解三角形知识点及习题

解三角形

教学目标：1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解

等情形；

2.三角形各种形状的判定方法；

3.三角形面积定理的应用．

重点：1.三角形面积定理的应用．

难点：1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;

2..正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．

（一）基础知识梳理：

1．解三角形的主要依据：

（1）勾股定理：在RT △ABC 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，则c 2=_________________;

（2）三角形的内角和定理：在△ABC 中，A+B+C=__________, 其中A ，B ，C ∈___________;

（3）三角形的面积公式：S △=________=_________=_________;

（4）正弦定理：在△ABC 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，则_______________________;

（5）余弦定理：在△ABC 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，则a 2=___________________,

b 2=_____________ _________,

c 2=________________________;

2．解三角形的主要题型：

在△ABC 的六个边、角元素中，已知其中任意三个（至少有一个是边），就可以求出其他元素。

（1）已知两角一边：用________定理求解；

（2）已知两边及一边的对角，求角：用________定理求解；

（3）已知两边及一边的对角，求第三边：用________定理求解；

（4）已知两边及其夹角，求第三边：用________定理求解；

（5）已知三边：用________定理求解；

（二）典型例题分析

例：（1）（2005北京文）在△ABC 中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为 ．

（2）(2008陕西文) ABC △的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若

120c b B === ,则a = ．

（3）在△ABC 中，7:5:3c :b :a =，则△ABC 的最大角是_________。

基础训练（一）：

1．ΔABC 中, a=2 , b=23, ∠A=30°,则∠B 等于（ ）

A ．60°

B ．60°或120°

C ．30°或150°

D ．120°

2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）

A ．a=1,b=2 ,c=3

B ．a=1,b=2 ,∠A=30°

C ．a=1,b=2,∠A=100°

D ．b=c=1, ∠B=45°

3.在△ABC 中，ab b c a 2

22=+-，则角C 为 （ ）

（A ）o 30 （B ）o 60 （C ）o 120 （D ）o 45或o 135

4．（2006江苏）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝

5．（2006全国Ⅱ卷理）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则

边BC 上的中线AD 的长为 ． 高考链接

1.（2007重庆理）在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ） A.33- B.2 C.2 D.33+

2.(2006山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =

3π,a =3,b =1，则c =( )

（A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3

3.（2006全国Ⅰ卷文、理）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成

等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）

A ．

14 B ．34 C ．4 D ．3

4．（2005北京春招文、理）在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．正三角形

5．（2005春招上海）在△ABC 中，若C

c B b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形.

6.（2005江苏）ABC ∆中，3π=

A ，BC=3，则ABC ∆的周长为（ ） A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+π

B B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+πB

C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB

D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+πB