5-1 弹簧振子和单摆的运动方程
弹簧振子的运动规律与频率计算
弹簧振子的运动规律与频率计算弹簧振子是物理学中一种经典的简谐振动系统，具有重要的理论和应用价值。本文将介绍弹簧振子的运动规律以及频率的计算方法。
一、弹簧振子的运动规律
弹簧振子是由弹簧和质量块构成的振动系统。当质量块在弹簧的作用下发生位移时，系统受到弹簧的弹力，使质量块受到相反方向的回复力，形成振动。
根据胡克定律，弹簧振子的回复力与位移成正比，反向相反。则可以得到弹簧振子的运动方程为：
m*a + k*x = 0
其中，m为质量块的质量，a为质量块的加速度，k为弹簧的劲度系数，x为质量块的位移。将此方程进行简化，可以得到弹簧振子的运动方程为：
x'' + (k/m)*x = 0
这是一个线性常微分方程，其解为：
x(t) = A*cos(ωt + φ)
其中，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
二、弹簧振子的频率计算
根据上述的运动方程，可以得到弹簧振子的角频率为：
ω = √(k/m)
频率f是角频率ω的倒数，即：
f = 1/2π * √(k/m)
根据以上公式，我们可以通过已知的质量块的质量和弹簧的劲度系
数来计算弹簧振子的频率。
三、实际应用
弹簧振子的运动规律与频率计算在生活和科学研究中都有广泛的应用。以下是其中几个具体的应用场景：
1. 摆钟：摆钟的心脏是一个弹簧振子，通过控制弹簧的劲度系数和
质量块的质量来调节摆钟的频率，从而实现精准计时。
2. 计算机硬盘读写头的定位系统：弹簧振子可以通过调节劲度系数
和质量块的质量来实现读写头的精确定位，提高硬盘读写速度和精度。
3. 建筑物减震系统：在地震或其他振动环境下，通过设置合适的弹
大学物理题库-振动与波动
振动与波动题库
一、选择题（每题3分）
1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ）
（A ） 2v
（B ）v （C ）v 2 （D ）v 4
2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A)
）
（3cos 12.0π
π-
=t x （B ）
）
（3cos 12.0π
π+=t x （C ）
）
（32cos 12.0π
π-
=t x （D ）
）
（32cos 12.0π
π+
=t x
3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量变为 （ ）
（A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1
（Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（ ）
(A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝
6、一平面简谐波，波速为μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻的波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为 （ ）
(A) y=2×10－
2cos (πt/2－π/2) (m)
(B) y=2×10－
2cos (πt + π) (m)
(C) y=2×10－
弹簧和单摆
弹簧振子与单摆
1.如图所示弹簧振子，振子质量为
2.0×102
g ，作简谐运动，当它到达平衡位置左侧2.0cm 时受到的回复力是0.40N ，当它运动到平衡位置右侧4.0cm 处时，加速度为( )
A 、 2 m /s 2向右
B 、 2 m /s 2向左
C 、 4 m /s 2向右
D 、 4 m /s 2向左
2.上题中，若弹簧振子的振幅为8cm ，此弹簧振子振动的周期为( )
A 、 0.63s
B 、2s
C 、8s
D 、 条件不足，无法判断
3.弹簧振子在BC 间作简谐运动，O 为平衡位置，BC 间距离为10cm ，由B →C 运动时间为1s ，则( )
A 、 从
B 开始经过0.25s ，振子通过的路程是2.5cm
B 、 经过两次全振动，振子通过的路程为40cm
C 、 振动周期为1s ，振幅为10cm
D 、 从B →O →C 振子做了一次全振动
4.如图所示，一个弹簧振子在光滑的水平面上A 、B 之间做简谐振动，当振子经过最大位移处（B 点）时，有块胶泥落在它的顶部，并随其一起振动，那么后来的振动与原来相比较
( )
A 、振幅的大小不变
B 、加速度的最大值不变
C 、速度的最大值变小
D 、势能的最大值不变
6.如图所示，质量为m 的物体A 放在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧
相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A 、B 之间无相对运动。设弹簧劲度系数为k ，但物体离开平衡位置的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于（ ） A 、kx B 、M m kx C 、M
m m kx D 、0 7.光滑的水平面上盛放有质量分别为m 和2
5-1 简谐运动
A
θ
l
m
o
θ <5
5 – 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
物理学教程 第二版） （第二版）
解
θ <5
时 , sinθ
≈θ
M = − mgl sin θ ≈ − mglθ d 2θ − mglθ = J 2 dt 2 dθ g g 2 = − θ 令ω = 2 dt l l d 2θ 2 = −ω θ 2 dt
物理学教程 第二版） （第二版）
例1 如图所示系统（细线 如图所示系统（ 的质量和伸长可忽略不计）， 的质量和伸长可忽略不计）， 细线静止地处于铅直位置， 细线静止地处于铅直位置，重 点时为平衡位置. 物位于O 点时为平衡位置. 若把重物从平衡位置O 略 微移开后放手, 微移开后放手, 重物就在平衡 位置附近往复的运动． 位置附近往复的运动．这一振 动系统叫做单摆. 动系统叫做单摆. 求单摆小角 度振动时的周期． 度振动时的周期．
简谐运动的判断（满足其中一条即可） 简谐运动的判断（满足其中一条即可） 1）物体受线性回复力作用 2）简谐运动的动力学描述 3）简谐运动的运动学描述 （在无外驱动力的情况下） 在无外驱动力的情况下） 简谐运动的特征
F = − kx 平衡位置 x = 0
d x 2 = −ω x 2 dt
2
x = A cos(ωt + ϕ )
大学物理电子教案(西南交大)5_1
第五章 机械振动和机械波
大学物理
振动: 任何物理量在某一定值 物理量在某一定值附近随时间周期性变化 振动 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化 振动系统 平衡位置 波动: 波动 振动在空间的传播 共同特征：运动在时间、 共同特征：运动在时间、空间上的周期性 • 核心内容： 核心内容： 运动方程 特征量 能量 振动的合成
dt J
o
θ C
h
J
令
mgh ω = J 2 dθ + ω 2 sin θ = 0 dt 2
2
mg
—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
第16页 共23页 页 页
当θ 很小时 sin θ ≈ θ
大学物理
d 2θ 2 +ω θ = 0 dt 2
角谐振动
ω 运动方程： 运动方程： θ =θm cos( t +ϕ)
F=-kx
准弹性力 系统本身决定的常数
第4页 共23页 页 页
2. 运动方程
大学物理
F = −k x
k =ω 令 m
2
d2 x F =m 2 dt d2 x 得 + ω 2 x = 0 线性微分方程 * dt 2
d2 x k + x=0 2 dt m
求解得运动方程： 求解得运动方程： x = A cos(ωt + ϕ 0 )
弹簧振子运动
弹簧振子运动
弹簧振子是指由于弹簧的弹性特性而产生的往复振动的物理系统。
弹簧振子是物理学中重要的研究对象之一，对于理解振动现象、力学
和能量转化等概念具有重要意义。本文将介绍弹簧振子的基本原理、
运动方程、能量转化以及一些实际应用。
弹簧振子的基本原理是建立在胡克定律的基础上的，即弹簧的伸长
或压缩与其所受的力成正比。在没有施加外力的情况下，弹簧处于平
衡位置。当外力作用于弹簧时，弹簧开始变形，并且由于弹性势能的
存在，弹簧具有恢复力，试图将变形恢复到平衡位置。这种恢复运动
会导致弹簧振动。
弹簧振子的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到。假设弹簧的
伸长或压缩量为x，弹簧的弹性常数为k，振子的质量为m。根据牛顿
第二定律，可以得到以下方程：
m * d^2x/dt^2 = -k * x
其中，d^2x/dt^2表示x对时间t的二阶导数，即加速度。可以看出，弹簧振子的运动方程是一个二阶线性常微分方程。解这个方程可以得
到弹簧振子的运动规律。
弹簧振子存在两种运动方式：简谐振动和非简谐振动。简谐振动指
的是振幅大小恒定、振动周期固定的振动，其运动方程的解为：x = A * cos(ωt + φ)
其中，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位差。简
谐振动的特点是振幅恒定且周期固定。
非简谐振动则是指振幅和周期会随着时间的变化而产生变化的振动。这种振动通常是由于非线性的恢复力导致的。非简谐振动的运动方程
一般不能用简单的三角函数表示，需要使用数值方法或近似方法求解。
弹簧振子的能量转化也是一个重要的物理现象。在弹簧振动的过程中，振子的动能和势能会不断转化。当振子处于平衡位置时，动能为零、势能为最大。当振子到达最大位移时，动能达到最大值、势能达
简谐振动弹簧振子与单摆的运动规律
简谐振动弹簧振子与单摆的运动规律简谐振动是指物体在一个恢复力作用下，以某一特定频率围绕平衡
位置来回振动的现象。其中，弹簧振子和单摆是两种常见的简谐振动
体系。本文将介绍弹簧振子和单摆的运动规律。
一、弹簧振子
弹簧振子是通过连接弹性系数为k的弹簧和质量为m的物体来实现的。弹簧振子的平衡位置是指物体静止时所处的位置，通常是将弹簧
的伸长长度设为平衡位置。
1. 振动方程
对于弹簧振子而言，其振动方程可以表示为：
m * a + k * x = 0
其中，m是物体的质量，a是物体的加速度，k是弹簧的劲度系数，
x是物体距离平衡位置的位移。
2. 运动规律
根据振动方程，我们可以推导出弹簧振子的运动规律。假设物体在
t=0时刻的位移为x_0，速度为v_0，则弹簧振子的位移可以表示为：x = A * cos(ωt + φ)
其中，A是振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离；ω是角频率，表示单位时间内物体的振动次数；φ是初相位，表示物体在t=0时刻的
相位。
利用初条件，我们可以求解振幅和初始相位。物体的速度可以表示为：
v = -A * ω * sin(ωt +φ)
由于速度和位移之间存在90°的相位差，我们可以得到速度的初相位：
φ_v = φ + π/2
3. 简谐振动的特点
弹簧振子的简谐振动具有以下特点：
- 振动周期：T = 2π/ω，表示物体完成一个完整振动所需要的时间。
- 振动频率：f = 1/T，表示单位时间内物体的振动次数。
- 动能和势能：弹簧振子的动能和势能之和保持不变，即E =
1/2mv^2 + 1/2kx^2 = 1/2kA^2，其中E为总能量。
高考物理常用模型十四：弹簧振子和单摆
模型十四：弹簧振子和单摆
◆弹簧振子和简谐运动
①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。加速度为
m kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。 ③弹簧可以贮存能量，弹力做功和弹性势能的关系为：W =－△EP 其中W 为弹簧弹力做功。 ④在平衡位置速度、动量、动能最大；在最大位移处回复力、加速度、势能最大。
⑤振动周期 T= 2πm K
(T 与振子质量有关、与振幅无关)
通过同一点有相同的位移、速率、回复力、加速度、动能、势能；
半个周期，对称点速度大小相等、方向相反。半个周期内回复力的总功为零，总冲量为2t mv 一个周期，物体运动到原来位置，一切参量恢复。一个周期内回复力的总功为零，总冲量为零。 ◆碰撞过程
两个重要的临界点：
（1）弹簧处于最长或最短状态：两物块共速，具有最大弹性势能，系统总动能最小。
（2）弹簧恢复原长时：两球速度有极值，弹性势能为零。
◆单摆
T l g
=<︒25πθ() (T 与振子质量、振幅无关)
影响重力加速度有：①纬度，离地面高度；②在不同星球上不同，与万有引力圆周运动规律；③系统的状态(超、失重情况)；④所处的物理环境有关，有电磁场时的情况；⑤静止于平衡位置时等于摆线张力与球V 1
V 2 B
A V 0
B A
A 球速度为V0，
B 球静
止，弹簧被压缩 状态分析 受力分析 A 球向左，B 球向右 V 2↑ V 1↓ 过程分析 A 球减速， B 球加速 条件分析
临界状态：速度相同时，弹簧压缩量最大
04弹簧振子和单摆
机械振动
一、弹簧振子
1．如图12-1所示，弹簧振子在光滑水平面上以O 为平衡位置，在BA 两点间作简谐运动，BA 间距离为20cm ，求：
①如果振子从B →O 的运动时间为0．1s ，
则周期T 为 s ，频率f 为 H z 。
若振子从B 处开始记时，经过1s 振子处在
位置，位移大小是 cm ，振子所走的路
程为 cm 。
②如果振子从O 点开始记时，经过7T/4振子处在 位置。 ③振子的速度、动能最大，而回复力、加速度、势能均为0的瞬间，振子处在 位置。振子处在 位置时，它受到的回复力、加速度、势能最大，而速度、动能匀为零。
④振子的质量为100g ，弹簧的劲度系数k=10N/m ，它受到的最大的回复力的数值是 N ，最大的加速度的数值是 m/s 2。
2、作简谐运动的物体每次通过平衡位置时 ( )
A.位移为零,动能为零
B.动能最大,势能最小
C.速率最大,振动加速度为零
D.速率最大,回复力不一定为零
3、作简谐运动的物体,当它每次经过同一位置时,一定相同的物理量是
( )
A.速度
B.位移
C.回复力
D.加速度
4、作简谐运动的物体,回复力和位移的关系图是图36-1所给四个图像中的是( )
5、如图所示,小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上,在从接触
到将弹簧压缩到最短的过程中,下列叙述中正确的是
( )
A.球的加速度的最大值,不一定大于重力加速度g
B.球所受弹力的最大值,一定大于其重力的2倍
C.小球的动能逐渐减小,而系统的机械能保持不变
D.系统的势能先减少后增加
图36-1
图36-3
6、某质点以O 点为平衡位置作简谐运动，它经过O 点后用3s 钟时间第一次经过M 点,再经2s 第二次经过M 点。问该质点再经多少秒第三:次经过M 点？若该质点由O 点出发后在20s 内经过的路程是20cm,则质点振动的振幅是多大？[Δt 1=14s 、Δt 2=10/3s,A 1=4cm 、A 2=4/3cm ]
简谐振动的方程
课本的内容: 14-1 简谐振动
14-2 简谐振动中的振幅 周期 频率 位相
14-3 旋转矢量
14-4 单摆和复摆
课本pp1〜pp14 (本讲内容重新组合)
一、简谐振动的动力学方程 1.弹簧振子
d x m 2 F kx dt
k 2 m
2
l0
k
m
A
o
v0 tan 0 x0
例
质量为M的盘子,系于
竖直悬挂的轻弹簧下端.
弹簧的劲度系数为k. 质
量为m的物体自离盘高处
自由落下掉在盘上，没有 反弹。 求盘子的最大位移.
m M h
解：如图，选(m+M)平衡位置 为坐标原点，选向下为x轴正 方向。设振动方程为：
O
,
x A cos(t )
x A cos(t ) x A sin(t )
(4)
或
或
x A cos t B sin t
x A cos(t )
约定(4)式简谐振动的运动学方程 1 简谐振动速度 加速度
(4)
dx v A sin(t ) dt 2 d x 2 a 2 A cos(t ) dt
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 单 摆
k m g l
5-1简谐运动 振幅 周期和频率 相位
动物的心跳（次/分）
大象 猪 松鼠 25~30 60~80 380 马 兔 鲸 40~50 100 8
12
5-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
昆虫翅膀振动的频率（Hz） 雌性蚊子 雄性蚊子 苍 黄 蝇 蜂 355~415 455~600 330 220
13
5-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
o
A
t
9
5-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
三 周期、频率 x A cos(t ) A cos[ (t T ) ]
周期 T
2π
A
x
注意
弹簧振子周期
x t 图
T
T 2
o
A
t
m T 2π k
10
5-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
x A cos( t ) A cos[ (t T ) ] 1 频率 T 2π x
22
5-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
3 m RE 2 振动周期 T 2 k GM E
23
6
5-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
由 x A cos(t ) 简谐运动方程 dx 得 v A sin(t ) dt d2 x 2 a 2 A cos(t ) dt v0 2 2 A x0 ( ) 其中 arctan( v0 ) x0
高二物理弹簧振子和单摆
C．若△t =T，则在t时刻和（t+△t）时刻振 子运动的加速度一定相等
D.若△t =T/2，则在t时刻和（t+△t）时刻 弹簧的长度一定相等
一绳长为L的单摆，在平衡位置正上 方（L—L′）的P处有一个钉子，如 图所示，这个摆的周期是（ ）
零时为止，则小球在上升过程中，以下
说法中正确的是( )
A,小球的动能先增大后减小 B,小球在离开弹簧时动能最大
F
C,小球动能最大时弹性势能为零
D,小球动能减为零时，
重力势能最大
ACD
弹簧振子的质量为M，弹簧劲度系数 为K，在振子上放一质量为m的木块， 使两者一起振动，木块的回复力是振子 对木块的摩擦力，也满足 F kx x是弹簧的伸长（或压缩）量那么为 （ ）．
在弹力做功的过程中弹力是个变力，并与、 能量联系，一般以综合题出现。将机械能守恒、 功能关系和能量转化结合在一起。分析解决这类 问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能
2
平衡问题：
例.如图9-1所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻 质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面
的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现
缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧.在
单摆简谐运动公式
一、
1.首先，对于简谐运动（以弹簧振子举例），我们知道：
（1）F=−kx
（这里的k数值虽然与弹簧劲力系数相同，但物理意义表示为回复力与位移的比值）
（2）（x=Asin（ω.t+φ)
2.我们还知道：
（3）F=ma
3.要求周期，就要找到周期与其简谐运动本身的联系，由T=2π/ω
我们可知我们所求的T隐藏在（2）中。
4.我们需要联立上述公式以期望得出关于关于T的公式，
由于(3)牛顿第二定律的F可以用（1）带入，而且m属于已知条件，
所以我们迫切需要知道a，这样我们的问题就解决了。
5.我们来求加速度：
对于（2）我们知道进行一次求导其导函数为
（v=A⋅ωcos（ω.t+φ)
其物理意义为简谐运动某质点的瞬时速度。
知道了速度之后我们要知道瞬时加速度，就需要二次求导,得（4）（a=−A⋅ω2sin（ω.t+φ)
于是我们得到了加速度。
6.将（1）（4）代入（3），我们得
（−kx=−mA⋅ω2sin（ω.t+φ)
与（2）联立我们得（5）k=mω2
7.由T=2π/ω代入（5），我们终于得到简谐运动周期公式T=2πmk
二、那对于单摆又是怎样的呢？
我们知道：在单摆振幅极小时我们将其近似看做简谐运动，
其回复力F=−mgsinΘ此时可近似看做F≈−mglx
这里的mgl也就是所谓的回复力与位移比值k
将此处k代入简谐运动公式我们就得到了单摆周期公式（振幅极小时）：T=2πlg
弹簧振子的运动方程
弹簧振子的运动方程
弹簧振子是一种简谐振动的物理系统，具有广泛的应用和研究价值。它的运动可以用运动方程来描述和分析。本文将详细介绍弹簧振子的
运动方程及其相关知识。
一、弹簧振子的基本概念
弹簧振子是由一根弹簧和一个质点组成的物理系统。当质点与弹簧相连接，并在无外力的情况下受到一定位移后被释放，质点就会开始
做往复运动。在运动过程中，弹簧的弹性力提供了质点回复原来位置
的驱动力。
弹簧振子的主要特点包括：
1. 质点的质量记为m，为振动系统的重要参数；
2. 弹簧的劲度系数记为k，是弹簧的刚度度量；
3. 质点受到的弹性力与质点的位移成正比，大小与方向由胡克定律
描述；
4. 弹簧振子的振动方向可以是任意方向，这取决于振动的约束条件。
二、弹簧振子的运动方程
弹簧振子的运动方程可以通过胡克定律和牛顿第二定律推导得到。根据牛顿第二定律，可以得到如下的运动方程：
m * d^2x/dt^2 + kx = 0
这里m是质量，k是弹性系数，x是质点的位移，t是时间。
3. 解运动方程
根据运动方程可得到弹簧振子的解：
x(t) = A * cos(ωt + φ)
这里A是振幅，ω是角频率，φ是相位常数。
弹簧振子的振动频率f和周期T分别由下式给出：
f = 1/T = ω/2π = 1/2π * sqrt(k/m)
4. 弹性系数k对振动特性的影响
弹簧的劲度系数k对弹簧振子的振动特性有很大的影响。k越大，
弹簧越硬，振子的振动频率也越高。相应地，k越小，弹簧越松软，振
子的振动频率越低。
此外，振动的幅度和相位常数也会因劲度系数k的变化而发生变化。当k增大时，振动的幅度减小，相位常数也会发生变化。
简谐振动运动方程的推导
简谐振动运动方程的推导简谐振动是物理学中最基本和重要的振动之一。它包括许多不同类型的运动，如弹簧振子、单摆、LC电路中的振荡电流等。这些系统的共同特点是它们的运动
都可以用简单的正弦或余弦函数来描述。
首先，假设一个振动系统在平衡位置附近振动，其位移可以表示为：
x = A * sin(ωt + φ)
其中，A 是振幅，ω 是角频率，t 是时间，φ 是相角。
该系统的运动方程可以表示为：
F = -kx + b(d^2x/dt^2)
其中，F 是外部力，k 是弹簧常数，b 是阻尼系数。
将位移表示式代入运动方程中，得到：
F = -kA sin(ωt + φ) + b(d^2[A*sin(ωt + φ)]/dt^2)
化简得：
F = -kA sin(ωt + φ) + bω^2A*cos(ωt + φ)*2t
设 F0 是使得系统达到平衡位置的最大外部力，则有：
F0 = kA
因此，运动方程可以改写为：
d^2x/dt^2 = (F0/b) * sin(ωt + φ) - ω^2x
这就是简谐振动的运动方程。它是一个二阶线性常微分方程，具有两个解，一个是正弦函数，另一个是余弦函数。因此，该系统的振动形式可以表示为：x = X sin(ωt + φ) 或 x = X cos(ωt + φ)
其中，X 是振幅，φ 是相角，而ω = (F0/b)^0.5 / A 是角频率。注意这个角频率是与外部力 F0 和阻尼系数 b 有关的。如果阻尼系数为零（无阻尼），则角频率为ω0 = (k/m)^0.5 / A，其中 m 是质量。如果再加上外部驱动力 F(t) = F0 * cos(ω0 * t)，则该系统将做受迫振动，其振动形式为：
5-1简谐运动 振幅 周期和频率 相位
k 令 ω = m
物理学
5-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
解方程
d x 2 = −ω x 2 dt 设初始条件为: 设初始条件为
2
简谐运动的微分方程
源自文库
t = 0 时，x = x0 ， =v0 ，v
解得 x = A cos( ω t + ϕ )
简谐运动方程
积分常数， 积分常数，根据初始条件确定
7
15
物理学
5-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
五 常数 A和 ϕ的确定
x = A cos( ω t + ϕ )
v = − A ω sin( ω t + ϕ )
初始条件 t = 0 x = x0 v = v 0
A=
x0 +
2
ω
v0
2 2
− v0 tan ϕ = ωx0
对给定振动 系统， 系统，周期由系 统本身性质决定， 统本身性质决定， 振幅和初相由初 始条件决定. 始条件决定.
物理学
5-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
一 简谐运动
1 机械振动 物体或物体的某一部分在一定位置 a 定义： 定义： 附近来回往复的运动 平衡位置 b 实例 实例: 心脏的跳动， 心脏的跳动， 钟摆，乐器， 钟摆，乐器， 地震等 c 周期和非周期振动
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a
d2x dt 2
2 Acos(
t
)
二、单摆——数学摆
1、概念
单摆是一个理想化的振 动系统：它是由一根无 弹性的轻绳挂一个质点 构成的。若把质点从平 衡位置略为移开，那么 质点就在重力的作用下， 在竖直平面内来回摆动。
摆锤——重物 摆线——细绳 平衡位置——O点
2、运动方程
M mgl sin mgl
2、弹簧振子运动 的定性分析
B→O：弹性力向右，加速度向右，加速；
O→C：
向左，
向左，减速；
C→O：
向左，
向左，加速；
O→B：
向右， 向右，减速。
物体在B、C之间来回往复运动
物体的惯性 ——阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
3、弹簧振子的动力学特征
x
取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为x轴的
复摆——物理摆 1、概念
2、运动方程
重力矩 M＝－mglsin －mgl
转动定律
－mgl＝J＝J
d 2
dt 2
2 mgl
J
d 2
dt 2
＋
2＝0
3、周期与频率
T＝2 J
mgl
mgl
J
4、应用 •测重力加速度 •测转动惯量
d 2
dt 2
＋
2＝0
0 cos(t )
问题
dห้องสมุดไป่ตู้
—— 角速度
正方向。
f －kx
力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位 置的，称为回复力。
f －kx
f
m
d2 dt
x
2
d2 x k x dt2 m
令
2＝ k
m
d2 dt
x
2
＋
2
x＝0
a 2 x
简谐运动 微分方程
4、弹簧振子的运动学方程 x Acos( t )
v dx Asin( t )
•单摆可以当作计时器
复摆
实际发生的振动问题并不象弹簧振子那么简单， 大多数比较复杂；例如
（1）回复力不一定是弹性力，而是重力，浮 力等其它性质的力； （2）合外力可能是非线性力，只有在一定的 条件下，才能近似当作线性回复力。
此时研究问题的方法一般为：根据问题的性质， 突出主要因素，建立合理的物理模型，使计算简 化。下面讨论两个实际振动问题的近似处理：单 摆与复摆。
•研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的 振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。
5－1 弹簧振子和单摆的运动方程
一、弹簧振子的动力学方程 1、弹簧振子
质量可略去不计的弹簧一端固定，另一端连一质量m为的物
体(视为质点)，置于光滑水平面上，若该系统在运动过程中， 弹簧的形变较小(即形变弹簧对物体的作用力总是满足胡克 定律)，则该系统称为弹簧振子。
dt
是什么？
转动定律 －mgl＝I＝Idd2t2
d 2
dt 2
＋
2＝0
f
运动学方程
0 cos(t )
mg
单摆的圆频率
2 g
l
g
l
周期 频率
T＝2 l
g
1＝ 1 g T 2 l
3、说明：
•单摆的合外力与弹性力类似，但本 质不同，称为准弹性力 •单摆的周期与单摆的质量无关
•单摆提供了一种测量重力加速度的 简便装置
第5章
机械振动
一、什么是振动
从狭义上说，物体在一定位 置附近所作的往复运动称为 振动。 从广义上说，任何一个物理 量在某一数值附近作周期性 的变化，都称为振动。
二、什么是机械振动
机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性 往复的运动。
三、研究机械振动的意义
•不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动量 随时间的变化关系遵循相同的数学规律，从而不 同的振动有相同的描述方法。