破解向量最值问题的三种有效途径

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求解平面向量最值问题的几个措施

探索探索与与研研究究图1B (-1,0)，C (1,0)，设x ,3-y )，PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°，OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则θ=2sin æèöøθ+π3，2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æèöøcos 2θ2⋅，cos θ=2x -1，图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，由f ′(x )=0，得x =13或1．当0≤x ＜13时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ∙AB 的取值范围是（）.A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．因为|| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ，当P 与C 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，当P 与F 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1，故-1＜|| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ，所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根据正六边形的结构特征，求得||AP cos ∠PAB 的取值范围，即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质：①当P 0在直线AB 上，且OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0（如图4）．②当等和线恰为直线AB 时，k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.2C.2D.25图5解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3．故选A ．平面向量OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上，可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50。

向量的最值

向量的最值向量是线性代数中的重要概念，通常表示为一个有序的数列，可以看作是一个有方向和大小的箭头。

在实际应用中，有时需要对向量进行最值的求解，本文将对向量的最值求解进行详细的阐述。

一、向量大小的求解向量的大小，又称为向量的模，表示为||a||，可以表示为向量的点积的平方根。

具体求解步骤如下：1. 求向量a的点积，即a·a，表示为a^2。

2. 计算a^2的平方根，即√a^2，即为向量a的大小||a||。

例如，若向量a=(3,-4,5)，则a的大小为||a||=√(3^2+(-4)^2+5^2)=√50。

二、向量的最大值和最小值的求解1. 向量元素的最大值和最小值的求解向量元素的最大值和最小值求解比较简单，只需对向量的每个元素进行遍历比较即可。

例如，若向量b=(2,6,-1,3,7,-2)，则b的元素最大值为7，最小值为-2。

2. 向量大小的最大值和最小值的求解向量大小的最大值和最小值的求解需要对所有向量大小进行比较，具体求解步骤如下：1. 对向量中的每个元素求平方，即a1^2、a2^2、...、an^2。

2. 对所有元素的平方求和，即a1^2+a2^2+...+an^2。

3. 对求和的结果开方，即√(a1^2+ a2^2+ ...+ an^2)，即为向量a 的大小。

4. 求解所有向量的大小，并对其进行比较，得到向量大小的最大值和最小值。

例如，若向量c=(2,6,-1,3,7,-2)、d=(-1,5,8,2,3,-3)，则c的大小为||c||=√70，d的大小为||d||=√78，故c的大小最小，d的大小最大。

三、向量夹角的求解求解向量夹角的方法包括向量点积法、余弦定理法和三角函数法等。

以下仅介绍向量点积法。

1. 向量点积的求解向量a和向量b的点积，表示为a·b，可以用向量a和向量b的坐标表示为a1b1+a2b2+...+anbn。

例如，若向量e=(4,5,6)、向量f=(1,2,3)，则e和f的点积为e·f=4*1+5*2+6*3=32。

向量题的解题窍门

向量题的解题窍门如何解题：向量题的解题窍门导语：数学中最著名的一个人就是笑傲江湖，著名作家金庸的武侠小说中，他们会经常出现一些武功秘籍，这些秘籍被认为是无价之宝，能够让人获得无敌的力量。

而在数学领域也有一些题型，如向量题，拥有解题秘籍就能得心应手。

一、问题解析：向量是什么？向量是数学中的一个重要概念，它描述了具有大小和方向的量。

在解决向量题前，我们需要明确向量的定义和性质。

一个向量可以用一个有序的有限数集来表示。

二、基本操作：向量的加减法向量的加法：两个向量相加，就是将它们对应的坐标分量相加，并且坐标分量的顺序不能变动，得到一个新的向量。

向量的减法：两个向量相减，就是将被减向量对应位置的坐标分量相减，并且坐标分量的顺序不能变动，得到一个新的向量。

三、向量的数量积和向量的夹角向量的数量积：向量的数量积也叫点积，用来度量两个向量之间的夹角关系。

向量的数量积可以通过向量的坐标分量的乘法运算获得。

向量的夹角：两个向量的夹角由它们的数量积决定。

夹角越小，两个向量越接近，夹角越大，两个向量越远离。

通过数量积和夹角的概念，我们可以解决一些与向量有关的几何问题，如求两条直线的夹角、判断两个向量是否垂直或平行等。

四、向量的向量积向量的向量积：向量的向量积是两个向量所确定的平行四边形的面积。

向量的向量积可以通过向量坐标分量的乘法运算和叉乘规则获得。

通过向量的向量积，我们可以解决一些与面积或体积有关的几何问题，如求平行四边形的面积、平行六面体的体积等。

五、向量的应用：平面几何与空间几何向量在平面几何和空间几何中都有广泛的应用。

在平面几何中，我们可以通过向量的数量积和夹角解决一些三角函数和三角方程的问题。

如求两条直线的夹角、判断三角形的形状等。

在空间几何中，我们可以通过向量的数量积和向量的向量积解决一些多面体的问题。

如求平行四边形的面积、计算三棱柱的体积等。

结语：掌握解题的窍门，向量题就不再是难题。

通过对向量的定义和性质的理解，以及掌握向量的加减法、数量积和向量积的运算规则，我们可以快速解决各种向量题。

如何解答平面向量最值问题

x y
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，

1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画

a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19

因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，

y

所以 λBN = 2x BE + y BD ，

解答平面向量最值问题的几个“妙招”

思路探寻由于ΔABC 与ΔABD 的底边相同，所以它们的面积之比就是它们在AB 边上的高之比，不难发现这两个三角形的高CE 和DE 的夹角就是二面角的平面角，可直接运用射影面积法，求得两个三角形ΔABC 与ΔABD 的面积，即可解题.三、采用垂面法由二面角的平面角的定义可知两个半平面的公垂面与二面角的棱垂直，因此公垂面与两个半平面的交线所成的角，就是二面角的平面角.如图5，若平面OABC 为二面角α-a -β的公垂面，则这个二面角的平面角为∠COB .运用垂面法解题，要先根据面面垂直的判定定理证明公垂面与二面角的两个半平面都垂直，才能确定二面角的平面角.图5图6例3.如图6，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=2，BC =3，E ，F 分别为CD 1，AB 的中点.(1)求证：EF ∥平面BB 1C 1C ；(2)求二面角F -CD 1-D 的余弦值.解：（1）过程略；(2)设CD 的中点为P ，连接FP ，过点P 作CD 1的垂线，垂足为H .在长方体中，由FP ⊥CD 可得FP ⊥CD 1，因为PH ⊥CD 1，PH ⋂FP =P ，所以CD 1⊥平面FHP ，所以FH ⊥CD 1，则∠FHP 为二面角F -CD 1-D 的平面角.因为∠FPH =π2，且FP =BC =3，则HP =12DE=2所以FH =HP 2+FP 2=，所以cos ∠FHP =HPFH .即二面角F -CD 1-D 的余弦值为.运用垂面法解题时，可以找到一个与二面角的棱垂直的平面，那么根据面面垂直的判定定理可知这个平面即为二面角的公垂面.在本题中，我们根据CD 1⊥平面FHP ，确定平面FHP 为二面角的公垂面，从而找到二面角的平面角∠FHP .总之，在求解二面角问题时，我们需根据解题需求，采用三垂线法、射影面积法、垂面法来确定二面角的平面角，再根据平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理来求平面角的大小.（作者单位：江苏省淮安市楚州中学）平面向量最值问题的常见命题形式有：（1）求两个向量数量积的最值；（2）求某个向量的模的最值；（3）求参数或代数式的最值.平面向量最值问题具有较强的综合性，对学生的运算和分析能力有较高的要求.下面以一道平面向量最值问题为例，谈一谈解答此类问题的“妙招”.题目：已知平面向量a ,b ,c (c ≠0)满足|a |=1,|b|=2,a ∙b =0,(a -b )∙c =0，若向量d 在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，d -a 在向量c方向上的投影为z ，则x 2+y 2+z 2的最小值为______.题目中给出的条件较多，需先根据题意理清各种关系，根据向量的模的公式、数乘运算法则、数量积公式、投影的定义建立关于x 、y 、z 的关系式，将目标式中变量的个数减少，从而将问题转化为求代数式的最值；再利用配方法、柯西不等式、导数法、数形结合法求解.一、配方配方法只适用于解答含有二次式的代数问题.若平面向量最值问题中的目标式为二次式，则可采用配方法.先将目标式配成完全平方式；然后根据完全平方式恒大于或等于0的性质，令完全平方式为0，即可求得目标式的最小值.解法1.∵a ∙b =0，∴a ⊥b，以a ,b两个向量的起点为原点建立平面直角坐标系，设a =(1,0),b =(0,2),c =(m ,n )，∵(a -b)∙c =0，∴m -2n =0，即m =2n ，∴c =(2n ,n )(n ≠0).∵d在a ,b 方向上的投影分别为x ,y ，∴d =(x ,y )，∵d -a 在c方向上的投影为z ，∴z =(d -a )∙c ||c =，吴仕明48思路探寻5的最小值为25.看作线段OP长度的平到直线2x+y-2=0的距离便可将问题转化为距离问题，通过研究点O、以及直线之间的位置关系确定目标式取最小值最后根据两点间的距离公式、点到直线的距我们从四种不同的角度寻找到解答这道平面向。

高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法

高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。

一、利用函数思想方法求解例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。

解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，13(,)22B -，(cos ,sin )C θθ。

,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)()22x y θθ∴=+-即cos 2sin 2y x θθ⎧-=⎪⎪=⎪⎩cos 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3πθ≤≤。

因此，当3πθ=时，x y +取最大值2。

例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP === 点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥ ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图1122(12)(52)(7)(1)520125(2)8QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m⋅≤⋅求最值例3、ABC ∆三边长为a 、b、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P、Q在什么位置时，BP CQ 有最大值。

数学教案：解决向量问题的方法

数学教案：解决向量问题的方法一、引言向量在数学中扮演着重要的角色，它是描述方向和大小的物理量。

解决向量问题需要运用一些特定的方法和技巧。

本文将介绍几种常见的解决向量问题的方法，包括分解法、几何法和代数法。

二、分解法1. 向量分解原理向量可以根据其方向与坐标轴正反之间的夹角进行分解。

我们可以将向量沿着x轴和y轴分成两个分量，这样就得到了一个水平方向上的分量（通常称为x分量）和一个垂直方向上的分量（通常称为y分量）。

2. 分解法步骤步骤如下：1) 确定坐标轴正方向；2) 确定待求向量与坐标轴之间的夹角；3) 将待求向量按照其与坐标轴夹角进行分解；4) 根据具体问题要求，利用已知条件计算出所需结果。

三、几何法1. 平行四边形法则平行四边形法则是利用平行四边形性质来解决向量问题的方法。

当两个力或速度相互平行时，它们所构成的平行四边形的对角线等于两个向量之和。

2. 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是在三角形中解决向量问题常用的方法。

正弦定理可以用来计算三角形内夹角与其边长之间的关系，而余弦定理则可以用来计算已知边长和夹角求解另一边长或另一个夹角。

四、代数法1. 向量加减法向量加减法是利用代数运算来解决向量问题的方法。

我们可以将向量表示为坐标形式，然后根据向量相加、相减的规则进行运算。

同时，我们还可以将给定的问题转化为方程组，并通过解方程组得到所需结果。

2. 数学工具在代数法中，有一些数学工具可以帮助我们更方便地计算向量问题。

例如矩阵运算可以简化代数运算步骤，标量积（点乘）和矢量积（叉乘）等操作也可通过行列式或矩阵进行计算。

五、总结解决向量问题主要有分解法、几何法和代数法这三种常见方法。

分解法适用于直接分析显性的水平和垂直分力；几何法可以通过平行四边形法则、正弦定理和余弦定理等来解决问题；代数法则是利用代数运算规律进行计算，并可以借助数学工具辅助求解。

选择合适的方法取决于具体的问题情境，掌握多种方法可以帮助我们更灵活地解决向量问题。

解答向量问题常用的三种途径

向量是高中数学中的重要内容.向量问题经常出现在各类试题中，其常见的命题形式有：（1）求两个向量的数量积及取值范围；（2）求某个向量的模的最值；（3）求向量中参数的取值范围；（4）判断两个向量的位置关系；等等.这就要求同学们熟练掌握并灵活运用各种求解向量问题的方法和思路.下面介绍三种解答向量问题常用的途径.一、利用几何法几何法是指根据向量的几何意义来画出图形，将问题转化为几何图形的位置关系、距离、最值问题来求解.这就要求我们熟练掌握并运用向量的几何意义：（1）向量的加法意义：三角形法则、平行四边形法则；（2）向量的模的几何意义：向量所在线段的长；（3）两个向量数量积的几何意义：一个向量的模与其在另一个向量方向上的投影的乘积.在求解与向量的模或角度有关的问题时，通常可将某个向量看作三角形、四边形、多边形的一条边，利用这些几何图形的性质以及位置关系来解题.例1.在等腰△BCE 中，若∠C =90°，BC =4，那么向量 BE ∙BC =_____.解：由于∠C =90°，可知BC 、EC 分别为等腰△BCE 的两条直角边，由于等腰直角三角形的两腰相等，所以BC =4=EC =4，可得BE =42，则 BE ∙ BC =|| BE ∙||BC cos 45°=4×42=16.解答本题，需根据两向量的数量积公式，将求BE ∙BC转化为求|| BE ∙|| BC .只需将|| BE 、|| BC 看作等腰直角三角形的两条边长，根据等腰直角三角形的性质进行求解即可.例2.若 OA =a ，OB =b ，a 与b 不共线，则∠AOB 平分线上的向量为().A.a |a |+b |b | B.a +b |a +b |C.|b |a -|a |b |a |+|b |D.λæèöøa |a |+b|b |，λ由 OM 确定解：以OM 为对角线，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OCMD ，如图1所示.图1∵OM 平分∠AOB ，∴平行四边形OCMD 是菱形．设OC =OD =λ，∴ OC =λa |a |，OD =λb |b |，∴ OM = OC + OD =λæèöøa |a |+b |b |，且λ由 OM 确定.用几何法来解答向量问题，需先将向量所表示的线段“搬”到几何图形中；再借助几何图形的性质，如三角形的性质、圆的性质、平行四边形的性质等来求解.对于本题，我们以OM 为对角线，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OCMD ，根据平行四边形和菱形的性质建立关系式，就能顺利求得问题的答案.二、运用坐标法运用坐标法解答向量问题，首先要建立一个合适的平面直角坐标系；然后设出未知点的坐标，并求得其他点的坐标；再根据向量的运算法则，如加法a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2)，减法a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，数乘运算λa =(λx 1，λy 1)，向量的模|a |=x 21+y 21，其中a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，求得问题的答案.例3.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD =DC =1，AB =2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心、AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图2所示)，若AP =λ ED +μ AF ，其中λ，μ∈R ，则2λ-μ的取值范围是_____．解：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，图2考点透视32图3a ，OB =b ，OM =x a ，得 OM =4x OC ＋y 三点共线，∴4x ＋y =；得 OM =x a ＋2y OD 考点透视。

【向量专题】2.向量中最值(取值范围)问题解题策略

【向量专题】2.向量中最值（取值范围）问题解题策略
向量题目在高考题中除了最常见的简单运算外，还有另外一种有些难度的题目，即向量题目中的最值问题（取值范围问题），类似于其他专题，最值问题中千年不变的常见方法有利用三角函数有界性和不等式法，这次课除了这两种方法外再给出两种方法，常见的解决向量最值问题的方法有如下四种：、
向量专题中两类向量不等式。

（常被忽略）利用三角函数有界性来解，但是需要注意一下，三角函数有界性是在运算中出现正余弦的形式，所以当题目中出现了三角坐标时，又或者题目中出现了圆，椭圆，半圆的时候，如果需要设其上点的坐标，最好设成三角函数坐标的形式。

利用基本不等式解决最值问题。

利用几何图形法解决最值问题，特别需要注意在给定形状三角形内的情况。

向量中的最值来自曹老师的高中数学课00:00 29:46 注意接下来的转化：
用到了任意性注意这个结论：
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平面向量最值问题解题方法

平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点，涉及面广，难度较大。

下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。

一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最大值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根，即|a|=√((a_x+a_y))。

2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最小值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根，即|a|=√((a_x-a_y))。

二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的夹角的最值为：1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时，它们的夹角最大，此时θ=π。

2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时，它们的夹角最小，此时θ=0。

三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b，它们的和向量c=a+b。

则向量c的模长最值为：1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最大，此时|c|=2|a|。

2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最小，此时|c|=0。

如何求解平面向量最值问题

有些平面向量问题采用常规方法求解较为困难，我们可以根据题意建立合适的平面直角坐标系，给各个向量赋予坐标，根据平面向量坐标运算法则进行运算，进而求得最值.通过向量坐标运算，可将平面向量最值问题转化为坐标运算问题，有利于快速求得最值.
仍以上述例题为例.
解设：O建A 立= a如=图(1,20所) ，示c =的O平C面= (直x,角y)坐，标系，
学会从不同的角度寻找解题的途径.
（作者单位：江苏省东台市唐洋中学） 35
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∵ ∴
Oa∙Bb==b0=，(∴0, 1a)⊥，b
,
由 |c - a - b| = 1 可得
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 ，
∴点 C 在以 (1,1) 为
圆心，1 为半径的圆上，
图2
∴ |c| 的最大值为 1 + 2 .
这里根据 a ⊥ b 分别以 OA、OB 为 x、y 轴建立平面直角坐标系，然后给各个向量赋予坐标，通过向量坐
解答本题，主要运用了绝对值不等式的性质
||a| - |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| ± |b| 、a + b≥ |a + b| 来建立新的不等式，然后通过解不等式求得 |c| 的最大值.
二、借助平面几何知识求解
平面向量是连接“数”与“形”的纽带.在求解平面
解：∵ a∙b= 0 ，a ，b 是单位向量，∴ |a + b| = 2 ，
∵ a + b≥ |a + b| ，
∴ |c - a - b| = |c -(a + b)| ≥ ||c| - |a + b|| = ||c| - 2| ，

向量最值题型解题方法

向量最值题型解题方法向量问题一般分为向量的运算和向量的性质两个方面。

其中向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法、向量积和点积等；而向量的性质包括向量的模、单位向量、平行向量和垂直向量等。

下面我将分别介绍这些向量问题的解题方法。

一、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加，其结果仍然是一个向量。

向量的加法满足交换律和结合律。

具体求向量的和时，只需将两个向量的对应分量相加即可。

2.向量的减法向量的减法是指将两个向量按照一定的规则相减，其结果仍然是一个向量。

向量的减法通过加上被减向量的负向量来实现。

具体求向量的差时，只需将两个向量进行相加，其中被减向量的各个分量取其相反数。

3.数量乘法向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘积，其结果仍然是一个向量。

具体求向量的数量乘法时，只需将向量的各个分量与实数相乘即可。

4.向量积5.点积点积又称为数量积或内积，表示为\(A \cdot B\)，是两个向量的数量积。

点积的结果是一个实数，等于两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值之积。

二、向量的性质1.向量的模向量的模是指向量的长度，表示为\(，A，\)或\(\，A\，\)，即向量的终点到原点的距离。

根据勾股定理可以求出向量的模。

2.单位向量单位向量是指向量模为1的向量。

具体求单位向量时，只需将向量的各个分量除以向量的模即可。

3.平行向量平行向量是指夹角为0度或180度的两个向量。

两个向量平行的判断条件是它们的方向相同或相反。

4.垂直向量垂直向量是指夹角为90度的两个向量。

两个向量垂直的判断条件是它们的点积等于0。

在解决向量最值问题时，我们需要根据题目要求选择合适的方法。

根据向量的运算和性质，可以采用如下解题思路：第一步，读清题意，明确向量的数量、方向和运算等要求。

第二步，根据题意选择合适的向量算法。

如果题目要求计算向量的和、差或数量乘法，可以直接利用向量的运算法则进行计算。

如果题目要求计算向量的模、单位向量、平行向量或垂直向量，可以利用向量的性质进行计算。

高考数学压轴题突破140 平面向量最值五种求解小绝招.doc

高考数学压轴题突破140 平面向量最值五种求解小绝招一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.类型二与向量夹角有关的范围问题【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．类型三与向量投影有关的最值问题类型五平面向量系数的取请点击此处输入图片描述值范围问题【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；学*科网（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.类型六平面向量与三角形四心的结合:【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．。

求解平面向量最值问题的几个途径

思路探寻平面向量最值问题通常要求根据给出的条件，求向量的模的最小值、数量积的最大值、夹角的最值等.解答此类问题，需要根据已知条件和向量知识，求得目标式，然后把问题转化为函数问题、几何最值问题.与此同时，由于平面向量具有“数”与“形”的双重身份，所以在解题时要灵活运用数形结合思想.那么求解这类问题有哪些途径呢？下面举例说明.一、根据三角函数的有界性对于一些与向量的数量积、夹角、模有关的最值问题，通常可根据向量的数量积公式，通过向量运算求得目标式.此时目标式为关于某个夹角的三角函数式，那么就可以将问题看作三角函数最值问题.通过三角恒等变换化简目标式，便可利用三角函数的有界性求得最值.在利用三角函数的有界性求最值时，要明确夹角的取值范围，熟悉并灵活运用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.例1.如图1，若△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则 OC ∙ AB + CA ∙CB 的最大值为______.解：因为∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则∠AOB =2∠ACB =π2，又因为AB =2，所以OA =OB =2，即外接圆的半径r =2.则 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC ∙() OB - OA +()OA - OC ∙()OB - OC= OC ∙ OB - OC ∙ OA + OA ∙ OB - OA ∙ OC - OC ∙ OB + OC 2= OA ∙ OB + OC 2-2 OA ∙ OC ,因为∠AOB =π2，OA ⊥OB ，即 OA ∙ OB =0.故 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC 2-2 OA ∙ OC =|| OC 2-2|| OA ∙||OC cos ∠AOC =2-4cos ∠AOC ，因为A 与C 不重合，所以 OA 与OC 的夹角的范围为(]0,π，故-1≤cos ∠AOC <1，所以当cos ∠AOC =-1，即当O 为AC 的中点时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值2-4×()-1=6.首先根据三角形和圆的性质、向量的数量积公式求得目标式，将所求目标转化为有关∠AOC 的三角函数式；然后确定∠AOC 的取值范围，即可根据余弦函数的有界性确定目标式的最值.图1图2二、利用平面几何图形的性质对于与图形有关的平面向量问题，通常可先根据向量的几何意义画出几何图形，并确定向量所表示的点的轨迹；然后分析图形中点、线、图形之间的位置关系，利用平面几何图形的性质求最值.例2.在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，2 BE =EC ，P 是平面ABCD 内的动点，且 AP ∙ AB =AP 2.若0<t <1，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 的最小值为______.解：由 AP ∙ AB = AP 2知： AP ∙( AB - AP )= AP ∙ PB =0,即 AP ⊥ PB ，所以P 在以AB 为直径的圆上，F 为圆心，于是以B 为原点，以BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图2所示的平面直角坐标系，所以A (0,2),D (3,2),E (1,0),F (0,1)，若P (x ,y )，则x 2+(y -1)2=1，则 BE =(1,0), DE =(-2,-2),PE =(1-x ,-y )，所以 BE +tDE =(1-2t ,-2t )， PE +(t -1)DE =(3-x -2t ,2-y -2t )，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 可看作点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和，又(3-2t ,2-2t )在直线x -y -1=0上，1<x <3，由图2可知G (2,2)关于DE 对称点为G ′(3,1)，故(|PH |+|GH |)min =|FG ′|-1=2，此时x =2,y =1,t =12.我们先根据矩形的特征建立平面直角坐标系；然后设P 点的坐标，求得各个向量的坐标以及 BE +tDE 、 PE +(t -1)DE 的表达式，即可根据其几何意义，将求||BE +t DE +|| PE +(t -1) DE 的最小值转化为求点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和的最小值；最后根据矩形和圆的对称性，确定H 的位置，即可求得最小值.47思路探寻例3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足||||a -b =2，且(c -a )∙(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈éëùûπ6,π3，则||c 的最大值是______.解：根据题意，作出如图3所示的图形.令a =OA,b = OB,c = OC，可得：||AB=2，且∠ACB=90°，取AB中点为M，则||CM=12||AB=1，则点C在以AB为直径的圆M上运动.由图可知，当O,M,C三点共线时，|| OC取得最大值，即|| OCmax=|| OM+1；不妨设三角形OAB的外接圆圆心为G，则GM⊥AB，在三角形OAB中，由正弦定理可得：2||OG=ABsinθ，即||OG=1sinθ,θ∈éëùûπ6,π3，故当θ=π6时，||OG max=2，||GM max=||OG2max-1=3；当O,M,G三点共线时，|| OM取得最大值，此时|| OMmax=||OG max+||GM max=2+3.故当θ=π6，且O,M,G,C四点共线时,|| OC max=3+3.根据题意和向量的几何意义作出几何图形，便可根据平面向量的基本定理以及正弦定理，确定||c 取得最大值的情形：O,M,G,C四点共线，即可利用数形结合思想求得最值.图3图4三、利用二次函数的性质在求解向量的最值问题时，可根据题意选取合适的基底，将目标式用基底表示出来，建立关于参数的关系式；也可根据题意建立适当的直角坐标系，通过平面向量的坐标运算，求得各点的坐标、向量的坐标以及目标式.最后将问题转化为函数最值问题，利用二次函数的性质来求最值.例4.已知在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°，CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且AM=xAB+12 AD.若点N为线段BD上一个动点，则 AN∙ MN的最小值为______.解：因为CE=2EB，CF=2FD，所以BE=13 BC， DF=13 DC，所以AE=AB+BE=AB+13 AD，AF=AD+DF=13 AB+ AD，因为点M在线段EF上，可设AM=λAE+(1-λ)AF=λ(AB+13 AD)+(1-λ)·(13 AB+ AD)=(13+23λ) AB+(1-23λ) AD，而AM=xAB+12 AD，所以ìíîïïx=13+23λ,1-23λ=12,解得λ=34，x=56，所以 AM=56 AB+12 AD，则|| AM2=æèöø56 AB+12 AD2=2536 AB2+56 AB∙ AD+14 AD2=49，所以|| AM=7，因为点N为线段BD上一个动点，可设AN=μAB+(1-μ)AD，μ∈[]0,1，所以MN=AN-AM=μAB+(1-μ)AD-(56 AB+12 AD)=(μ-56) AB+(12-μ) AD，所以AN∙MN=[μAB+(1-μ)AD]∙[(μ-56) AB+(12-μ)AD]=μ(μ-56) AB2+(-2μ2+73μ-56) AB∙ AD+(1-μ)(12-μ) AD2=36μ2-42μ+3=36æèöøμ-7122-374≥-374，则当μ=712时， AN∙ MN的最小值为-374．由于∠BAD=60∘，AB=6，所以以向量AB,AD为基底，根据平面向量的线性运算法则和数量积公式，求AN∙MN的表达式，最终将问题转化为二次函数的最值问题.通过配方，根据二次函数的单调性即可求得目标式的最值.由此可见，求解平面向量最值问题，关键是运用转化思想和数形结合思想，通过平面直角坐标系、平面向量的坐标运算法则、平面向量基本定理、向量的几何意义，根据目标式的结构特征，将原问题转化为三角函数、平面几何、二次函数最值问题.（作者单位：甘肃省康乐县第一中学）48。

解答平面向量最值问题的三种路径

平面向量最值问题主要考查平面向量的公式、定理的应用，对同学们的计算能力与综合分析能力都有较高的要求.此类问题的常见命题形式有：（1）求某个向量的模的最值；（2）求某两个向量数量积的最值；（3）求某个代数式的最值.本文以几个题目为例，详细介绍解答平面向量最值问题的几个路径.一、运用坐标系法若平面向量最值问题中涉及的图形为规则图形，就可以根据图形的特征，寻找相互垂直的两条直线，将其视为x 轴与y 轴，建立平面直角坐标系.求得各个点的坐标与线段的方向向量，并将其代入目标式，即可将问题转化为求某个代数式的最值.运用坐标系法解题比较直观、便捷.例1.如图所示， OA ， OB 的模长均为1，其夹角为120°，C 点在以O 为圆心的弧AB 上运动，若OC =x OA +yOB ，求x +y 的最大值.解：以O 为圆心，以OA 为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，设∠AOC =α，可得A (1,0)，B (-12,，C (cos α,sin α)，因为 OC =x OA +y OB ，所以(cos α,sin α)=x (1,0)+y (-12，，则ìíîïïïïx =cos αα，y =α，所以x +y =cos α+αα=2sin (α+π6)，由于0≤α≤23π，所以π6≤α+π6≤56π，可知sin (α+π6)≤1，所以当α=π3时，x +y 取得最大值，其最大值为2.运用坐标系法解题的关键在于建立合适的平面直角坐标系，这里以O 为原点，以OA 为x 轴的正方向，垂直于OA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.设∠AOC =α，便能根据题意快速求得A 、B 、C 三点的坐标以及x +y 的表达式，最后根据正弦函数的有界性就能求出最值.二、采用基底法基底法是求解平面向量最值问题的重要方法.我们知道，平面内的任意一个向量都可以用一组基底来表示.那么在求解平面向量最值问题时，可将目标向量用一组合适的基底表示出来，通过基底之间的数乘、加减运算以及数量积公式求得最值.例2.已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上，P (2,0)，AB ⊥BC ，求|| PA + PB +PC 的最大值.解：因为AB ⊥BC ，所以AC 是圆x 2+y 2=1的直径，又因为 PB = PO + OB ， PB + PC =2 PO ，所以|| PA + PB + PC =||3 PO + OB ≤3|| PO +|| OB=7,当且仅当 PO 和OB 同向时等号成立.故|| PA + PB + PC 的最大值为7.解答该题，需注意将数形结合，根据图形明确各个点的位置关系，选取合适的基底 PO 和 OB ，并用基底来表示出|| PA + PB + PC ，最后利用绝对值不等式的性质求得最值.三、利用函数性质法有些平面向量最值问题中的目标式较为复杂，很难快速求得最值，此时不妨选取合适的变量，根据目标式的特征构造函数模型，将平面向量最值问题转变成函数最值问题，利用函数的图象与性质求最值.例3.已知扇形AOB 的半径为2，∠AOB =120°，如果点C 为扇形圆弧上的一动点，OC 与AB 相交于点P ，求 OP ∙ AP 的最小值.解：由题意可得：AB =23，设 AP =tAB ，0≤t ≤1，则 OP = OA +t AB ,所以 OP ∙ AP =t 2 AB 2+t OA ∙ AB =12t 2-6t =12(t -14)2-34≥-34，所以当t =14时，12(t -14)2-34取得最小值-34，所以 OP ∙ AP 的最小值为-34.解答本题，要先根据平面向量的共线定理，引入参数t ，求得 OP ∙AP 的表达式；然后将其视为关于t 的函数式，对其配方，根据二次函数的性质求得最小值.求解平面向量最值问题的路径很多，在遇到不同题目时，可以从多个方面进行考虑，根据题意和解题经验选择最合适的、最简单的路径求解，有时也需综合运用多个路径来解题.（作者单位：南京大学附属中学）张子超备考指南52。

巧用向量方法解决最值问题

巧用向量方法解决最值问题(总4页)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March巧用向量方法求解决最值问题梁常东1 蒋晓云 2（1钦州师专数学与计算机科学系广西钦州 535000 2桂林师专数学与计算机科学系广西桂林 541001）在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。

1 利用向量的数量积求最值设向量),,(y x m = ，),(b a n =则n m 与的数量积为：()by ax n m n m n m +=∠⋅=⋅,cos ，从而有：n m n m⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m（1）()22222222)( , b a by ax y x nn m m ++≥+⋅≥即 ,当且仅当同向时取等号与n m （2）完全类似地，设向量),,(z y x m = ，),,(c b a n =，则n m 与的数量积为：cz by ax n m ++=⋅，从而也有：n m n m ⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m；()2222222222)(c b a cz by ax x y x nn m m ++++≥++⋅≥即，当且仅当同向时取等号与n m。

在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面举例说明：例1设y x,∈R +,且102=+y x ,求函数22y x w += 的最小值。

解:设)2,1(),y (x,==n m,由定义有：5,,1022222=+==+=⋅n y x m y x n m从而 ()22222nn m m y x w ⋅≥=+==205102=,当且仅当n m 与同向,即021>=yx 时取等号，所以当5.2,5==y x 时，22y x w +=取得最小值20。

破解向量最值问题的三种有效途径

破解向量最值问题的三种有效途径
张树鹏
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2017(000)011
【摘要】向量最值是高中数学重要内容,基于向量的几何、代数、不等式的特征,渗透数形结合思想、函数思想与不等式思想,采用数形结合法、函数构造法与灵活放缩不等式,是破解向量最值的三种有效的途径方法.
【总页数】1页(P126-126)
【作者】张树鹏
【作者单位】甘肃省古浪县第五中学,甘肃武威733000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.破解平面向量数量积问题的三种途径
2.破解向量最值问题的三种有效途径
3.强化几种意识破解向量最值问题
4.平面向量最值问题的破解策略
5.数学核心素养理念下利用直线与圆的向量表示巧解向量最值问题探析
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