2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2学业测评：2.2.1

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4 θ＝cos 2θ”的过程：“cos 4 θ－sin 4 θ＝(cos 2 θ＋sin 2 θ)(cos 2 θ－sin 2 θ)＝cos 2 θ－sin 2 θ＝cos 2θ”中应用了( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．分析法和综合法综合使用
D ．间接证法
【解析】 此证明符合综合法的证明思路．故选B. 【答案】 B
2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2
＋b 2
－1－a 2＋b 2
2≤0
C.(a ＋b )2
2－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0， 只需证(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 【答案】 D
3．在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：
那么，d⊗(a⊕c)等于(
A．a B．b
C．c D．d
【解析】由⊕运算可知，a⊕c＝c，
∴d⊗(a⊕c)＝d⊗c.
由⊗运算可知，d⊗c＝a.故选A.
【答案】 A
4．欲证2－3<6－7成立，只需证()
A．(2－3)2<(6－7)2
B．(2－6)2<(3－7)2
C．(2＋7)2<(3＋6)2
D．(2－3－6)2<(－7)2
【解析】∵2－3<0，6－7<0，
故2－3<6－7⇔2＋7<3＋6⇔(2＋7)2<(3＋6)2. 【答案】 C
5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是()
A．sin(α＋β)>sin α＋sin β
B．sin(α＋β)>cos α＋cos β
C．cos(α＋β)>sin α＋sin β
D．cos(α＋β)<cos α＋cos β
【解析】因为0<α<π
2，0<β<π
2，所以0<α＋β<π，
若π
2≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0，
因为cos α>0，cos β>0.
所以cos α＋cos β>cos (α＋β)． 若0<α＋β<π
2，则α＋β>α且α＋β>β， 因为cos(α＋β)<cos α，cos(α＋β)<cos β， 所以cos(α＋β)<cos α＋cos β，
总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)<cos α＋cos β. 【答案】 D 二、填空题
6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
【解析】 该证明方法是“由因导果”法． 【答案】 综合法
7．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是__________． 【解析】 要使a a >b b ， 只需使a >0，b >0，(a a )2>(b b )2， 即a >b >0. 【答案】 a >b >0
8．若对任意x >0，x
x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是__________. 【导
学号：60030056】
【解析】 若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求y ＝x
x 2＋3x ＋1的最
大值，且令a 不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝
x
x 2＋3x ＋1
＝
1x ＋1x
＋3≤12
x ·1x ＋3
＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫15，＋∞.
【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫
15，＋∞
三、解答题
9．已知倾斜角为60°的直线L 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相
交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点．
(1)求弦AB 的长； (2)求三角形ABO 的面积．
【解】 (1)由题意得，直线L 的方程为y ＝3(x －1)， 代入y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10
3.
由抛物线的定义，得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝16
3. (2)点O 到直线AB 的距离d ＝|－3|3＋1
＝32，所以三角形OAB 的面积为S ＝1
2|AB |·d ＝43
3.
10．已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S .
【证明】 要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，
只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥2 3 ab sin C ，即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)，因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ，
只需证a 2＋b 2≥2ab ，
显然上式成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥43S .
[能力提升]
1．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1
b 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.14
【解析】
3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为
a >0，
b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1
14
＝4.
【答案】 B
2．(2016·石家庄高二检测)已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于
1，另一根大于1，则k 的取值范围是( )
A ．(－1,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【解析】 令f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2. 因为其图象开口向上，由题意可知f (1)<0， 即f (1)＝1＋(k －3)＋k 2＝k 2＋k －2<0， 解得－2<k <1. 【答案】 B
3．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________． 【解析】 a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，
故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 【答案】 a ≥0，b ≥0且a ≠b
4．(2016·天津高二检测)已知α，β≠k π＋π
2，(k ∈Z )且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2
β.求证：1－tan 2 α1＋tan 2 α＝1－tan 2 β2(1＋tan 2 β)
. 【导学号：60030057】
【证明】 要证1－tan 2 α1＋tan 2 α＝1－tan 2 β
2(1＋tan 2 β)成立，
即证
1－sin 2 αcos 2 α1＋sin 2 αcos 2 α＝1－sin 2 βcos 2 β2⎝ ⎛⎭⎪
⎫1＋sin 2 βcos 2 β. 即证cos 2α－sin 2α＝1
2(cos 2β－sin 2β)， 即证1－2sin 2
α＝1
2(1－2sin 2β)，
即证4sin 2α－2sin 2β＝1， 因为sin θ＋cos θ＝2sin α， sin θcos θ＝sin 2β，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4sin2α，即4sin2α－2sin2β＝1.
故原结论正确.。