ∠ADC =120°， ∴∠CDF =60°.在Rt △CDF 中，sin 60 3.2FC CD =⋅︒==………………………………………2分 即点C到直线AD 的距离为3. （2）∵ ∠BED=135°，BE = ∴ ∠AEB =45°. ∵ 90A ∠=︒， ∴ ∠ABE =45°.∴ 2.AB AE == ……………………3分 作BG ⊥CF 于G .可证四边形ABGF 是矩形. ∴ FG =AB =2，CG =CF -FG =1. ∵12DFCD ==∴ 22 4.BG AF AE ED DF ==++=+………………………………..4分∴ BC ==……………………………………………… 5分5.（2013通州一模20） 解法一：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴30ADF ECB ∠=∠=o ，3ED EC ==，在Rt △ADF 中，90A ∠=o ，AD =，G A BDEF∴tan AFADF AD∠=，tan 30==o∴1AF =，∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分； 过点E 作EG CB ⊥，交CB 的延长线于点G . ……………… 3分； 在Rt △ECG 中，90EGC ∠=o ，3EC =，30ECG ∠=o ， ∴1322EG EC ==，cos GCECG EC∠=，cos 303GC ==o∴GC =∴GB GC BC =-== 由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴EB = ……………… 4分；∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分. 解法二：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴60EDC ECD ∠=∠=o ，3ED EC ==，过点E 作EH CD ⊥交CD 于点H ，交AB 于点G . ……………… 1分； ∴点H 是DC 的中点，点G 是AB 的中点，30FEG ∠=o ，GH AD ==，在Rt △EHD 中，90EHD ∠=o ，3ED =， ∴sin EH EDH ED∠=，sin 603EH ==o∴EH =∴EG EH GH =-== 在Rt △EGF 中，90EGF ∠=o ，60EFG ∠=o ， ∴sin EGEFG EF∠=，sin 60==o∴1EF =， ……………… 2分；∴1122FG EF ==，∵点G 是AB 的中点，3AB =，∴1322GB AB ==，∴13222FB FG GB =+=+=， ……………… 3分；由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴EB = ……………… 4分； ∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分.解法三：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形， ∴30ADF ECB ∠=∠=o ，3ED EC ==， 在Rt △ADF 中，90A ∠=o，AD =，∴tan AFADF AD∠=，tan 30==o∴1AF =，∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分； 过点B 作BG CE ⊥，交CE 于点G . ……………… 3分； 在Rt △BCG 中，90BGC ∠=o，BC =，30ECB ∠=o ，∴12BG BC ==，cos GC BCG BC∠=， H F E D BA第20题图GG 第20题图ABCDEFcos 30==o∴32GC =， ∴33322GE EC GC =-=-=， 由勾股定理得，222EB EG GB =+，或BG 是线段EC 的垂直平分线，∴EB =BE =BC ， ………… 4分； ∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分.AD 、四边形AECF 是矩形………………………3分 3=8s ∴⨯菱形5分7.（2013门头沟一模19）解：如图，过点A 作AF ⊥BD 于F ．∵∠BAD =120°，AB =AD ，∴∠ABD =∠ADB =30°．∵∠ADC =120°， ∴∠BDC =∠ADC －∠ADB =12030︒-︒=90°． 在Rt △BDC 中，∠BDC =90°，DE =15，E 是BC 的中点，DC =24， ∴BC=2DE =30．…………………………………2分 ∴18BD ==．………3分 ∵AD =AB ，AF ⊥BD ，∴1118922DF BD ==⨯=． F BAECD在Rt △AFD 中，∵∠AFD =90°，∠ADB =30°，∴9cos cos 30DF DF AD AB ADB =====∠︒……………………………………4分∴四边形ABCD 的周长=AB +AD +DC +BC 243054=+=+ ………5分8.（2013丰台一模19）解：过点C 作CE ∥DB ，交AB 的延长线于点E ．∴∠ACE =∠COD =60°． -----------------1分 又∵DC ∥AB ， ∴四边形DCEB 为平行四边形．---------------- 2分 ∴BD =CE ，BE = DC =3，AE =AB +BE =8+3=11． ---------------- 3分 又∵DC ∥AB ，AD =BC ， ∴DB =AC =CE ．∴△ACE 为等边三角形．∴AC =AE =11， ∠CAB =60°． ----------- 4分过点C 作CH ⊥AE 于点H ．在Rt △ACH 中， CH =AC ²sin ∠CAB =11³23．∴梯形ABCD ------------- 5分9.（2013海淀一模19） 解：过点A 作AF ⊥BD 于F . ∵∠CDB =90°,∠1=30°,∴∠2=∠3=60°. ………………………1分 在△AFB 中，∠AFB =90°.∵∠4=45°，AB =,∴AF =BF ………………………2分 在△AFE 中，∠AFE =90°.∴1,2EF AE ==.………………………3分 在△ABD 中，∠DAB =90°.∴DB =∴1DE DB BF EF =--=-.………………………4分∴1131)222ADE S DE AF ∆-=⋅==………………………5分10.（2013怀柔一模19）解：（1）在Rt△ABC 中，AB ＝23，∠BAC＝30°∴BC＝3，AC ＝3． 如图（1），作DF⊥AC ∵Rt△ACD 中，AD ＝CD ∴DF＝AF ＝CF ＝23………………………………………… 1分 ∵BP 平分∠ABC ∴∠PBC＝30° ∴CP＝BC²tan30°＝1 ∴PF＝21 ∴DP＝22DF PF ＝210． ………………………………………… 2分（2）当P 点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF ＝23，∠ADF＝45° 又PD ＝BC ＝3∴cos∠PDF＝PDDF ＝23∴∠PDF＝30°………………………………………… 3分∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°………………………………………… 4分 当P 点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°．∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°………………………………………… 5分11.（2013房山一模19）解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ． -------------------------1分在△ACB 中，∠ACB =90°, ∠A =60°,AC =10,∴∠ABC =30°, BC =AC 分 ∵AB ∥CF ，∴∠BCM =30°．∴1sin 302BM BC =⋅︒==分cos3015CM BC =⋅︒==-------4分 在△EFD 中，∠F =90°, ∠E =45°, ∴∠EDF =45°,∴MD BM ==∴15CD CM MD =-=-． ----------5分12.（2013朝阳一模19）解：（1）∵AB ⊥AC ，∴∠BAC =90°. ∵∠B =60°，AB=3， ∴AC =10. ………………………………………………………………………1分 ∵∠D =90°,AD =6，∴CD =8. ………………………………………………………………………2分 （2）由题意，得∠AFE =∠D=90°，AF=AD =6， EF=DE .∴∠EFC =90°,∴FC =4. … ……………………………………………………………………3分 设DE =x ,则EF=x ,CE=8-x .在Rt △EFC 中，由勾股定理,得 2224(8)x x +=-.………………………4分 解得x =3.所以DE =3. ……………………………………………………………………5分13.（2013昌平一模21）(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC .∴∠BAD +∠ADC=180°. ……………………………1分∵AE 、DF 分别平分∠BAD 、∠ADC ，∴111,222BAD ADC ∠=∠∠=∠ .∴112()902BAD ADC ∠+∠=∠+∠=︒ .∴∠AGD=90°.∴AE ⊥DF . ……………………………………………2分(2)由（1）知：AD ∥BC ,且BC= AD = 10，DC =AB =6，∠1=∠3,∠2=∠4 .∴∠1=∠AEB ,∠2=∠DFC .4321GAE B CDF∴∠3=∠AEB ,∠4=∠DFC . ∴BE=AB =6，CF=DC =6. ∴BF =4.∴EF =2. ……………………………………3分 ∵AD ∥BC ,∴△EFG ∽△ADG . ∴15EGEFAG AD ==.∴145EG EG =-. ∴EG=23.∴AG=103. ……………………………………4分由（1）知∠FGE=∠AGD=90°，由勾股定理，得DG=3，FG=3.∴DF=. ……………5分14.（2013大兴一模19）证明：过A 作AG ⊥BE 于G ，连结BD 交AC 于点O ，………………1分∴ AGBO 是正方形.………………………………………………………2分∴ AG=AO=21AC =21AE∴ ∠AEG=30°. ………………………………………………………3分∵ BE∥AC，∴ ∠CAE =∠AEG = 30 º.∴ ∠BAE = 45º – 30º = 15º . ∴ ∠CAE = 2∠BAE .……………………………………………………5分15.（2013东城一模20）（本小题满分5分） 解：（1）证明：∵ 矩形ABCD ，∴ AD ∥BC . ∴ ∠CED =∠ADE . 又∵点G 是DF 的中点， ∴ AG =DG . ∴ ∠DAG =∠ADE .∴ ∠CED =∠DAG . …………………………2分(2) ∵ ∠AED =2∠CED ，∠AGE =2∠DAG ， ∴ ∠AED =∠AGE .∴ AE =AG . ∵ AG =4， ∴ AE =4.在Rt △AEB 中，由勾股定理可求AB∴ sin AB AEB AE ∠==…………………………5分∴DE ＝3360tan =︒AD ＝1，AE ＝︒60sin AD ＝2． ………………………1分又∵E 为DC 中点，∴CE ＝DE ＝1， 在Rt △CEF 中，∠CFE ＝90°，∠C ＝60°， ∴CF ＝CE ²cos 60°＝21，EF ＝CE ²sin 60°＝23．………………………2分∴BC ＝BF ＋CF ＝AE ＋CF ＝2＋21＝25． ………………………3分 ∴四边形ABCD 的面积ABCD S 四边形＝ADE S ∆＋ABCE S 梯形 ＝21AD ²DE ＋21(AE ＋ BC )²EF ＝21³3³1＋21³(2＋25)³23＝8313． ………………………5分。
(全国120套)2013年中考数学试卷分类汇编 几何综合
几何综合1、（2013某某某某，6，3分）下列图形中，∠2＞∠1 （）答案：C解析：由对顶角相等，知A中∠1＝∠2，由平行四边形的对角相等，知B中∠1＝∠2，由对顶角相等，两直线平行同位角相等，知D中∠1＝∠2，由三角形的外角和定理，知C 符合∠2＞∠12、（2013•某某）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD 和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD其中正确结论的为①③④（请将所有正确的序号都填上）．考点：菱形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．分析：根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE 为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．解解：∵△ACE是等边三角形，答：∴∠EAC=60°，AE=AC，∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE=AB，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF=BC，∵BC=AB，AB=BD，∴HF=BD，故④说法正确；∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE=DF，∵FE=AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；∴AG=AF，∴AG=AB，∵AD=AB，则AD=AG，故③说法正确，故答案为①③④．点评：本题考查了菱形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择．3、（2013•某某）如图，在等腰直角△ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC 于点P．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OP•OC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：结论（1）错误．因为图中全等的三角形有3对；结论（2）正确．由全等三角形的性质可以判断；结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．解答：解：结论（1）错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．结论（2）正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠COE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，故选C．点评：本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．4、（2013•某某）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为 2.8 ．考几何变换综合题．点：分析：如解答图所示，本题要点如下：（1）证明矩形的四个顶点A、B、C、D均在菱形EFGH的边上，且点A、C分别为各自边的中点；（2）证明菱形的边长等于矩形的对角线长；（3）求出线段AP的长度，证明△AON 为等腰三角形；（4）利用勾股定理求出线段OP的长度；（5）同理求出OQ的长度，从而得到PQ的长度．解答：解：由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得对角线AC=BD=5．依题意画出图形，如右图所示．由轴对称性质可知，∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°，∴点A在菱形EFGH的边EF上．同理可知，点B、C、D均在菱形EFGH的边上．∵AP=AE=AF，∴点A为EF中点．同理可知，点C为GH中点．连接AC，交BD于点O，则有AF=CG，且AF∥CG，∴四边形ACGF为平行四边形，∴FG=AC=5，即菱形EFGH的边长等于矩形ABCD的对角线长．∴EF=FG=5，∵AP=AE=AF，∴AP=EF=2.5．∵OA=AC=2.5，∴AP=AO，即△APO为等腰三角形．过点A作AN⊥BD交BD于点N，则点N为OP的中点．由S△ABD=AB•AD=AC•AN，可求得：AN=2.4．在Rt△AON中，由勾股定理得：ON===0.7，∴OP=2ON=1.4；同理可求得：OQ=1.4，∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8．故答案为：2.8．点评：本题是几何变换综合题，难度较大．首先根据题意画出图形，然后结合轴对称性质、矩形性质、菱形性质进行分析，明确线段之间的数量关系，最后由等腰三角形和勾股定理求得结果．5、（2013•莱芜）下列说法错误的是（）A．若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心B．2+与2﹣互为倒数C．若a＞|b|，则a＞bD．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半考点：相交两圆的性质；绝对值；分母有理化；梯形中位线定理．分析：根据相交两圆的性质以及互为倒数和有理化因式以及梯形的面积求法分别分析得出即可．解答：解：A、根据相交两圆的性质得出，若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心，故此选项正确，不符合题意；B 、∵2+与2﹣=互为倒数，∴2+与2﹣互为倒数，故此选项正确，不符合题意；C 、若a ＞|b|，则a ＞b ，此选项正确，不符合题意；D 、梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积，故此选项错误，符合题意；故选：D ．点评： 此题主要考查了相交两圆的性质以及分母有理化和梯形面积求法等知识，正确把握相关定理是解题关键．6、（2013年潍坊市）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角线BD 为直径作⊙O ，分别于BC 、AD 相交于点E 、F .（1）求证四边形BEDF 为矩形.（2）若BC BE BD ⋅=2试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.答案：..90,,.2.90,90.//90)1(2相切与，即理由如下：的位置关系为相切与）直线（为矩形四边形是平行四边形，四边形又的直径，为证明：O CD CD BD BED BDC BDC BED CBD DBC BDBC BE BD BC BE BD O CD BEDF BED EDA DFB FBC BC AD ABCD DFB DEB O BD Θ∴⊥︒=∠=∠∴∆∆∴∠=∠=∴⋅=Θ∴︒=∠=∠︒=∠=∠∴∴︒=∠=∠∴Θ考点：平行四边形的性质，矩形的判定，，相似三角形的判定，直径对的圆周角是直角，圆的切线的判定等知识的综合运用.点评：关键是掌握矩形的判定方法，三角形相似的判定方法，圆的切线的判定方法.7、（2013•某某）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ 与圆洞的切点K 到点B 的距离及相关数据（单位：cm ），从点N 沿折线NF ﹣FM （NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH 是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则，AM 的长分别是 18cm 、31cm ．考点：圆的综合题分析：如图，延长OK交线段AB于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′，设圆孔半径为r．在Rt△KBG中，根据勾股定理，得r=16（cm）．根据题意知，圆心O 在矩形EFGH的对角线上，则KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm．则根据图中相关线段间的和差关系求得=QG﹣QN′=44﹣26=18（cm），AM=BC﹣PD﹣KM′=130﹣50﹣49=31（cm）．解答：解：如图，延长OK交线段AB于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′．设圆孔半径为r．在Rt△KBG中，根据勾股定理，得BG2+KG2=BK2，即（130﹣50）2+（44+r）2=1002，解得，r=16（cm）．根据题意知，圆心O在矩形EFGH的对角线上，则KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm．∴QN′=KN′﹣KQ=42﹣16=26（cm），KM′=49（cm），∴=QG﹣QN′=44﹣26=18（cm），∴AM=BC﹣PD﹣KM′=130﹣50﹣49=31（cm），综上所述，，AM的长分别是18cm、31cm．故填：18cm、31cm．点评：本题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形及圆等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了图形变换思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．8、（2013•滨州）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平移的性质；等边三角形的性质；菱形的判定与性质．分析：先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断④正确．解答：解：△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC ， ∵AB=CD，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴BD、AC 互相平分，故②正确； 由①可得AD=AC=CE=DE ，故四边形ACED 是菱形，即③正确． 综上可得①②③正确，共3个． 故选D ． 点评： 本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解答本题的关键是先判断出△ACD 是等边三角形，难度一般．9、（2013某某压轴题）问题探究（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由. 问题解决（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点，如果AB=a ，CD=b ，且a b ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由.考点：本题某某近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的性质，面积问题及最值问题，位似的性质应用等。
北京市各区2013中考二模数学试题分类汇编(选择、填空题)
2013年初三二模分类试题—选择、填空题1.西城一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．3-的倒数是A ．31B ．3C ．31-D ．3-2．下列运算中正确的是A ．2a a a =+B ．22a a a =⋅C ．222()=ab a bD ．532)(a a =3．若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是A ．5B ．6C ．7D ．8420-=y ，则xy 的值为A ．8B ．6C ．5D ．9 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D 6．对于一组统计数据：3，3，6，3，5，下列说法中错误．．的是 A ．中位数是6 B ．众数是3 C ．平均数是4 D ．方差是1.6 7．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG ， EF 交AD 于点H ，则四边形DHFC 的面积为A ．3B ．33C ． 9D ．368．如图，点A ，B ，C 是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A ，B ，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数32=+y x 中，自变量x 的取值范围是 ． 10．若把代数式1782+-x x 化为k h x +-2)(的形式，其中h ，k 为常数，则+h k = ．11．如图，在△ABC 中，∠ACB=52°，点D ，E 分别是AB ， AC 的中点．若点F 在线段DE 上，且∠AFC=90°， 则∠FAE 的度数为 °．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在第一象限，点B 在x 轴的正半轴上，∠OAB =90°．⊙P 1是△OAB 的内切圆，且P 1的坐标为(3,1)．(1) OA 的长为 ，OB 的长为 ；(2) 点C 在OA 的延长线上，CD ∥AB 交x 轴于点D ．将⊙P 1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P 2，将⊙P 2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P 3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P 4，……⊙P n ．若⊙P 1，⊙P 2，……⊙P n 均在△OCD 的内部，且⊙P n 恰好与CD 相切，则此时OD 的长为 ．（用含n 的式子表示）2海淀 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1 . 6-的绝对值是A . 6-B .16 C . 16- D . 6 2. 2012年我国全年完成造林面积6 010 000公顷.将6 010 000用科学记数法表示为A . 76.0110⨯ B . 66.0110⨯ C . 70.60110⨯ D . 560.110⨯3．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC .若4AD =，2DB =，则DEBC的值为 A . 12 B . 23 C . 34D . 24. 下列计算正确的是A . 632a a a =⋅B . 842a a a ÷=C . 623)(a a = D . a a a 632=+5.下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是- 3 -A ．B ．C ．D ．6. 如图，⊙O 的半径为5，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C .若3OC =,则AB 的长为A ．4B ．6C ．8D ．107. 甲、乙两个学习小组各有4名同学，在某次测验中，他们的得分情况如下表所示：设两组同学得分的平均数依次为x 甲，x 乙，得分的方差依次为S 甲，S 乙，则下列关系中完全正确的是A .x x =乙甲，22S S >乙甲B . x x =乙甲，22S S <乙甲 C .x x >乙甲，22S S >乙甲 D . x x <乙甲，22S S <乙甲8.如图1，在矩形ABCD 中，1,AB BC ==.将射线AC 绕着点A 顺时针旋转α(0α︒<≤180)︒得到射线AE ,点M 与点D 关于直线AE 对称.若15x α=︒，图中某点到点M 的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则这个点为图1中的A .点AB . 点BC . 点CD . 点D图1 图2二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 若分式241x x --的值为0，则x 的值等于____________. 10.如图，在△OAB 中，=90O A B∠︒，则OB 的长为 .11. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为6，︒=∠60A ,则BC 的长为_____________.12．已知：n x ，'n x 是关于x 的方程244=0n n n a x a x a n -+-1()n n a a +>的两个实数根，'n n x x <，其中n 为正整数，且1a =1．（1）11'x x -的值为 ；（2）当n 分别取1，2，⋅⋅⋅，2013时，相对应的有2013个方程，将这些方程的所有实数根按照从小到大的顺序排列，相邻两数的差恒为（11'x x -）的值，则20132012'x x -= ．3东城 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1. 3的相反数是 A ． 3-B ．3C ．13 D ． 13-2. 太阳的半径大约是696 000千米，用科学记数法可表示为A ．696×103千米B ．6.96×105千米C ．6.96×106千米D ．0.696×106千米 3．下列四个立体图形中，主视图为圆的是A B C D 4．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为 A .3sin α B .3cos αC .αsin 3D .αcos 35. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一- 5 -面的点数为3的倍数的概率为 A ．16B ．14C ．13D ．126. 若一个多边形的内角和等于720︒，则这个多边形的边数是 A ．5B ．6C ．7D ．87. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是 A ．1.65，1.70B ．1.70，1.70C ．1.70，1.65D ．3，48. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O 的半径为1，动直线AB 与x 轴交于点(,0)P x ，直线AB 与x 轴正方向夹角为45︒，若直线AB 与⊙O 有公共点，则x 的取值范围是 A ．11x -≤≤ B ．x << C ．0x ≤≤ D ．x ≤≤二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 在函数23-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ．10. 分解因式：244mn mn m ++= ．11. 如图，已知正方形ABCD 的对角线长为形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中折成的4个阴影三 角形的周长之和为 .12. 如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与 1ACD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分 线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=, 则1A ∠＝ ；n A ∠＝ .4朝阳一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．的绝对值是 A ．B ．12C ．12D ．22．我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.千克以下．将0.用科学记数法表示为 A ．57.510´ B .57.510-´ C ．40.7510-´ D .67510-´3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ,如果AD =3，BD =5，那么DEBC的值是A .35 B . 925 C . 38 D . 584．从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为A ．19 B ．18 C ．29 D ．135．如图，圆锥的底面半径OA 为2，母线AB 为3，则这个圆锥的侧面积为 A .3π B . 6π C . 12π D . 18π6．如图，下列水平放置的几何体中，主视图不是．．长方形的是7. 某校篮球课外活动小组21名同学的身高如下表则该篮球课外活动小组21名同学身高的众数和中位数分别是A ．176，176B ．176，177C ．176，178D ．184，1788．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上．．一面的字是 A ．我C ．梦D ．中- 7 -二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．在函数y =x 的取值范围是 ．10．分解因式：32242x x x -+= ．11．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，点F 在弧AC 上， 若∠BCD ＝32°，则∠AFD 的度数为 ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，且A (-2，0)，B (0，1)，在直线 AB 上截取BB 1=AB ，过点B 1分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 1 、C 1，得到矩形OA 1B 1C 1；在直线 AB 上截取B 1B 2= BB 1，过点B 2分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 2 、C 2，得到矩形OA 2B 2C 2；在直线 AB 上截取B 2B 3= B 1B 2，过点B 3分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 3 、C 3，得到矩形OA；……则第3个矩形OA 3B 3C 3的面积是 ；第n 个矩形OA nn的式子表示，n 是正整数）．5房山一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．-2的倒数为A ．2B .-2C .21 D .21- 2．国家统计局22日公布的2012年统计公报显示，我国2012年全年研究与试验发展(R ＆D )经费支出10240亿元，比上年增长17.9％，占国内生产总值的1.97％.将10240用科学记数法表示应为A ．4100240.1⨯ B ．5100240.1⨯ C ．410240.10⨯ D .41010240.0⨯ 3．在直角坐标系中，点M （1，2）关于y 轴对称的点的坐标为 A .（1，-2） B .（2，-1） C . （-1，2） D . （-1，-2） 4、如图：⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为（ ） A .π B .π21 C .π2 D .π41第4题图5.某场射击比赛中，第一小组10人第一轮射击成绩分别为8、9、9、10、7、8、8、9、8、8（单位：环），则这组数据的众数和中位数分别为 A ．8、8B ．8、9C ．7、8D ．9、86.若两圆的半径分别是2和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是 A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离7.若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是 A ．5B ．6C ．7D ．88.在正方体的表面上画有如图所示的粗线， 则其展开后正确的是二、填空题（本大题共16分，每小题4分）：9．图象过点A （-1，2）的反比例函数的解析式为_____________．10．分解因式：22363a ab b -+= __________．11．如图，△ABC 中，D 为AB 上一点， 且∠ACD =∠B ，若AD =2，BD =52， 则AC = ．12．观察下列等式：①23a a +=；②65a a +=；③127a a+=；④209a a +=…；则根据此规律第6个等式为 ，第n 个等式为 ．DCBAD.C.B.A. B.A.- 9 -6门头沟一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．-6的倒数是A ．6B ．6-C ．16 D ．16- 2．PM 2.5是大气中粒径小于等于2.5微米的颗粒物，称为细颗粒物，是表征环境空气质量的主要污染物指标．2.5微米等于0.米，把0.用科学记数法表示为A ．62.510⨯B ．50.2510-⨯C ． 62.510-⨯D ．72510-⨯ 3．右图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A ．球B ．圆锥C ．圆柱D ．三棱柱4．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 A ．8B ．6C ．5D ．35．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为 A ．15B ．13C ．58D ．386．已知圆锥侧面展开图的扇形半径为2cm ，面积是24cm 3π，则扇形的弧长和圆心角的度数分别为A ．4πcm 1203,︒B ．2πcm 1203,︒C ．4πcm 603,︒D ．2πcm 603,︒7．甲、乙两人进行射击比赛，他们5次射击的成绩（单位：环）如下表所示：设甲、乙两人射击成绩的平均数依次为x 甲、x 乙，射击成绩的方差依次为2S 甲、2S 乙，则下列判断中正确的是A ．x x =乙甲，22S S =乙甲B ．x x =乙甲， 22>S S 乙甲C ．x x =乙甲，22<SS 乙甲D ．<x x 乙甲， 22<S S 乙甲8．如图，在平行四边形ABCD 中，AC = 12，BD = 8，P 是AC 上的一个动点，过点P 作EF ∥BD ，与平行四边形的左视图 俯视图 PF E D CBA两条边分别交于点E 、F ．设CP=x ，EF=y ，则下列图象 中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在函数y x 的取值范围是 ． 10．分解因式：216ax a -= ． 11．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图，他们先在 点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30︒，然后 向建筑物AB 前进20m 到达点D 处，又测得点 A 的 仰角为60︒，则建筑物AB 的高度是 m ． 12．如图，将边长为2的正方形纸片ABCD 折叠，使点B落在CD 上，落点记为E （不与点C ，D 重合），点A 落在点F 处，折痕MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ． 若12CE CD =，则BN 的长是 ，AMBN的值 等于 ；若1CE CD n =（2n ≥，且n 为整数）， 则AMBN的值等于 （用含n 的式子表示）．7怀柔一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．3的倒数是（ ）A . －3 B. 3 C . 31-D . 312．土星的直径约为千米，用科学记数法表示为()A .1.193×105B .11.93×104C .1.193×106D . 11.93×106A BCDEFMNADB C30︒60︒- 11 -CPQBAMN3. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（C ）4．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数均为9.5环，方差(单位：环2)依次分别为0.035、0.015、0.025、0.027. 则这四人中成绩发挥最稳定的是( )A .甲B .乙C .丙D .丁5．甲箱装有40个红球和10个黑球，乙箱装有60个红球、40个黑球和50个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两箱中的球，从箱中分别任意摸出一个球．以下说法正确的是（ ）．（A ）从甲箱摸到黑球的概率较大 （B ）从乙箱摸到黑球的概率较大（C ）从甲、乙两箱摸到黑球的概率相等 （D ）无法比较从甲、乙两箱摸到黑球的概率6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若BD ∥AE ，∠DBC ＝20°，则∠CAE 的度数是（ ） A ．40°B ．60°C ．70°D ．80°7．下列函数中，其图象与x 轴有两个交点的是（ ）A . 2013)23(522+-=x y B . 2013)23(522++=x yC . 2013)23(522---=x yD . 2013)23(522++-=x y8.如图，等边△ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与 点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作 AB 边的垂线，与△ABC 的其它边交于P 、Q 两点.设线段 MN 运动的时间为t 秒,四边形MNQP 的面积为S 厘米2． 则表示S 与t 的函数关系的图象大致是11题图A B OCD二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式32+-a a 值为 0 ，则 a 的值为 . 10．一个圆锥的底面半径为6㎝，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长为 cm .11. 如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB = °.12. 如12题图1，是由方向线一组同心、等距圆组成的点的位置记录图。
2013年北京市中考真题 北京市数学真题解析版
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函数综合题 2013年北京市中考真题 【难易度】4
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分式方程 2013年北京市中考真题 【难易度】3
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二次函数 2013年北京市中考真题 【难易度】2
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相似三角形 2013年北京市中考真题 【难易度】3□来自已掌握考察内容:
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科学记数法 2013年北京市中考真题 【难易度】1
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三角形中位线、中点四边形
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相似三角形 2013年北京市中考真题 【难易度】2
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2013年北京市中考真题《解析版》
考点
因式分解 2013年北京市中考真题 【难易度】1
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考点
一元二次方程 2013年北京市中考真题 【难易度】2
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考点
全等三角形
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考点
平行四边形 2013年北京市中考真题 【难易度】3
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2013年北京市中考真题《解析版》
北京市各区2013年中考二模数学试题分类汇编(统计)及答案
初三数学分类试题—统计西城1．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图请根据以上信息回答下列问题：(1) 参加问卷调查的学生共有人；(2) 在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度；(3) 统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为．海淀2．北京市近年来大力发展绿地建设，2010年人均公共绿地面积比2005年增加了4平方米，以下是根据北京市常住人口调查数据和绿地面积的有关数据制作的统计图表的一部分．北京市人均公共绿地面积调查规划统计图北京市常住人口统计表（1）补全条形统计图，并在图中标明相应数据；（2）按照2013年的预测，预计2020年北京市常住人口将达到多少万人？（3）按照2013年的北京市常住人口预测，要完成2020年的北京市人均公共绿地面积规划，从2005年到2020年，北京市的公共绿地总面积需增加多少万平方米？东城3．某中学九（1）班同学为了解2013年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理.请解答以下问题：（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）求该小区用水量不超过15吨的家庭占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20吨的家庭大约有多少户？朝阳4．今年“五一”假期，小翔参加了学校团委组织的一项社会调查活动，了解他所在小区家庭的教育支出情况．调查中，小翔从他所在小区的500户家庭中，随机调查了40个家庭，并将调查结果制成了部分统计图表．（注：每组数据含最小值，不含最大值）根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）频数分布表中的a = ，b = ； （2）补全频数分布直方图；（3）请你估计该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有多少户？房山5. 某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 (元)教育支出频数分布表教育支出频数分布直方图请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，一共抽查了 名学生； （2）请将上面两幅统计图补充完整；（3）在图1中，“踢毽”部分所对应的圆心角为 度；（4）如果全校有1860名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？ 门头沟6．某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表．其它类别表1 阅读课外书籍人数分组统计表阅读课外书籍人数分组统计图图1人数阅读课外书籍人数分组所占百分比统计图图26%26%30%20%AB C D E F请你根据以上信息解答下列问题：（1）这次共调查了学生多少人？E 组人数在这次调查中所占的百分比是多少？（2）求出表1中a 的值，并补全图1；（3）若该年级共有学生300人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有多少人．怀柔7．第九届中国（北京）国际园林博览会2013年5月18日正式开幕，，前往参观的人非常多．为了解游客进园前等候检票的时间，赵普同学利用5月19日周末的时间，在当天9：00－10：00，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，并绘制成如下图表．表中“10~20”表示等候检票的时间大于或等于10min 而小于20min ，其它类同． （1）这里采用的调查方式是 ； （2）求表中a 的值，并请补全频数分布直方图；（3）在调查人数里，等候时间少于40min 的有 人； （4）此次调查中，中位数所在的时间段是 min ．解：（1）这里采用的调查方式是 ； （2）a = ，补全频数分布直方图在图上； （3） 人； （4） min ．大兴8．为了解某区九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进阅读课外书籍人数分组统计图 等候时间（min ）行分段（A ：50分；B ：49~45分；C ：44~40分；D ：39~30分；E ：29~0分）统计如下：根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）在统计表中，a 的值为 ，b 的值为 ，并将统计图补充完整；（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？ （填相应分数段的字母）（3）如果把成绩在40分以上（含40分）定为优秀，那么该区今年10440名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？丰台9．6月5日是世界环境日，某城市在宣传“绿色环境城市”活动中，发布了一份2013年1至5月份空气质量抽样调查报告，随机抽查的30天中，空气质量的相关信息如下：分数段人数（人） 频率 A48 0.2 Ba 0.25 C84 0.35 D 36 bE 120.05学业考试体育成绩（分数段）统计表分数段学业考试体育成绩（分数段）统计表%请你根据统计图表提供的信息，解答以下问题（结果均取整数）： (1)请将图表补充完整；(2)请你根据抽样数据，通过计算，预测该城市一年(365天)中空气质量级别为优和良的天数大约共有多少天？石景山10．为了解某区九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段（A ：40分； B ：39－35分； C ：34－30分； D ：29－20分；E ：19－0分）统计如下：分数段 人数（人） 频率 A 48 0.2 B a 0.25 C 84 b D 36 0.15 E120.05根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）在统计表中，a 的值为_____，b 的值为______，并将统计图补充完整； （2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？______（填相应分数段的字母）（3）如果把成绩在30分以上（含30分）定为优秀，那么该区今年2400名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数有多少名？解：分数段A C昌平11. 某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品. 美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图.4个班征集到的作品数量分布统计图4个班征集到的作品数量统计图班级图1 图2（1）直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共件，并把图1补充完整；（2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量为；（3）在全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生. 现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率.密云12．在暑期社会实践活动中，小明所在小组的同学与一家玩具生产厂家联系，给该厂组装玩具，该厂同意他们组装240套玩具．这些玩具分为A、B、C三种型号，它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图所示．若每人组装同一种型号玩具的速度都相同，根据以上信息，完成下列填空：（1）从上述统计图可知，A型玩具有____________套，B型玩具有____________套，C型玩具有____________套．（2）若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同，那么a的值为____________，每人每小时能组装C型玩具____________套．顺义13．甲、乙两学校都选派相同人数的学生参加综合素质测试，测试结束后，发现每名参赛学生的成绩都是70分、80分、90分、100分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两学校的学生获得100分的人数也相等．根据甲学校学生成绩的条形统计图和乙学校学生成绩的扇形统计图，解答下列问题：（1）求甲学校学生获得100分的人数，并补全统计图；（2）分别求出甲、乙两学校学生这次综合素质测试所得分数的中位数和平均数，以此比较哪个学校的学生这次测试的成绩更好些．甲学校学生成绩的条形统计图乙学校学生成绩的扇形统计图213分数510090分分参考答案1．解：(1) 80；……………………………………………………………………1分(2) 54；……………………………………………………………………3分(3) 3 20．2. 解：（1）如下图:－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分（2）205575%=2740÷（万人）.答：预计2020年北京市常住人口将达到2740万人.－－－－－－－－－－3分（3）274018154011=32380⨯-⨯（万平方米）.答：从2005年到2020年，北京市的公共绿地总面积需增加32380万平方米.3．解：（1）表格：从上往下依次是：12，0.08；图略；……3分（2）68％；……4分（3）120户. ……5分4．解：（1）a=3，b=0.075；……………………………………………………………2分（2）…………………………3分（3）500(0.050.15)100⨯+=.所以该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有100户.…………5分5. 解：(1)200 ………1分(2)图略 ………3分 (3)54 ………4分 (4)744人 ………5分6．解：（1）这次共调查了学生50人，E 组人数在这次调查中所占的百分比是8％．（2）表1中a 的值是15， 补全图1．（3）54人．7． 解：（1）抽样调查或抽查（填“抽样”也可以）…………………………1分 （2）a =0.350频数分布直方图如下………………………3分（3）32 …………………………………………………………………4分 （4）20~30…………………………………………………………………5分 8．解：（1） 60 ， 0.15 (图略) ………………………………3分 （2） C ………………………………………………………4分 （3）0.8×10440=8352（名） ……………………………………5分 答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有8352名.9. 解：（1）度微度级别20 %－－－－－－－－－－－－－3分如图，画图基本准确,每个统计图全部正确得1分.（2）365×(20％＋50％)≈256．答：该城市一年为优和良的天数大约共有256天．10．解：（1）60 ，0.35 ，补充后如右图：………………………… 3分（3）0.8×2400=1920（名）答：该区九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数有1920名.…………………………5分1119．解：(1) 12. …………………………………………………………… 1分如图所示. ………………………………………………… 2分4个班征集到的作品数量统计图Array班级(2)42. ………………………………………………………………3分（3）列表如下: ……………………………………………………4分共有20种机会均等的结果，其中一男生一女生占12种，∴ P （一男生一女生）＝123=. ……………………5分12． （每空1分）(1)132，48，60；(2)4，6．13．解：（1）设甲学校学生获得100分的人数为x ．由题意和甲、乙学校学生成绩的统计图得12356x x =+++ 得2x =所以甲学校学生获得100分的人数有2人．图(略) …………………………………2分 (2）由（1）可知： 甲学校的学生得分与 相应人数为：乙学校的学生得分与相应人数为：所以，甲学校学生分数的中位数为90（分）．甲学校学生分数的平均数为 270380590210051585.823526x ⨯+⨯+⨯+⨯==≈+++甲（分）…………3分乙学校学生分数的中位数为80（分） 乙学校学生分数的平均数为 370480390210050025083.3343263x ⨯+⨯+⨯+⨯===≈+++乙（分） …4分由于甲学校学生分数的中位数和平均数都大于乙学校学生分数的中位数和平均 数，所以甲学校学生的数学竞赛成绩较好． ………。
2013年北京市数学中考一、二模拟题分类汇编：代几综合
（ 3）若 M 为二次函数 y
2
x
bx
c 的图象上一点，且横坐标为
2，点 P 是 x 轴上的
任意一点， 分别联结 BC 、 BM ．试判断 PC PM 与 BC BM 的大小关系， 并说明理由 .
（ 第 25 题图）
6. （ 2013. 丰台一模 25）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙ C的圆心坐标为（－ 2，－ 2）， 半径为 2．函数 y＝－ x＋ 2 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 为直线 AB 上一动点．
三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 点，请你帮小明解答以下问题： （ 1）
O ，两直角边与该抛物线交于 A 、 B 两
若测得
OA OB 2 2 （如图 1），求 a 的值； （ 2）对同一条抛物线， 小明将三角板绕点 O 旋转到 如图 2 所示位置时， 过 B 作 BF x 轴于点 F ，测得 OF 1 ， 写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横．坐．标．； （ 3）对该抛物线，小明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A 、 B 所连
y
E
A
BO
C
x
2. （ 2013. 朝阳一模 25）如图，二次函数 y=ax2+2ax+4 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交
于点 C，∠ CBO的正切值是 2．
( 1) 求此二次函数的解析式．
(2) 动直线 l 从与直线 AC重合的位置出发，绕点 A 顺时针旋转，与直线 AB重合时终止
运动，直线 l 与 BC交于点 D， P 是线段 AD的中点．
的 线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
4. （ 2013. 东城一模 25）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 2mx m2 9 与 x 轴交
历年中考、2013年一模、二模24题分类汇编
（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求 CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小. C A D B
4.（平谷） （1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 BD CE ，连接 AE、CD 相交 于点 P.请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；=
C
A
m 1 2 5m x x m 2 3m 2 与 x 轴的交点分 4 4
（2）点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D， 使得 ED=PE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD（当 P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）. ①当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； ②若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动， 速度为每秒 1 个单位， 同时线段 OA 上另一点 Q 从 A 点出发向 O 点作 匀速运动，速度为每秒 2 个单位（当 Q 点到达 O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）.过 Q 点作 x 轴的垂线， 与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FM=QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当 Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）.若 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一 条直线上，求此刻 t 的值.
E C A P E P B C D D
（只填
②当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时， 连结 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EC2.判断直线 C1C2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若 AD=6,tanB=
北京市中考数学一、二模操作探究试题汇编
2013年北京市中考数学一、二模操作探究试题汇编（2013.昌平一模22）（1）人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1，□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，HG∥AB，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为和；（2）如图2，点P为□ABCD内一点，过点P分别作AD、AB的平行线分别交□ABCD的四边于点E、F、G、H.已知S□BHPE=3，S□PFDG=5，则；（3）如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重复、无缝隙）.已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD的面积为11，则菱形EFGH的周长为．2.（2013.燕山一模22）阅读下列材料：问题：如图⑴，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD 边上的点，且∠EAF＝45°．判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：⑴图⑴中线段BE、EF、FD之间的数量关系是；⑵如图⑵，已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为，△EFC的周长为；⑶如图⑶，已知△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，且EG＝2，GF＝3，则△AEF的面积为．3.（2013.朝阳一模22）阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l1任取一点A，作AD⊥l2于点D，作∠DAH=90°，在AH上截取AE=AD，过点E作EB⊥AE交l3于点B，连接AB，作∠BAC=90°，交直线l2于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC的面积等于．参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间的距离是2，l2与l3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹）．。
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（ 2）如图 2， CE=kAB， BD=kAE， EB 1 ，求 k 的值． DC 2
A E
AE
D
D
G
B
C
B
C
F
图1
图2
3. （ 2013. 大兴一模 24）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G处， PG交 DC于 H，折痕为 EF，连接 BP、 BH． （ 1）求证：∠ APB=∠ BPH； （ 2）当点 P 在边 AD上移动时，△ PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； （ 3）设 AP 为 x，四边形 EFGP的面积为 S，请直．接．写． 出．S 与 x 的函数关系式，并求出．． S
；
（ 2） 如图 2，当∠ ABC＝60°时，线段 DM与 AE之间的数量关系是
；
（3）① 如图 3，当 ABC （ 0 < < 90 ）时，线段 DM与 AE之间 的数量关系是
；
② 在（ 2）的条件下延长 BM到 P，使 MP＝ BM，连结 CP，若 AB＝ 7， AE＝ 2 7 ，
求 sin ∠ ACP的值． A
为点 D 、点 E ．
（ 1）若 ABC 45 ， CD =1（如图），则 AE 的长为
；
（ 2）写出线段 AE 、 CD 之间的数量关系，并加以证明；
（ 3）若直线 CE 、 AB 交于点 F ， CF EF
长．
5 ， CD =4，求 BD 的 6
7. （ 2013. 怀柔一模 24）如图，△ ABC 中，∠ ACB=90°， AD=AC,AB=AN连, 结 CD、 BN,CD的延 长线交 BN于 点 F． （ 1）当∠ ADN等于多少度时，∠ ACE=∠ EBF,并说明理由； （ 2）在（ 1）的条件下， 设∠ ABC= ，∠ CAD= ，试探索 、 满足什么关系时， △ ACE ≌ △ FBE，并说明理由．
A
D
A
ND
E
F
EP
F
B
C
图1
A
D
N
E
P
F
B A
M
C
图3
D
E
F
B
C
M
图2
A
D
E
F
线 ADC于点 N，连结 PN，设 EP x .
①点 N 在线段 AD 上时（如图 2）， △PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出
△PMN 的周长；
若改变，请说明理由；
②当点 N 在线段 DC上时（如图 3），是否存在点 P，使 △PMN 为等腰三角形？若
存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由 .
8. （ 2013. 门头沟一模 24）已知：在△ ABC中， AB＝ AC，点 D为 BC边的中点，点 F 是 AB边
上一点，点 E 在线段 DF的延长线上，点 M在线段 DF上，且∠ BAE＝∠ BDF，∠ ABE＝∠
DBM．
（ 1） 如图 1，当∠ ABC＝45°时，线段 DM与 AE之间的数量关系是
（ 2）如图 2，在 △BCD中， ∠BCD＜120°，分别以 BC、CD和 BD为边在△ BCD外部作等
边三角形 ABC、等边三角形 CDE和等边三角形 BDF，联结 AD、BE和 CF交于点 P，下列结
论中正确的是
（只填序号即可）
① AD=BE=C；F② ∠BEC=∠ADC；③ ∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；
（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，求证： PB+PC+PD=.BE
E
A B
C
C A
PE
A
P
B
PD
C
D D
B
D
第 24 题图 1
F F
第 24 题图 2
6.（ 2013. 海淀一模 24）在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90 ．经过点 B 的直线 l（ l 不与直线 AB
重合）与直线 BC 的夹角等于 ABC ，分别过点 C 、点 A 作直线 l 的垂线，垂足分别
第九章 几何综合
1. （ 2013. 昌平一模 24）在△ ABC中， AB=4， BC=6，∠ ACB=30°，将△ ABC绕点 B 按逆时针 方向旋转，得到△ A1BC1． （ 1）如图 1，当点 C1 在线段 CA的延长线上时，求∠ CC1A1 的度数； （ 2）如图 2，连接 AA1， CC1 ．若△ CBC1 的面积为 3，求△ ABA1 的面积； （ 3）如图 3，点 E为线段 AB中点，点 P是线段 AC上的动点，在△ ABC绕点 B 按逆时针 方向旋转的过程中，点 P的对应点是点 P1，直接写出线段 EP1 长度的最大值与最小值．
E
A
F
M
E
F M
E A
F M
B
D
C
B
D
C
B
D
C
图1
图2
图3
9. （ 2013. 密云一模 24）如图 1 ，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，E 是 AB 的中点，过点 E
作 EF ∥ BC 交 CD于点 F． AB 4，BC 6， ∠B 60 .
（ 1）点 E 到 BC的距离为
；
（ 2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC于点 M延长线上，若∠ MBN= 1 ∠ ABC仍然成立，请你进一步探究线段 2
样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明 .
MN， AM， CN又有怎
5. （ 2013. 房山一模 24）（ 1）如图 1， △ABC和 △CDE都是等边三角形，且 B、 C、D三点共
线，联结 AD、BE相交于点 P，求证： BE = AD.
C1 A
B
A1
图1
A1 C
A
B 图2
C1 A1
C
A
P1
C1
E
B 图3
P C
2. （ 2013. 朝阳一模 24）在 Rt △ABC中，∠ A=90°， D、 E 分别为 AB、 AC上的点．
（ 1）如图 1，CE=AB，BD=AE，过点 C作 CF∥ EB，且 CF= EB，连接 DF交 EB于点 G，连接
的最小值 ．
4. （ 2013. 东城一模 24）问题 1：如图 1，在等腰梯形 ABCD中， AD∥ BC，AB=BC=CD，点 M，N
分别在 AD， CD上，若∠ MBN= 1 ∠ ABC，试探究线段 2
直接写出你的猜想，不用证明；
MN，AM， CN有怎样的数量关系？请
问题 2：如图 2，在四边形 ABCD中， AB=BC，∠ ABC+∠ ADC=180°，点 M， N分别在 DA，