§5.9复变函数的导数与解析函数
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复变函数的导数
（四）解析函数的判定 1. 函数可导性的判别
区域D内有定义 内有定义, 设 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) 在 区域 内有定义 z = x + i y 内任意一点， 处可导的充要条件是： 是D内任意一点，则 f ( z ) 在点 z 处可导的充要条件是： 内任意一点
例 5 判断下列函数是否解析
x (1) f ( z ) = z , (2) f ( z ) = e (cos y + i sin y ) , (3) f ( z ) = z Re( z ) .
2 2 例 6 讨论函数 f ( z ) = x + i y 的可导性和解析性 。
例7
设 f ( z ) = u( x, y ) + i v ( x, y )在区域D内解析,
2. 函数解析性的判别
区域D内解析的充要条件是 内解析的充要条件是: 函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) 在 区域 内解析的充要条件是 u ( x , y ) 、 v ( x , y ) 在 D 内处可微 , 且满足柯西 − 黎曼条件 。
二、复变函数的解析性
( 2) [ f ( z ) ⋅ g ( z )]′ = f ′( z ) ⋅ g ( z ) + f ( z ) ⋅ g ′( z ) ;
复变函数课件：2_2解析函数
f ( z + ∆z ) − f ( z ) Im( z + ∆z ) − Im z ∆f = = ∆z ∆z ∆z
Im z + Im ∆z − Im z Im ∆z = = ∆z ∆z
∆y Im( ∆x + i∆y ) , = = ∆ x + i∆ y ∆ x + i∆ y
当点沿平行于实轴的方 向( ∆y = 0)而使 ∆z → 0时,
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
2. 复函数的求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 数中导数的定义在形式上完全一致 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 数中的极限运算法则也和实变函数中一样 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 到复变函数中来 且证明方法也是相同的 求导公式与法则
∆y ∆f f ( z + ∆z ) − f ( z ) = lim = 0, lim = lim ∆ x → 0 ∆ x + i∆ y ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ∆y = 0
当点沿平行于虚轴的方 向( ∆x = 0)而使 ∆z → 0时,
1 ∆y f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f = lim = , lim = lim ∆ y → 0 ∆ x + i∆ y ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 i ∆z ∆x = 0
一章复变函数和解析函数
x e i 31 3 e i 3 1 3 e i 9 e m i 9 2 c o s 9 1 .8 8 ( m ) 21
1.2 复变函数及其导数 柯西—黎曼条件
1 复变函数及其导数 (1)初等解析函数
指数函数
这里的ex是实 指数函数
定义 设z x iy. 称ez e x (cos y i sin y)为z的指数函数.
注意 一般说来, z是一个无穷多值函数 . 当ln z 取主值 ln z时, z e ln z称为幂函数z 的主值;
2020/4/29
26
例1.4 求 (3)5和 21i 的 值 .
e 解 (3) 5 e 5ln(3)
5(ln3i2ki)
3 5 [c o s5 (2 k 1 ) is in5 (2 k 1 )],
z的 共轭复数记为 z,
若 z x iy , 则 z x iy . 例1.1 计算共轭复数 z x yi 与 z x yi 的积.
解 (xiy)(xiy)x2 (iy)2 x2y2.
结论：两个共轭复数的积是实数
即 ： zzz2 x2y2.
注意: 2020/4/29
z2(x2y2)i2xy
2020/4/29
3
复变函数论（theory of complex functions）的目的： 把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意
复变函数第二章
. 函数w = f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的
f (z)在区域D内可微.
如果函数 f (z)在区域D内处处可微, 则称
二、解析函数的概念
定义 如果函数ω =f ( z )在z0及z0的某一邻域内 处处可导,则称f ( z )在z0解析.
如果f ( z )在区域D内每一点都解析,那末称f ( z ) 是D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数).
Q f ( z ) =| z |2 = x 2 + y 2
∴u = x2 + y 2 , v = 0
u x = 2 x, u y = 2 y
(3) 下列函数中,为解析函数的是( C )
(A)x − y − 2 xyi
2 2
(B)x 2 + xyi
(C)2(x -1)y + i ( y 2 − x 2 + 2 x )
在点z可导
三、复变函数的导数公式
∂u ∂v +i f ′( z ) = ∂x ∂x
1 ∂u ∂v = + i ∂y ∂y
例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析.
1)ω = z 2) f ( z ) = e x (cos y + i sin y ) 3)ω = z Re( z )
例2 设函数f ( z ) = x 2 + axy + by 2 + i(cx 2 + dxy + y 2 ). 问常数a,b,c,d 取何值时，f ( z )在复平面内处处解析.
复变函数求导
复变函数求导
复变函数是由一个复数域映射到另一个复数域的关系。判断复变函数是否可导可导：u( x , y ) 和v ( x , y ) 在点( x, y ) 可微, 并且在该点满足柯西—黎曼方程。解析函数是复变函数在一个区域内可导。可用定义法计算复变函数在一点的导数或利用常见初等函数的导数以及导数的运算法则求导。柯西定理：已知一复变函数的原函数，可求其积分。柯西定理证明了若一正向封闭区域内（逆时针），若所积函数解析，则其积分为零。
复数函数求导公式：f’（z）=Ux（x，y）+iVx(x，y)。复函数导数的定义和实函数导数的定义是一样的。一般来说，复变函数的导数，没有实际的几何意义。
当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。
设Z=x+iy，函数f（Z）=u（x，y）+ iv（x，y），有
f'(Z)=u'(x) + iv'(x)
=u'(x) - iu'(y)
=v'(y) + iv'(x)
=v'(y) - iu'(y) (四个求导等式由柯西黎曼方程得出)
复变函数解析函数
g (z)
g2(z)
,(g (z)0 )
由以上讨论 P(z) a0 a1zanzn在整个复平面上导 处； 处 R(z) P(z)在复平面上（除0分 外母 ）为 处处可 . 导
Q(z)
6
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，
其中w=g(z)。
⑤ 反函数的导数
f
'(z)
1
当 z取 当 z取
纯 实虚 数 0时 0,时 数 趋 f,f趋 于 z z 1于 ;0; lzim0 fz
不
存
在 .
4
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
证明
对于复平面上任意一点z0，有
limlimzn z0n
zz0 z zz0 zz0
lim(zz0)(zn1 zz0
zn2z0 zz0
z0n1)
n
zn1
0
5
③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f(z)' f'(z)g (z)f(z)g '(z)
复变函数的导数与解析性
第八模块
第三节
复变函数
复变函数的导数与解析性
一、复变函数的导数 二、复变函数的解析性
一、复变函数的导数
（一）复变函数的导数的概念
当变量 设函 w f ( z)在包含 z0 的某区域 D 内有定义， z 在点 数 z0 处取得增量时，相应地，函数 f ( z ) 取得增量
w f ( z0 z) f ( z0 ) w lim 如果极限 存在。 则称 f ( z ) 在点 z0 处可导。 z 0 z
(3) [ f (z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) ] g( z) g 2 (z) ( g ( z ) 0) ;
(4) { f [ ( z)]} f (w) ( z) 其中 w ( z) ;
(5) f ( z ) 1 其 中 w f ( z ) 和 z ( w )是 (w)
此极限值称为 f ( z ) 在点 z0 处的导数。 记作 f ( z0 ) 或 w z z 0或
dw . dz z z0
即
f ( z0 ) lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) w lim z 0 z z 0 z
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
2 2 。 例 6 讨论函数 f (z) x i y 的可导性和解析性
第三节
复变函数
复变函数的导数与解析性
一、复变函数的导数 二、复变函数的解析性
一、复变函数的导数
（一）复变函数的导数的概念
当变量 设函 w f ( z)在包含 z0 的某区域 D 内有定义， z 在点 数 z0 处取得增量时，相应地，函数 f ( z ) 取得增量
w f ( z0 z) f ( z0 ) w lim 如果极限 存在。 则称 f ( z ) 在点 z0 处可导。 z 0 z
(3) [ f (z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) ] g( z) g 2 (z) ( g ( z ) 0) ;
(4) { f [ ( z)]} f (w) ( z) 其中 w ( z) ;
(5) f ( z ) 1 其 中 w f ( z ) 和 z ( w )是 (w)
此极限值称为 f ( z ) 在点 z0 处的导数。 记作 f ( z0 ) 或 w z z 0或
dw . dz z z0
即
f ( z0 ) lim
f ( z0 z ) f ( z0 ) w lim z 0 z z 0 z
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
2 2 。 例 6 讨论函数 f (z) x i y 的可导性和解析性
复变函数-解析函数
(3) 解析函数是以 f = 0为其特征。因此我们 z
说一个解析函数与z无关，而是z的函数
26
容易得到
在区域 D内解析的两个函数 f (z) 与 g(z)的和、 差、积、商(除去分母为零的点)在 D内解析.
设函数 h g(z) 在 z 平面上的区域 D内解析, 函数 w f (h) 在 h 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D内的每一个点z ,函数 g(z)的对应值h 都属 于 G , 那末复合函数w f [g(z)]在 D内解析.
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (7) v u2;
(6) Im[ f (z)] 常数; (8) arg f (z) 常数.
21
例5 试证函数f(z)=ln|z|+iargz 在角形域
-π<arg(z)<π解析，且在该区域内有f'(z)= 1.
z
解 由题意:u(x,y)= 1ln(x2 + y2 ),v(x, y)= arctan y(x >0),
v 2cx dy, x 欲使 u v ,
x y
v dx 2 y, y u v , y x
2x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
18
例3 如果 f(z) 在区域 D 内解析，且| f(z)| 是一个常数,
说一个解析函数与z无关，而是z的函数
26
容易得到
在区域 D内解析的两个函数 f (z) 与 g(z)的和、 差、积、商(除去分母为零的点)在 D内解析.
设函数 h g(z) 在 z 平面上的区域 D内解析, 函数 w f (h) 在 h 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D内的每一个点z ,函数 g(z)的对应值h 都属 于 G , 那末复合函数w f [g(z)]在 D内解析.
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (7) v u2;
(6) Im[ f (z)] 常数; (8) arg f (z) 常数.
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例5 试证函数f(z)=ln|z|+iargz 在角形域
-π<arg(z)<π解析，且在该区域内有f'(z)= 1.
z
解 由题意:u(x,y)= 1ln(x2 + y2 ),v(x, y)= arctan y(x >0),
v 2cx dy, x 欲使 u v ,
x y
v dx 2 y, y u v , y x
2x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
18
例3 如果 f(z) 在区域 D 内解析，且| f(z)| 是一个常数,
复变函数的可导与解析练习题.ppt
课件
（2） f (z) x y ixy
解 u( x, y) x y, v( x, y) xy，而
ux 1, uy 1, v x y, v y x ux , uy , v x , v y 在复平面上处处连续，但仅在 x 1, y 1时满足C R条件 f (z)在 z 1 i 处可导，在复平面上 处处 不解析.
课件
定义3
如果函数 f z在 z0及其某个邻域内处处可导, 则称 f z在z0解析, 或称 z0是 f z的解析点; 若f z在D内处处解析,则称f z在D内解析, 或称f z是D内的一个解析函数. 如果 f z在 z0不解析, 那末称z0为f z的奇点.
f (z)在区域D内解析 f (z)在区域D内可导
x x y y
课件
证 (必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
f (z0 )
lim
z 0
f z0
z
z
f z0
f z0 z f z0 f (z0 )z z
(其中lim 0) z 0
设 f (z0 ) a ib, 1 i 2 , z x iy，
则f z0 z f z0 u iv
(
x0
,
y
）
0
连
续
（lim f (z) f (z0 )） （ lim u( x, y) u( x0 , y0 ),
（2） f (z) x y ixy
解 u( x, y) x y, v( x, y) xy，而
ux 1, uy 1, v x y, v y x ux , uy , v x , v y 在复平面上处处连续，但仅在 x 1, y 1时满足C R条件 f (z)在 z 1 i 处可导，在复平面上 处处 不解析.
课件
定义3
如果函数 f z在 z0及其某个邻域内处处可导, 则称 f z在z0解析, 或称 z0是 f z的解析点; 若f z在D内处处解析,则称f z在D内解析, 或称f z是D内的一个解析函数. 如果 f z在 z0不解析, 那末称z0为f z的奇点.
f (z)在区域D内解析 f (z)在区域D内可导
x x y y
课件
证 (必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
f (z0 )
lim
z 0
f z0
z
z
f z0
f z0 z f z0 f (z0 )z z
(其中lim 0) z 0
设 f (z0 ) a ib, 1 i 2 , z x iy，
则f z0 z f z0 u iv
(
x0
,
y
）
0
连
续
（lim f (z) f (z0 )） （ lim u( x, y) u( x0 , y0 ),
复变函数解析函数求导公式
复变函数解析函数求导公式
复变函数解析函数求导公式是复变函数微分的一般公式，用于计算和表达复合函数的导数。在复变函数中，解析函数是指在一些区域内处处可导的函数，即函数在该区域内处处满足解析性质。对于解析函数而言，存在一套独立的求导规则，使得我们能够轻松地对解析函数进行求导。
设函数 f(z) 是复变量 z 的解析函数，z = x + yi 是复平面上的复数，其中 x 和 y 是实数。对于区域内的任意一点 z0 = x0 + y0i，我们可以求出 f(z) 在该点处的导数。导数的定义是函数的变化率，在复平面上的导数包含两个部分：实部的变化率和虚部的变化率。
实部的导数定义为：
f'(z0) = lim (h→0) [Re(f(z0 + h)) - Re(f(z0))] / h
虚部的导数定义为：
f'(z0) = lim (h→0) [Im(f(z0 + h)) - Im(f(z0))] / h
其中h是一个无穷小量，表示趋近于零的实数。
为了将复变函数的导数表达出来，我们可以使用偏导数来计算实部和虚部的导数。偏导数表示在所有其他变量固定的情况下函数沿一些特定方向的变化率。
设 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 是复变函数的实虚分解，其中 u(x, y) 是实部，v(x, y) 是虚部。我们可以使用偏导数来计算实部和虚部的导数：
Re(f'(z))=∂u/∂x+i∂v/∂x
Im(f'(z))=∂u/∂y-i∂v/∂y
其中i是虚数单位。通过这个公式，我们可以将实部和虚部的导数表达出来。
这个公式的推导是基于 Cauchy-Riemann 方程，它是解析函数必须满足的一组条件。Cauchy-Riemann 方程的表达式为：
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数
专业：工程力学 姓名：李小龙 学号：10110756
在此仅对基础知识加以总结归纳。
一、 基本概念
1、 复数 指数表示：
cos sin ,i i e i z re r z Argz
θθ
θθθ=+===
宗量：一个函数的自变量是一个复杂的对象，这是通常称为宗量。
若θ是z 的辐角，则2n θπ+也是其辐角，其中,n Z Z ∈是整数集合，若限制
2θπ≤<，所得的单值分支称为主值分支，记作argz 。 做球面与复平面相切于原点O ，过O 点作直线OZ 垂直于复平面，与球面交于N ，即球的北极。
设z 是任意复数，连接Nz ，与复球面交于P ，z 与P 一一对应，故复数也可用球面上的点P 表示，该球面称为复球面。
当,z P N →∞→，作为N 的对应点，我们把复平面上无穷远点当做一点，记作∞，包括∞的复平面称为扩充复平面。
2、 复变函数
领域：由等式0z z ε-
区域：非空点集D 若满足：一、D 是开集，二、D 是连通的，即D 中任意两点均可以用全属于D 的折线连接。则我们称D 为区域。
单通与复通区域：在区域D 内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D,则D 称为单通区域，否则称为复通区域。
复变函数：以复数为自变量的函数。记 ,z x iy w u iv =+=+ 则：
()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+
所以一个复变函数等价于两个二元实变函数。它给出了z 平面到w 平面的映射或变换。
复变函数的连续性： 如果0
0lim ()()z z f z f z →=
则称()f z 在0z 处连续。
复变函数的导数和解析性
复变函数的导数和解析性
复变函数是指输入和输出都是复数的函数。在复变函数中，导数是
一个重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率和切线方向。导
数的计算方法与实变函数的导数有所不同，需要使用复数的共轭以及
极限的概念。
一、复变函数的导数
设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是一个复变函数，其中u(x, y)和v(x, y)分别表示f(z)的实部和虚部，z = x + iy表示复平面上的点。如果f(z)在点z
= z0处存在导数，则导数的定义为：
f'(z0) = lim┬(Δz→0)〖(f(z0+Δz)-f(z0))/Δz 〗
其中Δz = Δx + iΔy，Δx和Δy分别表示实部和虚部的增量。
根据导数的定义，我们可以推导出复函数导数的性质：
1. 导数的唯一性：如果f(z)在某一点存在导数，则该点的导数是唯
一的。
2. 复线性：如果f(z)和g(z)在某一点都存在导数，则(f+g)'(z) = f'(z)
+ g'(z)。
3. 复合函数导数：如果f(z)和g(z)分别在对应的区域上都存在导数，则复合函数(f∘g)(z)的导数可以通过链式法则计算。
4. 共轭函数导数：如果f(z)在某一点存在导数，则其共轭函数f^*(z)的导数为[f'(z)]^*。
二、复变函数的解析性
解析性是指函数在某一区域内可以展开成幂级数的性质。对于复变
函数而言，解析性与导数的存在紧密相关。
如果一个函数f(z)在某一区域D内处处可导，并且在该区域内的导
数连续，那么我们称f(z)在区域D内为解析函数。换句话说，解析函
复变函数的可导与解析2010
iθ
= ( re
iθ
) = r (cos n θ + i sin n θ )
n n
数 方 ： 复 的 根
设 z = re 为ω =
n
= r (cos θ + i sin θ ), 则 z 的 n 次方根
1 n
z = r (cos
θ + 2kπ
n ( k = 0 ,1 , 2 , L n − 1 )
+ i sin
∂u ∂v ∂v ∂u +i = −i ∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂v ∂x = ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y
柯西－黎曼 柯西－黎曼(Cauchy-Riemann)方程 方程
理 （ 导 必 条 ） 定 9.1 可 的 要 件
上有定义， 设复变函数f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域D上有定义， 处可导， 且在点z0 = x0 + iy0 ∈ D 处可导，则二元函数 u( x , y ), ∂u ∂u ∂v ∂v v ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 处有偏导数 ， ， ， ，且满足 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂v ∂v ∂u C − R条件： = ， = − . 条件： ∂x ∂y ∂x ∂y
iθ
指数表示法） （指数表示法）
wenku.baidu.com
= ( re
iθ
) = r (cos n θ + i sin n θ )
n n
数 方 ： 复 的 根
设 z = re 为ω =
n
= r (cos θ + i sin θ ), 则 z 的 n 次方根
1 n
z = r (cos
θ + 2kπ
n ( k = 0 ,1 , 2 , L n − 1 )
+ i sin
∂u ∂v ∂v ∂u +i = −i ∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂v ∂x = ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y
柯西－黎曼 柯西－黎曼(Cauchy-Riemann)方程 方程
理 （ 导 必 条 ） 定 9.1 可 的 要 件
上有定义， 设复变函数f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域D上有定义， 处可导， 且在点z0 = x0 + iy0 ∈ D 处可导，则二元函数 u( x , y ), ∂u ∂u ∂v ∂v v ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 处有偏导数 ， ， ， ，且满足 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂v ∂v ∂u C − R条件： = ， = − . 条件： ∂x ∂y ∂x ∂y
iθ
指数表示法） （指数表示法）
wenku.baidu.com
5.9 复变函数的导数与解析函数
z 0
f z z (n 为正整数 ) 的导数.
n
2 n2 lim nz n 1 C n z z z n 1
z
n
nz
n 1
nz
n 1
求导公式: c 0
f z g z f z g z
复数的乘幂：
设 z rei r (cos i sin ), 则 z 的n次幂为 z (re ) r e
n n i n in
r (cos n i sin n )
n
复数的方根：
设 z rei r (cos i sin ), 则方程 n z的根 称为 z 的n次方根。
1 n
n
z r (cos
2 k
n
i sin
2 k
n
)
( k 0,1, 2,
n 1)
二. 复变函数
复变函数 ： f : z x iy w u iv
xy平面上的点集 uv平面上的点集 w f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )
如例2 中，f ( z ) z x iy , u ( x, y) x, v( x, y) y u u v v u v v u 1, 0, 0, 1 , x y x y x y x y 处处不可导。
f z z (n 为正整数 ) 的导数.
n
2 n2 lim nz n 1 C n z z z n 1
z
n
nz
n 1
nz
n 1
求导公式: c 0
f z g z f z g z
复数的乘幂：
设 z rei r (cos i sin ), 则 z 的n次幂为 z (re ) r e
n n i n in
r (cos n i sin n )
n
复数的方根：
设 z rei r (cos i sin ), 则方程 n z的根 称为 z 的n次方根。
1 n
n
z r (cos
2 k
n
i sin
2 k
n
)
( k 0,1, 2,
n 1)
二. 复变函数
复变函数 ： f : z x iy w u iv
xy平面上的点集 uv平面上的点集 w f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )
如例2 中，f ( z ) z x iy , u ( x, y) x, v( x, y) y u u v v u v v u 1, 0, 0, 1 , x y x y x y x y 处处不可导。
2-1,2复变函数的导数和解析函数
第一、二节 复变函数的导数 解析函数
一、复变函数的导数与微分 二、函数在一点可导的充要条件 三、解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D, z0 为D 中的一 点, 点 z0 z 不出 D 的范围,
f ( z0 z ) f ( z0 ) 如果极限 lim 存在, z 0 z 那末就称 f ( z ) 在z0可导.这个极限值称为 f ( z ) 在 z0
式中 lim ( z ) 0, ( z )z 是 z 的高阶无穷
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分. f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分,
记作
dw f ( z0 ) z .
即函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在点 z x yi 可导.
u v f ( z ) i x x
[证毕]
19
三、解析函数的概念
1. 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导, 那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
2 2
lim ( 2 z z ) 2z .
z 0
( z 2 ) 2 z
一、复变函数的导数与微分 二、函数在一点可导的充要条件 三、解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D, z0 为D 中的一 点, 点 z0 z 不出 D 的范围,
f ( z0 z ) f ( z0 ) 如果极限 lim 存在, z 0 z 那末就称 f ( z ) 在z0可导.这个极限值称为 f ( z ) 在 z0
式中 lim ( z ) 0, ( z )z 是 z 的高阶无穷
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分. f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分,
记作
dw f ( z0 ) z .
即函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在点 z x yi 可导.
u v f ( z ) i x x
[证毕]
19
三、解析函数的概念
1. 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导, 那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
2 2
lim ( 2 z z ) 2z .
z 0
( z 2 ) 2 z
复变函数 _第3讲
z 0
z 0
lim
( x x ) 2 ( y y ) i x 2 yi z
x 2 yi x yi
z
o
z 0
y
lim
y 0
x
z 0
设 z z 沿着平行于
x 轴的直线趋向于
z，
8
z 0
lim
x 2 yi x yi
23
证
(1) 必要性.
D 内,
设 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) 定义在区域 且 f ( z ) 在 D 内一点 z x yi 可导 ,
则对于充分小的 z x i y 0,
有 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,
x
9
2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证
根据在 z 0 可导的定义
0, 0,
,
使得当 0 | z | 时 ,
有
f ( z0 z ) f ( z0 ) z
4
例1 解
求 f ( z ) z 的导数 .
2
f ( z ) lim
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注：（1） Lnz为无穷多值函数。对应于每个固定的k， 可确定的一个单值分支，记为(Lnz) .当Argz 取主值
k
arg z时，相应的对数称为Lnz的主值，记为ln z，即 ln z ln z i arg z Lnz 的主值支 Lnz ln z 2ki (k 0,1,2,)
（2） 正实数的对数主值就是实对数函数 lnx(x 0) (3) “负数无对数”的说法在复变函数中不成立。
z z0
( x, y )( x0 , y0 )
lim v( x, y) v( x0, y0 )
( x, y)( x0 , y0 )
因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限，连续 的性质。
一. 复变函数的导数
定义1 设复变函数 f 在 Nz0 内有定义,如果极限
lim w
z0 z
lim z 0
f z0
z
z
f z0
存在,则称函数 f 在 z 0 处可导,并称此极限值为
f 在点 z 0处的导数,记为 f z0 ,即
f z0 lim z 0
f z0
z
z
f z0
或记为
dw ,
dz z z0
w z z0
若函数 f (z) 在区域 D 内的每一点都可导,则称 f (z) 在 D 内可导.
5.9 复变函数的导数与解析函数
复变函数 ：
设D C，f是定义在D上的复变函数， f:D C, z x iy w f (z) u iv xy平面上的点集 uv平面上的点集 w f (z) u(x, y) iv(x, y)
一个复变函数 二个二元实函数
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变 函数的极限，连续。
u , u , v , v 在D 内连续 x y x y
例4 判断下列函数何处可导？何处解析？ （1） f (z) ex (cosy i sin y)
解 u(x, y) e x cos y, v(x, y) e x sin y，而 u x e x cos y, u y e x sin y, vx e x sin y, v y e x cos y
z
2
2i
代入w u(x, y) iv(x, y)，则w为z与z的函数。
w w x w y z x z y z
(u x
ivx )
1 2
(u y
ivy )(
1) 2i
1 2
(u x
vy )
i 2
(u y
vx )
C R条件
0
三 初等函数
1. 指数函数 性质：
w ez ex (cos y i sin y)
函数的极限。
设f(z)在 z0 可导，即极限
lim
z0
w z
lim
z0
f z0
z
z
f z0
存在.
意味着z以任何方式趋于零时，上面的极限有确定的极限值。
当z沿实轴趋于零，即 y 0, z x 0时，有
lim f z0 z f z0
z x0
z
Байду номын сангаас
lim
ux0 x, y0 ivx0 x, y0 ux0 , y0 ivx0 , y0
C
R条
件
ux
x
v
x
y
i（v
x
x
ux
y
)
o(
(x)2 (y)2 )
x iy
(ux ivx )(x iy) o( (x)2 (y)2 ) x iy
w lim z0 z
ux
ivx
f (z)在 z0 可导.
定义2 若函数f (z)在点z0及z0的某邻域内可导， 则称f (z)在点z0解析。若函数f (z)在区域D内的 任一点处解析，则称f (z)在D内解析或f (z)为D 内的解析函数。 f (z)在 z0处不解析，则称z0为f (z)的奇点。 若z0为f (z)的奇点，问能否推出f (z)在 z0处不可导？
u uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) v vxx vyy o( (x)2 (y)2 )
w u iv z x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx vyy o( (x)2 (y)2 )] x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx v yy o( (x)2 (y)2 )] x iy
lim f z z f z lim z z z
z 0
z
z 0
z
lim z lim x iy z0 z (x,y)(0,0) x iy
而 lim x iy lim iy 1 x0 x iy y0 iy
y0
可导必 连续,连 续不一 定可导
lim x iy lim x 1
y0 x iy x0 x
lim lim f z f 0
k (x)2
k
z(1ki )x0
z
x0 (1 ki)x 1 ki
lim
z 0
f z
z
f 0
不存在
f (z) 在 z 0 不可导。
例 3 说明C R条件不是复变函数可导的充分条件
定理（ 2 可导的充要条件）
设复变函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D上有定义， 则f (z)在点z0 x0 iy0 D处可导
在复平面上处处连续，且满足C R条件， f (z)在复平面上处处可导，处处 解析，且
f (z) ux ivx e x (cos y i sin y) f (z)
（2） f (z) x y ixy
解 u(x, y) x y, v(x, y) xy，而 ux 1, u y 1, vx y, vy x
v bx ay 2x 1y
而 lim 1x 2y 0, lim 2x 1y 0
x0 y0
(x)2 (y)2
x0 y0
(x)2 (y)2
u(x, y),v(x, y)在点 (x0 , y0 ) 处可微 u(x, y),v(x, y)在(x0 , y0 ) 处满足C R条件,前已证得。 (充分性） u(x, y), v(x, y)在点 (x0 , y0 ) 处可微
(2) ez ex 0, (ez ) ez 0
2. 对数函数
w Lnz ln z iArg z ln z i(arg z 2k )
(对数函数为指数函数 的 反函数. 设 z e w , w u iv, z rei， 则 euiv rei
r eu , v 2k u ln r ln z , v Argz)
f (z0 )
lim
z0
f z0
z
z
f z0
f z0 z
f z0
f
(
z0
)z
z( lim z0
0)
设 f (z0 ) a ib, 1 i2, z x iy，则
f z0 z f z0 u iv
(a ib)(x iy) (1 i2 )(x iy)
ax by 1x 2y i(bx ay 2x 1y) u ax by 1x 2y
x0
x
u i v x x
当z沿虚轴趋于零，即 x 0, z iy 0时，有
lim f z0 z f z0
ziy0
z
lim
ux0 , y0 y ivx0 , y0 y ux0 , y0 ivx 0 , y0
y0
iy
v i u y y
u i v x x v i u
y y
g z
(gz
0)
f (gz) f (g(z)) g z
f (z) 1 (z (w), w f (z)互为反函数， (w) 且(w) 0)
需要注意的是，复变函数的导数定义与一元实函数的
导数定义，虽然形式上一样，但在本质上有很大的不
同。因为一元实函数导数定义中的极限是一元实函数
的极限，而复变函数导数定义中的极限对应于二元实
C R条件：u v ，v u . x y x y
如例2中，f (z) z x iy,u(x, y) x,v(x, y) y
u 1, u 0, v 0, v 1 u v , v u
x y x y
x y x y
处处不可导。
例3 证明：f (z) Re z Im z 在 z 0满足C R条件， 但不可导。
例如：
极限 lim f (z) lim u( x, y) iv( x, y)
zz0
( x, y)( x0 , y0 )
u0 iv0 w0
f (z)在 z0连续
u( x, y)，v( x, y)在( x0 , y0）连续
（lim f (z) f (z0 )） （ lim u( x, y) u( x0 , y0 ),
（1） e z e x , Arge z y 2k
(2) (3)
e e z1 z2 e z1 z2 , e z1 e z1 z2 e z2
周期性：e z2ki e z
(4) 处处解析，且有 (e z ) e z
注：(1）y 0 w ex (实指数函数)
x 0 w eiy cos y i sin y (Euler公式)
ux ,u y , vx , vy在复平面上处处连续，但仅在 x 1, y 1时满足C R条件 f (z)在 z 1 i 处可导，在复平面上处处 不解析.
（3） f (z) x 2 iy
解 u(x, y) x2 , v(x, y) y，而 ux 2x,u y 0, vx 0, vy 1
x0
lim f z z f z lim x iy
z 0
z
(x,y)(0,0) x iy
不存在，因而f z z在复平面上处处不可导
求导公式:
c 0
z n nz n1
f z gz f z gz
f zgz f zg(z) f (z)gz
f z g z
f
(z)gz f z g 2 z
ux ,u y , vx , vy在复平面上处处连续，但仅在直线 x 1 上满足C R条件
2 f (z)在直线 x 1 上 可导，在复平面上处处不解析.
2
例5 证明：如果 w u(x, y) iv(x, y)为解析函数，
那么w必与z无关，可以单独用 z来表示。
证明：即证 w 0.将x 1 (z z ), y 1 (z z )
如 ln( 1) ln 1 i arg(1) i Ln(1) ln( 1) 2ki (2k 1)i
解析点一定是可导点，反之可导点未必是解析点。
如例2中的 f (z) z 处处不可导，因而处处 不解析。
例3中的 f (z) Re z Im z 在 z 0处不可导，因而 在 z 0处不解析。
f (z)在区域D内解析 f (z)在区域D内可导
由定理2即得：
定理3 函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D内解析 （1）二元函数u(x, y),v(x, y)在D内任一点处可微； （2）u(x, y),v(x, y)在D内任一点处满足C R条件： u v ，v u . x y x y
u x
v y
(C R
v
u
方程）
x y
定理（1 可导的必要条件）
设复变函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D上有定义，
且在点z0 x0 iy0 D 处可导，则二元函数u(x, y),
v(x, y)在点
(x0, y0 )
处存在偏导数 u ，u ，v ，v ，且满足 x y x y
证：f (z) Re z Im z xy ,
u(x, y) xy , v(x, y) 0
ux (0,0)
lim
x0
u ( x,0)
u(0,0) x
0
vy (0,0)
uy
(0,0)
lim
y0
u(0,
y)
y
u(0,0)
0
vx (0,0)
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
例1. 求 f z z n (n 为正整数 ) 的导数.
解: f z lim f z z f z
z 0
z
lim z z n z n
z 0
z
lim
z 0
nz n1
C
2 n
z
n2
z
z n1
nz n1
z n nz n1
例2 讨论 f (z) z 的连续性与可导性。 解 f (z) z x iy 在复平面处处连续
（1）二元函数u(x, y),v(x, y)在点 (x0, y0 ) 处可微； （2）u(x, y),v(x, y)在点 (x0, y0 ) 处满足C R条件：
u v ，v u . x y x y
u x
,
u y
,
v x
,
v y
在
(
x0
,
y0
)
处连续
证 (必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
k
arg z时，相应的对数称为Lnz的主值，记为ln z，即 ln z ln z i arg z Lnz 的主值支 Lnz ln z 2ki (k 0,1,2,)
（2） 正实数的对数主值就是实对数函数 lnx(x 0) (3) “负数无对数”的说法在复变函数中不成立。
z z0
( x, y )( x0 , y0 )
lim v( x, y) v( x0, y0 )
( x, y)( x0 , y0 )
因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限，连续 的性质。
一. 复变函数的导数
定义1 设复变函数 f 在 Nz0 内有定义,如果极限
lim w
z0 z
lim z 0
f z0
z
z
f z0
存在,则称函数 f 在 z 0 处可导,并称此极限值为
f 在点 z 0处的导数,记为 f z0 ,即
f z0 lim z 0
f z0
z
z
f z0
或记为
dw ,
dz z z0
w z z0
若函数 f (z) 在区域 D 内的每一点都可导,则称 f (z) 在 D 内可导.
5.9 复变函数的导数与解析函数
复变函数 ：
设D C，f是定义在D上的复变函数， f:D C, z x iy w f (z) u iv xy平面上的点集 uv平面上的点集 w f (z) u(x, y) iv(x, y)
一个复变函数 二个二元实函数
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定义复变 函数的极限，连续。
u , u , v , v 在D 内连续 x y x y
例4 判断下列函数何处可导？何处解析？ （1） f (z) ex (cosy i sin y)
解 u(x, y) e x cos y, v(x, y) e x sin y，而 u x e x cos y, u y e x sin y, vx e x sin y, v y e x cos y
z
2
2i
代入w u(x, y) iv(x, y)，则w为z与z的函数。
w w x w y z x z y z
(u x
ivx )
1 2
(u y
ivy )(
1) 2i
1 2
(u x
vy )
i 2
(u y
vx )
C R条件
0
三 初等函数
1. 指数函数 性质：
w ez ex (cos y i sin y)
函数的极限。
设f(z)在 z0 可导，即极限
lim
z0
w z
lim
z0
f z0
z
z
f z0
存在.
意味着z以任何方式趋于零时，上面的极限有确定的极限值。
当z沿实轴趋于零，即 y 0, z x 0时，有
lim f z0 z f z0
z x0
z
Байду номын сангаас
lim
ux0 x, y0 ivx0 x, y0 ux0 , y0 ivx0 , y0
C
R条
件
ux
x
v
x
y
i（v
x
x
ux
y
)
o(
(x)2 (y)2 )
x iy
(ux ivx )(x iy) o( (x)2 (y)2 ) x iy
w lim z0 z
ux
ivx
f (z)在 z0 可导.
定义2 若函数f (z)在点z0及z0的某邻域内可导， 则称f (z)在点z0解析。若函数f (z)在区域D内的 任一点处解析，则称f (z)在D内解析或f (z)为D 内的解析函数。 f (z)在 z0处不解析，则称z0为f (z)的奇点。 若z0为f (z)的奇点，问能否推出f (z)在 z0处不可导？
u uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) v vxx vyy o( (x)2 (y)2 )
w u iv z x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx vyy o( (x)2 (y)2 )] x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx v yy o( (x)2 (y)2 )] x iy
lim f z z f z lim z z z
z 0
z
z 0
z
lim z lim x iy z0 z (x,y)(0,0) x iy
而 lim x iy lim iy 1 x0 x iy y0 iy
y0
可导必 连续,连 续不一 定可导
lim x iy lim x 1
y0 x iy x0 x
lim lim f z f 0
k (x)2
k
z(1ki )x0
z
x0 (1 ki)x 1 ki
lim
z 0
f z
z
f 0
不存在
f (z) 在 z 0 不可导。
例 3 说明C R条件不是复变函数可导的充分条件
定理（ 2 可导的充要条件）
设复变函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D上有定义， 则f (z)在点z0 x0 iy0 D处可导
在复平面上处处连续，且满足C R条件， f (z)在复平面上处处可导，处处 解析，且
f (z) ux ivx e x (cos y i sin y) f (z)
（2） f (z) x y ixy
解 u(x, y) x y, v(x, y) xy，而 ux 1, u y 1, vx y, vy x
v bx ay 2x 1y
而 lim 1x 2y 0, lim 2x 1y 0
x0 y0
(x)2 (y)2
x0 y0
(x)2 (y)2
u(x, y),v(x, y)在点 (x0 , y0 ) 处可微 u(x, y),v(x, y)在(x0 , y0 ) 处满足C R条件,前已证得。 (充分性） u(x, y), v(x, y)在点 (x0 , y0 ) 处可微
(2) ez ex 0, (ez ) ez 0
2. 对数函数
w Lnz ln z iArg z ln z i(arg z 2k )
(对数函数为指数函数 的 反函数. 设 z e w , w u iv, z rei， 则 euiv rei
r eu , v 2k u ln r ln z , v Argz)
f (z0 )
lim
z0
f z0
z
z
f z0
f z0 z
f z0
f
(
z0
)z
z( lim z0
0)
设 f (z0 ) a ib, 1 i2, z x iy，则
f z0 z f z0 u iv
(a ib)(x iy) (1 i2 )(x iy)
ax by 1x 2y i(bx ay 2x 1y) u ax by 1x 2y
x0
x
u i v x x
当z沿虚轴趋于零，即 x 0, z iy 0时，有
lim f z0 z f z0
ziy0
z
lim
ux0 , y0 y ivx0 , y0 y ux0 , y0 ivx 0 , y0
y0
iy
v i u y y
u i v x x v i u
y y
g z
(gz
0)
f (gz) f (g(z)) g z
f (z) 1 (z (w), w f (z)互为反函数， (w) 且(w) 0)
需要注意的是，复变函数的导数定义与一元实函数的
导数定义，虽然形式上一样，但在本质上有很大的不
同。因为一元实函数导数定义中的极限是一元实函数
的极限，而复变函数导数定义中的极限对应于二元实
C R条件：u v ，v u . x y x y
如例2中，f (z) z x iy,u(x, y) x,v(x, y) y
u 1, u 0, v 0, v 1 u v , v u
x y x y
x y x y
处处不可导。
例3 证明：f (z) Re z Im z 在 z 0满足C R条件， 但不可导。
例如：
极限 lim f (z) lim u( x, y) iv( x, y)
zz0
( x, y)( x0 , y0 )
u0 iv0 w0
f (z)在 z0连续
u( x, y)，v( x, y)在( x0 , y0）连续
（lim f (z) f (z0 )） （ lim u( x, y) u( x0 , y0 ),
（1） e z e x , Arge z y 2k
(2) (3)
e e z1 z2 e z1 z2 , e z1 e z1 z2 e z2
周期性：e z2ki e z
(4) 处处解析，且有 (e z ) e z
注：(1）y 0 w ex (实指数函数)
x 0 w eiy cos y i sin y (Euler公式)
ux ,u y , vx , vy在复平面上处处连续，但仅在 x 1, y 1时满足C R条件 f (z)在 z 1 i 处可导，在复平面上处处 不解析.
（3） f (z) x 2 iy
解 u(x, y) x2 , v(x, y) y，而 ux 2x,u y 0, vx 0, vy 1
x0
lim f z z f z lim x iy
z 0
z
(x,y)(0,0) x iy
不存在，因而f z z在复平面上处处不可导
求导公式:
c 0
z n nz n1
f z gz f z gz
f zgz f zg(z) f (z)gz
f z g z
f
(z)gz f z g 2 z
ux ,u y , vx , vy在复平面上处处连续，但仅在直线 x 1 上满足C R条件
2 f (z)在直线 x 1 上 可导，在复平面上处处不解析.
2
例5 证明：如果 w u(x, y) iv(x, y)为解析函数，
那么w必与z无关，可以单独用 z来表示。
证明：即证 w 0.将x 1 (z z ), y 1 (z z )
如 ln( 1) ln 1 i arg(1) i Ln(1) ln( 1) 2ki (2k 1)i
解析点一定是可导点，反之可导点未必是解析点。
如例2中的 f (z) z 处处不可导，因而处处 不解析。
例3中的 f (z) Re z Im z 在 z 0处不可导，因而 在 z 0处不解析。
f (z)在区域D内解析 f (z)在区域D内可导
由定理2即得：
定理3 函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D内解析 （1）二元函数u(x, y),v(x, y)在D内任一点处可微； （2）u(x, y),v(x, y)在D内任一点处满足C R条件： u v ，v u . x y x y
u x
v y
(C R
v
u
方程）
x y
定理（1 可导的必要条件）
设复变函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D上有定义，
且在点z0 x0 iy0 D 处可导，则二元函数u(x, y),
v(x, y)在点
(x0, y0 )
处存在偏导数 u ，u ，v ，v ，且满足 x y x y
证：f (z) Re z Im z xy ,
u(x, y) xy , v(x, y) 0
ux (0,0)
lim
x0
u ( x,0)
u(0,0) x
0
vy (0,0)
uy
(0,0)
lim
y0
u(0,
y)
y
u(0,0)
0
vx (0,0)
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
例1. 求 f z z n (n 为正整数 ) 的导数.
解: f z lim f z z f z
z 0
z
lim z z n z n
z 0
z
lim
z 0
nz n1
C
2 n
z
n2
z
z n1
nz n1
z n nz n1
例2 讨论 f (z) z 的连续性与可导性。 解 f (z) z x iy 在复平面处处连续
（1）二元函数u(x, y),v(x, y)在点 (x0, y0 ) 处可微； （2）u(x, y),v(x, y)在点 (x0, y0 ) 处满足C R条件：
u v ，v u . x y x y
u x
,
u y
,
v x
,
v y
在
(
x0
,
y0
)
处连续
证 (必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有