椭圆方程的求法

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四法求椭圆方程

椭圆方程是几何中最常见的曲线方程形式，它可以表示出椭圆形状，在工程中常用作物体

运动轨迹的计算。椭圆方程是一个二次多项式，可以利用四次根式法来求这个方程的解。

第一步，将椭圆方程化简成标准格式的参数形式，方程形式为 Ax² + Bxy + Cy² + Dx

+ Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为标准形式中的常数。

第二步，设置一个占位变量x和y，把椭圆方程的参数形式用x和y的数学表示形式取代，即Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，用标准形式表示就是(x+a)² +(y-b)² = c²。

第三步，使用椭圆的标准形式来解决原椭圆方程，即可以用a、b、c求出椭圆上两个相交

点的坐标。

第四步，把求得的相交点的两个坐标代入原椭圆方程中，如果得到结果为零，则表明是正

确的解，否则不是。

因此，通过四次根式法求椭圆方程，可以得出对应的参数值a、b和c，然后借助相应的公式来求出椭圆的解。椭圆的解即该椭圆的任意一点的坐标值，可以用来描述物体运动的轨迹。

求椭圆的方程

椭圆是大家非常熟悉的几何图形，可以说是几何学中最重要的图

形之一。在实际生活中，椭圆可以用在许多场合，比如设计农业园艺

的果园形状，制作一些装饰品等等。然而，要求给出椭圆的方程，可

能对一些人来说是一个很有挑战性的问题。下面我们就来简单了解一

下求椭圆的方程的方法。

一、直线和椭圆相交的情况

当一条直线和椭圆相交时，我们必须先求出这条直线的方程。方

程求出之后，将其代入椭圆的方程中，得到一个关于x和y的二次方程，化简之后，我们就能得到椭圆的方程了。

二、两条直线和椭圆相交的情况

当存在两条直线和椭圆相交时，我们需要先求出这两条直线的方程。这两条直线的方程代入椭圆的方程可以得到一个以y为自变量的

二次方程。这时我们要将这个方程转化成标准的二次方程，并求出其

判别式，这样就能求出椭圆的方程了。

三、通过点和切线的方法求椭圆的方程

这种方法的前提是我们已经知道椭圆上的一个点和与该点相切的

一条直线的方程。根据切线的性质，我们可以求得切点处的切线斜率。再根据椭圆的定义，可以得到经过该点的法线斜率。我们已知切线斜

率和法线斜率，根据两点式就可以算出该法线与椭圆的交点坐标。将

该点代入椭圆标准方程求得的结果为：(x-x0)²/a²+(y-y0)²/b²=1。

四、通过椭圆焦点、中心点和离心率求椭圆方程

椭圆的标准方程是根据其焦点、中心点和离心率推导出来的。首先，我们要求出椭圆的中心点，这可以通过椭圆上的两点和中垂线来

求解。然后，我们要求出椭圆的一组焦点，这可以通过椭圆的离心率

和中心点来求解。最后，我们根据中心点和一组焦点的坐标，可以推

求椭圆的标准方程的方法

椭圆的标准方程表示为：

((x - h)²/ a²) + ((y - k)²/ b²) = 1

其中(h, k) 是椭圆中心的坐标，a 是椭圆的长半轴长度，b 是椭圆的短半轴长度。

要获得椭圆的标准方程，可以按照以下步骤进行：

确定椭圆的中心坐标(h, k)。这可以通过观察给定的椭圆的图形或通过给定的信息来确定。

确定椭圆的长半轴长度a。长半轴是从中心到椭圆上离中心最远的点的距离。可以通过测量或计算来确定。

确定椭圆的短半轴长度b。短半轴是从中心到椭圆上离中心最近的点的距离。可以通过测量或计算来确定。

使用上述值将坐标(h, k)、长半轴长度a 和短半轴长度 b 代入椭圆的标准方程((x - h)²/ a ²) + ((y - k)²/ b²) = 1 中。

通过这些步骤，您就可以得到椭圆的标准方程。请注意，当椭圆的长半轴与短半轴相等时，即a = b，方程简化为圆的标准方程。

椭圆方程的几种常见求法

椭圆方程的‎几种常见求‎法

河南陈长松

对于求椭圆‎方程的问题‎，通常有以下‎常见方法：

一、定义法

例1 已知两圆C ‎1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C ‎1内部且和‎圆C 1 相内切，和圆C2相‎外切，求动圆圆心‎的轨迹方程‎．

分析：动圆满足的‎条件为：①与圆C1相‎内切；②与圆C2相‎外切．依据两圆相‎切的充要条‎件建立关系‎式．

解：设动圆圆心‎Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆‎Ｍ内切于圆‎C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于‎圆C 2 ， ∴r MC +=32，

∴1621=+MC MC ，

∴ 动圆圆心Ｍ‎的轨迹是以‎C 1、C2为焦点‎

的椭圆，且82,162==c a ，

481664222=-=-=c a b ，故所求轨迹‎方程为：148

642

2=+y x ．评注：利用圆锥曲‎线的定义解‎题，是解决轨迹‎问题的基本‎方法之一．此题先根据‎平面几何知‎识，列出外切的‎条件，内切的条件‎，可发现利用‎动圆的半径‎过度，恰好符合椭‎圆的定义．从而转化问‎题形式，抓住本质，充分利用椭‎圆的定义是‎解题的关键‎．

二、待定系数法‎

例２已知椭‎圆的中心在‎原点，以坐标轴为‎对称轴，且经过两点‎)2,3(),1

,6(21--P P ，求该椭圆的‎方程．

分析：已知两点，椭圆标准方‎程的形式不‎确定，我们可以设‎椭圆方程的‎一般形式： 22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭‎圆方程为2

如何求椭圆方程

椭圆是一种常见的几何图形，其形状类似于拉伸的圆形。椭圆方程是描述椭圆形状的数学方程。在本文中，我们将探讨如何求解椭圆方程的方法。

我们需要了解椭圆的定义。椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。这两个定点称为焦点，而2a称为椭圆的长轴。

为了求解椭圆方程，我们需要知道椭圆的中心和长轴的长度。如果我们知道椭圆的焦点坐标和长轴长度，我们可以使用以下公式来求解椭圆方程：

(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1

其中，(h,k)是椭圆的中心坐标，a是长轴的长度，b是短轴的长度。接下来，让我们通过一个实例来说明如何求解椭圆方程。

假设我们知道椭圆的焦点坐标为F1(1,0)和F2(-1,0)，长轴的长度为4。我们需要求解椭圆的方程。

我们可以确定椭圆的中心坐标为(h,k) = (0,0)。然后，我们可以确定长轴的长度为2a = 4，因此a = 2。

将这些值代入椭圆方程，我们可以得到：

(x-0)²/2² + (y-0)²/b² = 1

化简方程，我们得到：

x²/4 + y²/b² = 1

根据椭圆的定义，我们知道焦点到椭圆轨迹上任意一点的距离之和等于常数2a。在本例中，2a = 4，因此我们可以验证焦点到椭圆轨迹上的点的距离之和是否等于4。

例如，我们可以选择椭圆上的点P(2,0)。根据焦点到点P的距离之和等于常数2a，我们可以计算焦点F1到点P的距离和焦点F2到点P的距离：

PF1 = sqrt((2-1)² + (0-0)²) = sqrt(1) = 1

PF2 = sqrt((2+1)² + (0-0)²) = sqrt(9) = 3

椭圆方程的几种常见求法

对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：

一、定义法

例1 已知两圆C1：

，C2：

，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．

分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．

解：设动圆圆心Ｍ（

，

），半径为

，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，

∴

，圆Ｍ外切于圆C2 ，∴

，

∴

，

∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，

且

，

故所求轨迹方程为：

．

评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．

二、待定系数法

例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点

，求该椭圆的方程．

分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：

＝１（

，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为

＝１（

．

∵椭圆经过两点

，

∴

解得

，故所求的椭圆标准方程为

．

评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出

的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．

三、直接法

例３设动直线

垂直于

轴，且交椭圆

于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是

上线段

AB外一点，且满足

，求点Ｐ的轨迹方程．

分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线

垂直于

轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式

椭圆的标准方程怎么求

首先，我们来回顾一下椭圆的定义。椭圆是平面上到两个定点

F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。其中，两个定点F1

和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。椭圆还有一

个重要的参数e，称为离心率，它是焦距与长轴长度之比的绝对值，即e=c/a，其中c为焦距。

接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。椭圆的标准方程有两

种形式：横轴为长轴和纵轴为长轴。以横轴为长轴的椭圆为例，其

标准方程为：

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

其中，a为长轴的长度，b为短轴的长度。而以纵轴为长轴的椭

圆的标准方程为：

x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1。

接下来，我们将分别介绍如何求解这两种形式的椭圆标准方程。

首先是横轴为长轴的椭圆。对于这种情况，我们可以根据椭圆的定义和标准方程的形式来求解。首先，我们需要确定椭圆的焦点F1和F2的坐标以及长轴的长度2a和短轴的长度2b。然后，根据标准方程的形式，我们可以直接得到椭圆的标准方程。具体来说，我们可以通过观察椭圆的图像或者已知条件来确定a和b的值，进而得到标准方程。

接着，我们来看纵轴为长轴的椭圆。对于这种情况，求解标准方程的方法与横轴为长轴的情况类似，只是长轴和短轴的长度对调了位置。同样地，我们需要确定椭圆的焦点F1和F2的坐标以及长轴的长度2a和短轴的长度2b，然后根据标准方程的形式来求解。

在实际问题中，我们可能需要根据给定的条件来求解椭圆的标准方程，这就需要我们灵活运用椭圆的定义和标准方程的形式，结合已知条件来进行求解。在求解过程中，我们还需要注意椭圆的性质和特点，这样才能准确地得到椭圆的标准方程。

椭圆的公式标准方程

椭圆的标准方程如下：

（x-h）²/a² + （y-k）²/b² = 1

其中（h，k）是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴半径和短轴半径。在标准方程中，a是由x轴的正、负半轴长度决定，b是由y轴的正、负半轴长度决定。椭圆的长轴是与x 轴平行的，短轴是与y轴平行的。

如何求椭圆方程

椭圆是一种常见的几何图形，具有很多有趣的性质和应用。在数学中，我们可以通过一些方法来求解椭圆的方程。下面将介绍一种常见的方法，帮助读者理解如何求解椭圆方程。

在开始之前，我们先来了解一下椭圆的定义。椭圆是平面上到两个定点的距离之和恒定于一个常数的点的集合。这两个定点称为焦点，常数称为离心率。椭圆还有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

现在，我们来看如何求解椭圆方程。假设椭圆的中心坐标为(h, k)，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。我们需要找到一个方程，使得椭圆上的所有点满足这个方程。

我们知道椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：

( x - (h - c) )^2 + y^2 + ( x - (h + c) )^2 + y^2 = (2a)^2

化简上述方程，可以得到：

( x - h )^2 + ( x - h )^2 + ( y - k )^2 = a^2

进一步化简，可以得到椭圆的标准方程：

( x - h )^2 / a^2 + ( y - k )^2 / b^2 = 1

这就是椭圆的标准方程。通过这个方程，我们可以确定椭圆的中心

坐标、长轴和短轴的长度。如果我们已知椭圆上的两个点，可以通过求解方程组来确定椭圆的方程。

除了标准方程外，还可以使用其他形式的椭圆方程。例如，如果椭圆的长轴与坐标轴平行，则方程可以表示为：

( x - h )^2 / a^2 + ( y - k )^2 / b^2 = 1

椭圆方程的几种常见求法

椭圆方程的几种常见求

法

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

椭圆方程的几种常见求法

河南陈长松

对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法

例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．

分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．

解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ，

∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2 且82,162==c a ，

481664222=-=-=c a b ，

故所求轨迹方程为：148

642

2=+

y x ．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．

二、待定系数法

例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点

)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．

分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：

22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。

解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，

椭圆方程知识点总结

椭圆方程是高等数学中的一个重要内容，它涵盖了多个学科领域，包括微积分、复变、偏微分方程等。本文将从椭圆方程的定义、性质、求解方法等多个方面进行详细讲解和总结，以期让读者对该内容有更加深入的了解。

一、椭圆方程的定义

椭圆方程是指形如$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$这样的方程，其中$a$和$b$都是正实数，且$a>b$。这个方程描述了一个平面上的椭圆，其中$a$和$b$称为椭圆的半轴长度，椭圆的中心位于坐标原点。

在三维空间中，类似的方程也可以描述一个椭球。椭球的半轴长度分别对应方程中$x$、$y$、$z$三个变量的系数，即

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a>b>c$。

二、椭圆方程的性质

1. 椭圆方程所描述的图形为平面上的椭圆。

2. 椭圆方程满足反对称性质，即交换$x$和$y$的值，方程的解不会发生变化。

3. 在坐标系中，椭圆具有x轴和y轴的对称性，即椭圆关于x 轴和y轴对称。

4. 直线$y=kx$与椭圆相交时，只有两个交点或没有交点。若有两个交点，则交点的$x$坐标满足$a^2k^2+b^2=x^2$，解得

$x=\pm\frac{ab}{\sqrt{a^2k^2+b^2}}$。

5. 椭圆方程在$(\pm a,0)$和$(0,\pm b)$四点处有拐点，即曲率半径为无穷大。而在椭圆上任意一点的曲率半径为

$\rho=\frac{ab}{\sqrt{(b^2x^2+a^2y^2)^3}}$。

椭圆的标准方程怎么求

首先，我们来回顾一下椭圆的定义。椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。根据椭圆的定义，我们可以得到椭圆的标准方程为：

(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。

其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为椭圆长轴的长度的一半，b 为椭圆短轴的长度的一半。

接下来，我们来讨论如何求解椭圆的标准方程。首先，我们需要知道椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b。如果我们已知椭圆的焦点坐标和长轴长度，我们可以通过以下步骤求解椭圆的标准方程：

步骤一，确定椭圆的中心坐标(h,k)。椭圆的中心坐标可以通过焦点坐标F1和F2的平均值得到，即(h,k) = ((x1+x2)/2,

(y1+y2)/2)。

步骤二，确定椭圆长轴的长度2a和短轴的长度2b。根据椭圆

的定义，长轴的长度2a等于两个焦点的距离，即2a = 2√((x2-

x1)² + (y2-y1)²)。而短轴的长度2b可以通过长轴长度和离心率

e计算得到，即2b = 2a√(1-e²)。

步骤三，代入椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b到椭

圆的标准方程中，即可得到椭圆的标准方程。

通过以上步骤，我们可以求解椭圆的标准方程。需要注意的是，当椭圆的长轴与x轴平行时，椭圆的标准方程为：

(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。

而当椭圆的长轴与y轴平行时，椭圆的标准方程为：

(x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1。

总之，求解椭圆的标准方程是一个基础而重要的数学问题。通

例谈椭圆标准方程的求法

解题宝典

椭圆的标准方程分为两种：（1）若椭圆的焦点在x

轴上，则方程为x 2a 2+y 2b 2=1；若椭圆的焦点在y 轴上，则方程为y 2a 2+x 2

2=1，其中a 2-b 2=c 2，c 为椭圆的半焦

距.要求椭圆的标准方程，往往要先确定焦点的位置，然后求得各个参数的取值.椭圆标准方程的求法很多，如定义法、待定系数法、直接法等.下面结合实例来进行探讨.

一、定义法

椭圆是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点之间的距离）的动点的轨迹，这两个定点称为椭圆的焦点.若发现某个未知曲线上的动点到两个定点的距离之和为常数，就要想到用定义法来解题.在用定义法解题时，要明确两个定点F 1、F 2之间的距离是椭圆的焦距，即||F 1F 2=2c ，动点P 到两定点的距离之和为2a ，其中c 2=a 2-b 2.求得参数a 、b 的值，即可求得椭圆的标准方程.

例1.若△ABC 的三边a ,b ,c 成等差数列，

且a >b >c ，A ,C 两点的坐标分别为(-1，0)、(1，0).试求顶点B 的轨迹.

解：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b =a +c ，

即：

2||AC =||AB +|BC |，又||AC =2，则||BA +||BC =4，所以顶点B 的运动轨迹是椭圆，且椭圆的焦点是A ，C ，

所以B 的轨迹方程为x 24+y 23

=1，因为a >c ，即||BC >|AB |，

所以(x -1)2+y 2>(x +1)2+y 2

，解得：

x <0，由于三角形的三个顶点不共线，所以x ≠-2，

椭圆标准方程的七种求法

一、定义法

例1．已知圆22:(1)8C x y ++=，点(10)A ，是圆内一点，AM 的垂直平分线l 交CM 于点N ，当点M 在圆C 上运动时，求点N 的轨迹方程。

评注：用定义法求椭圆的方程，首先要清楚椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；其次，要紧紧的抓住定义，由定义产生椭圆的基本量a 、b 、c ．

二、待定系数法

例2．已知椭圆的焦距离为26且过点(32)，，求焦点在x 轴上时，它的标准方程．

评注：用待定系数法求椭圆方程的基本步骤是：首先设出含待定系数的椭圆方程；然后根据题目条件再逐步求出待定的系数，从而得到方程．

三、第二定义法

例3．点()P x y ，到定点(01)A -，的距离与定直线14y =-的距离之比为

1414

，求动点P 的轨迹方程．

评注：用轨迹法求椭圆方程，首先要写出适合条件的点集，然后用坐标代入，再对含x y ，的式子进行化简，最后产生所求方程，这是必须的基本步骤．

四、奇思妙解法-----一般方程法

例4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(02)2A B ⎛ ⎝，，

求该椭圆的标准方程

五、奇思妙解法-----同焦点例5．求经过点(32)-，且与椭圆22

194

x y +=有相同焦点的椭圆方程．

评注：用待定系数法求椭圆标准方程时，如果求设得当，常可避繁就简，事半功倍．上述两例，就是寻求椭圆方程的两种巧妙解法，故把此法与待定系数法分开列举出来。

六、奇思妙解法-----同焦距

例6求经过点(32)-，且与椭圆22

194

x y +=有相同焦点的椭圆方程．

椭圆的标准方程怎么求

首先，我们需要了解椭圆的定义。椭圆是平面上到两个定点F1

和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。这两个定点F1和F2

称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。椭圆上任意一点P

到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质决定了椭圆的形状。

其次，我们需要知道椭圆的标准方程是什么。椭圆的标准方程

是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴

长度。通过椭圆的标准方程，我们可以直观地了解椭圆的形状和大小。

接下来，我们来介绍如何求解椭圆的标准方程。首先，我们需

要知道椭圆的焦点坐标和长轴短轴长度。如果我们已知椭圆的焦点

坐标为(F1x, F1y)和(F2x, F2y)，长轴长度为2a，短轴长度为2b，

那么我们可以通过这些信息来求解椭圆的标准方程。

椭圆的焦点坐标和长短轴长度可以通过椭圆的参数方程来求解。椭圆的参数方程为：

x = acosθ。

y = bsinθ。

其中θ为参数，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。通过参数方程，我们可以得到椭圆上任意一点的坐标，从而确定椭圆的形状和大小。

通过参数方程得到椭圆上任意一点的坐标后，我们可以利用这些点的坐标来确定椭圆的标准方程。具体来说，我们可以将参数方程中的x和y代入椭圆的标准方程中，然后整理得到标准方程的形式。

最后，我们需要验证求解得到的标准方程是否正确。我们可以通过将椭圆上几个特殊点的坐标代入标准方程中，来验证标准方程是否成立。如果代入后等式成立，那么我们求解得到的椭圆标准方程就是正确的。

总结一下，求解椭圆的标准方程需要先确定椭圆的焦点坐标和长短轴长度，然后利用椭圆的参数方程来求解标准方程，最后通过验证来确定求解结果的正确性。掌握了这些方法，我们就能准确地求解椭圆的标准方程。

椭圆方程的几种常见求法

椭圆方程的几种罕见求法之宇文皓月创作

河南陈长松

对于求椭圆方程的问题，通常有以下罕见方法：一、定义法

例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．

分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．

解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1，

∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ，

∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2

且82,162==c a ，

481664222=-=-=c a b ，

故所求轨迹方程为：148

642

2=+y x ．

评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住实质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．

二、待定系数法

例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点

)2,3(),1

,6(21--P P ，求该椭圆的方程．

分析：已知两点，椭圆尺度方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：

22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，防止讨论。

解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，