第二讲 质点的运动微分方程
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质点运动微分方程
动力学的主要任务（解决的基本问题）： 第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；
第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。
解决动力学两类基本问题的途径：
• 直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程； • 综合应用动力学普遍定理； • 应用达朗伯定理。 • 应用动力学普遍方程和拉格朗日方程。
Tmax 1.85G
v
式中G前的系数即动荷系数。
例题4 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。 解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
mM F f 2 x mM mg f R2 mgR 2 F x2
F1
Fi M FR
Fn a
k
i x o j
r
i 1
n d 2x m 2 Fxi m x dt i 1
y
m m y
d y Fyi 2 dt i 1
2
n
直角坐标形式的质点运动微分方程
n d 2z m 2 Fzi m z dt i 1
2.质点运动微分方程在自然轴上的投影
x
v
2 gR 2 (v 0 2 gR) x
2
可见，v 随着 x 的增加而减小。若 v02 2 gR 则在某一位置
02第二讲：质点运动微分方程
10
& & θ +ω2θ = 0
§1-2 质点运动微分方程
（2）大幅摆动 ）
& +ω2 sinθ = 0 & θ
大 幅 摆 动 不 具
θ / rad
有 等 时 性
t /s
11
§1-2 质点运动微分方程
•
求解动力学问题的基本步骤
1. 对研究对象进行受力分析，画其受力图 对研究对象进行受力分析， 2. 根据运动的特点，选取坐标系 根据运动的特点， 3. 建立矢量形式的微分方程 4. 将矢量方程投影到坐标轴上（标量形式的微 将矢量方程投影到坐标轴上（ 分方程）， ），并写出相应的初始条件 分方程），并写出相应的初始条件 5. 求解微分方程（积分或数值解） 求解微分方程（积分或数值解） 6. 分析讨论数学结果的物理含义
炮 弹 运 动 轨 迹 图
θ0 = θ0 = π
4.0
m=10kg, c = 0.02N 2/m2,v0 =1000m s /s
π
7.7
7
§1-2 质点运动微分方程
飞 机 空 投 物 体 速 度 大 小 随 时 间 的 变 化
8
m= 5kg, c = 0.02N 2/m2,v0 = 200m s /s
§1-2 质点运动微分方程
的摆在铅垂面内运动， 例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内运动，初始时小球的速度 并分析小球的运动。 为u ，θ = 0。求绳作用在小球上的力 θ )并分析小球的运动。 。求绳作用在小球上的力F( 并分析小球的运动 解：1、取研究对象，画受力图，确定坐标系 、取研究对象，画受力图， 2、建立微分方程 、 3、求解并分析小球运动 、
& & θ +ω2θ = 0
§1-2 质点运动微分方程
（2）大幅摆动 ）
& +ω2 sinθ = 0 & θ
大 幅 摆 动 不 具
θ / rad
有 等 时 性
t /s
11
§1-2 质点运动微分方程
•
求解动力学问题的基本步骤
1. 对研究对象进行受力分析，画其受力图 对研究对象进行受力分析， 2. 根据运动的特点，选取坐标系 根据运动的特点， 3. 建立矢量形式的微分方程 4. 将矢量方程投影到坐标轴上（标量形式的微 将矢量方程投影到坐标轴上（ 分方程）， ），并写出相应的初始条件 分方程），并写出相应的初始条件 5. 求解微分方程（积分或数值解） 求解微分方程（积分或数值解） 6. 分析讨论数学结果的物理含义
炮 弹 运 动 轨 迹 图
θ0 = θ0 = π
4.0
m=10kg, c = 0.02N 2/m2,v0 =1000m s /s
π
7.7
7
§1-2 质点运动微分方程
飞 机 空 投 物 体 速 度 大 小 随 时 间 的 变 化
8
m= 5kg, c = 0.02N 2/m2,v0 = 200m s /s
§1-2 质点运动微分方程
的摆在铅垂面内运动， 例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内运动，初始时小球的速度 并分析小球的运动。 为u ，θ = 0。求绳作用在小球上的力 θ )并分析小球的运动。 。求绳作用在小球上的力F( 并分析小球的运动 解：1、取研究对象，画受力图，确定坐标系 、取研究对象，画受力图， 2、建立微分方程 、 3、求解并分析小球运动 、
质点运动微分方程
质点运动微分方程
质点运动微分方程是描述质点在运动中位置、速度和加速度之间关系的微分方程。根据牛顿第二定律，质点的加速度与作用在质点上的合力成正比，与质点的质量成反比。因此，可以得到质点的运动微分方程为 F = ma，即 F(x(t), v(t), t) = m * v'(t)，其中 F表示作用在质点上的合力，m表示质点的质量，v(t)表示质点的速度，x(t)表示质点的位移。
解决质点运动微分方程可以得到质点的速度和位移的函数表达式，从而可以进一步分析质点的运动规律和特性。质点运动微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛应用，例如在运动学、力学、电学、热学等方面，都需要使用微分方程来研究质点的运动。
- 1 -
动力学基本定律 质点的运动微分方程
d 2 x dvx dvx dx vx dvx ( 2 ) dt dt dx dt dx
21
动力学
质点动力学的基本方程
v x m gR2 m vx dvx 2 dx x v0 R
(t 0时x R,v x v0 )
2 0
则在任意位置时的速度
2
2 gR 2 v (v 2 gR ) x
max F cos
a x r 2 (1 ), 且 0 ，得 当 t 0 时，
AB杆受的拉力
y
d2 x ax 2 r 2 (cos t cos 2t ) dt
F mr 2 (1 )
FN β
O
A
F B β x
B
x mg
B
x
（a)
(b)
解
以木箱为研究对象，作受力分析如图所示。
26
动力学
质点动力学的基本方程
由于O1A=O2B，O1O2=AB，故AB杆作平面曲线运动。
设木箱与货架无相对滑动，木箱的加速度应与点A的加 速度相同，由于启动瞬时货架各点的速度为零，故
an
v 20
0, at l 0
y
P
建立图示坐标系，有
设矢径 r 在直角坐标轴上的投影分别为x,y,z,力Fi在轴
运动微分方程
z1 M0
Fe
M
h
W
分析质点M，取动坐标系
O1x1y1z1 ,固连于车厢。
a mar = F + Fe + FC
y1
mar = W + Fe
x1
mx1 0,
Fe = mae
my1 ma, mz1 mg
当 t = 0 时, x1 y1 0,z1 h,vx1 vy1 vz1 0
x1
0,
m v2
n
Fni,
i 1
(3) 质点运动微分方程的复合运动形式
aa ae ar ac
m(ae ar ac ) F
§1–2 质点动力学的两类问题
一是已知质点的运动，求作用于质点的力。
求解这类问题时，只需根据已知的运动规律， 通过微分运算或通过复合运动求出质点的加速度； 从而按质点运动微分方程式求出未知力。
第一章 质点运动微分方程
§1–1 质点运动微分方程 §1–2 质点动力学的两类问题 §1–3 质点相对运动基本方程
§1–1 质点运动微分方程
1 动力学基本定律——牛顿三定律
第一定律 不受力（平衡力系）作用的质点将永远保 持静止或作匀速直线运动。又称惯性定律。
两个基本概念：质点都有惯性，即保持原来运 动状态的性质；力是改变质点运动状态的原因。 （定性）
动力学绪论
5.1质点的运动微分方程
解:研究物体，受力分析。
运动分析，取坐标轴x铅直向下，原点在物体的初始位置。 x F
m dv mg v2
M v mg
dt
令 mg u
dv dt
g u2
(u 2
v2 )
x
0v
udv u2 v2
0t
g u
dt
v
u
e(2 g/u)t e(2 g/u)t
1 1
u
e( g/u)t e( g/u)t
e(g/u)t e( g/u)t
物体速度随时间变化的规律为
v utanh( g t) u
tanh 是双曲正切。
0x
dx
0t
u2 g
d[e( g/u)t e( g/u)t ]
e e ( g/u)t
( g / u)t
物体的运动方程为
x
u2
e(gt /u) ln
e(gt /u)
u2
ln (cosh
gt )
g
2
g
u
cosh 是双曲余弦。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
例 球磨机是一种粉碎机械，滚筒绕通过中心的水平轴O以匀角速转动，
内装钢球和物料，钢球被筒壁带到一定高度A(即θ=θ0) 时脱离筒壁，然 后沿抛物线轨迹落下，从而击碎物料。已知滚筒内壁半径为R，求滚筒
质点的运动微分方程例题
质点的运动微分方程例题
当涉及到质点的运动微分方程时，我们通常考虑质点在空间中的位置、速度和加速度之间的关系。下面我将给出一个质点的运动微分方程的例题，并从多个角度进行回答。
例题，一个质点在直角坐标系中的运动满足以下条件，质点的位置矢量为r(t) = (3t^2, 2t, t^3)，其中t为时间，求质点的速度和加速度。
从向量的角度回答：
质点的速度可以通过对位置矢量求导得到。对r(t) = (3t^2, 2t, t^3)关于时间t求导，得到速度矢量v(t) = (6t, 2, 3t^2)。
质点的加速度可以通过对速度矢量求导得到。对v(t) = (6t, 2, 3t^2)关于时间t求导，得到加速度矢量a(t) = (6, 0, 6t)。
从微分方程的角度回答：
质点的速度可以表示为位置矢量对时间的导数，即v(t) =
dr(t)/dt。根据给定的位置矢量r(t) = (3t^2, 2t, t^3)，对其分别对时间求导，得到速度矢量v(t) = (6t, 2, 3t^2)。
质点的加速度可以表示为速度矢量对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt。根据给定的速度矢量v(t) = (6t, 2, 3t^2)，对其分别对时间求导，得到加速度矢量a(t) = (6, 0, 6t)。
从运动学的角度回答：
根据质点的位置矢量r(t) = (3t^2, 2t, t^3)，我们可以计算质点在各个方向上的速度和加速度。
在x方向上，质点的速度v_x(t) = d(3t^2)/dt = 6t，加速度a_x(t) = d(6t)/dt = 6。
理论力学10质点运动微分方程
10.2 质点运动微分方程
牛顿第二定律，建立了质点的加速度与作用力的
关系。当质点受到n个力 F1，… ， Fn 。作用时，式
（10-1）写成
maF
(10-3)
将式（10-3）中的加速度表示为位置参数的导数形式， 就得到各种形式质点运动微分方程。
10.2.1 矢量形式
设质点M的质量为m，作用于其上的合力为：FF
例10-2 设质点M在固定平面内运动，如图10-5所
示。己知质点的质量是m，运动方程是：xacost ，
ybsint，其中，a，b和都是常量。求作用于质点
的力F。 解：本题属于第一类基本问
题，采用直角坐标形式的质点运动 微分方程进行求解。
y v
xM Fy
x O
小球在任一瞬时所受主动力未知， 图 1 0 -5
ax
d2 x dt 2
x
ay
d2 y dt2
y
az
d2 z dt2
Βιβλιοθήκη Baidu
z
Fx
F x
Fy
F y
Fz Fz
得质点运动微分方程的直角坐标形式：
m x Fx m y F y
m z Fz
(10-5)
10.2.3 自然坐标形式
(+ )
设已知质点M的轨迹曲线如图10-3 所示。以轨迹曲线上质点所在处为坐标
9质点动力学的基本方程
临沂大学机械工程学院机械工程系
徐波
理论力学
例题四
第 二 节 质 点 的 运 动 微 分 方 程
第九章 质点动力学的基本方程
临沂大学机械工程学院机械工程系
徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
外力只与位移有关时
第 二 节 质 点 的 运 动 微 分 方 程
动能 定理
临沂大学机械工程学院机械工程系
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
基动 第 本力 一 定学 节 律的
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与作用力的方向相同。
d (mv) F dt
如果在质点上同时作用了几个力，该质点所产生的加速 度则取决于这些力的合力的大小和方向。式为
徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
第 二 节 质 点 的 运 动 微 分 方 程
例题五 垂直于地面向上发射一物体，试求该物 体在地球引力作用下的运动速度，并求第二宇 宙速度。不计空气阻力及地球自转的影响。
第二宇宙速度：脱离地球引力
2 2 gR 2 v v 2 gR 0 x
临沂大学机械工程学院机械工程系
这是混合问题。
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
02第二讲：运动方程的建立
1 1 2 V ku 2 W p(t )u f D u T mu 2 2
T ( s, t ) W ( s , t ) V ( s, t )dt 0
t1
t2
u cu u kuu p (t )u dt 0 mu t u cu u kuu p (t )u dt 0 t mu
单质点体系的受力分析
F p(t ) f D f s
ma f D f s p (t )
au
f D cu
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同 单自由度系统虽然简单，但是包含了 单自由度系统 虽然简单，但是包含了 结构动力学的全部思想和方法。 多自由度系统还可通过振型迭加法转 多自由度系统 还可通过振型迭加法转 化为单自由度系统，因此学习它非常重要。
2. D’Alembert原理 D’Alembert原理
静力问题是人们所熟悉的，有了D’Alembert 原理之后，形式上动力问题就变成了静 力问题，静力问题中用来建立平衡方程的方法，都可以用于建立动力问题的控制方程，使 对动力问题的思考有一定的简化。对很多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的 最直接、最简便的方法。 D’Alembert原理的贡献：建立了动力平衡（简称：动平衡）的概念。
y
ky
理论力学11质点动力学基本方程
n
l
FT
FT
mg
3cos
2
mv02 l
v0 s mg
当 = 0 ，即在初始位置时，钢绳具有最大拉力
FT max
mg
m v02 l
此时，钢绳拉力有两部分：① 因重物重量引起的静拉力 mg ；②
因重物加速度引起的附加动拉力 mv02 / l 。 为了避免钢绳中产生过
大的附加动拉力，跑车的运行速度不能太大，并应平稳停启，避
m
研究小球
受力分析
运动分析
FT
建立直角坐标系， 根据质点运动微分方程
Fix max: FT sin ma0
y
mg
Fiy may: mg FT cos 0
x
a0 a0
FT sin ma0 mg FT cos 0
解得绳的倾角以及绳中的张力分别为
arctan a0
g FT m a02 g2
y
v
积分两次，得到
m
v0
x C1t C3
y
1 2
gt2
C2 t
C4
O
mg
x
根据运动初始条件，求出积分常数，得物体的运动方程
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt 2
从运动方程中消去时间参数 t ，即得物体的轨迹方程
动力学专题4——质点的运动微分方程
思 考 题 4-4
若不计空气阻力，自由下落的石块与向下仍（即 给以向下的初速）的石块，哪一个加速度较大？
百度文库
工程力学教程电子教案
质点的运动微分方程
13
§4-2 质点的运动微分方程
动力学基本方程是矢量方程，为了便于计算，常 将它改写成投影式，并表示为微分形式的方程，称 为质点的运动微分方程。
m a F
2. 力学模型：
(1) 质点：具有一定质量，而其形状和大小对所 研究的问题不起主要作用，可以忽略 不计的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作移动时,刚体 质点。
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质点的运动微分方程
4
(2) 质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点 组成的系统。
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的 限制。
工程力学教程电子教案
质点的运动微分方程
12
思 考 题 4-3
以下说法是否正确？(a) 质点如有运动则它一定 受力，其运动方向总是与所受力的方向一致；
(b) 质点运动时，如速度大则它所受的力也大，
速度小则所受的力也小，若速度为零则质点不受力
；(c) 机车以某一力牵引车辆加速前进时，车辆给机
车的反力必小于机车对列车的牵引力。
大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性
越大，因此，质量是质点惯性的度量。
(导学)10质点运动微分方程
1) 动力学的基本定律 第一定律 惯性定律：任何物体，若不受外力作用，将永 远保持静止或作匀速直线运动。 第二定律 力与加速度关系定律 ：质点的加速度大小与 所受力的大小成正比，而与质点的质量成反比，加速度方向与 力的方向一致。 适用于惯性参考系 F ma 第三定律 作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是 大小相等，方向相反，沿同一作用线，且同时分别作用于两个 物体上 。
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
4
2) 质点运动微分方程的常用表达式
形式 矢量 O
r
图例 M
a
F
运动微分方程
d2 r m 2 F dt
适用 空间曲线
z
直角坐标
az Fy
Fx
Fz
M
z
x
ay
y
x
弧坐标
（自然法）
O
y
ax
s (-)
O a n (+) Fn
Fr
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
1
工程力学导学
动力学基本定律 质点运动微分方程
工程力学导学 动力学
动力学基本定律 质点运动微分方程
2
动力学
叙言
动力学基本定律 质点运动微分方程 目录
1. 内容提要… … … … … … … … … … … … … 3 2. 基本要求… … … … … … … … … … … … … 5 3. 典型例题… … … … … … … … … … … … … 6
动力学1-基本方程
ae
A
11
N
解: 取物块B为研究对象 m(ar+aecos) = mgsin
(1)
(2)
ae
ar
maesin = N-mgcos 联立(1)(2)式解得:
mg
ar = gsin - aecos (2)当aeg tg时ar 0.
N= m(gcos+aesin)
讨论: (1)当ae=g tg时ar = 0; N= mg/cos
由 1 式知 重物作减速运动
T max G (1
2 v0
,
因此 0时 , T T max
gl
)
14
Fn
0 Fb
轴 , n 轴和 b 轴上的投影
例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度 为u , = 0。求绳作用在小球上的力F( ),。
解：1、取研究对象画受力图 2、确定坐标系 3、建立微分方程 4、求解 5、分析小球运动
n s u
F
:
ma F mg ml mg sin
(3)当ae=-g ctg时ar = g/sin, N=0; am = g
此时m即将与斜面脱离而成为自由体
12
[例] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运
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（2）单靠约束反力不能引起质点的任何运动，∴称约束反力为被动力（一般未知）， 而像：万有引力、电磁力等为主动力；
（3）摩擦力为被动力，因此也属于约束反力。 2、 求质点约束运动的方法——去掉约束，代之以约束反力（隔离体法） 3、 质点约束运动的微分方程
设质点所受主动力的合力为
ur F
æ ç
r r,
r× r
=
Fb
î
内禀方程
说明：
（1）质点做曲线运动时，无副法向加速度，但不等于沿副法线不受力的作用，只是合力为
零。（举例：斜面问题）
（2）若质点作平面曲线运动，无第三个方程。
（3）在理论力学中，重点研究的动力学问题是已知作用力，求质点的运动规律，则需要求
解微分方程。
四、质点约束运动的微分方程 1、 重要概念
4、
力是三个变量的函数——
ur F
=
ur F
æ ç
r r,
r× r,
t
ö ÷
èø
例：一维受迫振动（同学自己阅读） 对书中的例题：自学例 1，删例 2，讲例 3。
作业：119，120，125，127，128
Rt = f = m Rn2 + Rb2
说明：对于光滑线约束而言，约束反力在法平面内，而非光滑线约束，约束反力的合力包括 沿切向的摩擦力，故不在法平面内，而是与法平面成某个角度。 例 1、 五、对几种特殊情况的讨论 在某些具体的实际情况中，往往力仅是一个变量的函数，使问题大为简化。
ur ur
1、 力仅是时间的函数—— F = F (t ) ，可直接积分求解
uur 例：质量为的物体以初速度 v0 与水平方向成a 角抛出，物体在
y
ur
r
uur
运动过程中所受阻力 f = -mkv ，求此抛射体的轨道
v0
解：将抛射体视作质点为研究对象
ur ur
以抛射点为坐标原点，质点的运动平面为坐标面（质点作平面
f mg
x
曲线运动）建立竖直坐标系 o - xy ，如图所示
ur r
（1）约束——限制质点自由的条件 （2）约束方程——表明约束条件的方程（约束条件往往可用方程的 形式给出称为约束方程）。
钢丝
y
x2 = 4ay
小环
x 例：钢丝为抛物线，小环作约束运动，约束方程 2 = 4ay 。
x
（3） 约束反力——约束物（钢丝）对被约束的质点所施加的作用力。
O
注：
（1）约束反力不仅取决于约束本身，还与作用在质点上的其他力及质点本身的运动状态有 关（举例）；
受力分析 mg, -mk v
××
×
根据牛顿定律列方程 m x = -mk x
××
×
ü ï ý
Þ
ì ï
××
x
+
í ××
k
×
x
×
=
0
(1)
m y = mg - mk yïþ ïî y+ k y = -g
(2)
初始条件 t
=
0时，x0 y0
= =
0ü 0 ýþ
Þ
ì ï
×
x0
í×
ïî y0
= =
v0 v0
,
t
ö ÷
èø
ur æ r r× ö 约束反力的合力为 R ç r, r, t ÷
èø
则该支点的运动微分方程为
m
r×× r
=
ur F
æ ç
r r,
r× r,
t
ö ÷
+
ur R
æ ç
r r,
r× r,
t
ö ÷
è øè ø
要比自由质点的运动微分方程复杂得多。 对于线约束问题，质点被约束在一条空间曲线上运动，则质点的运动轨道已知，可在自然坐 标系下，采用内禀方程求解
2v02 cos2 a
3v03 cos3 a
当 x 取值很小时，即 kx = 1 ，可略去高阶小量，轨道方程为 v0 cosa
y = tana x -
g
x2 ——初始一小段时间为二次抛物线
2v02 cos2 a
x 取值越大，轨道形状越偏离抛物线，当 x ® v0 cosa 时， y ® ¥ 轨道为竖直直线 k
x x
（其中两个角由题中所给已知条件确定一个）
（关于三维简谐运动同学自己阅读）
ur ur
3、 力仅是速度的函数—— F = F (v)
以抛射体为例，这类问题比较复杂，可在自然坐标系下求解（同学自己看书）也可在直角坐
标系下求解。在此，我们研究最简单的情况，抛射体运动过程中所受阻力与速度成正比，且
抛射体可视为质点。
解方程（2）
y
=
C
+
De-kt
-
g
t,
×
y
=
Dke - kt
-
g
k
k
（3）
代入初始条件，得
D
=
-
æ çè
v0 k
sin a
+
g k2
ö ÷ø
，则
y
=
C
-
æ çè
v0 k
sin a
+
g k2
ö ÷ø
e-
kt
-
g k
t
再代入初始条件得 C
=
v0 k
sin a
+
g k2
( ) 则抛射体沿
y
轴的运动方程为
y
第二讲 质点的运动微分方程及有关应用
教学时间
教学目的要求：
1 使学生深刻理解牛顿运动三定律的内涵和伽利略力学相对性原理的意义。 2 使学生熟练运用牛顿运动定律，列出有关实际问题的运动微分方程并能进行求解。 重点：质点运动微分方程的建立，初始条件的确立。
难点：对力仅是速度函数的情况下运动方程的求解。
教学方法：通过典型实例研究各种情况的运动微分方程及求解。
力要受到空间、时间、速度等的影响（例跑步、骑车、坐汽车时感受到的风力不同），
一般情况下，力是
r r,
r× r,
t
的函数，即
ur F
=
ur F
æ ç
r r,
r× r,
t
ö ÷
èø
根据牛顿运动定律得出质点的运动微分方程为
m
r×× r
=
ur F
æ ç
r r,
r× r,
t
ö ÷
——二阶常微分方程。
èø
ìïm ï
x0 ,
y
×
=
y0 ,
z
=
×
z0
ïîx = v0x , y = v0 y , z = v0z
说明：（1）若质点作二维平面曲线运动，若以运动平面为一 xy 坐标面，则只有两个方程，4
个积分常数；（2）若质点作一维直线运动，若以该直线为坐标轴，则只有一个方程，2 个积
分常数。
2、 在平面极坐标系下：当质点作平面曲线运动时，可采用此坐标系。
+q
)
ur ur
2、 力仅是坐标的函数—— F = F ( x, y, z ) ，此类问题需解微分方程。
例：竖直放置的弹簧振子，平衡时弹簧的静伸长为 e 0 ，弹簧的劲度系数为 k ，忽略弹簧的
质量和阻力，求振子的运动方程（振子质量为 m ）。
解：以振子为研究对象
以振子平衡时所在位置为坐标原点，建立竖直向下的坐标轴 o - x
+
kv0
g cosa
ö ÷ ø
x
+
g k2
ln
æ ç1 è
v0
kx cos a
ö ÷ ø
将轨道方程进行级数展开 f ( x) = f (0) + f ' (0) x + f '' (0) x2 + ....... + f (n) (0) xn + .......，
2!
n!
得 y = tan a x - g x2 - kg x3 - .......
=
0
方程通解 x = A cos (w0t + j ) ——振子的运动方程
×
×
设初始条件为 t = 0 时， x = x0 , x = x0
e0
×
由运动方程可得 x = - Aw0 sin (w0t + j ) 代入初始条件得
A=
x02
+
æ ç
ç è
×
x0
w
ö2 ÷
÷ ø
， tanj
=
-
×
x0
w x0
1、 自由运动——质点运动过程中不受任何条件的限制，其运动规律仅由主动力和初始条件 来决定。
（例：抛粉笔，主动力：重力；初始条件：有初速度；在不考虑空气阻力情况下为自由运动）
2、 质点的约束运动——质点运动过程中要受到某些外部条件的限制。 （例：小球沿斜面运动，受斜面限制）
三、质点自由运动的微分方程
讲授要点及内容：
一、牛顿运动定律的物理意义（对牛顿运动定律的复习）
1、 牛顿定律是经典力学的基础，整个经典力学大厦就是以牛顿定律为基础建立起来的。 2、 牛顿定律只适用于一种特殊的参考系——惯性系。 3、 牛顿定律的理论基础是伽利略力学相对性原理——对于力学规律而言，所有的惯性系都 是等价的。
二、质点的两种运动形式
+q
)
积分并代入初始条件 t = 0, v = v0x
得v
=
dx dt
=
v0 x
+
eE0 mw
sin q
-
eE 0 mw
sin (wt
+q
)
二次积分代入初始条件 t = 0, x = x0
得
x
=
x0
-
eE0 mw 2
cosq
+
æ çè
v0
x
+
eE0 mw
sin q
ö ÷ø
+
eE 0 mw 2
cos (wt
ì ïïm í
æ ç è
××
r
-
×
rq 2
ö ÷ ø
=
Fr
æ çè
r,q ;
××
r,q
;t
ö ÷ø
ïïîm
æ çè
r
××
q
+
2
×
r
×
q
ö ÷ø
=
Fq
æ çè
r,q
;
××
r,q
;t
ö ÷ø
3、 在自然坐标系下：当质点运动轨迹已知时，可采用此坐标系
ìïm ï
dv dt
=
Ft
ï í ï
m
v2 r
=
Fn
ï0 ï
ìïm ï
dv dt
=
Ft
+
Rt
运动微分方程
ïím ï
v2 r
=
Fn
+
Rn
ï0 ï
=
Fb
+
Rb
î
平面运动无此方程
（1） 光滑线约束——无 Rt 分量。
通过第一个方程可求质点运动规律，后两个方程确定约束反力，这样分开求解对解决问题带 来极大方便，这就是利用内禀方程求解光滑线约束的优越性。 （2） 非光滑线约束——质点受到沿切线方向的摩擦力作用。
例：沿 x 轴有一振荡电场 Ex = E0 cos (wt + q ) ，求自由电子沿此电场的运动方程
初始条件 t = 0 时， x = x0 , v = v0x
解：由已知可得自由电子所受的主动力为 F = -eEx = -eE0 cos (wt + q )
其运动微分方程
m
dv dt
=
-eE0
cos (wt
cos a sin a
×
解方程（1） x = A + Be-kt , x = -Bke-kt
代入初始条件，得 B = - v0 cosa ，则 x = A - v0 cosa e-kt
k
k
再代入初始条件得 A = v0 cosa k
( ) 则抛射体沿 x 轴的运动方程为 x = v0 cosa 1- e-kt k
××
x
=
Fx
æ çè
x,
y,
z;
×
x,
×
y,
×
z; t
ö ÷ø
1、
在直角坐标系下
ïím ï
××
y
=
Fy
æ çè
x,
y,
z;
×
x,
×
y,
×
z; t
ö ÷ø
ï ïm î
××
z
=
Fz
æ çè
x,
y,
z;
×
x,
×
y,
×
z;
t
ö ÷ø
解此方程组，会出现六个积分常数，由初始条件确定，
t
=
0时 ,
ìï x í×
=
=
æ çè
v0 k
sin a
+
g k2
ö ÷ø
1 - e-kt
- 来自百度文库t k
（4）
由（3）（4）两式消去参数 t ，得轨道方程
y
=
æ çè
v0 k
sin a
+
g k2
öæ
÷ø
ç è
v0
kx cosa
ö ÷ ø
+
g k2
ln
æ ç1 è
v0
kx cos a
ö ÷ ø ，（并非二次抛物线）
=
æ ç è
tan a
ur ur
r
振子位于处所受的作用力： mg, f = -k (e0 + x) i
××
根据牛顿定律列质量运动微分方程 m x = mg - k (e0 + x)
（1）
由已知条件得 mg - ke0 = 0 （2）
由（1）（2）两式得
××
x+
k m
x
=
0
，令 w02
=
k m
，方程改写为
××
x+ w02 x