蚌埠市2017届高三年级第三次教学质量检查考试(文)

蚌埠市2017届高三年级第三次教学质量检查考试（文）数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()()1a i i a R --∈的实部与虚部相等，则实数a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．22.已知集合{}{}200,1x x ax +==，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．23.已知向量,a b 夹角为60 ，且2,227a a b =-=，则b =（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-4. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A ．2B ．2- C. 3 D ．3-5.已知双曲线22214y x b +=-的焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．3y x =± C.2y x =± D ．33y x =± 6.已知平面α⊥平面β，直线,m n 均不在平面,αβ内，且m n ⊥，则（ ） A ．若m β⊥，则n β B ．若n β⊥，则m β C.若m β⊥，则n α D ．若n α⊥，则m β7.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入121,2,0.05x x d ===，则输出n 的值（ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．78.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足．若直线AF 的斜率为3-，则PF =（ ）A ．43B ．6 C.8 D ．169.已知函数()()()()sin cos 0,0f x x x ωϕωϕωϕπ=++><<是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的相两个相邻交点的距离为2π，则（ ） A ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 10.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个个继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ） A ．12 B ．1532 C.716 D ．1411.在一圆柱中挖去一圆锥所得的工艺部件的三视图如图所示，则工艺部件的表面积为（ ）A ．()75π+ B ．()725π+ C. ()85π+ D ．()825π+ 12.若过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),e -∞ B ．(),e +∞ C.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()3f x ax bx =+，若()8f a =，则()f a -= ．14.学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖”丙说：“,A D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖”若这四位同学中有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ． 15.已知实数,x y 满足关系20401x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则3x y -的最大值为 ．16.已知数列{}n a 满足111,2256n n a a a +==，若2log 2n n b a =-，则12n b b b的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()tan 3cos cos c C a B b A =+． （I ）求角C ；（II ）若23c =，求ABC ∆面积的最大值．18.生产甲乙两种精密电子产品，用以下两种方案分别生产出甲乙产品共3种，现对这两种方案生产的产品分别随机调查了各100次，得到如下统计表： ①生产2件甲产品和1件乙产品正次品甲正品甲正品 乙正品甲正品 甲正品 乙次品甲正品 甲次品 乙正品甲正品 甲次品 乙次品甲次品 甲次品 乙正品甲次品 甲次品 乙次品频 数15201631108②生产1件甲产品和2件乙产品正次品乙正品乙正品 甲正品乙正品 乙正品 甲次品乙正品 乙次品 甲正品乙正品 乙次品 甲次品乙次品 乙次品 甲正品乙次品 乙次品 甲次品频 数81020222020已知生产电子产品甲1件，若为正品可盈利20元，若为次品则亏损5元；生产电子产品乙1件，若为正品可盈利30元，若为次品则亏损15元．（I ）按方案①生产2件甲产品和1件乙产品，求这3件产品平均利润的估计值；（II ）从方案①②中选其一，生产甲乙产品共3件，欲使3件产品所得总利润大于30元的机会多，应选用哪个？19.如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，,,26,43,30⊥===∠= BE EC DE BC BC DE AB ABC ．（I ）求证：AC BE ⊥；（II ）若45BCE ∠= ，求三棱锥A CDE -的体积．20.已知,A B 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴与短轴的一个端点，,E F 是椭圆左、右焦点，以E 点为圆心3为半径的圆与以F 点为圆心1为半径的圆的交点在椭圆C 上，且7AB =．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线ME 与x 轴不垂直，它与C 的另外一个交点为,'N M 是点M 关于x 轴的对称点，试判断直线'NM 是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由． 21.已知函数()ln mxf x x=，曲线()y f x =在点()()22,e f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（I ）求()f x 的解析式及单调递减区间；（II ）是否存在常数k ，使得对于定义域内的任意(),2ln kx f x x x>+恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线1:1C ρ=．（I ）若直线l 与曲线1C 相交于点(),,1,1A B M ，证明：MA MB ⋅为定值；（II ）将曲线1C 上的任意点(),y x 作伸缩变换'3'x xy y ⎧=⎪⎨=⎪⎩后，得到曲线2C 上的点()',y'x ，求曲线2C 的内接矩形ABCD 最长的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （I ）求证：22a b +=；（II ）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值．试卷答案一、选择题1-5:BACAC 6-10:ABCDC 11、12：AB二、填空题13.8- 14.B 15.133+ 16.6254三、解答题17. （I ）()tan 3cos cos c C a B b A =+ ()sin tan 3sin cos sin cos C C A B B A ∴⋅=⋅+⋅ ()sin tan 3sin 3sin C C A B C ∴⋅=+= 0,sin 0C C π<<∴≠ ，tan 3,60C C ∴=∴=（II ）23,60c C == ，由余弦定理得：22122a b ab ab ab =+-≥-， 112,sin 332ABC ab S ab C ∆∴≤∴=≤，当且仅当23a b ==时，ABC ∆面积的最大值为33． 18.（I ）由所给数据得生产2件甲产品和1件乙产品利润频率表 利 润 70 25 45 0 20 25- 频 率0.150.200.160.310.100.083件产品平均利润的估计值为()700.15250.20450.1600.31200.10250.0822.70⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=（元）（II ）方案①生产的件元件所得总利润大于30元的情形有70,45， 频率是0.150.160.31+=．方案②生产的3件元件所得总利润大于30元的情形有80,55,35，频率是0.080.100.200.38++=． 因为0.380.31>，所以选择方案②． 19. 证明：ABC ∆中，由2223cos 22AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅，解得23AC =，从而222AC BC AB +=AC BC ∴⊥．平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC =，BC AC ⊥AC ∴⊥平面BCDE ．又BE ⊂ 平面,BCDE AC BE ∴⊥．（II ）,45,6BE EC BCE BC ⊥∠==BCE ∆ 中BC 边上的高长为3．193322CDE S ∆∴=⨯⨯=，由（I ）知，三棱锥A CDE -底面CDE 上的高长为23， 19233332A CDE V -∴=⨯⨯=．20.（I ）由题意得：2222223147a a b b c a=+=⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，解得：2,3a b ==，∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （II ）依题意，设直线MN 方程为：()()()112210,,,,x ty t M x y N x y =-≠， 则()11'M x y -，且12x x ≠．联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690t y y +--=，()122212263414410,934t y y t t y y t ⎧+=⎪⎪+∴∆=+>⎨⎪⋅=-⎪+⎩， 又直线'NM 的方程为()()()()211121x x y y y y x x -+=+-，即()()()21121221x x y y y x x y x y -=+-- 而()12211212224234tx y x y tx y y y t -=-+=-+， ∴直线'NM 的方程为()()2126434tx x y x t -=-++， 故直线'NM 地定点()4,0-． 21.（I ）()()()2ln 1'ln m x f x x -=，又由题意有：()211'2242m f e m =⇒=⇒=， 故()2ln x f x x=此时，()()()22ln 1'ln x f x x -=，由()'001f x x <⇒<<或1x e <<， ∴函数()f x 的单调减区间为()0,1和()1,e（说明：减区间写为()0,e 的扣2分）． （II ）要()2ln kf x x x>+恒成立， 即2222ln ln ln ln x k k xx x x x x x>+⇔<- ①当()1,1x ∈时，ln 0x <，则要：22ln k x x x >-⋅恒成立， 令()()2ln 222ln 'x x g x x x x g x x--=-⋅⇒=，再令()()12ln 2'0x h x x x h x x-=--⇒=<， ()h x ∴在()0,1内递减，∴当()0,1x ∈时，()()10h x h >=，故()()'0h x g x x=>，()g x ∴在()0,1内递增，()()122g x g k <=⇒≥；②当()1,x ∈+∞时，ln 0x >，则要：22ln k x x x <-⋅恒成立， 由①可知，当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，()h x ∴在()1,+∞内递增，∴当()1,x ∈+∞时，()()10h x h >=，故()()'0h x g x x=>，()g x ∴在()1,+∞内递增，()()122g x g k >=⇒≤，综合①②可得：2k =， 即存在常数2k =满足题意． 22.（I ）曲线221:1C x y +=．()2221cos 1sin 2cos sin 101x t y t t t x y αααα=+⎧⎪=+⇒+++=⎨⎪+=⎩， 121MA MB t t ⋅=⋅=．（II ）伸缩变换后得222:13x C y +=．其参数方程为：3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩．不妨设点(),A m n 在第一象限，由对称性知： 周长为()()4,43sin sin m n θθ=+8sin 83πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，（6πθ=时取等号）周长最大为8．23.（I ）2ba -<， ()3,2,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪-++<-⎪⎪∴=++-=-++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在,2b ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，()f x 在,2b ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，()f x ∴的最小值为22b b f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1,222ba ab ∴+=+=． （II ）2a b tab +≥ 恒成立，2a bt ab+∴≥恒成立， 21212522a b b a ba ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 59222a b b a ≥+⋅⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， ∴实数t 的最大值为92．。