高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第6讲 数学归纳法知能训练轻松闯关 理 北师大版

第6讲 数学归纳法
1．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )
A ．f (n )＋n ＋1
B ．f (n )＋n
C ．f (n )＋n －1
D ．f (n )＋n －2
解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．
2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )
A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N *)
B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N *)
C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N *)
D ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N *)
解析：选B.因为n 为正奇数，所以n ＝2k －1(k ∈N *)．
3．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1
<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推理n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________．
解析：当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1
<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1
<k ＋1.左边增加了2k 项． 答案：2k
4．(2016·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52
，f (16)>3，f (32)>72
，则其一般结论为________． 解析：因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22
. 答案：f (2n )>n ＋22
(n ≥2，n ∈N *) 5．求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)．
证明：(1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；
(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，
即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )
＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)，
那么当n ＝k ＋1时，
左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1)
＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)
＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2
＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)．
这就是说当n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对所有n ∈N *等式成立．
6．(2014·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且
S 3＝15.
(1)求a 1，a 2，a 3的值；
(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)由题意知S 2＝4a 3－20，所以S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20.
又S 3＝15，所以a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8.
又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7，
所以a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3.
综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.
(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，结论显然成立； ②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ＝2k ＋1，
则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k [3＋（2k ＋1）]2
＝k (k ＋2)．
又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，
所以k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，解得2a k ＋1＝4k ＋6，
所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，
即当n ＝k ＋1时，结论成立．
由①②知，对于∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.。