四边形复习讲义1

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中考数学第十一单元四边形课标解读典例诠释复习1

第十一单元四边形第一节多边形与平行四边形课标解读知识要点1.多边形的内角和与外角和(1)n边形内角和为；多边形外角和为 .(2)如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和 .2.正多边形定义：各个角，各条边的多边形叫做正多边形.对称性：正多边形都是对称图形，边数为偶数的正多边形也是对称图形.3.平行四边形(1)定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．(2)性质：①平行四边形的对边；②平行四边形的对角，邻角；③平行四边形的对角线；(3)平行四边形的对称性：，是它的对称中心；(4)平行四边形的面积：；同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积．(5)平行四边形的判定方法①两组对边分别的四边形是平行四边形(定义)；②两组对边分别的四边形是平行四边形；③一组对边的四边形是平行四边形；④对角线的四边形是平行四边形.典例诠释考点一多边形的内角和与外角和例1 正十边形的每个外角等于( )A．18°B．36°C．45°D．60°【答案】 B【名师点评】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解．例2 (2016·丰台一模)如图1-11-1，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则∠1= °.图1-11-1【答案】 48【名师点评】此题先要求出正五边形的每个内角度数(利用多边形的内角和或外角和来求，外角和比较简单，学生应掌握)，从而问题得解.例3 (2016·燕山一模)如图1-11-2，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝．图1-11-2【答案】 9考点二平行四边形性质与判定的综合应用，四边形的计算例4 (2016·平谷一模)如图1-11-3，ABCD中点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC=∠DEC，连接CF，DE．(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB=13，DF=14，tan A=，求CF的长．图1-11-3(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC．∵∠AFC=∠DEC，∴∠AFC=∠ADE，∴DE∥FC．∴四边形DECF是平行四边形．(2)【解】如图1-11-4,过点D作DH⊥BC于点H，图1-11-4∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠A，AB=CD=13.∵ tan A=，AB=13，∴DH=12，CH=5．∵DF=14，∴CE=14，∴EH=9．∴ED==15，∴CF=DE=15．【名师点评】 (1)考查平行四边形的性质和判定，易知AF∥BC，结合条件∠AFC= ∠DEC，可以推导出∠AFC+∠EDF=180°(也可以用内错角和同位角)，从而得到DE∥FC，问题得证，此问解答方法不唯一.(2)将分散的条件集中到一个三角形里，如△DCF中(或△DEC中)，出现了∠A的正切值，考虑要构造直角三角形，故可以过D点作BC的垂线，从而问题得解.基础精练1.(2016·大兴一模)若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为( )【答案】 C2.(2016·东城一模)已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形的边数是 .【答案】 53.(2016·延庆一模)如图1-11-5，AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充一个．．条件： .图1-11-5【答案】AD∥BC或AB=DC或∠A+∠B=180°等4.(2016·海淀一模)如图1-11-6，在ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为( )图1-11-6A．5 B．4 C．3 D．2【答案】 D5.(2014·河南)如图1-11-7，ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是( )图1-11-7【答案】 C6.(2014·昆明)如图1-11-8，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )图1-11-8∥CD，AD∥BC=OC，OB=OD=BC，AB∥CD=CD，AD=BC【答案】 C7.(2014·十堰)如图1-11-9，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD 于点E，则△CDE的周长是( )图1-11-9【答案】 B8.(2014·临沂)如图1-11-10，在ABCD中，BC=10，sin B=，AC=BC，则ABCD的面积是 .图1-11-10【答案】 189.(2014·自贡)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则它的边数是 . 【答案】 710.(2016·海淀二模)如图1-11-11，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为( )图1-11-11°°°°【答案】 C11.(2016·西城二模)有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B=90°．按如图1-11-12方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形ADEC中，若∠1=165°，则∠2的度数为．图1-11-12【答案】105°12.(2016·通州二模)在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图1-11-13，线段AB，BC，求作：平行四边形ABCD.图1-11-13小明的作法如下：如图1-11-14：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD为所求作平行四边形.图1-11-14老师说：“小明的作法正确.”请回答：小明的作图依据是 .【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形13.(2016·房山一模)如图1-11-15，在ABCD中，E为BC中点，过点E作EG⊥AB于G，连接DG，延长DC，交GE的延长线于点H.已知BC＝10,∠GDH=45°，DG=8.求CD的长.图1-11-15【解】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∵EG⊥AB于点G，∴∠BGE=∠EHC=90°.在△DHG中，∠GHD=90°，∠GDH=45°，DG=8，∴DH=GH=8．∵E为BC中点，BC=10，∴BE=EC=5．∵∠BEG=∠CEH，∴△BEG≌△CEH,∴GE=HE=GH=4．在△EHC中，∠H=90°，CE=5，EH=4，∴CH=3，∴CD=5.14.(2016·怀柔一模)如图1-11-16，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形ADCE为平行四边形;(2)若EF=2，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．图1-11-16(1)【证明】∵CE∥AB，∴∠DAF=∠ECF.∵F为AC的中点,∴AF=CF.在△DAF和△ECF中,∴△DAF≌△ECF，∴AD=CE．∵CE∥AB，∴四边形ADCE为平行四边形．(2)【解】如图1-11-17,作FH⊥DC于点H．图1-11-17∵四边形ADCE为平行四边形,∴AE∥DC，DF=EF=2，∴∠FDC=∠AED=45°．在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2，∠FDC=45°，∴ sin∠FDC==，得FH=2，tan∠FDC==1，得DH=2．在Rt△CFH中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴FC=4．由勾股定理，得HC=2．∴DC=DH+HC=2+2．15.(2016·昌平二模)在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=4．以OB为边，在△OAB 外作等边△OBC，E是OC上的一点．(1)如图1-11-18，当点E是OC的中点时，求证：四边形ABCE是平行四边形；(2)如图1-11-19，点F是BC上的一点，将四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，求OE的长．图1-11-18 图1-11-19(1)【证明】如图1-11-18，∵△OBC为等边三角形，∴OC=OB，∠COB=60°.∵点E是OC的中点,∴EC=OC=OB.在△OAB中，∠OAB=90°，∵∠AOB=30°，∴AB=OB,∠COA=90°.∴CE=AB，∠COA+∠OAB=180°，∴CE∥AB,∴四边形ABCE是平行四边形.(2)【解】如图1-11-19，∵四边形ABCO折叠，点C与点A重合，折痕为EF，∴△CEF≌△AEF,∴EC=EA.∵OB=4,∴OC=BC=4.在△OAB中，∠OAB=90°，∵∠AOB=30°，∴OA=2.在Rt△OAE中，由(1)知：∠EOA=90°，设OE=x，∵ ,∴ +,解得x=,∴OE=.16.(2016·西城一模)有这样一个问题：如图1-11-20，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：图1-11-20(1)由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图1-11-20，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD求证：．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．(2)连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质(一条即可)：.(3)筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．【解】 (1)已知：如图1-11-21，筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.求证：∠B=∠D.图1-11-21【证明】连接AC.如图1-11-21，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D.(2)筝形的其他性质：①筝形的两条对角线互相垂直，②筝形的一条对角线平分一组对角，③筝形是轴对称图形，……(写出一条即可)(3)不成立.反例如图1-11-22所示.图1-11-22在平行四边形ABCD中，AB≠AD.对角线AC，BD相交于点O，由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC=∠平分BD.但是该四边形不是筝形.(答案不唯一)17.(2014·浙江嘉兴)我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．(1)已知：如图1-11-23，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．图1-11-23(2)在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图1-11-24)，其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；图1-11-24②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．(3)已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．【解】 (1)∵等对角四边形ABCD中，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°－70°－80°－80°=130°.(2)①如图1-11-25，连接BD.图1-11-25∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC－∠ABD=∠ADC－∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，②不正确.反例：如图1-11-26，∠A=∠C=90°，AB=AD.但CB≠CD.图1-11-26 图1-11-27(3)①如图1-11-27，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E.∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10，∴DE=AE－AD=10－4=6.∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC===2，②如图1-11-28，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，图1-11-28∵DE⊥AB，∠DAB=60°,AD=4，∴AE=2，DE=2，∴BE=AB－AE=5－2=3.∵四边形BFDE是矩形，∴DF=BE=3，BF=DE=2.∵∠BCD=60°，∴CF=，∴BC=CF+BF=+2=3，∴AC===2.18.(2016·东城一模)在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质.定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形(如图1-11-29①).小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究.①②图1-11-29下面是小聪的探究过程，请补充完整：(1)根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是；(2)通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；(3)如图1-11-29②，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积. 【解】 (1)菱形(正方形).(2)它是一个轴对称图形；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.(写出其中的两条就行)已知：筝形ABCD.求证：∠B=∠D.证明:连接AC,如图1-11-30.图1-11-30∵AB=AD,CB=CD,AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D.(3)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E.∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°.又∵BC=2，∴BE=1，CE=.∴=2××AB·CE=2××4×=4.真题演练1.(2016·北京)内角和为540°的多边形是( )A B C D【答案】 C2.如图1-11-31，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA=DE.图1-11-31【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴AB∥DE，∴∠AED=∠BAE.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠EAD=∠AED，∴DA=DE.3.(2015·北京)图1-11-32是由射线AB，BC，CD，DE组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+ ∠4+∠5= ．图1-11-32【答案】360°第二节特殊的平行四边形课标解读知识要点1.矩形(1)定义：有一个角是直角的叫做矩形．(2)性质：①具有平行四边形的所有性质; ②对角线 ;③四个角都是直角.(3)矩形的对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，它有对称轴．(4)矩形的面积： .(5)矩形的判定方法①的平行四边形；②对角线的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．图1-11-332.菱形(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)性质：①具有平行四边形的一切性质;②都相等;③两条对角线，并且 .(3)菱形的对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线．(4)菱形的面积:方法1：= ; 方法2：= .(5)菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形．图1-11-343.正方形(1)定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．拓展: 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．(2)性质：①边——四条边都相等，邻边垂直，对边平行;②角——四个角都是直角;③对角线——相等;互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角．(3)正方形的对称性：是轴对称图形，有___条对称轴；又是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点．(4)正方形的面积:方法1：= ; 方法2：= .(5)正方形的判定方法：①根据定义；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形.图1-11-35典例诠释考点一特殊平行四边形的对称性例1 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A.等边三角形B.平行四边形C.梯形D.矩形【答案】 D【点评】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念，找轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；找中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．例2 (2016·房山一模)有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形：①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是( )A. B. C. D.【答案】 B【名师点评】准确理解轴对称图形和中心对称图形的概念和性质，注意②不是中心对称图形，③不是轴对称图形.考点二运用特殊平行四边形性质进行简单计算例3 如图1-11-36,菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ .图1-11-36【答案】【名师点评】此题考查菱形的性质、勾股定理、“双垂直”的基本图形，学生要熟练掌握，求OH的长可利用“等面积法”求解.学生最好能记住“双垂直图形”中的四个常见等积式. 考点三特殊平行四边形性质与判定的综合应用例4 (2016·东城一模)如图1-11-37，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF．图1-11-37(1)求证：四边形ABEF为菱形；(2)AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．【证明】由尺规作∠BAD的平分线的过程可知，AB=AF，且∠BAE=∠FAE.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠FAE=∠AEB.∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.∴BE=FA.∴四边形ABEF为平行四边形.∴四边形ABEF为菱形.(2)【解】∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，OB=BF=3，AE=2AO.在Rt△AOB中，AO==4.∴AE=2AO=8.【名师点评】此题结合尺规作图，考查了菱形的判定和性质，准确记忆和应用菱形的判定和性质是关键.考点四利用特殊平行四边形性质简拼图形例5 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1-11-38，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．图1-11-38小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x>0). 依题意，割补前后图形面积相等, 有=5, 解得x=．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图1-11-39所示的分割线，拼出如图1-11-40所示的新正方形．图1-11-39 图1-11-40请你参考小东同学的做法，解决如下问题：(1) 如图1-11-41是由边长为1的5个小正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形(在图1-11-41上画出分割线，并在图1-11-41的右侧画出拼成的正方形简图)；(2)如图1-11-42，是由边长分别为a和b的两个正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形(在图1-11-42上画出分割线，并在图1-11-42的右侧画出拼成的正方形简图).图1-11-41 图1-11-42【答案】如图1-11-43所示.图1-11-43【名师点评】分割图形和图形的重新组合问题由于解题策略多样，方法多样，剪裁线的不定性，使得组合图形变得多姿多彩，对于图形面积的思考是解题关键.基础精练1.(2016·顺义二模)四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图1-11-44所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率为( )图1-11-44A. B. C.【答案】 A2.(2016·平谷二模)如图1-11-45，已知：矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，E是AD中点，连接OE.若OE=3，AD=8，则对角线AC的长为( )图1-11-45【答案】 D3.(2016·昌平二模)为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具(如图1-11-46中左图)：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定. 课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图1-11-46中右图). 观察所得到的四边形，下列判断正确的是图1-11-46A．∠BCA＝45°B．BD的长度变小C．AC＝BD D．AC⊥BD【答案】 C4.(2016·石景山一模)如图1-11-47，方格纸中有一四边形ABCD(A，B，C，D四点均为格点)，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则该四边形的面积为 .图1-11-47【答案】 125.(2014·西城一模)如图1-11-48，菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连接FC，则∠ACF的度数为度.图1-11-48【答案】 156.(2014·房山一模)如图1-11-49,在边长为9的正方形ABCD中, F为AB上一点,连接CF.过点F作FE⊥CF,交AD于点E，若AF＝3,则AE等于( )图1-11-49【答案】 C7.(2014·大兴一模)若菱形两条对角线的长分别为10 cm和24 cm，则这个菱形的周长为( )cm cm cm cm【答案】 D8.(2014·大兴一模)已知正方形ABCD的边长为2，E为BC边的延长线上一点，CE＝2，连接AE与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 .【答案】9.(2014·海淀二模)已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )【答案】 B10.(2014·珠海)边长为3 cm的菱形的周长是( )cm cm cm cm【答案】 C11.(2014·娄底)如图1-11-50，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是(添加一个条件即可)．图1-11-50【答案】AC=BD12.(2014·陕西)如图1-11-51，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )图1-11-51B. C.【答案】 C13.(2014·淄博)如图1-11-52，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为( )图1-11-52B. C.【答案】 C14.(2014·兰州)下列命题中正确的是( )A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】 B15.(2014·吉林)如图1-11-53，四边形ABCD、AEFG是正方形，点E、G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC，交BC于点H.若AB=4，AE=1，则BH的长为( )图1-11-53【答案】 C16.(2014·青岛)如图1-11-54，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为( )图1-11-54【答案】 A17.(2016·房山二模)已知，如图1-11-55，四边形ABCD是平行四边形，延长边AB到点E，使BE＝AB，连接DE、BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．图1-11-55【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，∠A＝∠BCD.∵BE=AB，∴BE∥CD，BE=DC.∴四边形BECD为平行四边形．∴OD=DE，OC=BC.又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD.∴DE=BC.∴平行四边形BECD为矩形．18.(2016·丰台一模)如图1-11-56，在ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AE=6，BF=8，CE=3，求ABCD的面积．图1-11-56(1)【证明】在ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠BEA.∴AB=BE.同理可得AB=AF.∴AF=BE.∴四边形ABEF是平行四边形.∴ABEF是菱形.(2)【解】如图1-11-57，过F作FG⊥BC于G.图1-11-57∵ABEF是菱形，AE=6，BF=8，∴AE⊥BF，OE=AE=3，OB=BF=4.∴BE==5.∵ =AE·BF=BE·FG,∴FG=，∴ =BC·FG=.19. (2016·海淀一模)如图1-11-58，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC 的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证：BD=BE；(2)若BE=10，CE=6，连接OE，求tan∠OED的值.图1-11-58(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD,AB∥DC.∵AC∥BE，∴四边形ABEC为平行四边形.∴AC=BE，∴BD=BE.(2)【解】如图1-11-59，过点O作OF⊥CD于点F.图1-11-59∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°.∵BE=BD=10，∴CD=CE=6.同理，可得CF=DF=CD=3，∴EF=9.在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC=8.∵OB=OD，∴OF为△BCD的中位线.∴OF=BC=4.∴在Rt△OEF中，tan∠OED==.20.(2016·海淀二模)如图1-11-60，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．(1)求证：四边形BDCF为菱形；(2)若四边形BDCF的面积为24，tan∠EAC=，求CF的长.图1-11-60(1)【证明】∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．∵DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CF∥AD，∴四边形ACFD为平行四边形，∴AD=CF.∵CD为AB边上的中线，∴AD=BD，∴BD=CF.∴四边形BDCF为平行四边形.∵DE⊥BC，∴四边形BDCF为菱形.(2)【解】在Rt△ACE中，∵ tan∠EAC==，∴设CE=2x,AC=DF=3x.∵菱形BDCF的面积为24，∴DF·BC=24,∴DF·EC=24,∴ 3x·2x=24,∴ =2,=－2(舍去).∴CE＝4，EF＝DF＝3，∴CF=5.21.(2016·门头沟一模)如图1-11-61，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E作EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．图1-11-61(1)求证：四边形ABEF是正方形；(2)如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE．又∵EF⊥AD，∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°,∴四边形ABEF是矩形．又∵AE平分∠BAD，AF∥BE，∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．∴四边形ABEF是正方形．(2)【解】如图1-11-62，过点P作PH⊥AD于H．图1-11-62∵四边形ABEF是正方形，∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°．∴AB∥PH．∵AB=4，∴AH=PH=2．∵AD=7，∴DH=AD－AH=7－2=5．在Rt△PHD中，∠PHD=90°,∴ tan∠ADP==．22.(2016·石景山一模)如图1-11-63，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．(1)求证：四边形ABDE是菱形；(2)若BD=14，cos∠GBH=，求GH的长．图1-11-63(1)【证明】∵AC∥BD，AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD．∵AC∥BD，∴∠CAD=∠ADB．∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD．∴四边形ABDE是菱形．(2)【解】∵∠ABC=90°，∴∠GBH+∠ABG=90°．∵AD⊥BE，∴∠GAB+∠ABG=90°,∴∠GAB=∠GBH,∵ cos∠GBH=，∴ cos∠GAB=．∴ ==．∵四边形ABDE是菱形，BD=14,∴AB=BD=14,∴AH=16，AG=,∴GH=AH－AG=.23.(2016·石景山二模)如图1-11-64，CD垂直平分AB于点D，连接CA，CB，将BC沿BA 的方向平移，得到线段DE，交AC于点O，连接EA，EC．图1-11-64(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若CD=1，AD=2，求sin∠COD的值．(1)【证明】由已知得BD∥CE，BD=CE．∵CD垂直平分AB，∴AD=BD，∠CDA=90°．∴AD∥CE，AD=CE．∴四边形ADCE是平行四边形．∴平行四边形ADCE是矩形．(2)【解】如图1-11-65，过D作DF⊥AC于F，图1-11-65在Rt△ADC中，∠CDA=90°，∵CD=1，AD=2，由勾股定理可得AC=．∵O为AC中点，∴OD=．∵AC·DF=AD·DC，∴DF=．在Rt△ODF中，∠OFD=90°，∴ sin∠COD==.24.(2016·东城二模)如图1-11-66，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的等腰三角形．(要求：画出三个．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)图1-11-66【解】满足条件的所有图形如图1-11-67所示：①②③④⑤图1-11-6725.(2016·石景山二模)阅读下面材料：小骏遇到这样一个问题：画一个和已知矩形ABCD面积相等的正方形．小骏发现：如图1-11-68，延长AD到E，使得DE=CD，以AE为直径作半圆，过点D作AE的垂线，交半圆于点F，以DF为边作正方形DFGH，则正方形DFGH即为所求．请回答：AD，CD和DF的数量关系为 .图1-11-68参考小骏思考问题的方法，解决问题：画一个和已知ABCD面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤．【解】 =AD·CD.解决问题：方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AD到E，使得DE=AM，以AE为直径作半圆，过点D作AE的垂线，交半圆于点F，以DF为边作正方形DFGH，正方形DFGH即为所求．如图1-11-69.图1-11-69方法二：如图1-11-70，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC交BC延长线于点N，将平行四边形转化为等面积矩形后同小骏的画法．图1-11-70真题演练1.(2015·北京)如图1-11-71，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB.图1-11-71【证明】 (1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB,即DF∥BE.又∵DF=BE,∴四边形DEBF为平行四边形.又∵DE⊥AB,即∠DEB=90°,∴四边形BFDE为矩形.(2)∵四边形BFDE为矩形，∴∠BFD=90°.∵∠BFC+∠BFD=180°,∴∠BFC=90°.在Rt△BFC中，∵CF=3,BF=4,∴BC===5.∴AD=BC=5.∵DF=5,∴AD=DF=5,∴∠DAF=∠DFA.∵∠DFA=∠FAB,∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB.2.(2014·北京)如图1-11-72，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.图1-11-72(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠FAE=∠BAE,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.同理可得AF=AB.∴AF=BE.∵AD∥BC,∴四边形ABEF是平行四边形.又∵AB=BE，∴平行四边形ABEF是菱形.(2)【解】如图1-11-73，作PH⊥AD于H.图1-11-73∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，∴△ABE是等边三角形.∴∠PAH=60°，∴PA=AE=AB=2.在Rt△PAH中，PH=2sin 60°=，AH=2cos 60°=1,∴DH=AD－AH=6－1=5.∴ tan∠ADP==.3.(2013·北京)如图1-11-74，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长.图1-11-74(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AD=BC.∵F是AD的中点，∴FD=AD.∵CE=BC,∴FD=CE.∵FD∥CE,∴四边形CEDF是平行四边形.(2)【解】如图1-11-75，过点D作DG⊥CE于点G.图1-11-75∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,CD=AB=4,BC=AD=6.∴∠1=∠B=60°.在Rt△DGC中，∠DGC=90°,∴CG=CD·cos∠1=2,DG=CD·sin∠1=2.∵CE=BC=3,∴GE=1.在Rt△DGE中，∠DGE=90°,∴DE==.4.(2013·北京)如图1-11-76，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 .图1-11-76【答案】 20。

四边形中考复习讲义-学生版

四边形小结1 概述通过学习平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质及判定，了解它们之间的关系，并能灵活运用它们的性质和判定解决一些计算问题和实际问题.同时，本章探索并了解了有关三角形中位线、梯形中位线的相关知识．小结2 学习重难点【重点】掌握并会灵活运用平行四边形的定义、性质及判定；会灵活应用平行四边形及特殊平行四边形的相关知识解决一些简单的实际问题；掌握梯形及等腰梯形的定义、性质及判定，并会灵活运用；理解并掌握三角形中位线、梯形中位线的定义及性质，会应用它们解决一些计算及实际问题.【难点】掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质及判定条件，以及它们之间存在的联系与区别，会应用三角形中位线、梯形中位线解决一些简单问题.【应注意的问题】通过设立问题情境，主动探索和自觉总结四边形的相关性质，掌握四边形的性质；同时要熟识几种特殊四边形的判定，掌握转化思想在本章中的应用，如将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来解决. 小结3 中考透视中考关于四边形的考题大多结合三角形知识进行考查，而平行四边形的性质是证明两条直线平行、线段相等及角相等的依据.另外关于平行四边形的面积及周长、对称性也常出现在中考题中，这类题有填空题、选择题、计算题和证明题，深刻理解和牢记多边形、平行四边形的性质和判定是关键和前提．知识网络结构图四边形知识点汇总 1、特殊四边形的性质⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧称中心为对角线交点对称性：中心对称，对分对角线：对角线互相平补角：对角相等，邻角互边：对边平行且相等平行四边形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒线交点对称，对称中心为对角对称性：中心对称，轴互相平分对角线：对角线相等且角：四角相等，均为边：对边平行且相等形矩90 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧称中心为对角线交点对称性：中心对称，对直平分，且平分对角对角线：对角线互相垂补角：对角相等，邻角互行边：四边相等，对边平形菱⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒线交点对称，对称中心为对角对称性：轴对称，中心直平分且相等对角线：对角线互相垂为角：四角相等，每个都行边：四边相等，对边平形方正90⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧︒⎩⎨⎧对称图形对称性：等腰梯形为轴角平分线：相等角相等相邻角互补，同一底上角：不在同一底边上的等，另一组相等不平行边：一组对边平行不相等腰梯形相邻互补，有一组均为角：不在同一底边上的一组不平行边：一组对边平行，另直角梯形相邻角互补角：不在同一底边上的一组不平行边：一组对边平行，另一般梯形形梯902、四种特殊四边形常用的判定方法：一组邻一组邻对角线相对角线垂直对角线垂直对角线相等3、矩形、菱形与梯形易考知识（下面性质正方形均有）1、矩形：（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

初三复习四边形讲义

中考四边形辅导讲义教学目标1.会识别平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形；2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念、性质和判定；3.会利用平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的知识解决相关问题重点、难点2010年中考将继续考查多边形的内、外角和公式的应用，其中菱形、矩形、正方形的性质与判别将是考查的重点，关注特殊四边形与函数类问题结合的题型。

将继续考查梯形有关的计算与证明，其中等腰梯形的性质与判别方法的应用是考查的重点。

教学内容12[快乐热身]1、凸五边形的内角和等于______度，外角和等于______度。

若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_______.2、顺次连结平行四边形的各边中点所得的四边形是。

顺次连结矩形各边中点所得的四边形是。

顺次连结菱形的各边中点所得的四边形是。

顺次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是。

3、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 中点，且BE 平分∠ABC 。

求证：AB ＝AD ＋BC 。

1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n 边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形⇒ 4.平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫.5.矩形的性质：因为ABCD 是矩形⇒6. 矩形的判定： ⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是矩形. A DECB A BD OCA BD OCA D BC AD B C OA DB CA DBC OA B CD 1234⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（3。

四边形复习讲义

《四边形》复习讲义设计张亭2011.10.13一、特殊四边形之间的种属关系图解：例1：（10上海）在下列命题中，真命题是（） (A)两条对角线相等的四边形是矩形； (B)两条对角线互相垂直的四边形是菱形； (C)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； (D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

A BCD EFA BCD E FGH图14例2：（06连云港）如图所示，正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，连接BE 、BF 、DE 、DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（）A 、∠1=∠2B 、BE =DFC 、∠EDF =60°D 、AB =AF例3：如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一动点，过点O 作直线MN//BC, 设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）说明EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明你的结论．四、对应训练 1、在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，（如图）则∠EAF 等于（）A 、75°B 、45°C 、60°D 、30°2、下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A 、AB =CD ，AD ∥BC B 、AB =CD ，AB ∥CD C 、AB ∥CD ，AD ∥BC D 、AB =CD ，AD =BC3．如图，周长为68的矩形ABCD 被分成了7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（）A ．98B ．196C ．280D ．2844、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是___5、菱形的两条对角线长分别为8cm, 6cm, 则菱形的面积是 ______6、已知等腰梯形的上、下底分别为4cm 、6cm ，且其对角线互相垂直，那么它的面积为 .7、四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD＝6，则AF 等于 8、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由．解：添加的条件：理由：AEBC F ONMD9、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点。

四边形复习课课件(1)-基本知识及简单运用

3）两条对角线相等。两条对角线相等。 4）轴对称图形。轴对称图形。
判定：
1）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。的梯形是等腰梯形 2）对角线相等的梯形是等腰梯形。对角线相等的梯形是等腰梯形。的梯形是等腰梯形
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，三角形的中位线平行于第三边，
４５
２０
２０
２５
6.若三角形的三边之比为 6 : 5 : 4 ,周长是 45 若三角形的三边之比为周长是 cm,那么该三角形中最长的中位线长是＿＿＿那么该三角形中最长的中位线长是＿＿＿那么该三角形中最长的中位线长是＿＿＿; ９cm
６Ｘ＋５Ｘ＋４Ｘ＝４５Ｘ＋５Ｘ＋４Ｘ＝４５Ｘ＝３Ｘ＝３
最长边６＝最长边６x＝１８
O Ｃ
上一动点，１4.在△ABC中， P 是 BC 上一动点，过点在中 P 作 PE∥AC ，交AB于 E ，过 P作 ∥ 于作 PF∥AB 交AC于 F，当点 P 运动到什么位 ∥ 于，置时，四边形AEPF是菱形？是菱形？置时，四边形是菱形
当ＡＰ平分∠ＢＡＣ时，四边形AEPF是菱形ＡＰ平分∠ＢＡＣ时四边形平分是菱形
证明△ＢＯＥ≌ 证明△ＢＯＥ≌△ＡＯＦ
ＦＡＤ
１
３Ｏ５４ＰＣ
Ｅ２Ｂ
ＡＢＣＤ中分别是ＡＢ，ＣＤ１7．在直角梯形ＡＢＣＤ中，Ｅ．Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的．在直角梯形ＡＢＣＤ，Ｅ．Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点，ＥＦ＝a，ＡＢＢＣ，且ＡＢ＝b，，ＡＢ⊥ 中点，且ＥＦ＝，ＡＢ⊥ＢＣ，且ＡＢ＝，则图中阴影部分面积是＿＿＿＿＿，（用a，b表示）＿＿＿＿＿，（用，表示表示）分面积是0.5ab ＿＿＿＿＿，（

四边形复习讲义精讲

四边形复习讲义考试目标要求：1.探索并了解多边形的角和与外角和公式，了解正多边形的概念.2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.知识考点梳理知识点一、多边形的有关概念和性质1.多边形的定义：在平面，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的角和定理：n边形的角和等于(n-2)•180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.知识点二、四边形的有关概念和性质1.四边形的定义：同一平面，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.2.四边形的性质：(1)定理：四边形的角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.知识点三、平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分；3.平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4.面积公式：S=ah(a是平行四边形的一条边长，h是这条边上的高).知识点四、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质；(1)矩形的对边平行且相等；(2)矩形的四个角都相等，且都是直角；(3)矩形的对角线互相平分且相等.3.矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形.4.面积公式：S=ab(a、b是矩形的边长).知识点五、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质：菱形具有平行四边形的所有性质；(1)菱形的对边平行，四条边都相等；(2)菱形的对角相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形的判定方法：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.4.面积公式：S=ah(a是平行四边形的边长，h是这条边上的高)或s= mn(m、n是菱形的两条对角线长). 知识点六、正方形1.正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形；或有一个角是直角的菱形叫做正方形.2.正方形的性质:正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质；(1)正方形的对边平行，四条边都相等；(2)正方形的四个角都是直角；(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；3.正方形的判定方法：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.4.面积公式：S=a2(a是边长)或s= b2(b正方形的对角线长).平行四边形和特殊的平行四边形之间的联系:知识点七、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.5. 等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S= (a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).知识点八、平面图形的镶嵌1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.四、规律方法指导1.数形结合思想多边形是反映了数的抽象性与形的直观性这一对矛盾的对立统一，以及在一定条件下的互相转化，由数构形，由形思数的数形结合思想.尤其在平行四边形和矩形、菱形、正方形、梯形中，图形的特点非常鲜明，与我们现实生活的联系很大，利用它们的性质和判定能解决实际中的问题.2.分类讨论思想根据题目中的已知判断是哪种特殊的平行四边形，不同的特殊的平行四边形的性质和判定不同.结合各自的特点进行分类，得出最终的结论.3.化归与转化思想要记清和分清平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定，要体会化归思想的应用，如：多边形转化为三角形；平行四边形、梯形及特殊的平行四边形性质的讨论通过对角线转化为全等三角形等.4.注意观察、分析、总结在判断边相等或角相等的问题上，常以平行四边形、梯形及特殊的平行四边形的性质或判定为依据，当条件结论的关系无法找到时，可以通过辅助线将图形适当变化，使条件集中，以便应用条件达到解题的目的，由繁变简，一般与特殊之间的转化.5.四边形知识点间的联系经典例题透析考点一、多边形及镶嵌1．若一个正多边形的角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______.考点：本题考查n边形的角和公式：(n-2)•180°和多边形的外角和是360°.解析：设正多边形边数为n，由题意得：(n-2)•180°=360°×3，解得n=8，∴这个多边形的边数是八边.2．下列正多边形中，能够铺满地面的是( )A、正五边形B、正六边形C、正七边形D、正八边形考点：镶嵌的条件：周角是这种正多边形的一个角的整倍数.思路点拔：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.答案：B3．一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是( )A.四边形B. 五边形C.六边形D.三角形思路点拔：n边形的对角线从一个顶点共引(n-3)条对角线.解析：根据题意列式为n-3=3，∴n=6.故选C.4. 一个同学在进行多边形角和计算时，求得的角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现少了一个角.少了的这个角是_________度，他求的是_________边形的角和.思路点拔：一个多边形的角和能被180°整除，本题角和1125°除以180°后有余数，则少的角应和这个余数互补.解析：设这个多边形边数为n，少算的角度数为x，由题意得：(n-2)•180°=1125°+ x°，∴n=∵n为整数，0°＜x＜180°，∴符合条件的x只有135°，解得n=9.应填135、九.总结升华：多边形根据角或外角求边数，或是根据边数求角或对角线条数等题是重点，只需要记住各公式或之间的联系，并准确计算.举一反三：【变式1】如果一个多边形的每一个角都相等，且每一个角的度数为135°，那么这个多边形的边数为( )A.6B.7C.8D.以上答案都不对思路点拔：在本题可利用外角去求边数，每个外角为45°，外角和是360°，有几个外角就有几条边.解析：∵多边形的每个角度数为135°，∴每个外角为45°又∵多边形外角和为360°，∴边数=360°÷45°=8，故选C.【变式2】多边形的角和随着边数的增加而______，边数增加一条时，它的角和增加_____度.解析：多边形每增加一边，角和就增加180°.答案：增加、180.考点二、平行四边形5. 平行四边形的周长为40，两邻边的比为2：3，则这一组邻边长分别为________.考点：平行四边形的边的性质.思路点拔：掌握平行四边形的对边相等.解析：∵□ABCD中，AB=CD，BC=AD，周长为40∴AB+BC=20，又∵AB：BC=2：3，令AB=2k，BC=3k，∴2k+3k=20，解得k=4，∴这一组邻边长分别为8和12.6. 已知O是□ABCD的对角线交点，AC=24，BD=38，AD=14，那么△OBC的周长等于_______.考点：平行四边形的对角线互相平分.解析：□ABCD中，OC= AC=12，OB= BD=19，BC=AD=14∴△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+14=45.7. 如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是______________.考点：平行四边形的判定.思路点拔：本题可以利用平行四边形的判定中的一组对边平行且相等；也可以利用对角线互相平分来判定等.答案不唯一.条件一：增加的条件为∠AFE=∠CEF.证明：∵∠AFE=∠CEF，∴AF∥CE，∠AFD=∠CEB∵□ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE∴△ADF≌△CBE，∴AF=CE∴四边形AECF是平行四边形.条件二：增加的条件为BE=DF.解法一：可利用SAS证明△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，得AE=CF，AF=CE∴四边形AECF是平行四边形.解法二：连结AC交BD于O□ABCD中，OA=OC，OB=OD∵BE=DF，∴OB-BE=OD-DF，得OE=OF∴四边形AECF是平行四边形.总结升华：借助平行四边形的性质进行线段或角相等的证明，或利用平行四边形的判定条件确定四边形的形状，是考查的重点.举一反三：【变式1】在平行四边形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，如右图，与△ABO面积相等的三角形有( )个.A、1B、2C、3D、4解析：两条对角线分成的四个小三角形面积都相等，等底等高.∴与△ABO面积相等的三角形有△AOD、△COD、△BOC.故选C【变式2】如图，△ABC中∠ACB=90°，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A.求证：四边形DECF是平行四边形.考点：本题要求会综合运用所学的知识证明结论：(1)三角形的中位线性质；(2)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；(3)两组对边分别平行的四边形是平行四形.证明：∵D、E分别是AC，AB的中点，∴CE是△ABC的中位线∴AE= AB，DE∥BC 即DE∥CF∵△ABC中∠ACB=90°，E是AB的中点，∴CE= AB∴CE=AE，∴∠A=∠ECD∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ECD，∴CE∥DF∴四边形DECF是平行四边形.考点三、矩形8．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=8，则矩形对角线的长_________.考点：矩形的性质.思路点拔：掌握矩形的对角线相等,会用一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解析：在矩形ABCD中，AC=BD，OA= AC，OB= BD∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形∴OA=AB=8，∴AC=2OA=16，故应填16.9. 如右图，把一矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处且与AD相交于点O.写出一组相等的线段__________.(不包括和 ).思路点拔：理解折叠前后图形的变化，△BCD≌△BED，也可证出△AOB≌△EOD，找出对应量相等.解析：OD=OB或OE=OA、AB=ED、BE=AD等总结升华：矩形在平行四边形的基础上进一步特殊化，结合矩形的对角线平分且相等，会运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质.举一反三：【变式1】四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判定它是矩形的是( )A.AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°B.AO=CO，BO=DO，AC=BDC.∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D.∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°思路点拔：本题应结合图形去解决，掌握矩形的判定方法.解析：A选项由AB=CD，AD=BC判定是□ABCD，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可得；B选项由AO=CO，BO=DO判定是□ABCD，再利用对角线相等的平行四边形是矩形；D选项由∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC判定是□ABCD，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可得；而C选项却不能判定,举反例如直角梯形.故选C.【变式2】矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为__________.考点：矩形的面积公式思路点拔：在没有图形的题中，画图时应考虑全面，本题体现了分类的思想，被分的两部分长度不确定解析：如图(1)若AE=3，ED=2，则矩形边长分别3和5，面积为15cm2如图(2)若AE=2，ED=3，则矩形边长分别2和5，面积为10cm2则这个矩形面积就为10cm2和15cm2.考点四、菱形10．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC、BD的长分别为5厘米、10厘米，则菱形ABCD的面积为_________厘米2.考点：菱形面积.思路点拔：菱形的对角线互相垂直，面积公式有两个：(1)底乘高；(2)对角线乘积的一半.解：菱形ABCD的面积= AC×BD= ×5×10=25cm2.11．能够判别一个四边形是菱形的条件是( )A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角考点：菱形的判定解析：A选项可判定为矩形；B选项不能判定是平行四边形，∴也不能判定是菱形；C 选项只能判定是平行四边形；D选项由等角对等边和三角形全等得到四条边都相等.故选D.总结升华：菱形在平行四边形的基础上进一步特殊化，菱形的对角线互相垂直，把菱形分成四个全等的直角三角形，常利用这一性质求线段和角，以及菱形的面积.举一反三：【变式1】已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的两个邻角度数分别为 ( )A. 45°，135°B. 60°，120°C. 90°，90°D. 30°，150°思路点拔：菱形的一条对角线与边长相等，则构成等边三角形，从而求出菱形的角度数.答案：B【变式2】如图，已知AD平分∠BAC，DE∥AC， DF∥AB， AE=5.(1)判断四边形AEDF的形状?(2)它的周长是多少?考点：菱形的判定思路点拔：利用一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定方法证明.证明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD∵DE∥AC， DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形，∠CAD=∠ADE∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE∴平行四边形AEDF是菱形.(2)∵平行四边形AEDF是菱形，AE=5∴菱形AEDF的周长=4AE=4×5=20.【变式3】如图，菱形ABCO的边长为2，∠AOC=45°，则点B的坐标为___________.思路点拔：利用数形结合的思想，可先求A点坐标，再向右平移2个单位.解析：过A作AD⊥OC于D，∵∠AOC=45°，OA=2，∴AD=OD= ，∴A( ， )∵AB=2，∴B(2+ ， ).考点五、正方形12．正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A.四个角都是直角B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线相等思路点拔：正方形是满足矩形和菱形的所有性质.∴正方形的对角线互相垂直，而矩形对角线则不一定互相垂直.答案：C.13．如图，以A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可以作( )A.1个B.2个C.3个D.4个思路点拔：本题考查学生解题能力，容易将AB是对角线的情况忽略，而错误的选B.解析：如图，共有3个.14．图中的矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，求这个矩形的长和宽各是多少？思路点拔：本题利用正方形的边长相等，及矩形的对边相等，设某个正方形的边长为x，并用x表示矩形的对这得出相应的方程，求出矩形的长和宽.解：设右下方正方形的边长为，则左下方正方形的边长为 +1，左上方正方形的边长为 +2，右上方正方形的边长为 +3，根据长方形的对边相等可列方程2 + +1= +2+ +3，解这个方程得 =4，∴长方形的长为13，宽为11.总结升华：正方形的性质很多，往往是在判定矩形或菱形的基础上再进一步判定正方形，∴做正方形的问题时，要考虑全面，有选择的运用正方形的知识解题.举一反三：【变式1】下列选项正确的是( )A.四边相等的四边形是正方形B.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.四角相等的四边形是正方形考点：正方形的判定方法.思路点拔：掌握正方形的判定方法要从边、角、对角线各方面考虑.解析：A、C选项能判定是菱形；D选项能判定是矩形；故应选B.【变式2】正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于__cm.思路点拔：本题方法很多，(1)可以利用三角形面积去求：连接PO，△ABO的面积等于△APO和△BPO的面积之和；(2)也可证明矩形PEOF，得PF=EO，再证PE=AE，从而得出结论.总之，P在AB上移动时，点P到AC、BD的距离之和总等于对角线长的一半.解析：PE+PF=OA=8cm【变式3】(1)顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是( )A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形(2)顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形(3)顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形(4)顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形考点：中点四边形的判定由原四边形的对角线决定.思路点拔：规律：顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是平行四边形；顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是菱形；顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形；顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是正方形.答案：(1)A (2)C (3)B (4)D考点六、梯形15．等腰梯形中，， cm， cm，，则梯形的腰长是_________cm.考点：等腰梯形的性质.思路点拔：梯形常作的辅助线是作梯形的高，将梯形分成一个矩形和两个直角三角形；本题也可平移一腰，将梯形分成一个平行四边形和一个等边三角形.解析：过A作AE∥CD交BC于E∵AD∥EC，∴EC=AD=5，AE=CD，∴BE=BC-EC=9-5=4∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∴AB=AE∵∠C=60°，∴△ABE是等边三角形∴AB=BE=4cm，即梯形的腰长是4cm.16. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则此梯形的面积是( )(A)24 (B)20 (C)16 (D)12思路点拔：梯形常作的辅助线还有就是平移对角线，将梯形分成一个三角形以及一个平行四边形.解析：过D作DE∥AC交BC延长线于E，可得CE=AD，DE=AC，∴BE=10，∴△BDE的三边为6、8、10，∴△BDE为直角三角形，∵△ADB和△CED等底等高，∴梯形ABCD的面积等于△BDE的面积.即梯形ABCD的面积=6×8× =24.17．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O.•有下列四个结论：①AC=BD；②梯形ABCD是轴对称图形；③∠ADB=∠DAC；④△AOD≌△ABO.其中正确的是( ).(A)①③④ (B)①②④(C)①②③(D)②③④考点：本题考查的是等腰梯形的性质.答案：C总结升华：解决梯形问题时，辅助线是常用的方法，除上述辅助线之外，还可以延长两腰交于一点，构成三角形；若已知一腰中点，可连结一顶点和这个中点，构成两个全等的三角形.举一反三：【变式1】已知梯形的上底长为3 ，中位线长为6 ，则下底长为______ .考点：梯形的中位线性质.思路点拔：梯形的中位线平行两底，且等于上、下底和的一半.答案：9.【变式2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，∠ABC和∠BCD 互余，若AD=4，BC=10，则EF=_________.解析：过E作EM∥AB，EN∥CD，交BC于M、N，可求MN=BC-AD=10-4=6∵∠ABC和∠BCD互余，可得Rt△MEN，再证EF是Rt△MEP斜边上的中线，可求EF的长= MN= ×6=3.【变式3】已知等腰梯形ABCD，AD∥BC ，E为梯形一点，且 .求证： .思路点拔：利用梯形的性质可证明三角形全等.证明：在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∠BAD=∠CDA∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA∴∠BAD-∠EAD=∠CDA-∠EDA，即∠BAE=∠CDE∴△BAE≌△CDE，∴EB=EC.中考题萃1.(市)(4分)若一个多边形的角和等于720°，则这个多边形的边数是( )A.5B.6C.7D.82.(市)(3分)分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④都可以3.(省襄樊市)(3分)顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是( )A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形4.(市)(3分)如图，在平行四边形中，，为垂足，如果，那么的度数是( )A. B. C. D.5.()(3分)如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是( )A. B.2 C. D.6.(永春县)(3分)四边形的外角和等于__________度.7.如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，则∠CAD的度数是__________°.8.(市)(3分)一幅图案.在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是__________.9.(省宿迁市)(3分)若一个正多边形的角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______.10.(市)(4分)若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则原四边形可能是__________.(写出两种即可)11.(市)(4分)如图，已知平分，，，则 ________.12.(市)(3分)如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是__________.13.(省市)(2分)如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CE BD于E，则__________.14.(省)(3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，AB=6cm，则AE=__________cm.15.(市)(3分)如图，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分的面积是__________.16.()(3分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，AD=6，BC=8，则梯形的高为.17.(市)(3分)如图，四边形ABCD是一矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A 角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=______________度.18.(省市)(3分)如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为________.19.(省宿迁市)(3分)如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_________.20.()(6分)如图，在梯形中，AD∥BC，，，AE⊥BD于E， .求梯形的高.21.(省荆州市)(6分)如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF=DC.22.(市)(5分)如图，在梯形中，，，，，，求的长.23.(省市)(10分)某人定制了一批地砖，每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH.(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？答案与解析1.B2.C3.A4.D5.C6.3607.368.129.八边10.矩形、等腰梯形、正方形、对角线相等的四边形11.3 12.22.5度13.25° 14.6 15.1016.7 17.60 18. 19.520.解：∵AD∥BC，∴∠2=∠3又AB=AD，∴∠1=∠3.∠ABC=∠C=60°∴∠1=∠2=30°在Rt△ABE中，，，∴AB=2作AF⊥BC垂足为F，在Rt△ABF中，∴梯形的高为 .21.证明：∵AD=AE∴∠ADE=∠FED又AD∥BC∴∠ADE=∠DEC∴∠DEC=∠DEF又DF⊥AE，四边形ABCD是矩形∴∠DFE=∠C=90°又DE=DE∴△DEF≌△DEC(AAS)∴DF=DC.22.解法一：如图1，分别过点作于点，于点 ..又，四边形是矩形..在中，，.解法二：如图2，过点作，分别交于点 .，.23.解：(1) 四边形EFGH是正方形.图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF=CG.∴△CEF是等腰直角三角形.因此四边形EFGH是正方形.(2) 设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为y，那么y= x ×30+ ×0.4×(0.4-x)×20+=10(x -0.2x+0.24)=10［(x-0.1)2+0.23］ (0＜x＜0.4).当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1.答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省.。

四边形总复习PPT课件

质和关系。
代数
在代数中，四边形可以被用来解决一些方程和不等式的问题。
数学建模
在数学建模中，四边形可以被用来描述和解决一些实际问题。
在其他学科中的应用
物理学
在物理学中，四边形可以用来描述物体的运动轨迹和力的作用关
系。
工程学
在工程学中，四边形可以用来设计桥梁、房屋和机械等。
计算机科学
在计算机科学中，四边形可以用来描述图像和图形的形状和边界。
03 四边形的面积与周长
面积计算公式
01
矩形
面积 = 长 × 宽
02
平行四边形
面积 = 底 × 高
03
三角形
面积 = (底 × 高) / 2
04
正方形
面积 = 边长 × 边长
周长计算公式
矩形
周长 = 2 × (长 + 宽)
平行四边形
周长 = 2 × (底 + 高)
三角形
周长 = 各边之和
正方形
根据给定的两个相对顶点，画出对角线，然后分别延长线段，使其相交于一点，即可得到平行四边形。
菱形的作图方法
根据给定的两个相对顶点，画出对角线，然后分别延长线段，使其相交于一点，即可得到菱形。
3
正方形的作图方法
根据给定的一个顶点，画出相邻的三条边的长度，然后连接各顶点即可得到正方形。
四边形的趣味问题
四边形的面积计算
01
如何计算一个四边形的面积？可以使用底乘高的一半的方法计
算。
四边形的内角和
02
一个四边形的内角和是多少度？答案是360度。
四边形的外角和
03
一个四边形的外角和是多少度？答案是360度。

四边形综合讲义

四边形综合讲义第一篇：菱形1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形． 4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．中点中点中点平行定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．板块一、菱形的性质【例1】 ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．例题精讲知识点睛PHED C A【例3】如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．【巩固】如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例4】菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（）A ．5B ．10C ．6D ．8【例5】如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例6】如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2D图2DC B A 图1H O DCB A板块二、菱形的判定【例7】如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例8】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．【例9】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBAP M F E D G C B A三、与菱形相关的几何综合题【例10】已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME . ⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【例11】问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．图2AB CDEFG P HP G FE DCB A四、中位线与平行四边形【例12】顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个，其面积为．【巩固】如图，在四边形ABCD 中，AB CD ≠，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还满足的一个条件是，并说明理由．HGFE D CBA【例13】在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD 中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNCB D A【例14】如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD ，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠【例15】如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【例16】如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，BD AC =，BD 和AC相交于点O ，MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF =．FE ONM D CBAPA BDE F G HH G FED CBA1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为EPDCBA3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A第二篇：矩形矩形的性质及判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：课后练习①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．模块一矩形的概念【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）A．对角线相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对边相等模块二矩形的性质【例5】如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果60BAF∠=︒，则DAE∠=FE D CBA【例6】矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则BC ＝______cm，周长为．【例7】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（） A ．2B ．4 C．D．ODC BA【例8】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是．【例9】如图，矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，AE BO ⊥于E ，OF AD ⊥于F ，已知3cm OF =，且:1:3BE ED =，求BD 的长．O FEDCBA模块三矩形的判定【例10】如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例11】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CBA【例12】已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB 交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．321FE D CBA模块四与矩形相关的中档题【例13】已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在矩形ABCD 内时，试求证：PBC PAC PCD S S S =+△△△P ABC DPABCEFD【例14】已知，如图，矩形ABCD 中，CE BD ⊥于E ，AF 平分BAD ∠交EC 于F ，求证：CF BD =．DABCEF 321MO DABCEF、【巩固】如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE =BC ，AB =3，BC =4，点P为直线EC 上的一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ．（1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR +PQ =125（不需证明）．（2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想(2)(1)RQPE DCBAPQR EDCBA第三篇：正方形1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．正方形菱形矩形平行四边形一、正方形的性质【铺垫】正方形有条对称轴．【例1】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例2】如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例3】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【巩固】如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【巩固】如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例4】如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【巩固】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =，B E ⊥DGGC FEDBA【例5】（2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【例6】如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【巩固】如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥. BO D CAQP【例7】如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【例8】把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GC H FED B A。

《四边形》复习课件

特殊四边形的面积与周长计算
菱形面积计算公式：对角线乘积的一半
总结词：理解特殊四边形的特点，掌握其面积与周长的
计算方法
01
02
03
正方形面积计算公式：边长的平方
等腰梯形面积计算公式：上底加下底后乘高再除以2
04
05
等边三角形面积计算公式：边长乘高再除以2
04
四边形的应用
四边形在几何证明中的应用
04 菱形的判定定理包括四边相等
的平行四边形、对角线垂直的平行四边形等。
总结词
掌握面积和周长的计算
05
详细描述
06 掌握菱形的面积和周长的计算
公式，并能灵活运用。
正方形题型解析
总结词
理解特有性质
详细描述
正方形的性质包括四边相等、四个角都是直角等。
总结词
掌握判定定理
详细描述
掌握正方形的面积和周长的计算公式，并能灵活运用。
总结词
熟练运用判定定理
详细描述
掌握平行四边形的判定定理，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等等。
总结词
掌握面积和周长的计算
详细描述
掌握平行四边形的面积和周长的计算公式，并能灵活运用。
矩形题型解析
总结词
理解特有性质
详细描述
矩形的性质包括四个角都是直角、对角线相等且互相平分等。
平行四边形的性质和判定
利用平行四边形的性质和判定定理，可以证明两条直线是否平行或一个四边形是否为平行四边形。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定定理在证明直角三角形和等腰三角形等问题中有着广泛应用。
菱形的性质和判定
菱形的性质和判定定理在证明等腰三角形和等边三角形等问题中有着广泛应用。

四边形复习课课件

提高习题3
请计算四边形的所有内角和外角。
提高习题4
请判断一个四边形是否为中心对称图形，如果是，找出对称
中心。
综合习题
综合习题1
请判断一个四边形是否为特殊的四边形（平行四边形、矩形、菱形或正方形），并给出理由。
综合习题2
请计算一个给定面积的四边形的周长。
综合习题3
请找出给定四边形的所有等腰边和等角，并判断其是否为轴对称或中心对称图形。
详细描述
根据四边形的定义，我们可以直接判断一个图形是否为四边形。只要一个图形由四条线段组成，且每条线段的两个端点都不重合，那么这个图形就是四边形。
角判定法
总结词
通过检查四边形的内角和是否等于360度来判定。
详细描述
四边形的内角和等于360度是一个重要的判定条件。如果一个多边形的内角和等于360度，那么这个多边形一定是四边形。
分。
梯形
梯形的两腰平行或相等，对角线互相平分，梯形的高等于上下底边之
间的距离。
矩形
矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
02
四边形的判定
根据定义判定
总结词
根据四边形的定义，四边形是由四条首尾顺次相接的线段组成的平面图形。
综合习题4
请判断两个给定的四边形是否相似，并给出理由。
THANKS
感谢观看
分类与特点
分类
根据四边形的边长和角度，可以将四边形分为平行四边形、梯形、矩形、菱形等不同类型。
特点
不同类型的四边形具有不同的性质和特点，如平行四边形的对边平行且相等，梯形的对边平行或相等，矩形的四个角都是直角等。

四边形综合复习讲义【重点】

第四章四边形综合知识点：一、平行四边形1、平行四边形（1）平行四边形定义：（2）平行四边形的性质：①②③④对称性（3）平行四边形的判定：①②③④2、菱形（1）菱形定义：（2）菱形的性质：①②③④对称性菱形的面积=（3）菱形的判定：①②③3、矩形（1）矩形定义：（2）矩形的性质：①②③④对称性（3）矩形的判定：①②③4、正方形（1）正方形定义：（2）正方形的性质：①②③④对称性（3）正方形的判定：①②③④二、梯形梯形的分类：（1）等腰梯形定义：（2）等腰梯形性质：①②③④对称性（3）等腰梯形的判定：①②③H GFEDCBAG FE DC BA例题解析：例1、．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。

②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。

其中正确的是（）（A ）①②.（B ）①②③.（C ）②③④ （D ）①②③④。

例2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．例3、如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC 、BD 的平行线，所围成的四边形EFGH 显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD 分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH 一定．．是．“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：（2满．足．怎样的条件？例4、如图所示,ABCD 中,AE,AF 是高,∠BAE=30º,BE=2,CF=1,DE 交AF 于G. (1)求的面积;(2)求△ECD 的面积;(3)求证:△AEG 为等边三角形.例5、矩形ABCD 中，AB=2，AD=．（1）在边CD 上找一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；（2）若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ． ①求证：点B 平分线段AF ；②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．例6、如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；（2）设AP =x , △PBE 的面积为y .求出y 关于x 的函数关系式例7、如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1=∠2=∠3，BD=CD ，∠ADB=90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F ． (1)求证：CD ∥AB ；(2)求证：△BDE ≌△ACE ；(3)若O 为AB 中点，求证：OF=BE ．例8、如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形 ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M 。

八年级数学四边形讲义完整版(共6讲)

八年级数学四边形讲义全面完整版（全六讲）第一讲平行四边形的性质一、【基础知识精讲】1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．用符号“”表示．2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等．(2) 平行四边形的对角相等，邻角互补。

(3) 平行四边形的对角线互相平分．3．两条平行线间的距离：(1) 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2) 两平行线间的距离处处相等．(3)平行线间的平行线段相等．4．平行四边形的面积：(1) 如图12-1-2①，．(（2）同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图12-1-2②，有公共边BC，则．二、【例题精讲】例1（1）已知中，∠A比∠B小20°，那么∠C的度数是_______．（2）在中，周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为_______ _．（3）一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为__________ ．（4）平行四边形邻边长是4 cm和8cm，较短边上的高是5 cm，则另一边上的高是____________．例2．已知：在□ABCD中，过AC与BD的交点O作直线，与BA、DC的两条延长线交于M、N两点，求证：OM＝ON．例3．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.【练一练】1. 已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=_____，∠C=_____，∠D=______．2．在ABCD中：①∠A: ∠B=5:4，则∠A=_______；②∠A+∠C=200°，则∠A=______，∠B=______；3．在□ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则□ABCD的周长等于_______．4. 若平行四边形周长为54，两邻边之比为4:5，则这两边长度分别______________；5. 已知ABCD对角线交点为O，AC=24mm,BD=26mm, 若AD=22mm，则△OBC的周长为_________；【探究与拓展】例1、如图，已知ABCD中，若AD=2AB，AB=BF=AE，则EC与FD垂直，试说明其理由。

《四边形总复习》课件

4 对角线
四边形的对角线连接两个非相邻顶点，并且相互平分。
四边形的分类
平行四边形
具有对边平行的四边形。
矩形
四个内角均为直角的四边形。
正方形
四个边均相等且四个内角均为直角的四边形。
长方形
具有四个直角和对边长度不等的四边形。
四边形的性质
对角线的性质
四边形的对角线相互平分，并且连线的中点可以组成一条对角线。
邻边角的性质
四边形的邻边角互补，即相邻的内角的补角相等。
对顶角的性质
四边形的对顶角相等，即相对的内角相等。
四边形的周长和面积计算
1Leabharlann 周长计算四边形的周长等于四条边的长度之和。
面积计算
2
不同类型的四边形有不同的面积计算
公式，如矩形的面积等于长度乘以宽
度。
3
其他公式
除了常见的四边形，还有特殊的四边形，如菱形、梯形等，它们的面积计算公式也各不相同。
《四边形总复习》PPT课件
四边形是基本的几何形状之一，在这个课件中，我们将深入探讨四边形的定义、特点和分类，并了解四边形的周长、面积计算及应用举例。
四边形的定义和特点
四边形是具有四条边的多边形，有以下特点：
1 四边
四边形由四条边连接而成。
3 对边
四边形的对边平行且相等。
2 内角
四边形的内角总和为360度。
四边形的应用举例
建筑设计
四边形在建筑设计中被广泛应用，如平行四边形的屋顶设计。
艺术创作
四边形可以用于艺术创作，如绘画中的图案设计、立体雕塑等。
纺织品设计
地板设计
四边形图案常用于纺织品设计，如服装、窗帘等。四边形地板砖的设计可以创造独特的视觉效果。

初三四边形复习讲义.学生版

四边形考点一：平行四边形的性质考点二：平行四边形的判定考点三：三角形的中位线考点四：平行四边形的中心对称性考点五：平行四边形的面积考点六：矩形的性质考点七：矩形的判定考点八：直角三角形斜边上的中线考点九：菱形的性质考点十：菱形的判定考点十一：菱形的面积考点十二：正方形的性质及判定考点十三：梯形及梯形常见辅助线考点一：平行四边形的性质【例1】平行四边形ABCD 的周长是28cm ，ABC ∆的周长是22cm ，则AC 的长为（）A.6cmB.12cmC.4cmD.8cm【例2】如图，MBN ∆中，6BM =，点A 、C 、D 分别在MB 、NB 、MN 上，四边形ABCD 为平行四边形，且NDC MDA ∠=∠，则平行四边形ABCD 的周长是（）A.24B.18C.16D.12【例3】如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．当AB AC ≠时，（1）求证：BEF BAC ≌△△ （2）求证：四边形ADFE 为平行四边形．（3）若3AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，求四边形AEFD 的面积．FEDCBA考点二：平行四边形的判定【例4】如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若PE PF =，且AP AE CP CF +=+．求证：四边形ABCD 是平行四边形．【例5】已知如图，四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，E F 、分别是AC BD 、的中点，如果2612AC BF ==，，则EF = ．考点三：三角形的中位线【例6】如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（） A ．2AD BC EF +> B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤（8）（7）（6）【例7】如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点，考点汇总考点精讲 EDBAM N求证：EF 、GH 相互垂直平分【例8】如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，BA 、FE 的延长线交于点M ，CD 、FE 的延长线交于点N ，求证：BMF CNF ∠=∠【例9】已知：如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E 点，若AB ＝5，AC ＝7，求ED ．考点四：平行四边形的中心对称性【例10】在下面所给的图形中，若连接BC ，则四边形ABCD 是矩形，四边形CBEF 是平行四边形．⑴请你在图①中画出两条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等（不写画法）； ⑵请你在图②中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法．【例11】如图所示，在一个平行四边形的纸板上减去一个小的平行四边形的纸片，请用一条直线将剩下的部分平分成两块面积相等的纸板考点五：平行四边形的面积【例12】已知平行四边形ABCD 的面积为4，O 为对角线的交点，则AOB ∆的面积是_________【例13】如图，已知平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥、AF CD ⊥，45EAF ∠=︒、AB =，4AD =，则平行四边形的面积为________考点六：矩形的性质【例14】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若60AOB ∠=︒，4AB =，则AC 的长为_____ 【例15】如图，矩形ABCD ，6AB =，8BC =将BCD ∆沿对角线BD翻折，得到BED ∆，则图中阴影部分的面积为_______ 【例16】如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ED =，EF ED ⊥ 求证：AE 平分BAD ∠【例17】如图，矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，AE BO ⊥于 3cm OF =，且:1:3BE ED =，求BD 的长．【例18】如图，矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分BAD ∠，已知15CAE ∠=︒，则____BOE ∠=【例19】已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在如图①所示位置时，则有结论PBC PAC PCD S S S ∆∆∆=+理由：过点P 作EF BC ⊥，分别交AD 、BC 于E 、F 两点∵11111()22222PBC PAC ABCD S S BC PF AD PE BC PF PE BC EF S ∆∆+=⋅+⋅=⋅+=⋅=矩形且12PAC PCD PAD ABCD S S S S ∆∆++=矩形 ∴PBCPAD PAC PCD PAD S S S S S ∆∆∆∆∆+=++∴PBC PAC PCD S S S ∆∆∆=+请你参考上述信息，当点P 分别在图②、③的位置时，PBC S ∆、PAC S ∆、PCD S ∆又有怎么样的数量关系？请你写出对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明考点七：矩形的判定【例20】如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边上的一动点，过点O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的角平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ⑴求证：EO FO =⑵当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论. 【例21】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．【例22】已知，如图，矩形ABCD 中，CE BD ⊥于E ，AF 平分BAD ∠交EC 于F ，求证：CF BD =．A B CDE F DC FB A①PF E D C B A ②PD C B A③PDCBAON M F E C B A考点八：直角三角形斜边上的中线【例23】如图，在Rt ABC ∆中，BD 为斜边AC 上的中线，若35A ∠=︒，那么______DBC ∠=【例24】如图，两个等腰直角三角形ABC 、CDE ，顶点C 重合，点A 、C 、E 在同一条直线上，F 是BE 的中点，连接AF 、DF 求证：AF DF =且AF DF ⊥考点九：菱形的性质【例25】如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．【例26】如图，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（） A ．35︒ B ．45︒ C ．50︒ D ．55︒【例27】已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．考点十：菱形的判定【例28】如图，平行四边形ABCD 的对角线BD 的垂直平分线与边AB 、CD 分别交于E 、F ，垂足为O求证：四边形DEBF 为菱形【例29】已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？考点十一：菱形的面积【例30】已知菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，面积为S ，则它的边长应为( )【例31】如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为考点十二：正方形的性质及判定【例32】如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为．【例33】如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．【例34】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【例35】如图：正方形ABCD 的边长为6cm ，E 是AD 则PE 的长是 cm ．△PEC 的面积是 2cm . 【例36】如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 【例37】如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B '为条直线折叠，使点B 落在点B '处，点A 的对应点为A 'D N ．⑴求BN 的长；⑵求四边形ABNM 的面积.考点十三：梯形及梯形常见辅助线FP E DC B AH OD C B A EDC B AOF E DCB A B MNB'A'DCBA【例38】如图在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD ⊥CD ，∠C =60°，AD，BC=AB 的长．【例39】如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB AC =，DA DB =，90ADB ∠=︒求BAC ∠的度数．【例40】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90BCD ∠=︒，30B ∠=，E 是BC 上一点，且60CED ∠=，若1AD =、4BE =，求AB 的长．【例41】已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC BD ⊥，12cm AC =，5cm BD =，求该梯形的高．【例42】如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G ，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形【例43】D C BA。

《四边形》全章复习与巩固(基础) 知识讲解

《四边形》全章复习与巩固（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 掌握多边形内角和与外角和公式，灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题.2. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念, 了解它们之间的关系. 掌握它们的性质和判别方法, 并能运用这些知识进行证明和计算.3. 掌握三角形和梯形的中位线定理，并能灵活应用.4. 了解平面向量的概念，能求两个向量的加法和减法运算.【知识网络】【要点梳理】要点一、多边形内角和定理、外角定理n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；多边形的外角和为360°．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 要点二、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行线的性质1.平行线间的距离都相等2.等底等高的平行四边形面积相等要点三、特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.要点四、梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形性质：（1）两底平行，两腰相等；（2）同一底边上的两个角相等；（3）两条对角线相等；（4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴）．面积：2高（上底＋下底）＝梯形 S 等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．（3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形．（4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.综上，解决梯形问题的基本思路：梯形问题分割、拼接转化三角形或平行四边形问题，这种思路常通过平移或旋转来实现．三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.要点五、平面向量平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用,,a b c ……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模），记作|AB |或｜a ｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量.方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量.方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.平面向量的加法：向量加法的三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量. 设,AB a BC b ==，则a b +＝AB BC +＝AC .向量加法的平行四边形法则：如果,a b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，任取一点为公共起点，作两个向量分别和,a b 相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a 与b 的和向量.向量的加法满足交换律a b b a +=+，满足结合律()()a b c a b c ++=++.零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量. a ＝0⇔｜a ｜＝0.00a a a +=+=.平面向量的减法：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.向量减法的三角形法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量.要点诠释：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量.（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：+++++=，但这时必须“首尾相连”．AB BC CD PQ QR AR【典型例题】类型一、多边形1、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形【思路点拨】首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n－2）＝360，解此方程即可求得答案．【答案】A；【解析】解：设此多边形是n边形，∵多边形的外角和为360°，∴180（n－2）＝360，解得：n＝4．∴这个多边形是四边形．【总结升华】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n－2）．类型二、平行四边形2、如图，在ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）又∵DF∥BE（已知）∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF又∵AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】（2016春•江阴市期中）如图，在口ABCD中，AE=CF，M、N分别是BE、DF 的中点，试说明四边形MFNE是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，又∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE=DF，∴M、N分别是BE、DF的中点，∴EM=BE=DF=NF，而EM∥NF，∴四边形MFNE是平行四边形．类型三、特殊的平行四边形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△AND和△CMN中，∵DAC NCA MA MCAMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB ＝ 3cm，BC ＝ 5cm，则重叠部分△DEF的面积是__________2cm．【答案】5.1提示：由题意可知BF＝DF，设FC＝x，DF＝5－x，在Rt△DFC中，222DC FC DF+=，解得x＝85，BF＝DE＝3.4，则DEF1=DE AB2S⨯△＝12×3.4×3＝5.14、（2016•东平县一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【思路点拨】（1）先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD；（2）由邻边相等可判断四边形BGFD是菱形；（3）设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．【答案与解析】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，∴BD=AC，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：由（1）知四边形BGFD是平行四边形，又∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．【总结升华】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质；解答本题的关键是证明四边形BGFD是菱形．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF∴AB＝BC∴四边形ABCD是菱形.5、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE∴△AHE≌△ECF （ASA）∴AE＝EF【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)AC＝BD，理由：如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝12BD，HG＝12AC，得EH＝GH，故四边形EFGH为菱形．(2)AC⊥BD，理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形．易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形．(3)AC＝BD且AC⊥BD，理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．类型四、梯形6、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝7，BC＝12，求∠B的度数．【答案与解析】解：过点A作AE∥DC交BC于E，∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形．∴AD＝EC，AE＝CD．∵AB＝CD＝7，AD＝5，BC＝12，∴BE＝BC－CE＝12－5＝7，AE＝CD＝AB＝7．∴△ABE为等边三角形．故∠B＝60°．【总结升华】梯形问题中所用的辅助线比较多，但其实质是将梯形问题化归为三角形、平行四边形问题来处理，具体做法要根据题目的条件和结论来确定.7、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC 上的点F 处．(1)求EF 的长；(2)求梯形ABCE 的面积．【思路点拨】(1)要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8－EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．(2)直接根据梯形面积公式求解．【答案与解析】解：(1)设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，226810AC =+=．∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即222(8)4x x -=+，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3(2)由(1)得：AE ＝8－3＝5． ∴ ()(58)63922ABCE AE BC AB S ++⨯===梯形．【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．类型五、平面向量7、如图，点E 、F 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上，且EB ＝DF ．（1）填空：BC BA +=________；BA AF +=________；BC AF -=________．（2）求作：BC AF +.【答案与解析】（1）BC BA BD +=；BA AF BF +=；∵BC AD =，∴BC AF FD -=.（2）∵BC AD =，∴BC AF AD AF +=+，即根据平行四边形法则求和向量.图形如下所示：所求AO 为和向量.【总结升华】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法则的熟练掌握．。