九年级数学月考卷
上海市静安区市西初中九年级数学月考卷(含答案)
市西初级中学九年级第一学期阶段检测数学试卷2024年9月（满分 150分，时间100分钟）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.在ΔABC中，点D、E分别在线段AB、AC上，下列比例式中不能判断DE∥BC的是( )A.ADAB = AEACB. ADAE= DBECC. ABDB= ACECD. ADAB= DEBC2. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD交于O，下列等式正确的是( )A．SΔAODSΔAOB = ADABB．SΔCODSΔAOB= CDABC．SΔAODSΔBOA= DOOBD．SΔAODSΔBOC= DOOC3. 已知线段a、b、c、d、m，如果ab =cd，m≠0，那么下列各式中成立的是( )A．√a√b =√c√dB．a−mb=c−mdC．a+mb+m=cdD．a2b=c2d4.已知线段a、b、c，求作线段x=acb，下列作图中正确的是( )B.A.C. D.5.下列语句叙述正确的是( )A.有一个角是30°的等腰三角形都相似B.有一个角是30°的直角三角形都相似C.有一个角是30°的锐角三角形都相似D.有一个角是30°的钝角三角形都相似6.如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列式子中成立的是( )A. ADDB = BFECB. ABBC= DEACC. EFAB= ACCED. ADDB= BFFC二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段a=5cm，b=20mm，则a:b= 。
8.线段AB是线段MN、CD的比例中项，且AB=3cm，MN=4cm，则CD长为 。
9.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是 米。
10.如图，AE=5，4C=8，AB=10，当BD= 时，DE∥BC。
11.如图，AD∥EF∥BC，AEEB =23，DF=4，则DC= cm。
2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷及答案
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版九年级上册21.1-22.1。
6．难度系数：0.8。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则x2﹣x＝（）A．﹣2B．6或﹣2C．6D．32．方程中x（x﹣1）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝﹣1B．x1＝0，x2＝1C．x1＝x2＝0D．x1＝x2＝13．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．4．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．且k≠0D．5．若方程x 2﹣4x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则+的值为（）A ．2B ．﹣2C ．D ．6．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（）A ．20.3%B ．25.2%C ．29.3%D ．50%7．下列有关函数y ＝（x ﹣1）2+2的说法不正确的是（）A ．开口向上B ．对称轴是直线x ＝1C ．顶点坐标是（﹣1，2）D ．函数图象中，当x ＜0时，y 随x 增大而减小8．若x ＝2是方程x 2﹣x +c ＝0的一个根，则c 的值为（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣29．二次函数y ＝a （x ﹣t ）2+3，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，则实数a 和t 满足（）A ．a ＞0，t ≤1B ．a ＜0，t ≤1C ．a ＞0，t ≥1D ．a ＜0，t ≥110．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x 2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
2024-2025学年初中九年级上学期数学(第21-22章)第一次月考卷及答案(人教版)
2．对于二次函数()21y x =−−的图象，下列说法不正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是直线xx =1C ．当xx =1时，y 有最大值0D ．当xx <1时，y 随x 的增大而减小A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．只有一个实数根4．将抛物线2y x 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） A ．()223y x =++ B ．()223y x =+− C ．()223y x =−+D ．()223y x =−−5．设1x 、2x 是一元二次方程2320x x −−=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x ，则根据题意列出的符合题意的方程是（ ）A ．()1001281x −=B ．()1001281x +=C ．()2811100x −=D ．()2811100x +=7．函数y mx m =+和函数222y mx x =−++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知抛物线24(0)y ax ax c a =−++≠经过()()()1231,,2,,3,A y B y C y −三点，则下列说法正确的是（ ）9．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据1²525y x −10．对称轴为直线1x =的抛物线2y ax bx c ++(a ，b ，c 为常数，且0a ≠)如图所示，小明同学得出了以下结论：①0abc <，②24b ac >，③420a b c ++>，④30a c +>，⑤()a b m am b +≤＋(m 为任意实数)，⑥当1x <−时，y 随x 的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．若关于x 的方程()22140x m x m −+++=两根互为负倒数，则m 的值为 ． 12．如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条宽均为m x 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为2551m ，根据图中数据，求得小路宽x 的值为 ．13．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在AB 处，此时桥洞中水面宽度AB 仅为4米，桥洞顶部点O 到水面AB 的距离仅为1米；旱季最低水位线在CD 处，此时桥洞中水面宽度CD 达12米，那么最低水位CD 与最高水位AB 之间的距离为 米．14．已知抛物线()20y ax bx c a ++≠的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为()1,n −，且与x 轴的一个交点的横坐标在3−和2−之间，则下列结论正确的是 ．①0abc <；②0a b c ++<；③30a c +>；④关于x 的方程210ax bx c n ++−+=有实根．15．抛物线，与x 轴的正半轴交于点A ，顶点C 的坐标为()2,4−．若点P 为抛物线上一动点，其横坐标为t ，作PQ x ⊥轴，且点Q 位于一次函数4y x =−的图像上．当4t <时，PQ 的长度随t 的增大而增大，则t 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（7分）（1）以配方法解方程：22420x x +−=；17．（7分）关于x 的一元二次方程2610x x k −+−=．18．（8分）已知抛物线23(0)y ax bx a ++<．(1)求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与x 轴总有两个公共点；(2)若点1(,)A m y ，2(8,)B y ，1(6,)C m y +都在抛物线上，且213y y <<，求m 的取值范围．19．（9分）如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米．(1)求道路的宽度；(2)园林部门要种植A 、B 两种花卉共400株，其中A 种花卉每株10元，B 种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A 种花卉多少株？20．（10分）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y （单位：张）与售价x （单位：元/张）之间满足一次函数关系（3080x ≤≤，且x 是整数），部分数据如下表所示：电影票售价x （元/张）4050售出电影票数量y （张） 164 124(1)请求出y 与x 之间的函数关系式；(2)设该影院每天的利润（利润=票房收入−运营成本）为w （单位：元），求w 与x 之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？21．（10分）如图，抛物线2y x mx =−+与直线y x b =+交于点A 和点B ，直线AB 与y 轴交于点()0,2C −．22．（12分）如图，抛物线22y x x c =−++经过坐标原点O 和点A ，点A 在x 轴上．(1)求此抛物线的解析式，并求出顶点B 的坐标； (2)连接OB ，AB ，求OAB S ；(3)若点C 在抛物线上，且8OAC S =△，求点C 的坐标．23．（12分）如图甲，直线3y x =−+与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C 、P 、M 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请求出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当03x <<时，在抛物线上求一点E ，使CBE △的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及E 点的坐标．2．对于二次函数()21y x =−−的图象，下列说法不正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是直线xx =1C ．当xx =1时，y 有最大值0D ．当xx <1时，y 随x 的增大而减小【答案】D【详解】解：∵二次函数()21y x =−−， ∴该函数图象开口向下，故选项A 正确，不符合题意； 对称轴是直线1x =，故选项B 正确，不符合题意； 顶点坐标为10（，），故选项C 正确，不符合题意； 当1x <时，y 随x 的增大而增大，故选项D 错误，符合题意；故选：D ．3．关于x 的一元二次方程22310x kx +−=根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一个实数根【答案】A【详解】解：在关于x 的一元二次方程22310x kx +−=中，2a =，3b k =，1c =−，22Δ498b ac k =−=+，因为20k ＞，所以22Δ4980b ac k =−=+＞，所以关于x 的一元二次方程22310x kx +−=根的情况是有两个不相等的实数根． 故选A ．4．将抛物线2y x =向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）5．设1x 、2x 是一元二次方程2320x x −−=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【详解】解：由题意得，123x x +=，122x x =−，所以2211223x x x x ++()21212x x x x =++()232=+−92=−7=，故选：D ．6．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x ，则根据题意列出的符合题意的方程是（ ）A ．()1001281x −=B ．()1001281x +=C ．()2811100x −= D ．()2811100x +=【答案】D【详解】解：∵两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子， 281(1)100x ∴+=，故选：D ．7．函数y mx m =+和函数222y mx x =−++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（ ）． ．． ．故选：D ．8．已知抛物线24(0)y ax ax c a =−++≠经过()()()1231,,2,,3,A y B y C y −三点，则下列说法正确的是（ ）9．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m ），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（ ）A ．水面宽度为30m10．对称轴为直线1x =的抛物线2y ax bx c ++(a ，b ，c 为常数，且0a ≠)如图所示，小明同学得出了以下结论：①0abc <，②24b ac >，③420a b c ++>，④30a c +>，⑤()a b m am b +≤＋(m 为任意实数)，⑥当1x <−时，y 随x 的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）C ．5 0<， 11．若关于x 的方程()22140x m x m −+++=两根互为负倒数，则m 的值为 ．草地面积为2551m ，根据图中数据，求得小路宽x 的值为 ．【答案】1【详解】解：根据题意得：()()3020551x x −−=， 化简得：250490x x −+=， 解得：11x =，249x =，∵当249x =时，20290x −=−<， ∴249x =舍去，13．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在AB处，此时桥洞中水面宽度AB仅为4米，桥洞顶部点O到水面AB的距离仅为1米；旱季最低水位线在CD处，此时桥洞中水面宽度CD达12米，那么最低水位CD与最高水位AB之间的距离为米．为坐标原点建立平面直角坐标系，2，14．已知抛物线()20y ax bx c a ++≠的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为()1,n −，且与x 轴的一个交点的横坐标在3−和2−之间，则下列结论正确的是 ．15．抛物线，与x 轴的正半轴交于点A ，顶点C 的坐标为()2,4−．若点P 为抛物线上一动点，其横坐标为t ，作PQ x ⊥轴，且点Q 位于一次函数4y x =−的图像上．当4t <时，PQ 的长度随t 的增大而增大，则t三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（7分）（1）以配方法解方程：2+−=；x x2420（3）123,5x x ==； (6分)17．（7分）关于x 的一元二次方程2610x x k −+−=．(1)如果方程有实数根，求k 的取值范围；(2)如果1x ，2x 是这个方程的两个根，且221212324x x x x ++=，求k 的值． 【详解】（1）解：∵方程有实数根，∴()()26410k ∆=−−−≥，解得：10k ≤；(2分)（2）∵1x ，2x 是这个方程的两个根，∴126x x +=，121x x k =−，(4分) ∵221212324x x x x ++=，∴()2121224x x x x ++=，(6分)26124k +−=，解得：11k =−．(7分)18．（8分）已知抛物线23(0)y ax bx a ++<．(1)求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与x 轴总有两个公共点；(2)若点1(,)A m y ，2(8,)B y ，1(6,)C m y +都在抛物线上，且213y y <<，求m 的取值范围．由图可得，8383m m m m > +−>+−，8m ∴>．(8分)作抛物线草图如图4:由图可得，688(3)6(3)8(3)3m m m m m m +<−−>+−+−+<+ ，12m ∴<<．综上所述，m 的取值范围是8m >或12m <<．(8分)19．（9分）如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分(1)求道路的宽度；(2)园林部门要种植A 、B 两种花卉共400株，其中A 种花卉每株10元，B 种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A 种花卉多少株？ 【详解】（1）解：设道路的宽度为x 米，根据题意得：()()10863x x −−=．(2分) 解得：11x =，217x =，∵178>，故舍去．(4分)1x ∴=， 答：道路的宽度为1米．(5分)（2）解：设购进A 种花卉m 株，则购进B 种花卉()400m −株， 根据题意得：()1084003680m m +−≤．(7分) 解得：240m ≤．∴最多购进A 种花卉240株．(9分)20．（10分）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y （单位：张）与售价x （单位：元/张）之间满足一次函数关系（3080x ≤≤，且x 是整数），部分数据如下表所示：电影票售价x （元/张）4050售出电影票数量y （张） 164 124(1)请求出y 与x 之间的函数关系式；(2)设该影院每天的利润（利润=票房收入−运营成本）为w （单位：元），求w 与x 之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？答：该影院将电影票售价x 定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．(10分) 21．（10分）如图，抛物线2y x mx =−+与直线y x b =+交于点A 和点B ，直线AB 与y 轴交于点()0,2C −．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．(2)求点A 的坐标，并结合图象直接写出关于x 不等式2x mx x b −+≤+的解集．(3)若关于x 的方程2x mx n −+=在12x −≤≤的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n 的取值范围．【详解】（1）解：将点()0,2C −代入y x b =+，得2b =−，∴2y x =−．当0y =时，20x −=， 解得2x =，∴点()2,0B ．将点()2,0B 代入2y x mx =−+，得2220m −+=，解得2m =，∴抛物线的解析式为22y x x =−+．(2分) ∵222(1)1y x x x =−+=−−+， ∴顶点坐标为()1,1．(4分)（2）解：∵直线2y x =−与抛物线22y x x =−+的交点在第三象限， ∴222−+=−x x x ，解得2x =（不符合题意，舍去）或=1x −， ∴=1x −， ∴=3y −，∴点A 的坐标为()1,3−−．(6分)观察图象，得不等式2x mx x b −+≤+的解集为1x ≤−或2x ≥．(7分)（3）解：方程2x mx n −+=在12x −≤≤的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线22y x x =−+与直线y n =在12x −≤≤的范围内只有一个交点，如图，当30n −≤<时，直线y n =与抛物线22y x x =−+始终有一个交点； 当直线y n =经过抛物线顶点时，直线y n =与抛物线22y x x =−+有一个交点， ∴n 的取值范围为30n −≤<或1n =．(10分)22．（12分）如图，抛物线22y x x c =−++经过坐标原点O 和点A ，点A 在x 轴上．(1)求此抛物线的解析式，并求出顶点B 的坐标；(2)连接OB ，AB ，求OAB S ；(3)若点C 在抛物线上，且8OAC S =△，求点C 的坐标．综上所述，C 点坐标为()2,8−−或()4,8−．(12分)23．（12分）如图甲，直线3y x =−+与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C 、P 、M 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请求出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当03x <<时，在抛物线上求一点E ，使CBE △的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及E 点的坐标．。
九年级数学月考试题(含答案)
第五次月考一 选择题（共10小题，每小题３分，计30分）1. 如图，在⊿ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ）A.43 B.34 C.53 D.542. △ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A =21，cos B =23，则△ABC 的形状是( )A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定3. .在△ABC 中，AB =AC =4，BC =2，则4cos B 等于( )A.1B.2C.15D.4154. 如果∠A 为锐角，且cos A =41，那么∠A 的范围是 A . 0°<∠A ≤30° B.30°<∠A <45° C. 45°<∠A <60°D.60°<∠A <90°5 如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工。
从AC 上的一点B ，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）A. 500sin55°米B. 500cos55°米C. 500tan55°米D. 500tan35°米6. 下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) （ ）A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21x D.y =a 2x7. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图所示， 则ａ、ｂ、ｃ满足（ ）Ａ. a ＜0，b ＜0，c ＞0 B. a ＜0，b ＜0， c ＜0 C. a ＜0，b ＞0，c ＞0 D. a ＞0，b ＜0， c ＞0 8. 下列说法错误的是 ( )BACA.二次函数y =3x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大B.二次函数y =－6x 2中，当x =0时，y 有最大值0C.a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9. 在同一坐标系中，作y =x 2，y =－21x 2，y =31x 2的图象，它们的共同特点是( ) A.抛物线的开口方向向上B.都是关于x 轴对称的抛物线，且y 随x 的增大而增大C.都是关于y 轴对称的抛物线，且y 随x 的增大而减小D.都是关于y 轴对称的抛物线，有公共的顶点10. 已知a <－1，点(a －1，y 1)，(a ，y 2)(a +1，y 3)都在函数y =x 2的图象上，则( )A.y 1<y 2<y 3B.y 1<y 3<y 2C.y 3<y 2<y 1D.y 2<y 1<y 3二 填空题（共6小题，每小题３分，计18分）11. 如图，等腰三角形ABC 的顶角为1200，腰长为10，则底边上的高AD=12. 某段公路每前进100 m ，就升高4 m ，则路面的坡度约为_____13. 如果由点A 测得点B 在北偏西20°的方向，那么由点B 测得点A 的方向是______ 14. 若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k ______15. 写出一个开口向上，顶点是y 轴上的二次函数的表达式：16. 在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是______ 三 解答题（共8小题，计52分，解答应写出过程）17（本题满分6分）求值：sin 245°- cos60°+ tan60°·cos 230°18.（本题满分10分）如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线21 3.55y x =-+运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米． （1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？19. （本小题满分12 分）在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图①所示）：（1）在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部 M 的仰角∠MCE =α；（2）量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN = m ； （3）量出测倾器的高度AC = h ．根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN ．如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图②）的方案： （1）在图②中，画出你测量小山高度 MN 的示意图（标上适当字母）； （2）写出你设计的方案．x20. （本小题满分12 分）有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米;(1)在如图的坐标系中，求抛物线的表达式.(2)若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？(水位以每小时0.2米的速度上升)21（本小题满分12 分）如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状．1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：36.3≈1.8，64.3≈1.9，36.4≈2.1．）（1）（2）参考答案：一、1. A 2.B 3. A 4. D 5. B 6. A 7. A 8. C 9. D 10. C二、11．5 12. 1∶24.98 13. 南偏东20° 14. ≠±2 15. 21y x =+ 16. y =36－x 2三、17. 解：原式= 2212- （2分）=112244-+= （6分） 18.解：⑴ ∵抛物线 21 3.55y x =-+的顶点为（0，3.5） ∴最大高度为3.5米 (4分) ⑵ 在21 3.55y x =-+中 当 3.05y =时 213.05 3.55x =-+ ∴2 2.25x = ∴ 1.5x =±又∵x ＞0 ∴ 1.5x = …………………… (8分) 当 2.25y =时 212.25 3.55x =-+ ∴2 6.25x = ∴ 2.5x =± 又∵x ＜0 ∴ 2.5x =- …………………… （11分） 故运动员距离篮框中心水平距离为 1.5+2.5 = 4 …………………… （12分） 19.解：（1）正确画出示意图． （4分） （2）① 在测点A 处安置测倾器，测得此时山顶M 的仰角 ∠MCE = α；② 在测点A 与小山之间的B 处安置测倾器（A 、B 与N 在同一条直线上），测得此时山顶M 的仰角 ∠MDE = β；③ 量出测倾器的高度AC = BD = h ，以及测点A 、B 之间的距离AB = m ． 根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN ． （12分）20.解：(1)设拱桥顶到警戒线的距离为m .∵抛物线顶点在(0，0)上，对称轴为y 轴, ∴设此抛物线的表达式为y =ax 2(a ≠0). 依题意：C (－5，－m )，A (－10，－m －3).∴⎩⎨⎧-=---=-.)10(3,)5(22a m a m ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴.1,251m a ∴抛物线表达式为y =2125x -8分 (2)∵洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，|m |=1, ∴从警戒线开始再持续2.01=5(小时)到拱桥顶. 12分（1） （2）21解：（1）如图，建立直角坐标系， …………2分 设二次函数解析式为 y ＝ax 2＋c …………3分 ∵ D （－0.4，0.7），B （0.8，2.2）， …………4分∴ ⎩⎨⎧．＝＋，＝＋2.264.07.016.0c a c a …………5分∴ ⎪⎩⎪⎨⎧．＝，＝2.0528c a∴绳子最低点到地面的距离为0.2米． …………7分 （2）分别作EG ⊥AB 于G ，FH ⊥AB 于H …………8分 AG ＝21（AB －EF ）＝21（1.6－0.4）＝0.6． 在Rt △AGE 中，AE ＝2， EG ＝22AG AE －＝226.02 ＝64.3≈1.9． …………11分∴ 2.2－1.9＝0.3（米）．∴ 木板到地面的距离约为0.3米． …………12分。
九年级上册数学第一次月考试卷
九年级上册数学第一次月考试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列二次根式中，最简二次根式是（）A. √(8a)B. √(2a/3)C. √(3a)D. √(a^2b^4)2. 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（）A. y = 2xB. y = -x/2C. y = 3/xD. y = -2x + 13. 下列运算正确的是（）A. 3a + 2b = 5abB. 5a^2 - 2b^2 = 3C. 7a + a = 7a^2D. (x - 1)^2 = x^2 - 14. 下列说法中，正确的是（）A. 无限小数是无理数B. 绝对值等于它本身的数是非负数C. 垂直于同一直线的两条直线互相平行D. 相等的角是对顶角5. 下列方程中，是一元二次方程的是（）A. x^2 + 2x = x^2 - 1B. (x + 1)^2 = 4xC. x^2 + y = 1D. 1/x^2 + x = 16. 已知直线y = kx + b 经过点(1, -2) 和(-2, 4)，则k 的值为（）A. -2B. 2C. -4/3D. 4/37. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 圆8. 下列不等式组中，解集为x > 3 的是（）A. { x > 2, x < 3 }B. { x > 3, x > 4 }C. { x ≤2, x > 3 }D. { x > 3, x ≥2 }9. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（）A. 对全市中学生目前使用手机情况的调查B. 对某品牌电视机的使用寿命的调查C. 对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查D. 对全国小学生课外阅读情况的调查10. 下列关于概率的描述性定义中正确的是（）A. 必然发生的事件的概率是0B. 不可能发生的事件的概率是1C. 概率是1 的事件在一次试验中一定不会发生D. 概率是0.5 的事件在一次试验中有可能不发生二、填空题（每题3分，共18分）11. 计算：√(16) = _______。
九年级数学第一次月考卷01(全解析)【九年级上册第二十一章~第二十二章】人教版-初中上学期第一次月考
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷01（人教版）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章~第二十二章。
5．难度系数：0.8。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x―2y=1B．x2―2x+1=0C．x2―2y+4=0D．x2+3=2x2．将方程x2―8x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（）A．―8，―10B．―8，10C．8，―10D．8，10【答案】A【详解】将x2―8x=10化为一般形式为：x2―8x―10=0，∴一次项系数、常数项分别是-8，-10.故选A.3．对于二次函数y=3(x+4)2，其图象的顶点坐标为（）A．(0,4)B．(0,―4)C．(4,0)D．(―4,0)【答案】D【详解】解：因为二次函数y=3(x+4)2，所以其图象的顶点坐标为(―4,0)．故选：D．4．一元二次方程x2―2x+3=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根【答案】C【详解】∵Δ=(―2)2―4×1×3=―8<0，∴一元二次方程没有实数根.故选：C．5．淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（）A．5(1+x)=9.8B．5(1+2x)=9.8C．5(1―x)2=9.8D．5(1+x)2=9.86．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是ℎ=30t―5t2．小球运动到最高点所需的时间是（ ）A．2s B．3s C．4s D．5s【答案】B【详解】解：ℎ=30t―5t2=―5(t―3)2+45，∵―5＜0，∴当t=3时，ℎ有最大值，最大值为45．故选：B．7．中秋节当天，某微信群里的每两个成员之间都互发一条祝福信息，共发出72条信息，设这个微信群的人数为x，则根据题意列出的方程是（）A ．x(x ―1)=72B ．12x(x +1)=72 C ．x(x +1)=72D ．12x(x ―1)=72【答案】A【详解】解：根据题意可得x (x ―1)=72，故选：A ．8．如果三点P 1(1,y 1),P 2(3,y 2)和P 3(4,y 3)在抛物线y =―x 2+6x +c 的图象上，那么y 1,y 2与y 3之间的大小关系是（ ）A ．y 1<y 3<y 2B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 2<y 3【答案】A【详解】解：∵y =-x 2+6x +c =-（x -3）2+9+c ，∴图象的开口向下，对称轴是直线x =3，P 1（1，y 1）关于对称轴的对称点为（5，y 1），∵3＜4＜5，∴y 2＞y 3＞y 1，故选：A ．9．对于二次函数y =(x ―1)2―2的图象，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是直线x =―110．如图是抛物线y ＝a(x ＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴的交点坐标是( )A．(1，0)B．(1，0)C．(2，0)D．(3，0)211．二次函数y=x―+3的图象(1≤x≤3)如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y4的取值范围是（）A．y≥1B．1≤y≤3C．3≤y≤3D．0≤y≤3412．定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（ ）A．4B．﹣1或4C．0或4D．1或4【答案】D【详解】解：∵a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，∴关于x的方程x⊗k＝0（k为实数）化为(x―k)2―k=0，∵x＝2是这个方程的一个根，∴4-4k+k2-k=0，解得：k1=4,k2=1，故选：D．二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．把方程x2=2x―3化为一般形式是．【答案】x2―2x+3=0【详解】解：由x2=2x―3得：x2―2x+3=0，故答案为：x2―2x+3=0．14．已知x=1是方程x2+bx―2=0的一个根，则b的值为．15．若x1，x2是一元二次方程x2+2x―5=0的两个根，则x1+x2=．【答案】―2【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x―5=0的两个根，方程中二次项系数a=1，一次项系数b=2，常数项c=―5，∴x1+x2=―2．故答案为：―2．16．若抛物线y=(m―1)x m2―2―mx有最小值，则常数m的值为．【答案】2【详解】解：∵抛物线y=(m―1)x m2―2―mx有最小值，∴m―1>0（开口向上），m2―2=2，解得m>1，m=±2，即m=2，故答案为：2.17．已知等腰三角形的底边长为7，腰长是x2―8x+15=0的一个根，则这个三角形周长为．【答案】17【详解】解：x2―8x+15=0，(x―5)(x―3)=0，x―5=0，x―3=0，x1=5，x2=3，即①等腰三角形的三边为7，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是5+5+7=17；②等腰三角形的三边为3，3，7，此时不符合三角形三边关系定理，故答案为：17．18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．故答案为k＜5．三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解下列方程：(1)x（2x+1）＝2x+1；(2)4x2﹣3x＝x+1．20．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a―2=0．(1)若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．△=a2―4×1×(a―2)=a2―4a+8=(a―2)2+4，（4分)∵(a―2)2≥0，∴(a―2)2+4≥4，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；(6分）21．（10分）已知二次函数y=―x2+2x+3；(1)把该二次函数化成y=a(x+m)2+k的形式为______；(2)当x______时，y随x的增大而增大；(3)若该二次函数的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．22．（10分）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．【详解】解：（1）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝150，（2分）解得：x1＝10，x2＝7.5，当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），则养鸡场的宽是10m，长为15m．（5分）（2）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝200，（7分）整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．（10分）23．（10分）为了加强安全教育，某校对学生进行“防溺水知识应知应答”测评．该校随机选取了八年级300名学生中的20名学生在10月份测评的成绩，数据如下：收集数据：9791899590999097919890909188989795909688整理、描述数据：数据分析：样本数据的平均数、众数、中位数和极差如表：平均数中位数众数极差93b c d(1)a＝______，b＝______，c＝______，d＝______；(2)该校决定授予在10月份测评成绩优秀（96分及以上）的八年级的学生“防溺水小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的人数．(3)若被选取的20名学生在11月份测评的成绩的平均数、众数、中位数和极差如表：平均数中位数众数极差95939410结合相关数据，从一个方面评价10月份到11月份开展的“防溺水知识应知应答”测评活动的效果．24．（10分）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？【详解】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为256(1+m)2，根据题意得：256(1+m)2=400，解得：m1=0.25=25%，m2=―2.25（不符合题意，舍去），答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；（4分）（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y―35)元，月销售量为400+20(58―y)=(1560―20y)（件)，根据题意得：(y―35)(1560―20y)=8400，（7分）整理得：y2―113y+3150=0，解得：y1=50，y2=63（不符合题意，舍去），答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．（10分）25．（10分）如图，点E，F，G，H分别在边长为6的正方形ABCD的四条边上运动，四边形EFGH也是正方形．(1)求证：△AEH≌△BFE；(2)设AE的长为x，正方形EFGH的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)在（2）的条件下，当AE的长为多少时，正方形EFGH的面积最小？最小值是多少？26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=―x2+bx+c交x轴于C(1,0)，D(―3,0)两点，交y轴于点E，连接DE．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)在线段DE上，是否存在一点P，使得△DCP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点A(―3,5)，B(0,5)，连接AB，若二次函数y=―x2+bx+c的图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．∠PCM=45°，时，5=―9+6+3+m,解得m=5，∴当m=1，或2<m≤5时，函数图象与线段AB有一个公共点．（10分）。
重庆南开中学2024年九年级上学期9月月考模拟数学试卷+答案
重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b23．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：35．（4分）下列命题中，不一定是真命题的是（）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间8．（4分）①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．729．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于．15．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线于点M（只保留作图痕迹）；（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选：B．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2【解答】解：a2•a3＝a5，故A错误，不符合题意；a与2a2不能合并，故B错误，不符合题意；（﹣3ab）2•2ab2＝18a3b4，故C错误，不符合题意；6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2，故D正确，符合题意；故选：D．3．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝．故选：B．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：3【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC和△A′B′C′的周长之比为1：3，故选：D．5．（4）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分【解答】解：A、平行四边形的两条对角线长度不一定相等，故本选项命题不一定是真命题，符合题意；B、菱形的两条对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；C、矩形的两条对角线长度相等且互相平分，是真命题，不符合题意；D、正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分，是真命题，不符合题意；故选：A．6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．故选：D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间【解答】解：∵25＜31＜36，∴5＜＜6，∴3＜﹣2＜4．故选：A．8．（4分）下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．72【解答】解：观察图形发现第一个图形有8个正方形，第二个图形有8+7＝15个正方形，第三个图形有8+7×2＝22个正方形，…第n个图形有8+7（n﹣1）＝7n+1个正方形，当n＝9时，7n+1＝7×9+1＝64个正方形．故选：C．9．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD，交DA的延长线于N，设EF与AD交于T，如图所示：则∠N＝∠EMB＝∠EMA＝90∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，∴∠BEF＝∠BAD＝∠EFG＝∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝EF，∴∠N＝∠EMA＝∠MAN＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴∠1+∠DTE＝90°，∠2+∠FTA＝90°，∵∠DTE＝∠FTA，∴∠1＝∠2，在△DME和△FNE中，，∴△DME≌△FNE（AAS），∴EM＝EN，∴AE平分∠DAN，∴∠EAD＝45°，∴∠EAF＝∠BAD+∠EAD＝90°+45°＝135°，∴∠2＝180°﹣∠EAF﹣AEF＝180°﹣135°﹣α＝45°﹣α，∴∠1＝∠2＝45°﹣α，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，∴∠EDH＝∠1+∠ADB＝45°﹣α+45°＝90°﹣α，∴∠HDG＝∠EDG﹣∠EDH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠BHF＝∠DHG＝90°﹣∠HDG＝90°﹣α．故选：D．10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①﹣d“闪减操作”后的式子|a+b﹣c|﹣|﹣e|，﹣c﹣d“闪减操作”后的式子|a+b|﹣|﹣e|对这两个式子作差，得（|a+b﹣c|﹣|﹣e|）﹣（|a+b|﹣|﹣e）＝|a+b﹣c|﹣|﹣e|﹣|a+b|+|﹣e|＝|a+b﹣c|﹣|a+b|，结果不含与e相关的项，∴①正确；②若每种操作只闪退一项，则分三种情况：+b闪减操作”后的结果|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a+c+d+e，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a﹣c﹣d﹣e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a+c+d+e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a﹣c﹣d﹣e，﹣c“闪减操作”后的结果|a+b|﹣|﹣d﹣e|，当a+b≥0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b+d+e，当a+b≥0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b﹣d﹣e，当a+b≤0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝﹣a﹣b+d+e，当a+b≤0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|﹣a﹣b﹣d﹣e，﹣d“闪减操作”后的结果|a+b﹣c|﹣|﹣e|，当a+b﹣d≥0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c+e，当a+b﹣d≥0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c﹣e，当a+b﹣d≤0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c+e，当a+b﹣d≤0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c﹣e，共有12种不同的结果，∴②错误；③∵|+b|+|+b+2|＝|b﹣0|+|b﹣（﹣2）|，在数轴上表示点b与0和﹣2的距离之和，∴当距离取最小值0﹣（﹣2）＝2时，b的最小值为﹣2，同理|﹣c+1|+|﹣c+4|＝|1﹣c|+|4﹣c|，在数轴上表示点c与1和4的距离之和，∴当距离取最小值4﹣1＝3时，c的最小值为1，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|＝|1﹣d|+|﹣6﹣d|，在数轴上表示点d与1和﹣6的距离之和，∴当距离取最小值1﹣（﹣6）＝7时，d的最小值为﹣6，∴当|+b|+|+b+2|，|﹣c+1|+|﹣c+4|，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|都取最小值时，（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝2×3×7＝42，∴③正确，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是30° ．【解答】解：∵∠A是锐角，sin A＝，∴∠A＝30°，故答案为：30°．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是6．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，∴这个多边形的边数是6．故答案为：6．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为142° ．【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝38°，∴∠ADP＝∠1＝38°，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠BPD+∠ADP＝180°，∴∠BPD＝180°﹣38°＝142°．故答案为：142°．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于5．【解答】解：根据题意得a2﹣a＝1，b2﹣b＝1，所以3a2+2b2﹣3a﹣2b＝3a2﹣3a+2b2﹣2b＝3（a2﹣a）+2（b2﹣b）＝3+2＝5．故填515．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝8．【解答】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，∵BA⊥OB于点B，∴∠ABD＝90°．∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，∴∠ABB′＝60°，∴∠B′BD＝90°﹣60°＝30°．∵点B′的坐标为（1，），∴OD＝1，B′D＝，∴BB′＝2B′D＝2，BD＝＝3，∴OB＝1+3＝4，AB＝BB′＝2，∴A（4，2），∴k＝4×2＝8．故答案为：8．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为8．【解答】解：，解得：，∴，解得2＜a≤5.5，解分式方程得y＝2a﹣5，∵y的值解为正数，∵2a﹣5＞0，且2a﹣5≠3，∵a＞2.5且a≠4，∴满足条件的整数a的值有3和5，∴3+5＝8．故答案为：8．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝3．【解答】解：∵四边形ABCD∴AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质可得AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，，∴，∴CF＝BC﹣BF＝4，在Rt△ABF，由勾股定理得，∴，∵∠BAF+∠BF A＝90°＝∠BF A+∠CFE，∴∠BAF＝∠CFE，∴在Rt△EFC中，，∴，故答案为：3．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝5；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是2222．【解答】解：根据题意可知0≤a﹣c≤8，a﹣c＝b﹣d+1．M＝1000a+100b+10c+d，N＝1000c+100d+10a+b．＝，＝，＝10（a﹣c）+b﹣d＝10（a﹣c）+a﹣c﹣1，＝11（a﹣c）﹣1，∵F（M）能被6整除，∴a﹣c＝5．∵c≥1，∴a≥6．当a＝6时，c＝1．∵a﹣c＝b﹣d+1，∴d＝b﹣4．∴，∵G（M）为完全平方数，∴b＝3．∴d＝﹣1（舍去）．同理，当a＝7时，c＝2，M＝7420；当a＝8时，c＝3，M＝8531；当a＝9时，c＝4，M＝9642；∴满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差＝9642﹣7420＝2222．故答案为：5；2222．三．解答题（共8小题，满分78分）（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．【解答】解：（1）9（x+y）2﹣25（x﹣y）2＝（3x+3y+5x﹣5y）（3x+3y﹣5x+5y）＝﹣4（4x﹣y）（x﹣4y）；（2）＝1﹣•＝1﹣＝＝﹣．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2移项得x2﹣2x＝2，配方得x2﹣2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，开方得，解得；；（2），去分母，得m﹣4+m+2＝0，解得m＝1，经检验，m＝1是原方程的根．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．【解答】（1）解：如图所示．.（2）证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．故答案为：DF＝CF；∠AFD＝∠MFC；；等于两底边之和的一半．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．【解答】解：（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是1.5x元，根据题意得：﹣＝20，解得：x＝14，经检验，x＝14是所列方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×14＝21（元）．答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；（2）第一次购买大罗非的数量是840÷21＝40（斤）．根据题意得：14（80﹣40﹣2m）+（21﹣m）（40+2m）＝1340，整理得：m2+13m﹣30＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣15（不符合题意，舍去）．答：m的值为2．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．【解答】解：（1）当0≤x≤3时，y1＝＝4x，当3＜x≤5时，y1＝﹣×6×（2x﹣6）﹣＝﹣4x+24，∴y1＝；（2）函数y1，y2的图象如图：函数y1的性质：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3＜x≤5时，y随x的增大而减小；（3）由两个函数图像可知，当y1≤y2时x的取值范围为0＜x≤2.1或x＝5．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）【解答】解：（1）AC⊥BC，理由如下：∵AC＝72cm，BC＝54cm，AB＝90cm，∴AC2+BC2＝722+542＝8100，AB2＝8100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC．（2）过F作FN⊥AB交AB延长线于N，过C作CM⊥AB于M，延长DG交FN于K，∵EH∥DG∥AB，∴GK⊥FN，∴四边形MNKC是矩形，∴NK＝CM，∵△ABC的面积＝AB•CM＝AC•BC，∴90CM＝72×54，∴CM＝43.2（cm），∴NK＝CM＝43.2（cm），∵EH∥DG，∴∠FGK＝∠EHG＝60°，∴sin∠FGK＝sin60°＝＝，∵FG＝80cm，∴FK＝40≈69.28（cm），∴FN＝FK+NK＝69.28+43.2≈112.5（cm）．∴购物车把手F到AB的距离约是112.5cm．25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．【解答】解：（1）根据题意可知点A（m，﹣3）在直线和双曲线的图象上，∴，解得m＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），代入双曲线得：k＝（﹣2）×（﹣3）＝6，由图象可知点B与点A关于原点对称，∴B（2，3）；（2）过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，作点B关于y轴的对称点点B'，并向下平移一个单位记为B''，连接B''C，则BE∥CF，B'B''＝1，∴△DCF∽△DBE，∴，∵BC＝2CD，B（2，3），B'（﹣2，3），B''（﹣2，2），∴，BE＝3，∴CF＝1，即点C的纵坐标为1，∵点C在反比例函数的图象上，∴C（6，1），B''C＝，∴MB+MN+NC的最小值即为B'B''+B''C＝1+；（3）当∠ODP＝∠DOB时，当DP在x轴下方时，DP∥AB，设直线BC的解析式为y＝kx+b，由（2）可知：B（2，3），C（6，1），∴解得，∴，当y＝0时，，解得x＝8，∴D（8，0），∵DP∥AB，直线AB的解析式为，∴设直线DE的解析式为，把D（8，0）代入得：12+m＝∴m＝﹣12，∴，由P是直线DE与反比例函数的交点可得：，解得，此时点P在第三象限，符合题意，当DP在x轴上方时，则与下方的DP关于x轴对称，可得直线DP的解析式为：，再解方程组得，此时点P在第一象限，两个都符合题意，∴点P的横坐标为：．．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，∴AD＝2AE＝4，∴AB＝2AD＝8，BD＝AD＝4，∴BE＝AB﹣AE＝6，∴EF＝BE＝3，BF＝BE＝3，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴CF＝2BD﹣BF＝8﹣3＝5，∴CE＝＝2，（2）证明：∵∠ABC＝30°，AB＝AC，∴∠BAC＝120°，又∵∠GAH＝120°，∴∠F AB＝∠CAH，∵AH＝AG，∴∠AHG＝30°＝∠ABC，∴∠ABF＝∠AHC，∴△ABF∽△AHC，∴＝，∵PH∥FG，∴△CHP∽△CGF，∴＝，又∵△ABC∽△AGH，∴＝，∴＝，∴＝，∵＝，∴＝＝+1＝+1＝，∴CP＝FB；（3）延长BM交AC于F，延长AN到E，使NE＝BN，连接BE，如图3：∵∠BAN﹣∠CBN＝30°，∴∠BAN＝∠CBN+30°，∴∠BNE＝∠BAN+∠ABN＝∠CBN+∠ABN+30°＝60°，∵NE＝BN，∴△BEN是等边三角形，∴∠E＝60°，∵∠ANB＝180°﹣∠BNE＝120°＝∠BAC，∴△ABN∽△FBA，∴＝＝，∠BAE＝∠AFB，∴△ANF∽△BEA，∴＝＝，∴FN＝＝＝，∴BF＝FN+BN＝，∴AB2＝BN•BF＝5+，过F作FG⊥BC于F，过N作NH⊥BC于H，∵∠ACB＝30°，∴FG＝FC＝（AB﹣AF）＝AB，CG＝AB，∴BG＝BC﹣CG＝AB﹣AB＝AB，∵NH∥CF，∴＝＝＝，∴NH＝AB，BH＝AB，∴CH＝BC﹣BH＝AB，∴CN2＝CH2+NH2＝9，∴CN＝3．。
九年级数学第一次月考试卷
九年级数学第一次月考试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 一元二次方程x^2 - 2x = 0的根是（）A. x_1=0，x_2=-2B. x_1=1，x_2=2C. x_1=1，x_2=-2D. x_1=0，x_2=22. 二次函数y = x^2+2x - 3的顶点坐标是（）A. ( - 1,-4)B. (1,-4)C. ( - 1,4)D. (1,4)3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 圆。
4. 关于x的一元二次方程(m - 1)x^2+5x + m^2-3m + 2 = 0的常数项为0，则m等于（）A. 1B. 2C. 1或2D. 05. 抛物线y=(x - 1)^2+2的对称轴是（）A. 直线x=-1B. 直线x = 1C. 直线x=-2D. 直线x = 26. 把二次函数y = 3x^2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A. y = 3(x - 2)^2+1B. y = 3(x + 2)^2-1C. y = 3(x - 2)^2-1D. y = 3(x + 2)^2+17. 若关于x的一元二次方程x^2-kx - 6 = 0的一个根为x = 3，则实数k的值为（）A. 1B. -1C. 2D. -28. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是（）（此处可插入一个二次函数图象，顶点在第二象限，开口向下，与x轴有两个交点）A. a < 0，b < 0，c > 0，b^2-4ac > 0B. a < 0，b < 0，c < 0，b^2-4ac > 0C. a < 0，b > 0，c > 0，b^2-4ac < 0D. a < 0，b > 0，c > 0，b^2-4ac > 09. 已知二次函数y = kx^2-7x - 7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A. k>-(7)/(4)B. k≥slant-(7)/(4)且k≠0C. k≥slant-(7)/(4)D. k > -(7)/(4)且k≠010. 某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A. 200(1 + a%)^2=148B. 200(1 - a%)^2=148C. 200(1 - 2a%) = 148D. 200(1 - a^2%)=148二、填空题（每题3分，共18分）11. 方程(x - 1)^2=4的解为___。
九年级数学月考试卷【含答案】
九年级数学月考试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若a、b为实数，且a≠0，那么下列哪个式子是正确的？（）A. a² = b²B. a² + b² = (a + b)²C. (a + b)² = a² + 2ab + b²D. a² b² = (a b)²4. 下列哪个式子是等边三角形的面积公式？（）A. 面积 = 1/2 底高B. 面积 = 1/2 边长高C. 面积= √3/4 边长²D. 面积 = 1/4 边长²5. 若一个圆的半径为r，则它的周长为（）。
A. 2πrB. πr²C. 2rD. r²二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a、b为实数，且a≠b，则a²≠b²。
（）2. 任何一个正整数都可以表示为两个质数的和。
（）3. 两个等腰三角形的面积相等，则它们的周长也相等。
（）4. 任何一个偶数都可以表示为两个奇数的和。
（）5. 任何一个正整数都可以表示为三个连续整数的和。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为4，则它的面积为______。
2. 若一个圆的半径为3，则它的面积为______。
3. 若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为5，则它的高为______。
4. 若一个等差数列的首项为2，公差为3，第5项为______。
5. 若一个等比数列的首项为3，公比为2，第4项为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述勾股定理的内容。
2. 简述等差数列的定义。
3. 简述等比数列的定义。
九年级数学第一次月考卷(苏科版)(解析版)【测试范围：第一章~第二章】
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷基础知识达标测（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选6题，填空10题，解答8题。
2．测试范围：第一章~第二章（苏科版）。
第Ⅰ卷一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ）A．x2+2x=―1B．x2﹣4＝2yC．﹣2x2+3＝0D．（a﹣1）x2﹣2x＝0【分析】根据一元二方程的定义进行判断即可．【解答】解：A．x2+2x=―1是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合题意；C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合题意；D．当a＝1时，（a﹣1）x2﹣2＝0化为一元一次方程﹣2x＝0，不符合题意．故选：C．2．（3分）将一元二次方程4x2+81＝5x化为一般形式后，常数项为81，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．4，5B．4，﹣5C．4，81D．4x2，﹣5x【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．【解答】解：方程整理得：4x2﹣5x+81＝0，则二次项系数和一次项系数分别为4，﹣5．故选：B．3．（3分）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（ ）A ．（40﹣3x ）（25﹣2x ）＝200B ．（40﹣4x ）（25﹣2x ）＝600C ．40×25﹣80x ﹣100x +8x 2＝200D ．40×25﹣80x ﹣100x ＝600【分析】由人行通道的宽度为x m ，可得出每个展位的长为（25﹣2x ）m ，宽为40―4x 3m ，根据每个展位的面积都为200m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵人行通道的宽度为x m ，∴每个展位的长为（25﹣2x ）m ，宽为40―4x 3m ．依题意得：40―4x 3•（25﹣2x ）＝200，即（40﹣4x ）（25﹣2x ）＝600．故选：B ．4．（3分）如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，点B ．点E 为⊙O 上一点（点E 与A ，B 两点不重合）．若∠P ＝70°，则∠AEB ＝（ ）A ．75°B ．30°或50°C ．60°或120°D ．75°或105°【分析】连接OA ，OB ，分为E 是优弧⌢AB 上一点，和E 是劣弧⌢AB 上一点，两种情况计算即可．【解答】解：（1）如图，点E 为优弧上一点，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 分别与⊙O 相切，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，∴∠AEB=12∠AOB=75°，（2）如图，点E为劣弧上一点，若M是优弧⌢AMB上一点，连接OA、OB，∵PA，PB分别与⊙O相切，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，∴∠AMB=12∠AOB=75°，∵四边形AEBM是⊙O的内接四边形，∴∠AMB+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝180°﹣75°＝105故选：D．5．（3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣2）【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．【解答】解：连接CB ，作CB 的垂直平分线，如图所示：在CB 的垂直平分线上找到一点D ，CD ＝DB ＝DA ==∴点D 是过A 、B 、C 三点的圆的圆心，即D 的坐标为（﹣1，﹣2），故选：C ．6．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（ ）A ．133B ．92CD ．【分析】连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABCD 中，得到∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4，由于AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E F G 三点得到∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°，推出四边形AFOE ，FBGO 是正方形，得到AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，由勾股定理列方程即可求出结果．【解答】解：连接OE ，OF ，ON ，OG ，在矩形ABCD 中，∵∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4，∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°，∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形，∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，∴DE ＝3，∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG ，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM=4 3，∴DM＝3+43=133，故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）7．（3分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣9a+3b的值为 ．【分析】把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得﹣9a+3b＝﹣6，再把所求结果整体代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得：9a﹣3b＝6，∴﹣9a+3b＝﹣6，∴2024﹣9a+3b＝2024﹣6＝2018，故答案为：2018．8．（3分）已知⊙O的圆心坐标为（3，0），直径为6，则⊙O与y轴的位置关系是 ．【分析】由已知条件可证得圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径，根据直线与圆的位置关系可得结论．【解答】解：∵⊙O的圆心坐标为（3，0），∴圆心O到y轴的距离为3，∵⊙O的直径为6，∴⊙O的半径为3，∴圆心O到y轴的距离为等于⊙O的半径，∴⊙O与y轴相切．故答案为：相切．9．（3分）如图，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，已知AB＝8，CE＝2，那么⊙O 的半径长是 ．【分析】连接OA，由垂径定理的推论得出AB⊥CD，由已知可得AE=12AB＝4，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOE中，利用勾股定理求r．【解答】解：连接OA，∵，⊙O的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，∴AB⊥CD，∴AE=12AB＝4，又OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5，故答案为：5．10．（3分）若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是 ．【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，则：120πl180=4π，解得l＝6．故答案为：6．11．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式x31―2024x1+x22的值为 ．【分析】先利用一元二次方程的根的意义和根与系数的关系得出x21―x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，即x31―2024x1=x21，最后代入即可得出结论．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0两个实数根，∴x21―x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，∴x31―x21―2024x1＝0，∴x31―2024x1=x21，∴x31―2024x1+x22=x21+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝12+4048＝4049．故答案为：4049．12．（3分）已知⊙O的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为 ．【分析】与OP垂直的弦最短，利用勾股定理求．【解答】解：与OP垂直的弦AB最短．证明如下：过点P任作一条弦CD，作OQ垂直于CD，垂足为Q，连接OD，AB＝2AP＝==CD＝2QD＝=在Rt△OPQ中，OP＞OQ，即3＞OQ，∴42﹣32＜42﹣OQ2，∴AB＜CD，∴弦AB最短，故答案为：13．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝ °．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可．【解答】解：如图：连接AD ，∵∠O ＝130°，OA ＝OD ，∴∠OAD =12（180°﹣130°）＝25°，∵∠C ＝130°，∴∠BAD ＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO ＝∠BAD +∠OAD ＝25°+50°＝75°．故答案为：75．14．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上．将AC 沿AC 翻折与AB 交于点D ．若OA ＝3cm ，BC 的度数为40°，则AD = cm ．【分析】作D 关于AC 的对称点E ，连接AE ，BE ，OE ，则AD =AE ，然后再根据BC 的度数为40°知∠CAB ＝20°，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得∠AOE ＝180°﹣80°＝100°，最后运用弧长公式即可解答．【解答】解：如图，作D 关于AC 的对称点E ，连接AE ，BE ，OE ，则AD =AE ，∵BC 的度数为40°，∴∠CAB ＝20°，∴∠EAB ＝2∠CAB ＝40°，∴∠EOB ＝2∠EAB ＝80°，∴∠AOE ＝180°﹣80°＝100°，∴AE 的长度为100°×2π×3360°=53π，∴AD 的长度为53π．故答案为：53π．15．（3分）如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，以AB 为边在正六边形ABCDEF 的内部作正方形ABMN ，连接OD ，ON ，则∠DON ＝ °．【分析】连接OA ，OB ，OE ，OF ，利用正六边形的性质得到OA ＝OB ＝OF ＝OE ＝OD ，∠AOB ＝∠AOF ＝∠FOE ＝∠EOD ＝60°，则△OAB 为等边三角形，D ，O ，A 在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠AON 的度数，则结论可得．【解答】解：连接OA，OB，OE，OF，如图，∵点O是正六边形ABCDEF的中心，∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，∴△OAB为等边三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，∴D，O，A在一条直线上，∠OAB＝60°，OA＝AB．∵以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，∴∠NAB＝90°，AB＝AN，∴∠NAO＝30°，OA＝AN，∴∠AON＝∠ANO=180°―30°2=75°，∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．故答案为：105．16．（3分）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为 ．【分析】如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，DE＝EA，所以EC=12DA′，求出DA′的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB==5，∴BA′==∵AC＝CA′，DE＝EA，∴EC=12 DA′，∵DA′≤BD+BA′，∴DA′≤5+∴DA′的最大值为5+∴EC三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2+ax﹣2a2＝0．（a为常数且a≠0）【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后两个一次方程即可；（2）先利用因式分解法把方程转化为x+2a＝0或x﹣a＝0，然后两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，所以x1＝5，x2＝﹣1；（2）x2+ax﹣2a2＝0，（x+2a）（x﹣a）＝0，x+2a＝0或x﹣a＝0，所以x1＝﹣2a，x2＝a．18．（6分）如图，A、B是⊙O上的点，以OB为直径作⊙O1．仅用无刻度的直尺完成下列作图．（1）在图①中，在⊙O1上作出一个点C，使BC与AB的长度相等；（2）在图②中，在⊙O上作出一个点D，使AD与BD的长度相等．【分析】（1）连接OA交⊙O1于点C，点C即为所求．（2）连接AB交⊙O1于点T，作直线OT交⊙O于点D，点D′，点D，点D′即为所求．【解答】解：（1）如图，点C即为所求．（2）如图，点D或D′即为所求．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；（2）注意：分b＝c，b＝a两种情况做．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝（k﹣2）2，∵无论k取何值，（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）解：①当b＝c时，则Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，∴k＝2，方程可化为x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，而b＝c＝2，∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+2+2＝7；②解：当b＝a＝3时，∵x2﹣（k+2）x+2k＝0．∴（x﹣2）（x﹣k）＝0，∴x＝2或x＝k，∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，∴k＝b＝3，∴c＝2，∴△ABC的周长＝a+b+c＝3+3+2＝8；综上所述，△ABC的周长为7或8．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若AC＝13，BC＝10，求DE长．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，得出∠ODB＝∠C，进而得出OD∥AC，由DE⊥AC，得出OD⊥EF，即可证明EF是⊙O的切线；（2）先求出BD＝5，再由勾股定理求出AD===12，最后再用面积法求解即可．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，∴BD＝5，∴AD===12，∵在直角△ADC中，AD＝12，CD＝BD＝5，AC＝13，∴12DE⋅AC=12AD⋅CD即DE=60 13．21．（10分）如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由．（2）若DA=DF=π）．【分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆周角定理分析得出OD⊥EF，即可得出圆心O到EF的距离为圆的半径；（2）利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可；【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∴OD的长是圆心O到EF的距离，∵AB＝90cm，∴OD=12AB=45cm．（2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G．∵DA＝DF，∴∠F＝∠BAD，由（1）得∠CAD＝∠BAD，∴∠F＝∠CAD，∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2，∴(2OD)2―OD2=2，解得OD＝6，在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，OG=12×6=3，∴S △AOD =12××3=∴S 阴影=S 扇形OBD +S △AOD=60π×62360=6π+22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，依题意，得：150（1+x ）2＝216，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）设该品牌头盔的实际售价为y 元，依题意，得：（y ﹣30）[600﹣10（y ﹣40）]＝10000，整理，得：y 2﹣130y +4000＝0解得：y 1＝80（不合题意，舍去），y 2＝50，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．23．（12分）【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考】（1）如图1，AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝100°，点P 1、P 2分别是优弧AB 和劣弧AB 上的点，则∠AP 1B ＝ 50 °，∠AP 2B ＝ 130 °．（2）如图2，AB 是⊙O 的弦，圆心角∠AOB ＝m （m ＜180°），点P 是⊙O 上不与A 、B 重合的一点，求弦AB 所对的圆周角∠APB 的度数（用m 的代数式表示） （m 2）°或180°﹣（m 2）° ．【问题解决】（3）如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB＝135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）．【实际应用】（4）如图4，在边长为12的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE＝CF，在点E从点A运动到点C过程中，PC的最小值是【分析】（1）根据圆周角定理计算∠AP1B的度数，然后根据圆内接四边形的性质求∠AP2B的度数；（2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）；（3）先作AB的垂直平分线得到AB的中点P，再以AB为直径作圆交AB的垂直平分线于O，然后以O点为圆心，OA为半径作⊙O，则⊙O在⊙P内的弧为满足条件的点C所组成的图形；（4）由等边三角形的性质证明△AEB≌△CFA可以得出AF＝BE，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，结合勾股定理分别求得DC、DP，即可得解．【解答】解：（1）∠AP1B=12∠AOB=12×100°＝50°，∠AP2B＝180°﹣∠APB＝180°﹣50°＝130°．故答案为：50，130；（2）当P在优弧AB上时，∠A PB=12∠AOB＝（m2）°；当P在劣弧AB上时，∠A PB＝180°﹣（m 2）°；故答案为：（m2）°；180°﹣（m2）°；（3）如图劣弧AB（不包含A、B两个端点）就是所满足条件的点C所组成的图形；（4）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝12，∠BAC ＝∠C ＝60°．在△AEB 和△CFA 中，AB =AC∠BAC =∠C AE =CF，∴△AEB ≌△CFA （SAS ），∴AF ＝BE ．点P 的路径是一段弧，由题目不难看出当E 为AC 的中点的时候，点P 经过弧AB 的中点，PC 最小，此时△ABP 为等腰三角形．且∠ABP ＝∠BAP ＝30°，OC ⊥AB ，如图3：∴∠AOB ＝120°，∵AB ＝12，AP ＝2DP ，∴AD ＝6，DP =∴DP ＝在Rt △ADC 中，DC ===∴PC ＝=故答案为：24．（12分）已知△ABC 的外接圆，圆心为点O ，点P 是该三角形的内心．（1）如图1，在△ABC 中，直线AP 与△ABC 外接圆交点为D ，求证：BD ＝PD ＝CD ；（2）如图2，若该△ABC ，M 是弧ABC 中点，MN ⊥BC 与点N ，①求证：AB +BN ＝CN ；②如图3，若△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，求证：直线MN 经过内心点P ；③将上述第②题中∠BAC ＝90°改为∠BAC 为任意角，参考图3，其他条件均不变，试猜想该结论是否成立： （是，或者不是）．【分析】（1）连接BP ，可推出∠ABP ＝∠CBP ，∠BAD ＝∠BCD ，∠DAC ＝∠CBD ，从而∠DBP ＝∠DPB ，从而BD ＝PD ，进一步得出结论；（2）过点M 作ME ⊥AB ，交AB 的延长线于E ，连接BM ，可证得Rt △AME ≌Rt △CMN ，从而MN ＝EM ，进而证得△BME ≌△BMN ，从而BE ＝BN ，进一步得出结论；②设AE ，AC 切⊙P 于点E ，F ，设AB ＝a ，AE ＝AF ＝x ，则AC ＝2a ，在BC 上截取CQ ＝AB ＝a ，可证得△ABM ≌△CQM ，从而BM ＝QM ，进而得出BN ＝NQ =12BQ ，根据⊙P 是△ABC 的内切圆可得出BC ＝BE +CF ＝（a ﹣x ）+（2a ﹣x ）＝3a ﹣2x ，从而BQ ＝BC ﹣CQ ＝2a ﹣2x ，进而得出BN =12BQ ＝a ﹣x ，从而BE ＝BN ，进一步得出结论；③由②得出结论．【解答】（1）证明：如图1，连接BP，∵点P是△ABC的内心，∴AP、BP分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABP＝∠CBP，∴CD=BD，∴CD＝BD，∵∠BAD＝∠BCD，∠DAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD，∴∠CBD+∠CBP＝∠BAD+∠ABP，∴∠DBP＝∠DPB，∴BD＝PD，∴BD＝PD＝CD；（2）①证明：如图2，过点M作ME⊥AB，交AB的延长线于E，连接BM，则∠E＝90°，∵MN⊥BC，∴∠BNM＝∠CNM＝90°，∴∠E ＝∠BNM ＝∠CMN ，∵M 是弧ABC 中点，∴AM ＝CM ，∵BM =BM ，∴∠MAB ＝∠MCB ，∴Rt △AME ≌Rt △CMN （HL ），∴MN ＝EM ，CN ＝AE ，∵BM ＝BM ，∴△BME ≌△BMN （HL ），∴BE ＝BN ，∵AB +BE ＝AE ，∴AB +BN ＝CN ；②证明：设AE ，AC 切⊙P 于点E ，F ，设AB ＝a ，AE ＝AF ＝x ，则AC ＝2a ，在BC 上截取CQ ＝AB ＝a ，∵∠C ＝∠BAM ，AM ＝CM ，∴△ABM ≌△CQM （SAS ），∴BM ＝QM ，CQ ＝AB ＝a ，∵MN ⊥BC ，∴BN ＝NQ =12BQ ，∵⊙P 是△ABC 的内切圆，∴BC ＝BE +CF ＝（a ﹣x ）+（2a ﹣x ）＝3a ﹣2x ，∴BQ ＝BC ﹣CQ ＝2a ﹣2x ，∴BN =12BQ ＝a ﹣x ，∴BE ＝BN ，∴⊙P切BC于N，∴M、N、P共线，∴PN⊥BC，∴直线MN经过圆内心点P；③解：由②知：直线MN经过圆内心点P，故答案为：是．。
2024-2025学年湖北省部分学校九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)
2024-2025学年湖北省部分学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程4x2+x−3=0中一次项系数、常数项分别是( )A. 2，−3B. 0，−3C. 1，−3D. 1，02.解方程(x+1)2=3(1+x)的最佳方法是( )A. 直接开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法3.抛物线y=−3x2+2x−1与y轴的交点为( )A. (0,1)B. (0,−1)C. (−1,0)D. (1,0)4.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+1=0有实数根，则k的取值范围是( )A. k≥54B. k>54C. k>54且k≠1 D. k≤54且k≠15.若关于x的方程x2−kx−3=0的一个根是x=3，则k的值是( )A. −2B. 2C. −12D. 126.关于x的方程|x2−2x−3|=a有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是( )A. a=0B. a=0或a=4C. a>4D. a=0或a>47.在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是( )A. 12x(x+1)=110 B. 12x(x−1)=110 C. x(x+1)=110 D. x(x−1)=1108.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是( )A. 无实数根B. 有两个相等实数根C. 有两个同号不等实数根D. 有两个异号实数根9.二次函数y=ax2+bx+c，若ab<0，a−b2>0，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在该二次函数的图象上，其中x1<x2，x1+x2=0，则( )A. y1=−y2B. y1>y2C. y1<y2D. y1、y2的大小无法确定10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc<0；②b>a+c；③2a−b=0；④b2−4ac<0．其中正确的结论个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
24-25九年级数学第一次月考卷(陕西专用)(全解全析)【测试范围：第一章~第四章】(北师大版)
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷（陕西专用）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章：特殊平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似。
5．难度系数：0.7。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．下列各组图形中，不相似的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】A、符合相似定义，故此选项不合题意；B、符合相似定义，故此选项不合题意；C、形状不同，不符合相似定义，故此选项符合题意；D、符合相似定义，故此选项不合题意．故选C．2．如果4a＝7b，那么下面的等式成立的是（ ）（a、b均不等于0）A．a：7＝4：b B．a：4＝b：7C．a：b＝4：7D．a：b＝7：4【答案】D【解析】∵4a＝7b，∴a：b＝7：4，a：7＝b：4，故选D．3．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有不相等的两个实数根，则m的值可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +2m ＝0有不相等的两个实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2m ＞0，解得m ＜2，故选A ．4．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【答案】B【解析】设这个航空公司共有飞机场共有x 个．x （x ﹣1）＝15×2，解得x 1＝6，x 2＝﹣5（不合题意，舍去）．故选B ．5．一个盒子中装有标号为1，2，3的三个小球，这些球除标号外都相同．从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于4的概率为（ ）A ．14B ．23C ．12D ．13【答案】D【解析】画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中摸出的小球标号之和大于4的结果有：（2，3），（3，2），共2种，∴摸出的小球标号之和大于4的概率为26=13．故选D ．6．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是（1，3），则CE 的长是（ ）A．3B．C D．4【答案】C【解析】∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD==CE=故选C．7．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（ ）A．4B．2C．1D．1 2【答案】C【解析】∵四边形ABD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△BOF中，∠AOE=∠BOFOA=OB∠OAE=∠OBF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴△AOE的面积＝△BOF的面积，∴四边形AFOE的面积=14正方形ABCD的面积=14×22＝1；故选C．8．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若BC＝10，DG＝2，则AB的长为（ ）A ．10B ．12C ．8D ．14【答案】B 【解析】∵DE 是△ABC 的中位线，∴AD ＝BD ，DE ∥BC ，DE =12BC ，又∵点F 为DE 的中点，∴DF =12DE =14BC ，∵DE ∥BC ，∴△DFG ∽△BCG ，∴DG BG =DF BC ，即2BG =14，∴BG ＝8，∴BD ＝AD ＝BG ﹣DG ＝8﹣2＝6，∴AB ＝AD +BD ＝6+6＝12．故选B ．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．如果方程（x ﹣5）2＝m ﹣7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是__________．【答案】m ≥7【解析】∵方程（x ﹣5）2＝m ﹣7可以用直接开平方求解，∴m ﹣7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．10．如图，点E 是菱形ABCD BD 上一点，连接AE ，若AD ＝DE ，∠AEB ＝105°，则∠BAE 的度数为__________°．【答案】45【解析】∵∠AEB ＝105°，∴∠AED ＝75°，∵AD ＝DE ，∴∠AED ＝∠EAD ＝75°，∴∠ADB ＝30°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝30°，∴∠BAE ＝∠AED ﹣∠ABD ＝45°，故答案为：45．11．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10（m /s ）的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过xs离地面的高度（单位：m ）为10x ﹣4.9x 2．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间x 约为__________s （结果保留整数）．【答案】2【解析】S ＝10x ﹣4.9x 2，落回地面时S ＝0，所以10x ﹣4.9x 2＝0，解得：x 1＝0（不合题意舍去），x 2=10049≈2．故答案为：2．12．如图①是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图②所示，此时液面AB 的长为__________．【答案】3.2cm【解析】如图：∵CD ∥AB ，∴△ABO ∽△CDO ，即相似比为OA OC =410=25，∴AB CD =OA OC =25，∵CD ＝8cm ，∴AB ＝3.2cm ，故答案为：3.2cm ．13．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝12，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，连接AE 、BF ，AE 与BF 相交于点P ，∠AEB ＝∠BFC ，点O 为AB 的中点，连接OP ，则OP 的长为__________．【答案】6【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝12，∴∠FBC+∠BFC＝90°，∵∠AEB＝∠BFC，∴∠FBC+∠AEB＝90°，∴∠BPA＝∠BPE＝90°，∵点O为AB的中点，∴OP=12AB=6，故答案为：6．三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14．若（m2﹣2m）x|m﹣2|﹣mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．【解析】由题意得：|m﹣2|＝2且m2﹣2m≠0，解得m＝4．即m的值为4．15．如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，若AB＝10，AC＝12，求BD的长．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC＝6，BD＝2OB．∴在Rt△AOB中，OB===8，∴BD＝2OB＝16．16．一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，估计袋中红球的个数．【解析】由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为：1﹣0.4＝0.6，∴总的球数为：（7+5）÷0.6＝20，∴红球有：20﹣（7+5）＝8（个）．17．如图，点E 在边长为13的正方形ABCD 内，AE ＝5，BE ＝12，求出图中阴影部分的面积．【解析】∵AE ＝5，BE ＝12，AB ＝13，∴AE 2+BE 2＝52+122＝169＝132＝AB 2，∴∠AEB ＝90°，∴S 阴影=S 正方形ABCD ―S △ABE =AB 2―12AE ×BE =139．18．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大劳动教育投入，建设校园农场．该农场一种作物的产量在两年内从200千克增加到242千克，若平均每年的增产率相同，求该作物平均每年的增产率．【解析】设该作物平均每年的增产率为x ，根据题意，得200（x +1）2＝242，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：该作物平均每年的增产率为10%．19．如图，AB ∥CD ∥EF ．若AD ＝2，DF ＝1.5，CE ＝1.8，求线段BE 的长．【解析】∵AB ∥CD ∥EF ，∴BC CE =AD DF ，即BC 1.8=21.5，∴BC ＝2.4，∴BE ＝BC +CE ＝2.4+1.8＝4.2．20．如图，点A 、B 、C 、D 均在边长为1的小正方形网格的格点上，连接AD ，求证：△ABD ∽△CBA ．【解析】根据勾股定理得，AB ==BD ＝1，BC ＝5，∴AB BC =5，BD AB =1=5，∴AB BC =BD AB，又∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA ．21．南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 14 ；（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．【解析】（1）P （甲在2号出入口开展志愿服务活动）=14，故答案为：14；（2）∵一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种情况，∴P （甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）=416=14．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0．（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．【解析】（1）解：把x＝2代入x2﹣2mx+2m﹣2＝0中得：22﹣4m+2m﹣2＝0，解得m＝1；（2）证明：由题意得，Δ＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣2）＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2+4≥0，∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根．23．如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（3，3），C（4，2）．以原点O为位似中心将△ABC向右侧放大两倍得到△A'B'C'．（1）在图中画出△A'B'C'；（2）若△ABC内有一点P（a，b），则点P放大后的对应点的坐标是 ．【解析】（1）如图，△A'B'C'即为所求；（2）点P的对应点的坐标为（2a，2b），故答案为：（2a，2b）．24．已知：如图，锐角△ABC中，CD、BE分别是边AB、AC上的高，M、N分别是线段DE、BC的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连接DN、EN，猜想∠A与∠DNE之间的关系，并说明理由．【解析】（1）证明：如图，连接DN ，EN ，∵CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，N 是BC 的中点，∴DN =12BC ，EN =12BC ，∴DN ＝EN ，又∵M 为DE 中点，∴MN ⊥DE ；（2）解：∠DNE ＝180°﹣2∠A ，理由如下：在△ABC 中，∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ，∵DN ＝EN ＝BN ＝NC ，∴∠BND +∠CNE ＝（1802ABC ）+（180°﹣2∠ACB ）＝360°﹣2（∠ABC +∠ACB ）＝360°﹣2（180°﹣∠A ）＝2∠A ，∴∠DNE ＝180°﹣2∠A ．25．圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具．图1为圭表示意图．某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度．如图2，旗杆MN 的影长MA 在水平地面上，将标杆AB （长度1米）竖直放置在影长的最远端点A 处，此时标杆AB 的影长为AD ．经测量，AD ＝1.2米，AM ＝12.1米．（1）根据以上信息，计算旗杆MN 的高度．（结果保留整数）（2）若该同学在操作过程中，测量完AD 的长度后，准备测量AM 的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量AM 的长度，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．【解析】（1）由题意可知BD ∥AN ，∴∠NAM ＝∠D ，∵∠NMA ＝∠BAD ＝90°，∴△MNA ∽△ABD ，∴MN AB =MA AD ，即MN 1=12.11.2，∴MN ≈10，答：旗杆MN 的高度约为10米；（2）不可以．理由如下：旗杆和标杆的影长随着时间的变化而变化，必须同时测量，小明测量标杆影长后半个小时再测量旗杆影长，此时旗杆影长已经发生变化，故不可以准确得到旗杆的高度．26．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC 和等腰△ADE 即为“相似等腰组”．（1）如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE 绕看点A 逆时针旋转一定角度，判断△ABD 和△ACE 是否全等；（2）如图3，等腰△ABC 和等腰△ADE 是“相似等腰组”，且∠BAC ＝90°，DC 和BE 相交于点O ，判断DC 和BE 的位置及大小关系．【解析】（1）△ABD 和△ACE 全等，理由：∵等腰△ABC 和等腰△ADE 为“相似等腰组”，∴∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）DC和BE的位置及大小关系为：DC＝BE，DC⊥BE，理由：∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE与△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CADAD=AE，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD，∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠EBC+∠ACB＝90°，∴∠EBC+∠DCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴DC⊥BE．。
2024-2025学年初中九年级上学期数学第一次月考卷及答案(北师大版)
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1章～第3章（北师版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．xx2−3xx−5=−5B．2xx2−yy−1=0C．xx2−xx(xx+2.5)=0D．aaxx2+bbxx+cc=02．下列命题为真命题的是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形3．若关于xx的方程xx2+mmxx−6=2．则mm为（）A．−2B．1 C．4 D．−34．a是方程xx2+2xx−1=0的一个根，则代数式aa2+2aa+2020的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20215．如图，在正方形AAAAAAAA中，EE为AAAA上一点，连接AAEE，AAEE交对角线AAAA于点FF，连接AAFF，若∠AAAAEE=35°，则∠AAFFAA的度数为（）A．80°B．70°C．75°D．45°6．有一块长40m，宽32m的矩形种植地，修如图等宽的小路，使种植面积为1140m2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（）A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140 B．（40﹣x）（32﹣x）=1140C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140 D．（40﹣2x）（32﹣2x）=11407．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（）A．2 B．12 C．18 D．248．如图，在菱形AAAAAAAA中，对角线AAAA，AAAA相交于点OO，EE是AAAA的中点，若菱形的周长为20，则OOEE的长为（）A．10 B．5 C．2.5D．19．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为xx人，则根据题意可列方程为（）A．xx(xx−1)=110B．xx(xx+1)=110C．(xx+1)2=110D．(xx−1)2=11010．关于xx的一元二次方程kkxx2−2xx−1=0有两个不相等的实数根，则kk的取值范围是（）A．kk>−1B．kk>−1且kk≠0C．kk<1D．kk<1且kk≠011．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（）A．74B．95C．1910D．76�312．如图，在正方形AAAAAAAA中，AAAA=4，E为对角线AAAA上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EEFF⊥AAAA于点F，EEEE⊥AAAA与点G，连接AAEE，FFEE，有下列结论：①AAEE=FFEE．②AAEE⊥FFEE．③∠AAFFEE=∠AAAAEE．④FFEE的最小值为3，其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③④第Ⅱ卷二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）13．一元二次方程5xx2+2xx−1=0的一次项系数二次项系数常数项．14．xx1,xx2为一元二次方程xx2−2xx−10=0的两根，则1xx1+1xx2=．15．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OB＝2，∠ACB＝30°，则AB的长度为．16．如图所示，菱形AAAAAAAA的对角线AAAA、AAAA相交于点OO．若AAAA=6，AAAA=8，AAEE⊥AAAA，垂足为EE，则AAEE的长为．17．如图，将一张长方形纸片AAAAAAAA沿AAAA折起，重叠部分为ΔΔAAAAEE，若AAAA=6,AAAA=4，则重叠部分ΔΔAAAAEE的面积为．18．如图，在正方形AAAAAAAA中，AAAA=6，点E，F分别在边AAAA,AAAA上，AAEE=AAFF=2，点M在对角线AAAA上运动，连接EEEE和EEFF，则EEEE+EEFF的最小值等于．三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）解下列方程：（1）3xx2−4xx−1=0；（2）2�xx−3�2=xx2−920．（8分）已知方程xx2+�kk+1−6=0是关于xx的一元二次方程．(1)求证：对于任意实数kk方程中有两个不相等的实数根．(2)若xx1，xx2是方程的两根，kk=6，求1xx1+1xx2的值．21．（8分）如图，在菱形AAAAAAAA中，对角线AAAA，AAAA交于点OO，AAEE⊥AAAA交AAAA延长线于EE，AAFF∥AAEE交AAAA延长线于点FF．(1)求证：四边形AAEEAAFF是矩形；(2)若AAEE=4，AAAA=5，求AAAA的长．22．（10分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，某食品公司为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图．请根据以上信息回答：(1)参加本次调查的有______人，若该居民区有8000人，估计整个居民区爱吃D粽的有______人．(2)请将条形统计图补充完整；(3)食品公司推出一种端午礼盒，内有外形完全相同的A、B、C、D粽各一个，小王购买了一个礼盒，并从中任意取出两个食用，请用列表或画树状图的方法，求他恰好能吃到C粽的概率．23．（8分）阅读材料，回答问题．材料1：为了解方程�xx2�2−13xx2+36=0，如果我们把xx2看作一个整体，然后设yy=xx2，则原方程可化为yy2−13yy+36=0，经过运算，原方程的解为xx1,2=±2，xx3,4=±3，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2：已知实数mm，nn满足mm2−mm−1=0，nn2−nn−1=0，且mm≠nn，显然mm，nn是方程xx2−xx−1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知mm+nn=1，mmnn=−1．根据上述材料，解决以下问题：(1)为解方程xx4−xx2−6=0，可设yy=____，原方程可化为____．经过运算，原方程的解是____．(2)应用：若实数aa，bb满足：2aa4−7aa2+1=0，2bb4−7bb2+1=0且aa≠bb，求aa4+bb4的值；24．（10分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒．(1)设售价每盒下降xx元，则每天能售出______盒（用含xx的代数式表示）；(2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；(3)该商场每天所获得的利润是否能达到2700元？请说明理由．25．（12分）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形AAAAAAAA．判断四边形AAAAAAAA的形状：筝形（填“是”或“不是”）；(2)性质探究：如图2，已知四边形AAAAAAAA纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；(3)拓展应用：如图3，AAAA是锐角△AAAAAA的高，将△AAAAAA沿边AAAA翻折后得到△AAAAEE，将△AAAAAA沿边AAAA翻折后得到△AAAAFF，延长EEAA,FFAA交于点G．①若∠AAAAAA=50°，当△AAAAEE是等腰三角形时，请直接写出∠AAAAAA的度数；②若∠AAAAAA=45°，AAAA=2,AAAA=5,AAEE=EEEE=FFEE，求AAAA的长．26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形AAAAAAAA中，E，F为平面内两点．【初步感知】（1）如图1，当点E在边AAAA上时，AAEE⊥AAFF，且B，C，F三点共线．请写出AAEE与FFAA的数量关系______；【深入探究】（2）如图2，当点E在正方形AAAAAAAA外部时，AAEE⊥AAFF，AAEE⊥EEFF，E，C，F三点共线．若AAEE=2，AAEE=4，求AAEE的长；【拓展运用】（3）如图3，当点E在正方形AAAAAAAA外部时，AAEE⊥EEAA，AAEE⊥AAFF，AAEE⊥AAEE，且D，F，E三点共线，猜想并证明AAEE，AAEE，AAFF之间的数量关系．2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2024-2025学年江苏省苏州中学九年级上学期第一次月考数学试题及答案
2024-2025学年第一学期九年级数学第一次月考卷（范围：九上第1、2章、九下第6章 考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列方程一定是关于 x 一元二次方程的是（ ） A. 22350x x −−= B. 2220x xy y ++=C. ()()()213x x x x +=−+D. 250x =2. 下列各条件中，能判断ABC A B C ′′′∽△△的是（ ）A. 3AB A B ′′=，A A ′∠=∠B. AB BCA B A C =′′′′ ，B B ∠=∠′ C. ABA B BC B C ′′=′′，∠+∠=∠+∠′′A C A CD. 40A ∠=°，80B ∠=°，80∠′=°A ，70B ′∠=°3. 如图，四边形ABCD 内接于O ，它的一个外角70CBE ∠=°，则ADC ∠的度数为（ ）A. 55°B. 70°C. 110°D. 140° 4. 定义运算21m n mn mn =−−☆，例如242424217=×−×−=☆，则方程20x =☆的根的情况为（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根 5. 如图，AB 、CD 是O 的弦，且AB CD =，若84BOD ∠=°，则ACO ∠的度数为（ ）A. 42°B. 44°C. 46°D. 48°6. 如图，ABC 与DEF 是位似三角形，位似比为2:3，已知3AB =，则DDDD 的长等于（ ）的A. 49B. 2C. 92D. 2747. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x ，则可列方程为（ ）A. 250(1)80x +=B. 250(1%)80x +=C. 250(12)80x +=D. 25050(1)50(1)80x x ++++= 8. 如图，a b c ∥∥，若32AD DF =，则下面结论错误的是（ ）．A 35AD AF =B. 32C. 23AB EF =D. 35BC BE = 9. 如图，ABC 的内切圆O 与AB BC AC 、、相切于点D 、E 、F ，已知435AB AC BC ===，，，，则DE 的长是（ ）A.B.C.D. 10. 如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，且12AD AB =，分别作射线BD 、CE ，它们交于点M ．以点A 为旋转中心，将ADE 按顺时针方向旋转，若AE 的长为2，则MBC △面积的最小值是（ ）.A. 4B. 8C. 2+D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 方程 250x =的解是____．12. 若32a b=，则22a b a b +−的值为____． 13. 已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP BP >，那么:AP AB 的比值为________．14. 如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条宽均为m x 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为2551m ，根据图中数据，求得小路宽x 的值为__________．15. 已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，BC =B 为圆心BC 为半径的圆交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为__________．16. 如图，AD 是O 的直径，将弧AB 沿弦AB 折叠后，弧AB 刚好经过圆心O ．若6BD =，则O 的半径长是___．17. 已知A 是方程2201010x x −+=的一个根，试求22201020091A A A −++的值______． 18. 如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6120AB AOC =∠=°，，P 为O 上的动点，连接AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为______．三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 19. 用指定方法解下列一元二次方程（1）23(21)120x −−=（直接开平方法） （2）22470x x −−=（配方法）（3）210x x +−=（公式法）（4）22(21)0x x −−=（因式分解法） 20. 如图，AAAA 是⊙O 的弦，C 是⊙O 上的一点，且60ACB ∠=°，OD AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ．若⊙O 的半径为6，求弦AAAA 的长．21. 如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 中点，点F 在边CD 上，且3CF FD =，求证：ABE DEF △△∽．的22. 已知ABC 三边a b c ，，满足()()()271a c a b c b −+−=−∶∶∶∶，且24a b c ++=．（1）求a b c ，，的值；（2）判断ABC 的形状．23. 已知关于x 一元二次方程22230x mx m m ++−=．（1）若方程有两个实数根，求m 取值范围；（2）设22230x mx m m ++−=的两个实数根为1x ，2x ，若221212364x x x x =++，求m 的值． 24. 图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB 的示意图．如图Ⅱ，在C 处放置一根高度为2m 且与地平线BF 垂直的竹竿IC ，点A ，I ，D 在同一直线上，测得CD 为3m ．将竹竿3m 平移5m 至E 处，点A ，G ，F 在同一直线上，测得EF 为5m ．求大拇指的高度．25. 如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，P 是AB 的延长线上的点，弦CE 交AB 于点D ．2POE CAB ∠=∠，P E ∠=∠．（1）求证：CE AB ⊥；（2）求证：PC 是O 的切线；（3）若BD OD =，9PB =，求O 的半径．26. 某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．的的（1）若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？（2）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？（3）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由．27. 按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，由小正方形构成的66×网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，O 经过A ，B ，C 三个格点，用无刻度的直尺作出圆心O ；（2）如图2，在平行四边形ABCD 中，45A ∠=°，以AB 为直径的圆与CD 相切于点D ．请仅用无刻度直尺在图中作出ABD △的重心M ．28. 新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．【问题提出】（1）如图1，若四边形ABCD AD BD =，90ABC ∠=°，4AB =，3BC =，求四边形ABCD 的面积；【问题解决】（2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在A ，B ，C ，D 四处，现要求信号塔C 建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m 的圆，记为E ．已知点A 到该湖泊的最近距离为500m ，是否存在这样的点D ，满足AC BD =，使得四边形ABCD 的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．2024-2025学年第一学期九年级数学第一次月考卷（范围：九上第1、2章、九下第6章 考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列方程一定是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A. 22350x x −−= B. 2220x xy y ++=C. ()()()213x x x x +=−+D. 250x = 【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式()200ax bx c a ++=≠，这种形式叫一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．【详解】解：A 、22350x x−−=含有分式，故不是一元二次方程，不符合题意； B 、2220x xy y ++=含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意．C 、()()()213x x x x +=−+化简得03=−，不是一元二次方程，不符合题意；D 、250x =符合一元二次方程定义，符合题意；故选：D ．2. 下列各条件中，能判断ABC A B C ′′′∽△△的是（ ）A. 3AB A B ′′=，A A ′∠=∠B.AB BC A B A C =′′′′，B B ∠=∠′ C. AB A B BC B C ′′=′′，∠+∠=∠+∠′′A C A C D. 40A ∠=°，80B ∠=°，80∠′=°A ，70B ′∠=° 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可．【详解】A 、∵3AB A B ′′=，A A ′∠=∠，只有一角一边，∴不能判断两个三角形相似，故A 不符合题意；B 、∵AB BC A B A C =′′′′，B B ′∠=∠，B ′∠不是A B ′′与A C ′′的夹角， ∴不能判断两个三角形相似，故B 不符合题意；C 、由∠+∠=∠+∠′′A C A C ，可得B B ′∠=∠， 再由AB A B BC B C′′=′′，得AB BC A B B C =′′′′， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，∴可判断ABC A B C ′′′∽△△，故C 符合题意；D 、由40A ∠=°，80B ∠=°，得60C ∠=°，由80∠′=°A ，70B ′∠=°， 得30C ′∠=°，∵只有80B A ∠′=∠=°，∴不能得ABC A B C ′′′∽△△，故D 不符合题意．故选：C ．3. 如图，四边形ABCD 内接于O ，它的一个外角70CBE ∠=°，则ADC ∠的度数为（ ）A. 55°B. 70°C. 110°D. 140°【答案】B【解析】 【分析】利用圆内接四边形的性质即可．证明ADC CBE ∠=∠即可得到答案．本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可．详解】解：依题意，180ADC ABC ∠+∠=°，∵180ABC CBE ∠+∠=°，70ADC CBE ∴∠=∠=°．故选：B ．4. 定义运算21m n mn mn =−−☆，例如242424217=×−×−=☆，则方程20x =☆的根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根【答案】A【解析】【分析】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．【详解】解：根据定义得：222210x x x =−−=☆， 2a = ，2b =−，1c =−，()()22Δ42421120b ac ∴=−=−−××−=>， ∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选：A ．5. 如图，AB 、CD 是O 的弦，且AB CD =，若84BOD ∠=°，则ACO ∠的度数为（ ）A. 42°B. 44°C. 46°D. 48°【答案】D【解析】 【详解】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系求出84AOC BOD ∠=∠=°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA ，【AB CD = ，CAB D ∴=， AB AD AD CD ∴−=−，AC BD∴=， 84AOC BOD ∴∠=∠=°，OA OC = ，()()11180180844822ACO CAO AOC ∠=∠=°−∠=×°−°=°． 故选：D ．6. 如图，ABC 与DEF 是位似三角形，位似比为2:3，已知3AB =，则DDDD 的长等于（ ）A. 49B. 2C. 92D. 274【答案】C【解析】【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似比等于相似比，进而即可求解．掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】解：∵ABC 与DEF 是位似图形，位似比为2:3，∴23AB DE =， ∵3AB =，∴92DE =， 故选：C ．7. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x ，则可列方程为（ ）A. 250(1)80x +=B. 250(1%)80x +=C. 250(12)80x +=D. 25050(1)50(1)80x x ++++= 【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题的一般形式为2(1)a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量，由此列方程即可．【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x ，则250(1)80x +=，故选A ．8. 如图，a b c ∥∥，若32AD DF =，则下面结论错误的是（ ）．A. 35AD AF =B. 32BC CE =C. 23AB EF =D. 35BC BE = 【答案】C【解析】【详解】本题主要考查了比例的基本性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键．根据比例的性质、平行线分线段成比例列出比例式逐项判断即可．【分析】解： AD DF ＝32， 35AD AF ∴=, 故A 选项正确，不符合题意；a b c ∥∥，且AD DF ＝32， 32AD BC DF CE ∴==, 故B 选项正确，不符合题意；32BC CE = 35BC BE ∴= 故D 选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能求出AB EF的值，故C 选项不正确． 故选C ．9. 如图，ABC 的内切圆O 与AB BC AC 、、相切于点D 、E 、F ，已知435AB AC BC ===，，，，则DE 的长是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接AO ，BO ，CO ，DO ，EO ，FO ．根据题意可知OE OD OF ==，且OE BC ⊥，OF AC ⊥，OD AB ⊥，再根据6ABC ABO BCO ACO S S S S =++= 求出OE ，接下来设BE x =，根据切线长定理得出CE CF =，AD AF =，BD BE =，求出BE ，再根据勾股定理求出BO ，结合DO EO =，BD BE =可知BO 是DE 的垂直平分线，然后根据1122BEO S BE EO BO EG =⋅=⋅ 求出EG ，进而得出答案．本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，根据面积相等求出半径是解题的关键．【详解】解：连接AO ，BO ，CO ，DO ，EO ，FO ．根据题意可知OE OD OF ==，且OE BC ⊥，OF AC ⊥，OD AB ⊥，∵435AB AC BC ===，，，∴222AB AC BC +=∴ABC 是直角三角形 ∴13462ABC S =××= ， ∴1116222ABC ABO BCO ACO S S S S OE BC OF AC OD AB =++=⋅+⋅+⋅= ， 即1()62OE BC AC AB ++=， 解得()123451OE =÷++=．设BE x =，则BD BE x ==，5CE CF x ==−，4AD AF x ==−，得543x x −+−=， 解得3x =，3BE ∴=．在Rt BOE 中，BO，DO EO = ，BD BE =， BO ∴是DE 的垂直平分线，DG EG ∴=． 1122BEO S BE EO BO EG =⋅=⋅ ，即113122EG ××=，解得EG =，∴2DE EG==． 故选：C ．10. 如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，且12AD AB =，分别作射线BD 、CE ，它们交于点M ．以点A 为旋转中心，将ADE 按顺时针方向旋转，若AE 的长为2，则MBC △面积的最小值是（ ）A. 4B. 8C. 2+D. 【答案】A【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．先证明()SAS BAD CAE ≌，则ACE ABD ∠=∠，推出90BMC ∠=°，由题意知，E 在以A 为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当CE 在A 下方且与A 相切时，线段MB 最短，MBC △面积的最小；再证明四边形ADME 是正方形，则2MD ME AE ===，由勾股定理得，CE BD ==2,2BM CM −，最后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：∵ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，且12AD AB =，2AE = ∴290,4,AB AC AD AE BAC DAE ===∠=∠=°=， ∴45ABC ACB ∠=∠=°，∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠， ∵,,AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=， ∴()SAS BAD CAE ≌，∴ACE ABD ∠=∠，BD CE =∴180BMC DBC ACB ACE ∠=°−∠−∠−∠()18090DBC ABD ACB=°−∠+∠−∠=°， 如图：由题意知，E 在以A 为圆心，2为半径的圆上运动，∵90BMC ∠=°，∴当CE 在A 下方且与A 相切时，点M 到BC 距离最小，MBC △面积的最小∵90AEM CMD DAE ∠=°=∠=∠，∴四边形ADME 是矩形，∵AD AE =∴四边形ADME 是正方形，∴2MD ME AE ===，由勾股定理得，CE BD ==，∴2,2BM BD DM CM CE ME =−=−=+=，∴()()1122422MBC S BM CM =⋅=⋅⋅= ． 故选：A ． 二、填空题：本题共83分，共24分．11. 方程 250x =的解是____．【答案】120x x == 【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用开平方法解方程即可．【详解】解：∵250x =，∴20x =，∴120x x ==， 故答案为：120x x == 12. 若32a b=，则22a b a b +−的值为____．【答案】2【解析】【分析】本题考查比例性质，根据条件设3,2a k b k ==，代值化简即可得到答案，熟练掌握比例性质及相应题型的解法是解决问题的关键．【详解】解： 32a b=， ∴设3,2a k b k ==，则22328222324a b k k k a b k k k +×+===−×−， 故答案为：2．13. 已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AP BP >，那么:AP AB 的比值为________．【解析】【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．根据黄金分割的定义即可得出答案．【详解】解： 点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，AP AB ∴，∴AP AB =14. 如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条宽均为m x 的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为2551m ，根据图中数据，求得小路宽x 的值为__________．【答案】1【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．剩余部分可合成长为()30m x −，宽为()20m x −的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为2551m ，即可得出关于x 的一元二次方程，求解并注意检验．【详解】解：根据题意得：()()3020551x x −−=， 化简得：250490x x −+=，解得：11x =，249x =，∵当249x =时，20290x −=−<，∴249x =舍去，故答案为：1．15. 已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，BC =B 为圆心BC 为半径的圆交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】2π−−【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，矩形的性质．证明AE AB =，可得45ABE AEB ∠=∠=°，45CBE ∠=°，再由阴影部分的面积为ABE ABCD CBE S S S −− 矩形扇形，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC A ∠=∠=°，由题意得：BE BC ==∵2AB =，∴2AE ，∴AE AB =，∴45ABE AEB ∠=∠=°，∴45CBE ∠=°，∴阴影部分的面积为ABE ABCD CBE S S S −− 矩形扇形21452360BC AB BC AB AE π×=×−×−12222=×××2π=−−故答案为：2π−−16. 如图，AD 是O 的直径，将弧AB 沿弦AB 折叠后，弧AB 刚好经过圆心O ．若6BD =，则O 的半径长是___．【答案】6【解析】【分析】本题考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、中位线的定义与性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键．过点O 作OH AB ⊥于点H ，交 AB 于点M ，连接AM ，根据折叠的性质，得出AB 垂直平分OM ，根据垂直平分线的性质得出AO AM =，则AM OM AO ，证明AOM 为等边三角形，得出60AOM ∠=°，由OH AB ⊥、垂径定理得出AH BH =，推出30OAH=°∠，根据含30°角的直角三角形的性质得出2OA OH =，由AH BH =，OA OD =，推出OH 是ABD △的中位线，根据中位线的性质得出132OH BD ==，由2OA OH =得出答案即可． 【详解】解：如图，过点O 作OH AB ⊥于点H ，交 AB 于点M ，连接AM，∵弧AB 沿弦AB 折叠后，弧AB 刚好经过圆心O ，∴AB 垂直平分OM ，∴AO AM =，∴AM OM AO ，∴AOM 为等边三角形，∴60AOM ∠=°，∵OH AB ⊥，∴AH BH =，90AHO ∠=°，∴180906030OAH ，∴2OA OH =，∵AH BH =，OA OD =，∴OH 是ABD △的中位线， ∴132OH BD ==， ∴26OA OH ，即O 的半径长是6．故答案为：6．17. 已知A 是方程2201010x x −+=的一个根，试求22201020091A A A −++的值______． 【答案】2009【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；由A 是方程2201010x x −+=的一个根，将其代入方程，得到关于A 的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．【详解】∵A 是方程2201010x x −+=的一个根，∴2201010A A −+=，即220101A A +=，220101A A =−则22201020091A A A −++201012009A A −−20102010A + 21111A A A A+=−+=−201012009A A −= 故答案为：2009．18. 如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6120AB AOC =∠=°，，P 为O 上的动点，连接AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为______．【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理的推论、半圆所对的圆周角是直角、勾股定理、含30°角的直角三角形等知识点，正确寻找点Q OQ ，作CH AB ⊥于H ，先证明点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解答．【详解】解：如图：连接OQ ，作CH AB ⊥于H ，∵Q 是AP 中点，∴AQ QP =，根据垂径定理的推论可得OQ AP ⊥，∴90∠=°AQO ， ∴点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，∵在直角OCH △中，120AOC ∠=°，∴60COH ∠=°，132OC AB ==，∴1322OH OC ==，CH ， 又∵在直角CKH 中，11324KH OK OH OA OH AB OH =+=+=+=，∴CK =∴32CQ CK KQ =+=+=CQ ．． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 19. 用指定方法解下列一元二次方程（1）23(21)120x −−=（直接开平方法） （2）22470x x −−=（配方法）（3）210x x +−=（公式法）（4）22(21)0x x −−=（因式分解法） 【答案】（1）132x =，212x =−（2）11x =+，21x =（3）1x =，2x = （4）113x =，21x = 【解析】【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程利用配方法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可；（4）方程利用因式分解法求出解即可．【小问1详解】解：23(21)120x −−=，移项，得23(21)12x −=，两边都除以3，得2(21)4x −=，两边开平方，得212x −=±，移项，得212x =±， 解得：132x =，212x =−；【小问2详解】解：22470x x −−=，两边都除以2，得27202x x −−=， 移项，得2722x x −=， 配方，得29212x x −+=，即29(1)2x −=，解得：1x −=，即11x =，21x =−；【小问3详解】解：210x x +−=，这里1a =，1b =，1c =−，224141(1)5b ac −=−××−= ，x ∴，解得：1x =，2x =；【小问4详解】解：22(21)0x x −−=， 方程左边因式分解，得(21)(21)0x x x x −+−−=，即(31)(1)0x x −−=， 解得：113x =，21x =． 【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20. 如图，AAAA 是⊙O 的弦，C 是⊙O 上的一点，且60ACB ∠=°，OD AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ．若⊙O 的半径为6，求弦AAAA 的长．【答案】【解析】【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能根据垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．连接OB ，可得2120AOB ACB ∠=∠=°，进而可得OAB OBA ∠=∠12=()18030AOB °−∠=°，OE 12=3OA =，求出AE 即可；【详解】解：连接OB ，∵60ACB ∠=°，∴2120AOB ACB ∠=∠=°，∵OA OB =， ∴OAB OBA ∠=∠12=()18030AOB °−∠=°，∵OE AB ⊥，OE 过圆心O ，∴90AE BE AEO =∠=°，， ∵6OA =， ∴OE 12=3OA =，由勾股定理得：AE == ∴3BE =，即3AB AE BE =+=+=21. 如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且3CF FD =，求证：ABE DEF △△∽．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质：熟练掌握正方形的性质，熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键；由正方形的性质得出90,A D AB AD CD ∠∠==°==，设4AB AD CD a ===，得出2,AEDE a DF a ===，证出AB AE DE DF=，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形 90,A D AB AD CD ∠∠∴==°==设4AB AD CD a ===∵E 为边AD 的中点，3CF FD =2,AE DE a DF a ∴===422,22AB a AE a a DF DE a ∴==== AB AE DE DF=∴ A D ∠=∠ ∴ABE DEF △△∽22. 已知ABC 三边a b c ，，满足()()()271a c a b c b −+−=−∶∶∶∶，且24a b c ++=．（1）求a b c ，，值；（2）判断ABC 的形状．【答案】（1）6810a b c ===，，；（2）直角三角形．【解析】【分析】（1）设2a c k −=−，7a b k +=，c b k −=，可得()()27a c a b c b k k k −+++−=−++，即得3a k =，进而得到4b k =，5c k =，再由24a b c ++=，可得2k =，据此即可求解；（2）利用勾股定理逆定理即可判断求解；本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键．【小问1详解】解：设2a c k −=−，7a b k +=，c b k −=，∴()()27a c a b c b k k k −+++−=−++， 即26a k =，∴3a k =，∴4b k =，5c k =，∵24a b c ++=，∴34524k k k ++=，∴2k =，∴6a =，8b =，10c =；【小问2详解】解：∵222268100a b +=+=，2210100c ==，∴222a b c +=，∴ABC 为直角三角形．23. 已知关于x 一元二次方程22230x mx m m ++−=．（1）若方程有两个实数根，求m 取值范围；（2）设22230x mx m m ++−=的两个实数根为1x ，2x ，若221212364x x x x =++，求m 的值． 【答案】（1）0m ≥的的的（2）3m =【解析】【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点．（1）由方程有实数根即可得出()()22Δ2430m m m =−−≥，解之即可得出m 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出122x x m +=−，2123x x m m =−，结合221212364x x x x =++，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再由（1）中m 的取值范围即可确定m 的值．【小问1详解】解： 该方程有两个实数根，()()22Δ2430m m m ∴=−−≥， 120m ∴≥，0m ∴≥；【小问2详解】解：122x x m +=− ，2123x x m m =−， 221212364x x x x ∴=++，()21212236x x x x ∴++=，即()2242336m m m +−=， 260m m ∴−−=， 12m ∴=−，23m =，0m ≥ ，3m ∴=．24. 图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB 的示意图．如图Ⅱ，在C 处放置一根高度为2m 且与地平线BF 垂直的竹竿IC ，点A ，I ，D 在同一直线上，测得CD 为3m ．将竹竿3m 平移5m 至E 处，点A ，G ，F 在同一直线上，测得EF 为5m ．求大拇指的高度．【答案】大拇指的高度为7m【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．分别证明CDI BDA ∽ 、GEF ABF ∽ 可得IC CD CD AB BD BC CD ==+、EF GE EF AB EF CE BCBF ==++，进而得到35310BC BC =++可得7.5BC =；最后将7.5BC =代入IC CD AB BC CD=+求得AB 值即可解答．【详解】解：由题意可得：AB CI ∥，∴CDI BDA ∽ ． ∴ICCD CD AB BD BC CD==+． 由题意可得：AB EG ∥，∴GEF ABF ∽ ． ∴GEEF EF AB EF CE BCBF ==++． ∵IC GE =， ∴CD EF BC CD EF CE BC =+++，即35310BC BC=++，解得：7.5BC =． 将7.5BC =代入IC CD AB BC CD =+，得2310.5AB =．解得7AB =． ∴大拇指的高度为7m ．25. 如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，P 是AB 的延长线上的点，弦CE 交AB 于点D ．2POE CAB ∠=∠，P E ∠=∠．（1）求证：CE AB ⊥；（2）求证：PC 是O 的切线；的（3）若BD OD =，9PB =，求O 的半径．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3）9【解析】【分析】（1）连接OC ，如图所示，由圆周角定理得到COD EOD ∠=∠，在COD △和EOD △中，由三角形全等即可得到SAS COD EOD （≌），利用三角形全等的性质即可得到答案； （2）由（1）中全等三角形性质得到E OCE ∠=∠，结合三角形内角和定理得到OC CP ⊥即可得证； （3）由垂直平分线的判定与性质得到OC BC =，再由等边三角形的判定与性质得到BCP P ∠=∠，再由等腰三角形的判定与性质即可得到答案．【小问1详解】证明：连接OC ，如图所示：则2COB CAB ∠=∠，∵2POE CAB ∠=∠，COD EOD ∴∠=∠，在COD △和EOD △中，CO EO COD EOD OD OD = ∠=∠ =∴SAS COD EOD （≌）， ∴1180902CDO EDO ∠=∠=×°=°， CE AB ∴⊥；【小问2详解】证明：由（1）得COD EOD ≌，E OCE ∴∠=∠，又P E ∠=∠ ，P OCE ∴∠=∠∵90CDO ∠=°，∴1801809090OCE COP CDO ∠+∠=°−∠=°−°=°，90P COP ∴∠+∠=°，∵()1801809090OCP P COP ∠=°−∠+∠=°−°=° ，即OC CP ⊥， PC ∴是O 的切线；【小问3详解】解：BD OD = ，CE AB ⊥，CE ∴垂直平分OB ，∴OC BC =．又OC OB = ，OB OC BC ∴==，OBC ∴ 为等边三角形，60OCB COB ∴∠=∠=°，90OCP ∠=° ，906030,90906030BCP OCP OCB P COP °°°°°°°∴∠=∠−∠=−=∠=−∠=−=BCP P ∴∠=∠，BC BP ∴=，9PB = ，9BC ∴=，9OC ∴=，即O 的半径为9．【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、全等三角形的判定与性质、切线的判定、三角形内角和定理、垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的基本性质及综合题型解法是解决问题的关键．26. 某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．（1）若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？（2）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？（3）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由．【答案】（1）800元（2）55元 （3）该超市不能每月获得880元的利润，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用；（1）根据总利润=销售量×单个的销售利润列式求解即可；（2）设每箱饮料降价x 元，根据总利润=销售量×单个的销售利润，列出方程求解即可；（3）设每箱饮料降价y 元，根据总利润=销售量×单个的销售利润，列出方程，判断判别式的符号即可．【小问1详解】解：()()6024860210800−−×+×=元， 答：若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是800元；【小问2详解】解：设每箱饮料降价x 元，由题意得：()()60486010770x x −−×+=， 整理得：2650x x −+=，解得：15x =，21x =（不符合题意，舍去）， ∴6060555x −−，答：每箱饮料售价应定为55元；【小问3详解】解：该超市不能每月获得880元的利润，理由如下：设每箱饮料降价y 元，由题意得：()()60486010880y y −−×+=， 整理得：26160y y −+=， ∵()2Δ6411636640=−−××=−<，∴此方程无解，∴该超市不能每月获得880元的利润．27. 按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，由小正方形构成的66×网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，O 经过A ，B ，C 三个格点，用无刻度的直尺作出圆心O ；（2）如图2，在平行四边形ABCD 中，45A ∠=°，以AB 为直径的圆与CD 相切于点D ．请仅用无刻度直尺在图中作出ABD △的重心M ．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了网格作图和尺规作图．熟练掌握全等三角形性质，线段垂直平分线性质，是解题的关键．（1）根据AD BC ==，5CD AB ==，AC 共用，可知，ABC CDB △≌△，得到CD 是直径，点O 即为圆心；（2）根据AD BD =，AP BP =，得到DP 垂直平分AB ，点N 为AB 中点，根据AC BD ，是平行四边形ABCD 的对角线，得到点Q 是BD 的中点，即得M 是ABD △的重心．【小问1详解】解：取点D ，使AD =CD ，交AB 于点O ，点O 即为所求作；【小问2详解】分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径在点D 的异侧画弧，两弧交于点P ，作射线DP ，连接AC 交DP 于点M ，点M 即为所求作．28. 新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．【问题提出】（1）如图1，若四边形ABCD 是美好四边形，且AD BD =，90ABC ∠=°，4AB =，3BC =，求四边形ABCD 的面积；【问题解决】（2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在A ，B ，C ，D 四处，现要求信号塔C 建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m 的圆，记为E ．已知点A 到该湖泊的最近距离为500m ，是否存在这样的点D ，满足AC BD =，使得四边形ABCD 的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3+； （2）存在，最大为2405000m【解析】【分析】本题主要考查了新定义美好四边形，勾股定理，圆的性质，三角形的面积等知识，证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大是解题的关键．（1）过D 作DK AB ⊥于K ，先利用勾股定理求出AC ，再分别求ABD S 和BCD S △；（2）先证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，最大值为对角线乘积的一半，再确定AC 的最大值，即可得到答案．【详解】解：（1）过D 作DK AB ⊥于K ，如图1，90ABC ∠=° ，4AB =，3BC =，5AC ∴=，四边形ABCD 是美好四边形，AD BD =，5AD BD AC ∴===，DK AB ⊥ ，122AK BK AB ∴===，在Rt ADK △中，DK1122ABD S AB DK ∴=⋅=×=△，1132322BCD S BC BK =⋅=××=△，3ABD BCD ABCD S S S ∴=+=△△四边形；（2）存在这样的点D ，满足AC BD =，且使得四边形ABCD 的面积最大，理由如下： 当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图2，过点D 作DM AC ⊥于M ，过点B 作BN AC ⊥于N ，则()12ACD ACB ABCD S S S AC DM BN =+=⋅+ 四边形， DM DO < ，BN BO <，DM BN BD ∴+<， 12ABCD S AC BD ∴<⋅四边形． 当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图3，则()1122ACD ACB ABCD S S S AC OD OB AC BD =+=⋅+=⋅ 四边形， ∴当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大． 点A 到湖泊的最近距离为500m ，E 的半径为200m ， ()500200700m AE ∴=+=，又200m CE = ，∴当A 、E 、C 依次共线时AC 最长，如图4，又AC BD ⊥时，21122ABCD S AC BD AC =⋅=四边形， ∴此时四边形ABCD 面积最大，此时()900m AC AE CE =+=，()22211900405000m 22ABCD S AC ∴==×=四边形， 故四边形ABCD 的面积最大为2405000m ．。
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷(测试范围：第1-2章)(北师大版)(解析版)
2024-2025年九年级数学上册第一次月考卷（测试范围：第1-2章）一、单选题1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．2210x y --=C ．()270x x x -+=D ．223x x -=A ．231416x æö+=ç÷èøB ．231248x æö-=ç÷èøC ．23148x æö+=ç÷èøD ．2311416x æö+-=-ç÷èø故选：A ．3．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，若3OA =，则BD 的长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．4．若关于x 的一元二次方程2(1)230k x kx k --+-=有实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．0k ≥B ．0k ≥且1k ¹C ．34k ≥D ．34k ≥且1k ¹5．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．()251182x +=B ．()()250501501182x x ++++=C ．()()2501501182x x +++=D ．()50501182x ++=【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据增长率的等量关系()21a x b +=，结合题意，列出方程即可．【解析】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x ，由题意，得：()()250501501182x x ++++=；故选B ．6．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ）A ．12B ．14C ．12或14D ．247．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线8cm 6cm AC DB DH AB ==^，，于点H ，则DH 的长为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．24cm 5D ．48cm 5【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出AB ，再根据菱形的面积计算公式即可求出DH ，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，13，，则AC的长是（）8．如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是()A．3B C D．413，，∵点B的坐标是()∴22=+=OB，1310∵四边形OABC是矩形，∴10AC OB==，故选：C．9．如图，在矩形ABCD 中，点F 是CD 上一点，连结BF ，然后沿着BF 将矩形对折，使点C 恰好落在AD 边上的E 处．若41AE ED =::，则EF BE的值为（ ）A ．4B ．3C ．13D10．如图，正方形ABCD 中，1AB =，点E 、F 分别在边BC CD 、上，45EAF Ð=°，连接AE EF AF 、、，下列结论：①BE DF EF +=；②AE 平分BEF Ð；③CEF △的周长为2；④CEF ABE ADF S S S =+△△△，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④【答案】B 【分析】延长CB 到T ，使得BT DF =，连接AT ,证明ADF ABT△≌△，EAF EAT △≌△，可判定①②，利用等量代换，可判③，利用面积公式解答即可，本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．【解析】延长CB 到T ，使得BT DF =，连接AT∵四边形ABCD 是正方形，∴90D ABE ABT Ð=Ð=Ð=°，AD AB =，∵DF BT ABT ADF AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴ADF ABT △≌△（SAS ），∴AF AT =，DAF BAT Ð=Ð，∴90FAT DAB Ð=Ð=°，∵45EAF Ð=°，∴45EAF EAT Ð=Ð=°，∵AF ABT TAE FAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，二、填空题11．已知()211350mm x x +-+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 ．【答案】1-【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x 的最高次幂为2，得出m 的值进而得出答案．【解析】解：由题意知：212m +=且10m -¹，解得1m =-，故答案为：1-．12．平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，要使平行四边形ABCD 是矩形请添加一个条件 ．【答案】AC BD =（答案不唯一）【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出答案，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键．【解析】解：要使平行四边形ABCD 是矩形，可添加的条件是AC BD =（对角线相等的平行四边形是矩形）【答案】25320x x +-=【解析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可．【解答】解：根据题意得：532a b c ===-,,，则该一元二次方程是25320x x +-=，故答案为：25320x x +-=．14．如图，已知四边形ABCD 是矩形，6AB =，点E 在AD 上，2DE =．若EC 平分BED Ð，则BC 的长为 ．【答案】10【分析】由矩形的性质可得AD BC ∥，AD BC =，由角平分线和平行线的性质可证BE BC =，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．【解析】解：EC Q 平分BED Ð，BEC CED \Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是矩形，AD BC \∥，AD BC =，DEC BCE \Ð=Ð，BEC BCE \Ð=Ð，BE BC \=，222BE AB AE =+Q ，2236(2)BC BC \=+-，10BC \=，故答案为：10．15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，2AB =，2AC =，则BD 的长为 ．∵两条纸条宽度相同，∴AE AF =，∵AB CD ∥，AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，16．已知a 是方程22202310x x -+=的一个根，则代数式220232121a a +++的值为 ．17．如图，ABCD 绕点C 顺时针旋转后得到正方形EFCG ， EF 交于点H ，则AH的长是 ．边长为的正方形按顺时针方向旋转后得到正方形30,DCG CFH \Ð=°Ð∴60DCF Ð=°，在 Rt CHF V 和 R t CHD V CH CH CF CD=ìí=î，18．定义：20cx bx a ++=是一元二次方程20ax bx c ++=的倒方程．则下列四个结论：①如果2x =是220x x c ++=的倒方程的解，则54c =-；②如果0ac <，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；③如果一元二次方程220ax x c -+=无解，则它的倒方程也无解；④如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。
数学月考试卷及答案初三
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -3D. 0.1010010001…2. 已知 a > 0，b < 0，那么下列不等式中正确的是（）A. a > bB. a < bC. -a < -bD. -a > -b3. 若 x^2 - 4x + 3 = 0，则 x 的值为（）A. 1 或 3B. -1 或 3C. 1 或 -3D. -1 或 -34. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5C. y = x^2 + 3x + 2D. y = 2x^2 + 3x - 15. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C 的度数是（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°6. 若 |x - 2| = 3，则 x 的值为（）A. -1 或 5B. 1 或 5C. -1 或 -5D. 1 或 -57. 下列各式中，是绝对值方程的是（）A. |x| + 2 = 3B. |x - 1| = 2C. |x + 1| = -3D. |x - 2| = 58. 若 a、b、c 是等差数列，且 a + b + c = 12，a + c = 8，则 b 的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 89. 已知 m、n、p 是等比数列，且 m + n + p = 24，m n p = 64，则 p 的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 1610. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5C. y = x^2 + 3x + 2D. y = 2/x + 3二、填空题（每题5分，共25分）11. 若 x + y = 5，xy = 6，则 x^2 + y^2 的值为 ________。
初三月考数学试卷带答案
一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √-4D. √0答案：A2. 下列等式中，正确的是（）A. 2x + 3 = 5x - 1B. 3x - 2 = 2x + 4C. 4x - 5 = 3x - 2D. 2x + 1 = 5x + 3答案：C3. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3x^2 - 2C. y = √xD. y = 4/x答案：A4. 已知函数y = 2x - 3，若x = 2，则y的值为（）A. -1B. 1C. 3D. 5答案：D5. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点是（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）答案：A6. 下列各组数中，存在反比例关系的是（）A. x = 2，y = 4B. x = 3，y = 6C. x = 5，y = 10D. x = 4，y = 8答案：D7. 一个长方形的长是10cm，宽是5cm，它的周长是（）A. 20cmB. 25cmC. 30cmD. 35cm答案：C8. 一个等腰三角形的底边长是8cm，腰长是6cm，那么这个三角形的面积是（）A. 24cm²B. 30cm²C. 36cm²D. 42cm²答案：C9. 若a > b > 0，则下列不等式中正确的是（）A. a + b > a - bB. a - b > a + bC. a - b > a - cD. a + b < a - c答案：A10. 已知一元二次方程x² - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2或3B. 1或4C. 2或1D. 3或4答案：A二、填空题（每题5分，共25分）11. 若x = 3，则2x - 1的值为______。
答案：512. 下列函数中，y = 3x - 2是一次函数，自变量x的取值范围是______。
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九年级数学月考题一、选择题（每题3分，共30分）1. 若2x ＝ - x , 且x <1，化简2122-+x x +xx 1+的结果是（ ） A 2x B -2x C -X 2 D X2 2.解方程（x + m ）2 = n ,正确的结论是（ ） A 有两个解：x = n ±B 当n> 0时，有两个解：x = n ±- mC 当n> 0时，有两个解：x = m n -±D 当n ≤0时，无实数解3.实数a ,b 满足（a +b ）2 + a + b – 2 = 0,则（a +b ）2 的值是（ ） A 4 B 1C -2或1D 4或14.如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿花坛间的小路走到长边中心O,再从中心O 走到正方形OCDF 的中心O 1，再从中心O 1走到正方形O 1GFH 的中心O 2,再从中心O 2走到正方形O 2IHJ 的中心O 3, 再从中心O 3走到正方形O 3KJP 的中心O 4一共走了312米，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）米A 36B 48C 60D 965.如图，AB 是半圆直径，C 、D 是半圆的三等分点，P 是直线AB 上一动点，则阴影部分的面积（ ）A 随P 点从左向右移动而变大B 不随P 点位置的变化而变化 C 随P 点从左向右移动而变小 D 无法确定面积变大或变小6.圆锥的母线长是3，底面半径为1，A 是底面圆周上一点，从点A 出发绕侧面一周再回到点A 的最短的路线长是（ ）A 63 B233 C 33 D 3 7.一个袋中有m 只红球，n 只黄球，它们除颜色不同外，其他均相同，则从中摸出一个球是红球的概率是（ ） An m B m n C n m m + D nm n + 8.已知抛物线y=x 2 +b x+ c 的部分图象如图所示 ，若y < 0,则x 的取值范围是（ ） A -1< x <4 B -1<x < 3C x<-1或x > 4D x<-1或x> 39.若二次函数y=ax 2 + c (a ≠0),当x 分别取x 1, x 2 (x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取 x 1+ x 2时，函数值为（ ） A a +c B a-cC -cD c10.如图，Rt △ABC 中，斜边AC 上有一动点D(不与点A 、C 重合)，过点D 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，则满足这样条件的直线共有（ ）条。
A 1 B 2C 3D 4二、填空题（每题3分，共30分） 11.若a ≠b ，把（b-a ）ba 1－根号外的因式移进根号内得（ ） 12.已知实数a 、b 满足等式a 2 - 2 a-1＝0，b 2 - 2 b-1＝0，则a b +ba的值是（ ） 13.某地区开展科技下乡活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训20万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率为x ，根据题意所列方程是（ ）14.如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF 交AD 于H,那么DH 的长为 （ ）15.如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆⊙O 1与AB 相切于点M,设⊙O 1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系式为（ ）（写出x 的取值范围）16.如图，在Rt ⊿ABC 中，∠A=90°, ⊙O 分别与AB 、AC 相切于点E 、F ，圆心O 在BC 上，若AB=a ，AC=b ，则⊙O 的 半径等于（ ）17.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机地摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）个。
18.函数y=x 2 +m x+2，若该函数图象与x 轴两交点间的距离为22，则抛物线的解析式为（ ）19.抛物线y=mx 2 -3 x+3m+ m 2经过原点，其顶点坐标为（ ） 20.如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于G ,则图中相似三角形共有（ ）对。
三、解答题 21.已知：x ＝2323+-，y ＝2323-+，求代数式3x 2 -5xy +3 y 2 的值（8分）22.某广告公司制作广告的收费标准是：以面积为单位，在不超过规定面积A （m 2）的范围内，每张广告收费1000元，如果超过A （m 2），则除了要交这1000元的基本广告费外，超过的部分还要按50 A/平方米缴费，下表是该公司对两家用户广告求A （23.如图，边长是1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，E 为切点，F 在AD 上，BE 是⊙O 的弦。
(1) 求△CDF 的面积。
(2) 求线段BE 的长。
（12分）24如图，按以下方法作图。
①以点O 为圆心，以任意长为半径作圆，分别交∠MON 的两边于A 、B,交射线OM 的反向延长线于点C.②连接CB.③以O 为顶点，OA 为一边作∠AOP=∠OCB;④过点A 作⊙O 的切线交射线OP 于点F,连接AB 交OP 于点E.(1) 根据上述作图，射线OP 是∠MON 的平分线吗？请说明理由。
(2) 若∠MON=60o ,OF=10。
求ＡＥ的长。
（１０分）25.阅读下面例题：例：在1，2，3，4，5，6，7这七个数中，任意取四个数字组成四位数，能组成偶数的概率是多少？解：组成的四位数的千位数字的可能有7种，百位数字可能有7种，十位数字可能有7种，个位数字的可能有7种。
所以共能组成7×7×7×7＝2401个不同的四位数。
能组成四位偶数的情况是：千位数字的可能有7种，百位数字的可能有7种，十位数字的可能有7种，个位数字的可能有3种；故能组成四位偶数共有7×7×7×3＝1029个。
所以组成的四位数是偶数的概率P ＝24011029=73根据以上信息，完成下面问题：用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的数字的数：（1） 组成六位数的可能性有多少种？ （2） 组成六位数是奇数的能性有多少种？ （3） 组成的六位数是奇数的概率是多少？26.已知抛物线y=x 2 +（k ＋1）x+43k （15分） （1）求证：此抛物线与x 轴总有两个不同的交点（2）设x 1、x 2是此抛物线与x 轴两个交点的横坐标，且满足x 12+x 22 = k 2+2.5.求此抛物线的解析式。
（3）点P 为（2）中抛物线的顶点，过点P 的直线与坐标轴围成的三角形的面积为1，求出所有符合要求的直线的解析式。
27.如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，E 为AB 上一点，且AE:EB=3:2, CD:DB=3:1,设AD 、CE 交于点P ，求PECP的值。
（10分）28.如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标是A(18,0)、B(18,6)、C(8,6)，四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动。
其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC,CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一个点也停止运动。
（1）求出直线QC的解析式（2）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t的取值范围。
（3）设从出发起，运动了t秒钟，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如果能，请求出t的值，如果不能，请说明理由。
（15分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CBDDBCCBDC二、11.-b a - 12. 2或-6 13.20+20（1+x ）+20（1+x ）2=9514.3 15. y= -4x 2+x （0<x<4） 16.ba ab+ 17.28 18. y=x 2+4x+2 或 y=x 2-4x+2 19（-0.5，0.75） 20.4三、21、289 22、4m 2 23、83、55224、（1）OP 是∠MON 的平分线 (2)235 25、（1）5×5×4×3×2×1＝600 （2）3×4×4×3×2×1＝288 （3）2512 26、(1)b 2-4ac ＝（k+0.5）2+3.75>0（2）y ＝x 2+x-0.75（3）y ＝（6+4）x+2+2或y ＝（6+4）x+2+2或y ＝-2x-2 27、5：1 28、（1）y ＝0.75x（2）当Ｑ点在ＯＣ上运动时，可设Ｑ（ｍ，ｍ），依题意有当Ｑ点在ＣＢ上时，Ｑ点所走过的路程为２ｔ， ∵ ＯＣ＝１０， ∴ ＣＱ＝２ｔ－１０， ∴ Ｑ点的横坐标为２ｔ－１０＋８＝２ｔ－２， ∴ Ｑ（２ｔ－２，６）， （５≤ｔ≤１０）.（3） ∵ 梯形ＯＡＢＣ的周长为４４，当Ｑ点在ＯＣ上时，Ｐ点运动的路程为ｔ，则Ｑ点运动的路程为（２２－ｔ），△ＯＰＱ中，ＯＰ边上的高为（２２－ｔ）×∴Ｓ△ＯＰＱ＝梯形ＯＡＢＣ＝依题意有整理得ｔ２－２２ｔ＋１４０＝０，∵b2－4ac＝（-２２）２－４×１４０＜０，∴这样的ｔ不存在，当Ｑ点在ＣＢ上时，Ｑ点走过的路程为２２－ｔ，∴ＣＱ的长为：２２－ｔ－１０＝１２－ｔ，∴这样的ｔ值也不存在．综上所述，不存在这样的ｔ值，使得Ｐ，Ｑ两点同时平分梯形的周长和面积。