【优化探究】高三数学(文)高考二轮复习练习：1.6.1算法、复数、推理与证明(含答案)

限时规范训练1．(2016·高考全国Ⅱ卷)设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝() A．－1＋2i B．1－2i

C．3＋2i D．3－2i

解析：先求复数z，再利用共轭复数定义求z.

由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴z＝3＋2i，故选C.

答案：C

2．(2016·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()

A．8 B．9

C．27 D．36

解析：借助循环结构进行运算求解．

k＝0，s＝0，满足k≤2；s＝0，k＝1，满足k≤2；

s＝1，k＝2，满足k≤2；

s＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出s＝9.

答案：B

3．我们知道，在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值

3

2a，类比上述

结论，在边长为a的正四面体内任意一点到其四个面的距离之和为定值()

A.

6

3a B.

6

4a

C.

3

3a D.

3

4a

解析：正四面体内任意一点与其四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体

积．设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为

3

4a

2，正四面体的体积为

2 12a 3，则有1

3×

3

4a

2(h

1

＋h2＋h3＋h4)＝

2

12a

3，得h

1

＋h2＋h3＋h4＝

6

3a.

答案：A

4．(2016·天津模拟)设复数z 满足z －i

z ＋i ＝i(i 为虚数单位)，则z 2 016＝( )

A ．21 008

B ．21 008i

C ．－21 008

D ．－21 008i

解析：由z －i z ＋1＝i 得z －i ＝z i ＋i ，z ＝2i

1－i

＝

2i 1＋i

1－i 1＋i

＝－1＋i ，则z 2＝(－1＋i)2＝－

2i ，从而z 2 016＝(z 2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i 1 008＝21 008×(i 4)252＝21 008.故选A. 答案：A

5．(2016·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

解析：借助循环结构进行运算，直至满足条件并输出结果． S ＝4不满足S ≥6，S ＝2S ＝2×4＝8，n ＝1＋1＝2；

n ＝2不满足n >3，S ＝8满足S ≥6，则S ＝8－6＝2，n ＝2＋1＝3； n ＝3不满足n >3，S ＝2不满足S ≥6，则S ＝2S ＝2×2＝4，n ＝3＋1＝4； n ＝4满足n >3，输出S ＝4.故选B. 答案：B

6．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9

a 2 016a 2 017

＝( )

A.2 016

2 017

B.2 0172 016

C.2 0152 016

D.2 0162 015

解析：每个边有n 个点，把每个边的点数相加得3n ，这样端点上的点数被重复计算了一次，故第n 个图形的点数为3n －3，即a n ＝3n －3.令S n ＝9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋a a n a n ＋1＝11×2＋

1

2×3＋…＋1

n －

n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n

＝n －1n ，

∴

9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 016a 2 017＝2 015

2 016

.故选C. 答案：A

7．(2016·甘肃模拟)把数列⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：

第k 行有2k

－1

个数，第t A (6,10)＝________.

解析：前5行共有20＋21＋22＋23＋24＝31个数，A (6,10)为数列的第41项，令a n ＝1

2n －1，

则a 41＝1

81.

答案：1

81

8．有6名同学参加演讲比赛，编号分别为1,2,3,4,5,6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获特等奖进行预测： A 说：不是1号就是2号获得特等奖； B 说：3号不可能获得特等奖； C 说：4,5,6号不可能获得特等奖；

D 说明：能获得特等奖的是4,5,6号中的一个．

公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 四人中只有一人判断正确． 根据以上信息，获得特等奖的是________号同学．

解析：由已知C ，D 两人的判断一真一假，如果D 的判断正确，则B 的判断也正确，与已知矛盾，故C 的判断是正确的，那么A 的判断错误，即获奖者不是1,2号，且B 的判断错误，故获得特等奖的是3号同学． 答案：3

9．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2

n

S n (n ∈N *)．证明：

(1)数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 是等比数列；

(2)S n ＋1＝4a n .

证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2

n S n ，

∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴

S n ＋1n ＋1

＝2·S n n ，又∵S 1

1＝1≠0，(小前提)

故⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知

S n ＋1n ＋1＝4·S n －1

n －1

(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n ＋1

n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)

又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)

10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝3

4

.

(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.

证明如下：

sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－1

2

sin 2α