人教版初中数学讲义第11讲 等腰三角形

第11讲等腰三角形
知识点梳理：
（一）等腰三角形的性质
等腰三角形的定义：腰、底边、顶角、底角。

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
（二）等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形(有两个角是60°的三角形是等边三角形)。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（三）方法点拨：等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

经典例题：
例1.等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想
1．已知等腰三角形的一个内角是1000，则它的另外两个内角是
2．已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外两边的长是
3．等腰三角形的两边长是6和7，则三角形的周长为：
*4．一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，求它的顶角度数。

分析：1、当等腰三角形的顶角是锐角时，一腰上的高在三角形的 部？ 2、当等腰三角形的顶角是钝角时，一腰上的高在三角形的 部？
分别画出图形求解。

例2.等腰三角形边与角计算中的方程思想
如图，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB=AC ，BC=BD ，AD=DE=EB ，求∠A 的度数。

解：∵在△EBD 中， ,
∴设 (标在图上) ∵在△AED 中, ,
∴∠ =∠
又∵∠ 是△ 的外角，
∴
例3. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

例4、已知：在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点D 。

（1） 如图①，过点D 作EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F 。

若BE+CF=9cm ，求线段EF 的长。

②
①
E
B
(2) 如图②，过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F 。

若BC=12cm ，求△DEF 的周长。

例5.如图，△ABC 、△ADE 都是等边三角形，点E 在CB 的延长线上，求证:DB=CE
例6.如图，AD 为△ABC 的角平分线，AB DE ⊥于点E ，AC DF ⊥于点F,连接EF 交AD 于G 。

（1） 求证：AD 垂直平分EF
（2） 若∠BAC=60°，猜测DG 与AG 间有何数量关系？请说明理由。

经典练习
1.等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ）
A. 2cm
B. 8cm
C. 2cm 或8cm
D. 以上都不对
C
B
2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
3. 如图，AB C ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，则1∠的度数是________。

4.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。

求证：AE ＝AF 。

5. AB C ∆中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：
BC 2
1
DE =。

C
6.如图，AB C ∆中，AB=AC,EA ED BD BC ===,求∠A 的度数.
A
E F B
D
C
C
A 1
D
B
2 3 A
36°
E D
F
B
C
D
A
P Q
C A
B
D E
D
C
A
B
2
1E F
D
C
B
A
7.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=30°， BC=8，AD ⊥BC 于点D ，则DC=
能力提高
1、如图，过ABC ∆的顶点A 的直线DE ∥BC ，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交DE 于E 、D 两点，若6=AB ，8=BC ，则DE 可能的值为（ ）
A..8
B.15
C.20
D.24
2.如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 上的点，且AE=CD, 连接AD 、BE 交于点P,作BQ ⊥AD,垂足为点Q.求证：BP=2PQ.
3. 如图，AB C ∆中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：B C B D AD =+。

(取BE=AB,BF=BD)
4.如图，在四边形ABCD 中，AD//BC,点E 是AB 上的一个动点，若
B ∠B=60°，AB=BC,且
∠DEC=60°，判断AD+AE 与BC 的关系，并证明你的结论。

(提示：在BC 上取点F,使得BF=BE)
课后巩固
1.如图，AB C ∆中，AB=AC,D 在BC 上，DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 交AC 于F,若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数
2. 已知：如图，AB C ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

求证：DCB 2B AC ∠=∠。

3. 如图，已知：AB C ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。

A
B
C
D
C
E
F
B
A
A 4.如图，DEF ∆中，∠EDF=2∠E,FA ⊥DE 于点A,问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系.
5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°。

作AB 的中垂线l 分别交 AB 、AC 及BC 的延长线于点D 、E 、F ，连接BE.求证：EF=2DE.
补充备用题
1.如图，∠BAC=30°，点P 是∠BAC 平分线上的一点，PD ⊥AC 于D ，PE//AC 交AB 于E ，已知AE=10cm ，求PD 的长度。

2.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB,垂足为E,过
点B 作BF //AC,交DE 的延长线于点F ，连接CF. (1) 求证：AD ⊥CF;
(2) 连接AF ，试判断ACF ∆。