第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。
在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。
一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。
1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。
这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。
进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。
因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。
2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。
例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。
根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。
计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。
通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。
它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。
二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
(新教材)2021年高中数学人教B版必修第四册：目录
第九章解三角形
9.1正弦定理与余弦定理
9.1.1正弦定理
9.1.2余弦定理
9.2正弦定理与余弦定理的应用
9.3数学探究活动:得到不可达两点之间的距离(略) 章末整合
第九章测评
第十章复数
10.1复数及其几何意义
10.1.1复数的概念
10.1.2复数的几何意义
10.2复数的运算
10.2.1复数的加法与减法
10.2.2复数的乘法与除法
*10.3复数的三角形式及其运算
章末整合
第十章测评
第十一章立体几何初步
11.1空间几何体
11.1.1空间几何体与斜二测画法
11.1.2构成空间几何体的基本元素
11.1.3多面体与棱柱11.1.4棱锥与棱台
11.1.5旋转体
11.1.6祖暅原理与几何体的体积
11.2平面的基本事实与推论
11.3空间中的平行关系
11.3.1平行直线与异面直线
11.3.2直线与平面平行
11.3.3平面与平面平行
11.4空间中的垂直关系
11.4.1直线与平面垂直
11.4.2平面与平面垂直
章末整合
第十一章测评。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案第一章：正弦定理的应用1.1 概述介绍正弦定理的概念和基本公式解释正弦定理在几何图形中的应用1.2 三角形内角和定理证明三角形内角和定理运用正弦定理计算三角形的内角和1.3 三角形面积计算介绍三角形面积计算公式运用正弦定理计算三角形的面积第二章：余弦定理的应用2.1 概述介绍余弦定理的概念和基本公式解释余弦定理在几何图形中的应用2.2 三角形边长计算运用余弦定理计算三角形的边长举例说明余弦定理在实际问题中的应用2.3 三角形角度计算运用余弦定理计算三角形的角度举例说明余弦定理在实际问题中的应用第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的综合应用解释正弦定理与余弦定理在几何图形中的应用3.2 三角形全等的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形全等举例说明正弦定理与余弦定理在三角形全等问题中的应用3.3 三角形相似的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形相似举例说明正弦定理与余弦定理在三角形相似问题中的应用第四章：正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用4.1 概述介绍正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用解释正弦定理与余弦定理在实际问题中的重要性4.2 测量问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决测量问题举例说明正弦定理与余弦定理在测量问题中的应用4.3 几何问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决几何问题举例说明正弦定理与余弦定理在几何问题中的应用第五章：正弦定理与余弦定理的拓展与应用5.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的拓展与应用解释正弦定理与余弦定理在其他领域中的应用5.2 在物理学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在物理学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在振动、波动等问题中的应用5.3 在工程学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在工程学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在建筑、航空航天等领域中的应用第六章：正弦定理与余弦定理在三角形中的应用举例6.1 概述回顾正弦定理与余弦定理的基本概念和公式。
余弦定理与正弦定理的应用
余弦定理与正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是数学中的两个重要的三角函数定理，它们在解决各种几何和数学问题时具有广泛的应用。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的公式及其应用，帮助读者更好地理解和运用这两个定理。
一、余弦定理的应用余弦定理是解决三角形中边和角之间关系的重要定理。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，那么根据余弦定理可以得出以下公式：a² = b² + c² - 2bc·cosAb² = a² + c² - 2ac·cosBc² = a² + b² - 2ab·cosC余弦定理可以用来求解未知边长或角度的问题。
下面通过几个实际问题来展示余弦定理的应用。
【例1】已知一个三角形的两边长度分别为5cm和6cm，夹角为60°，求第三边的长度。
解：根据余弦定理，可得c² = 5² + 6² - 2×5×6·cos60°c² = 25 + 36 - 60c² = 61c = √61因此，第三边的长度约为7.81cm。
【例2】已知一个三角形的两边长度分别为7cm和9cm，夹角为30°，求夹角的余弦值。
解：根据余弦定理，可得cosA = (7² + 9² - 2×7×9·cos30°) / (2×7×9)cosA = (49 + 81 - 63) / 126cosA = 67 / 126所以，夹角A的余弦值约为0.532。
二、正弦定理的应用正弦定理是另一个求解三角形边与角关系的重要定理。
与余弦定理类似，设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，那么根据正弦定理可以得出以下公式：a / sinA =b / sinB =c / sinC通过正弦定理可以求解未知边长或角度的问题。
余弦定理与正弦定理的应用
余弦定理与正弦定理的应用在数学中，余弦定理和正弦定理是解决三角形的边长和角度关系的重要工具。
它们的应用范围广泛，不仅限于几何学，还可以在物理学、工程学以及实际生活中的各种测量和计算问题中使用。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的基本原理，并通过一些实际应用例子来展示它们的实用性。
一、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们所对的角之间存在着一个关系，即：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，a、b、c为三角形的三条边，C为夹角。
该定理可以用于计算三角形的边长或夹角大小，特别适用于已知两边和夹角，求解第三边或第三个角的情况。
例如，我们有一个三角形，已知两条边分别为a=5cm，b=7cm，夹角C为60度。
我们可以利用余弦定理来计算第三条边c的长度：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2×5×7×cos60°c^2 = 25 + 49 - 70×0.5c^2 = 24c = √24c ≈ 4.9cm通过余弦定理，我们可以得到这个三角形的第三边c约为4.9cm。
除了计算边长，余弦定理还可以用于计算三角形的角度。
例如，我们有一个三角形，已知三边分别为a=6cm，b=8cm，c=10cm。
我们可以利用余弦定理来计算各个角的大小：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)通过上述公式，我们可以求得角A，角B和角C的余弦值，再利用反余弦函数求得它们的度数。
二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，三条边和对应的角的正弦之间存在着一个关系，即：a / sinA =b / sinB =c / sinC正弦定理可以用于解决已知一个角和与之对应的两个边，求解其他角和边长的问题。
例如，我们有一个三角形，已知角A为30度，边a为5cm，边b 为7cm。
中考数学考点解析正弦定理与余弦定理的运用
中考数学考点解析正弦定理与余弦定理的运用中考数学考点解析：正弦定理与余弦定理的运用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，广泛应用于解决与三角形相关的各类问题。
本文将针对中考数学中关于正弦定理和余弦定理的考点进行解析，并讨论其运用方法。
一、正弦定理的概念与应用正弦定理是指在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边AB、BC、AC的边长，A、B、C分别为对应的内角，则有下述关系式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c正弦定理常用于解决三角形边长或角度未知的问题。
根据正弦定理，我们可以通过已知角度和边长的比例关系，求解未知边长或角度的值。
例如，已知在三角形ABC中，角A的度数为30°，边AC的长度为10cm，边BC的长度为8cm，求边AB的长度。
解析：根据正弦定理，我们有sin30°/10 = sinB/8，通过计算可以得到sinB的值为1/2。
根据反三角函数的定义，我们可以求得角B的度数为30°。
然后再利用三角函数的性质，我们可以得到sinC的值为sqrt(3)/2，进而求解出边AB的长度为12cm。
二、余弦定理的概念与应用余弦定理是指在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三边AB、BC、AC的边长，A、B、C分别为对应的内角，则有下述关系式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC余弦定理常用于解决三角形边长或角度未知的问题。
相比正弦定理，余弦定理在求解角度时更为常用，尤其适用于已知三边长度求解对应角度的情况。
例如，已知三角形ABC，边AB的长度为5cm，边AC的长度为8cm，角A的度数为45°，求对边BC的长度。
解析：根据余弦定理，我们有BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 * 5 * 8 * cos45°。
通过计算可以得到BC^2的值为25，再开方可以得到BC的长度为5cm。
三、正弦定理与余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理在解决实际问题中常常需要综合运用。
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。
它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。
在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。
一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。
正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。
2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。
3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。
4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。
由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。
二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。
它可以用来求解三角形的边长或角度。
余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。
初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理
初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理三角形的正弦定理与余弦定理是初中数学中重要且常用的知识点。
它们是解决三角形相关问题的基本工具，能够帮助我们计算三角形的各个边长和角度。
本文将对三角形的正弦定理与余弦定理进行归纳和解释，以帮助同学们更好地理解和应用这两个定理。
1. 三角形的正弦定理三角形的正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。
简单来说，正弦定理表明三角形的每条边的长度与其对应的角的正弦值成比例。
这个关系可以通过以下示例来理解：【示例1】已知一个三角形的两边长度分别为5cm和8cm，夹角为60°，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有5/sin60° = c/sin(180°-60°-60°)，化简得c = 5*sin120° / sin60° ≈ 8.66cm。
【示例2】已知一个三角形的两边长度分别为7cm和9cm，夹角为45°，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有9/sin45° = c/sin(180°-45°-45°)，化简得c = 9*sin135° / sin45° ≈ 14.14cm。
从这两个示例可以看出，正弦定理可以帮助我们在已知两边和夹角的情况下求解三角形中的第三边长度。
2. 三角形的余弦定理三角形的余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cosC。
其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。
数学解题技巧之余弦定理与正弦定理的应用
数学解题技巧之余弦定理与正弦定理的应用在数学解题中，余弦定理与正弦定理是两个非常重要且经常被使用的定理。
它们能够帮助我们求解各种三角形相关的问题。
本文将探讨余弦定理与正弦定理的定义、应用以及解题技巧。
一、余弦定理余弦定理是描述三角形边与角之间关系的定理。
它可以用来解决一些已知三边或两边一角的三角形问题。
假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A对应于边a，角B对应于边b，角C对应于边c。
则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，^2表示乘方，cosC表示角C的余弦值。
余弦定理可以应用于以下几种情况：1. 已知三边求角度：如果已知三角形的三个边长a、b、c，我们可以利用余弦定理计算角A、角B、角C的大小。
2. 已知两边一角求边长：如果已知三角形的两个边长a、b和它们夹角C，我们可以利用余弦定理计算第三个边c的长度。
3. 已知两边和夹角求第三边：如果已知三角形的两个边长a、b和它们夹角C，我们可以利用余弦定理计算第三个边c的可能范围。
二、正弦定理正弦定理也是解决三角形相关问题的重要工具。
它可以描述三角形的边和角之间的关系。
对于一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，角A对应于边a，角B对应于边b，角C对应于边c。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用有以下几种情况：1. 已知两角一边求另外一边：如果已知三角形的两个角A、B和一边c的长度，我们可以利用正弦定理计算另外两个边a、b的长度。
2. 已知两边一角求角度：如果已知三角形的两个边长a、b和夹角C 的大小，我们可以利用正弦定理计算另外两个角A、B的大小。
3. 已知三边求角度：如果已知三角形的三个边长a、b、c，我们可以利用正弦定理计算三个角A、B、C的大小。
三、解题技巧1. 判断何时使用余弦定理或正弦定理：根据已知条件的不同，确定使用何种定理。
如果已知两边一角，则通常使用余弦定理；如果已知两角一边，则通常使用正弦定理。
2020年高中新教材目录
2020年高中新教材目录数学必修第一册（A版）第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念 (2)1.2集合间的基本关系 (7)1.3集合的基本运算 (10)阅读与思考集合中元素的个数 (15)1.4充分条件与必要条件 (17)阅读与思考集合命题与充分条件、必要条件..241.5全称量词与存在量词 (26)小结 (33)复习参考题1 (34)第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质.......... 3 72.2基本不等式.................... 4 42.3二次函数与一元二次方程、不等式5 0小结............................. 5 6复习参考题2 (57)第三章函数的概念与性质阅读与思考函数概念的发展历程 (75)3.2函数的基本性质 (76)信息技术应用用计算机绘制函数图象87 3.3幂函数 (89)探究与发现探究函数y = x + 1/x的图象与性质 (92)3.4函数的应用（一） (93)文献阅读与数学写作函数的形成与发展97小结 (99)复习参考题3 (100)第四章指数函数与对数函数4.1指数 (104)4.2指数函数 (111)阅读与思考放射性物质的衰减 (115)信息技术应用探究指数函数的性质1204.3对数 (122)阅读与思考对数的发明 (128)4.4对数函数 (130)探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系 (135)阅读与思考中外历史上的方程求解147 文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展 (157)小结 (158)复习参考题4 (159)数学建模建立函数模型解决实际问题 (162)第五章三角函数5.1任意角和弧度制 (168)5.2三角函数的概念 (177)阅读与思考三角学与天文学 (186)5.3诱导公式 (188)5.4三角函数的图象与性质 (196)探究与发现函数y=Asin（3x + 5）及函数y = Acos（3x +牛）的周期 (203)探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质.• (208)5.5三角恒等变换 (215)信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 (224)5.6函数丫二人$岫乂 +牛） (231)阅读与思考振幅、周期、频率、相位 (250)小结 (251)复习参考题5 (253)部分中英文词汇索引 (258)数学必修第一册（B版）第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法 (3)1.1.2集合的基本关系 (9)1.1.3集合的基本运算 (14)1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词 (22)1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定..271.2.3充分条件、必要条件 (30)本章小结 (37)第二章等式与不等式2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集 (43)2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (47)2.1.3方程组的解集 (51)2.2不等式2.2.1不等式及其性质 (58)2.2.2不等式的解集 (64)2.2.3一元二次不等式的解法 (68)2.2.4均值不等式及其应用 (72)本章小结 (79)第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法 (85)3.1.2函数的单调性 (95)3.1.3函数的奇偶性 (104)3.2函数与方程、不等式之间的关系 (112)3.3函数的应用（一） (121)3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点..125本章小结 (131)本书拓展阅读目录罗素悖论与第三次数学危机 (11)数学中的猜想 (23)自主招生中的充分条件与必要条件 (33)《九章算术》中的代数成就简介 (52)函数定义的演变过程简介 (86)物理中的变化率 (99)付出与收获的关系 (101)二分法在搜索中的应用 (118)数学必修第二册（A版）第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念 (2)阅读与思考向量及向量符号的由来 (6)6.2平面向量的运算 (7)6.3平面向量基本定理及坐标表示 (25)6.4平面向量的应用 (38)阅读与思考海伦和秦九韶 (55)小结 (57)复习参考题6 (59)数学探究用向量法研究三角形的性质 (63)第七章复数7.1复数的概念 (68)7.2复数的四则运算 (75)阅读与思考代数基本定理 (81)7.3*复数的三角表示 (83)探究与发现1的n次方根 (91)小结 (93)复习参考题7 (94)第八章立体几何初步8.1基本立体图形 (97)8.2立体图形的直观图 (107)阅读与思考画法几何与蒙日 (112)8.3简单几何体的表面积与体积 (114)探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积 (121)8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 (124)8.5空间直线、平面的平行 (133)8.6空间直线、平面的垂直 (146)阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法 (165)文献阅读与数学写作*几何学的发展166小结 (167)复习参考题8 (169)第九章统计9.1随机抽样 (173)阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 (185)信息技术应用统计软件的应用 (189)9.2用样本估计总体 (192)阅读与思考统计学在军事中的应用----二战时德国坦克总量的估计问题 (208)阅读与思考大数据 (217)9.3统计案例公司员工的肥胖情况调查分析 (218)小结 (220)复习参考题9 (222)第十章概率10.1随机事件与概率 (226)10.2事件的相互独立性 (246)10.3频率与概率 (251)阅读与思考孟德尔遗传规律 (259)小结 (261)复习参考题10 (263)部分中英文词汇索引 (265)数学必修第二册（B版）第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算 (3)4.1.2指数函数的性质与图像 (9)4.2对数与对数函数4.2.1对数运算 (15)4.2.2对数运算法则 (20)4.2.3对数函数的性质与图像 (24)4.3指数函数与对数函数的关系 (30)4.4幂函数 (33)4.5增长速度的比较 (38)4.6函数的应用（二） (42)4.7数学建模活动：生长规律的描述 (46)4.8结 (50)第五章统计与概率5.1统计5.1.1数据的收集 (55)5.1.2数据的数字特征 (61)5.1.3数据的直观表示 (68)5.1.4用样本估计总体 (77)5.2数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 (90)5.3概率5.3.1样本空间与事件 (93)5.3.2事件之间的关系与运算 (98)5.3.3古典概型 (102)5.3.4频率与概率 (108)5.3.5随机事件的独立性 (114)5.4统计与概率的应用 (119)本章小结 (126)第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.1向量的概念 (133)6.1.2向量的加法 (137)6.1.3向量的减法 (142)6.1.4数乘向量 (145)6.1.5向量的线性运算 (147)6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理 (152)6.2.2直线上向量的坐标及其运算 (157)6.2.3平面向量的坐标及其运算 (160)6.3平面向量线性运算的应用 (168)本章小结 (172)本书拓展阅读目录对数发明起源的简介 (17)素数个数与对数 (18)指数运算与生活哲学 (40)我国古代统计工作简介 (57)用样本估计总体的失败案例 (82)“黄金7 2小时”中的概率 (96)向量的推广与应用 (163)数学必修第三册（B版）第七章三角函数7.1任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广 (3)7.1.2弧度制及其与角度制的换算 (8)7.2任意角的三角函数7.2.1三角函数的定义 (14)7.2.2单位圆与三角函数线 (18)7.2.3同角三角函数的基本关系式 (22)7.2.4诱导公式 (27)7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像 (36)7.3.2正弦型函数的性质与图像 (43)7.3.3余弦函数的性质与图像 (50)7.3.4正切函数的性质与图像 (54)7.3.5已知三角函数值求角 (57)7.4数学建模活动：周期现象的描述...•• (64)本章小结 (66)第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念 (71)8.1.2向量数量积的运算律 (76)8.1.3向量数量积的坐标运算 (81)8.2三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦 (87)8.2.2两角和与差的正弦、正切 (90)8.2.3倍角公式 (96)8.2.4三角恒等变换的应用 (99)本章小结 (107)本书拓展阅读目录更多三角函数及关系式 (25)向量的数量积与三角形的面积 (84)正弦型函数与信号处理 (103)数学必修第四册（B版）第九章解三角形9.1正弦定理与余弦定理9.1.1正弦定理 (3)9.1.2余弦定理89.2正弦定理与余弦定理的应用 (13)9.3数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 (17)本章小结 (19)第十章复数10.1复数及其几何意义10.1.1复数的概念 (25)10.1.2复数的几何意义 (29)10.2复数的运算10.2.1复数的加法与减法 (33)10.2.2复数的乘法与除法 (36)10.3复数的三角形式及其运算 (43)本章小结 (50)第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1.1空间几何体与斜二测画法 (55)11.1.2构成空间几何体的基本元素 (60)11.1.3多面体与棱柱 (66)11.1.4棱锥与棱台 (72)11.1.5旋转体 (76)11.1.6祖暅原理与几何体的体积 (82)11.2平面的基本事实与推论 (91)11.3空间中的平行关系11.3.1平行直线与异面直线 (96)11.3.2直线与平面平行 (100)11.3.3平面与平面平行 (103)11.4空间中的垂直关系11.4.1直线与平面垂直 (110)11.4.2平面与平面垂直 (116)本章小结 (123)本书拓展阅读目录秦九韶的“三斜求积术” (11)利用复数产生分形图 (40)四元数简介 (47)我国古代数学中球的体积公式 (86)生物学必修1分子与细胞第一章走进细胞第1节细胞是生命活动的基本单位 (2)第2节细胞的多样性和统一性 (9)探究•实践使用高倍显微镜观察^种细胞 (9)生物科技进展人工合成生命的探索 (12)第二章组成细胞的分子第1节细胞中的元素和化合物 (16)探究•实践检测生物组织中的糖类、脂肪和蛋白质 (18)第2节细胞中的无机物 (20)第3节细胞中的糖类和脂质 (23)第4节蛋白质是生命活动的主要承担者 (28)生物科学史话世界上第一个人工合成蛋白质的诞生 (33)第5节核酸是遗传信息的携带者 (34)第三章细胞的基本结构第1节细胞膜的结构和功能 (40)第2节细胞器之间的分工合作 (47)探究•实践用高倍显微镜观察叶绿体和细胞质的流动 (50)第3节细胞核的结构和功能 (54)探究•实践尝试制作真核细胞的三维结构模型 (57)生物科技进展世界上首例体细胞克隆猴的诞生 (58)第四章细胞的物质和输入输出第1节被动运输 (62)探究•实践探究植物细胞的吸水和失水 (64)生物科学史话人类对通道蛋白的探索历程 (68)第2节主动运输与胞吞、胞吐 (69)第五章细胞的能量供应和利用第1节降低化学反应活化能的酶 (76)一酶的作用和本质 (76)探究•实践比较过氧化氢在不同条件下的分解 (77)二酶的特性 (81)探究•实践淀粉酶对淀粉和蔗糖的水解作用 (81)探究•实践影响酶活性的条件 (82)科学・技术・社会酶为生活添姿彩..85第2节细胞的能量“货币” ATP (86)第3节细胞呼吸的原理和应用 (90)探究•实践探究酵母菌细胞呼吸的方式..90第4节光合作用与能量转化 (97)一捕获光能的色素和结构 (97)探究•实践绿叶中色素的提取和分离 (98)二光合作用的原理和应用 (102)探究•实践探究环境因素对光合作用强度的影响 (105)第六章细胞的生命历程第1节细胞的增殖 (110)探究•实践观察根尖分生区组织细胞的有丝分裂 (116)第2节细胞的分化 (118)科学・技术・社会骨髓移植和中华骨髓库 (122)第3节细胞的衰老和死亡 (123)生物科技进展秀丽隐杆线虫与细胞凋亡研究 (127)与生物学有关的职业病理科医师 (128)附录生物学实验室的基本安全规则 (131)生物学必修2遗传与进化第一章遗传因子的发现第1节孟德尔的豌豆杂交实验（一） (2)探究•实践性状分离比的模拟实验 (6)第2节孟德尔的豌豆杂交（二） (9)与生物学有关的职业育种工作者 (14)第二章基因和染色体的关系第1节减数分裂和受精作用一减数分裂 (18)探究•实践观察蝗虫精母细胞减数分裂装片 (24)二受精作用 (25)探究•实践建立减数分裂中染色体变化的模型 (25)科学・技术・社会人类辅助生殖技术..28在染色体上 (29)科学家的故事染色体遗传理论的奠基人摩尔根 (33)第3节伴性遗传 (34)第三章基因的本质第1节DNA是主要的遗传物质 (42)生物科技进展生物信息学及其应用..47第2节DNA的结构 (48)探究•实践制作DNA双螺旋结构模型51科学・技术・社会DNA指纹技术 (52)第四章基因的表达指导蛋白质的合成 (64)生物科学史话遗传密码的破译 (70)第2节基因表达与性状的关系 (71)科学・技术・社会基因工程的应用 (76)第五章基因突变及其它变化第1节基因突变和基因重组 (80)生物科技进展基因组编辑 (85)科学・技术・社会精准医疗 (86)第2节染色体变异 (87)探究•实践低温诱导植物细胞染色体数目的变化 (89)第3节人类遗传病 (92)探究•实践调查人群中的遗传病 (93)与生物学有关的职业遗传咨询师.96第六章生物的进化第1节生物有共同祖先的证据 (100)科学・技术・社会理想的“地质时钟”105与生物学有关的职业化石标本的制作人员 (105)第2节自然选择与适应的形成 (106)第3节种群基因组成的变化与物种的形成..110物理必修第一册第一章运动的描述1.质点参考系 (11)2.时间位移 (14)3.位置变化快慢的描述一一速度 (19)4.速度变化快慢的描述一一加速度 (25)第二章匀变速直线运动的研究1.实验：探究小车速度随时间变化的规律..342.匀变速直线运动的速度与时间的关系 (37)3.匀变速直线运动的位移与时间的关系 (40)4.自由落体运动 (45)第三章相互作用力1.重力与弹力 (55)2.摩擦力 (60)3.牛顿第三定律 (64)4.力的合成和分解 (68)5.共点力的平衡 (72)第四章运动和力的关系1.牛顿第一定律 (79)2.实验：探究加速度与力、质量的关系 (83)3.牛顿第二定律 (88)4.力学单位制 (93)5.牛顿运动定律的应用 (97)6.超重和失重 (101)课题研究 (108)学生实验 (112)索引 (116)化学必修第一册第一章物质及其变化第一节物质的分类及转化 (6)第二节离子反应 (13)第三节氧化还原反应 (20)整理与提升 (27)第二章海水中的重要元素——钠和氯第一节钠及其化合物 (32)第二节氯及其化合物 (41)第三节物质的量 (49)整理与提升 (58)实验活动1配制一定物质的量浓度的溶液..61第三章铁金属材料第一节铁及其化合物 (64)第二节金属材料 (73)整理与提升.............. 整实验活动2铁及其化合物的性质 (84)第四章物质结构元素周期律 (84)第一节原子结构与元素周期表 (86)第二节元素周期律 (101)第三节化学键 (107)整理与提升 (111)实验活动3同周期、同主族元素性质的递变115附录I实验室突发事件的应对措施和常见废弃物的处理方法 (116)附录口一些化学品安全使用标识 (117)附录印名词索引 (119)附录V部分酸、碱和盐的溶解性表（室温）120附录V 一些常见元素中英文名称对照表..121附录VI相对原子质量表 (122)元素周期表地理必修第一册第一章宇宙中的地球第一节地球的宇宙环境 (2)第二节太阳对地球的影响 (8)第三节地球的历史 (14)第四节地球的圈层结构 (21)问题研究火星基地应该是什么样子.25第二章地球上的大气第一节大气的组成和垂直分层 (28)第二节大气受热过程和大气运动 (34)问题研究何时“蓝天”常在 (42)第三章地球上的水第一节水循环 (46)第二节海水的性质 (50)第三节海水的运动问题研究能否淡化海冰解决环渤海 (57)地区淡水短缺问题 (63)第四章地貌第一节常见地貌类型 (66)第二节地貌的观察 (76)问题研究如何提升我国西南喀斯特峰丛山地的经济发展水平 (79)第五章制备与土壤第一节植被 (82)第二节土壤 (88)问题研究如何让城市不再“看海” (96)第六章自然灾害第一节气象灾害 (100)第二节地质灾害 (106)第三节防灾减灾 (110)第四节地理信息技术在防灾减灾中的应用 (114)问题研究救灾物资储备库应该建在哪里 (120)附录一本书主要地理词汇中英文对照表122附录二本套书常用地图图例 (124)体育与健康必修全一册。
2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：9.1.2 余弦定理 Word版含
姓名，年级：时间：9．1。
2 余弦定理［课程目标] 1.掌握余弦定理及余弦定理的推导；2。
了解余弦定理常用的几种变形公式；3.会利用余弦定理解决三角形问题．知识点一余弦定理［填一填］（1）语言表达：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．（2）公式表示:a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝a2＋c2－2ac cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C.（3）变形：cos C＝a2＋b2－c22ab；cos B＝c2＋a2－b22ac;cos A＝错误!。
［答一答]1．余弦定理公式c2＝a2＋b2－2ab cos C与勾股定理c2＝a2＋b2很类似,它们之间有联系吗?提示：对于余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C中，若∠C＝90°，则有c2＝a2＋b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况．知识点二余弦定理的应用[填一填]应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其夹角,可以求出该三角形的第三边,另一类是已知3条边时，可以求出该三角形的3个角，而且该三角形也唯一确定．[答一答]2．已知两边和其中一边的对角解三角形时，用正弦定理可以求解,但需要判别解的情况，想一想，这类问题能不能用余弦定理求解？提示:可以用余弦定理求解，例如已知a、b和∠A，可先由公式a2＝b2＋c2－2bc cos A解关于c的方程求出c.进而再求其他量．要注意一点：关于c的方程的解的个数对应三角形解的个数，这比用正弦定理求解好．3．有人说:公式cos A＝错误!中，可以用b2＋c2－a2的值的符号判断该三角形是锐角三角形，钝角三角形，还是直角三角形．你认为这种说法对吗？提示：不完全对．若b2＋c2－a2＝0，则△ABC是直角三角形．若b2＋c2－a2〈0，则△ABC是钝角三角形，但是若b2＋c2－a2〉0，△ABC不一定是锐角三角形,还要考虑B、C的大小．1．除课本证明方法外，余弦定理其他证明方法．证法1：（向量法)如图(1）所示，在△ABC中,显然有错误!＝错误!－错误!，所以错误!·错误!＝（错误!－错误!）·（错误!－错误!)＝2－2错误!·错误!＋错误!2＝｜错误!|2－2|错误!｜·｜错误!错误!|·cos A＋|错误!|2，也就是a2＝b2＋c2－2bc cos A，同理可得b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C。
高中数学学习中的正弦定理与余弦定理运用
高中数学学习中的正弦定理与余弦定理运用正弦定理与余弦定理是高中数学学习中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起到了关键作用。
正弦定理和余弦定理广泛运用于测量和计算角度、边长和面积等方面。
在高中数学学习中，学生们需要熟练掌握并灵活运用这两个定理，以解决各种数学问题。
首先，正弦定理是描述三角形边与其对应的角之间的关系的定理。
对于任意三角形ABC，边a、b和c分别与角A、B和C对应。
正弦定理的表达式是：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
该定理可以用于计算未知边长或角度的数值。
例如，当我们知道三角形的两个角和一个边长时，可以使用正弦定理来计算未知边长。
同样地，当我们知道三角形的两个边长和一个角度时，也可以使用正弦定理来计算未知角度。
正弦定理在解决不规则三角形的测量问题时非常有用。
与正弦定理相似，余弦定理也是用于描述三角形边与其对应的角之间的关系的定理。
对于任意三角形ABC，边a、b和c分别与角A、B和C对应。
余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC。
该定理可以用于计算三角形任意边长的平方值，当我们知道边长和夹角时，可以使用余弦定理计算另一边的长度。
正弦定理和余弦定理的应用非常广泛。
在实际生活中，我们经常需要使用这两个定理来解决与三角形相关的问题。
例如，在测量高楼大厦的高度时，我们可以利用正弦定理计算出无法直接测量的高度。
同样地，在测量河流宽度时，我们可以利用余弦定理计算出河的宽度。
这些应用展示了这两个定理的实际价值。
在数学考试中，正弦定理与余弦定理也经常被考查。
题目通常要求学生根据已知条件，使用这两个定理计算未知量。
因此，学生们需要熟练掌握这两个定理的公式和用法。
为了更好地掌握，学生们可以多做相关的练习题，加深对这两个定理的理解和运用能力。
另外，正弦定理和余弦定理还有一些衍生应用。
比如，通过这两个定理，我们可以推导出海伦公式。
海伦公式用于计算任意三角形的面积，根据三边长a、b和c，海伦公式的表达式为：面积 = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s是半周长（s=(a+b+c)/2）。
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
知识回顾：
1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等 ， 即
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C
.
正弦定理适用的解三角形的问题：
(1)已知三角形的任意两角与一边 (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角
例1(1)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，
3 1 1 解：由正弦定理，有 ＝ ，即 sin B＝ 2π sin B 2 sin 3 π 又 C 为钝角，所以 B 必为锐角，所以 B＝ 6 π 所以 A＝ .故 a＝b＝1. 6
例3．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求
AC边上的中线长． 思考：用正弦还是余弦定理？
解：设 AC 的中点为 D，由余弦定理的推论得： AB2＋AC2－BC2 92＋82－72 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2· AB· AC 2×9×8 3 在三角形 ABD 中，由余弦定理知： BD2＝AD2＋AB2－2· AD· ABcos A 2 ＝4 ＋9 －2×4×9× ＝49 3
方法感悟： 所给边不是已知角的对边 先求出第三个角， 再由正弦定理求另外两边
6- 2 2
B
6- 2 2
a
A C
b=1
2．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 两倍这两边与它们的夹角的余弦的积，即 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .(三边一角)
法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝ a2＋(3 3)2－ 2× 3 3a× cos 30° ， 即 a2－ 9a＋18＝0，∴a＝6 或 a＝3. 1 6× asin B 2 ＝ ＝1 当 a＝ 6 时，由正弦定理得 sin A＝ b 3 a ∴ A＝ 90° ， C＝60° . 当 a＝ 3 时， A＝30° ，C＝120° .
高中数学第九章解三角形9.1正弦定理与余弦定理9.1.1正弦定理b必修第四册b高一第四册数学1
＝5cosBcosC，两式相减，得 cosA－sinA＝5(cosBcosC－sinBsinC)
＝5cos(B＋C)．又 B＋C＝π－A，所以 cos(B＋C)＝－cosA，所以
cosA－sinA＝－5cosA，即 sinA＝6cosA，所以 tanA＝6，故选 B.
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15．在△ABC 中，A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，又 tanA
＝12，sinB＝
10 10 .
(1)求 tanC 的值；
(2)若△ABC 最短边的长为 55，求△ABC 的面积．
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解：(1)因为 sinB＝ 1100，所以角 B 为锐角或钝角， 当角 B 是钝角时，cosB＝－31010，tanB＝－13， 又 tanA＝12， 所以 tan(A＋B)＝1t－anAta＋nAttaannBB＝121－＋1316＝17，
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三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、 13、15 题各 12 分，14 题 6 分，共 42 分
12．(1)在△ABC 中，已知 a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求 b；
(2)在△ABC 中，已知∠A＝45°，a＝2，b＝ 2，求∠B.
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8．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 asinAsinB＋bcos2A＝ 2a，则ba＝( D )
A．2 3
B．2 2
C. 3
D. 2
解析：由正弦定理及 asinAsinB＋bcos2A＝ 2a，得 sin2AsinB ＋sinBcos2A＝ 2sinA，即 sinB(sin2A＋cos2A)＝ 2sinA，所以 sinB ＝ 2sinA，所以ba＝ 2，故选 D.
人教B版高中数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 9.3 数学探究活动 得到不可达两点之间的距离
分析:本例中A,B两点能看到,但点B不能到达.可将AB看作三角形的一条边,
通过构造三角形、解三角形求得AB的长.
方法设计 在A所在的岸边选定一点C,测出A,C间的距离(设为m),
测出∠ACB,∠CAB的大小(设∠ACB=α,∠CAB=β).
则在△ABC中,∠ABC=180°-(α+β),
均不能到达)
解:如图, B,C,D三点共线,测出∠ACD=α,∠ADC=β,CD=m.设AB=h,BC=a.
ℎ
=பைடு நூலகம்-tan,①
则 ℎ
= tan.②
+
1
1
由①得ℎ=-tan,由②得ℎ + ℎ = tan,
∴ℎ
=
1
1
+
tan tan
=
tan+tan
.
tantan
tantan
第九章
9.3 数学探究活动: 得到不可达两点之间
的距离
课标定位素养阐释
1.了解数学建模的意义.
2.能够建立数学模型求解“得到不可达两点之间的距离”问题.
3.提升数学运算、逻辑推理和直观想象素养.
一、活动背景介绍
借助米尺与测量角度的仪器,得到不可达两点之间的距离.
二、活动过程(应用举例)
【例】 如图,A,B两点在一条河的两岸,测量者在A的一侧,且点B不可到达.
∴h=
×m.
tan+tan
本 课 结 束
由正弦定理
=
,
sin∠ sin∠
·sin∠
sin
所以 AB=
=
.
新教材人教B版高中数学必修第四册第九章解三角形
播速度，利用解三角形的方法可以计算出震源的位置和深度。
03
天文学
在天体测量中，通过观测天体与观测点形成的角度和已知的天体距离，
利用解三角形的方法可以计算出天体的位置、距离等参数。
THANKS
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在物理学中的应用
在物理学中，余弦定理可以用于求解力学、电磁学等领域的问题， 如力的合成与分解、电场强度的计算等。
04
三角形的面积公式及其应用
三角形面积公式及其推导
三角形面积公式
$S = frac{1}{2}absin C$，其中$a, b$为三角形的两边长，$C$为这两边所夹的角。
推导过程
以三角形的一边为底，另一边上的高为高，利用正弦函数的定义和性质，推导出三角形面积的 公式。
新教材人教B版高中 数学必修第四册第九
章解三角形
目录
• 解三角形的基本概念与性质 • 正弦定理及其应用 • 余弦定理及其应用 • 三角形的面积公式及其应用 • 解三角形的实际应用举例
01
解三角形的基本概念与性质
三角形的定义与分类
三角形的定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封 闭图形叫做三角形。
在几何图形中的应用 正弦定理不仅适用于三角形，还可以应用于其他 几何图形，如平行四边形、梯形等，用于求解相 关边长和角度。
在实际问题中的应用 正弦定理在实际问题中也有广泛应用，如测量、 航海、地理等领域中的距离、高度、角度等计算 问题。
03
余弦定理及其应用
余弦定理的推导与证明
01
02
03
向量法推导
在物理中的应用
三角形面积公式在物理学中也有广 泛的应用，如求解物体受力的合力、 计算物体的重心位置等。
2020-2021学年高中数学人教B版必修第四册：9-2、3 正弦定理与余弦定理的应用
[变式训练 1] (1)在 200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶、
塔底的俯角分别为 30°，60°，则塔高为( A )
400 A. 3 m
400 3 B. 3 m
200 3 C. 2 m
200 D. 3 m
解析：设山顶在 C 处，AB 长为塔高． 如图，在 Rt△CDB 中，CD＝200 m，∠BCD＝90°－60°＝30°， ∴BC＝co2s0300°＝4003 3(m)．在△ABC 中，∠ABC＝∠BCD＝30°， ∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝120°，由正弦定理得sinB1C20° ＝sinA3B0°，∴AB＝BsCin·s1i2n03°0°＝4030 (m)．
[变式训练 2] 如图，某观测站 C 在城 A 的南偏西 20°的方向 上，由城 A 出发的一条公路，走向是南偏东 40°.在 C 处测得公路 上距 C 为 31 km 的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去，走了 20 km 后到达 D 处，此时 CD 间的距离为 21 km，则这人还要走多远才 可到达城 A?
___方__向__角_______：相对于某一正方向的水平角，如北偏东 60°，如图(4)所示．
[答一答] 1．测量高度问题的解题思路是什么？
提示：测量高度问题的解题思路是放在直角三角形中，根 据所给的边、角的关系，求出与所求高相关的一条直角边的长， 然后再求高．
2．测量距离问题的解题思路是什么？ 提示：测量距离问题的解题思路是把所求的问题转化到三 角形中，然后利用正弦定理、余弦定理求解．
即1si0n23θ＝sinπ3－0 4θ＝si3n04θ. ∵sin4θ＝2sin2θcos2θ， ∴可解得 cos2θ＝ 23，∴2θ＝30°，故 θ＝15°. ∴在 Rt△ADE 中，AE＝ADsin60°＝15 m. ∴θ＝15°，建筑物 AE 的高为 15 m.
2021_2022学年新教材高中数学第9章解三角形9.1.2余弦定理学案含解析新人教B版必修第四册2
9．1.2 余弦定理最新课程标准：1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用．(难点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)知识点一 余弦定理(1)三角形任何一边的________等于其他两边的________减去这两边与它们________的余弦的积的________，即a 2＝______________，b 2＝______________，c 2＝______________.(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．①已知三边，求________．②已知________和它们的________，求第三边和其他两个角． 状元随笔 利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？[提示] 是．知识点二 余弦定理的变形(1)余弦定理的变形：cos A ＝________________；cos B ＝________________；cos C ＝________________.(2)利用余弦定理的变形判定角：在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔∠C 为________；c 2>a 2＋b 2⇔∠C 为________；c 2<a 2＋b 2⇔∠C 为________．[基础自测]1．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为()A.13B ．－12C.14D ．－142．在△ABC 中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则b 为()A ．5B ．8C ．5或－8D ．－5或83．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则∠B ＝________.4．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则∠A ＝________.题型一 已知两边及一角解三角形例1已知△ABC ，根据下列条件解三角形：a ＝3，b ＝2，∠B ＝45°.方法归纳已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．跟踪训练1在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，∠C ＝120°，则边c ＝________.题型二 已知三边或三边关系解三角形例2(1)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数；(2)已知△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．【解】 (1)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12， ∴∠A ＝60°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(23)2＋(6＋2)2－(22)22×23×(6＋2)＝22， ∴∠B ＝45°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝75°.(2)∵c >a ，c >b ，∴∠C 最大．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12， ∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝120°.∴△ABC 的最大内角为120°.方法归纳(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形．跟踪训练2在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则∠A 等于()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°题型三 正、余弦定理的综合应用状元随笔1.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 成立吗？反之，说法正确吗？为什么？[提示] 设△ABC 的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a 2＝b 2＋c 2可得sin 2A＝sin 2B ＋sin 2C.反之，将sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R代入sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 可得a 2＝b 2＋c 2.因此，这两种说法均正确．2．在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝π2成立吗？反之，若∠C ＝π2，则c 2＝a 2＋b 2成立吗？为什么？[提示] 因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2－c 2＝0，由余弦定理的变形cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，即cos C ＝0，所以∠C ＝π2，反之，若∠C ＝π2，则cos C ＝0，即a 2＋b 2－c 22ab＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2.例3在△ABC 中，若(a －c ·cos B )sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状．角边转化．方法归纳(1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪训练3在△ABC 中，若2∠B ＝∠A ＋∠C ，b 2＝ac ，试判断△ABC 的形状为________．教材反思1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择．2．本节课要掌握的解题方法：(1)已知三角形的两边与一角，解三角形．(2)已知三边解三角形．(3)利用余弦定理判断三角形的形状．3．本节课的易错点有两处：(1)正弦定理和余弦定理的选择：已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来．比较两种方法，采用余弦定理较简单．(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理的表达形式是边长的平方，通常转化为一元二次方程的形式求解根的问题．9． 余弦定理新知初探·自主学习知识点一(1)平方 平方和 夹角 两倍 b 2＋c 2－2bc cos Aa 2＋c 2－2ac cos Ba 2＋b 2－2ab cos C (2)三角 两边 夹角知识点二(1)b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab(2)直角 钝角 锐角 [基础自测]1．解析：根据正弦定理，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k (k >0)．则有cos C ＝9k 2＋4k 2－9k 22×3k ×2k＝13. 答案：A2．解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即49＝9＋b 2－3b ，所以(b －8)(b ＋5)＝0.因为b >0，所以b ＝8.答案：B3．解析：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝4＋1－34＝12，∠B ＝60°. 答案：60°4．解析：∵a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12， 又∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝120°.答案：120°课堂探究·素养提升例1【解】 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .∴2＝3＋c 2－23·22c . 即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 当c ＝6＋22时，由余弦定理，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－32×2×6＋22＝12. ∵0°<∠A <180°，∴∠A ＝60°，∴∠C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－222－32×2×6－22＝－12. ∵0°<∠A <180°，∴∠A ＝120°，∠C ＝15°.故c ＝6＋22，∠A ＝60°，∠C ＝75°或c ＝6－22，∠A ＝120°，∠C ＝15°. 跟踪训练1 解析：根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.答案：219跟踪训练2 解析：∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴∠A ＝60°. 答案：B例3【解】 方法一：∵(a －c ·cos B )sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，∴由正、余弦定理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎪⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ， 整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2.∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．方法二：根据正弦定理，原等式可化为：(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ，即sin C cos B sin B ＝sin C cos A sin A .∵sin C ≠0，∴sin B cos B ＝sin A cos A ，∴sin 2B ＝sin 2A .∴2∠B ＝2∠A 或2∠B ＋2∠A ＝π，即∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2. 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．跟踪训练3 解析：∵2∠B ＝∠A ＋∠C ，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠B ＝60°.又b 2＝ac ，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－ac ＝ac ，从而(a －c )2＝0，∴a ＝c ，可知△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形。
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一、单选题人教B版(2019) 必修第四册 过关斩将 第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 9.3 数学探
全国 高一 课时练习 2020-02-26 139次
1. 如图，两点在河的两岸，在河岸
测量两点间的距离有下列四组数据，较适宜测量的数据是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2. 海上两个小岛相距10
千米，从
岛望岛和岛成30°的视角，从岛望岛和岛成105°的视角，则
间的距离是（ ）A ．5千米B ．千米C ．10千米
D ．千米3. 某船在海平面处测得灯塔在北偏东60°方向，与相距6千米处该船由处向正北方向航行8千米到达处，这时灯塔与船相距（ ）A ．千米B ．千米C ．6千米D ．8千米
4. 某炮兵阵地位于点，两个观察所分别位于，两点，已知为等边三角形，且，当目标出现在点（，两点位
于两侧）时，测得，，则炮兵阵地与目标的距离约为（）
A．B．C．D．
5. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，，且两点之间的距离为，则树
的高度为（）
A．B．
C．D．
6. 有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )
A．5B．10C．10D．10
7. 如图，在地面上共线的三点处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且，则建筑物的高度为（）
A．B．C．D．
8. 如图所示，两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站南偏西40°方向上，灯塔在观察站南偏东60°方向上，则灯塔在
灯塔的方向上（）
A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°
9. 长为3.5m的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤脚1.4m的地面上，另一端在沿堤上2.8m的地方，堤对地面的倾斜角为，则坡度值
等于
A．B．
C．D．
10. 如图所示，两地之间有一座山，汽车原来从地到地需经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶，
已知，，，则隧道开通后，汽车从地到地比原来少走（结果精确到；参考数据：，
）
A．B．C．D．
11. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为45°，3 0°，在水平面上测得，两地相距500m，则电视塔的高度是（）
A．B．C．D．
12. 甲船在岛正南方向的处，以每小时4千米的速度向正北方向航行，千米，同时乙船自岛出发，以每小时6千米的速度向北偏
东60°方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为（）
A．分钟B．分钟C．21.5分钟D．2.15小时
13. 据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向的处的热带风暴中心正以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）
A．B．C．D．
14. 如图，为了测量山坡上灯塔的高度，某人从高为的楼的底部处和楼顶处分别测得仰角为，，若山坡高为
，则灯塔高度是（）
A．B．C．D．
二、填空题15. 某小区打算将如图所示的区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形
，在其内部建造文化景观，已知
，
，则区域面积（单位：）的最小值为（ ）
A ．
B ．25
C ．
D ．
16.
如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点，望对岸标记物
，测得
，，，则河的宽度为______．
17.
如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和
两点，现测得，则两景点与的距离为
__________
．
18. 如图，是海平面上的两个点，相距，在点测得山顶的仰角为45°，，又在点测得
，其中点是点在海平面上的射影，则山高为
______.
三、解答题19. 如图所示，在一个坡度一定的山坡
的顶上有一高度为的建筑物，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进
到达处，又测得
，根据以上数据得_________
．
20. 一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么_____________ cm.
21. 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进mkm 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________
时，该船没有触礁危险．
22.
如图，某山上原有一条笔直的山路，现在又新建了一条索道，小李在山脚
处测得
，从处攀登400米后到达处，
在处测得，从处再攀登800米到达处，则索道的长度为________米
.
23. 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B
处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西
，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则______________
．
24. 甲船在A处观察到乙船在它的北偏东的B处，此时两船相距akm．乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍．试问：甲船以什么方向行驶才能追上乙船？此时乙船已行驶了多少千米？
25. 某公园内有一块以为圆心半径为米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞
台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内切在圆外的区域，其中，
，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.设
，.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？
26. 如图，两点在河的同侧，且两点均不可到达，为了测出两点间的距离，测量者在河岸边选定两点，测得
，同时在两点分别测得，，，求两点间的距离.
27. 如图，某人在塔的正东方向上的处在与塔垂直的水平面内沿南偏西的方向以每小时千米的速度步行了分钟以后，在点处望见塔
的底端在东北方向上，已知沿途塔的仰角，的最大值为．
（1）求该人沿南偏西的方向走到仰角最大时，走了几分钟；
（2）求塔的高．
28. 如图，一辆汽车从市出发沿海岸一条笔直公路以每小时的速度向东均速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市且与
海岸距离为的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给这汽车的司机.
（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？
（2）在（1）的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.。