对于每项均是正整数的数列A

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2014年高考数学(文)难题专项训练(2)数列(含答案)

【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：数列1.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，10,5分）若数列满足，则当取最小值时的值为()A. 或B.C.D. 或2.(2013年湖北七市高三4月联考，9,5分) 如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8.8，则正方体的个数至少是()A. 6B. 7C. 8D. 103.(2013年北京海淀区高三第二次模拟，8,5分) 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知¥数列满足，则下列结论中错误的是（）A. 若，则可以取3个不同的值B. 若，则数列是周期为的数列C. 且，存在，是周期为的数列D. 且，数列是周期数列4.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，9,5分）等差数列前项和为，已知则(）A. B.C. D.5. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,7，3分)已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足，且，，若有穷数列（）的前n项和等于，则n等于()A．4B．5C．6D．76. (2012北京东城区高三模拟，8,5分)定义：已知数列则的值为()7.(2012河南省毕业班模拟，11,5分)已知F 1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是()A．2B．3C．4D．58.(2009江西, 8, 5分) 数列{a n}的通项a n=n2·, 其前n项和为S n, 则S30为()A. 470B. 490C. 495D. 5109.(2013年河南十所名校高三第二次联考，16,5分) 设数列是等差数列，数列是等比数列，记数列{}，{}的前n项和分别为，. 若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4（T6－T4），则＝____________.10.（2013年广东省广州市高三4月综合测试，13，5分）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则；.11. (2012北京海淀区高三11月月考，14,5分)数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值．（Ⅰ）若，则的峰值为；（Ⅱ）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是．12. （2012安徽合肥高三第二次检测，14,5分）设函数的最大值和最小值分别为和，且，13.(2012河南高三模拟，16,5分)某数表中的数按一定规律排列,如下表所示,从左至右以及从上到下都是无限四川分记为不超过实数的最大整数例如设为正整数数列n满足x1=a,x n+1=(n∈N*). 现有下列命题:①当a=5时,数列{x n}的前3项依次为5,3,2;②对数列{x n}都存在正整数k,当n≥k时总有x n=x k;③当n≥1时,x n>-1;④对某个正整数k,若x k+1≥x k,则x k=[].其中的真命题有. (写出所有真命题的编号)15.(2008江苏, 10, 5分) 将全体正整数排成一个三角形数阵:12 345 6789101112131415………………根据以上排列规律, 数阵中第n(n≥3) 行的从左至右的第3个数是.16.(2009湖南, 15, 5分) 将正△ABC分割成n2(n≥2, n∈N*) 个全等的小正三角形(图1, 图2分别给出了n=2, 3的情形) , 在每个三角形的顶点各放置一个数, 使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时) 都分别依次成等差数列. 若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1, 记所有顶点上的数之和为f(n) , 则有f(2) =2, f(3) =, …, f(n) =.图1图217.(2011湖南, 16, 5分) 对于n∈N*, 将n表示为n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+a k-1×21+a k×20, 当i=0时, a i=1, 当1≤i≤k时, a i为0或1. 记I(n) 为上述表示中a i为0的个数(例如:1=1×20, 4=1×22+0×21+0×20, 故I(1) =0, I(4) =2) ,则(1) I(12) =;(2) 2I(n) =.18.(2011江苏, 13, 5分) 设1=a1≤a2≤…≤a7, 其中a1, a3, a5, a7成公比为q的等比数列, a2, a4, a6成公差为1的等差数列, 则q的最小值是.19.(2009上海, 12, 4分) 已知函数f(x) =sin x+tan x. 项数为27的等差数列{a n}满足a n∈, 且公差d≠0. 若f(a1) +f(a2) +…+f(a27) =0, 则当k=时, f(a k) =0.20.(2007湖南, 15, 5分) 将杨辉三角中的奇数换成1, 偶数换成0, 得到如图所示的0-1三角数表. 从上往下数, 第1次全行的数都为1的是第1行, 第2次全行的数都为1的是第3行, …, 第n次全行的数都为1的是第行;第61行中1的个数是.第1行1 1第2行10 1第3行111 1第4行1000 1第5行11001 1………………………………………21.(2008北京, 14, 5分) 某校数学课外小组在坐标纸上, 为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点P k(x k, y k) 处, 其中x1=1, y1=1, 当k≥2时,T(a) 表示非负实数a的整数部分, 例如T(2. 6) =2, T(0. 2) =0. 按此方案, 第6棵树种植点的坐标应为;第2 008棵树种植点的坐标应为.22.(2009湖北, 15, 5分) 已知数列{a n}满足:a1=m(m为正整数) , a n+1=若a6=1, 则m所有可能的取值为.23.(2010湖南, 15, 5分) 若数列{a n}满足:对任意的n∈N*, 只有有限个正整数m使得a m<n成立, 记这样的m 的个数为(a n) *, 则得到一个新数列{(a n) *}. 例如, 若数列{a n}是1, 2, 3, …, n, …, 则数列{(a n) *}是0, 1, 2, …, n-1, …. 已知对任意的n∈N*, a n=n2, 则(a5) *=, ((a n) *) *=.24.（2013安徽省皖南八校高三第三次联合考试21,14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a，=ka n+1且常数k满足0< |k|< 1.Sn(I) 求数列{a n}的通项公式；(II) 对于每一个正整数m, 若将数列中的三项a m+1，a m+2，a m+3按从小到大的顺序调整后，均可构成等差数列，且记公差为d m，试求k的值及相应d m的表达式(用含m的式子表示) ；(III) 记数列{d m} (这里d m是(2) 中的d m的前m项和为T m=d1+d2+…+d m. 问是否存在a, 使得T m< 90对恒成立？若存在，求出a的最大值; 若不存在，请说明理由.25.（2013年安徽省皖南八校高三第三次联考，20,13分）已知椭圆为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，且构成等差数列，点到直线的距离为3。

2023-2024学年北京市石景山区高三上学期期末数学试题+答案解析

2023-2024学年北京市石景山区高三上学期期末数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.已知复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则()A.5B.C.D.3.展开式中含的项的系数为()A.8B.C.4D.4.已知向量，若，则()A. B.1 C.2 D.5.已知为等差数列的前n项和，若，则()A.24B.26C.28D.306.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A. B. C. D.7.设函数，则()A.2B.5C.7D.108.在中，，则()A. B. C. D.9.设函数，则是()A.偶函数，且在区间单调递增B.奇函数，且在区间单调递减C.偶函数，且在区间单调递增D.奇函数，且在区间单调递减10.在正方体中，点P在正方形内不含边界，则在正方形内不含边界一定存在一点Q，使得()A. B.C.平面D.平面平面ABC二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数的定义域为__________.12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为__________.13.某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：并整理得到如右频率分布直方图，则图中的t值为__________，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为__________每组成绩用中间值代替14.已知命题p：若，则能说明p为假命题的一组的值为__________，__________.15.在数列中，，给出下列四个结论：①若，则一定是递减数列；②若，则一定是递增数列；③若，，则对任意，都存在，使得；④若，，且对任意，都有，则k的最大值是其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

湖南省“湘豫联考”2025届高三9月联考数学试题(含答案)

湖南省“湘豫联考”2025届高三9月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知x，y∈R，i为虚数单位，则“x=−1，y=2”是“x+yi=(2+i)i”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知双曲线C:x29−y2m=1的离心率为3，则m的值为( )A. 18B. 32C. 27D. 233.数据7，3，6，5，10，14，9，8，12的第60百分位数为( )A. 14B. 9.5C. 8D. 94.已知函数f(x)={log2x,x>0,(x+1)2,x<0,g(x)=f(−x)+1，则g(x)的图象大致是( )A. B.C. D.5.在等比数列{a n}中，记其前n项和为S n，已知a3=−a2+2a1，则S8S4的值为( )A. 2B. 17C. 2或8D. 2或176.在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个.现从中不放回地依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为( )A. 710B. 79C. 23D. 567.已知关于x 的不等式(x−2a)[x 2−(2a +1)x +1]≥0对任意x ∈(0,+∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−32,0]B. [−32,12]C. (−∞,0]D. (−∞,−32)8.在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0,52)，圆C:(x−5)2+(y−52)2=1，点T(t,0)为x 轴上一动点.现由点P 向点T 发射一道粗细不计的光线，光线经x 轴反射后与圆C 有交点，则t 的取值范围为( )A. [158,103]B. [74,103]C. [74,278]D. [158,278]二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

江苏专版2020届高三数学一轮复习《数列》典型题精选精练附答案详析

则称数列{an}为 P(k)数列．（1）若等比数列{an}为 P(4)数列，求 a1 的值；（2）已知 m 为给定的正整数，且 m≥2． ① 若公差为正数的等差数列{an}是 P(2m＋3)数列，求数列{an}的公差； qn－1，1≤n≤m，n∈N*， 3 ② 若 an＝ m－n，m＋1≤n≤2m，n∈N*，其中 q 为常数，q＜－1．判断数列{an}是否为 P(2m) 12 数列，说明理由．
3、（南京市 13 校 2019 届高三 12 月联合调研）设等比数列 {an }的前 n 项积为 Pn ，若 P12 = 32P7 ，则
a10 的值是 ▲ ．
4、（苏州市
2019
届高三上学期期中）已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn
，S4 S2

4
，则
S8 S4

▲．
5、（徐州市 2019 届高三上学期期中）已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， S11 132 ， a6 a9 30 ，则 a12 的值为 ▲ ．
（3）若数列 an
的各项均为正数，且an M
，数列
4n

an
中是否存在无穷多项依次成等差数列，
若存在，给出一个数列an 的通项；若不存在，说明理由．
4、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{an2}的前 n 项和为 Tn，且 3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*．（1）求 a1 的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若 k，t∈N*，且 S1，Sk－S1，St－Sk 成等比数列，求 k 和 t 的值．
．
11、（苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查（二））已知数列an 是各项都不为 0 的无穷数列，

2024年高考数学新题型之19题压轴题专项汇编(学生版)

2024新题型之19压轴题1.命题方向2024新题型之19压轴题以大学内容为载体的新定义题型以数列为载体的新定义题型以导数为载体的新定义题型两个知识交汇2.模拟演练题型01以大学内容为载体的新定义题型1(2024·安徽合肥·一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意n∈N*，定义“q-数”(n)q=1+q+⋯+q n-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n !q=(1)q(2)q⋯(n)q,且0 !q=1.和“q-组合数”，即对任意k∈N,n∈N*,k≤n，nk q=n !qk !q n-k!q(1)计算：53 2；(2)证明：对于任意k,n∈N*,k+1≤n，nk q=n-1k-1q+q kn-1kq(3)证明：对于任意k,m∈N,n∈N*,k+1≤n，n+m+1 k+1q -nk+1q=∑mi=0q n-k+in+ikq.2(2024·广东江门·一模)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5 =2024①，称五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5为方程①的解，对于上述的五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5，当1≤i,j≤5时，若max(x i-x j)=t(t∈N)，则称x1,x2,x3,x4,x5是t-密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解x1,x2,x3,x4,x5，使得x i+1-x i i=1,2,3,4等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记S=5i=1x2i，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.3(2024·江苏四校一模)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A，B；C，D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1，B1；C1，D1)= (A2，B2；C2，D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与△E′F′G′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与△E′F′G′对应边的交点在一条直线上．题型02以数列为载体的新定义题型4(2024·安徽黄山·一模)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列a n ，规定Δa n 为数列a n 的一阶差分数列，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，规定Δ2a n 为数列a n 的二阶差分数列，其中Δ2a n =Δa n +1-Δa nn ∈N *．(1)数列a n 的通项公式为a n =n 3n ∈N * ，试判断数列Δa n ,Δ2a n 是否为等差数列，请说明理由？(2)数列log a b n 是以1为公差的等差数列，且a >2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n =b m ，求a 的值；(3)各项均为正数的数列c n 的前n 项和为S n ，且Δc n 为常数列，对满足m +n =2t ，m ≠n 的任意正整数m ,n ,t 都有c m ≠c n ，且不等式S m +S n >λS t 恒成立，求实数λ的最大值．5(2024·辽宁葫芦岛·一模)大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作L M ,N 删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列a n 的通项公式a n =3n -1，n ∈N +，通过“数据漏斗”软件对数列a n 进行L 3,1 操作后得到b n ，设a n +b n 前n 项和为S n ．(1)求S n ；(2)是否存在不同的实数p ,q ,r ∈N +，使得S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出所有的p ,q ,r ；若不存在，说明理由；(3)若e n =nS n2(3n-1)，n ∈N +，对数列e n 进行L 3,0 操作得到k n ，将数列k n 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到p n ，再将p n 的每一项都加上自身项数，最终得到c n ，证明：每个大于1的奇平方数都是c n 中相邻两项的和．6(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零，n ∈N * ，对任意a n ∈S ，设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯，x ∈R ．定义运算⊗：若a n ,b n ∈S ，则a n ⊗b n∈S ，f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n ．(1)若a n ⊗b n =m n ，用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4；(2)证明：a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ；(3)若a n =n +12+1n n +1,1≤n ≤1000,n >100，b n =12203-n,1≤n ≤5000,n >500，d n =a n ⊗b n ，证明：d 200<12．7(2024·江苏徐州·一模)对于每项均是正整数的数列P：a1,a2,⋯,a n，定义变换T1，T1将数列P变换成数列T1P ：n,a1-1,a2-1,⋯,a n-1．对于每项均是非负整数的数列Q:b1,b2,⋯,b m，定义S(Q)=2(b1+2b2+⋯+mb m)+b21+b22+⋯+b2m，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2Q ．(1)若数列P0为2，4，3，7，求S T1P0的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令P k+1=T2T1P k，k∈N．(i)探究S T1P0与S P0的关系；(ii)证明：S P k+1．≤S P k题型03以导数为载体的新定义题型8(2024·广东惠州·一模)黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数f x =x s-1e x-1(x>0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题．(1)当1<s≤2时，讨论f x 的单调性；(2)当s>2时；①证明f x 有唯一极值点；②记f x 的唯一极值点为g s ，讨论g s 的单调性，并证明你的结论．9(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f x 在x=0处的n n∈N*阶导数都存在时，f x =f0 +f 0 x+f 02!x2+f3 03!x3+⋯+f n 0n!x n+⋯．注：f x 表示f x 的2阶导数，即为f x 的导数，f n x n≥3表示f x 的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯．当x≥0时，试比较cos x与1-x22的大小，并给出证明；(3)设n∈N*，证明：nk=11(n+k)tan1n+k>n-14n+2．10(2024·山东菏泽·一模)帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+a m x m1+b1x+⋯+b n x n，且满足：f(0)=R(0)，f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．(注：f (x)=f (x)，f (x)= f (x)，f(4)(x)=f (x)，f(5)(x)=f(4)(x)，⋯；f(n)(x)为f(n-1)(x)的导数)已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的1,1阶帕德近似为R(x)=ax1+bx．(1)求实数a，b的值；(2)比较f x 与R(x)的大小；(3)若h(x)=f(x)R(x)-12-mf(x)在(0,+∞)上存在极值，求m的取值范围．题型04两个知识交汇11【概率与数列】(2024·山东聊城·一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3. 一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.12【概率与函数】(2024·广东汕头·一模)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k=tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.(1)若n=4,k=2，求P；(2)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k +1k+1+⋯+1n-1=ln nk)13【解析几何与立体几何】(2024·山东日照·一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12经过点F1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l与椭圆交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且△ABF2的周长为8．将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-F1F2-B为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为A ，B ．(1)当θ=π3时，①求证：A O⊥B F2；②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成角的余弦值；(2)是否存在θ0<θ<π2，使得折叠后△A B F2的周长为152？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．14【导数与三角函数】(2024·山东烟台·一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点O ,t 为AM 绕点A 转过的角度(单位：弧度，t ≥0).(1)用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ；(2)设点M 的轨迹在点M 0(x 0,y 0)(y 0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1+cos2θy 0为定值；(3)若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为(x (t ),y (t )),t ∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F (β)-F (α)，其中函数F (t )满足F (t )=[x (t )]2+[y (t )]2.当点M 自点O 滚动到点E 时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE 的长度.15【导数与数列】(2024·山东济宁·一模)已知函数f x =ln x -12ax 2+12a ∈R ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若0<x 1<x 2，证明：对任意a ∈0,+∞ ，存在唯一的实数ξ∈x 1,x 2 ，使得f (ξ)=f x 2 -f x 1 x 2-x 1成立；(3)设a n =2n +1n2，n ∈N *，数列a n 的前n 项和为S n ．证明：S n >2ln (n +1)．。

原题目：数列的性质

原题目：数列的性质引言数列是指由一组按一定规律排列的数所组成的序列。

本文将探讨数列的性质及其特点。

1. 数列的定义数列是数的排列次序的集合，按照一定规则排列形成的序列。

数列可以用以下方式表示：$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其中$n$表示数列的长度或个数。

2. 数列的性质数列具有以下常见的性质：2.1. 通项公式数列中的每一项都可以用一个通项公式表示。

通项公式是数列中的第$n$项与$n$的关系式。

例如，一个等差数列的通项公式可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。

2.2. 公差对于等差数列而言，相邻两项的差值称为公差。

公差可以表示数列的增长或减少趋势。

如果公差大于0，则数列为递增数列；如果公差小于0，则数列为递减数列。

2.3. 首项和末项数列中的第一个数称为首项，最后一个数称为末项。

首项通常用$a_1$表示，而末项则使用$a_n$表示。

2.4. 递推关系数列中的每一项都可以通过递推公式计算得到。

递推关系是数列中的第$n$项与前一项的关系式。

递推关系可以是线性的，也可以是非线性的。

3. 数列的分类根据数列的性质不同，数列可以分为以下几个常见分类：3.1. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差均为固定值的数列。

等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。

3.2. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比均为固定值的数列。

等比数列的通项公式为$a_n = a_1 \times r^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$r$为公比。

3.3. 斐波那契数列斐波那契数列是指第一项和第二项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和的数列。

斐波那契数列的通项公式为$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$。

结论数列是数的有序排列，具有各自特定的性质和特点。

了解数列的性质和分类有助于我们更好地理解数学中的规律和模式。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编3.4 数列综合应用

第三章数列四数列综合应用【考点阐述】数列综合应用【考试要求】（4）运用等差数列、等比数列及求和知识解决数列综合问题。

【考题分类】（一）解答题（共35题）1.（安徽卷理21）设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；（Ⅱ）设103c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c++>+-∈- 解 (1) 必要性：120,1a a c ==-∵∴ ，又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈充分性：设[0,1]c ∈，对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈ 当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立(2) 设 103c <<，当1n =时，10a =，结论成立当2n ≥ 时，3211111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴103C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 21113n n a a --++≤ 且 110n a --≥ 113(1)n n a c a --≤-∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-= ∴1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴(3) 设 103c <<，当1n =时，2120213a c=>--，结论成立当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴ 222222112212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++ ∴2(1(3))2111313n c n n c c-=+->+---2.（安徽卷文21）设数列{}n a 满足*01,1,,n n a a a ca c c N +==+-∈其中,a c 为实数，且0c ≠（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）设11,22a c ==，*(1),n n b n a n N =-∈,求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）若01n a <<对任意*n N ∈成立，证明01c <≤ 解 (1) 方法一： 11(1)n n a c a +-=-∵∴当1a ≠时，{}1n a -是首项为1a -，公比为c 的等比数列。

2023年高考数学一轮复习第六章数列3等比数列练习含解析

等比数列考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k. (5)若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n－A (A ≠0，q ≠1,0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( × )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．±12答案 D解析设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝±12.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列，且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25， ∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25. 又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．答案 1,3,9或9,3,1解析设这三个数为a q，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＋aq ＝13，a ·aq ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n等于( ) A ．2n－1 B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n－1答案 B解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n.方法二设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 51－q＝13×1－351－3＝1213. 教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________. 答案 54或24解析由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于( ) A ．－2或32 B ．－2或64 C ．2或－32 D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2，解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64，当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q.跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n.又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋11－2101－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ①求{a n }的通项公式； ②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－－22n]1－－22＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n . (1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)解由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1.思维升华等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 11－q31－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于( ) A.20243 B ．1011 C.20232D ．1012答案 C解析由题意得a 5a 2019＝3，根据等比数列性质知，a 1a 2023＝a 2a 2022＝…＝a 1011a 1013＝a 1012a 1012＝3，于是a 1012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023 ＝log 3(a 1a 2a 3…a 2023)11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50 答案 B解析数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， ∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，又由已知得S 6＝3S 3， ∴S 9－S 6＝4S 3， ∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20 答案 C解析易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0. 因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16， ∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＋1a 5＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( ) A.643B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8，所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1，所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A ．2B ．4C.92D ．6答案 B解析根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 B解析由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13.4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( ) A ．6里 B ．12里 C ．24里 D ．48里答案 C解析由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24.5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q的等比数列答案 AD 解析对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列；对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( ) A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2答案 ABD解析由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)，又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1，又S 1＝a 1＝1，适合上式，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n3n －1＝3，所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 11－q 31－q ＝a 11－81－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________.答案 3 81解析由{a n }是等比数列，得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，故a 7＝3，a 4＝a 7q3＝81.9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列． (1)解 S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n (n －1)＝n 2＋(a 1－1)n ，又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，所以q ＝3，所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13，所以T n ＝131－3n1－3＝3n－16，所以T n ＋16＝3n 6，又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列．10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10. (1)证明由S n ＋1＝4a n ＋1，得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2a n －2a n －1a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列． (2)解由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n，所以c n ＝|2n－100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n，n ≤6，2n－100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400 ＝200－21－261－2＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋－1n3D ．S 20＝23(410－1)答案 ABD解析因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1，所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；若a n ＝2n ＋1＋－1n3，则a 2＝23＋－123＝3，但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝21－4101－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1， ∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列， ∴S n 无最大值，故C 错误；又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2015＝T 2021，则log 3a 2019log 3a 2021＝________.答案 15解析由题意得，T 2015＝T 2021＝T 2015·a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021，所以a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021＝1，根据等比数列的性质，可得a 2016a 2021＝a 2017a 2020＝a 2018a 2019＝1，设等比数列的公比为q ，所以a 2016a 2021＝a 20212q 5＝1⇒a 2021＝52,qa 2018a 2019＝a 20192q＝1⇒a 2019＝12,q所以log 3a 2019log 3a 2021＝123523log 1.5log q q14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案132解析由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎪⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 答案 AD解析对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确． 16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n 项和为2n －1·3n＋12.(1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1·3n＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝2n －3·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34.因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。

专题10 数列-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)(原卷版)

专题10数列考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：等差数列基本量运算2023年全国Ⅰ卷、2024年全国Ⅱ卷2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题高考对数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．等差数列、等比数列以选填题的形式为主，数列通项问题与求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.考点2：等比数列基本量运算2023年全国Ⅱ卷、2023年天津卷2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题考点3：数列的实际应用2024年北京高考数学真题2023年北京高考数学真题2022年新高考全国II卷数学真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点4：数列的最值问题2022年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年北京高考数学真题考点6：等差数列与等比数列的综合应用2022年新高考浙江数学高考真题2022年新高考全国II卷数学真题2024年北京高考数学真题考点7：数列新定义问题2022年新高考北京数学高考真题2024年上海夏季高考数学真题2023年北京卷、2024年北京卷考点8：数列通项与求和问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年天津高考数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考天津数学高考真题考点9：数列不等式2023年天津高考数学真题2023年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点1：等差数列基本量运算1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =．3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A ．25B ．22C ．20D ．154．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A ．－1B ．12-C ．0D ．125．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（）A ．2-B ．73C ．1D ．296．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（）A ．72B ．73C ．13-D ．711-7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n T ．8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =.9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点2：等比数列基本量运算10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）．A ．120B ．85C ．85-D ．120-11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（）A ．158B ．658C ．15D ．4012．（2023年天津高考数学真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()112,22N n n a a S n *+==+∈，则4a =（）A ．16B ．32C ．54D ．16213．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A ．14B ．12C ．6D ．314．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为．15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =.考点3：数列的实际应用16．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为mm ，升量器的高为mm ．17．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =；数列{}n a 所有项的和为．18．（2022年新高考全国II 卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.919．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <考点4：数列的最值问题20．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．21．（2022年新高考北京数学高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）22．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的前n 项和.23．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =：过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意正整数n ，1n n S S +=.24．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（）A ．100521002a <<B ．100510032a <<C ．100731002a <<D ．100710042a <<25．（2023年北京高考数学真题）已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（）A ．当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立B ．当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立C ．当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立D ．当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立考点6：等差数列与等比数列的综合应用26．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．27．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．28．（2024年北京高考数学真题）设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素；②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素；③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素；④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是.考点7：数列新定义问题29．（2022年新高考北京数学高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．30．（2024年上海夏季高考数学真题）无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=-∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是．31．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．32．（2023年北京高考数学真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．33．（2024年北京高考数学真题）已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．考点8：数列通项与求和问题34．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．35．（2024年天津高考数学真题）已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，*k ∈N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．36．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．37．（2022年新高考天津数学高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nk k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．考点9：数列不等式38．（2023年天津高考数学真题）已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．(1)求{}n a 的通项公式和()1212N n n ii a n --*=∈∑．(2)设{}n b 是等比数列，且对任意的*N k ∈，当1221k k n -≤≤-时，则1k n k b a b +<<，（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121kk k b -<<+；（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及前n 项和．39．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当5n >时，n n T S >．40．（2022年新高考全国I 卷数学真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．。

高考数学压轴题专题训练定义新概念型综合1

2012届高三压轴题专题训练（定义新概念型综合题）1、已知在平面直角坐标系xoy 中，若在曲线1C 的方程0),(=y x F 中，以),(y x λλλ(为正实数）代替),(y x 得到曲线2C 的方程0),(=y x F λλ，则称曲线21C C 、关于原点“伸缩”，变换),(),(y x y x λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．(Ⅰ)已知曲线1C 的方程为14922=-y x ，伸缩比2=λ，求1C 关于原点“伸缩变换”后所得曲线2C 的标准方程；(Ⅱ)射线l 的方程)0(22≥=x x y ，如果椭圆：1C 141622=+y x 经“伸缩变换”后得到椭圆2C ，若射线l 与椭圆21C C 、分别交于两点B A 、，且2=AB ，求椭圆2C 的标准方程；(Ⅲ)对抛物线x p y C 1212=：，作变换),(),(11y x y x λλ→，得抛物线x p y C 2222=：；对2C 作变换),(),(22y x y x λλ→得抛物线x p y C 3232=：，如此进行下去，对抛物线x p y C n n 22=：作变换),(),(y x y x n n λλ→,得抛物线x p y C n n 1212++=：，．若n n p )21(,11==λ，求数列{}n p 的通项公式n p ．2对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1()-污物质量物体质量含污物)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a (1≤a ≤3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.81x x ++(1x a >-),用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是y ac y a ++,其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度.(Ⅰ)分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.3、对于区间],[n m 上有意义的两个函数()x f 和()x g ，如果对任意的[]n m x ,∈，均有1|)()(|≤-x g x f ，则称()x f 与()x g 在],[n m 上是接近的，则称否()x f 与()x g 在],[n m 上是非接近的。

大胆预测2009年高考中的压轴_戏_陈秀峰

2 -a n ＊＊
a2 k +1
+ak +1 -1
=a2 k
, k =1 , 2 , … , n -1) =a2 1 .
因为 a1 =0 , 所以 S n =n 1 an <1 , 所以 S n >n 2.
. -a2 n +1 <1 得
由 an <an +1 及 an +1 =1
+a2 n
( Ⅲ)由 a2 1 +a2 2 ak , 得 k +1 +ak +1 = k ≥ ak +1 1 ≤ ( k= 2 , 3 , …, n 1 , n ≥3) , 1 +ak +1 2ak an 1 所以 ≤ ( 1 +a3) ( 1 +a4) …( 1 +an ) 2n -2 a 2 ( a ≥3) , 1 ( 1 +a 2) ( 1 +a 3) …( 1 +an) an an 1 = n -2 < n -2 ( n≥ 3) , n -2 2 2 ( a2 +a2 ) 2 2 于是故当 n ≥3 时 , T n <1 +1 + 3 , 又因为 T 1 <T 2 <T 3 , 所以 T n <3 ( n ∈N ) . 点评本题以非线性递推关系给出 , 主要考查数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能 , 同时考查逻辑推理能力 . 此题构思精巧、不偏不怪、但学生解答差异很大 . 例 2 已知数列 { an } 和{ bn } 满足 : a1 =λ , 2 n an +1 = an +n -4 , bn = ( -1) ( an -3 n +21) , 3 其中 λ 为实数 , n 为正整数 . ( Ⅰ)对任意实数 λ , 证明数列{ an } 不是等比数列 ; ( Ⅱ)试判断数列{ bn } 是否为等比数列 , 并证

(学生版)2024年高考数学真题分类汇编04：数列

数列一、单选题1．（2024·全国）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A ．2-B ．73C ．1D ．292．（2024·全国）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A ．2-B ．73C ．1D ．2二、填空题3．（2024·全国）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =.4．（2024·北京）已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素；②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素；④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.5．（2024·上海）无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=-ÎÈ，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是．三、解答题6．（2024·全国）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j £<£，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ³时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．7．（2024·全国）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.8．（2024·全国）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的通项公式.9．（2024·全国）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．10．（2024·北京）设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =ÎÎÎÎ+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ££，及序列12:,,...,s w w w W ，(),,,k k k k k i j s t M w =Î，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A W ．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7W ，写出()A W ；(2)是否存在序列W ，使得()A W 为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的W ；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列W ，使得()A W为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．11．（2024·天津）已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列、函数与集合新定义)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列、函数与集合新定义)汇编考点01 数列新定义一、小题1．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设正整数010112222k kk k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（） A ．()()2n n ωω= B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21nn ω-=2．（2020∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）0‐1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0‐1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0‐1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)m i i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0‐1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（） A ．11010 B ．11011C ．10001D ．11001二、大题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列； (2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >． 2．（2024∙北京∙高考真题）已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．3．（2023∙北京∙高考真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值； (2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．4．（2022∙北京∙高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列． (1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．5．（2021∙北京∙高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=； ②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，‐2，‐2，‐1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由；（2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．6．（2020∙北京∙高考真题）已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n …，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n l a a a =． ()Ⅰ若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；()Ⅱ若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；()Ⅲ若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.7．（2020∙江苏∙高考真题）已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为Sn ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ~k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ~1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且an ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ~3”数列，且an ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，8．（2019∙江苏∙高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．考点02 函数新定义一、大题1．（2024∙上海∙高考真题）对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； (2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2．（2020∙江苏∙高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()2222()f x x x g x x x D =+=-+=-∞+∞，，，，求h (x )的表达式；（2）若2()1()ln (),(0)f x x x g x k x h x kx k D =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()()()()422342248432(0f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[],D m n ⎡=⊆⎣，求证：n m -≤．考点03 集合新定义一、小题1．（2020∙浙江∙高考真题）设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T②对于任意x，y∈T，若x<y，则yx∈S；下列命题正确的是（）A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素考点04 其他新定义1．（2020∙北京∙高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔∙卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔∙卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．30303sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭B．30306sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭C．60603sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭D．60606sin tannn n︒︒⎛⎫+⎪⎝⎭参考答案考点01 数列新定义一、小题1．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设正整数010112222k kk k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（） A ．()()2n n ωω= B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21nn ω-=【答案】ACD【详细分析】利用()n ω的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.【答案详解】对于A 选项，()01k n a a a ω=+++ ，12101122222k k k k n a a a a +-=⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以，()()012k n a a a n ωω=+++= ，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，()73ω∴=，而0120212=⋅+⋅，则()21ω=，即()()721ωω≠+，B 选项错误；对于C 选项，3430234301018522251212222k k k k n a a a a a a +++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅ ，所以，()01852k n a a a ω+=++++ ，2320123201014322231212222k k k k n a a a a a a +++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅ ，所以，()01432k n a a a ω+=++++ ，因此，()()8543n n ωω+=+，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n --=+++ ，故()21nn ω-=，D 选项正确.故选：ACD.2．（2020∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）0‐1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0‐1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0‐1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)m i i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0‐1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（） A ．11010 B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C【详细分析】根据新定义，逐一检验即可【答案详解】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、大题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列； (2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】(1)()()()1,2,1,6,5,6 (2)证明见解析 (3)证明见解析【详细分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【答案详解】（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6. 所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组. （如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠. 此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列： ①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组； ③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组. （如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠. 此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈. 则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >. 由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组； ③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组. （如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=. 但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈. 设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个. 所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++. 这就证明了结论.【点评】关键点点评：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.2．（2024∙北京∙高考真题）已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．【答案】(1)():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω (2)不存在符合条件的Ω，理由见解析 (3)证明见解析【详细分析】（1）直接按照()ΩA 的定义写出()ΩA 即可；（2）解法一：利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；解法二：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，可知序列Ω共有8项，可知：()()2122128,1,2,3,4n n n n b b a a n --+-+==，检验即可；（3）解法一：分充分性和必要性两方面论证；解法二：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+，分类讨论1357,,,a a a a 相等得个数，结合题意证明即可；若存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列，结合定义详细分析证明即可.【答案详解】（1）因为数列:1,3,2,4,6,3,1,9A ，由序列()11,3,5,7T 可得()1:2,3,3,4,7,3,2,9T A ；由序列()22,4,6,8T 可得()21:2,4,3,5,7,4,2,10T T A ；由序列()31,3,5,7T 可得()321:3,4,4,5,8,4,3,10T T T A ；所以()Ω:3,4,4,5,8,4,3,10A .（2）解法一：假设存在符合条件的Ω，可知()ΩA 的第1,2项之和为12a a s ++，第3,4项之和为34a a s ++，则()()()()121234342642a a a a sa a a a s⎧+++=++⎪⎨+++=++⎪⎩，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，假设存在符合条件的Ω，且()128Ω:,,,A b b b ⋅⋅⋅，因为2642824484+++++++=，即序列Ω共有8项，由题意可知：()()2122128,1,2,3,4n n n n b b a a n --+-+==，检验可知：当2,3n =时，上式不成立，即假设不成立，所以不存在符合条件的Ω.（3）解法一：我们设序列()21...s T T T A 为{}(),18s n a n ≤≤，特别规定()0,18n n a a n =≤≤. 必要性：若存在序列12:,,s T T T Ω ，使得()ΩA 的各项都相等.则,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a =======，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+. 根据()21...s T T T A 的定义，显然有,21,21,211,21s j s j s j s j a a a a ----+=++，这里1,2,3,4j =，1,2,...s =. 所以不断使用该式就得到12345678,1,2s s a a a a a a a a a a s +=+=+=+=+-，必要性得证. 充分性：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+.由已知，1357a a a a +++为偶数，而12345678a a a a a a a a +=+=+=+，所以()()24681213574a a a a a a a a a a +++=+-+++也是偶数.我们设()21...s T T T A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列()ΩA 中，使得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-最小的一个.上面已经说明,21,21,211,21s j s j s j s j a a a a ----+=++，这里1,2,3,4j =，1,2,...s =.从而由12345678a a a a a a a a +=+=+=+可得,1,2,3,4,5,6,7,812s s s s s s s s a a a a a a a a a a s +=+=+=+=++. 同时，由于t t t t i j k w +++总是偶数，所以,1,3,5,7t t t t a a a a +++和,2,4,6,8t t t t a a a a +++的奇偶性保持不变，从而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数. 下面证明不存在1,2,3,4j =使得,21,22s j s j a a --≥.假设存在，根据对称性，不妨设1j =，,21,22s j s j a a --≥，即,1,22s s a a -≥.情况1：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+-=，则由,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，知,1,24s s a a -≥.对该数列连续作四次变换()()()()2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7后，新的4,14,24,34,44,54,64,74,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-减少4，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+->，不妨设,3,40s s a a ->.情况2‐1：如果,3,41s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,4,5,7,2,4,6,8后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾；情况2‐2：如果,4,31s s a a -≥，则对该数列连续作两次变换()()2,3,5,8,2,3,6,7后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的1,2,3,4j =都有,21,21s j s j a a --≤. 假设存在1,2,3,4j =使得,21,21s j s j a a --=，则,21,2s j s j a a -+是奇数，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+都是奇数，设为21N +.则此时对任意1,2,3,4j =，由,21,21s j s j a a --≤可知必有{}{},21,2,,1s j s j a a N N -=+.而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，故集合{},s m m a N =中的四个元素,,,i j k w 之和为偶数，对该数列进行一次变换(),,,i j k w ，则该数列成为常数列，新的1,11,21,31,41,51,61,71,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-等于零，比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-更小，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.综上，只可能(),21,201,2,3,4s j s j a a j --==，而,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+，故{}(),Ωs n a A =是常数列，充分性得证.解法二：由题意可知：Ω中序列的顺序不影响()ΩA 的结果，且()()()()12345678,,,,,,,a a a a a a a a 相对于序列也是无序的，（ⅰ）若12345678a a a a a a a a +=+=+=+，不妨设1357a a a a ≤≤≤，则2468a a a a ≥≥≥， ①当1357a a a a ===，则8642a a a a ===，分别执行1a 个序列()2,4,6,8、2a 个序列()1,3,5,7，可得1212121212121212,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，为常数列，符合题意； ②当1357,,,a a a a 中有且仅有三个数相等，不妨设135a a a ==，则246a a a ==，即12121278,,,,,,,a a a a a a a a ，分别执行2a 个序列()1,3,5,7、7a 个序列()2,4,6,8可得1227122712272778,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，即1227122712272712,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，因为1357a a a a +++为偶数，即173a a +为偶数，可知17,a a 的奇偶性相同，则*712a a -∈N ，分别执行712a a -个序列()1,3,5,7，()1,3,6,8，()2,3,5,8，()1,4,5,8，可得7217217217217217217217213232323232323232,,,,,,,22222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-+-+-+-+-，为常数列，符合题意；③若1357a a a a =<=，则2468a a a a =>=，即12125656,,,,,,,a a a a a a a a ，分别执行5a 个()1,3,6,8、1a 个()2,4,5,7，可得1512151215561556,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，因为1256a a a a +=+，可得1512151215121512,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，即转为①，可知符合题意；④当1357,,,a a a a 中有且仅有两个数相等，不妨设13a a =，则24a a =，即12125678,,,,,,,a a a a a a a a ，分别执行1a 个()2,4,5,7、5a 个()1,3,6,8，可得1512151215561758,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，且1256a a a a +=+，可得1512151215121758,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，即转为②，可知符合题意；⑤若1357a a a a <<<，则2468a a a a >>>，即12345678,,,,,,,a a a a a a a a ，分别执行1a 个()2,3,5,8、3a 个()1,4,6,7，可得1312133415363718,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，且1234a a a a +=+，可得1312131215363718,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++，即转为③，可知符合题意；综上所述：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+，则存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列；（ⅱ）若存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列，因为对任意()128Ω:,,,A b b b ⋅⋅⋅，均有()()()()12123434b b a a b b a a +-+=+-+()()()()56567878b b a a b b a a =+-+=+-+成立，若()ΩA 为常数列，则12345678b b b b b b b b +=+=+=+，所以12345678a a a a a a a a +=+=+=+；综上所述：“存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”. 【点评】关键点点评：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的详细分析.3．（2023∙北京∙高考真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值； (2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．【答案】(1)00r =，11r =，21r =，32r = (2),n r n n =∈N (3)证明见答案详解【详细分析】（1）先求01230123,,,,,,,A A A A B B B B ，根据题意详细分析求解；（2）根据题意题意详细分析可得11i ir r +-≥，利用反证可得11i i r r +-=，在结合等差数列运算求解；（3）讨论,m m A B 的大小，根据题意结合反证法详细分析证明.【答案详解】（1）由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ========，当0k =时，则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=，故00r =；当1k =时，则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=，故11r =；当2k =时，则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =；当3k =时，则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>，故32r =；综上所述：00r =，11r =，21r =，32r =. （2）由题意可知：nr m≤，且nr ∈N，因为1,1n n a b ≥≥，且11a b ≥，则10n A B B ≥>对任意*n ∈N 恒成立，所以010,1r r =≥，又因为112ii i r r r -+≤+，则11i i i i r r r r +--≥-，即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-≥，可得11i ir r +-≥，反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为01j m ≤≤-，当i j ≥时，则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时，则11i ir r +-=，则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-，又因为01j m ≤≤-，则()2211m r m j m m m m ≥-≥--=+>，假设不成立，故11n n r r +-=，即数列{}n r 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以01,n r n n n =+⨯=∈N . （3）因为,n n a b 均为正整数，则{}{},n n A B 均为递增数列，（ⅰ）若m m A B =，则可取0t q ==，满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+；（ⅱ）若m m A B <，则k r m <，构建,1n n r n S B A n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤-，则1,0K K r K r K B A m B A +-≤-->，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m≥-.①若存在正整数N ，使得0N N r N S B A =-=，即N N r A B =，可取0,,N t q p N s r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+； ②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为(){}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅--，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y r X r Y B A B A -=-，可得X Y Y r X r A B A B +=+，可取,,,Y X p Y s r q X t r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+；（ⅲ）若m m A B >，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k R i A B i m =≤∈L ∣，则k R m <，构建,1n n R n S A B n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数,1K K m ≤≤，使得K S m ≤-，则1,0K K R K R K A B m A B +-≤-->，可得()()111K K K K K R R R R K R K a A A A B A B m +++=-=--->，这与{}11,2,,K R a m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意11,n m n ≤≤-∈N ，均有1n S m≥-.①若存在正整数N ，使得0N N R N S A B =-=，即N R N A B =，可取0,,N q t s N p R ====，即满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+； ②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为(){}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅--，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y R X R Y A B A B -=-，可得Y X R X R Y A B A B +=+，可取,,,Y X p R t X q R s Y ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+.综上所述：存在0,0q p m t s m ≤<≤≤<≤使得t p s q A B A B +=+．4．（2022∙北京∙高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列． (1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．【答案】(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列． (2)证明见解析． (3)证明见解析．【详细分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k ≤不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k ≤时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++< 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1-，然后分类讨论验证不行即可．【答案详解】（1）21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表数列；易知，不存在,i j 使得16i i i j a a a +++++= ，所以Q 不是6-连续可表数列．（2）若3k ≤,设为:Q ,,a b c ,则至多,,,,,a b b c a b c a b c ++++，6个数字，没有8个，矛盾；当4k =时,数列:1,4,1,2Q ，满足11a =，42a =，343a a +=，24a =，125a a +=，1236a a a ++=，2347a a a ++=，12348a a a a +++=， min 4k ∴=．（3）12:,,,k Q a a a ，若i j =最多有k 种，若i j ≠，最多有2C k 种，所以最多有()21C 2k k k k ++=种，若5k ≤，则12,,,k a a a …至多可表()551152+=个数，矛盾, 从而若7k <,则6k =，,,,,,a b c d e f 至多可表6(61)212+=个数，而20a b c d e f +++++<，所以其中有负的，从而,,,,,a b c d e f 可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明~a f 中仅一个负的，没有0，且这个负的在~a f 中绝对值最小，同时~a f 中没有两数相同,设那个负数为(1)m m -≥ ，则所有数之和125415m m m m m ≥++++++-=+ ，415191m m +≤⇒=，{,,,,,}{1,2,3,4,5,6}a b c d e f ∴=-，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112=-+ （仅一种方式），1∴-与2相邻，若1-不在两端,则",1,2,__,__,__"x -形式，若6x =，则56(1)=+-（有2种结果相同，方式矛盾），6x ∴≠，同理5,4,3x ≠ ，故1-在一端，不妨为"1,2,,,"A B C D -形式，若3A =,则523=+ （有2种结果相同，矛盾），4A =同理不行，5A =，则6125=-++ （有2种结果相同，矛盾），从而6A =，由于7126=-++,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能1,2,6,3,5,4-，①或1,2,6,4,5,3-，② 这2种情形，对①：96354=+=+，矛盾，对②：82653=+=+，也矛盾，综上6k ≠，当7k =时，数列1,2,4,5,8,2,1--满足题意，7k ∴≥．【点评】关键点评，先理解题意，是否为m -可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到m 中间的任意一个值．本题第二问3k ≤时，通过和值可能个数否定3k ≤；第三问先通过和值的可能个数否定5k ≤，再验证6k =时，数列中的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}-的一个排序，可验证这组数不合题．5．（2021∙北京∙高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=； ②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，‐2，‐2，‐1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由；（2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是2R 数列；理由见解析；（2）51a =；（3）存在；2p =．【详细分析】(1)由题意考查3a 的值即可说明数列不是2ℜ数列； (2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定5a 的值；(3)构造数列n n b a p =+，易知数列{}n b 是0ℜ的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数p 的值.【答案详解】(1)因为 122,2,2,p a a ===- 所以12122,13a a p a a p ++=+++=，因为32,a =-所以{}312122,21a a a a a ∈+++++ 所以数列{}n a ，不可能是2ℜ数列. (2)性质①120,0a a ≥=，由性质③{}2,1m m m a a a +∈+，因此31a a =或311a a =+，40a =或41a =，若40a =，由性质②可知34a a <，即10a <或110a +<，矛盾；若4311,1a a a ==+，由34a a <有111a +<，矛盾. 因此只能是4311,a a a ==.又因为413a a a =+或4131a a a =++，所以112a =或10a =. 若112a =，则{}{}{}2111111110,012,211,2a a a a a a a a +=∈+++++=+=，不满足20a =，舍去.当10a =，则{}n a 前四项为:0，0，0，1，下面用数学归纳法证明()444(1,2,3),1n i n a n i a n n N ++===+∈：当0n =时，经验证命题成立，假设当(0)n k k ≤≥时命题成立，当1n k =+时：若1i =，则()()4541145k k j k j a a a +++++-==，利用性质③：{}*45,144{,1}jk j aa j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，此时可得：451k a k +=+；否则，若45k a k +=，取0k =可得：50a =，而由性质②可得：{}5141,2a a a =+∈，与50a =矛盾. 同理可得：{}*46,145{,1}jk j a a j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣，有461k a k +=+； {}*48,246{1,2}jk j a a j N j k k k +-+∈≤≤+=++∣，有482k a k +=+；{}*47,146{1}jk j aa j N j k k +-+∈≤≤+=+∣，又因为4748k k a a ++<，有47 1.k a k +=+ 即当1n k =+时命题成立，证毕. 综上可得：10a =，54111a a ⨯+==. (3)令n nb a p =+，由性质③可知：*,,m n m n m n N b a p ++∀∈=+∈{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b =+++，由于11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b --=+≥=+==+<+=，因此数列{}n b 为0ℜ数列. 由（2）可知:若444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++∀∈=-==+-；11111402320a S S a p ⨯+-==-≥=，91010422(2)0S S a a p ⨯+-=-=-=--≥，因此2p =，此时1210,,,0a a a ⋯≤，()011j a j ≥≥，满足题意.【点评】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.6．（2020∙北京∙高考真题）已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n …，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =． ()Ⅰ若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；()Ⅱ若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；()Ⅲ若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.【答案】()Ⅰ详见解析；()Ⅱ答案详解解析；()Ⅲ证明详见解析. 【详细分析】()Ⅰ根据定义验证，即可判断；()Ⅱ根据定义逐一验证，即可判断；()Ⅲ解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.【答案详解】()Ⅰ{}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴Q 不具有性质①； ()Ⅱ{}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴Q 具有性质①； {}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴Q 具有性质②；()Ⅲ解法一首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<，第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<< ，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<，由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤，另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k k m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥ （*）由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t t a aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>= （**）由（**）和（*）式可得：211111k s t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-，注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--，代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=.即数列{}n a 为等比数列. 解法二：假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时23()kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>，而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <，此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设22131,(1)a a q a a q q ==>，然后利用性质①：取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q===，即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l la aa a a a a ==>，从而4k <，与前面类似的可知则存在{,}{1,2,3}()k l k l ⊆>，满足24kl a a a =，若3,2k l ==，则：2341kla a a q a ==，与假设矛盾；若3,1k l ==，则：243411k la a a q a q a ==>，与假设矛盾；若2,1k l ==，则：22413k la a a q a a ===，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，然后利用性质①：取4,3i j ==，则数列中存在一项2264411231m a a q a a q a a q===，下面我们用反证法来证明451a a q =，否则，由数列的单调性可知34151a q a a q <<，在性质②中，取5n =，则25k k k k l la aa a a a a ==>，从而5k <，与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3,4k l k l ⊆>，满足25k la a a =，即由②可知：22222115111k k l k l l a a q a a q a a q----===，若214k l --=，则451a a q =，与假设矛盾；若214k l -->，则451a a q >，与假设矛盾；若214k l --<，由于,k l 为正整数，故213k l --≤，则351a a q ≤，与315a q a <矛盾；综上可知，假设不成立，则451a a q =.同理可得：566171,,a a q a a q == ，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.【点评】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.7．（2020∙江苏∙高考真题）已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为Sn ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ~k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ~1”数列，求λ的值；。

2021-2022学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷

2021-2022学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（）A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}2.（单选题，4分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.f（x）=lnxB.f（x）=2xC.f（x）=x3D.f（x）=sinx3.（单选题，4分）在等比数列{a n}中，若a32=16a2，则a4=（）A.32B.16C.8D.44.（单选题，4分）在二项式（x- 2）5的展开式中，含x3项的系数为（）xA.5B.-5C.10D.-105.（单选题，4分）在平面直角坐标系中，角α的终边过点（-1，0），将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合，则cosβ=（）A. 12B. −12C. √32D. −√326.（单选题，4分）人类已进入大数据时代．目前，全球年数据产生量已经从TB 级别跃升到PB ，EB 乃至ZB 级别（1TB=1024GB ，1PB=1024TB ，1EB=1024PB ，1ZB=1024EB ）．由国际数据公司IDC 的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：ZB ）的散点图．根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量y 和时间x 的函数模型是（） A.y=a+bx B.y=a+b √x C.y=a+blnx D.y=a+be x7.（单选题，4分）已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，过P 作l 的垂线，垂足为M ．若|MF|=|PF|，则|PM|=（） A.2 B. √3 C.4 D. 2√38.（单选题，4分）已知直线l ：y=mx-m-1，P 为圆C ：x 2+y 2-4x-2y+1=0上一动点，设P 到直线l 距离的最大值为d （m ），当d （m ）最大时，m 的值为（） A. −12 B. −32 C. 23 D.29.（单选题，4分）已知点A ，B ，C 不共线，λ，μ为实数， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则“0＜λ+μ＜1”是“点P 在△ABC 内（不含边界）”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，4分）已知{a n}是各项均为正整数的数列，且a1=3，a7=8，对∀k∈N*，a k+1=a k+1与a k+1= 12a k+2有且仅有一个成立，则a1+a2+⋯+a7的最小值为（）A.18B.20C.21D.2311.（填空题，5分）在复平面内，复数z对应点的坐标是（-1，2），则z =___ ．12.（填空题，5分）已知双曲线C：x2- y2b2=1（b＞0）的两条渐近线互相垂直，则b=___ ；C 的离心率为 ___ ．13.（填空题，5分）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．写出以l，m，α，β之间的部分位置关系为条件（l⊥α除外），l⊥α为结论的一个真命题：___ ．14.（填空题，5分）函数f（x）=sin（ωx+ π3）（ω＞0）的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，x n，…．若x3-x2= π2，则ω=___ ；x21=___ ．15.（填空题，5分）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A1（-1，0），A2（0，-2），A3（3，0），A4（0，4），A5（-5，0），A6（0，-6），A7（7，0），A8（0，8），并按这样的规律继续下去．给出下列四个结论：① 对于任意正整数n，|A n A n+4|=4；② 存在正整数n，|A n A n+1|为整数；③ 存在正整数n，三角形A n A n+1A n+2的面积为2022；④ 对于任意正整数n，三角形A n A n+1A n+2为锐角三角形．其中所有正确结论的序号是 ___ ．16.（问答题，13分）在△ABC中，ba = √105，cosA=√1010．（Ⅰ）求证：△ABC为等腰三角形；（Ⅱ）再从条件① 、条件② 、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求b的值．条件① ：∠B= π6；条件② ：△ABC的面积为152；条件③ ：AB边上的高为3．17.（问答题，14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M为线段PD上的动点．（Ⅰ）若直线PB || 平面ACM，求证：M为PD的中点；（Ⅱ）若平面PAC与平面MAC夹角的余弦值为√33，求PMMD的值．18.（问答题，13分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如表：高中部初中部男生女生男生女生清楚12 8 24 24不清楚28 32 38 34假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立．（Ⅰ）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；（Ⅱ）从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以X表示这2人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“ξ=1”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“ξ=0”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“η=1”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“η=0”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差Dξ和Dη的大小关系．（结论不要求证明）19.（问答题，15分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1过点A（- √3，0），其右焦点为F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上一动点（不在x轴上），M为AP中点，过原点O作AP的平行线，与直线x=3交于点Q．问：直线OM与FQ斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．20.（问答题，15分）曲线y=lnx在点A（t，lnt）处的切线l交x轴于点M．（Ⅰ）当t=e时，求切线l的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，记△AMO的面积为S．求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间．21.（问答题，15分）对于给定的正整数m和实数a，若数列{a n}满足如下两个性质：①a1+a2+⋯+a m=a；② 对∀n∈N*，a n+m=a n，则称数列{a n}具有性质P m（a）．（Ⅰ）若数列{a n}具有性质P2（1），求数列{a n}的前10项和；（Ⅱ）对于给定的正奇数t，若数列{a n}同时具有性质P4（4）和P t（t），求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若数列{a n}具有性质P m（a），求证：存在自然数N，对任意的正整数k，不等式a N+1+a N+2+⋯+a N+kk ≥ am均成立．2021-2022学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（）A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}【正确答案】：A【解析】：利用交集定义求出A∩B．【解答】：解：集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B={0，1}．故选：A．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，4分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.f（x）=lnxB.f（x）=2xC.f（x）=x3D.f（x）=sinx【正确答案】：C【解析】：由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．【解答】：解：f（x）=lnx（x＞0）不是奇函数，故A不符题意；f（x）=2x是非奇非偶函数，故B不符题意；f（x）=x3是奇函数，且在定义域R上是增函数，故C符合题意；f（x）=sinx是奇函数，在[2kπ- π2，2kπ+ π2]（k∈Z）上递增，故D不符题意．故选：C．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题．3.（单选题，4分）在等比数列{a n}中，若a32=16a2，则a4=（）A.32B.16C.8D.4【正确答案】：B【解析】：由等比数列的性质得，a32=a2•a4=16a2，从而可求．【解答】：解：等比数列{a n}中，由等比数列的性质得，a32=a2•a4=16a2，则a4=16．故选：B．【点评】：本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．4.（单选题，4分）在二项式（x- 2x）5的展开式中，含x3项的系数为（）A.5B.-5C.10D.-10【正确答案】：D【解析】：先求出展开式的通项公式，再令x的指数为3，由此即可求解．【解答】：解：二项式（x- 2x ）5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r•x5−r•(−2x)r=C 5r•(−2)r x5−2r，令5-2r=3，解得r=1，所以展开式中含x3的项的系数为C 51•(−2)1 =5×（-2）=-10，故选：D．【点评】：本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5.（单选题，4分）在平面直角坐标系中，角α的终边过点（-1，0），将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合，则cosβ=（）A. 12B. −12C. √32D. −√32【正确答案】：A【解析】：根据三角函数的定义，结合两角和的余弦公式即可求解．【解答】：解：由已知可得sinα=0，cosα=-1，将角α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合，则β=α+120°，则cosβ=cos（α+120°）=cosαcos120°-sinαsin120°=-1×（- 12）-0× √32= 12．故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和的余弦公式进行化简是解决本题的关键．6.（单选题，4分）人类已进入大数据时代．目前，全球年数据产生量已经从TB级别跃升到PB，EB乃至ZB级别（1TB=1024GB，1PB=1024TB，1EB=1024PB，1ZB=1024EB）．由国际数据公司IDC的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：ZB）的散点图．根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量y和时间x的函数模型是（）A.y=a+bxB.y=a+b √xC.y=a+blnxD.y=a+be x【正确答案】：D【解析】：根据散点图中点的分布情况，结合选项中的函数模型，即可得出正确的结论．【解答】：解：根据散点图知，数据产生量y随年份x的增加而增加，且增加的速度越来越快，所以选项中拟合程度最好的函数模型是指数函数模型，为y=a+be x．故选：D．【点评】：本题考查了函数模型的性质及应用问题，也考查了散点图的应用问题，是基础题．7.（单选题，4分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为M．若|MF|=|PF|，则|PM|=（）A.2B. √3C.4D. 2√3【正确答案】：C【解析】：画出图形，判断三角形的形状，然后结合抛物线的性质求解即可．【解答】：解：抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，不妨设点P是抛物线C上第一象限内的一点，过点P作l的垂线，垂足为M，|MF|=|PF|，由抛物线的定义，可知△PMF是正三角形，F（1，0），P（3，0），所以|MP|=|PF|=4．故选：C．【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.（单选题，4分）已知直线l ：y=mx-m-1，P 为圆C ：x 2+y 2-4x-2y+1=0上一动点，设P 到直线l 距离的最大值为d （m ），当d （m ）最大时，m 的值为（） A. −12B. −32C. 23D.2【正确答案】：A【解析】：先得出直线过定点A （1，-1），再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出m 的值．【解答】：解：因为l ：y-（-1）=m （x-1），所以直线l 过定点A （1，-1），圆C ：x 2+y 2-4x-2y+1=0可化为（x-2）2+（y-1）2=4，则圆心C （2，1），r=2，由圆的对称性可知，当AC⊥l 时，P 到直线l 距离的最大，则 k AC =1−(−1)2−1=2，m =−1k AC=−12 ．故选：A ．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．9.（单选题，4分）已知点A ，B ，C 不共线，λ，μ为实数， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则“0＜λ+μ＜1”是“点P 在△ABC 内（不含边界）”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：利用向量的线性运算求出点P 在△ABC 内（不含边界）的充要条件，从而可得结论．【解答】：解：设线段BC 上任意一点D ，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ＞0，y ＞0，x+y=1），则P 在△ABC 内部（不含边界）的充要条件是 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AD ⃗⃗⃗⃗⃗ （0＜t ＜1），则 {λ=txμ=ty，所以 {0＜λ＜10＜μ＜10＜t =λ+μ＜1，所以“0＜λ+μ＜1”是“点P在△ABC内（不含边界）”的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题主要考查向量的线性运算和充要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．10.（单选题，4分）已知{a n}是各项均为正整数的数列，且a1=3，a7=8，对∀k∈N*，a k+2有且仅有一个成立，则a1+a2+⋯+a7的最小值为（）a k+1=a k+1与a k+1= 12A.18B.20C.21D.23【正确答案】：B【解析】：令b k=a k+1-a k，由题设易知b k或b k-1有一项为1，则b1=b3=b5=1，判断{a n}各项取值情况，进而求a1+a2+⋯+a7的最小值．【解答】：解：由题设，a2=a1+1=4，令b k=a k+1-a k，则b k或b k-1有一项为1，而 b1=1，∴b1=b3=b5=1，又{a n}是各项均为正整数的数列，∴a3≥1，a4≥2，a5≥1，a6≥2，此时a1+a2+⋯+a7=3+4+1+2+1+2+8=21，当a1=3，a2=1，a3=2，a4=3，a5=2，a6=3，a7=8时，a1+a2+⋯+a7=3+1+2+1+2+3+8=20，20＜21，故a1+a2+⋯+a7的最小值为20．故选：B．【点评】：本题考查了数列的递推式，属于中档题．11.（填空题，5分）在复平面内，复数z对应点的坐标是（-1，2），则z =___ ．【正确答案】：[1]-1-2i【解析】：利用复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出．【解答】：解：复数z的对应点为（-1，2），∴z=-1+2i．复数z的共轭复数为-1-2i．故答案为：-1-2i．【点评】：本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．=1（b＞0）的两条渐近线互相垂直，则b=___ ；C 12.（填空题，5分）已知双曲线C：x2- y2b2的离心率为 ___ ．【正确答案】：[1]1; [2] √2【解析】：由双曲线方程求得渐近线方程，再由两条渐近线互相垂直可得b，然后求解离心率．=1（b＞0）是焦点在x轴上的双曲线，【解答】：解：双曲线C：x2- y2b2a=1，则渐近线方程为y=±bx，∵两条渐近线互相垂直，∴b=1．= √2．双曲线的离心率为：e= ca故答案为：1；√2．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，离心率的求法，是基础题．13.（填空题，5分）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．写出以l，m，α，β之间的部分位置关系为条件（l⊥α除外），l⊥α为结论的一个真命题：___ ．【正确答案】：[1]若l || m，α || β，m⊥β，则l⊥α【解析】：若l || m，α || β，m⊥β，则m⊥α，从而得到l⊥α．【解答】：解：l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．若l || m，α || β，m⊥β，则m⊥α，∴l⊥α．∴以l，m，α，β之间的部分位置关系为条件（l⊥α除外），l⊥α为结论的一个真命题为：若l || m，α || β，m⊥β，则l⊥α．故答案为：若l || m，α || β，m⊥β，则l⊥α．【点评】：本题考查线面垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．14.（填空题，5分）函数f（x）=sin（ωx+ π3）（ω＞0）的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，x n，…．若x3-x2= π2，则ω=___ ；x21=___ ．【正确答案】：[1]2; [2] 31π3【解析】：根据零点的距离求出周期T，从而求出ω的值，寻找规律求出x21的值即可．【解答】：解：由题意得：T=2• π2=π，故ω= 2ππ=2，故f（x）=sin（2x+ π3），故x1=- π6 + π2= π3，x2= π2 + π3，x3=2• π2 + π3，•••••，x21=20• π2 + π3= 31π3，故答案为：2，31π3．【点评】：本题考查了正弦函数的性质，考查转化思想，是中档题．15.（填空题，5分）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A1（-1，0），A2（0，-2），A3（3，0），A4（0，4），A5（-5，0），A6（0，-6），A7（7，0），A8（0，8），并按这样的规律继续下去．给出下列四个结论：① 对于任意正整数n，|A n A n+4|=4；② 存在正整数n，|A n A n+1|为整数；③ 存在正整数n，三角形A n A n+1A n+2的面积为2022；④ 对于任意正整数n，三角形A n A n+1A n+2为锐角三角形．其中所有正确结论的序号是 ___ ．【正确答案】：[1] ① ② ④【解析】：根据题意得到OA n=n，OA n+4=n+4，判断① ；根据A3A4=5，判断② ；根据S△An A n+1A n+2= S△OAn A n+1 + S△OAn+1A n+2= 12OA n•OA n+1+12OA n+1•OA n+2判断③ ；利用余弦定理判断④ ．【解答】：解：对于① ，由题意得OA n=n，OA n+4=n+4，又OA n，OA n+4在同一坐标轴的原点O的同则，∴A n A n+1=|n+4-n|=4，故① 正确；对于② ，∵A3（3，0），A4（0，4），∴A3A4= √32+42 =5，故② 正确；对于③ ，S△An A n+1A n+2 = S△OAn A n+1+ S△OAn+1A n+2= 12OA n•OA n+1+12OA n+1•OA n+2= 12n•(n+1)+12(n+1)(n+2) =（n+1）2，（n+1）2不可能等于2022，故③ 错误；对于④ ，A n A n+1= √n2+(n+1)2 = √2n2+2n+1，A n+1A n+2= √(n+1)2+(n+2)2 = √2n2+6n+5，A n A n+2=n+n+2=2n+2= √4n2+8n+4，∵A n A n+1＜A n+1A n+2＜A n A n+2，∴△A n+2A n+1A n中，∠A n+2A n+1A n是最大角，cos∠A n+2A n+1A n= 2222√2n2+2n+1•√2n2+6n+5 =2√2n2+2n+1•√2n2+6n+5＞0，∴∠A n+2A n+1A n是锐角，∴△A n+2A n+1A n是锐角三角形，故④ 正确．故答案为：① ② ④ ．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查两点间距离公式、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.（问答题，13分）在△ABC中，ba = √105，cosA= √1010．（Ⅰ）求证：△ABC为等腰三角形；（Ⅱ）再从条件① 、条件② 、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求b的值．条件① ：∠B= π6；条件② ：△ABC的面积为152；条件③ ：AB边上的高为3．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出sinA=3√1010，由正弦定理解得sinB= 35 ，由 b a =√105＜1，得B 为锐角，cosB= 45 ，从而cosC=-cos （A+B ）=-（cosAcosB-sinAsinB ）=cosA ，由此能证明△ABC 为等腰三角形；（Ⅱ）若选条件 ① ：由∠B= π6 ，得A=C= 5π12 ，求出cosA=cos 5π12 =cos （ π6 + π4 ）= √6−√24，与已知cosA= √1010 矛盾，三角形无解，不能选；若选条件 ② ：由△ABC 的面积为 152 ，A=C ，cosA= √1010 ，得sinB=sin （π-2A ）=2sinAcosA=35，解得a=5，c=5，b= √10 ；若选条件 ③ ：由cosA= √1010 ，A=C ，得sinB=sin （π-2A ）=2sinAcosA= 35 ，可得a= 3sinB =5，则c=5，b= √10 ．【解答】：解：（Ⅰ）证明：因为在△ABC 中， ba = √105 ，cosA= √1010，可得sinA= √1−cos 2A=3√1010，所以由正弦定理可得 ba = sinBsinA 3√1010= √105，解得sinB= 35 ，因为 ba =√105＜1，即b ＜a ，可得B 为锐角，所以cosB= √1−sin 2B = 45，所以cosC=-cos （A+B ）=-（cosAcosB-sinAsinB ）=- √1010 × 45 + 3√1010 × 35 = √1010=cosA ，又A ，C∈（0，π），所以A=C ，即△ABC 为等腰三角形，得证；（Ⅱ）若选条件 ① ：因为∠B= π6 ，由（Ⅰ）可得A=C= 5π12 ，所以cosA=cos 5π12 =cos （ π6 + π4 ）= √32×√22 - 12×√22 = √6−√24，与已知cosA=√1010矛盾，三角形无解，不能选；若选条件 ② ：因为△ABC 的面积为 152 ，由（Ⅰ）可得A=C ，由cosA= √1010 ，得sinB=sin （π-2A ）=2sinAcosA=2× 3√1010×√1010 = 35， ∴ 12×35a 2=152 ，解得a=5，c=5，b= √10 ，三角形存在且唯一，可选，此时b= √10 ；若选条件 ③ ：AB 边上的高为3，由cosA=√1010 ，A=C ，得sinB=sin （π-2A ）=2sinAcosA=2×3√1010×√1010 = 35，可得a= 3sinB = 335=5，则c=5，b= √10 ，三角形存在且唯一，可选，此时b= √10 ．【点评】：本题考查等腰三角形的证明，考查三角形边长的求法，考查正弦定理、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.（问答题，14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB ，M 为线段PD 上的动点．（Ⅰ）若直线PB || 平面ACM ，求证：M 为PD 的中点；（Ⅱ）若平面PAC 与平面MAC 夹角的余弦值为 √33 ，求 PMMD 的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）只要证明OM 平行于PB 即可；（Ⅱ）向量数量积计算平面PAC 与平面MAC 夹角的余弦值，列方程求解．【解答】：（Ⅰ）证明：连接BD ，交AC 于O ，因为底面ABCD 为正方形，所以O 是BD 中点，因为直线PB || 平面ACM ，平面PBD∩平面ACM=OM ，PB⊂平面PBD ，所以PD || OM ，所以M 为PD 的中点．（Ⅱ）解：因为PA⊥平面ABCD ，AB⊥AD ，所以AB 、AD 、AP 两两垂直，建系如图，不妨设AB=a ，a ＞0，M （0，t ，a-t ），t∈[0，a]， A （0，0，0），C （a ，a ，0），B （a ，0，0），D （0，a ，0）， BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-a ，a ，0）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（a ，a ，0）， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，t ，a-t ），因为BD⊥AC ，BD⊥PA ，PA∩AC=A ，所以BD⊥平面PAC ，所以 m ⃗⃗ = 1a BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，1，0）是平面PAC 的法向量，令 n ⃗ =（a-t ，t-a ，t ），因为 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ • n ⃗ =0， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • n ⃗ =0，所以 n ⃗ 是平面MAC 的法向量，所以平面PAC 与平面MAC 夹角的余弦值为 |m ⃗⃗⃗ •n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |= |2(t−a)|√2•√t 2+2(t−a )2= √33 ，解得t= 23a ，所以M（0，23a，13a），所以PMMD=23aa−23a=2．【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角计算问题，属于中档题．18.（问答题，13分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如表：高中部初中部男生女生男生女生清楚12 8 24 24不清楚28 32 38 34假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立．（Ⅰ）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；（Ⅱ）从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以X表示这2人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“ξ=1”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“ξ=0”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“η=1”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“η=0”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差Dξ和Dη的大小关系．（结论不要求证明）【正确答案】：【解析】：（I）根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．（II）先求出在高中部随机抽取1人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率，在初中部随机抽取1人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．（III）分别求出男生中清楚垃圾分类后处理方式的概率，女生中清楚垃圾分类后处理方式的概率，即可依次求解．【解答】：解：（I）由题意可知，清楚垃圾分类后处理方式的人数为12+8+24+24=68人，故随机抽取1人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率P= 68200=0.34．（II）在高中部随机抽取1人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为12+812+8+28+32=14，在初中部随机抽取1人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为24+24200−80=25，X的所有可能取值为0，1，2，故P（X=0）= (1−14)×(1−25)=920，P（X=1）= (1−14)×25+14×(1−25)=920，P（X=2）= 14×25=110，故X的分布列为：故数学期望E（X）= 0×20+1×20+2×10=20．（III）Dξ＞Dη，由题可得，男生中清楚垃圾分类后处理方式的概率P1= 12+2412+28+24+38=36102= 617，女生中清楚垃圾分类后处理方式的概率P2=8+24200−102=1649，则P1比P2更接近0.5且该处理方式服从两点分布，则Dξ＞Dη说明女生中清楚与不清楚垃圾分类后处理方程的人数更加均衡．【点评】：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．19.（问答题，15分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1过点A（- √3，0），其右焦点为F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上一动点（不在x轴上），M为AP中点，过原点O作AP的平行线，与直线x=3交于点Q．问：直线OM与FQ斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意知，a= √3，c=1，再由隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），得3y02=2(3−x02)，M（x0−√32，y02），求得OM的斜率，再求出AP所在直线的斜率，得到过原点O与AP平行的直线方程，进一步求出Q的坐标，得到FQ的斜率，即可得到直线OM与FQ斜率的乘积是定值-1．【解答】：解：（Ⅰ）由题意知，a= √3，c=1，则b2=a2-c2=2，∴椭圆C的方程为x23+y22=1；（Ⅱ）直线OM与FQ斜率的乘积是定值-1．证明如下：设P（x0，y0）（y0≠0），则x023+y022=1，得3y02=2(3−x02)，∵M为AP中点，∴M（x0−√32，y02），得k OM=0x−√3又k AP=0x+√3，∴过原点O与AP平行的直线方程为y=0x+√3，与直线x=3的交点为Q（30x+√3k FQ=3y0x0+√33−1=02(x+√3)，则k OM•k FQ=0x−√32(x+√3)= 3y022(x02−3)=2(3−x02)2(x02−3)=−1．∴直线OM与FQ斜率的乘积是定值-1．【点评】：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．20.（问答题，15分）曲线y=lnx在点A（t，lnt）处的切线l交x轴于点M．（Ⅰ）当t=e时，求切线l的方程；（Ⅱ）O为坐标原点，记△AMO的面积为S．求面积S以t为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用导数的几何意义可得切线的斜率，代入点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）根据三角形面积公式表示出函数解析式，从而可得定义域，利用导数求函数的单调增区间即可．【解答】：解：（I）设函数f（x）=lnx，f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′(x)=1x ，所以f′(e)=1e．当t=e时，lnt=1，即A（e，1），所以切线l的方程为y−1=1e(x−e)，即y=1ex．（II）由（I）知，曲线y=lnx 在点A（t，lnt）处的切线方程为y−lnt=1t(x−t)，则y=1tx+lnt−1，令y=0，得x=t-tlnt，所以M（t-tlnt，0），S(t)=12|t−tlnt|⋅|lnt|=12|(tlnt−t)lnt|，S（t）的定义域为（0，1）∪（1，e）∪（e，+∞）．设φ（t）=（tlnt-t）lnt（t＞0），则φ′（t）=ln2t+lnt-1．令φ′（t）＞0．解得lnt＜−1−√52或lnt＞−1+√52，即0＜t＜e −1−√52或t＞e−1+√52．当0＜t＜1或 t＞e时，S(t)=12φ(t)，S′(t)=12φ′(t)，由S′（t）＞0，得0＜t＜e −1−√5t或 t＞e，当1＜t＜e时，S(t)=−12φ(t)，S′(t)=−12φ′(t)．由S′（t）＞0，得1＜t＜e −1−√5 2，所以函数S（t）的单调增区间为(0，e −1−√52)，(1，e−1+√52)，(e，+∞)．【点评】：本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数单调性的问题，属于中档题．21.（问答题，15分）对于给定的正整数m和实数a，若数列{a n}满足如下两个性质：① a1+a2+⋯+a m=a；② 对∀n∈N*，a n+m=a n，则称数列{a n}具有性质P m（a）．（Ⅰ）若数列{a n}具有性质P2（1），求数列{a n}的前10项和；（Ⅱ）对于给定的正奇数t，若数列{a n}同时具有性质P4（4）和P t（t），求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若数列{a n}具有性质P m（a），求证：存在自然数N，对任意的正整数k，不等式a N+1+a N+2+⋯+a N+kk ≥ am均成立．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据条件a1+a2=1，且a n+2=a n（n=1，2，⋯），计算可得结果；（Ⅱ）根据条件推得a n+1=a n，可得{a n}为常数列，从而可得数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）利用分析法进行证明．【解答】：解：（I ）依题意a1+a2=1，且a n+2=a n（n=1，2，⋯），所以数列{a n}的前10和为5．（II）由于数列{a n}具有性质P4（4）和P1（t），其中t为大于零的奇数，令t=2k-1，k∈N*，则有a n+2=a n+2+2k-1+2k-1=a n+4k=a n，所以a n+1=a n+1+2k-1=a n+2k=a n，综上，{a n}为常数列．又因为{a n}具有性质P4（4），所以a1+a2+a3+a4=4，所以a n=1．（III）证明：要证a N+1+a N+2+⋯+a N+1k ⩾am，只需证a N+1+a N+2+⋯+a N+α⩾k⋅am，即只需证(a N+1−am )+(a N+2−am)+⋯+(a N+1−am)⩾0，令数列b n=a n−am，由于数列{a n}其有性质P m（a），则数列{b n} 其有性质P m（0），令S i=b2+b2+⋯+b i(i∈N∗)，设S1，S2，⋯，S m的最小值为S N（1⩽N⩽m），对∀k∈N*，令N+k=pm+r，p，r∈N，0＜r⩽m，由于{b n}具有性质 P m（0），所以 S m=0，所以S m+r=S m+b m+1+b m+2+⋯+b m+r=b1+b2+⋯+b r=S r⩾S N，所以a N+1+a N+2+⋯+a N+kk ⩾am成立．【点评】：本题考查了数列与不等式的综合，属于难题．。

2024年北京市高考数学卷含答案 .

2024年北京市高考数学卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M ={x|−4<x ≤1} N ={x|−1<x <3} 则M ∪N =（）。

A ．{x|−4<x <3}B ．{x|−1<x ≤1}C ．{0,1,2}D ．{x|−1<x <4}2．已知zi =i −1，则z =（）。

A ．1−iB ．−iC ．−1−iD ．13．求圆x 2+y 2−2x +6y =0的圆心到x −y +2=0的距离（）。

A ．2√3B ．2C ．3√2D ．√64．(x −√x)4的二项展开式中x 3的系数为（）。

A ．15B ．6C ．−4D ．−13 5．已知向量a ⃗ 和b ⃗ ，则(a +b ⃗ )·(a −b⃗ )=0是a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ 的（）条件。

A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知f(x)=sinωx(ω>0) f(x 1)=−1 f(x 2)=1 |x 1−x 2|min =π2则ω=（）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．记水的质量为d =S−1lnn并且d 越大水质量越好。

若S 不变且d 1=2.1 d 2=2.2 则n 1与n 2的关系为（）。

A ．n 1<n 2 B ．n 1>n 2C ．若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D ．若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥。

四条侧棱分别为4 4 2√2 2√2。

则该四棱锥的高为（）。

A ．√22B ．√32C ．2√3D ．√39．已知(x 1,y 1)，(x 2,y 2)是函数y =2x 图象上不同的两点，则下列正确的是（）。

2023年北京平谷区高三一模数学试题和答案

2023北京平谷高三一模数学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．共150分，考试时间为120分钟.2．试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3．考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.第I 卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一．．．个．选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1. 已知集合{21},{0}A xx B x x =−<<=>∣∣，则A B ⋃=（） A. (2,0)−B. (0,1)C. (2,)−+∞D. (0,)+∞2. 复数z 满足()1i 2z +=，则复数z 对应的点在（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（） A. 2()||f x x x =−B. 21()f x x=C. ||()e x f x =D. ()|ln |f x x =4. 已知函数23()log 1f x x x =−+，则不等式()0f x >的解集是（） A. (1,2)−B. (0,2)C. (2,)+∞D. (,1)(1,2)−∞−−5. 向量a b c ，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则()a b c −⋅=（）A. 4−B. 4C. 2D.8−6. 已知抛物线2:2C y px =，点O 为坐标原点，并且经过点()01,P y ，若点P 到该抛物线焦点的距离为2，则||OP =（）A.B. C. 4D.7. 已知{}n a 为等比数列，10a >，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a −+<”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点0,3P x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则cos 2=α（）A. 13−B. 13±C.3D.139. 点M 、N 在圆22:2240C x y kx my +++−=上，且M 、N 两点关于直线10x y −+=对称，则圆C 的半径（） A.最大值为2B.最小值为2C.最小值为2D.最大值为210. 基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天D. 3.5天第Ⅱ卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.）11. 已知55432012345(12)x a x a x a x a x a x a −=+++++，则4a =___________．12. 已知双曲线2213x y m +=的离心率为2，则实数m =____________．13. 记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T，若()2f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．14. 设函数()e ,0x x f x x −⎧<⎪=≥，()f x 的值域是________，设()()(1)g x f x a x =−−，若()g x 恰有两个零点，则a 的取值范围为________．15. 如图，矩形ABCD 中，22AD AB ==，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折，构成四棱锥B AMCD −1，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，①对于任意一个位置总有CN ∥平面1AB M ； ②存在某个位置，使得1CN AB ⊥； ③存在某个位置，使得1AD MB ⊥；④四棱锥B AMCD −1的体积最大值为4．上面说法中所有正确的序号是____________．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan 2sin a B b A =．（1）求角B 的大小；（2）若π4,4BC A ==，求ABC 的面积． 17. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中，D ，E ，G 分别为11,,AA AC BB 的中点，11A C 与平面1EBB 交于点F ，AB BC ==12AC AA ==，1C C BE ⊥．（1）求证：F 为11A C 的中点；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值．条件①：平面ABC⊥平面1EBB ；条件②：13BC =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18. “绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011-2020年的植树成活率（%）统计如下：（表中“/”表示该年末植树）：（1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X 表示这3年中优质工程的个数，求X 的分布列；（3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过3(2,0),1,2A B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭两点，设过点(2,1)P −的直线椭圆交E 于M ，N 两点，过M 且平行于y 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．（1）求椭圆E 的方程：（2）证明：直线HN 过定点． 20. 已知函数1()e ,(0)1axx f x a x−+=>−．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）讨论()y f x =的单调性；（3）若对任意(0,1)x ∈恒有()1f x >，求a 的最大值． 21. 对于每项均是正整数的数列11:A a 、2a 、、n a ，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列()1:T A n 、11a −、21a −、、1n a −．对于每项均是非负整数的数列1:B b 、2b 、、m b ，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列()2T B ；又定义()()222121222m m S B b b mb b b b =+++++++．设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令()()()1210,1,2,k k A T T A k +==．（1）如果数列0A 为5、1、3，写出数列1A 、2A ；（2）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明()()()1S T A S A =；（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，()()1k k S A S A +=．参考答案第I 卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一．．．个．选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1. 【答案】C 【解析】【分析】由并集的定义求解即可.【详解】因为集合{21},{0}A xx B x x =−<<=>∣∣，所以A B ⋃=(2,)−+∞. 故选：C . 2. 【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得结论. 【详解】由已知条件可得()()()21i 21i 1i 1i 1i z −===−++−，所以，复数z 对应的点在第四象限. 故选：D. 3. 【答案】B 【解析】【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()22()()f x x x x x f x −=−−−=−=，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上不是单调递减，不符合题意；故A 错误；对于B ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()2211()()f f x xx x −==−=，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递减，符合题意；故B 正确；对于C ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()e e ()x xf x f x −−===，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递增；不符合题意；故C 错误；对于D ，()|ln |f x x =的定义域为(0,)+∞，不是偶函数，不符合题意；故D 错误；故选：B. 4. 【答案】C 【解析】【分析】求出函数的定义域，判断出函数在定义域上为单调递增函数，求出函数的零点，即可得答案. 【详解】解：由题意可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为2log y x =与31y x =−+在(0,)+∞均为单调递增函数，所以23()log 1f x x x =−+在(0,)+∞为单调递增函数，因为23(2)log 110212f =−=−=+，所以()0f x >的解集为(2,)+∞. 故选：C 5. 【答案】A 【解析】【分析】将a ，b ，c 平移至同一个起点并构建直角坐标系，写出相关向量的坐标，再应用向量数量积的坐标表示求()a b c −⋅.【详解】将a ，b ，c 平移至同一个起点位置，如下图O 点位置，建立直角坐标系xOy ，则(2,2),(2,0),(1,2)a b c →===−−，所以()(0,2)(1,2)4a b c −⋅=⋅−−=−. 故选：A 6. 【答案】D 【解析】【分析】由焦半径公式列出方程，求出4p =，得到204y =，求出||OP 的长.【详解】抛物线准线方程为2px =−，由焦半径可知：122p +=，解得：2p =.则2:4C y x =，此时204y =，则||OP ==故选：D 7. 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得()2221211n n n a a a qq −−+=+，然后分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】由题意得()1110n n a a q a −=>，()2221222121111n n n n n a a a qa q a q q −−−−+=+=+，若0q <，因为1q +的符号不确定，所以无法判断212n n a a −+的符号；反之，若2120n n a a −+<，即()22110n a qq −+<，可得10q <−<，故“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a −+<”的必要而不充分条件故选:B 8. 【答案】A 【解析】【分析】根据单位圆及三角函数的定义求出sin α，再由二倍角余弦公式求解.【详解】因为0,3P x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭是角α终边与单位圆的交点，所以3sin 1α==，故221cos 212sin 1233αα⎛⎫=−=−⨯=− ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A 9. 【答案】C 【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由222240x y kx my +++−=，得()()22224x k y m k m +++=++，所以圆心C 为(),k m −−，半径为r =，由题意可得直线10x y −+=经过圆心C (),k m −−，故有10k m −++=，即1k m =+，所以半径为2r ==≥=，当12m =−时，圆C 的半径的最小值为2. 故选：C. 10. 【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()0.38rttI t e e==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，根据10.38()0.382t t t e e +=，解得1t 即可得结果. 【详解】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r −==，所以()0.38rt tI t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.第Ⅱ卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.）11. 【答案】10− 【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】5(12)x −的二项展开式的通项公式()()5155C 122C rrr r rr r T x x −+=⨯⨯−=−⨯⨯，所以()11452C 10a =−⨯=−. 故答案为：10−. 12. 【答案】9− 【解析】【分析】由题知0m <，223,a b m ==−，所以2c e a ====，求解即可得出答案.【详解】由题知，0m <，则方程2213x y m +=表示焦点在y 轴上的双曲线，所以223,a b m ==−，则2c e a ====，所以143m−=，解得：9m =−. 故答案为：9−. 13. 【答案】3 【解析】【分析】首先表示出T ，根据()2f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cos f x x ωϕ=+，（0ω>，0πϕ<<）所以最小正周期2πT ω=，因为()()2πcos cos 2πcos 2f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+==⎪⎝⎭，又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈，因为0ω>，所以当0k =时min 3ω=；故答案为：314. 【答案】 ①. [0,)+∞ ②. (,1)−∞− 【解析】【分析】求0x <时的值域及0x ≥的值域，最后求并集即可（或者利用图象法观察）值域；数形结合即可求出参数a 的范围【详解】当0x <时，()()e1,xf x ∞−=∈+，当0x ≥时，()0f x =≥，所以函数()f x 的值域为[0,)+∞；作出函数图象从图象上可以看出函数()f x 的值域为[0,)+∞，因为()()(1)g x f x a x =−−恰有两个零点，则方程()(1)f x a x =−恰有两个解，从而函数()e ,0xx f x x −⎧<⎪=≥与(1)y a x =−有两个交点，易知(1)y a x =−图象是恒过点（1,0）的直线，如图当0a ≥时，函数()e ,0x x f x x −⎧<⎪=≥与(1)y a x =−有一个交点，当01a <<−时，函数()e ,00xx f x x −⎧<⎪=≥与(1)y a x =−有一个交点，又当0x <时，()e x f x −=，则()e xf x −'=−，所以(0)1f '=−，故在点(0,1)处的切线为11(0)y x −=−−，即1(1)y x =−−，故当1a =−时，函数()e ,0xx f x x −⎧<⎪=≥与(1)y a x =−有一个交点，所以要使函数()e ,0xx f x x −⎧<⎪=≥与(1)y a x =−有两个交点，则1a <−，即()g x 恰有两个零点时，a 的取值范围为(,1)−∞−.故答案为：[0,)+∞；(,1)−∞−. 15. 【答案】①④ 【解析】【分析】证明EM ∥NC ，结合线面平行判定判断①；由EM ∥NC 结合1AB 与EM 不垂直，判断②；由线面垂直的判定得出点1B 与点F 重合，从而判断③；取AM 的中点为G ，连接1B G ，当1B G ⊥平面AMCD 时，四棱锥B AMCD −1的体积最大，从而判断④.【详解】分别取1,AB AD 的中点为,E F ，连接1,,,EN EM B F FM . 因为11,AB B D 的中点分别为,E N ，所以EN ∥AD ∥MC ，且12EN AD MC ==. 即四边形ENCM 为平行四边形，故EM ∥NC ，由线面平行的判定可知对于任意一个位置总有CN ∥平面1AB M ，故①正确；因为190AB M ∠=︒，所以1AB 与EM 不垂直，由EM ∥NC 可知，1AB 与NC 不垂直，故②错误；由题意11AB B M ⊥，若1AD MB ⊥，则由线面垂直的判定可得1MB ⊥平面1AB D . 则11MB B D ⊥，因为AM MD =，所以1AMB △与1MB D △全等，则111AB B D ==，此时点1B 与点F 重合，不能形成四棱锥B AMCD −1，故③错误；取AM 的中点为G ，连接1B G ，12B G =，当1B G ⊥平面AMCD 时，四棱锥B AMCD −1的体积最大，最大值为11(12)13224+⨯⨯⨯=，故④正确；故答案为：①④三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16. 【答案】（1）π3（2）6+ 【解析】【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的商数关系，结合三角形内角的特点及特殊值对应的特殊角即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，再利用两角和的正弦公式及正弦定理，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】由tan 2sin a B b A =，得sin sin 2sin sin cos BA B A B⋅=⋅，因为0π,0π,A B <<<<所以sin 0A >，sin 0B >，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =. 【小问2详解】由（1）知，π3B =，因为π4A =，所以πC AB =−−，因为πA BC ++=，所以()πC B A =−+，所以()1sin sin sin cos cos sin 22224C A B A B A B =+=+=⨯+=.由正弦定理sin sin a cA C=，得4sin 2sin a C c A ⨯⋅===+.所以11sin 4(26222ABC S ac B ==⨯⨯+⨯=+△ 17. 【答案】（1）见解析（2）105【解析】【分析】（1）由线面平行的性质定理可证得1//BB EF ，即可证明；（2）根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用方程组解得平面BCD 一个法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量计算即可. 【小问1详解】由三棱柱的性质知，11//BB CC ，1BB ⊄平面11AA C C ，1CC ⊂平面11AA C C ，所以1//BB 平面11AA C C ，又因为1BB ⊂平面1EFB B ，平面11AAC C平面1EFB B EF =，所以1//BB EF ，因为E 为AC 的中点，所以F 为11A C 的中点. 【小问2详解】选条件①，因为平面ABC ⊥平面1EBB ，平面ABC ⋂平1EBB BE =，又因为AB BC ==E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥，所以AC ⊥平面1EBB ，又因为EF ⊂平面1EBB ，所以EF AC ⊥，又因为BEAC ⊥，1C C BE ⊥，1BE CC E =1AC C C ⊂，平面11AA C C ，所以BE ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐称系E xyz −.由题意得()()()()()0,2,0,1,0,0,1,0,1,0,0,2,0,2,1B C D F G −，()()2,0,1,1,2,0CD CB ∴==.设平面BCD 的法向量(),,n a b c =，020,200n CD a c a b n CB ⎧⋅=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩,2a =，则1,4b c =−=−，∴平面BCD 的法向量(2,1,4)n =−−，又()0,2,1FG =−,设直线FG 与平面BCD 所成的角为θ, 则2105sin cos ,105n FG θ==，所以直线FG与平面BCD 所成角的正弦值为105. 选条件②，因为AB BC ==12AC AA ==，13BC =，则22211CC BC BC +=，所以1CC BC ⊥，又因为1C C BE ⊥，BCBE B =，BC BE⊂，平面ABC ，所以1C C ⊥平面ABC ，因为AB BC ==E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥，如图建立空间直角坐称系E xyz −.由题意得()()()()()0,2,0,1,0,0,1,0,1,0,0,2,0,2,1B C D F G −，()()2,0,1,1,2,0CD CB ∴==.设平面BCD 的法向量(),,n a b c =，020,200n CD a c a b n CB ⎧⋅=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩,2a =，则1,4b c =−=−，∴平面BCD 的法向量(2,1,4)n =−−，又()0,2,1FG =−,设直线FG 与平面BCD 所成的角为θ, 则2105sin cos ,105n FG θ==，所以直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值为105. 18. 【答案】（1）27（2）分布列见解析（3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）由古典概率的计算公式代入即可得出答案；（2）求出X 的可能取值，分别计算出其概率，即可得出分布列；（3）分别求出两个林场植树成活率平均数即可判断. 【小问1详解】乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，从乙林场植树的年份中任抽取两年，这两年都是优质工程为事件A ，所以()242743C 12221===76C42721P A ⨯⨯=⨯⨯. 【小问2详解】甲林场植树共6年，其中优质工程有3年，乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，丙林场植树共10年，其中优质工程有5年，则X 的可能取值为0,1,2,3，()1113351116710C C C 30=C C C 28P X ⋅⋅==⋅⋅，()1111111113353453351116710C C C C C C C C C 51=C C C 14P X ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==⋅⋅， ()1111111113453453351116710C C C C C C C C C 112=C C C 28P X ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==⋅⋅， ()1113451116710C C C 13=C C C 7P X ⋅⋅==⋅⋅.则X 的分布列为：因为乙、丙两个林场优质工程概率分别为4172，，且4172>. 则设乙、丙林场植树成活率平均数分别为12,x x ，195.191.693.297.895.692.396.694.67x ++++++==,297.095.498.293.594.895.594.593.598.092.595.2910x +++++++++==所以乙、丙这两个林场植树成活率平均数分别为：94.6，95.29，且丙林场植树成活率大于乙林场植树成活率.所以不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小.19. 【答案】（1）22143x y +=（2）直线HN 过定点(2,0)−，证明见解析. 【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P 的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线TN 的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点. 【小问1详解】解：因为椭圆E 的方程为2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过3(2,0),1,2A B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭两点，则222411914a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆E 的方程为：22143x y +=.【小问2详解】因为3(2,0),1,2A B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，所以()3:22AB y x =+， ①假设过点(2,1)P −的直线过原点，则2x y =−，代入22143x y+=，可得()2M，2N −，代入AB 方程()322y x =+，可得()3(2)2T ，由MT TH =得到(6)2H −+.求得HN 方程：)322y x −=+，过点(2,0)−. ②分析知过点(2,1)P −的直线斜率一定存在，设1122210,(,),(,)kx y k M x y N x y −++=.联立22210,143kx y k x y −++=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)(168)4(442)0k x k k x k k +++++−=，可得21222122168434(442)43k k x x k k k x x k ⎧++=−⎪⎪+⎨+−⎪=⎪+⎩，所以()121221264243k y y k x x k k ++=+++=+， ()()()()2221212121223122121244143ky y kx k kx k k x x k kx x k kk +=++++=+++++=+，且()()()()1221122112122242121221(*)43kx y x y x kx k x kx k kx x k x x k −+=+++++=++=+因为点H 满足MT TH =，所以T 为MH 的中点，联立()1,322x x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()()111113(,2),(,32).2T x x H x x y ++− 可求得此时112221236:()x y y HN y y x x x x +−−−=−−，假设直线HN 过定点(2,0)−，将(2,0)−，代入整理得12121221126()2()3120x x y y x y x y x x −+++++−−=，将(*)代入，得222964824122448482448360,k k k k k k k +++−−−+−−=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(2,0)−. 20. 【答案】（1）1y x =+ （2）见解析（3）2 【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线方程；（2）分类讨论a 的值，利用导数得出单调性；（3）当02a <≤，由单调性得出恒有()1f x >，当2a >，存在0x =，使得0()1<f x ，从而得出a 的最大值. 【小问1详解】因为1()e 1x x f x x−+=−，所以(0)1f =，因为221()e (1)xx f x x −+'=−，所以(0)1f '=. 故曲线()y f x =在点(0,1)处的切线方程为1y x =+. 【小问2详解】()f x 的定义域为(,1)(1,)−∞⋃+∞，222()e (1)axax a f x x −+−'=−.当2a =时，222()e (10)axx f x x −=−>'，即函数()f x 在(,1),(1,)−∞+∞上单调递增. 当02a <<时，22()0axax a f x −+−'=>，即函数()f x 在(,1),(1,)−∞+∞上单调递增. 当2a >时，201a a−<<.令()0f x '=，解得12=x x若()0f x '>时，,(1,)x ⎛⎫∈−∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；若()0f x '<时，x ⎛∈ ⎝；即函数()f x 在,,,(1,)⎛⎫−∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减. 综上所述，当02a <≤时，()f x 在(,1),(1,)−∞+∞上单调递增.当2a >时，()f x 在,,,(1,)⎛⎫−∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减. 【小问3详解】由（2）可知，当02a <≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，恒有()(0)1f x f >=；当2a >时，由（2）可知，()f x 在⎛⎝上单调递减，存在0x =，使得0()(0)1f x f <=，故2a >不合题意；综上，02a <≤，即a 的最大值为2【点睛】易错点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.21. 【答案】（1）1:4A 、3、2，2:4A 、3、3、2 （2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由0:5A 、1、3，求得()10T A 再通过()()121k k A T T A +=求解；（2）设有穷数列A 求得()1T A 再求得()()1S T A ，由()S A ()222121222n n a a na a a a =+++++++，两者作差比较；（3）设A 是每项均为非负整数的数列1a 、2a 、、n a ．在存在1i j n ≤<≤，有i j a a ≤时条件下，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ，在存在1m n ≤<，使得120m m na a a ++====时条件下，若记数列1a 、2a 、⋯、m a 为C ，()()121k k A T T A +=，()()()11k k S A S T A +≤．由()()()1k k S T A S A =，得到()()1k k S A S A +≤．()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有()()()120k k k S A S A S A ++===．【小问1详解】解：0:5A 、1、3，()10:3T A 、4、0、2，()()1210:4A T T A =、3、2，()11:3T A 、4、3、2，()()2211:4A T T A =、3、3、2.【小问2详解】证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为1a 、2a 、、n a ，则()1T A 为n 、11a −、21a −、、1n a −，从而()()1S T A 222212122[2(1)3(1)(1)(1)](1)(1)(1)n n n a a n a n a a a =+−+−+++−++−+−++−．又()S A 22212122(2)n n a a na a a a =+++++++，所以()()()1S T A S A −2212122[23(1)]2()2()(1)0n n n n a a a n a a a n n n n n =−−−−++++++−++++=−+++=，故()()()1S T A S A =．【小问3详解】解：设A 是每项均为非负整数的数列1a ，2,a ，n a ．当存在1i j n ≤<≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ，则()()2()2()()0j i i j j i S B S A ia ja ia ja i j a a −=+−−=−−≤．当存在1m n ≤<，使得120m m na a a ++====时，若记数列1a ，2,a ，m a 为C ，则()()S C S A =．所以()()()2S T A S A ≤．从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(0k k A T T A k +==，1，2，…) 可知11()(())k k S A S T A +≤．又由（2）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤．即对于N k ∈，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +≤−．因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()0k k k S A S A S A ++===．即存在正整数K ，当k K ≥时，()()1k A S A +=.【点睛】思路点睛：本题考查了数列新定义问题，按着某种规律新生出另一个数列的题目，涉及到归纳推理的思想方法，对学生的思维能力要求较高，综合性强，能很好的考查学生的综合素养，解答的关键是要理解新定义，根据定义进行逻辑推理，进而解决问题.。

甘肃省2022年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题1.直线与曲线有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．2. 已知，，，则A．B．C．D．3. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．4. 已知双曲线（，）的左､右焦点分别为，，.若双曲线M 的右支上存在点P ，使，则双曲线M 的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．5. 曲线过点的切线方程是（）A．B．C．D．6. 设，为正数，则“”，是“”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知函数，则下列说法正确的是（）A．的最小正周期是B．若为奇函数，则的一个可取值是C．的一条对称轴可以是直线D ．在上的最大值是18. 给出下面四个结论，其中正确的是（）A ．函数是奇函数，且的最小正周期为2B ．函数的最大值为2，当且仅当时为偶函数C ．函数的单调增区间是D ．函数，的单调减区间是9. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则数列的通项公式为_____10.已知数列满足，则_______．11. 已知函数,则方程的解为____________．12. 下列各命题中，是的充要条件的是________.①；是偶函数；②；；甘肃省2022年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(高频考点版)甘肃省2022年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(高频考点版)四、解答题③或；有两个不同的零点；④；；13. 对于每项均是正整数的数列、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．(1)如果数列为、、，写出数列、；(2)对于每项均是正整数的有穷数列，证明；(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．14. 求的展开式中的常数项，并说明它是展开式中的第几项．15. 已知函数.（1）求与的值；（2）若，求的值.16. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，，点D 在边上，.(1)求和的长；(2)求的面积.。

西藏拉萨市(新版)2024高考数学苏教版真题(巩固卷)完整试卷

西藏拉萨市（新版）2024高考数学苏教版真题(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题命题“”的否定是（）A．B ．C．D ．第(2)题已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（）A ．或B ．或C ．D ．第(3)题已知向量，则等于（）．A ．B ．6C ．D ．18第(4)题已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．第(5)题设集合，，则（）A ．B ．C ．D ．第(6)题交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为A ．101B ．808C ．1212D ．2012第(7)题校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：中位数评价优秀良好合格不合格2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价是（）A ．优秀B ．良好C ．合格D ．不合格第(8)题设向量，，若与共线，则（）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若，，则（）．A ．B．C．D ．第(2)题设、分别是双曲线：的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（）A．B．当时，的离心率是C．当时，到渐近线的距离随着的增大而减小D．当时，的实轴长是虚轴长的两倍第(3)题在正方体中，M，N，P分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是（）A．B．平面C．平面D．与所成的角是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为_____．第(2)题正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为，D为棱AC的中点，则异面直线SD与AB所成角的余弦值为__________．第(3)题已知数列是等差数列，，过点作直线的垂线，垂足为点，则的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.第(2)题已知椭圆C：的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当直线l的斜率为k时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．第(3)题已知函数．(1)当a=0时，求函数的最小值；(2)当的图像在点处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当时，．第(4)题对于每项均是正整数的数列、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．(1)如果数列为、、，写出数列、；(2)对于每项均是正整数的有穷数列，证明；(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．第(5)题已知函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）设函数的极值点为，当变化时，点构成曲线，证明：过原点的任意直线与曲线有且仅有一个公共点.。

2021年北京高三一模分类汇编数列(含解析)

2021北京高三一模数学汇编：数列一．选择题（共8小题）1．（2021•延庆区一模）已知{a n}为无穷等比数列，且公比0＜q＜1，记S n为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＜a2B．a1×a2＞0C．{a n}是递减数列D．S n存在最小值2．（2021•海淀区一模）设无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，若﹣a1＜a2＜a1，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．数列{S n}有最大项D．数列{S n}有最小项3．（2021•海淀区一模）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a5＝S5＝5，则a1＝（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣24．（2021•怀柔区一模）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝8a2，则下列式子中的数值不能确定的是（）A．B．C．D．5．（2021•房山区一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＞S8，S8＝S9＜S10，则下面结论错误的是（）A．a9＝0 B．S15＞S14C．d＜0 D．S8与S9均为S n的最小值6．（2021•朝阳区一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝1，S9＝18，则a1＝（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．（2021•门头沟区一模）数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝﹣2a n，数列{b n}满足b n＝|a n|，则数列{b n}的前n项和S n＝（）A．B．C．2n﹣1 D．（﹣2）n﹣18．（2021•平谷区一模）已知数列{a n}满足，且对任意n∈N*，都有，那么a4为（）A．B．7 C．D．10二．填空题（共3小题）9．（2021•东城区一模）已知{a n}为等比数列，a1＝1，a4＝，那么{a n}的公比为，数列{}的前5项和为．10．（2021•西城区一模）在等比数列{a n}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，则公比q＝；若a n＞1，则n的最大值为．11．（2021•丰台区一模）设等比数列{a n}满足a1+a2＝48，a4+a5＝6，则log2（a1a2a3…a n）的最大值为．三．解答题（共10小题）12．（2021•房山区一模）对于数列{a n}，记b n＝max{a1，a2，…，a n}（n＝1，2，3，…），其中max{a1，a2，…，a k}表示a1，a2，…，a k这k个数中最大的数．并称数列{b n}是{a n}的“控制数列”，如数列1，2，3，2的“控制数列”是1，2，3，3．（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a n}的“控制数列”为1，3，4，4，写出所有的{a n}；（Ⅱ）设a n＝an2﹣2n（n∈N*）．（i）当a＞0时，证明：存在正整数m，使，，，…是等差数列；（ⅱ）当a∈[﹣2，2]时，求的值（结果可含a）．13．（2021•海淀区一模）已知无穷数列{a n}，对于m∈N*，若{a n}同时满足以下三个条件，则称数列{a n}具有性质P（m）．条件①：a n＞0（n＝1，2，…）；条件②：存在常数T＞0，使得a n≤T（n＝1，2，…）；条件③：a n+a n+1＝ma n+2（n＝1，2，…）．（Ⅰ）若a n＝5+4×（n＝1，2，…），且数列{a n}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；（Ⅱ）是否存在具有性质P（1）的数列{a n}？若存在，求数列{a n}的通项公式；若不存在，说明理由；（Ⅲ）设数列{a n}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{a n}的通项公式．14．（2021•西城区一模）已知数列A：a1，a2，…，a N（N≥3）的各项均为正整数，设集合T＝{x|x＝a j﹣a i，1≤i ＜j≤N}，记T的元素个数为P（T）．（Ⅰ）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出P（T）的值；（Ⅱ）若A是递增数列，求证：“P（T）＝N﹣1”的充要条件是“A为等差数列”；（Ⅲ）若N＝2n+1，数列A由1．，2，3，…，n，2n这n+1个数组成，且这n+1个数在数列A中每个至少出现一次，求P（T）的取值个数．15．（2021•怀柔区一模）定义满足以下两个性质的有穷数列a1，a2，a3，…，a n为n（n＝3，4，⋅⋅⋅）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（Ⅰ）若等比数列{a n}为4阶“期待数列”，求{a n}的公比；（Ⅱ）若等差数列{a n}是2k+1阶“期待数列”（n＝1，2，3，…，2k+1，k是正整数），求{a n}的通项公式；（Ⅲ）记2k阶“期待数列”{a n}的前n项和为S n（n＝1，2，3，…，2k，k是不小于2的整数），求证：|S k|≤．16．（2021•石景山区一模）由m个正整数构成的有限集M＝{a1，a2，a3，…，a m}（其中a1＜a2＜a3＜…＜a m），记P（M）＝a1+a2+…+a m，特别规定P（∅）＝0，若集合M满足：对任意的正整数k≤P（M），都存在集合M的两个子集A，B，使得k＝P（A）﹣P（B）成立，则称集合M为“满集”．（Ⅰ）分别判断集合M1＝{1，2}与M2＝{2，3}是否为“满集”，请说明理由；（Ⅱ）若集合M为“满集”，求a1的值；（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a m是首项为1公比为2的等比数列，判断集合M是否为“满集”，并说明理由．17．（2021•丰台区一模）已知数列A：a1，a2，…，a2n（n∈N*），现将数列A的项分成个数相同的两组，第一组为B：b1，b2，…，b n，满足b i≥b i+1（i＝1，2，…，n﹣1）；第二组为C：c1，c2，…，c n，满足c i≤c i+1（i＝1，2，…，n﹣1），记M＝．（Ⅰ）若数列A：1，2，4，8，写出数列A的一种分组结果，并求出此时M的值；（Ⅱ）若数列A：1，2，3，…，2n，证明：max{b i，c i}≥n+1（i＝1，2，…，n）；（其中max{b i，c i}表示b i，c i中较大的数）（Ⅲ）证明：M的值与数列A的分组方式无关．18．（2021•朝阳区一模）设数列A m：a1，a2，…，a m（m≥2），若存在公比为q的等比数列B m+1：b1，b2，…，b m+1，使得b k＜a k＜b k+1，其中k＝1，2，…，m，则称数列B m+1为数列A m的“等比分割数列”．（Ⅰ）写出数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5；（Ⅱ）若数列A10的通项公式为a n＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”B11的首项为1，求数列B11的公比q的取值范围；（Ⅲ）若数列A m的通项公式为a n＝n2（n＝1，2，…，m），且数列A m存在“等比分割数列”，求m的最大值．19．（2021•石景山区一模）已知有限数列{a n}共有30项{a n}（n∈N*，n≤30），其中前20项成公差为d的等差数列，后11项成公比为q的等比数列，记数列的前n项和为S n．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）d，q的值；（Ⅱ）数列中的最大项．条件①：a2＝4，S5＝30，a21＝20；条件②：S3＝0，a20＝﹣36，a22＝﹣9；条件③：S1＝48，a21＝20，a24＝160．20．（2021•门头沟区一模）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，满足b2＝12，b5＝30．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n和它的前n项和S n；（Ⅱ）若对任意n∈N*不等式kS n≥b n恒成立，求k的取值范围．条件①a n2+a n＝2S n；条件②a1＝9，当n≥2，a2＝2，a n+1＝a n+2．21．（2021•平谷区一模）已知数列A：a1，a2，…，a n（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3），具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n）a j+a i与a j﹣a i，两数中至少有一个是该数列中的一项，S n为数列A的前n项和．（Ⅰ）分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质P；（Ⅱ）证明：a1＝0，且S n＝；（Ⅲ）证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．2021北京高三一模数学汇编：数列参考答案一．选择题（共8小题）1．【分析】利用反例：数列{a n}以﹣2为首项，以为公比的等比数列，分别检验各选项即可判断．【解答】解：例如数列{a n}以﹣2为首项，以为公比的等比数列，a2＝﹣1，a2＝，A，C，D显然错误；a2•a2＝＞0一定成立；故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．2．【分析】由已知分析等比数列的公比范围，然后结合求和公式分析{S n}的单调性，结合选项可求．【解答】解：由﹣a1＜a2＜a8可得a1＞0，所以q＝＜1，因为﹣a6＜a2得q＝＞﹣1，所以﹣1＜q＜8，因为，当0＜q＜1时，{S n}递增，当﹣7＜q＜0时n}递减，A，B错误；当0＜q＜3时，S n最小项S1，没有最大项，当﹣1＜q＜2时，a1＞0，a8＜0，a3＞7，a4＜0且a3+a4＞0，S n最小项S7，没有最大项，C错误．故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的单调性的判断，通项公式及求和公式，属于中档题．3．【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．【解答】解：因为{a n}为等差数列，a5＝S5＝6，所以，解得a1＝﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，属于基础题．4．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的性质可得q3＝＝8，求出q的值，据此计算分析选项中式子的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a5＝8a2，则q3＝＝8，对于A，＝q2＝4，可以确定数值，对于B，＝＝＝，可以确定数值，对于C，＝q＝2，对于D，＝＝，不能确定数值，故选：D．【点评】本题考查等比数列的前n项和的性质，涉及等比数列的通项公式和性质，属于基础题．5．【分析】由已知可得a8＜0，a9＝0，a10＞0，d＞0，然后结合各选项进行分析即可求解．【解答】解：因为等差数列{a n}，S7＞S8，S2＝S9＜S10，所以S7﹣S2＝﹣a8＞0，S8﹣S8＝a9＝7，S10﹣S9＝a10＞0，即a6＜0，a9＝2，a10＞0，d＞0，故A正确，C错误；S15﹣S14＝a15＞5，即S15＞S14，故B正确；由a8＜0，a4＝0，a10＞0可知S3与S9均为S n的最小值，D正确．故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，还考查了考生分析问题的能力．6．【分析】先由题设求得a5，再利用等差数列的性质求得结果．【解答】解：∵S9＝18＝＝6a5，∴a5＝5，又a3＝1，∴由等差数列的性质可得：a7+a5＝a1+2＝2a3＝5，∴a1＝0，故选：A．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算，属于基础题．7．【分析】由题设得到数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，即可求得其前n项和．【解答】解：由题设可知：b1＝|a1|＝5，＝＝4，∴数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算，属于基础题．8．【分析】利用题中的条件，可以进一步推出a n+1与a n的递推关系，进而可以解出．【解答】解：由，得5a n+1a n+2a n+6＝a n+1a n+2a n，∴，∴＝；＝；＝；故选：A．【点评】本题考查了数列通项递推式，学生的逻辑推理能力，数学运算能力，属于基础题．二．填空题（共3小题）9．【分析】根据题意，设{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得q3＝＝，解可得q的值，由等比数列的性质可得数列{}是首项＝1，公比为＝2的等比数列，据此计算可得答案．【解答】解：根据题意，设{a n}的公比为q，若a1＝1，a3＝，则q6＝＝，则q＝，则数列{}是首项，公比为，则数列{}的前4项和为，故答案为：，31．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和，属于基础题．10．【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得q＝，即可得第一空答案，进而求出a1的值，即可得{a n}的通项公式，解a n＞1可得第二空答案．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，a1+a3＝10，a7+a4＝﹣5，则q＝＝＝﹣．若a1+a3＝10，即a4+a8＝10，解可得a1＝8，则a n＝a5q n﹣1＝8×（﹣）n﹣1＝（﹣2）n﹣1×28﹣n，若a n＞1，即（﹣1）n﹣6×24﹣n＞4，必有n＝1或3，即n的最大值为4，故答案为：﹣，4．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．11．【分析】直接利用数列的通项公式的求法及应用，二次函数的性质的应用求出结果．【解答】解：设公比为q的等比数列{a n}满足a1+a2＝48，a4+a5＝6，所以，解得q＝，故a3+a2＝a1（2+q）＝48，解得a1＝32．所以，故，则，当n＝3或6时，取得最大值为15．故答案为：15．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．三．解答题（共10小题）12．【分析】（Ⅰ）根据“控制数列”的定义，写出数列{a n}的各项即可．（Ⅱ）（i）利用二次函数的性质可知，当x＞时函数f（x）单调递增，所以当m＝[]+1，n≥m时，有a n ＝b n，从而得出＝an﹣2是等差数列．（ii）对a的范围分情况讨论，利用作差法比较大小，得到b1，b2，b3，b4的值，从而求出的值．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}的各项为：1，3，6，1，1，8，4，2，5，3，4，6，1，3，2，4，……．（Ⅱ）（i）当a＞0时，f（x）＝ax7﹣2x的对称轴为x＝，∴当x＞时单调递增，2，3，……，所以当m＝[]+1，有a n＝b n，由于＝an﹣2是等差数列，所以存在正整数m，使，，，…是等差数列．（ii）f（x）＝ax2﹣2x的对称轴x＝，由于n＝1，2，4，a1＝a﹣2，a7＝4a﹣4，a5＝9a﹣6，a8＝16a﹣8，①当a时，此时a1＝a﹣2最大，由于b n＝max{a1，a2，……，a n}（n＝6，2，3……），所以b8＝b2＝b3＝b3＝a1＝a﹣2，所以＝（a﹣2）（，②当a时，b1＝b2＝b8＝a1＝a﹣2，b3＝a4，所以＝，③当a时，a4﹣a1＝3a﹣4＜0，a3﹣a5＝8a﹣4＞5，b1＝b2＝a6＝a﹣2，a3＝b2，b4＝a4，所以＝＝，④当a∈（，1]时，a2﹣a2＝3a﹣2＞8，故b n＝a n，所以＝＝10a﹣8，⑤当a∈（2，2]时，对称轴为x＝，所以单调递增n＝a n，则＝＝，综上所述，＝．【点评】本题主要考查了数列的应用，考查了二次函数的性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．13．【分析】（Ⅰ）m＝2，T＝6（答案不唯一）（Ⅱ）不存在具有性质P（1）的数列{a n}，依题意有a n+3≥na2+a3，当时，a n+3＞T不符合题意．∴不存在具有性质P（1）的数列{a n}．（Ⅲ）m＝2时，可得a n＝c，数列{a n}具有性质P（2）．当m≥3时，令b n＝max{a n，a n+1}，可得b n+2≤b n﹣1，b2n﹣1﹣b1≤﹣n，当n≥b1时，b2n﹣1≤b1﹣n≤0与b2n+1∈N+矛盾．即可求解．【解答】解：（Ⅰ）m＝2，T＝6（答案不唯一）；（Ⅱ）不存在具有性质P（1）的数列{a n}，理由如下：依题意有：a n+a n+8＝a n+2（n＝1，2，…）．∵a n＞0（n＝1，2，…）2＜a3＜a4＜…∴a4﹣a3≥a7，a5﹣a4≥a2，…a n+3﹣a n+1≥a2，∴a n+3≥na2+a4，当时，a n+8＞T不符合题意．∴不存在具有性质P（1）的数列{a n}．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得m≠1．当m＝2时，（a n+a n+1）＝a n+7（n＝1，2，…），∴（a n+5﹣a n+1）＝﹣（a n+1﹣a n）（n＝1，7，…），∴|a n+2﹣a n+1|＝|a2﹣a6|（n＝1，2，…），①当a5＝a1＝c（c为常数，且为正整数）时，a n＝c，数列{a n}具有性质P（2）．②当a2≠a7时，当n＞log2|a2﹣a5|时，|a n+2﹣a n+1|＝|a2﹣a5|∈（0，1）（n＝6，2，与数列{a n}各项均为正整数矛盾，不符合题意．当m≥3时，令b n＝max{a n，a n+8}，∴a n+2＝（a n+7+a n）（a n+7+a n）（b n+b n）＜b n，a n+5＝（a n+1+a n+8）（a n+8+a n+2）（b n+b n）＜b n，…∴b n+2≤b n﹣1，∴b2﹣b1≤﹣1，b2﹣b2≤﹣1，…，∴b6n﹣1﹣b1≤﹣n，∴当n≥b5时，b2n﹣1≤b7﹣n≤0与b2n+7∈N+矛盾．综上，数列{a n}的通项公式为a n＝c（c为常数，且为正整数）．【点评】本题考查了数列的概念与应用问题，也考查了运算求解能力和逻辑思维能力，是难题．14．【分析】（Ⅰ）利用集合T的定义直接求解即可；（Ⅱ）分充分性和必要性两个方面分别证明，利用题中给出的集合T的定义分析即可；（Ⅲ）通过分析可知P（T）≤4n﹣1，且P（T）≥2n，设数列A0：1，1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，此时T＝{0，1，2，…，2n﹣1}，P（T）＝2n．然后对数列A0分别作变换进行分析求解，即可得到答案．【解答】（Ⅰ）解：因为a1＝1，a4＝2，a3＝6，a4＝3，所以T＝{2，2，3，﹣6}；（Ⅱ）证明：充分性：若A是等差数列，设公差为d．因为数列A是递增数列，所以d＞0．则当j＞i时，a j﹣a i＝（j﹣i）d．所以T＝{d，2d，…，P（T）＝N﹣8，必要性：若P（T）＝N﹣1．因为A是递增数列，所以a2﹣a6＜a3﹣a1＜…＜a N﹣a5，所以a2﹣a1，a5﹣a1，…，a N﹣a1∈T，且互不相等．所以T＝{a8﹣a1，a3﹣a7，…，a N﹣a1}．又a3﹣a4＜a4﹣a2＜…＜a N﹣5﹣a2＜a N﹣a2＜a N﹣a6，所以a3﹣a2，a7﹣a2，…，a N﹣a2，a N﹣a2∈T，且互不相等．所以a3﹣a2＝a5﹣a1，a4﹣a8＝a3﹣a1，…，a N﹣a5＝a N﹣1﹣a1．所以a3﹣a1＝a3﹣a5＝…＝a N﹣a N﹣1，所以A为等差数列；（Ⅲ）解：因为数列A由1，6，3，…，n，2n这n+5个数组成，差值只可能为±1，±2，…，±（n﹣5）和±（2n﹣1），…，±n．共6（n﹣1）+2n＝3n﹣2个不同的值；且对任意的m＝1，7，3，…，n，…，2n﹣8，又因为1，2，2，…，n，2n这n+1个数在数列A中共出现N＝3n+1次i＝a j（i≠j），所以0∈T．综上，P（T）≤6n﹣1．设数列A0：3，1，2，5，3，3，3，4，…，n，n，2n，2，2，…，2n﹣8}．现对数列A0分别作如下变换：把一个1移动到2，3之间，2，2，1，3，8，4，4，…，n，n，2n，此时T＝{0，1，5，3，…，（2n﹣6），P（T）＝2n+1．把一个8移动到3，4之间，2，2，3，7，1，4，4，…，n，n，2n，此时T＝{0，4，2，3，…，（3n﹣1），﹣2}．……把一个6移动到n﹣1，n之间，2，7，3，3，2，4，…，n﹣1，4，n，n，2n，此时T＝{0，5，2，3，…，（2n﹣1），﹣2，…，P（T）＝6n+n﹣2＝3n﹣6．把一个1移动到n，2n之间，7，2，3，2，4，4，…，n，n，5，2n，此时T＝{0，5，2，3，…，3n﹣1，﹣2，…，P（T）＝7n+n﹣1＝3n﹣5．再对数列A0依次作如下变换：把一个1移为3n的后一项，得到数列A1：1，3，2，3，5，4，4，…，n，n，8n，1，此时T＝{0，3，2，3，…，5n﹣1，﹣2，…，8﹣2n}；再把一个2移为2n的后一项：得到数列A2：1，5，3，3，8，4，…，n，n，2n，4，1，此时T＝{0，6，2，3，…，7n﹣1，﹣2，…，7﹣2n，P（T）＝3n+5；依此类推……最后把一个n移为2n的后一项：得到数列A n：1，7，3，4，…，n，4n，n，…，2，1，此时T＝{7，1，2，5，…，2n﹣1，﹣3，…，1﹣2n，…，﹣n}．综上所述，P（T）可以取到从3n到4n﹣1的所有2n个整数值．【点评】本题以数列知识为背景考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答，属于难题．15．【分析】（Ⅰ）先根据新定义得到对应关系式，再结合等比数列求和公式求出公比即可；（Ⅱ）先根据新定义得到对应关系式，结合等差数列求和公式和性质得到a k+1＝0，再利用等差数列性质求绝对值之和解得d，根据a n＝a k+1+[n﹣（k+1）]d，求出通项公式即可；（Ⅲ）先利用新定义计算数列中所有非负项之和与所有负数项之和，再求S k的最大值和最小值，即可证明：|S k|≤成立．【解答】解：（Ⅰ）依题意，等比数列{a n}为4阶“期待数列”，故数列满足①a1+a3+a3+a4＝3，②|a1|+|a2|+|a7|+|a4|＝1．易见a n≠2，若公比q为1，则①式即4a8＝0，不符合题意，故①式即，即q4＝1，故q＝﹣3n}的公比为﹣1；（Ⅱ）依题意，等差数列{a n}是2k+8阶“期待数列”，设等差数列{a n}公差为d，则数列满足①a1+a2+a7+…+a2k+1＝4；②|a1|+|a2|+|a5|+…+|a2k+1|＝4．故①式即，即a1+a4k+1＝2a k+8＝0，即a k+1＝5．若d＞0时，有a1，a5，a3，…，a k＜0，a k+6，a k+3，…，a2k+2＞0，则②式即﹣a1﹣a6﹣…﹣a k+a k+2+a k+3+…+a2k+1＝1，故（a k+4﹣a1）+（a k+3﹣a7）+…+（a2k+1﹣a k）＝3，即k⋅（k+1）d＝1，得，所以；若d＜0时，有a1，a4，a3，…，a k＞0，a k+5，a k+3，…，a2k+4＜0，则②式即a1+a5+a3+…+a k﹣a k+2﹣a k+5﹣…﹣a2k+1＝4，故（a1﹣a k+2）+（a4﹣a k+3）+…+（a k﹣a2k+8）＝1，即﹣k⋅（k+1）d＝8，得，所以．综上，d＞0时，*）；d＜0时，*）；（Ⅲ）设2k阶“期待数列”{a n}的所有非负项之和为A，所有负数项之和为B，依题意数列满足①a3+a2+a3+…+a2k＝0；②|a1|+|a4|+|a3|+…+|a2k|＝7．即A+B＝0，A﹣B＝1，当所有非负数项一起构成S k时，S k最大为，即；当所有负数项一起构成S k时，S k最小为，即．故，所以．【点评】本题考查了等差数列、等比数列的相关性质，考查了分类讨论思想，解题关键是理解并利用新定义，属难题．16．【分析】（Ⅰ）P（M1）＝3，且M1的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}k＝1，k＝P（{1}）﹣P（∅），由此能推导出M1是满集；P（M2）＝5，且M2的子集为∅，{2}，{3}，{2，3}，k＝4时，不存在集合M的两个子集A、B，使得4＝P（A）﹣P（B）成立，从而M2不是满集．（Ⅱ）设k0＝P（M），由集合M为“满集”对任意的正整数k≤P（M），都存在集合M的两个子集A、B，使得k＝P（A）﹣P（B）成立．得到P（A）＝k0或P（A）＝k0﹣1．由此能求出结果．（Ⅲ）由题意知集合M＝{1，2，4，…，2m﹣1}，，对任意的正整数k≤2m﹣1，根据二进制可知，k＝（0≤i s＜…＜i1＜m），由此能推导出集合M为“满集”．【解答】解：（Ⅰ）M1是满集，M2不是满集．P（M5）＝3，且M1的子集为∅，{6}，{1，k＝P（{1}）﹣P（∅），k＝3，k＝P（{2}）﹣P（∅），k＝P（{1所以M8是满集；P（M2）＝5，且M3的子集为∅，{2}，{2，k＝6时，不存在集合M的两个子集A、B，所以M2不是满集．（Ⅱ）设k0＝P（M），因为集合M为“满集”对任意的正整数k≤P（M），都存在集合M的两个子集A、B，使得k＝P（A）﹣P（B）成立．则k8﹣1＝P（A）﹣P（B），且P（B）≥03或P（A）＝k0﹣1．当P（A）＝k6时，P（B）＝11＝7；当P（A）＝k0﹣1时，P（B）＝41＜a2＜a8＜…＜a m，所以a2+a3+…+a m为最大k6﹣1，此时a1＝5．综上a1＝1．（Ⅲ）集合M是满集．由题意知集合M＝{2，2，4，…，2m﹣1}，，对任意的正整数k≤2m﹣4，根据二进制可知，k＝（0≤i s＜…＜i1＜m）．取A＝{}，B＝∅．即k＝P（A）﹣P（B），所以集合M为“满集”．【点评】本题考查满集的运算，考查新定义、二进制、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．【分析】（Ⅰ）由题意可得数列A分成B：8，4；C：1，2，进而可得答案．（Ⅱ）由b i≥b i+1，c i≤c i+1（i＝1，2…n﹣1），推出max{b i，c i}≥max{b i，b i+1，b i+2，…b n，c i，c i﹣1，c i﹣c1}，即可得出答案．2，…（Ⅲ）不妨将数列A：a1，a2，…a2n（n∈N*），重新排列得到，数列A′：a1′，a2′，…a2n′（n∈N*），满足a i′≤a i+1′（i＝1，2，…2n﹣1），由|b i﹣c i|＝max{b i，c i}﹣min{b i，c i}，即可推出M的值与数列A的分组方式无关．【解答】解：（Ⅰ）可将数列A分成B：8，4；C：4，2，此时M＝|8﹣2|+|4﹣2|＝8．（Ⅱ）因为b i≥b i+1，c i≤c i+1 （i＝5，2…n﹣1），所以max{b i，c i}≥b i≥b i+7≥b i+2≥…≥b n（i＝1，8，…n），max{b i，c i}≥c i≥c i﹣1≥c i﹣2≥…≥c4，所以max{b i，c i}≥max{b i，b i+1，b i+2，…b n，c i，c i﹣2，c i﹣2，…c1}，因为b i，b i+4，b i+2，…b n，c i，c i﹣1，c i﹣7，…c1共n+1项，所以max{b i，b i+7，b i+2，…b n，c i，c i﹣1，c i﹣8，…c1}≥n+1，所以max{b i，c i}≥n+6．（Ⅲ）不妨将数列A：a1，a2，…a2n（n∈N*），重新排列得到，数列A′：a1′，a2′，…a4n′（n∈N*），满足a i′≤a i+1′（i＝1，3，…2n﹣1），因为b i≥b i+7，c i≤c i+1，（i＝1，3，…n﹣1），所以max{b i，c i}≥b i≥b i+1≥b i+4≥…≥b n（i＝1，2，…n），max{b i，c i}≥c i≥c i﹣8≥c i﹣2≥…≥c1（i＝8，2，…n），所以max{b i，c i}≥max{b i，b i+1，b i+4，…b n，c i，c i﹣1，c i﹣2，…c5}，因为b i，b i+1，b i+2，…b n，c i，c i﹣3，c i﹣2，…c1，共n+7项，所以max{b i，c i}恰为a n+1′，a n+2′，…a4n′（n∈N*）中某一项，同理min{b i，c i}恰为a1′，a2′，…a n′（n∈N*）中某一项，（其中min{b i，c i}表示b i，c i中较小的数）．因为|b i﹣c i|＝max{b i，c i}﹣min{b i，c i}，所以M＝|b i﹣c i|＝（a n+1′+a n+2′+…+a8n′）﹣（a1′+a2′+…+a n′），所以M的值与数列A的分组方式无关．【点评】本题考查数列的新定义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）根据“等比分割数列”的定义即可求解；（Ⅱ）根据定义可得q n﹣1＜2n＜q n（n＝1，2，3，…，10），从而求得q＞2，且q n﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），n＝1时显然成立，当n＝2，3，…，10时，将q n﹣1＜2n转化为q＜，利用指数函数的单调性即可求得q的取值范围；（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由定义可得b1q n﹣1＜n2＜b1q n（n＝1，2，…，m），设m≥6，解不等式可推出矛盾，可得m≤5，当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09，满足定义，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）根据定义可得数列A4：3，3，12B5：2，6，8，16．（答案不唯一）（Ⅱ）由题意可得，q n﹣1＜3n＜q n（n＝1，2，6，…，10），所以q＞2，且q n﹣1＜3n（n＝1，2，2，…，10），当n＝1时，1＜7成立；当n＝2，3，…，10时成立，因为y＝2x在R上单调递增，所以＝，故q＜，综上，q的取值范围是（2，）．（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b2，公比为q，由题意，应有b1q n﹣1＜n4＜b1q n（n＝1，8，…，m）1＞0，q＞7，设m≥6，此时有b1＜8＜b1q＜4＜b5q2＜9＜b8q3＜16＜b1q2＜25＜b1q5＜36＜b8q6＜…．所以＞，可得q3＞9，所以q＞，又b1q3＞9，所以b1q5＞9×22＝36，与b1q5＜36＜b5q6矛盾，故m≤5，又当m＝5时，取b1＝0.99，q＝4.09，可得0.99＜1＜6.99×2.09＜4＜3.99×2.092＜6＜0.99×2.093＜16＜0.99×2.097＜25＜0.99×2.092，所以m＝5时成立，综上，m的最大值为5．【点评】本题主要考查新定义，数列的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．19．【分析】（Ⅰ）由所选条件列出q与d的方程组，即可求解出d，q的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）分别求出前20项中的最大项与后11项中的最大项，即可求得数列中的最大项．【解答】当选择条件①时：解：（Ⅰ）因为{a n}的前20项成等差数列，a2＝4，S2＝30，所以解得．所以a20＝2+19×5＝40．因为数列{a n}后11项成公比为q的等比数列，所以．综上，．（Ⅱ）{a n}的前20项成等差数列，d＞8．所以前20项为递增数列．即：前20项的最大项为a20＝40．数列{a n}的后11项成等比数列，，所以后11项是递减数列．即：后11项的最大项为a20＝40综上，数列{a n}的最大项为第20项，其值为40．当选择条件②时：解：（Ⅰ）因为{a n}的前20项成等差数列，S3＝0，a20＝﹣36，所以所以因为数列{a n}后11项成公比为q的等比数列，a20＝﹣36，又因为a22＝﹣9，所以．综上，．（Ⅱ）{a n}的前20项成等差数列，d＜0．所以前20项为递减数列．前20项的最大项为a1＝8．因为．i．当时，，所以当20≤n≤30时，a n＜0．此时，数列{a n}的最大项为第1项，其值为5；ⅱ．当时，，后11项的最大项为a21＝18．此时，数列{a n}的最大项为第21项，其值为18．综上，当时，数列{a n}的最大项为第1项，其值为2；当时，数列{a n}的最大项为第21项，其值为18．当选择条件③时：解：（Ⅰ）因为数列{a n}后11项成公比为q的等比数列，a21＝20，a24＝160，所以，解得q＝2．所以．又因为{a n}的前20项成等差数列，S1＝a8＝48，所以．综上，d＝﹣2．（Ⅱ）{a n}的前20项成等差数列，d＜0．所以前20项为递减数列．前20项的最大项为a2＝48．{a n}的后11项成等比数列，而a20＝10，q＝2，，所以后11项为递增数列．后11项的最大项为a30＝10240，综上，数列{a n}的最大项为第30项，其值为10240．【点评】本题主要考查等差、等比数列基本量的计算，属于中档题．20．【分析】选择①，（Ⅰ）由数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，可得所求；（Ⅱ）运用等差数列的通项公式和参数分离，结合数列的单调性求得最值，可得所求范围；选择②，（Ⅰ）运用等差数列的通项公式、求和公式，可得所求；（Ⅱ）运用等差数列的通项公式和参数分离，结合基本不等式求得最值，可得所求范围．【解答】选择①a n2+a n＝2S n．解：（Ⅰ）得：当n＝7时，a1＝1，当n≥2时，（1），，两式相减得：，而a n＞7，可得：a n﹣a n﹣1＝1，数列{a n}为等差数列，所以，a n＝7+（n﹣1）×1＝n，；（Ⅱ）设b n＝b1+（n﹣6）d，b2＝12，b5＝30，即b2+d＝12，b1+4d＝30，解得b5＝6，d＝6，所以，b n＝5n，由kS n≥b n得：，设，则{c n}是递减数列，所以，当，c n达到最大，所以，k的取值范围为[6，选择②a1＝4，当n≥2，a2＝4，a n+1＝a n+2．解：（Ⅰ）当n≥6，a n+1＝a n+2⇒a n+6﹣a n＝2，当n≥2，a n＝a3+（n﹣2）×2⇒a n＝3n﹣2，所以，，，（Ⅱ）设b n＝b1+（n﹣4）d，b2＝12，b5＝30，代入得：b n＝7n，由kS n≥b n得：，设，当且仅当n＝6时，上式取得等号，所以，综上所述，k的取值范围是．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列不等式恒成立问题解法，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．21．【分析】（Ⅰ）利用性质P分别判断即可的结论；（Ⅱ）由性质P可得a n﹣a n与a n+a n中至少有一个是数列A中的项，根据0≤a1＜a2＜…＜a n，a n+a n∉A，a n﹣a n∈A，从而可证得a1＝0；由性质P可知a n﹣a1＞a n﹣a2＞a n﹣a3＞…＞a n﹣a n，从而可得a n﹣a1＝a n，a n﹣a2＝a n﹣1，……a n﹣a n＝a1，将这n 个等式左右两端同时相加，即可证得S n＝；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得a3＝2a2，a4＝3a2，a5＝4a2，从而得证．【解答】解：（Ⅰ）解：因为1+3＝3∉A，3﹣1＝3∉A，1，3，5不具有性质P，因为2+0＝8，2﹣0＝5，4﹣0＝3，6﹣0＝8，4﹣2＝3，6﹣2＝8，6﹣4＝6，这六组数中，每组中的两个数至少有一个是数列0，2，3，故数列0，2，7．（Ⅱ）证明：因为数列A：a1，a2，…，a n（2≤a1＜a2＜…＜a n，n≥8），具有性质P，所以a n﹣a n与a n+a n中至少有一个是数列A中的项，因为0≤a1＜a4＜…＜a n，所以a n+a n∉A，a n﹣a n∈A，所以a1＝0，由数列A具有性质P，可知a n﹣a k∈A（k＝6，2，3，…，n），所以a n﹣a4＞a n﹣a2＞a n﹣a3＞…＞a n﹣a n，所以a n﹣a7＝a n，a n﹣a2＝a n﹣1，a n﹣a3＝a n﹣2，……a n﹣a n＝a1，从而na n﹣（a8+a2+…+a n）＝a n+a n﹣1+a n﹣6+…+a1，所以na n﹣S n＝S n，所以S n＝．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a4﹣a4＝a2，a6﹣a3＝a3，所以a2＝a4+a2＝4a3，a3﹣a3＝a2，所以a3＝3a2，a4＝6a2，a5＝5a2，所以数列a1，a7，a3，a4，a3是以0为首项，a2为公差的等差数列【点评】本题主要考查新定义的应用，数列的求和，等差数列的证明，考查逻辑推理能力，属于难题．。

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（Ⅰ）解：A0：5,3,2,
T1(A0):3,4,2,1
A1=T2(T1(A0)):4,3,2,1;
T2(A1):4,3,2,1,0
A2=T2(T1(A1)):4,3,3,1.
（Ⅱ）证明：设a2-1,…,an-1,
从而
又
所以
＝
故
（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1,a2,…，an.
当存在，使得ai≤aj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B.则
＝2
当存在1≤m＜n,使得时，若记数列为a1,a2,…，am为C，则S(C)=S(A).
所以
从而对于任意给定的数列A0，由Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,…)可知
S(Ak+1)≤S(T1(Ak)).
又由（Ⅱ）可知S(T1(Ak))=S(Ak)，所以 .
设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,…)
（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1,A2；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(Ak+1)=S(Ak).
即对于 N,要么有S(Ak+1)=S(Ak)，要么有 -1.
因为S(Ak)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有
即存在正整数K，当k≥K时，
对于每项均是正整数的数列A:a1,a2,…,an,定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n,a1-1,a2-1,…,an-1.
对于每项均是非负整数的数列B：b1,b2,…,bm,定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）：又定义
S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b21+b22+…+b2m.