【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第二节 函数的单调性与最值课件 理
2017届高考数学一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用2-3
2．[教材改编]定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析 利用奇偶性的定义易得奇函数为y＝x3及y＝2sinx，故选C.
第八页，编辑于星期六：一点 二十一分。
3．[2015·福建高考]下列函数为奇函数的是( )
解析 当x<0时，－x>0，于是f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)，得f(x)＝x(1－x)．
第二十四页，编辑于星期六：一点 二十一分。
函数的奇偶性结合函数图象以及其他性质的考查是高考中的一个热点命题，常以选择题、填空题的形 式呈现，难度一般不大，且主要有以下几种命题角度.
第二十五页，编辑于星期六：一点 二十一分。
第十四页，编辑于星期六：一点 二十一分。
【跟踪训练】 1.判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9；
9－x2≥0， 解 (1)由x2－9≥0， 得x＝±3. ∴f(x)的定义域为{－3,3}，关于原点对称． 又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 即f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
x2－4x，x>0， ∴f(x)＝0，x＝0，
－x2－4x，x<0.
第二十七页，编辑于星期六：一点 二十一分。
①当x>0时，由f(x)>x得x2－4x>x，解得x>5； ②当x＝0时，f(x)>x无解； ③当x<0时，由f(x)>x得－x2－4x>x，解得－5<x<0. 综上，不等式f(x)>x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．
2017届高考数学一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用2-5
方 质义
根
0 的任何次方根都是 0 ，记作n 0＝ 0
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概念 式子n a叫做根式，其中 n 叫做根指数， a 叫做被开方数
根
当 n 为任意正整数时，(n a)n＝ a
式
性 当 n 为奇数时，n an＝ a
质
当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－aa≥a0<0
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3.理解指数函数的概念，理解指数函数 方程、不等式等知识综合命题．比较大小、简单的 的单调性，掌握指数函数的图象及其通过 指数方程、不等式等为常考内容，一般以选择题为
的特殊点．
主，解题时要熟练运用指数函数的图象与性质进行
4.体会指数函数是一类重要的函数模 转化求解，注意数形结合思想的运用.
型.
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【跟踪训练】 3．函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析 将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有 A 满足上述两个性质．故选 A.
第二十七页，编辑于星期六：一点 二十一分。
4．[2015·聊城模拟]若方程|3x－1|＝k 有两个解，则实数 k 的取值范围是__(_0_,1_)___．
解析
由已知
a2＝12，又
a>0
解得
a＝
22，故
f(x)＝
22x，所以
f(－1)＝
22－1＝
2.
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典例2
(1)[2015·烟台模拟]函数 f(x)＝ax－b 的图象如图，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( )
2017届高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用课件
2 B. ,1 3
2 D. 3 ,1
3x 2 0 【解析】 ： 当且仅当 x 2 2 0
2 即 x 3 时函数有意义， x 1
故选 C. 【答案】 ： C
2.（2013· 惠州三调)某学校开展研究性学习活动，一组同学获 得了下面的一组实验数据：
4.函数的表示法: 解析法 、 图象法 、列表法 .
5.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别
用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段
函数虽由几个部分组成,但它表示的是 一个 函数.
1.函数 y=lg(3x－2)+ 2 - 2 x 的定义域是
(
)
2 A. ,1 3
导数及导数的运 2.能根据导数定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的导数.
1 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 x. 法则求简单函数的导数
x
算
导数的应用
1.了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单 调区间. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会 用导数求函数的极大值、 极小值；会求给定区间上函数的最大值、最小值. 3.会利用导数解决某些实际问题.
x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律 ，其中最接近的一个是（ A.y＝2x－2 C.y＝log2 x )
1 B.y＝ 2
x
1 2 D.y＝2 （x －1)
【解析】直线是均匀的，故选项A不是；
知识点
2017年高考数学(人教版文)一轮复习课件第2章 函数、导数及其应用2.1
考情分析 1.主要考查函数的概念、定义域及解析式的确定与应用，分段函 数更是考查的热点。 2．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重 要，特别是函数的解析式，对以后研究函数的性质有很重要的作用。
x
x 2 －1≥0 解析： x－2≠0
解得 x≥0 且 x≠2，故选 C。
答案：C
3 ．若函数 y＝ f(x) 的定义域为 M ＝ {x|－ 2≤x≤2} ，值域为 N＝ {y|0≤y≤2}，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
A
B
C
D
解析：A 定义域为{x|－2≤x≤0}，不正确。C 当 x 在[－2,2]取值 时，y 有两个值和 x 对应，不符合函数的概念。D 值域为[0,1]不正确， B 正确。 答案：B
解析：(1)方法一：(log2x)2－1＞0，即 log2x＞1 或 log2x＜－1，解 1 1 得 x＞2 或 0＜x＜2。故所求的定义域为0，2∪(2，＋∞)，故选 C。 12 1 方法二： 令 x＝4， 则 log24 －1＝3＞0， 排除 B。 令 x＝4， 则(log24)2 －1＝3＞0，所以排除选项 A。令 x＝2，则(log22)2－1＝0，排除 D， 故选 C。 (2)由函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则使函数 f(2x＋1)有意义，需满 1 足 － 1 ＜ 2x ＋ 1 ＜ 0 ， 解得 － 1 ＜ x ＜ － 2 ， 即 所 求 函 数 的 定 义 域 为 1 －1，－ ，故选 B。 2
2017年高考数学人教版理科一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用 11.2 导数与函数的极值、
解析：①当 x＜－2 时，1－x＞0。 ∵(1－x)f′(x)＞0，∴f′(x)＞0，即 f(x)在(－∞，－2)上是增函数。 ②当－2＜x＜1 时，1－x＞0。 ∵(1－x)f′(x)＜0，∴f′(x)＜0，即 f(x)在(－2,1)上是减函数。 ③当 1＜x＜2 时，1－x＜0。 ∵(1－x)f′(x)＞0，∴f′(x)＜0，即 f(x)在(1,2)上是减函数。 ④当 x＞2 时，1－x＜0。∵(1－x)f′(x)＜0， ∴f′(x)＞0，即 f(x)在(2，＋∞)上是增函数， 综上，f(－2)为极大值，f(2)为极小值。 答案：D
第八页，编辑于星期六：二点 四十六分。
考点二 利用导数研究函数的最值 【典例 2】已知函数 f(x)＝lnx－ax(a∈R)。 (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a＞0 时，求函数 f(x)在[1,2]上的最小值。
第九页，编辑于星期六：二点 四十六分。
解析：(1)f′(x)＝1x－a(x＞0)， ①当 a≤0 时，f′(x)＝1x－a＞0， 即函数 f(x)的单调增区间为(0，＋∞)。 ②当 a＞0 时，令 f′(x)＝1x－a＝0， 可得 x＝1a，当 0＜x＜1a时，f′(x)＝1－xax＞0； 当 x＞1a时，f′(x)＝1－xax＜0，故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a， 单调递减区间为a1，＋∞。
第四页，编辑于星期六：二点 四十六分。
悟·技法 求函数 f(x)极值的步骤
(1)确定函数的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)解方程 f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号，如果左 正右负，那么 f(x)在 x0 处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0 处 取极小值。
2017年高考数学一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用2.10
2．若 f(x)＝xex，则 f′(1)＝( )
A．0
B．e
C．2e
D．e2
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e，故选 C。 答案：C
第六页，编辑于星期六：二点 四十二分。
3．曲线 y＝xlnx 在点(e，e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直，则实
第十四页，编辑于星期六：二点 四十二分。
悟·技法 导数计算的原则和方法
(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数 的和、差、积、商，再求导。
(2)方法： ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单 的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差和的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导。
第十一页，编辑于星期六：二点 四十二分。
4．基本初等函数的导数公式 (1)C′＝⑦___0___(C 为常数)。 (2)(xn)′＝⑧___n_xn_－_1____(n∈Q*)。 (3)(sinx)′＝⑨_c_o_s_x__，(cosx)′＝⑩_－__si_n_x_。 (4)(ex)′＝⑪___e_x__，(ax)′＝⑫__a_xl_n_a_。 (55．)(l导nx数)′运＝算⑬法_则___1x__，(logax)′＝⑭___x_l1n__a。 (1)[f(x)±g(x)]′＝⑮_f′__(_x_)_±_g_′__(x。) (2)[f(x)·g(x)]′＝⑯__f_′__(x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′__(x_)_。 (3)gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)。
高考数学一轮复习 第2单元 函数、导数及其应用听课学案 理
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————第二单元函数、导数及其应用第4讲函数概念及其表示课前双击巩固1.函数与映射的概念2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.3.函数的表示法函数的常用表示方法:、、.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为.(6)函数f(x)=xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为;当a<0时,值域为.(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.题组一常识题1.[教材改编]以下属于函数的有.(填序号)①y=±;②y2=x-1;③y=+;④y=x2-2(x∈N).2.[教材改编]已知函数f(x)=若f[f(e)]=2a,则实数a= .3.[教材改编]函数f(x)=的定义域是.4.[教材改编]已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有种.题组二常错题◆索引:对函数概念理解不透彻;对分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻.5.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是.(填序号)①f:x→y=x;②f:x→y=x;③f:x→y=x;④f:x→y=.6.设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为.7.已知f()=x-1,则f(x)= .8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.课堂考点探究探究点一函数的定义域考向1求给定函数解析式的定义域1 (1)[2017·洛阳调研]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=e ln x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=ln xC.y=D.y=10x(2)[2017·揭阳二模]函数f(x)=+lg(6-3x)的定义域为()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2][总结反思] 已知解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.考向2求抽象函数的定义域2 (1)若函数y=f(x)的定义域为[-1,1),则函数y=f(x2-3)的定义域为.(2)已知f(2x)的定义域是[-1,2],则f(log2x)的定义域为.[总结反思] (1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域;(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.考向3已知定义域求参数范围3 (1)设f(x)的定义域为[0,1],要使函数f(x-a)+f(x+a)有定义,则a的取值范围为()A.B.C.D.∪(2)已知函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围是.[总结反思] 根据函数的定义域,将问题转化为含参数的不等式(组),进而求解参数范围.强化演练1.【考向2】已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是()A.B.[-1,4]C. D.[-5,5]2.【考向2】若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=的定义域是()A.[0,1)B.[0,1]C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)3.【考向1】[2017·江西重点中学盟校联考]函数y=ln1++的定义域为.4.【考向3】函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是.5.【考向3】记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.若B⊆A,则实数a的取值范围为.探究点二函数的解析式4 (1)已知f=ln x,则f(x)= .(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=5,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)= .(3)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=3·f+1,则f(x)= .[总结反思] 求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法:已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)构造法:已知关于f(x)与f(或f(-x))的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).(4)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.式题 (1)已知f(+1)=x+2,则f(x)= .(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x<0时,f(x)= .(3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则f(x)= .探究点三分段函数考向1分段函数的函数求值问题5 (1)[2017·河南新乡二模]已知函数f(x)=则f[f(-1)]= .(2)[2017·抚州七校联考]设函数f(x)=则f(3)+f(4)= .[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系,对于复合函数的求值问题,应由里到外地依次求值.考向2分段函数的自变量求值问题6 [2017·湘潭一中、长沙一中等六校联考]已知f(x)=若f(a)=2,则a的取值为()A.2B.-1或2C.±1或2D.1或2[总结反思] 与分段函数有关的自变量的求值问题,求解关键是分类讨论思想的应用.考向3分段函数与方程、不等式问题7 (1)已知函数f(x)=若f(a)>,则实数a的取值范围是()A.(-1,0)∪(,+∞)B.(-1,)C.(-1,0)∪D.(2)[2017·渭南二模]设f(x)=若f[f(4)]=,则a= .[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式与方程问题,主要表现为解不等式(或方程).若自变量取值不确定,则要分类讨论求解;若自变量取值确定,则只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.强化演练1.【考向1】[2017·桂林中学三模]已知函数f(x)=则f(2+log32)的值为()A.-B.C. D.-542.【考向1】已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足f(0)=2,f(-1)=3,则f[f(-3)]=()A.-3B.-2C.3D.23.【考向2】[2017·石家庄二中三模]已知函数f(x)=若f(2-a)=1,则a=()A.-2B.-1C.-1或-D.24.【考向3】已知函数f(x)=则满足f(a)≥2的实数a的取值范围是()A.(-∞,-2)∪(0,+∞)B.(-1,0)C.(-2,0)D.(-∞,-1]∪[0,+∞)5.【考向3】设函数f(x)=则满足f[f(a)]=2f(a)的a的取值范围是()A .B.[0,1]C .D.[1,+∞)第5讲函数的单调性与最值课前双击巩固1.单调函数的定义自左向右看图像是2.单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫作函数y=f(x)的单调区间.3.函数的最值常用结论1.复合函数的单调性函数y=f (u ),u=φ(x ),在函数y=f [φ(x )]的定义域上,如果y=f (u ),u=φ(x )的单调性相同,则y=f [φ(x )]单调递增;如果y=f (u ),u=φ(x )的单调性相反,则y=f [φ(x )]单调递减. 2.单调性定义的等价形式 设任意x 1,x 2∈[a ,b ],x 1≠x 2.(1)若有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0或>0,则f (x )在闭区间[a ,b ]上是增函数.(2)若有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0或<0,则f (x )在闭区间[a ,b ]上是减函数.3.函数单调性的常用结论(1)若f (x ),g (x )均为区间A 上的增(减)函数,则f (x )+g (x )也是区间A 上的增(减)函数. (2)若k>0,则kf (x )与f (x )单调性相同,若k<0,则kf (x )与f (x )单调性相反.(3)函数y=f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y=-f (x ),y=的单调性相反.(4)函数y=f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.题组一 常识题1.[教材改编]函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函数,则a的取值范围是.2.[教材改编]函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是;单调递减区间是.3.[教材改编]函数f(x)=(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于.4.函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.题组二常错题◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.5.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是.6.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围为.7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是.8.(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是.(2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为.课堂考点探究探究点一函数单调性的判断与证明1 判断函数f(x)=(a>0),x∈(-1,1)的单调性,并加以证明.[总结反思] (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(2)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.式题 [2017·南阳一中月考]下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是()A.y=-x2+1B.y=|x-1|C.y=x3D.y=2-x探究点二求函数的单调区间2 (1)[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是.[总结反思] 求函数单调区间的常见方法:(1)定义法;(2)图像法;(3)导数法.求复合函数单调区间的一般解题步骤为:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”.式题 (1) 函数y=的单调递增区间为()A.(1,+∞)B.C.D.(2)函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增,则函数g(x)=a|x-2|的单调递减区间是. 探究点三函数单调性的应用考向1利用函数的单调性比较大小3 (1)[2017·吉林实验中学二模]设a=log52,b=,c=log73,则a,b,c的大小关系是()A.b>a>cB.a>c>bC.b>c>aD.a>b>c(2)[2017·达州二诊]已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意x∈(0,+∞),f[f(x)-ln x]=e+1,设a=f,b=f,c=f(log2π),则a,b,c的大小关系是.(用“>”号连接表示)[总结反思] 比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.考向2利用函数的单调性解决不等式问题4 (1)已知函数f的定义域为R,对任意x1<x2,都有f-f<x1-x2,且f=-4,则不等式f>lo|3x-1|-1的解集为()A.B.C.∪D.∪(2)[2017·云南师大附中月考]已知函数f(x)=e x+x3,若f(x2)<f(3x-2),则实数x的取值范围是.[总结反思] 解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义,具体步骤是:(1)将函数不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解.考向3利用函数的单调性求最值问题5 设函数f(x)=+2016sin x,x∈-,的最大值为M,最小值为N,那么M+N= .[总结反思] 若函数在区间[a,b]上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数在区间[a,b]上不单调,则最小值为函数在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.考向4利用函数的单调性求参数6 [2017·南充三模]已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.(1,+∞)D.[总结反思] (1)根据函数的单调性,将题设条件转化为含参数的不等式(组),即可求出参数的值或范围;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(0,+∞),恒有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0成立.若a=f(log47),b=f(log23),c=f(0.20.6),则a,b,c的大小关系是()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c2.【考向2】已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是.3.【考向3】[2017·青岛一模]已知函数f(x)=则函数f(x)的最大值是.4.【考向4】若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于.5.【考向4】[2017·武汉调研]若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增,则实数a 的取值范围为.第6讲函数的奇偶性与周期性课前双击巩固1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫作f(x)的最小正周期.常用结论1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1⇔f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1⇔f(x)为奇函数.2.对f(x)的定义域内任一自变量的值x,最小正周期为T(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;(2)若f(x+a)=,则T=2|a|;(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.3.函数图像的对称关系(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x=对称;(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点对称.题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=+|x|中,偶函数的个数是.2.[教材改编]若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是函数;若偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是函数.3.[教材改编]已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=-1,则f(-2)= .4.[教材改编]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=log4(x2+3),则f(2017)= .题组二常错题◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;找不到周期函数的周期从而求不出结果;性质应用不熟练,找不到解题方法;利用奇偶性求解析式时忽略定义域.5.函数f(x)=是(填“奇”“偶”“非奇非偶”)函数.6.具有性质f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.有下列函数:①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=其中满足“倒负”变换的函数是.(填序号)7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f,且f(1)=2,则f(2017)= .8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+4x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)=.课堂考点探究探究点一函数奇偶性的判断1 (1)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数(2)下列函数奇偶性的判断,正确的是()①f(x)=+;②f(x)=;③f(x)=A.①是奇函数,②是奇函数,③是偶函数B.①是偶函数,②是奇函数,③是偶函数C.①既是奇函数又是偶函数,②是奇函数,③是奇函数D.①既是奇函数又是偶函数,②是偶函数,③是偶函数[总结反思] 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0 (偶函数)是否成立.式题 (1)[2017·衡水中学三调]已知函数f(x)=,g(x)=,则下列结论正确的是()A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数B.h(x)=f(x)+g(x)是奇函数C.h(x)=f(x)g(x)是奇函数D.h(x)=f(x)g(x)是偶函数(2)下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是()A.f(x)=x+sin 2xB.f(x)=x2-cos xC.f(x)=3x-D.f(x)=x2+tan x探究点二函数的周期性2 (1)已知函数f(x)满足f x-=f x+,当x∈0,时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间(0,6]上的零点个数是()A.3B.4C.5D.6(2) [2017·芜湖二模]已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)=2-,且对任意的x都有f(x+2)=,则f(2018)=()A.-2-B.-2+C.2-D.2+[总结反思] (1)只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合考查.(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.式题已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,当x∈(1,4]时,f(x)=3x-1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)= .探究点三函数性质的综合应用考向1奇偶性的应用3 (1)[2017·福建四地六校联考]设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-)=()A.-B.C.2D.-2(2)[2017·许昌二模]已知函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()A.0B.2C.4D.8[总结反思] 利用函数的奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得出方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值和为零可求一些特殊结构的函数值.考向2奇偶性与单调性4 (1)已知f(x)是奇函数,并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是()A. B.C.-D.-(2)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则满足f(a-2)>0的实数a的取值范围为()A.(2,+∞)B.(4,+∞)C.(0,4)D.(-∞,0)∪(4,+∞)[总结反思] (1)利用偶函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相同,可以把函数不等式化为一般的不等式;(2)注意偶函数性质f(x)=f(|x|)的应用.考向3奇偶性与周期性5 (1)[2017·广州花都区二模]已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=1,则f(2016)+f(2017)=()A.-2B.1C.0D.-1(2)若偶函数y=f(x),x∈R满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2-x2,则方程f(x)=sin |x|在[-10,10]内的根的个数为.[总结反思] 利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质.考向4奇偶性﹑周期性与单调性6 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且f(x)=f(x+6),当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A.[3,7]B.[4,5]C.[5,8]D.[6,10](2)[2017·哈尔滨六中二模]定义在R上的奇函数f(x)满足f x+=f(x),当x∈0,时,f(x)=lo(1-x),则f(x)在区间1,内是()A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0[总结反思] 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.强化演练1.【考向1】[2018·济南外国语学校月考]已知函数y=f(x),满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)=()A. B.C.πD.2.【考向2】[2017·大连二模]已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(ln x)<f(2),则x的取值范围是()A.(0,e2)B.(e-2,+∞)C.(e2,+∞)D.(e-2,e2)3.【考向4】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)4.【考向3】设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f= .5.【考向3】[2017·武汉模拟]设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1.则f+f(1)+f+f(2)+f= .第7讲二次函数与幂函数课前双击巩固1.二次函数的图像和性质上单调递增上单调递减2.幂函数(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较常用结论1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.题组一常识题1.[教材改编]若函数f(x)=4x2-kx-8在上是单调函数,则实数k的取值范围是.2.[教材改编]已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,),则函数f(x)= .3.[教材改编]已知f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是.4.[教材改编]若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b= .题组二常错题◆索引:图像特征把握不准出错;二次函数的单调性理解不到位;幂函数的图像掌握不到位.5.如图2-7-1,若a<0,b>0,则函数y=ax2+bx的大致图像是(填序号).图2-7-16.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)(填“>”“<”或“=”)0.7.若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是.8.已知当x∈时,函数y=x p的图像在直线y=x的上方,则p的取值范围是.课堂考点探究探究点一幂函数的图像和性质1 (1)若幂函数y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图像大致是()图2-7-2(2)[2017·南阳一中月考]已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0.若a,b∈R且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断[总结反思] 幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.式题幂函数的图像经过点2,,则它的单调递增区间是()A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)探究点二二次函数的解析式2 (1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)= .(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)= .[总结反思] 求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图像与x轴两交点的坐标,宜选用零点式.式题 (1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)= .(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为f(x)= .探究点三二次函数的图像与性质考向1二次函数的单调性问题3 (1)[2017·安徽江淮十校三模]函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.与x有关,不确定(2)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是()A.(-∞,0]B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2][总结反思] (1)对于二次函数的单调性,关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解;(2)利用二次函数的单调性比较大小,一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较.考向2二次函数的最值问题4 已知函数f(x)=ax2-2x(a>0),求函数f(x)在区间[0,2]上的最小值.[总结反思] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分类讨论求解.考向3二次函数中的恒成立问题5 (1)[2017·仙桃中学月考]已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,若不等式f(x)>2x+m在区间[-1,1]上恒成立,则实数m的取值范围为.(2)函数f(x)=a2x+3a x-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为.[总结反思] 二次函数中恒成立问题的解题关键是根据二次函数的对称性、单调性等得出关于参数的不等式,进而求得参数范围.强化演练1.【考向1】函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2]时,f(x)是减函数,则f(1)的值为()A.-3B.13C.7D.52.【考向2】若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为()A. [-3,3]B.[-1,3]C.{-3,3}D.{-1,-3,3}3.【考向2】[2017·皖北联考]若函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a 的值为.4.【考向3】已知函数y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x ∈-2,-时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为.5.【考向3】已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为.第8讲指数与指数函数课前双击巩固1.根式x=±,记作=叫作,2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:=(a>0,m,n∈N*且n>1).②正数的负分数指数幂:==(a>0,m,n∈N*且n>1).③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质①a r a s= (a>0,r,s∈Q);② (a r)s= (a>0,r,s∈Q);③ (ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图像与性质常用结论1.指数函数y=a x+b(a>0且a≠1)的图像恒过定点(0,1+b).2.指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图像以x轴为渐近线.题组一常识题1.[教材改编]若x+x-1=3,则x2-x-2= .2.[教材改编]已知2x-1<23-x,则x的取值范围是.3.[教材改编]函数y=a x-1+2(a>0且a≠1)的图像恒过定点.4.[教材改编]下列所给函数中值域为(0,+∞)的是.(填序号)①y=-5x,②y=,③y=,④y=.题组二常错题◆索引:忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题隐含指数函数值域大于零的情况.5.计算+= .6.若函数f(x)=(a2-3)·a x为指数函数,则a= .7.若函数f(x)=a x在[-1,1]上的最大值为2,则a= .8.设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)满足f(1-x)=f(1+x),则f(2x)与f(3x)的大小关系是.课堂考点探究探究点一指数幂的化简与求值1 (1)[2017·兰州铁一中月考]已知a-=3(a>0),则a2+a+a-2+a-1的值为()A.13-B.11-C.13+D.11+(2)计算0.02+2560.75--72= .[总结反思] 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.式题 (1)计算:×2+3π0= .(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则= .探究点二指数函数的图像及应用2 (1)函数y=1-e|x|的图像大致是()图2-8-1(2)[2017·天津河西区二模]已知f(x)=|2x-1|,当a<b<c时,有f(a)>f(c)>f(b),则必有()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.2-a<2cD.1<2a+2c<2[总结反思] (1)研究指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,.(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.式题 (1)在同一平面直角坐标系中,函数y=a x(a>0且a≠1)与y=(1-a)x的图像可能是()图2-8-2(2)已知函数y=的图像与指数函数y=a x的图像关于y轴对称,则实数a的值为()A.1B.2C.4D.8探究点三指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小3 (1)[2017·遂宁三诊]已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若-1<a<0,则3a,,a3的大小关系是(用“>”连接).[总结反思] 指数式的大小比较,靠的就是指数函数的单调性,当所比较的指数式的底数小于0时,要先根据指数式的运算法则把底数化为正数,再根据指数函数的性质比较其大小.考向2解简单的指数方程或不等式4 (1)已知函数f(x)=则不等式f(x)<f的解集是.(2)方程4x+|1-2x|=11的解为.[总结反思] (1)a f(x)=a g(x)⇔f(x)=g(x).(2)a f(x)>a g(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).考向3指数函数性质的综合问题5 (1)函数f(x)=a+(a,b∈R)是奇函数,且图像经过点ln 3,,则函数f(x)的值域为()A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈时恒成立,则实数a的取值范围是.[总结反思] 指数函数性质的重点是其单调性,解题中注意利用单调性实现问题的转化.强化演练1.【考向1】[2017·南昌一模]已知a=,b=,c=,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a2.【考向2】若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)3.【考向2】已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为.4.【考向2】若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为.5.【考向3】已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数m的取值范围为.第9讲对数与对数函数课前双击巩固。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用(二)课件 文
)
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
B．(－2,0)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
解析 ∵当 x>0 时，fxx′<0， ∴φ(x)＝fxx为减函数， 又 φ(2)＝0，∴当且仅当 0<x<2 时，φ(x)>0， 此时 x2f(x)>0. 又 f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数． 故 x2f(x)>0 的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选 D.
即 g(x)在 R 上是减函数，
所以
g(ln
2)>g(ln
3)，即felnln
2 fln 2 > eln
33，
即fln2
2 fln >3
3，
所以 3f(ln 2)>2f(ln 3)．故选 A.
2．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(2)＝0，当 x>0 时，
有xf′xx2－fx<0 恒成立，则不等式 x2f(x)>0 的解集是(
5．任意性与存在性 ① ∀ x1 ∈ [a ， b] ， ∀ x2 ∈ [c ， d] ， 使 f1(x1)>f2(x2) ⇔ [f1(x1)]min>[f2(x2)]max. ② ∃ x1 ∈ [a ， b] ， ∃ x2 ∈ [c ， d] ， 使 f1(x1)>f2(x2) ⇔ [f1(x1)]max>[f2(x2)]min. ③ ∀ x1 ∈ [a ， b] ， ∃ x2 ∈ [c ， d] ， 使 f1(x1)>f2(x2) ⇔ [f1(x1)]min>[f2(x2)]min. ④ ∃ x1 ∈ [a ， b] ， ∀ x2 ∈ [c ， d] ， 使 f1(x1)>f2(x2) ⇔ [f1(x)]max>[f2(x)]max. ⑤∃x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，使 f1(x1)＝f2(x2)⇔f1(x)的值 域与 f2(x)的值域交集不为∅.
2017届名师一号一轮复习北师大版理科2-10
复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y′x
＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)。
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第二章
第十节
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基 础 自 测
[判一判] (1)y′ ＝ f′(x) 在点 x ＝ x0 处的函数值就是函数 y ＝ f(x) 在点 x ＝ x0 处的导数 值。( √) ) × ) 解析 正确。 (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)。(
y＝cos x y＝ax(a>0，且a≠1)
y′＝____ 0 y′＝_________ αxα－1 y′＝__________ cos x y′＝____________ －sin x y′＝__________ xln a a 特别地(ex)′＝ex
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第二章
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1 5．(2016· 阳泉模拟)直线 y＝ x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则 2
ln 2－1 。 实数 b＝________ 1 1 1 解析 y′＝ ，令 ＝ ，得 x＝2，因此切点为(2，ln 2)，代入直线方 x x 2
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第二章
第十节
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变式训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； 解 解法一：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11。 解法二：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11。
2017年高考数学一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用2.11.1
方法二 (1)确定函数 y＝f(x)的定义域； (2)求导数 y′＝f′(x)，令 f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间 内的一切实根； (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实 数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区 间分成若干个小区间； (4)确定 f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相 应区间内的单调性。
第二页，编辑于星期六：二点 四十二分。
考情分析 1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单调性与不等式 的成立情况求参数范围是高考命题的热点。 2．常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等式、方程等 交汇命题，主要考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用。 3．题型主要以解答题为主，属中高档题。
从而当－1＜x≤0 时，
f′1(x)＝3x2－(a＋5)＜3－a－5≤0，
所以函数 f1(x)在区间(－1,0]内单调递减。
第十五页，编辑于星期六：二点 四十二分。
②f′2(x)＝3x2－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)。 由于 a∈[－2,0]， 所以当 0＜x＜1 时，f′2(x)＜0； 当 x＞1 时，f′2(x)＞0， 即函数 f2(x)在区间[0,1)内单调递减， 在区间(1，＋∞)内单调递增。 综合①②及 f1(0)＝f2(0)， 可知函数 f(x)在区间(－1,1)内单调递减， 在区间(1，＋∞)内单调递增。
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考纲要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)。 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求 函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上 函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)。
【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示课件 理
设 A,B 为两个非空数集
设 A,B 为两个非空集合
如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 y=f(x),x∈A 个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 和它对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 对应 f:A→B 是一个映射
> 0,
即
-4 ≤ ������ ≤ 4,
即函数的定义域为(2,3)∪(3,4],故选项 C 正确. ������ > 2 且������ ≠ 3,
【参考答案】 C
1.基本初等函数的定义域 (1)整式函数的定义域为 R. (2)分式函数中分母不等于 0. (3)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (5)函数 f(x)=x0 的定义域为{x|x≠0}. (6)指数函数的定义域为 R,对数函数的定义域为(0,+∞). 2.复合函数的定义域 若已知函数 y=f(x)的定义域为[a,b],则 y=f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 解出;若已知函数 y=f(g(x))的定义域为 [a,b],则函数 y=f(x)的定义域即为函数 g(x)的值域.
4.常用的数学方法与思想
换元法、配凑法、数形结合思想、分类讨论思想.
1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).
(1)A=R,B=R,f:x→y=������,表示从集合 A 到集合 B 的映射(也是函数). (1)× (2)f(x)= ������-2+log2(1-x)是一个函数. (2)× (3)y=x2-3x-4(x∈N)的图象是一条开口向上的抛物线. (3)×
2017年高考数学一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用2.7
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、 翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能 直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变 换单位及解析式的影响。
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第十三页，编辑于星期六：二点 四十三分。
考点一 作函数的图象 【典例 1】作出下列函数的图象。 (1)y＝12|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2xx－－11。
第十四页，编辑于星期六：二点 四十三分。
解析：(1)作出 y＝21x 的图象，保留 y＝21x 图象中 x≥0 部分，加
上 y＝21x 的图象中 x＞0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝21|x|的图 象(图 1)
图1
图2
图3
第十五页，编辑于星期六：二点 四十三分。
(2)作出 y＝log2x 的图象，将此图象向左平移 1 个单位，得到 y＝ log2(x＋1)的图象，再保留其 y≥0 部分，加上其 y＜0 的部分关于 x 轴 的对称部分，即得 y＝|log2(x＋1)|的图象(图 2)。
(3)由 y＝2xx－－11得 y＝x－1 1＋2。 作出 y＝1x的图象，将 y＝1x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，即得 y＝x－1 1＋2 的图象(图 3)。
第十六页，编辑于星期六：二点 四十三分。
悟·技法 函数图象的画法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数 时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象。
解析：因为 g(x)＝log28x＝log2x－3，因此需将 g(x)的图象向上平移 3 个单位。
2017届高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12 导数的应用(二)课件
►名师点拨 不等式恒成立问题的求解方法 (1)由不等式恒成立求解参数的取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即 要使 a≥g(x)恒成立，只需 a≥g(x)max，要使 a≤g(x)恒成立，只需 a≤g(x)min。另外， 当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如，要使不 等式 f(x)≥0 恒成立，可求得 f(x)的最小值 h(a)，令 h(a)≥0 即可求出 a 的取值范围。 (2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等 式。
考点二
利用导数研究函数的零点或方程的根
【例 2】 已知函数 f(x)＝13x3＋1－2 ax2－ax－a，x∈R，其中 a＞0。
(1)求函数 f(x)的单调区间；
解析：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a
＝(x＋1)(x－a)。
由 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 a(a＞0)。
当 x 变化时 f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
3 个注意点——利用导数解决实际问题应注意的三点
(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还要注意确定函数关 系式中自变量的取值范围。
(2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去。 (3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就 是最值点。
1．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关
②当 1－b＜0 时，即 b＞1 时，有 g(0)＝1－b＜0， g(2b)＝4b2＋2bsin2b＋cos2b－b＞4b－2b－1－b＞0。 ∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点。 又 y＝g(x)在 R 上是偶函数，且 g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点。 故当 b＞1 时，y＝g(x)在 R 上有两个零点， 则曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点。 综上可知，如果曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有两个不同交点，那么 b 的取值范围是 (1，＋∞)。
2017届高考数学一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用2-12
a
|f(x)|dx.( √ ) (3)若bf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方．( × )
a
第十九页，编辑于星期六：一点 二十一分。
2．[教材改编]求曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积，其中列式正确的是( )
A．S＝1(x2－x)dx 0
5．Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，A 是由直线 x＝1，y＝0 和曲线 y＝x41所围成的曲边三角形的平面区 域，若向平面区域 Ω 内随机投一点 M，则点 M 落在区域 A 内的概率为____5____．
考点多维探究
第十五页，编辑于星期六：一点 二十一分。
考点 2 利用定积分求平面图形的面积 回扣教材 1.定积分的几何意义 (1)当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分 bf(x)dx 的几何意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(图①中
2017届高考数学一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用2-11
第九页，编辑于星期六：一点 二十一分。
函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现，且主要有以下几个命题 角度.
第十页，编辑于星期六：一点 二十一分。
命题角度 1 判断或证明函数的单调性
典例1
[2015·课标全国卷Ⅱ]设函数 f(x)＝emx＋x2－mx.
(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；
第七页，编辑于星期六：一点 二十一分。
3．函数 y＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
解析 y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝ex(－x2－2x＋3)， 由 y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1， ∴函数 y＝(3－x2)ex 的单调递增区间是(－3,1)．故选 D.
由ln33<lnee，得 ln 3e<ln e3，所以 3e<e3.
综上，6 个数中的最大数是 3π，最小数是 3e.
第十四页，编辑于星期六：一点 二十一分。
(3)将 e3,3e，eπ，πe,3π，π3 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
解 (3)由(2)知，3e<πe<π3<3π，3e<e3. 又由(2)知，lnππ<lnee，得 πe<eπ. 故只需比较 e3 与 πe 和 eπ 与 π3 的大小． 由(1)知，当 0<x<e 时，f(x)<f(e)＝1e，即lnxx<1e. 在上式中，令 x＝eπ2，又eπ2<e，则 ln eπ2<πe，从而 2－ln π<πe， 即得 ln π>2－πe.① 由①得，eln π>e2－πe>2.7×2－23..712>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，即 eln π>3，亦即 ln πe>ln e3，所以 e3<πe. 又由①得，3ln π>6－3πe>6－e>π，即 3ln π>π，所以 eπ<π3. 综上可得，3e<e3<πe<eπ<π3<3π， 即 6 个数从小到大的顺序为 3e，e3，πe，eπ，π3,3π.
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第2讲 函数的表示法课时作业 理
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————第2讲 函数的表示法1．若f (x ＋2)＝2x ＋3，则f (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋72．已知f (x )＝x ＋1x －1(x ≠±1)，则( )A ．f (x )·f (－x )＝1B ．f (－x )＋f (x )＝0C ．f (x )·f (－x )＝－1D ．f (－x )＋f (x )＝13．(2017年安徽黄山质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －14．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x5．如图X221(1)，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x )．若函数y ＝f (x )的图象如图X221(2)，则△ABC 的面积为( )(1) (2)图X221A ．10B ．32C ．18D ．166．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．g (0)<f (2)<f (3)7．已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝________.8．(2016年浙江)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1.已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.9．根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式．10．定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f b －f a b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个“均值点”．如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．(1)判断函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数．若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，试确定实数m 的取值范围．第2讲 函数的表示法 1．B 2.A3．A 解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x＋kb ＋b ＝x ＋2.∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.4．C 解析：将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等．对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )．故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )．故选C.5．D 解析：由y ＝f (x )的图象，得当x ＝4和x ＝9时，△ABP 的面积相等，∴BC ＝4，BC ＋CD ＝9，即CD ＝5.易知AD ＝14－9＝5.如图D90，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵∠B ＝90°，∴DE ＝BC ＝4.在Rt △AED 中，AE ＝AD 2－DE 2＝3.∴AB ＝AE ＋EB ＝3＋5＝8.∴S △ABC ＝12AB ×BC ＝12×8×4＝16.图D906．D 解析：⎩⎪⎨⎪⎧f x －g x ＝e x ，f －x －g －x ＝e －x，即⎩⎪⎨⎪⎧f x－g x ＝e x，－f x －g x ＝e －x ，解得f (x )＝e x－e －x2，g (x )＝e x＋e －x－2.所以f (2)＝e 2－e －22，f (3)＝e 3－e－32，g (0)＝－1.显然g (0)<f (2)<f (3)．故选D.7．5 解析： ∵f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1－sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x ＝2，且f (0)＝1，∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5.8．－2 1 解析：f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2，(x －b )(x －a )2＝x 3－(2a ＋b )·x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a －b ＝3，a 2＋2ab ＝0，－a 2b ＝－a 3－3a 2.解得a ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.9．解：(1) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，得f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＝1.∴a ＝b ＝12.因此f (x )＝12x 2＋12x .(2)令t ＝1－x 1＋x ，由此，得x ＝1－t1＋t(t ≠－1)．∴f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2.从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)． (3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①∴把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x.∴f (x )＝2x －1x(x ≠0)．10．解：(1)由定义知，关于x 的方程－x 2＋4x ＝f－f9－0在(0,9)上有实数根时，函数f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数．而－x 2＋4x ＝f －f 9－0⇒x 2－4x －5＝0，可解得x 1＝5，x 2＝－1.又x 1＝5∈(0,9)[x 2＝－1∉(0,9)，故舍去]，∴f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数，5是它的均值点．(2)∵f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，∴关于x 的方程－x 2＋mx ＋1＝f －f －1－－在(－1,1)内有实数根．由－x 2＋mx ＋1＝f －f －1－－，得x 2－mx ＋m －1＝0.解得x 1＝m －1，x 2＝1. 又x 2＝1∉(－1,1)，∴x 1＝m －1必为均值点，即－1<m －1<1. ∴所求实数m 的取值范围是0<m <2.。
2017年高考数学一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用2.9
悟·技法 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查一次函数、二次函数模型。 解决此类问题应注意三点： ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定 要密切注意函数的定义域，否则极易出错； ②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系 数法； ③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题。
5．某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单 位产品，成本增加 10 万元。又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数， K(Q)＝40Q－210Q2，则总利润 L(Q)的最大值是__________。
解析：总利润 L(Q)＝40Q－210Q2－10Q－2 000 ＝－210(Q－300)2＋2 500。 故当 Q＝300 时，总利润最大值为 2 500 万元。 答案：2 500 万元
⑤_越__来__越__慢_ 随 x 增大逐渐
表现为与 ⑦__x_轴___平行
y＝xn(n＞0)
③增__函__数__ 相对平稳 随 n 值变化 而不同
第十页，编辑于星期六：二点 四十三分。
2.函数 y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和 y＝xn(n＞0)的增长速度比较 (1)指数函数 y＝ax 和幂函数 y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内 ax 会小于 xn，但由于 y＝ax 的增 长速度⑧_快__于___y＝xn 的增长速度，因此总存在一个 x0，当 x＞x0 时有 ⑨_a_x＞ ___xn_。 (2)对于对数函数 y＝logax(a＞1)和幂函数 y＝xn(n＞0)在区间(0，＋ ∞)，尽管在 x 的一定范围内可能会有 logax＞xn，但由于 y＝logax 的增 长速度慢于 y＝xn 的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在一个实数 x0， 使 x＞x0 时，⑩_l_o_g_ax_＜_。xn (3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与 y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但 由于它们⑪__增__长__速__度__不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0， ＋ ∞) 上 随 x 的 增 大 ， 总 会 存 在 一 个 x0 ， 当 x ＞ x0 时 ， 有 ⑫ ___a_x＞ ___xn_＞__l_o_g_ax_。
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与单调区间的 求法 运用单调性求 值域或最值 单调性的综合 应用
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 定 当 x1<x2 时,都有 f (x1)<f (x2) ,那么就说函数 f (x)在 义 区间 D 上是增函数 减函数 一般地,设函数 f (x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个值 x1,x2 当 x1<x2 时,都有 f (x1)>f (x2) ,那么就说函数 f (x)在区 间 D 上是 减函数
【参考答案】定义法:(1)当 a=-2 时,f(x)=������+2(x≠-2). 任设 x1<x2<-2.
������1 ������2 − ������2 +2 1 +2 2(������1 -������2 ) . 1 +2)(������2 +2) ������
∴f(x1)-f(x2)=������
其图象可由函数 y=- 向左平移 2 个单位, 再向上平移 1 个单位得到, 而������ = − 的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞),
∴f(x)=������+2(x≠-2)的单调递增区间为(-∞,-2),(-2,+∞), ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
(2)f(x)=
������ ������-������ ������-������+������ ������-������ ������ (������ ������-������ ������ ������ ������ ������
命题角度3:导数法求单调区间
典例4 函数f(x)=x-ln x的单调递增区间为
【解题思路】由题意得 x>0,f'(x)=1- = 令 f'(x)=0,得 x=1. 列表如下:
1 ������ ������-1 . ������
,单调递减区间为
.
x (0,1) 1 f'(x) 0 f(x) ↘
(1,+∞) + ↗
1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).
(1)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
1 ������
(
)
(1)× (2)若函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞). ( ) (2)× (3)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,x1≠x2且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.( (3)√
= (������
∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
(2)任设 1<x1<x2,
∴f(x1)-f(x2)=
������1 ������ − 2 ������1 -������ ������2 -������
=
������(������2 -������1 ) . (������1 -������)(������2 -������)
∴函数 f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增.
(2)由 f(x)=
������ 得������′(������) ������-������
=
1· (������-������)-������· 1 -������ = . 2 (������-������) (������-������)2
∵当 a>0 时,有 f'(x)=
由表可知,函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1). 【参考答案】 (1,+∞) (0,1)
求函数的单调区间的常用方法 (1)定义法:先求定义域,再利用定义判断单调区间; (2)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间; (3)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间; (4)复合函数“同增异减”法. 求复合函数的单调区间的一般步骤:①求函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区 间,依据是“同增异减”. 警示:(1)求函数的单调区间,要先判断函数的定义域.(2)多个单增或单减区间时不能用“∪”连接表示.
������
=
=1+
≠ ������ ), 所以当������ > 0 时, 其图象可由函数������ = 向右平移������个单位, 再向上平移 1 个单位得到, 而������ = 的单调递减区间
为(-∞,0),(0,+∞), 故 f(x)=
������ (x≠a)的单调递减区间为(-∞,a),(a,+∞),因此若 ������-������
f(x)在定义域 D 上单调递增(减).
3.函数单调性的几个重要结论
(1)若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)+g(x)为某区间上的 增(减) 函数. (2)若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为 减(增) 函数. (3)y=f[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相同,则y=f[g(x)]是 增函数 ;若 f(x)与g(x)的单调性相反,则y=f[g(x)]是 减函数 . (4)奇函数在对称区间上的单调性 相同 ;偶函数在对称区间上的单调性 相反 . (5)若函数f(x)在闭区间[a,b]上是减(增)函数,则f(x)的最大值为 f(a)(f(b)) ,最小值为 f(b)(f(a)) ,值域为 [f(b),f(a)]([f(a),f(b)]) .
∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1.
综上所述,a 的取值范围是(0,1].
★备用解法 导数法:(1)由 f(x)=
������ 得������′(������) ������+2
=
1· (������+2)-������· 1 2 = >0 恒成立, 2 (������+2) (������+2)2
5
D. -∞, 2
2(������+1) 2×3
5
3.B 【解析】由已知可得-
=−
������+1 ≤1,解得 3
m≥-4. ,f(x)min= + , ������ ∈
1 8
4.已知函数 f(x)=-2x2+x,x∈[-1,3],则其单调递减区间为 4.
1 ,3
.
− 15
【解析】������(������ ) = −2������2 + ������ = −2
第二节 函数的单调性与最值
考纲概述
考查热点 单调性的证明
考查频次 备考指导 ★★★★ 函数的单调性是函数的一个重要性质,几乎是每年必考的内容,例如判断 ★★★★ ★★★★★ 和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解 不等式等.
(1)理解函数的单调性、最 大值、最小值及其几何意 义. (2)会运用函数图象理解和 研究函数的性质.
1 ,3 4
1 2 ������4
[−1,3], 所以函数的单调递减区间为
,f(x)min=f(3)=-18+3=-15.
考点 1 单调性的判断与证明
典例 1 已知函数 f(x)=
������ (x≠a). ������-������
(1)若a=-2,证明f(x)在(-∞,-2)上单调递增; (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围. 【解题思路】单调性的判断与证明通常的方法是:定义法、导数法、图象法.
【变式训练】
1.函数f(x)=|-x2+2x+3|的单调区间为 . 1.单调递增区为[-1,1],[3,+∞),单调递减区间为(-∞,1],[1,3] 【解析】f(x)=|x +2x+3|=
2
-������ 2 + 2������ + 3 (-1 < ������ < 3), -(-������ 2 + 2������ + 3) (������ ≤ -1 或������ ≥ 3),
)
2.下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是 A.y= C.y=
1 ������-1 1 ������ 2
(
)
B.y=x2 D.y=ln(x-1) ( )
2.B 【解析】作出各个函数的图象,易知选项 B 正确. 3.如果关于 x 的二次函数 f(x)=3x2+2(m+1)x+n 在区间[1,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围是 A.(-∞,-4] B.[-4,+∞) C. - 2 , + ∞
【参考答案】单调递增区间为(-∞,-1],[0,1];单调递减区间为[-1,0],[1,+∞).
命题角度2:复合函数“同增异减”法求单调区间 典例3 函数f(x)=log2(x2-4x+3)的单调递减区间为 . 【解题思路】求出定义域,分出复合过程,分别判断其单调性,利用复合函数“同增异减”来 确定函数的单调性.x2-4x+3=(x-1)(x-3).令(x-1)(x-3)>0,得x>3或x<1,即函数f(x)的定义域为(∞,1)∪(3,+∞).记t=x2-4x+3,当x∈(-∞,1)时,t为减函数;当x∈(3,+∞)时,t为增函数.又y=log2t在 (0,+∞)上为增函数,根据复合函数同增异减法则知:f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减 区间为(-∞,1). 【参考答案】 (-∞,1)