椭圆方程的求法
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆的标准方程是求解椭圆特征的重要方法之一。
接下来，我们将介绍椭圆的标准方程是如何求解的。
首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个重要的性质是，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
椭圆还有一个短轴长度2b，满足b^2 = a^2 c^2，其中c是焦距。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程。
假设椭圆的长轴与x轴重合，焦点在原点上方，且椭圆的中心与原点重合。
设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(-F2, 0)，椭圆上一点P的坐标为(x, y)。
根据椭圆的定义，我们有PF1 + PF2 = 2a，即√(x F1)^2 + y^2 + √(x+ F2)^2 + y^2 = 2a。
化简得x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，这就是椭圆的标准方程。
如果椭圆的长轴与y轴重合，推导过程和上面类似，最终得到的标准方程为y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1。
当椭圆的中心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心平移到原点，然后再根据上面的方法求解标准方程。
最后，我们来举一个具体的例子来求解椭圆的标准方程。
假设椭圆的焦点坐标为(3, 0)和(-3, 0)，离心率为2/3。
首先，我们可以计算出椭圆的长轴长度为6，根据离心率的定义可得椭圆的短轴长度为2√5。
然后，代入椭圆的标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，得到椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/20 = 1。
通过上面的介绍，我们可以得出椭圆的标准方程求解方法。
当我们了解了椭圆的定义和性质后，可以根据椭圆的焦点坐标和离心率来求解标准方程。
希望这篇文章对你有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。
这两个定点被称为焦点，常数2a被称为主轴的长度。
椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦距。
通过这些定义，我们可以得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
通过这个方程，我们可以清晰地看到椭圆的形状和特点。
例如，当a=b时，椭圆变成了一个圆；当a>b时，椭圆在x轴上的投影长度大于在y轴上的投影长度；当a<b时，椭圆在x轴上的投影长度小于在y轴上的投影长度。
除了标准方程，椭圆还有其他一些重要的性质。
例如，椭圆的离心率e可以用a和b表示为e=sqrt(1-b^2/a^2)，这个公式可以帮助我们计算椭圆的离心率。
另外，椭圆还有一个重要的焦点方程，可以表示为PF1+PF2=2a，其中P为椭圆上的任意一点。
这个方程可以帮助我们理解椭圆的焦点性质。
在物理学中，椭圆也有着重要的应用。
例如，行星围绕太阳运动的轨道就是椭圆，椭圆的形状和性质决定了行星运动的规律。
另外，椭圆还可以用来描述光的偏振状态，以及天体运动的轨道等。
总之，椭圆是一个非常重要的数学概念，它在几何学、物理学和工程学中都有着广泛的应用。
通过标准方程，我们可以清晰地了解椭圆的形状和性质，这有助于我们更好地理解和应用椭圆这一数学概念。
希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的标准方程及其相关知识，进而在学习和工作中更好地应用这一重要的数学概念。
高中数学椭圆标准方程的求法举例
椭圆标准方程的求法举例一、定义法例1．已知圆22:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。
解：连结AN ，由NM NA =，得22NC NA NC NM CM +=+==， 而2CA =，因此，点N 的轨迹是以点C A ，为焦点的椭圆，设为22221(0)x y a b a b+=>>，222a =，22c =，所以2a =，1c =，2221b a c =-=。
因此，所求轨迹方程为2212x y +=。
评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ．二、待定系数法例2．已知椭圆的焦距离为26且过点(32)，，求焦点在x 轴上时，它的标准方程．解析：焦点在x 轴上，设所求方程为22221x y a b +=(0)a b >>，由题意得2222321a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-⎩，，解之得2293.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此，所求方程为22193x y +=． 评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程．三、轨迹法例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =-的距离之比为14，求动点P 的轨迹方程．解析：设d 为动点()P x y ，到定直线14y =-的距离，根据题意动点P 的轨迹就是集合14()14PA M P x y d ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，|，由此得22(1)141414x y y ++=+． 将上式两边平方，并化简得2214131413x y +=⨯，即2211314x y +=为所求．评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤． 四、奇思妙解法例4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(02)32A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，求该椭圆的标准方程分析：根据题设条件，并不知道焦点所在的坐标轴，若分两种情况设出椭圆方程，则解答繁琐，而且还要舍去不符合题意的．但若设为221mx ny +=，则包含了焦点在x 轴上和焦点在y 轴上的两种情况，是一个很好的选择．解：设所求的椭圆方程为221(00)mx ny m n m n +=>>≠，，．∵椭圆经过两点(02)A ，和12B ⎛ ⎝，∴0411314m n m n ⨯+⨯=⎧⎪⎨+=⎪⎩，．解得114m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，．故所求椭圆的标准方程为2214y x +=． 例5．求经过点(32)-，且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆方程． 分析：椭圆22194x y +=的焦点为(．若设所求方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则比较麻烦．但若设为与椭圆22194x y +=共焦点的椭圆系方程221(4)94x y λλλ+=>-++就简单得多．解：设所求椭圆方程为221(4)94x y λλλ+=>-++． ∵椭圆过点(32)-，，∴94194λλ+=++．解得1266λλ==-，（舍去）． 故所求椭圆的方程为2211510x y +=． 评注：用待定系数法求椭圆标准方程时，如果求设得当，常可避繁就简，事半功倍．上述两例，就是寻求椭圆方程的两种巧妙解法，故把此法与待定系数法分开列举出来。
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法河南 陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32，∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C2为焦点的椭圆， 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： 22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ．∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值b a ,：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线垂l 直于x 轴，且交椭圆于12422=+y x Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段l AB 外一点，且满足1=∙PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直l 于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解1=∙PB PA ．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号， ∴PB PA ∙=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y∵)41(2)41(2222x x y y y A A B A --=--=-= 1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为轴x ，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的x 两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y y x ∵ Ｇ为的重心ABC ∆ ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在轴上x 的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
怎么求椭圆的标准方程
怎么求椭圆的标准方程
首先，我们需要了解椭圆的基本定义和性质。
椭圆的定义是一个固定点F到平面上任意一点P到两个定点A、B的距离之和等于常数2a，这个常数2a就是椭圆的长轴长度。
而椭圆的短轴长度则是2b，满足a>b。
椭圆的中心是定点A、B连线的中点O，长轴和短轴的交点是椭圆的焦点。
接下来，我们来求解椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程一般是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。
首先，我们需要确定椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b。
确定椭圆的中心坐标(h,k)，如果椭圆的中心不是坐标原点，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心移到坐标原点，这样就可以简化问题。
假设椭圆的中心坐标是(h,k)，我们可以将椭圆的方程变形为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
确定椭圆的长短轴的长度a和b，椭圆的长轴长度是2a，短轴长度是2b，我们可以通过椭圆的焦点和顶点的坐标来确定a和b的值。
椭圆的焦点坐标可以通过勾股定理和椭圆的定义来求解，然后根据a²=b²+c²来确定a和b的值。
最后，我们将确定的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b代入标准方程(x-h)²/a ² + (y-k)²/b² = 1中，就可以得到椭圆的标准方程了。
总结一下，求解椭圆的标准方程需要先确定椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b，然后代入标准方程中进行计算。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆标准方程推导过程
椭圆标准方程推导过程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
接下来，我们将推导椭圆的标准方程。
首先，设椭圆的两个焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），其中c为焦距。
设椭圆上任意一点为P（x,y），则根据椭圆的定义，有：\[PF_1 + PF_2 = 2a\]根据点到定点的距离公式，可以得到：\[\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a\]整理得到：\[(x-c)^2 + y^2 = (2a \sqrt{(x+c)^2 + y^2})^2\]展开并整理得到：\[x^2 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 4a\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2\]化简得到：\[x^2 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 4a\sqrt{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} + x^2 + 2cx + c^2 + y^2\]消去相同的项并整理得到：\[4a\sqrt{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} = 4a^2 2cx\]两边平方得到：\[16a^2(x^2 + 2cx + c^2 + y^2) = (4a^2 2cx)^2\]展开并整理得到：\[16a^2x^2 + 32a^2cx + 16a^2c^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2cx + 4c^2x^2\]化简得到：\[16a^2x^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2c^2 4c^2x^2\]移项并整理得到：\[20a^2x^2 + 16a^2y^2 = 16a^4 16a^2c^2\]将等式两边同时除以16a^4得到：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{(a^2 c^2)} = 1\]由于椭圆的半轴长满足a > c，所以可以令b = √(a^2 c^2)，代入得到椭圆的标准方程：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]至此，我们成功推导出了椭圆的标准方程。
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴，圆Ｍ外切于圆C2 ，∴，∴，∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：＝１（，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为＝１（．∵椭圆经过两点，∴解得，故所求的椭圆标准方程为．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段AB外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解．解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，），由题意：＝＝，＋＝０∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号，∴=（－）（－）＝∵，即为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC边所在直线为轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为．（２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是∵Ｇ为的重心∴代入得：其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
椭圆方程的几种常见求法 (2)
椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12422=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=•PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=•PB PA 即可求解．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号，∴PB PA •=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)41(2)41(2222x x y y y A AB A --=--=-=1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换． 四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系， 设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点， 长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y yx∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300yy x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x其轨迹是中心为原点，焦点在x轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
求椭圆标准方程的两种方法
易错点提示：本题是求动点的轨迹，所以求出轨迹方程后要注意叙述轨迹，并注意 附加条件的补充。
一、定义法求椭圆标准方程
例5、如图，在圆C：(x 1)2 y2 25内有一点A(1,0),Q为圆C上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与C, Q的连线交于点M，当点Q在圆上运动时，求点M的轨迹方程。
所求椭圆的标准方程为：
x2 y2 1. 10 6
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
方法总结：首先明确我们要求的轨迹是椭圆，而后判断椭圆焦点所在的坐标轴，进 而求出 a , b 的值，带入椭圆的标准方程即可。
一、定义法求椭圆标准方程
变式训练1 （人教A版2-1第42页练习2）写出适合条件的椭圆的标准方程：
(1)a 4,b 1,焦点在x轴上； （2）a 4, c 15 ,焦点在y轴上； （3）a b 10, c 2 5.
参考答案：
(1) x2 y2 1; 16
(2) y 2 x2 1; 16
x2 (3)
y2
1或
y2
x2
1
36 16
36 16
一、定义法求椭圆标准方程
2、x2 y2 1( y 0) 25 9
3、x2 y2 1 9 25
谢谢观看
点 ( 5 , 3) ，求它的标准方程。
22
解析：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知：
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10,
2
2
2
2
所以，a 10.
又因为c 2，所以，b2 a2c2 10 4 6
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，距离为2c。
椭圆的长轴是通过焦点的直线段，短轴是长轴的垂直平分线段。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(a>b)。
椭圆的标准方程可以通过椭圆的几何特征进行推导。
首先，我们知道椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
根据点到直线的距离公式，可以得到椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和为2a的方程，√((x+c)²+ y²) + √((x-c)² + y²) = 2a。
然后，我们可以对这个方程进行整理，得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
通过标准方程，我们可以直观地得到椭圆的中心、长轴、短轴等信息。
同时，我们也可以通过标准方程来求解椭圆的焦点坐标和离心率等参数。
在实际问题中，椭圆的标准方程可以帮助我们进行图形的分析和计算。
例如，当我们需要绘制椭圆的图形时，可以通过标准方程来确定椭圆的中心、长轴、短轴，进而绘制出准确的图形。
另外，当我们需要求解椭圆上的点的坐标或者求解椭圆的焦点坐标时，也可以通过标准方程来进行计算。
除了标准方程外，椭圆还有其他形式的方程，例如参数方程和一般方程。
参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标，而一般方程则是通过平移、旋转等变换得到的一般形式的方程。
这些不同形式的方程都可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质和特点。
总之，椭圆及其标准方程是解析几何中重要的内容，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际问题中有着广泛的应用。
通过深入理解椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，从而更好地应用椭圆解决实际问题。
如何求椭圆方程
如何求椭圆方程椭圆是一种常见的几何图形，具有很多有趣的性质和应用。
在数学中，我们可以通过一些方法来求解椭圆的方程。
下面将介绍一种常见的方法，帮助读者理解如何求解椭圆方程。
在开始之前，我们先来了解一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点的距离之和恒定于一个常数的点的集合。
这两个定点称为焦点，常数称为离心率。
椭圆还有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
现在，我们来看如何求解椭圆方程。
假设椭圆的中心坐标为(h, k)，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
我们需要找到一个方程，使得椭圆上的所有点满足这个方程。
我们知道椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：( x - (h - c) )^2 + y^2 + ( x - (h + c) )^2 + y^2 = (2a)^2化简上述方程，可以得到：( x - h )^2 + ( x - h )^2 + ( y - k )^2 = a^2进一步化简，可以得到椭圆的标准方程：( x - h )^2 / a^2 + ( y - k )^2 / b^2 = 1这就是椭圆的标准方程。
通过这个方程，我们可以确定椭圆的中心坐标、长轴和短轴的长度。
如果我们已知椭圆上的两个点，可以通过求解方程组来确定椭圆的方程。
除了标准方程外，还可以使用其他形式的椭圆方程。
例如，如果椭圆的长轴与坐标轴平行，则方程可以表示为：( x - h )^2 / a^2 + ( y - k )^2 / b^2 = 1如果椭圆的长轴与y轴平行，则方程可以表示为：( x - h )^2 / b^2 + ( y - k )^2 / a^2 = 1以上是求解椭圆方程的一种常见方法。
通过确定椭圆的中心坐标、长轴和短轴的长度，我们可以得到椭圆的方程。
这个方程可以帮助我们进一步研究椭圆的性质和应用。
总结起来，求解椭圆方程的方法主要包括确定椭圆的中心坐标、长轴和短轴的长度，然后根据椭圆的定义和性质，得到椭圆的方程。
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]椭圆方程的几种常见求法河南 陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12422=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=•PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=•PB PA 即可求解．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号，∴PB PA •=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)41(2)41(2222x x y y y A AB A --=--=-=1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系， 设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y yx ∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点． 评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
解椭圆方程
解椭圆方程
椭圆方程是一种特殊的多项式方程，可以用来描述多个二维物体之间的关系。
椭圆方程的一般形式为：Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0。
其中，A、B、C、D、E和F是实数系数。
椭圆方程的解决方法有很多种，其中最常用的是椭圆曲线的改造。
这一方法可以将椭圆方程转化为一般形式：Bx2+Cy2+Dxy+Ey+F = 0。
将系数A和D的和与系数C的积相比，如果C大于A和D的和，则可以将原方程转化为椭圆曲线，此时可以使用变量变换求解。
还有一种椭圆方程的解决方法是利用椭圆曲线方程组。
可以使用两个椭圆方程组，将整个椭圆曲线方程降为二次方程可以去求解。
尽管有许多解椭圆方程的方法，但最重要的是要理解椭圆方程，然后根据具体情况选择最合适的解椭圆方程方法。
椭圆方程是以一种特定的方式描述二维物体之间的关系，是经典的几何问题的基础。
只有理解了它的特征和特性，才能更好地解决几何问题，以此来实现更大的创造性。
椭圆标准方程的七种求法
椭圆标准方程的七种求法一、定义法例1．已知圆22:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。
评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ．二、待定系数法例2．已知椭圆的焦距离为26且过点(32)，，求焦点在x 轴上时，它的标准方程．评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程．三、第二定义法例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =-的距离之比为1414，求动点P 的轨迹方程．评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y ，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤．四、奇思妙解法-----一般方程法例4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(02)2A B ⎛ ⎝，，求该椭圆的标准方程五、奇思妙解法-----同焦点 例5．求经过点(32)-，且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆方程．评注：用待定系数法求椭圆标准方程时，如果求设得当，常可避繁就简，事半功倍．上述两例，就是寻求椭圆方程的两种巧妙解法，故把此法与待定系数法分开列举出来。
六、奇思妙解法-----同焦距例6求经过点(32)-，且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆方程．七、奇思妙解法-----同离心率例7求经过点(32)-，且与椭圆22194x y +=有相同焦点的椭圆方程．。
推导椭圆的标准方程
推导椭圆的标准方程首先，我们来看椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆上任意一点P 到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
接下来，我们假设椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上，且椭圆的中心在原点O处。
设焦点F1的坐标为(-c,0)，焦点F2的坐标为(c,0)，则根据椭圆的定义，椭圆上任意一点P(x,y)到两个焦点的距离之和等于常数2a。
根据两点间距离公式可得：√((x + c)² + y²) + √((x c)² + y²) = 2a。
整理化简得：((x + c)² + y²) + ((x c)² + y²) = 4a²。
化简得：2x² + 2y² + 2c² = 4a²。
移项得：x²/a² + y²/(a² c²) = 1。
这就是椭圆的标准方程。
其中，a为长轴的一半，c为焦距的一半。
通过这个推导过程，我们得到了椭圆的标准方程，可以看出，椭圆的标准方程与长轴、短轴、焦点等参数有着密切的关系，通过标准方程可以直观地了解椭圆的形状和特点。
除了上述的推导过程，我们还可以通过其他方法来得到椭圆的标准方程。
例如，我们可以利用椭圆的定义和性质，通过代数运算和几何推理来推导标准方程。
另外，我们还可以利用坐标变换的方法，将一般方程转化为标准方程。
这些方法各有特点，但都可以帮助我们更好地理解和掌握椭圆的标准方程。
总之，推导椭圆的标准方程是学习椭圆的重要一步，通过推导可以更好地理解椭圆的性质和特点。
本文通过详细介绍了推导椭圆的标准方程的过程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆的普通方程
椭圆的普通方程椭圆是一种基本的曲线，它与圆形相似，但有很大的不同。
椭圆是二维平面中最常见的曲线，它使用普通方程来描述。
椭圆的普通方程有多种不同的形式，其中最简单的形式是标准椭圆方程：（x2/a2）+（y2/b2）=1其中，a和b分别指椭圆的长轴和短轴。
显然，当a = b，等式可以简化为：x2/a2 + y2/a2=1这是一个圆的方程，a圆的半径。
如果要表示一个实际的椭圆，标准椭圆方程是不够的，我们需要添加一个额外的偏移量，使椭圆移动到新的位置。
例如，要描述一个椭圆，可以使用如下方程：（x-h）2/a2 +（y-k）2/b2=1其中，x-h和y-k表示椭圆的偏移量。
h和k分别指定椭圆的中心的 x y标。
此外，椭圆还可以以非标准形式表示，这种形式也称为双曲椭圆方程，它的形式为：（x2/a2）-（y2/b2）=1双曲椭圆的 a b 与标准椭圆的 a b同，但是 x向和 y向的系数不同。
双曲椭圆是一种特殊的椭圆，它的长轴和短轴都不受限制。
椭圆是一种复杂的曲线，其形状受椭圆的参数（a、b、h、k）的影响。
椭圆的普通方程提供了一种有效的方法来描述和分析椭圆的特性。
人们通过改变椭圆的参数来控制其外观，用于绘制各种形状的图形。
由于椭圆的普通方程比较容易理解和求解，因此它被广泛应用于工程、科学和数学中。
椭圆的普通方程在很多领域都有用处，例如，在电力系统中，可以使用椭圆方程来描述电流和电压的关系。
此外，它还被用于最小化函数，用于求解线性和非线性方程组，以及用于绘制受力分析图以及椭圆面积的计算。
因此，椭圆的普通方程对工程、科学和数学都有重要的作用。
椭圆的普通方程也可以用来解决许多实际问题，例如，用椭圆方程可以设计各种装饰物，比如椭圆形的画框和壁画。
此外，椭圆方程还可以用来计算椭圆形面积以及椭圆周长。
可以看出，椭圆的普通方程是一种非常重要的工具，它可以用来解决很多有趣的实际问题。
它可以用来描述椭圆的特性和形状，以及应用于工程、科学和数学方面的实际问题。
椭圆的标准公式
椭圆的标准公式首先，让我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
椭圆的长轴的两端点称为椭圆的顶点，椭圆的中点称为椭圆的中心。
接下来，我们来看一下椭圆的标准公式。
设椭圆的中心为原点O(0,0)，椭圆的长轴与x轴重合，短轴与y轴重合，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b（a>b>0）。
椭圆上任意一点P(x,y)，则有。
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
这就是椭圆的标准方程。
在这个方程中，a表示椭圆长轴的长度，b表示椭圆短轴的长度。
通过这个方程，我们可以方便地求解椭圆上任意一点的坐标，也可以方便地画出椭圆的图形。
椭圆的标准公式还可以写成参数方程的形式。
设椭圆的中心为原点O(0,0)，椭圆的长轴与x轴重合，短轴与y轴重合，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b（a>b>0）。
椭圆上任意一点P(x,y)，则有。
x = acosθ。
y = bsinθ。
其中θ为椭圆上点P的极坐标角。
通过这个参数方程，我们可以方便地求解椭圆上任意一点的坐标。
除了标准公式，椭圆还有一些重要的性质。
首先是椭圆的离心率。
椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴的长度。
离心率描述了椭圆的扁平程度，离心率越接近于0，椭圆就越接近于圆；离心率越接近于1，椭圆就越扁平。
其次是椭圆的焦点方程。
设椭圆的焦点为F1(c,0)和F2(-c,0)，则椭圆上任意一点P(x,y)满足PF1+PF2=2a，即√(x+c)^2 + y^2 + √(x-c)^2 + y^2 = 2a。
最后是椭圆的直径方程。
椭圆的直径方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1与x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1的交点为椭圆的端点。
综上所述，椭圆的标准公式是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，通过这个公式我们可以方便地求解椭圆上任意一点的坐标，也可以方便地画出椭圆的图形。
椭圆方程几种常见求法
河南陈长松关于求椭圆方程的问题，往常有以下常有方法：一、定义法例 1 已知两圆 C1：(x 4)2y21692： (x4)2y29 ，动圆在圆1内部且和圆1相内切，，C C C和圆 C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．剖析：动圆知足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依照两圆相切的充要条件成立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y），半径为 r ，如下图，由题意动圆Ｍ内切于圆C，1∴ MC113 r ，圆Ｍ外切于圆C2，∴MC2 3 r ，∴MC1MC 216 ，y∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以 C 、C 为焦点的椭圆，12且 2a16,2c8 ，C2ＭC1x b2 a 2c264 16 48，Ｏ故所求轨迹方程为：x 2y 2 1．6448评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．本题先依据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过分，恰巧切合椭圆的定义．进而转变问题形式，抓住实质，充足利用椭圆的定义是解题的重点．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P (6,1), P ( 3, 2) ，求该椭圆的12方程．剖析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确立，我们能够设椭圆方程的一般形式：mx 2ny 2＝１（ m0,n0) ，进行求解，防止议论。
解：设所求的椭圆方程为mx2ny 2＝１（ m 0, n 0) ．∵椭圆经过两点P1 (6,1), P2 (3,2) ，6m n 1,m 1,x 22 9，故所求的椭圆标准方程为y∴2n解得191．3m 1.3n.3评注：求椭圆标准方程，能够依据焦点地点设出椭圆标准方程，用待定系数法求出a, b的值：若焦点地点不确立，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线 l 垂直于x轴，且交椭圆x2y 2l 上线段41于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是2AB外一点，且知足PA ? PB 1，求点Ｐ的轨迹方程．剖析：怎样利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的重点，因直线l 垂直于 x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标同样，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，所以，牢牢抓住等式 PA ? PB 1即可求解．解：设Ｐ（ x ，y），Ａ（ x A， y A），Ｂ（x B， y B），由题意： x ＝x A＝x B，y A＋y B＝０∴ PA y y A, PB y y B，∵Ｐ在椭圆外，∴y －y A与 y －y B同号，∴ PA ? PB =（ y － y A）（ y － y B）＝y2( y A y B ) y y A y B 1∵ y A y B y A22(1x A2)2(1x 2)44y22(1x2)1，即 x2y 21( 2x2) 为所求．463评注：求轨迹方程，第一要找出动点与已知点之间的关系，成立一个等式，用坐标代换．四、有关点法例４ABC 的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．剖析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用有关点法去求．解（１）以BC边所在直线为x 轴，BC边的中点为坐标原点成立直角坐标系，设Ｇ（ x ，y），由 GC GB 230 ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，3长轴长为 20 的椭圆且除掉x 轴上的两极点，方程为x2y21001( y 0) ．36（２）设Ａ（x02y02x， y ），Ｇ（ x0 , y0 ) ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是1( y0 0)10036x∵ Ｇ为ABC 的重心∴x0x2y20)3 代入得：9001( yy324y03其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除掉长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和有关点法求解的，要注意各自的特色，另要注意轨迹与轨迹方程的不一样．。
求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程
椭圆是平面上的一种二次曲线，它的形状类似于圆形，但是在一个方向上比另一个方向更加“扁平”。
椭圆的标准方程是指其在平面直角坐标系中的方程形式，可以用一组参数表示椭圆的位置、大小和形状。
下面介绍如何求椭圆的标准方程。
首先，我们假设椭圆的中心位于坐标系原点，这是为了简化问题。
如果椭圆的中心不在原点，则可以通过平移坐标系来将其移到原点。
接下来，我们需要确定椭圆的两个轴的长度。
这些轴分别称为主轴和次轴，主轴通常是椭圆的最长直径，次轴则是椭圆的最短直径。
如果我们知道主轴和次轴的长度，我们就可以求出椭圆的离心率，从而得到椭圆的标准方程。
假设主轴的长度为2a，次轴的长度为2b，椭圆的离心率为e，则椭圆的标准方程可以表示为：
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
其中，x和y是椭圆上任意一点的坐标。
椭圆的离心率e的计算公式为：
e = sqrt(1 - b^2/a^2)
其中，sqrt表示求平方根。
因此，如果我们已知椭圆的主轴和次轴的长度，我们可以求出椭圆的离心率，从而得到椭圆的标准方程。
需要注意的是，如果椭圆的长轴和短轴的长度不相等，那么这个椭圆是一个非圆形的椭圆，也就是说它的长轴和短轴长度不同。
除此之外，还有其他一些方法可以求椭圆的标准方程，例如将椭圆的中心移到原点的变换、将椭圆的坐标系旋转的变换等等。
这些方法在不同的情况下可能更为方便，需要根据具体问题的需要选择相应的方法。
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椭圆方程的求法椭圆是圆锥曲线中的重头戏，在高考试题中常以压轴题的身份出现，就说明了一切.对于这一曲线，许多学生不明白，看起来多么惹人爱，做起来咋就那么多的坑.椭圆解答题中第（1）问，常常是求椭圆的方程，竟然做不出来，让人倍感伤心.这里整理部分常见求椭圆方程问题，希望能给大家带来帮助.题组一：直接法直接法指根据椭圆定义或结合椭圆方程特点利用待定系数法求椭圆方程，这类问题相对比较简单，只是在具体运算中注意一下，不要出现计算迂回，浪费时间.例1.若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是__________.解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝a 2－c 2＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.答案 x 225＋y 216＝1练习1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1解析：椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13·2a ＝2，得c ＝1，因此，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.练习2.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1解析 由题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将A (c ，y 1)代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1，由此求得y 21＝b 4a 2，所以|AB |＝3＝2b 2a，又c ＝1，a 2－b 2＝c 2，可解得a ＝2，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1解析 由题意可得c a ＝23，4a ＝12，解得a ＝3，c ＝2，则b ＝32－22＝5，所以椭圆C的方程为x 29＋y 25＝1.答案 D练习4.已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.求椭圆C 的方程；解：由已知得⎩⎨⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y24＝1.练习5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.求椭圆C 的方程； 解：因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，所以4a 2＋1b 2＝1.所以a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.练习6.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.求椭圆C 1的方程；解 由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ，因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x 24＋y 2＝1.练习7.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.求椭圆的方程；解：设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.练习8.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2.求椭圆的方程；解：设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.练习9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，，F 为其右焦点.求椭圆C 的方程；解：因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，设椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，又点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.练习10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点(1,2A 在椭圆C 上.求椭圆C 的标准方程； 解 设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为(1,2A 在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.练习11.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2，以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点.求椭圆E 的标准方程；解 由题意，得椭圆E 的焦点在x 轴上.设椭圆E 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，∴椭圆E 的标准方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.∵椭圆E经过点(1,2，∴12b 2＋12b 2＝1，解得b 2＝1. ∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.有时题目中没有给出椭圆的任何特征，需要我们将其中的条件进行转化，发现椭圆的定义特征，或者对轨迹方程进行整理后找到椭圆方程，这类问题比较隐蔽，关键在于对已知条件的准确转化.例2.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1【答案】D解：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8， 所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.练习1.已知A (－2，0)，B (2，0)，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为－34.求动点C 的轨迹方程；解：设C (x ，y ).由题意得k AC ·k BC ＝y x ＋2·y x －2＝－34(y ≠0).整理，得x 24＋y 23＝1(y ≠0).故动点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).练习2.已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程；解：设点P (x ，y )，由题意，可得（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，得x 22＋y 2＝1.∴曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.练习3.已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程；解 设PF 的中点为S ，切点为T ，连接OS ，ST ，则|OS |＋|SF |＝|OT |＝2.取F ′(－1，0)，连接F ′P ，则|F ′P |＋|FP |＝2(|OS |＋|SF |)＝4.所以点P 的轨迹是以F ′，F 为焦点、长轴长为4的椭圆，其中，a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.求椭圆方程中有一类比较复杂的问题是题目给出椭圆的特点，但是将基本元素的关系设置在一些较复杂的情境中，如向量、内切圆、三角形面积等等，这些条件的介入，增加了解题难度，此时应该对题目中的条件合理转化，做好准确“翻译”，巧用妙用已知条件，求出基本元素，找到椭圆方程.例3若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1解析 (1)法一 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1消去y ，得3x 2－5x ＝0，故得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，则 |AB |＝⎝⎛⎭⎫0－532＋⎝⎛⎭⎫－2－432＝553.法二 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553.练习1.已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.求椭圆E 的方程；解：由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x24＋y 2＝1. 练习2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，12F PF S=，且椭圆的离心率为12.求椭圆方程.解：由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，① |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，② 12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，③ 联立①②③解得a 2－c 2＝3.又c a ＝12，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.求椭圆C 的标准方程；解：由内切圆的性质，得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，得c a ＝12.将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以2b 2a ＝3.又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.练习4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切.求椭圆C 的标准方程；解：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a ＝|0＋0－2|2，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1， 则椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.练习5.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆E 上的动点(不与A 1，A 2重合)，且直线P A 1与P A 2的斜率的乘积为－34.求椭圆E 的方程； 解 设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 20a2＋y 20b2＝1.整理，得x 20－a 2＝－a 2y 20b2.由题意，得y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝－34.整理，得x 20－a 2＝－43y 20. ∴－a 2y 20b 2＝－43y 20，又y 0≠0，即a 2＝43b 2. ∵c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.练习6.如图所示，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝49是椭圆T ：x 216＋y 2b2＝1(0<b <4)的内接△ABC的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC . 求椭圆T 的标准方程；解：设08(,)3B y ，y 0>0，AB 与圆G 切于点D ，BC 交x 轴于点H ，连接DG ，如图.由题意得△ADG ∽△AHB ，即GD AG ＝HBAB ，得236＝y 04009＋y 20.解得y 20＝59. ∵点08(,)3B y 在椭圆T 上， ∴64916＋y 20b 2＝49＋59b 2＝1，解得b 2＝1. 故椭圆T 的标准方程为x 216＋y2＝1.法无定法，贵在得法！题目千变万化，但是源头始终如一，只要解题时能够抓住题眼，明确目标，合理规划计算方法，解题能力会不断上升！题组一：例1.若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是__________.练习1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1练习2.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1练习4.已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.求椭圆C 的方程；练习5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.求椭圆C 的方程； 练习6.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.求椭圆C 1的方程；练习7.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.求椭圆的方程.练习8.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2.求椭圆的方程.练习9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，，F 为其右焦点.求椭圆C 的方程.练习10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点(1,2A 在椭圆C 上.求椭圆C 的标准方程. 练习11.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2，以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点.求椭圆E 的标准方程. 题组二：例2.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1练习1.已知A (－2，0)，B (2，0)，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为－34.求动点C 的轨迹方程.练习2.已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程.练习3.已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程. 题组三：例3若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为( )A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1练习1.已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.求椭圆E 的方程.练习2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，12F PF S，且椭圆的离心率为12.求椭圆方程.练习3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 与被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.求椭圆C 的标准方程.练习4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切.求椭圆C 的标准方程.练习5.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为椭圆E 上的动点(不与A 1，A 2重合)，且直线P A 1与P A 2的斜率的乘积为－34.求椭圆E 的方程.练习6.如图所示，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝49是椭圆T ：x 216＋y 2b 2＝1(0<b <4)的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC .求椭圆T 的标准方程.。