(优选)解析函数的孤立奇点与留数.
函数的孤立奇点及其分类
可以计算右端的积分。这类积分非常广泛， 其中C是该环域内围绕点z0的正向简单闭 曲线。C的内部可能有f(z)的有限个或无穷多 个奇点。
有时将函数展开成Laurent级数，求系 数C-1很麻烦。这就需要介绍一种求C-1的 新方法：用留数计算积分的方法。
§5-1 函数的孤立奇点及其分类
一、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型
则称孤立奇点 z0 为 f ( z ) 的可去奇点.
z0若是f ( z )的孤立奇点，则 在 0 z z0 内
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
其和函数 F ( z ) 在 z0 处解析.
sin z 1 2 1 4 观察 1 z z 中不含负幂项, z 3! 5!
sin z z0 是 的可去奇点 . z
如果补充定义:
z 0 时,
Байду номын сангаас
sin z 那末 在 z 0 解析. z
sin z 且有：lim 1. z 0 z
sin z 1, z
(由于这个原因，因此把这样的奇点叫做f(z)的可去奇点。)
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
讨论函数在孤立奇点的情况 设 z0 为 f ( z ) 的孤立奇点， 则在去心邻域
0 z z0 内, f ( z ) 可以展开成Laurent级数:
1 f ( ) f ( z ) cn ( z z0 ) , c n n 1 d 2 πi C ( z0 ) n
1 z
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
留数的计算方法
留数的计算方法留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中起着关键作用。
在计算留数时，我们需要首先了解什么是留数，然后掌握留数的计算方法。
接下来，我们将详细介绍留数的概念和计算方法。
留数是复变函数在孤立奇点处的一种特殊性质，它可以帮助我们计算复积分。
对于函数f(z)，如果z=a是它的孤立奇点，那么留数Res(f,a)的定义如下：Res(f,a) = 1/(2πi) ∮f(z)dz。
其中积分路径沿着a点的一个小圆周C进行，积分方向是逆时针方向。
这个公式是计算留数的基本公式，但在实际计算中，我们通常会结合留数的性质和定理来简化计算过程。
对于简单极点a，我们有留数的计算公式：Res(f,a) = lim(z→a) [(z-a)f(z)]对于高阶极点，我们可以利用洛必达法则来计算留数。
此外，如果函数f(z)可以分解为g(z)/h(z)，那么我们可以利用h(z)在点a处的零点和极点来计算f(z)在点a 处的留数。
在实际应用中，我们还可以利用留数定理来计算复积分。
留数定理指出，如果f(z)在闭合曲线C内除了有限个孤立奇点外是全纯的，那么沿着曲线C的复积分可以表示为这些孤立奇点处的留数之和。
这为复积分的计算提供了一种简便的方法。
在计算留数时，我们还需要注意一些特殊情况，比如当函数f(z)在点a处有可去奇点时，留数为0；当函数f(z)在点a处有极点但不是孤立奇点时，留数也为0。
因此，在计算留数时，我们需要仔细分析函数在各个点的性质，以便正确计算留数。
综上所述，留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中具有重要作用。
掌握留数的概念和计算方法，对于深入理解复变函数理论和进行相关计算具有重要意义。
希望本文介绍的内容能够帮助读者更好地理解留数的计算方法。
孤立奇点与留数
( 2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线 , 函数f ( z )在c内有
有限个孤立奇点 z1 , z 2 , , z n , 除此以外, f ( z ) 在c内及c上解析, 则
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z
c k 1
n
k
]
( 3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)将c内孤立奇点 zk围绕,
( z)在 z0 解析, 且 ( z0 ) 0 .
z0是f ( z )的m阶极点.
z 例 求f ( z ) 的奇点， 2 z (1 z )(1 e ) 如果是极点指出它的阶。
解 显然，z=i 是(1+z2)的一阶零点
e 1 0, 即 e
z
z
1 k 0, 1, 2,
z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点。
若z0为f (z)的本性奇点
f ( z )的 洛 朗 级 数 有 无 穷 多 负 项幂 次 项 l i m f ( z )不 存 在 ， 也 不 为
n
4. 零点与极点的关系
定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成
~~~~~~~~~
例如
----z=0为孤立奇点 f ( z) e 1 f ( z) ----z=1为孤立奇点 z 1
1 z
1 sin z ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
f ( z)
1
1 但 li m 0, 在z 0不 论 多 么 小 的 去 心 n n y 邻域内 , 总 有f ( z )的 奇 点 存 在 ，
ch5.解析函数的孤立奇点,留数定理
z → z0
例1
sin z 因为 在 0 < z < +∞内的展开式为 z sin z = 1, 或者 lim sin z 1 2 1 4 z →0 = 1 − z + z − ⋯, z 3! 5! z ⎧ sin z , z ≠ 0; ⎪ f ( z) = ⎨ z 无负幂项 ⎪ z = 0, ⎩ 1, sin z 的可去奇点 . 所以z=0是 z
（2）极点 定义5.2 如果f (z)在 0 < z − z0 < δ 的Laurent级数展开
式中只有有限多个z-z0负幂项，其中关于(z-z0)-1最高次幂为m,即
f ( z ) = c− m ( z − z 0 )
−m
+ ⋯ + c− 2 ( z − z 0 ) + c− 1 ( z − z 0 )
在点 z0的某去心邻域内有 f ( z ) = ( z − z0 )− m g ( z ) ( m ≥ 1), 其中 g ( z ) 在 z0 的邻域内解析, 且 g ( z 0 ) ≠ 0. （3）判断极限 lim f ( z ) = ∞, 即 lim f ( z ) = +∞,
z → z0 z → z0
n+m g ( z ) = c + c ( z − z ) + ⋯ + c ( z − z ) +⋯, 令 −m − m+1 0 n n
则 g(z)在 z − z0 < δ 内解析，且 g( z0 ) = c− m ≠ 0, 即
复变函数第五章
这是由于 z 0 为f ( z ) 的孤立奇点而使积分 ∫ f ( z )dz 留下”的值 “留下”
11
定义: 的孤立奇点， 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负 称为f 在 留数， 幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 。 由留数定义, 由留数定义 Res [f (z), z0]= c–1 (1)
z2 z4 z 2n sin z (1) = 1 − + − L + ( −1) n +L z 3! 5! ( 2n + 1)!
特点：没有负幂次项 特点：
e z 1 +∞ z n +∞ z n −1 1 z z n −1 ( 2) = ∑ = ∑ = + 1+ +L+ +L z z n = 0 n! n = 0 n! z 2! n!
1 把扩充z平面上 平面上∞ 作变换 w = 把扩充 平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞映射成扩充 ∞ z w平面上原点的去心邻域： <| w |< 1 . 平面上原点的去心邻域： 平面上原点的去心邻域 0 R 1
又 f ( z ) = f ( ) = ϕ ( w) .这样 我们可把在去心邻域 这样, 这样 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞对f (z)的研 ∞ 的研 w 1 的研究.显然 究变为在 0 <| w |< 1 内对ϕ (w)的研究 显然ϕ (w)在 0 <| w |< 内解 的研究 在 R R 所以w=0是孤立奇点 是孤立奇点. 析, 所以 是孤立奇点 在无穷远点 ∞ lim f ( z ) = lim ϕ ( w ) ⇒ f (z)在无穷远点 z=∞ 的奇点类型
解析函数的孤立奇点
f (z) (z 1)3 (z i )1(z i )1(z 2),
所以, z i 是 f (z) 的1级极点,
z 1 是f (z)的3级极点.
数学学院
例4
求
1 f (z) ez 1
的孤立奇点,
并指出奇点的类型.
解 zk (2k 1) i (k 0, 1, 2, ) 是 ez 1 的零点，
有无穷多个奇点. 1
1
k
o
x
z 0 不是函数 sin 的孤立奇点.
z
数学学院
一. 可去奇点 定义1 如果 f (z)在 0 z z0 内的Laurent
级数中不含有 z z0 的负幂项, 即当 n 1, 2, 3, 时, cn 0, 则称 z0 是 f (z) 的可去奇点.
f (z) c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n .
内解析，则称 z0 是 f (z) 的孤立奇点.
z0
例如 z 0
是函数
1
ez
和
sin z z
的孤立奇点.
o
x
数学学院
1
例1 证明:z 0不是函数 sin 的孤立奇点.
z
证明
令sin 0，得 k , z 1 , k 1, 2,
z
z
k
lim 1 0, k k
y (z)
所以, 0,在0 | z | 内,
数学学院
第五章 留数及其应用
5.1 孤立奇点 主讲人:魏平 教授 数学与统计学院
数学学院
回顾 若 z0 是 f (z) 的孤立奇点，此时 f (z)在圆环域
0 z z0 内解析, 展开为Laurent级数
f (z)
cn (z z0 )n ,
4.3.2 解析函数的孤立奇点
第四章 级 数 第三节 洛朗展式 8、解析函数的孤立奇点：设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内确定并且解析，那么我们称0z 为f (z )的孤立奇点。
在D 内，f (z )有洛朗展式,)()(0∑+∞-∞=-=n nnz z z f α其中,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=⎰+ρζζζπαC n n n d z f i ρC 是圆)0(||0R z z <<=-ρρ。
例如，0是z e zz z z 12,sin ,sin 的孤立奇点。
一般地，对于上述函数f (z )，按照它的洛朗展式含负数幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：（1）、如果当时n =-1,-2,-3,…，0=n α，那么我们说0z是f (z )的可去奇点，或者说f (z )在0z有可去奇点。
这是因为令00)(α=z f ，就得到在整个圆盘R z z <-||0内的解析函数f (z )。
（2）、如果只有有限个（至少一个）整数n ，使得0≠n α，那么我们说0z是f (z )的极点。
设对于正整数m ，0≠-m α，而当n<-m时，0=n α，那么我们0z 是f (z )的m 阶极点。
按照m=1或m>1，我们也称0z是f (z )的单极点或m 重极点。
（3）、如果有无限个整数n<0，使得0≠n α，那么我们说0z 是f (z )的本性奇点。
例如，0分别是z e zz z z 12,sin ,sin 的可去奇点、单极点及本性奇点。
定理8.1函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z是f (z )的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，0)(lim 0α=→z f zz ，其中0α是一个复数。
证明：（必要性）。
由假设，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗级数展式：...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R ，所以它的和函数在R z z <-||0内解析，于是显然存在着0)(lim 0α=→z f z z 。
解析函数的孤立奇点
( 0 z z0 ) 其和函数F (z)为在 z0 解析的函数.
(2) 无论 f (z) 在 z0 是否有定义, 补充定义 f (z0 ) c0 , 则函数 f (z) 在 z0 解析.
f
(z)
F(z)
c0
,
, z
z z0 z0
lim
zz0
f
(z)
c0
2) 可去奇点的判定
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
另解 因为 lim ez 1 lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
2. 极点 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1的最高幂为 (z z0 )m ,
f (z) 的 m 级零点. 例6 z 0是函数 f (z) z(z 1)3的一级零点，
z 1是函数 f (z) z(z 1)3的三级零点.
2.零点的判定
如果 f (z) 在 z0 解析, 那末 z0 为 f (z)的 m级 零点的充要条件是
f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2,m 1); f (m)(z0 ) 0.
z
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
立奇点.
例2 指出函数 f (z)
z2 1
在点
z
0
的奇点特性.
sin
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1 (k 1, 2,) k
因为 lim 1 0， k k
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z 0不是孤立奇点.
解析函数的孤立奇点
z0 的某一去心邻域 0 < z z0 < δ 内处处解析, 则 内处处解析,
孤立奇点. 称 z0 为 f (z ) 的孤立奇点. 1 的孤立奇点. 例1 z = 0 是函数 e z , sin z 的孤立奇点 z 1 z = 1 是函数 的孤立奇点. 的孤立奇点 z+1 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 注意: 孤立奇点一定是奇点, 立奇点. 立奇点
3
讨论函数在孤立奇点的情况 孤立奇点, 如果点 z0 为函数 f (z ) 的孤立奇点,则在点 z0 某去心邻域 0 < z z0 < δ 内可设 f (z ) 的Laurent 级数展开式为
f (z) =
n = ∞
cn ( z z0 )n ∑
+∞
其中
1 f ( z )dz cn = ∫ ( z z0 )n+1 (n为整数 ) 2πi c
思考 z = 0 是
sin z z3
的几级极点? 的几级极点
注意: 注意 不能以函数的表面形式作出结论 .
19
定理 是
点 z0 为
f (z ) 的
阶极点的充要条件 充要条件为 m 阶极点的充要条件为 z0
1 的 f (z)
阶零点. m 阶零点.
推论2 阶零点(k=1,2),则 推论 若点 z0 为函数 f k (z ) 的 m k 阶零点 , 阶零点; z0为函数 f1 ( z ) f 2 ( z ) 的 m1 + m2 阶零点;当 m1 < m2 时, z0为函数
10
例
sin z 1 2 1 4 中不含负幂项, = 1 z + z 中不含负幂项 z 3! 5! sin z z=0是 的可去奇点 . z
留数定理的证明
留数定理的证明留数定理是复变函数论中的重要定理之一，它建立了复数函数与复积分之间的联系。
留数定理为我们解决复积分问题提供了有力的工具，被广泛应用于数学和物理等领域。
本文将对留数定理进行详细的证明。
我们先来了解一下留数的概念。
在复变函数中，如果函数在某点处解析（即在该点的领域内可导），则该点称为函数的一个孤立奇点。
留数就是在奇点处计算复函数的积分时所需要的系数。
具体来说，对于一个函数f(z)，如果它在点z0处有一个孤立奇点，那么f(z)在z0处的留数记作Res(f, z0)，它可以通过以下公式计算得出：Res(f, z0) = 1/(2πi) ∮(f(z)dz)其中∮表示沿着一个简单闭合曲线C的积分。
接下来，我们来证明留数定理。
假设f(z)是一个在区域D上解析的函数，除了有限个孤立奇点外，它在D上处处解析。
如果C是D内一条简单闭合曲线，它的内部包含所有的孤立奇点，那么对于任意一个孤立奇点z0，有以下留数定理成立：∮(f(z)dz) = 2πi ∑(Res(f, zk))其中zk表示C内的孤立奇点。
要证明留数定理，我们需要使用柯西定理。
柯西定理表明，如果f(z)是一个在区域D上解析的函数，C是D内一条简单闭合曲线，那么对于任意一个在C内的点z0，有以下公式成立：f(z0) = 1/(2πi) ∮(f(z)/(z-z0)dz)这个公式可以通过柯西积分公式推导得出。
现在，我们开始证明留数定理。
首先，我们可以将f(z)展开成幂级数的形式，即：f(z) = ∑(an(z-z0)^n)其中an为函数f(z)的系数，n为非负整数。
将这个幂级数代入柯西定理的公式中，可以得到：∮(f(z)dz) = ∮(∑(an(z-z0)^n)dz)= ∑(an∮((z-z0)^ndz))这里的∮((z-z0)^ndz)可以根据幂级数的展开式进行计算。
当n=-1时，∮((z-z0)^ndz)等于2πi。
当n≠-1时，∮((z-z0)^ndz)等于0。
复变函数的奇点分类与留数计算
复变函数的奇点分类与留数计算复变函数是数学中一个重要的分支，它研究的是在复数域上定义的函数。
在复变函数中，奇点是一个重要的概念，它指的是函数在某些点上无法定义或者无法取得有限值的情况。
奇点的分类和留数计算是复变函数中的关键概念，本文将从奇点的分类和留数的计算两个方面进行解析。
首先，我们来讨论奇点的分类。
在复变函数中，奇点分为两类：孤立奇点和非孤立奇点。
孤立奇点是指在某一区域内，函数在该点处无定义或者无法取得有限值，并且在该点的邻域内函数是有定义的；非孤立奇点是指在某一区域内，函数在该点以及该点的邻域内无法取得有限值。
进一步，孤立奇点可以分为三类：可去奇点、极点和本性奇点。
可去奇点是指在该点的邻域内，函数能够通过修正或定义来得到有限值。
极点是指在该点的邻域内，函数无法通过修正或定义来得到有限值，并且函数在该点的邻域内的绝对值趋近于无穷。
本性奇点是指在该点的邻域内，函数无法通过修正或定义来得到有限值，并且函数在该点的邻域内的值无穷集中。
接下来，我们将讨论留数的计算方法。
留数是用于计算复变函数在奇点处的积分的重要工具，也是复分析中的基本内容之一。
对于一个具有孤立奇点的复变函数，留数可以通过以下的计算公式得到：Res(f, z0) = 1/(2πi) * ∮ (f(z)/z-z0)dz其中，z0是函数f(z)的孤立奇点，∮表示沿着奇点所围成的曲线进行积分。
这个计算公式说明了，留数是通过计算函数在奇点附近围成的曲线上的积分来计算的。
对于可去奇点，其留数为0，因为函数在可去奇点附近的积分为0。
对于极点，其留数可以通过计算函数在极点附近围成的曲线上的积分来得到。
对于本性奇点，其留数通常为无穷大或者无穷小。
需要注意的是，计算留数时可以使用洛朗级数展开或者局部积分法。
洛朗级数展开是将函数在奇点附近展开成一系列的项，然后通过计算每一项的系数来得到留数。
局部积分法是通过对函数进行分解，并利用Cauchy积分定理进行计算留数。
大学数学复变函数的解析性与留数定理
大学数学复变函数的解析性与留数定理复变函数是数学中重要的概念之一，其在复平面上有着独特的性质与定理。
其中，解析性与留数定理是复变函数的核心内容。
本文将详细介绍大学数学中复变函数解析性与留数定理的概念、性质和应用。
一、解析性的概念与性质解析性是复变函数的最基本性质之一，它表示在定义域内处处可导。
具体定义如下：定义1：设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在复平面上的函数，若f(z)在其定义域内任意一点z0都可导，则称f(z)在该区域是解析的。
接下来，我们来讨论解析性的性质。
性质1：解析函数是连续的。
即，若f(z)是解析函数，则f(z)在其定义域内连续。
性质2：解析函数的导数也是解析函数。
具体而言，若f(z)是解析函数，则f'(z)也是解析函数。
性质3：解析函数的实部与虚部分别满足实轴与虚轴上的某个柯西-黎曼方程组。
具体而言，设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在某区域上的解析函数，则u(x,y)与v(x,y)分别满足以下柯西-黎曼方程组：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x二、留数定理的概念与应用留数定理是复变函数理论中的重要工具，它用于计算函数在奇点处的留数，并在复积分计算中发挥着重要的作用。
我们先来了解留数的概念。
定义2：设f(z)是定义在某区域上的解析函数，z0是f(z)的孤立奇点，若存在常数Res(f,z0)，使得对于任意以z0为中心的圆内部的路径γ，有以下等式成立：∮(f(z)dz) = 2πiRes(f,z0)留数的计算方法有多种，其中最常用的方式是留数定理。
留数定理给出了计算函数在孤立奇点处留数的方法，具体表述如下：定理1（留数定理）：设f(z)是定义在某区域上的解析函数，z0是f(z)的孤立奇点，若f(z)在z0处的展开式为：f(z) = Σ(a_n(z-z0)^n)则f(z)在z0处的留数为：Res(f,z0) = a_(-1)利用留数定理，我们可以解决一些重要的数学问题。
解析函数的孤立奇点类型判断及应用讲解
解析函数的孤立奇点类型判断及应用摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。
解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。
本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。
并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。
关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算前言在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。
目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。
但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。
本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。
此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。
在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。
在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。
通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。
5.3解析函数的孤立奇点
c m c1 (c m 0) m ( z a) za
(z a)
m
其中 ( z )在点a邻域内有界，且 (. f (z)
c0 c1 ( z a) cn ( z a) .(c m 0) 1 m 1 m [c m c m1 ( z a ) c1 ( z a ) c0 ( z a ) ] m ( z a) ( z) .( ( z )在点a解析且 (a ) c m 0) m
n 1
n
c (z a) ,
n n
1 1 1 1 1 e 1 2 n z 2! z n! z
1 z
孤立奇点的分类—可去奇点 对于解析函数f(z), 按照它的洛朗 展式含负数幂的情况(主要部分的情 况),可以把孤立奇点分类如下： (1)如果f(z)在a点的主要部分为零，即
因为f ( z )在a的某去心邻域内不为零， 事实上，
本讲结束
作 业
第218页 4(1)(3)(5)(7).
n
C : | z a | (0 R).
f (z)
n n 0
我们称 cn ( z a ) 为f(z)在点a的正则部分，
cn ( z a )n为其主要部分. 而称
sin z 1 z z 3 ( 1)n z 2 n1 2 z z 3! 5! (2n 1)! sin z z2 z4 ( 1)n z 2 n 1 z 3! 5! (2n 1)!
1 z 1 z
本质奇点的特征
定理5.7 若z a是函 f ( z )的本 奇 ， 且在a的某去心邻域内不为零，则z a亦必 1 为g( z ) 的本质奇点. f (z)
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内 ， f(z) 的Laurent 展式为: f (z) C n (z z0 )n n
L为0 z z0 内包含z0的任一条简单闭曲线，
对 上 式 两 边 积 分 得 L
f
(z)dz
2iC1
称
C 1
1
2
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
例2.
z
=
是
f
(z)
(z
1 1)( z
2)
的可去奇点.
z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.
sin z 1 1 1 z 2
z3
z 2 3! 5!
z 0为f (z)的2级极点, z 为f (z)的本性奇点
四 .留数
设z0 为f(z) 的孤立奇点,在z0 的去心邻域 0 z z0
n
z 为极点
f (z) Cn z（ n R z )只含有限个正幂项 n
z 为m级极点 Cm 0,Cn 0(n m)
lim f (z) z
z 为本性奇点
f (z) Cn z（ n R z )含无穷多个正幂项 n
lim f (z)不存在且不为 z
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为 原点情况或者利用已知函数的展开式来判定， 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内 的Laurent展式。
C n z n中z 1的 系 数
n
留数计算法：
(1) 若z0为f (z)的可去奇点,则 Res[ f (z), z0 ] 0
(2) 若z0为f (z)的1级极点,则
Res[
f
(z),
z0
]
lim ( z
zz0
z0
)
f
(z)
(3) 若z0为f (z)的m级极点,则
m 1
1
d m1
Res[
f
(z),
Res[
f
(z), z0 ]
1
2
i
L f ( z)dz C 1
无穷远点处的留数
设f (z)在无穷远点z 的去心邻域R z
内解析, L为R z 内任一条逆时针方向的
简单闭曲线，则f (z)在处的留数定义为
Re s[
f
(z
(z)dz
C 1
其 中C1为f (z)在R z 内 的Laurent展 式
(m级极点, 本性奇点), 则称z=是f(z) 的可去奇点(m级极点, 本性奇点).
(2) 判定
若f(z)在R<|z|<+内解析, 则在此圆环内有
f (z) cn z n cn z n , (*)
n1
n0
z 为可去奇点
lim
z
f
(z)＝c0
f (z) C n z（ n R z )不含正幂项
注：1（. 3）中取m 1,即得（2）；
2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m, 也可当作级数为m 来计算。这是因为表达式
f (z) (z z0 )m (Cm Cm1 (z z0 ) C1 (z z0 )m1 C0 (z z0 ) )
的系数 Cm ,Cm1 , 中可能有一个或几个为零 而已，这不影响证明结果。
z 0为非孤立奇点
zk
1
k
为1级 极 点
(2) f (z) (z 1)2 sin z z 2 (z 2 1)2
z 1为2级极点
z 1为可去奇点
z 0为1级极点
(3) f (z)
1
z 2 (e z 1)
z 0为f (z)的3级极点,
zk 2ki(k 1,)为f (z)的1级极点
若c-m 0, 而cn = 0 (n<-m), 则称z0为f(z) 的m级极点,
3).若有无穷多个负幂项, 则称z0为f(z)的本性奇点。
判别：
(1)如果z0为f(z)的可去奇点,
lim
zz0
f (z)
c0 ,
(2) z0为f(z)的极点
lim f (z) ; zz0
z0为f(z)的m级极点
例3 求下列函数的奇点并计算留数：
(1) f (z) 3z 2 z 2 (z 2)
Res[ f (z),2] 1
Res[ f (z),0] 1
Res[ f (z),] 0
1
(2) e 1z
Re s[ f (z),1] C1 1. Re s[ f (z), ] C1 1.
lim(z
z z0
z0 )k
f
(z)
,0
k
lim(z
zz0
z0 )m
f
(z)
cm ,
m
c-m为有限复常数;
(3) z0为f(z) 的本性奇点：
lim f (z)不存在也不为 zz0
二. 零点与极点的关系
(1) 定义: 若解析函数f(z)能表示成
f(z) = (zz0)m(z),
其中(z0)0, 且(z)在z0处解析, m为某一正整 数, 则称z0为f(z)的m级零点.
(2) 性质
(a) 如果f(z)在z0处解析, 那么z0为f(z)的m级零点
f (n)(z0) = 0 (n = 0, 1, 2, …, m1), f (m)(z0) 0.
(b) z0为f(z)的m级极点 z0为
f
1 (z)
的m级零点.
例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：
(1) f (z) z 2 (sin 1 )1 z
z0
]
(m
1)!
lim
zz0
dz m1
(z z0 )m
f (z)
(4)
设f
(z)
P(z) Q(z)
,
P ( z )及Q( z )在z 0 解 析 ， 且P ( z 0
)
0,
Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,则
Res[ f
(z),
z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
11
(5) Res[f (z),] Res[f ( z ) z2 ,0]
解析函数的孤立奇点与留数
2. 分类
由Laurent级数中负幂项的个数来分类
设z0为f(z)的孤立奇点, 则f(z)在0<|zz0|< 内
解析， Laurent展式为 cn (z z0 )n . n
1).若无负幂项, 则称z0为f(z)的可去奇点；
2).若只有有限个负幂项, 则称z0为f(z)的极点；
(4) f (z) z cos 1 z
z 0为f (z)的本性奇点
(5)
f
(z)
1 sin z2
(6)
f
(z)
(1
z z 2 )(ez
1)
三. 函数在无穷远点的性态
(1) 分类: 若f(z)在z = 的去心邻域R<|z|<+内解析, 则称为f(z)的孤立奇点.
令t = 1/z, 则t = 0是(t) = f(1/t)的孤立奇点. 我们规定: 若t = 0是(t) = f(1/t)的可去奇点