(优选)解析函数的孤立奇点与留数.

(m级极点, 本性奇点), 则称z=是f(z) 的可去奇点(m级极点, 本性奇点).
(2) 判定
若f(z)在R<|z|<+内解析, 则在此圆环内有
f (z) cn z n cn z n , (*)
n1
n0
z 为可去奇点
lim
z
f
(z)＝c0
f (z) C n z（ n R z )不含正幂项
z0
]
(m
1)!
lim
zz0
dz m1
(z z0 )m
f (z)
(4)
设f
(z)
P(z) Q(z)
,
P ( z )及Q( z )在z 0 解 析 ， 且P ( z 0
)
0,
Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,则
Res[ f
(z),
z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
11
(5) Res[f (z),] Res[f ( z ) z2 ,0]
C n z n中z 1的 系 数
n
留数计算法：
(1) 若z0为f (z)的可去奇点,则 Res[ f (z), z0 ] 0
(2) 若z0为f (z)的1级极点,则
Res[
f
(z),
z0
]
lim Βιβλιοθήκη Baidu z
zz0
z0
)
f
(z)
(3) 若z0为f (z)的m级极点,则
m 1
1
d m1
Res[
f
(z),
Res[
f
(z), z0 ]
1
2
i
L f ( z)dz C 1
无穷远点处的留数
设f (z)在无穷远点z 的去心邻域R z
内解析, L为R z 内任一条逆时针方向的
简单闭曲线，则f (z)在处的留数定义为
Re s[
f
(z), ]
1
2
i
L
f
(z)dz
C 1
其 中C1为f (z)在R z 内 的Laurent展 式
(2) 性质
(a) 如果f(z)在z0处解析, 那么z0为f(z)的m级零点
f (n)(z0) = 0 (n = 0, 1, 2, …, m1), f (m)(z0) 0.
(b) z0为f(z)的m级极点 z0为
f
1 (z)
的m级零点.
例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：
(1) f (z) z 2 (sin 1 )1 z
若c-m 0, 而cn = 0 (n<-m), 则称z0为f(z) 的m级极点,
3).若有无穷多个负幂项, 则称z0为f(z)的本性奇点。
判别：
(1)如果z0为f(z)的可去奇点,
lim
zz0
f (z)
c0 ,
(2) z0为f(z)的极点
lim f (z) ; zz0
z0为f(z)的m级极点
lim(z
z z0
z0 )k
f
(z)
,0
k
lim(z
zz0
z0 )m
f
(z)
cm ,
m
c-m为有限复常数;
(3) z0为f(z) 的本性奇点：
lim f (z)不存在也不为 zz0
二. 零点与极点的关系
(1) 定义: 若解析函数f(z)能表示成
f(z) = (zz0)m(z),
其中(z0)0, 且(z)在z0处解析, m为某一正整 数, 则称z0为f(z)的m级零点.
内 ， f(z) 的Laurent 展式为: f (z) C n (z z0 )n n
L为0 z z0 内包含z0的任一条简单闭曲线，
对 上 式 两 边 积 分 得 L
f
(z)dz
2iC1
称
C 1
1
2
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
注：1（. 3）中取m 1,即得（2）；
2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m, 也可当作级数为m 来计算。这是因为表达式
f (z) (z z0 )m (Cm Cm1 (z z0 ) C1 (z z0 )m1 C0 (z z0 ) )
的系数 Cm ,Cm1 , 中可能有一个或几个为零 而已，这不影响证明结果。
例3 求下列函数的奇点并计算留数：
(1) f (z) 3z 2 z 2 (z 2)
Res[ f (z),2] 1
Res[ f (z),0] 1
Res[ f (z),] 0
1
(2) e 1z
Re s[ f (z),1] C1 1. Re s[ f (z), ] C1 1.
例2.
z
=
是
f
(z)
(z
1 1)( z
2)
的可去奇点.
z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.
sin z 1 1 1 z 2
z3
z 2 3! 5!
z 0为f (z)的2级极点, z 为f (z)的本性奇点
四 .留数
设z0 为f(z) 的孤立奇点,在z0 的去心邻域 0 z z0
(4) f (z) z cos 1 z
z 0为f (z)的本性奇点
(5)
f
(z)
1 sin z2
(6)
f
(z)
(1
z z 2 )(ez
1)
三. 函数在无穷远点的性态
(1) 分类: 若f(z)在z = 的去心邻域R<|z|<+内解析, 则称为f(z)的孤立奇点.
令t = 1/z, 则t = 0是(t) = f(1/t)的孤立奇点. 我们规定: 若t = 0是(t) = f(1/t)的可去奇点
n
z 为极点
f (z) Cn z（ n R z )只含有限个正幂项 n
z 为m级极点 Cm 0,Cn 0(n m)
lim f (z) z
z 为本性奇点
f (z) Cn z（ n R z )含无穷多个正幂项 n
lim f (z)不存在且不为 z
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为 原点情况或者利用已知函数的展开式来判定， 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内 的Laurent展式。
z 0为非孤立奇点
zk
1
k
为1级 极 点
(2) f (z) (z 1)2 sin z z 2 (z 2 1)2
z 1为2级极点
z 1为可去奇点
z 0为1级极点
(3) f (z)
1
z 2 (e z 1)
z 0为f (z)的3级极点,
zk 2ki(k 1,)为f (z)的1级极点
解析函数的孤立奇点与留数
2. 分类
由Laurent级数中负幂项的个数来分类
设z0为f(z)的孤立奇点, 则f(z)在0<|zz0|< 内
解析， Laurent展式为 cn (z z0 )n . n
1).若无负幂项, 则称z0为f(z)的可去奇点；
2).若只有有限个负幂项, 则称z0为f(z)的极点；