广东省惠州市惠城区九年级上学期期末教学质量模拟考试数学试题(含答案)

广东省惠州市惠城区2019届九年级上学期期末教学质量
模拟考试数学试题
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．下面四个图案分别是步行标志、禁止行人通行标志、禁止驶入标志和直行标志，其中是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．设方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=（）A．﹣3B．3C．﹣1D．1
3．函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）
A．B．
C．D．
4．如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（）
A．认B．真C．复D．习
5．半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA=10，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，把△AB C绕AB边上的点D 顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积是（）
A．3B．5C．11D．6
7．一个圆锥的底面半径是5cm，其侧面展开图是圆心角是150°的扇形，则圆锥的母线长为（）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
8．宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890
B．（x﹣20）（50﹣）=10890
C．x（50﹣）﹣50×20=10890
D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890
9．如图，点A在双曲线y=﹣上，过点A作AB∥x轴交双曲线y=﹣于点B，点C、D都在x轴上，连接AD、BC，若四边形ABCD是平行四边形，则▱ABCD 的面积为（）
A．1B．2C．3D．4
10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）
A．函数有最小值
B．c＜0
C．当﹣1＜x＜2时，y＞0
D．当x＜时，y随x的增大而减小
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为．12．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=．
13．将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB=60°，∠ADC=106°，则∠OCB=°．
15．有一人感染流感，经过两轮传播后共有121人患病，则第三轮感染后共有患病．
16．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰
好落在y=的图象上，则k的值为．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程一个根为3，求m的值．
18．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求出抛物线的顶点坐标，对称轴及二次函数的最大值．
19．（6分）文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．
=S1+S2+S3=2，S4=，S5=，S6=+ ，S阴证明：S
矩形ABCD
S6=S1+S2+S3=．
影=S1+
20．（7分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地（阴影部分）上种植草坪，使草坪的面积为570m2．求每条道路的宽．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、
B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）请解答下列问题：（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转至A2经过的路径长．
22．（7分）在一个不透明的布袋里装有三个标号分别为1，2，3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，然后将小球放回布袋，小敏再从布袋中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点A的坐标为（x，y）．请用列表或画树形图的方法，求点A
在函数图象上的概率．
23．（9分）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
24．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接BC，若AB=5，BC=3，求线段AE的长．
25．（9分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：C．
2．解：∵方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=3．
故选：B．
3．解：在函数y=ax2+ax+a（a≠0）中，
当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；
当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；
故选：C．
4．解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”．
故选：B．
5．解：若OA⊥l，则圆心O到直线l的距离就是OA的长，等于半径，所以直线l与⊙O相切；
若OA与直线l不垂直，根据垂线段最短，圆心O到直线l的距离小于5，即小于半径，所以直线l与⊙O相交．
故选：D．
6．解：Rt△ABC中，AB==10，
由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=10﹣2x，
∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，
∴△A′DE∽△ACB，
∴=，即=，
解得x=3，
=DE×A′D=×（10﹣2×3）×3=6，
∴S
△A′DE
故选：D．
7．解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得2π•5=，
解得R=12．
即圆锥的母线长为12cm．
故选：B．
8．解：设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．
故选：B．
9．解：∵点A在双曲线y=﹣上，点B在双曲线y=﹣上，且AB∥x轴，
∴设A（﹣，b），B（﹣，b），则AB=﹣+，▱ABCD的CD边上高为b，
∴S▱ABCD=（﹣+）×b=﹣4+6=2．
故选：B．
10．解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；
B、由抛物线与y轴的交点在y的负半轴，可判断c＜0，故正确；
C、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误；
D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：∵一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1、x2，
∴x12﹣4x1=﹣2，x1x2=2，
∴x12﹣4x1+2x1x2=﹣2+2×2=2．
故答案为：2．
12．解：∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a=﹣4，b=﹣3，
则ab=12．
故答案为：12．
13．解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．
故答案为：y=x2+2．
14．解：∵OC∥AD，
∴∠OCD=180°﹣∠ADC=74°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°﹣∠DAB=120°，
∴∠OCB=∠BCD﹣∠OCD=46°，
故答案为：46．
15．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人
则有：1+x+x（1+x）=121
解这个方程，得x1=10，x2=﹣12（不合题意，舍去）
所以平均一人传染了10个人
第三轮后共有121+121×10=1331（人）
即第三轮后共有1331人患病
故答案为：1331人
16．解：∵A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），
∴AB=5，BC=2﹣（﹣3）=2+3=5，AB⊥x轴，
∴△ABC是等腰直角三角形，
过点A′作A′E⊥AB于E，过点C′作C′F⊥x轴于F，
则A′E=3，BE==4，
∵△A′BC′是△ABC旋转得到，
∴∠A′BE=∠C′BF，
在△A′BE和△C′BF中，，
∴△A′BE≌△C′BF（AAS），
∴BF=BE=4，C′F=A′E=3，
∴OF=BF﹣OB=4﹣3=1，
∴点C′的坐标为（1，﹣3），
把（1，﹣3）代入y=得，=﹣3，
解得k=﹣3．
故答案为：﹣3．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，
∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，
∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，
解得：m1=3，m2=1．
∴m的值为3或1．
18．解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，
所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；
（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，4），对称轴为：直线x=1，二次函数的最大值是4．19．证明：由题意：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2，
S4=S2，S5=S3，S6=S4+S5，S阴影面积=S1+S6=S1+S2+S3=2．
故答案为：S2，S3，S4，S5，2．
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570
整理得：x2﹣36x+35=0，
解得：x1=1，x2=35（不合题意，舍去）．
答：每条道路的宽为1米．
21．解：（1）△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1如图所示：
点C1的坐标为（1，﹣3）．
（2）△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2如图所示：
∵OA==，
∴点A经过的路径长为=π．
22．解：
由表格可知，共有9种等可能出现的结果，其中点A在函数图象上（记为事件A）的结果有两种，即（2，3），（3，2）
所以，．
五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD=20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n=x y=﹣80
∴反比例函数解析式为：y=﹣
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12
（2）当﹣=﹣2x+12时，解得
x1=10，x2=﹣4
当x=10时，y=﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
=S△CDA+S△EDA=
∴S
△CDE
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
24．（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC，
∵点C是的中点，
∴∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴AC==4，
∵∠EAC=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴=，
∴AE==．
25．解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，则﹣x2+x+4=0，
解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC==4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，
0）或（8+4，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，
点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．
（4）如图，
AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°．
∴AC⊥AB．
∵AC∥MN，
∴MN⊥AB．
设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，
∵MN∥AC，
△BMN∽△BAC
∴=，
∴=，
BM==，
MN==，
AM=AB﹣BM=2﹣=
∵S
△AMN
=AM•MN
=××
=﹣（n﹣3）2+5，
当n=3时，△AMN面积最大是5，
∴N点坐标为（3，0）．
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．。