(优选)解析函数的孤立奇点与留数.

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高等数学课件-复变函数与积分变换第五章留数 §5.1 留数定理及留数的求法

k
2
1k
0
cos
k
2
0 ，而
cos z zk 1k1 0 2
所以 z k 为 f z tan z 的一级极点，
2
由推论2，得
Re
s
f
z
, k
2
sin z
cos
zk 2
1
例1.7 计算下列积分：
（1） I
Ñc z
3
1 z
i
dz
，其中c为正向圆周
z
2；
（2）I Ñc
心邻域 0 z z0 R 内解析，则它可在该去心邻域内展开成Laurent级数
f z L
C1 z z0
C0
C1
z
z0
L
Cn z z0 n L
两端沿c逐项积分，注意到
Ñc z
dz
z0 n1
2πi, n 0,n
0
0
得Ñc f zdz 2πiC1, 由此可见，Laurent展开
方法1 将函数f (z)在孤立奇点的z0去心邻域内展开成Laurent级数
f z L C1 z z0 1 C0 C1 z z0 L
Cn z z0 n L
0 z z0 R
则
Res
f
z,
z0
1 2πi
Ñc f
zdz

课件：第1节孤立奇点

z0是f
(z)的m级极点
z0是
f
1 (z
)
的m级零点.
(4) 设 f (z)
g(z) , h(z)
g(z),h(z)都在z0解析,且z0 分别是
g(z),h(z)的m和n级零点(m,n为正整数), 则
(ⅰ) 当m≥n时, z0是f (z)的可去奇点. (ⅱ) 当m<n时, z0是f (z)的n-m级极点.
z= -1, i都是孤立奇点。
但是并不能认为函数的奇点都是孤立的。
f (z) 1 sin( 1)
z
0,
z
1
n
,
(n 1,2,
z
可以说明 z=0 并不是其孤立奇点。
) 都是奇点
二. 孤立奇点的分类
设 z0为 f(z)的的孤立奇点，则
cn (z z0 )n
cn(z z0 )n
cn(z z0 )n
解析函数在区域内如果有非孤立的奇点，则该函数在区域内恒为零。
(解析函数的惟一性定理) 设函数f (z) 与g(z)在区域D内解析，
zn 是D内互异的点列,
且
lim
n
zn
z0
D.
如果对一切n,
都有
f (zn ) g(zn ), 则在D内恒有 f (z) g(z).
2、零点的性质：
(3) 零点与极点的关系

孤立奇点与留数

z Ln(1) i( 2k ) (2k 1) i 故奇点为：zk (2k 1)i
(1 e ) '
z
z i(2 k 1)
e
z
z i(2 k 1)
[cos (2k 1) i sin (2k 1)] 0
f '''(1) 6 0
z 1为三阶零点
1 的m阶零点. 定理: 若z0是f ( z )的m阶极点 z0是 f ( z)
证明 “” 若z0为f (z)的m 阶极点
1 f ( z) g ( z) m ( z z0 )
g(z)在z0解析, 且g(z0 ) 0

~~~~~~~~
只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级极点;
( iii ) f ( z )
n
n c ( z z ) n 0
~~~~~~~~
有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。
~~~~~~ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ~
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f ( z ) cn ( z z0 ) n
定义
设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，
若f (z)的洛朗级数
( i ) f ( z ) cn ( z z0 ) n

5-1函数的孤立奇点及其分类

即
m 2 1 f ( z ) c ( z z ) c ( z z ) c ( z z ) m 0 2 0 1 0
( m 1 ,c 0 ) c c ( z z ) m 0 1 0
级极点. 那么孤立奇点 z 0 称为函数 f ( z) 的 m
z ( z ) 0 ( z ) 其中在点解析，且 , ， m 1 0 0
m 1 z 则称为的 m 级零点，时称为单零点 . f ( z ) 0
23

f (z) (z z0)m (z)

例如:
1 2 x sin , x 0 f ( x) x 0, x0 1 x0 x 是 f (x )的零点，且 f (x )可微，但 n n
4
一、函数孤立奇点的概念及其分类
定义如果函数 f ( z) 在 z 0 不解析, 但 f ( z)在 z 0
z z 的某一去心邻域 0 内处处解析, 则称 0
z 0 为 f ( z) 的孤立奇点.
1 z
例1
sin z z0是函数 e , 的孤立奇点. z 1 z 1 是函数的孤立奇点. z 1
2 f ( 1 ) 3 z (1) 由于 3 0 , 解 z 1
知 z 1是 f ( z) 的一级零点 .

奇点和留数

的主要部分是 0
函数在孤立奇点附近的劳朗展开
孤立奇点附近的劳朗展开
• 设 a 为函数 f (z ) 的孤立奇点，则存在 r > 0 使得 f (z ) 在圆环
域 0 < |z − a| < r 内解析
函数在孤立奇点附近的劳朗展开
孤立奇点附近的劳朗展开
• 设 a 为函数 f (z ) 的孤立奇点，则存在 r > 0 使得 f (z ) 在圆环
由劳朗展开判定孤立奇点类型
孤立奇点的分类 [可去奇点]] 函数在该点的劳朗展开的主要部分是 0
Example (例题)
判断函数 f (z ) = 1 − cos(z + a) 的孤立奇点 a 的类型 (z + a)2
由劳朗展开判定孤立奇点类型
孤立奇点的分类 [可去奇点]] 函数在该点的劳朗展开的主要部分是 0
域 0 < |z − a| < r 内解析
• （由劳朗定理）若函数 f (z ) 在圆环域 0 < |z − a| < r 内解析，则函数 f (z ) 在这
个圆环域内有劳朗展开 f (z ) =
∞ P
cn (z − a)n
n = −∞
• 综上，函数在孤立奇点附近可以展开为劳朗级数
函数在孤立奇点附近的劳朗展开
由劳朗展开判定孤立奇点类型
孤立奇点的分类 [本性奇点] 函数在该点的劳朗展开的主要部分有无穷个非零项

解析函数的孤立奇点与留数

内，f (z) 的Laurent 展式为: f (z) Cn(z z0 )n n
(1)z0为f (z)的可去奇点：若 Cn (z z0 )n中无负幂项， n
即： Cn (z z0 )n n0
（2）z0是f (z)的（m级）极点：
若 Cn (z z0)n 中负幂项只有有限项(m项) n f (z) Cn(z z0 )n nm Cm (z z0 )m L C1(z z0 )1 C0 C1(z z0 ) L (Cm 0), 0 z z0 ,
第4节解析函数的孤立奇点与留数
一.孤立奇点及其分类定义1：若f (z)在z0不解析，但在z0的去心邻域
0 | z z0 | 内解析，则称z0是f (z)的孤立奇点。
孤立奇点可按以下两种方式分类：
根据Laurent级数的形式分类：
设z0为f (z)的孤立奇点，在z0的去心邻域0 | z z0 |
（2）z0为f (z)的m级极点 f (z) (z z0 )m (z), 其中 (z0 ) 0,且 (z)在z0的某邻域 z z0 内解析.
根据 z z0时f (z)的极限分类：
可去奇点 lim f (z)存在 z z0 极点 lim f (z)
z z0
本性奇点 lim f (z)不存在且不为
其中R( x)
Pm ( x) Qn ( x)
a0 a1 x L b0 b1 x L

第5章留数

设f (z)在CR上连续，CR：z R, 0 arg z 如
f ( z ) 0，则 lim f ( z )eiaz dz 0 果在CR上 lim z z C
R

n n 1 a x a x 定理5.3.2 设 R( x) 0 m 1 m1 an , b0 x b1 x bm (m n 1)则有 lim R ( z ) 0；如果R(z)在实轴上没有
1 f ( z)
3.如果z0是f (z)的m级零点，则z0是的m级零点。
的m
1 f ( z)
级极点。如果z0是f (z)的m级极点，则z0是
4.如果z0是f (z)的m级极点，则f (z)是可表示为
1 1 ( z) m f ( z ) ( z z0 )
※
Ψ(z)在z0解析，且Ψ(z0)≠0；反之，若f (z)可用(※)表示，则z0是f (z)的m级极点。 5.设 f ( z ) P(z)的n级极点。
目录
第五章留数
§1 孤立奇点
§2 留
数
§3 留数在定积分计算上的应用
第五章留数
§1 孤立奇点
定义5.1.1 若函数f (z)在点z0处不解析，
但在点z0的某个空心邻域0 z z0 R(0 R )
内解析，则称点z0为f (z)的孤立奇点。注意 f (z)在其孤立奇点的空心邻域内

留数理论及应用

1.解析函数的孤立奇点：
设函数f(z)在去掉圆心的圆盘
B : 0 | z z0 | R(0 R )
内确定并且解析，那么我们称 z0 为f(z)的孤立
奇点。在D内，f(z)有洛朗展式 f (z) n (z z0 )n ,
n
其中n
1
2i
C (
f (
z0
) )n1
d
,
(n
0,1,2,...)
例如：函数f (z) z 在环域1 z 内展开： z 1
f (z) 1 1 1 1 1 ....... (1)n 1
1 1
z z2 z3
zn
z
则是f (z)的可去奇点。若取 f () 1，那么f (z)在解析
例2：函数f (z) (z 2 1)(z 2)3 在扩充平面内有些什么类型的奇点？
那么我们说 z0 是f(z)的可去奇点，或者说f(z)在 z0 有可去奇点。
这是因为令 f (z0 ) 0 ，就得到在整个圆盘
| z z0 | R 内的解析函数f(z)。
例如：z 0是 sin z 的可去奇点 z
孤立奇点的分类-极点：
（2）如果只有有限个（至少一个）负整数n，
使得 n 0,
2n
总结以上论述: 0分别是
sin z
z
,
sin z2
z
,
e

696-第五章留数定理及其应用共47页

是
f
(பைடு நூலகம்
z)

1 cos
1
的孤立奇点.
z
下面我们对孤立奇点进行分类.依据是把 f (z)在 z0
的去心邻域展开成洛朗级数,根据展开式的不同情
况进行分类.此处应强调去心邻域0 z z0 内
展开,而不是其他环域.
1.可去奇点:如果 f (z)的洛朗展开式中不含 z z0的负幂项,则称孤立奇点 z0为 f (z)的可
1
ez
1
z 1

1
z 2
...
1
z n
...
中
含
有
无
穷
多
个
2!
n
(z 0)的负幂项
性质:如果 z0为 f (z)的本性奇点,在对于任意给定的
复数 A,总有 zn z0,使当n 时, f (zn ) A,即
说明:若 z0为
f
(z)的本性奇点,则 lim zz0
故可展开成泰勒级数,即有
(z) c0 c1(z z0 ) c2 (z z0 )2 ...
从"而"设则ff ((由zz0))于 cff0(((zzz)0在) zz0.0.).解m 析f (cm,从11()z(而z0在)z0z)00m的f1邻(m)域c(z20(内)z可0z展0 )开m成2 ...

ch5.解析函数的孤立奇点,留数定理

−2 −n z z e = 1 + z −1 + +⋯+ + ⋯ ( 0 < z < +∞ ) , 2! n! 5 −3 z z 1 sin = z −1 − + − ⋯ ( 0 < z < +∞ ) . 3! 5! z 1 z
f ( z ) 不存在. z=0是它们的本性奇点，zlim → z0
综上所述: 孤立奇点可去奇点 Laurent级数的特点无负幂项 lim f ( z )
n+m g ( z ) = c + c ( z − z ) + ⋯ + c ( z − z ) +⋯, 令 −m − m+1 0 n n
则 g(z)在 z − z0 < δ 内解析，且 g( z0 ) = c− m ≠ 0, 即
f (z) =
1
( z − z0 )
m
g (z)
lim f ( z ) = ∞, 即 lim f ( z ) = +∞, z→z z→z
0 0
极点的判定
（1）用定义去判定
f ( z ) = c− m ( z − z 0 )
−m
+ ⋯ + c− 2 ( z − z 0 ) + c− 1 ( z − z 0 )
2
−2

复变函数习题详解习题五

习题五解答

A 类

1、问下列各函数有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？如果是极点，指出它的级。

（1）(

)

2311

+z z . （2）2

sin ·z z

e z . （3）1123+--z z z .

（4）z sin 1. （5）()()

e z z ++112. （6）z -11

sin .-

（7）z

z e

. （8）

11sin

z z + （9）z z e -1.

（10）n

z z

+12. （11）()z z 1ln +. （12）111--z z

e e

解（1）

()(

)

2311

z z z f 是有理函数，故奇点只是极点，满足()

31+z z =0，故0=z ，

与i ±=z 为其奇点，0=z 为三级极点，而i ±=z 为其二级极点。

（2）因∞=→20sin lim z z e z z 则0=z 为其极点。再确定极点的级，有两种方法：

a. 0=z 为z e z sin 为的一级零点；而0=z 为2z 的二级零点。故0=z 为2

sin z z e z 的一级极

点。

b.0

1sin lim sin lim 020≠==⋅→→z z e z z e z z z z z ，故0=z 为其一级极点，

（3）原式=

()()111

)1)(1(12

+-=--z z z z ，故1=z 为其二级极点，而1-=z 为一级极点。（4）πk z z =⇒=0sin ， ,2,1,0±±=k 由()()01|cos |sin ≠-=='==k

k z k z z z ππ，知πk z =是

sin z 的一级零点，因此，πk z =为z sin 1

解析函数的孤立奇点类型判断及应用讲解

解析函数的孤立奇点类型判断及应用

摘要孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要

作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。关键词孤立奇点可去奇点极点本质奇点判断留数计算

前言

在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。

在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。

第九次孤立奇点分类留数

ez 的一个孤立奇点； z 1
f(z)
sin
z
1
e z 有两个孤立奇点
z
z 1

0与z

1.
f(z)
1
sin
1
z
有孤立奇点z

1
n
,n

1,2, ,
非孤立奇点 z 0.
2. 孤立奇点分类
（1）可去奇点
若z a是f(z)的孤立奇点，且
lim f(z) 有限值，
z a
例如：
z

0是f(z)
cos z z
的极点.
z

1是f(z)
z 1 的极点. 2z 2 2
z

1是f(z )

(z
ez
1)2
的极点.
（2）本性奇点若z a是f(z)的孤立奇点，且
lim f(z) 无定值，
z a
则称z a是f(z)的极点.
例如：
z

0是f(z)
例5
求函数f(z)
1
sin z
的极点，并指出它们的阶数。
答案：一阶极点z n , n 0,1,2, .
§3.9 无限远点
1.无限远点的奇点分类 2.无限远点与洛朗级数的关系
1. 无限远点的分类

奇点与留数

有时采用极限法比较麻烦，这时可以考虑用劳朗展开判定奇点类型。
例题 . 1’ 用劳朗展开式重作例题 1 的前 6 道小题。
1
[解答:] （1）由公式 cos z =
(−1)n z 2n z2 z4 =1− + − · · · 可得 (2n)! 2 24 n= 0
∞
1 − cos z = z2
1 − (1 −
z2 z2 z4 z6 z4 z6 + − + · · ·) − + − ··· 1 z2 z4 2 4! 6! 2 4! 6! = = − + − ···， z2 z2 2 24 6!
显然这个展开式的主要部分是 0，因此 0 是
1 − cos z 的可去奇点。 z2 ∞ (−1)n z 2n+1 z3 z5 z7 （2）由公式 sin z = =z− + − + · · · 可得 (2n + 1)! 3! 5! 7! n= 0 sin z 2 = (−1)n (z 2 )2n+1 z6 z 10 z 14 = z2 − + − + ··· (2n + 1)! 3! 5! 7! n= 0
−1 n = −∞ ∞ n = −∞ z→ a
cn (z − a)n 。如果展开式的负幂项部分（劳朗级数的负幂项部分被称为劳朗级

5-孤立奇点,留数习题课

i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点.
4
i) 可去奇点定义如果洛朗级数中不含 z z0的负幂项, 那末孤立奇点 z 0 称为 f (z)的可去奇点.
5
ii) 极点定义如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的负幂项, 其中关于(zz0)1的最高幂为 (zz0)m,
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
C
以 2i 后所得的数称为 f(z)在z0的留.数记作 Ref(sz)[z,0]. (即f(z)在z0为中心的圆环域内的洛朗级数中负幂c项 1(zz0)1的系 .) 数
10
1)留数定理设函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤立奇点 z1,z2, ,zn外处处解析, C 是 D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 那末
且 C 上在满 f(z ) 足 g (z ),那条 C 内么 f( 件 z ) 与在 f(z)g(z)的零点的个数. 相同
22
三、典型例题
例1求下列f函 (z)在数扩充复平面,并上的
判别类 . (型 1)
siznz z3 ;
(2)
ta1n
e z;
解 (1)由f于 (z)在 0z 内的洛朗 : 展
2i
2 iz
2
2z
当历经变程 0,2时, z 沿单位圆周 z 1的

解析函数零点与孤立奇点

0引言复变函数论的主要研究对象是解析函数，解析函数的零点和孤立函数是复变函数论中的重要概念。研究解析函数的零点的范围和数目情况以及孤立奇点的性质，有助于复变函数的积分、留数和不定式极限的计算，也有助于一些实变函数的积分计算。1解析函数的概念如果函数ω=f(z)在区域内可微，则称f(z)为区域内的解析函数，或称f(z)在区域内解析.区域内的解析函数也称为内的全纯函数或正则函数。[1]2解析函数的零点如果函数f(z)在解析区域内一点a的值为零，则称a为解析函数f(z)的零点。[2]3解析函数的孤立奇点 3.1孤立奇点的定义及类型若函数f(z)在点z_0不解析，但在z_0的任一邻域内总有f(z)的解析点，则称z_0为函数f(z)的奇点。[3]如果函数f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}:0<| z-a|对于孤立奇点的分类，我们主要是以解析函数的洛朗展开式为工具，根据洛朗展开式中的负指数的有无和系数将孤立奇点分为以下三种类型：对于f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项的系数为0，则称a为函数f(z)的可去奇点；如果f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项有无数多项，则称a为函数f(z)的本质奇点；如果f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项存在，则称a为函数f(z)的极点，而且a还是函数f(z)的一阶极点，一阶极点也称为单极点。3.2孤立奇点的判断方法定义法：将函数f(z)在a处的洛朗级数展开，通过找出负指数项的个数的方法来判断处解析函数的孤立奇点的三种类型. 极限法：通过对函数f(z)在a处的极限求解，即可判断出孤立奇点的类型.即:当a是函数f(z)的可去奇点时，有lim┬(z→a) f(z)存在但是为有限个;当a是函数f(z)的极点时，有lim┬(z→a) f(z)=∞;当a是函数f(z)的本质奇点时，有lim┬(z→a) f(z)不存在. 零点与极点的关系：此种方法可以用来判断孤立奇点中的极点.如果a是1/(f(z))的m阶零点，那么a就是f(z)的m阶极点.如果a就是f(z)的m阶极点，那么a就是1/(f(z))的m阶零点.4解析函数零点及孤立奇点的应用4.1在极限求解中的应用解析函数的零点在极限的求解中的应用主要是针对于0/0型的复变函数求极限问题.如果z_0是解析函数f(z)的n阶零点，也是g(z)的m阶零点，则有：当n>m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =0; [5] 当n=m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =(f^m (z_0 ))/(g^n (z_0 ) ) ，即是分子、分母展开式中的首项系数之比;[6] 当n孤立奇点在复变函数极限求解中主要是利用极点来求解∞/∞型的复变函数求极限问题.如果函数f(z)和g(z)在点z_0的去心邻域：0<|z-z_0 |