概率7-1
高中数学7-1条件概率与全概率公式7-1-2全概率公式新人教A版选择性必修第三册
＝P(APi)P(B(B) |Ai)＝
P(Ai)P(B|Ai)
n
，i＝1，2，…，n.
P(Ak)P(B|Ak)
k＝1
(2)在贝叶斯公式中，P(Ai)和 P(Ai |B)分别称为原因的先验概率和后验 概率．
【预习自测】
全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别是什么？ 提示：两者的最大不同在处理的对象不同，其中全概率公式用来计 算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事 件，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算 条件概率的．
由全概率公式，得
P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝13×15＋14×12＋112 ×130＝1630.
(2)所求概率为 P(B2|A)，由贝叶斯公式，得 P(B2|A)＝P(A|PB(2A)P) (B2)＝141×321＝2165.
60
P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生) 的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识．当有了新的信息(知 道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计．贝叶斯 公式从数量上刻画了这种变化．
3．(题型2)李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮 忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这 几天邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3.假设李老师对邻居不了解， 即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现 花还活着，则邻居记得浇水的概率为________.
【答案】181
【解析】设 B 表示“邻居记得浇水”，－B 表示“邻居忘记浇水”，A 表示“花还活着”，由贝叶斯公式，得 P(B|A)＝P(B)P(AP|B(B)＋)PP(A(－|BB))P(A|－B ) ＝0.5×00..58×＋00..85×0.3＝181.
7-1假设检验的基本概念
故拒绝假设H0, 认为该厂罐头的标准重量不是500 g .
二、假设检验的基本概念
1. 显著性水平
= P{拒绝H0 | H0正确}
数 称为显著性水平. 如：对于例2,
X μ0 当H 0 : μ 500为真时，U ~ N 0,1, σ/ n
P{| U | u / 2 | H 0为真} ,
/ n 我们拒绝 0 ; H
反 之 ， 如 果 u | |
如 果 | u |
| x 0 |
/ 2 , 则 称x与 0 差 异 是 显 著 的则 ,
| x 0 |
/ n
/ 2 , 则 称 x 与 0 差 异 是 不
显著的，则我们接受0 ; H
上述 x与0有无显著差异的判断是 在显著性水平
假设检验的两类错误
真实情况 (未知) H0为真 H0不真 所 接受 H0 正确 犯第Ⅱ类错误 作 决 策 拒绝 H0 犯第I类错误 正确
思考题
请大家思索下列问题:
1. 在假设检验中,用 a和b分别表示犯第一类错 误和犯第二类错误的概率,则当样本容量一定时, 下列说法正确的是（ C ）
（A）a减小b也减小； （B）a增大b也增大； （C）a与b不能同时减少,减少其中一个,另一 个往往就会增大； （D）（A）与（B）同时成立.
n 5, σ 2, x 502.4, μ0 500
当
| x 0 |
/ n
/ 2时, 接 受H 0 .
如：若取定 = 0.05， 则μα / 2 μ0.025 1.96. 3° 在假设 H0成立的条件下，由样本计算
| u | | x 0 |
/ n
2.68 1.96 / 2 0.025 .
7-1-2全概率公式 (教学设计)——高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
（1）设Ω 为该试验的样本空间，记1A = “第一 次摸出红球第二次摸出蓝球”，2A = “第一次摸出红球第二次摸出红球”，它们能组成该试验的样本空间吗？如果不能，请说明理由？ （2）B = “第二次摸出红球”，求事件 B 的概率；设计意图:通过回顾样本空间的概念，为求受多因素影响的复杂事件概率转化为简单的基本事情做铺垫；通过分析复杂事件B 的特征，把受两个因素影响的复杂事件表示为各因素下对应的简单互斥事件之和.变式1：袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2 个蓝球，1个黄球，显然，第1次摸到红球的概率为25. 那么第2次摸到红球的概率是多大？ 变式2：一个箱子中装有a 个红球、b 个绿球、c 个黄球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为aa b c++. 那么第2次摸到红球的概率是多大？分析：用i R 表示事件“第i 次摸到红球”，i B 表示事件“第i 次摸到蓝球”，i Y 表示事件“第i 次摸到黄球”，1,2i =。
事件2R 可按第1次可能的摸球结果（红球、蓝球或黄球）表示为三个个互斥事件的并，即2121212R R R B R Y R =⋃⋃2121212()()()()P R P R R P B R P Y R =++121121121()(|)()(|)()(|)P R P R R P B P R B P Y P R Y =++ 1111a a b a c aa b c a b c a b c a b c a b c a b c -=⨯+⨯+⨯++++-++++-++++-aa b c=++所以，第2次摸到红球的概率是aa b c++.以上证明蕴含着怎样的思想？上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为三个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.123A A A =Ω123123()()()()()P B P A BA BA B P A B P A B P A B ==++设计意图： 采取层进式问题链的方式，由简单到复杂的方法，让学生经历猜想、归纳、证明的过程，有利于发展学生的逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。
德国巴西7-1倍率
德国巴西7-1倍率20xx年第20届巴西世界杯。
在那一次世界杯中，德国以7：1战胜了巴西。
由于当时的巴西是足球强国，几乎没有人相信德国能够赢得巴西，也没人能相信巴西会输的这么惨。
而由于德国战胜巴西是小概率事件，7：1更是小概率事件中的小概率。
大多数人买彩票的时候都买了巴西赢，导致最后的赔率竟然高达了6500倍。
最出名的一个事件就是一个喝醉酒的荷兰人用200欧元买了德国7：1战胜巴西，而根据6500的赔率，他获得了1100万人民币，被国内网友戏称为祖坟上可能放烟花。
而德国7：1巴西也成为了一个民间体育术语专门用来调侃那些不可能的比赛结果。
当然，德国7比1大胜巴西，也造成了世界杯历史上最大的惨案之一。
6500倍的赔率在中国几乎是不可能出现的，而这个赔率在世界历史上也注定会留下浓墨重彩的一笔。
2014年的巴西世界杯可以说是惊呆了所有人的眼球让人印象深刻的还有场外无法接受现实的巴西球迷。
据说当时在打出了7：1的比分后，巴西的球员们在此之后很长一段时间不敢出门恐怕遭受报复。
而后也有专业人士分析了这场足球，认为这场足球输掉其实也是有迹可循的，但就是这个7：1的比分实在是太难看了。
在那场比赛中，内马尔，蒂亚戈·席尔瓦全部缺席，但是总体来说，巴西的后防线上还是聚集了许多足球明星，不应该打出这么惨的比分。
许多人都形容。
巴西在那场比赛中的状态是中蛊了。
在国家主场上，巴西球员竟然能集体陷入一种非常低迷的状态。
更有球迷直呼，这场比赛巴西队是梦游踢得。
本场比赛中，云集了各大足球明星的巴西队竟然打得像一支业余队，让人无法相信，此前巴西是一个以足球著称的国家。
而在巴西球迷中，德国7：1巴西更是成为了一个耻辱性的数字。
与此同时，也有无数的人，从那之后就开始了买进小概率球赛的生涯期待着能再一次出现德国7：1巴西的场景6500倍的赔率真的是让大家大跌眼镜这也是体育彩票出台后一大重大历史事件。
德国7：1巴西从此也成为了一个足坛经典，这一赛事在八年里被大家不断重温，还有不少彩票老哥希望从比赛中找到规律，也能创造出6500倍的奇迹。
人教版高中数学选择性必修第三册7-1-2全概率公式
课前篇·自主预习 检测篇·达标小练
课堂篇·互动学习 课时作业
课前篇·自主预习
知识点 全概率公式
1．一般地，设 A1，A2，…，An 是一组 两两互斥 的事件， A1∪A2∪…
∪An＝Ω
，且 P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有
n
PB＝ PAiPB|Ai
i＝1
.称该公式为全概率公式．
2．利用全概率公式计算概率的难点是什么？
提示：全概率公式中“全”就是总和的含义：每一原因都可能导致 B 发生，故 B 发生的概率是各原因引起 B 发生概率的总和，即事件 B 发生的可能性，就是其原因 Ai 发生的可能性与在 Ai 发生的条件下 B 发生的可能性的乘积之和．具体运用公式时，难 点在于如何选择事件 A1，A2，…，An，一定要把产生结果的原因全找出来，不能遗漏， 并且保证 A1，A2，…，An 为两两互斥事件，选择恰当将会使计算大为简化，若选择不 当，将会影响计算，甚至导致错误．
i＝1
类型二 贝叶斯公式的应用
[例 2] 临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下效果：对癌症患 者进行试验结果呈阳性反应者占 95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者 占 96%，现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居 民总数的 0.4%，求：
(1)试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率； (2)试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率． [思路分析] 根据条件概率和贝叶斯公式即可求出结果．
[变式训练2] 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时，带菌者未必 检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假设P(阳性|带菌)＝0.99，P(阴性| 带菌)＝0.01，P(阳性|不带菌)＝0.05，P(阴性|不带菌)＝0.95，设某人检出阳性， 问：他“带菌”的概率是多少？
人教A版高中数学选择性必修第三册7-1-1条件概率课件
边锋
前卫
中场
出场率
0.5
0.3
0.2
球队胜率
0.6
0.8
0.7
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
解：(1)设A1表示“甲球员担当边锋”； A2表示“甲球员担当前卫”； A3表示“甲球员担当中场”； B表示“球队赢了某场比赛”， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3) ＝0.5×0.6＋0.3×0.8＋0.2×0.7＝0.30＋0.24＋0.14＝0.68， 该球队某场比赛输球的概率为1－P(B)＝1－0.68＝0.32. (2)由(1)知 P(B)＝0.68 ， 所以 P(A2|B)＝PPAB2B ＝0.30×.680.8＝167 ， 所以球员甲担当前卫的概率为167.
则 D＝B∪C 且 B 与 C 互斥． P(A)＝C12CC13＋25 C22＝170， P(AB)＝CC12C52 11＝15， P(AC)＝CC12C52 12＝25， 故 P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝PPAAB＋PPAAC＝67.
[方法技巧] 较复杂事件概率的求法
第七章 随机变量及其分布
7．1 条件概率与全概率公式
(一)教材梳理填空 1．条件概率与概率的乘法公式 (1)条件概率的定义：一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)>0，
PAB 称 P(B|A)＝ PA 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率．
简称条件概率． (2)读法：一般把 P(B|A)读作 在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率． (3)乘法公式：① P(AB)＝ P(A)·P(B|A)．
人教版高中数学选择性必修第三册7-1-1条件概率
[变式训练 3] 在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽出 6 道题，若考生至少 答对其中的 4 道题即可通过；若至少答对其中 5 道题就获得优秀，已知某考生能答 对 20 道题中的 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝CC612600＋CC510C620110＋CC410C620120＝12C162080，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝PPADD＋
C610
C510C110
PPBDD＝PPDA＋PPDB＝12C126080＋12C126080＝1538.
第七章 随机变量及其分布
7．1 条件概率与全概率公式
7．1.1 条件概率
[课标解读]1.通过古典概型的分析，了解条件概率的定义.2.能用求条件概率的 两种方法计算简单随机事件的条件概率.3.了解条件概率与独立性的关系.4.会利用 概率的乘法公式计算概率．
[素养目标] 水平一：掌握求条件概率的两种方法．(逻辑推理)
3．如何判断一个概率问题是否为条件概率问题？
提示：当题目中出现“在……前提(条件)下”等字眼时，一般为条件概率；题目 中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件 概率．
由于样本空间变化，事件 B 在“事件 A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这 个附加条件的概率是不同的．
高中数学7-1条件概率与全概率公式7-1-2全概率公式新人教A版选择性必修第三册
由贝叶斯公式分别可以算得
P(A1|B)＝PA1PPBB |A1＝
PA1PB|A1
4
PAiPB|Ai
i＝1
＝0.3×0.25＋0.2×0.30×.3＋0.205.1×0.1＋0.4×0 ＝0.30×.1405.25≈0.517， P(A2|B)＝PA2PPBB |A2＝0.02.×1405.3≈0.414，
70%
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．
[解析] 用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品 牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则依据已知可得P(A1)＝50%， P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，
且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%. 因 此 ， 由 全 概 率 公 式 有 P(B) ＝ P(A1)P(B|A1) ＋ P(A2)P(B|A2) ＋ P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.
[解析] 设 A 为事件“取得的产品为正品”，B1，B2，B3 分别表示“任 取一件产品是甲、乙、丙生产的”，由题设知 P(B1)＝150，P(B2)＝130，P(B3) ＝120，
P(A|B1)＝0.9，P(A|B2)＝0.8，P(A|B3)＝0.7，
3
所以 P(A)＝P
i＝1
(Bi)P(A|Bi)＝150×0.9＋130×0.8＋120×0.7＝0.83.
1．通过对全概率公式和贝叶斯公式概念的学习，培养数学抽象素 养．
2．借助全概率公式和贝叶斯公式求解概率，提升数学运算和逻辑 推理素养.
必备知识•探新知
知识点 1 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…
高中数学7-1条件概率与全概率公式7-1-1条件概率新人教A版选择性必修第三册
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概 率．
2．结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系． 3．结合古典概型，会利用乘法公式计算概率． 4．能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．
易|错|警|示
混淆条件概率P(A|B)与积事件的概率P(AB) 典例 4 一个盒子中有6支铅笔，4支钢笔，任取两次，每次取一
支，第一次取后不放回，若已知第一支是铅笔，则第二支也是铅笔的概 5
率为__9____. [错解] P＝160×59＝13，即所求概率为13，故填13.
[辨析] 导致上述错误解法的原因： (1)该事件不是相互独立事件，不能套用概率乘法公式； (2)该试验为条件概率模型，应用条件概率公式计算； (3)要正确理解条件概率公式的意义，P(AB)为事件A，B同时发生的 概率，P(A|B)表示在B发生的前提下，A发生的概率．
[规律方法] 应用乘法公式的关注点 1．功能：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的 概率，求事件A与B同时发生的概率． 2 ． 推 广 ： 设 A ， B ， C 为 三 个 事 件 ， 且 P(AB) ＞ 0 ， 则 有 P(ABC) ＝ P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)．
新教材高中数学第7章随机变量及其分布7-1条件概率与全概率公式7-1-1条件概率7-1-2全概率公
5
5×4
5×4×3
=
3
.
5
规律方法
当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个(或多
个)互斥的较简单的事件之和,求出这些较简单事件的概率,再利用
P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)便可求得所求事件的概率.但应注意这个公式
在“B与C互斥”这一前提下才成立.
变式训练2在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,其中有1个红
(2)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条
件发生的概率一般是不相同的.
过关自诊
1.P(B|A)与P(AB)有何区别?
提示 P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小;而P(AB)是
事件AB发生相对于原来的总空间而言,一般P(B|A)≠P(AB).
2.若事件A,B互斥,则P(B|A)是多少?
由题意知
200
P(A)=1 000=0.2,P(B)=1-P(A)=0.8.
因为是不放回抽取,所以
199
200
P(C|A)= ,P(C|B)= .
999
999
由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P只黑球,不放回地每次任取1只,连取2次,则第二
1
9×1
9×8×1
P(A)=P(A1)+P(1 A2)+P(1 2 A3)=10 + 10×9 + 10×9×8
=
3
.
10
(2)设事件 B 表示“最后一位的数字不大于 4”,
则 P(A|B)=P(A1∪(1 A2)∪(1 2 A3)|B)
1
4×1
概率论与数理统计(王明慈第二版)第2章随机变量及其分布7-1节
D
1
dx
1 x e( x y)dy.
00
y
1
x y1
1e xdx 1 x e ydy
0
0
D
0
1x
1e x (e y )1 x dx
0
0
1e x (1 ex1) dx 1(e x e1) dx
0
0
1 2e1 0.2642
4/4/2020
26
例 4 设二维随机变量X， Y 的密度函数为
x 0
y 0
f (u, v) du dv,
x 0, y 0,
0,
其他.
x 0
y e(uv) dudv,
0
x 0, y 0,
0,
其他.
(1
e
x
)(1
e
y
),
0,
x 0, y 0, 其他.
4/4/2020
25
(2) P{(X ,Y ) D} p( x, y)dx dy.
4/4/2020
18
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 … pi1 …
y2 p12 p22 … pi2 …
……
…… ……
y j p1 j p2 j … pij …
其中 pij满足： (1) pij 0, (i, j 1,2, );
(2) pij 1.
i1 j1
4/4/2020
预备知识回顾 二重积分的计算法
4/4/2020
1
利用直角坐标计算二重积分
被积函数 f (x, y) 且在积分区域D上连续时,
若D为 X - 型区域
y y 2(x)
则
8-7-1统计与概率.题库学生版
1. 能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题.2. 运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3. 理解和运用概率性质进行概率的运算知识点说明在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右．这里的“大量重复”是指多少次呢？历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在0.5这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，0.5恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，0.5就是抛掷硬币时出现正面的概率．这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将频率作为概率的近似值．在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体。
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
样本中个体的数目叫做样本的容量。
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，把样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
概率的古典定义： 如果一个试验满足两条： ⑴试验只有有限个基本结果：⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的． 这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()mP A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．相互独立事件：()()()P A B P A P B ⋅=⋅事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．公式含义：如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发知识点拨教学目标8-7概率与统计生的概率之积．举例：⑴明天是否晴天与明天晚餐是否有煎鸡蛋相互没有影响，因此两个事件为相互独立事件.所以明天天晴，并且晚餐有煎鸡蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎鸡蛋的概率.⑵第一次抛硬币掉下来是正面向上与第二次抛硬币是正面向上是两个相互独立事件．所以第一次、第二次抛硬币掉下来后都是正面向上的概率等于两次分别抛硬币掉下来后是正面向上的概率之积，即111P=⨯=.224⑶掷骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某个数字向上是两个相互独立的事件，如果骰子掉在桌上的概率为0.6，那么骰子掉在桌上且数字“n”向上的概率为1⨯=．0.60.16例题精讲【例 1】（2007年“希望杯”二试六年级)气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是．①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【巩固】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．【例 2】在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）25 21 23 25 27 29 25 28 30 2926 24 25 27 26 22 24 25 26 28请填写下表【例 3】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【例 4】有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张。
高中数学7-1条件概率与全概率公式7-1-2全概率公式课后提能训练新人教A版选择性必修第三册
第7章 7.1.2A 级——基础过关练1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( )A ．35B ．1949C ．2049D ．25【答案】D 【解析】设A ＝{第一个人取到黄球}，B ＝{第二个人取到黄球}，则P (B )＝P (A )(B |A )＋P (A )P (B |A )，由题意知P (A )＝2050，P (A )＝3050，P (B |A )＝1944，P (B |A )＝2049，所以P (B )＝2050×1949＋3050×2049＝25.2．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量占全厂产量的25%,35%,40%，而且各车间的次品率依次为5%,4%,2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那它由甲车间生产的概率约为( )A ．0.013B ．0.362C ．0.468D ．0.035【答案】B3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )A ．0.012 3B ．0.023 4C ．0.034 5D ．0.045 6 【答案】C 【解析】由全概率公式，得所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋子，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( )A ．512B ．37C ．2041D ．2141【答案】D 【解析】设A ＝{取得红球}，B 1＝{来自甲袋}，B 2＝{来自乙袋}，则P (B 1)＝P (B 2)＝12，P (A |B 1)＝610，P (A |B 2)＝814，由贝叶斯公式得P (B 1A )＝P B 1P A |B 1B 1P A |B 1＋P B 2P A |B 2＝12×61012×610＋12×814＝2141. 5．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( )A ．14B ．12 C ．25 D ．35【答案】B6．两台机床加工同样的零件，它们常出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起，设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为________．【答案】7375 【解析】第一台机床加工的零件比第二台多一倍，那么第一台机床生产的零件占据总零件的比例是23，第二台机床生产的零件占据总零件的比例是13，由全概率公式，得所求概率为(1－0.03)×23＋(1－0.02)×13＝7375.7．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A 表示“试验反应为阳性”，以B 表示“被诊断者患有癌症”，则有P (A |B )＝0.95，P (A －|B )＝0.95，现对自然人群进行普查，设被实验的人患有癌症的概率为0.005，则P (B |A )＝________(保留两位有效数字)．【答案】0.087 【解析】P (A |B )＝1－P (A |B )＝1－0.95＝0.05，被试验的人患有癌症概率为0.005，就相当于P (B )＝0.005，由贝叶斯公式，得P (B |A )＝P B P A |BP B P A |B ＋PBP A |B＝0.005×0.950.005×0.95＋0.995×0.05≈0.087. 8．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知道是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为________．【答案】38 【解析】设事件A 表示从箱中任取2件都是一等品，事件B i 表示丢失的为i等品，i ＝1,2,3，那么P (A )＝P (B 1)·P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝12×C 24C 29＋310×C 25C 29＋210×C 25C 29＝29.所以P (B 1|A )＝P B 1P A |B 1P A ＝38.9．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13，求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．解：用A 1，A 2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的事件，则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥，B ⊆Ω.由题意知P (A 1)＝58，P (A 2)＝38，P (B |A 1)＝35，P (B |A 2)＝13.由全概率公式可知P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＝58×35＋38×13＝12. 10．有三个箱子，分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球， 3号箱装有3个红球．某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率．B 级——能力提升练11．某试卷只有1道选择题，但有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为14，不知道正确答案而猜对的概率为16.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为( )A ．14 B ．119 C ．1116D ．1924【答案】B 【解析】设A ＝{不知道正确答案}，B ＝{猜对此题}，则P (A )＝14，P (A )＝1－14＝34，P (B |A )＝16.∴P (A |B )＝P A P B |A P A P B |A ＋PAP B |A＝14×1614×16＋34×1＝119. 12．甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有1个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任取一球．(1)已知从甲箱中取出的是白球的情况下，从乙箱也取出的是白球的概率是________； (2)从乙箱中取出白球的概率是________．【答案】25 825【解析】设A ＝“从甲箱中取出白球”，B ＝“从乙箱中取出白球”，则P (A )＝35，P (A )＝25，P (B |A )＝25，P (B |A )＝15，利用全概率公式，得P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )＝35×25＋25×15＝825.13．设袋中装有10个阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，求没人抓得有物之阄的概率．解：设A ，B 分别为甲、乙抓得有物之阄的事件． ∴P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B )P (A |B ) ＝210×19＋810×29＝15， P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )＝210×19＋810×29＝15. ∴1－P (A )－P (B )＝1－15－15＝35.C 级——探究创新练14．盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率．解：设A ＝{第一次抽出的是黑球}，B ＝{第二次抽出的是黑球}． 由全概率公式，得P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)．由题意P (A )＝ba ＋b，P (B |A )＝b ＋c a ＋b ＋c ，P (A －)＝a a ＋b，P (B |A －)＝b a ＋b ＋c.所以P (B )＝b b ＋ca ＋b a ＋b ＋c ＋ab a ＋b a ＋b ＋c ＝ba ＋b.。
高中数学选择性必修三 数7 1 1 条件概率教学设计
7.1.1 条件概率本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主本节课主要学习条件概率.学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型、几何概型）已经有所了解。
条件概率是学生接触到的又一个全新的概率模型。
一方面，它是对古典概型计算方法的巩固，另一方面，为后续研究独立事件打下良好基础。
这一概念比较抽象，学生较难理解。
遇到具体问题时，学生常因分不清是P （B |A ）还是P （AB ）而导致出错。
基于此，在本节的教学中，应特别注意对于条件概率概念的生成，借助图示形象直观地展现条件概率概念的生成过程。
重点：运用条件概率的公式解决简单的问题 难点：条件概率的概念多媒体AB ，包含了样本点数n (AB )=16.根据古典概型知识可知：P （B|A ） =n(AB)n(A)=1630=815.问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩,则样本空间Ω={bb,bg,gb,gg },且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择家庭中有女孩” ，B 表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩” ，A ={bg,gb,gg }, B ={gg }.（1） 根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率 P(B) =n(B)n(Ω)=14.（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A 发生的条件下，事件B 发生” 的概率，记为P （B|A ） ，此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB ，根据古典概型知识可知 P （B|A ） =n(AB)n(A)=13.分析：求P （B|A ）的一般思想因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的样本空间为A.因为在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生，即AB 发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率 P （B|A ） =n(AB)n(A).为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W ，则有A A B问题1. 如何判断条件概率?题目中出现“在已知……前提下关键词,表明这个前提已成立或条件已发生问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么P（AB）=P（A）P（B|A）.我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P（A）>0，则（1）P（Ω|A）=1；（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P （C | A）；（3）设B和B̅互为对立事件，则P（B̅|A）=1−P（B|A）.三、典例解析例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。
高中数学第七章随机变量-1条件概率与全概率公式7-1-2全概率公式探究导学新人教A版选择性必修第三册
本题条件不变,现不放回地从中取产品三次,每次一件,求第三次取得正品的概率.
【解析】记Ai={第i次取得正品},i=1,2,3,
则A3=A1A2A3+1 A2A3+A12 A3+1 2 A3,
所以P(A3)=P(A1A2A3+1 A2A3+A12 A3+1 2 A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2)+
出的这个“青团”是肉松馅的概率.
【解析】(1)从甲箱中任取2个“青团”的事件数为C72 =21,
这2个“青团”馅不同的事件数为C31 C41 =12,
12 4
所以这2个“青团”馅不同的概率为P= = .
21 7
(2)设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’,取出的这个‘青团’是肉松馅”,事件B1为“从甲箱中取出的
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课堂素养达标
1.市场上某种商品由三个厂家同时供应,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙、
丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,则市场上该商品的次品率为
(
)
A.0.035
B.0.05
C.0.025
D.0.075
【解析】选C.设Ai表示取到第i个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,由题意得:
团”之称大约始于唐代,已有1000多年的历史.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观
均相同的“青团”,已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”,乙箱中
有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”.
(1)若从甲箱中任取2个“青团”,求这2个“青团”馅不同的概率;
(2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中,然后再从乙箱中任取1个“青团”,求取
【思维导引】用A表示“取到的是一只次品”,Bi表示“所取到的产品是由第i家制造
高中数学7-1条件概率与全概率公式7-1-1条件概率课后提能训练新人教A版选择性必修第三册
第7章 7.1.1A 级——基础过关练1．已知A 与B 是两个事件，P (B )＝14，P (A |B )＝12，则P (AB )等于( )A ．13 B ．14 C ．38 D ．18【答案】D2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．1 【答案】B 【解析】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是13.3．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，则P (B |A )等于( )A ．112B ．14C ．29D ．23【答案】C 【解析】由题意事件A 包含的基本事件是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，在A 发生的条件下，事件B 包含的基本事件是{1,3}，{3,1}共2个，所以P (B |A )＝29.4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，则P (A |B )和P (B |A )分别等于( )A ．13，25B ．23，25C ．23，35D ．12，35【答案】C 【解析】P (A |B )＝P AB P B ＝0.120.18＝23，P (B |A )＝P AB P A ＝0.120.2＝35.5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A “取到的2个数之和为偶数”，事件B “取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A ．18 B ．14 C ．25D ．12【答案】B 【解析】P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率的计算公式得P (B |A )＝P ABP A ＝11025＝14. 6．若P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )＝________.【答案】215 【解析】P (AB )＝P (B |A )P (A )＝13×25＝215.7．某气象台统计，该地区下雨的概率为415，既刮四级以上的风又下雨的概率为110.设事件A 为该地区下雨，事件B 为该地区刮四级以上的风，则P (B |A )＝________.【答案】38 【解析】由题意知P (A )＝415，P (AB )＝110，故P (B |A )＝P ABP A ＝110415＝38.8．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________．【答案】0.72 【解析】记“种子发芽”为事件A ，“种子长成幼苗”为事件AB (发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，又P (A )＝0.9，故P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.72.9．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79.(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球有x 个，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，解得x ＝5，即白球的个数为5.(2)令“第2次取得白球”为事件B ，“第1次取得黑球”为事件C ，则P (BC )＝C 15·C 15C 110·C 19＝2590＝518，P (B )＝C 15·C 15＋C 15·C 14C 110·C 19＝25＋2090＝12.故P (C |B )＝P BCP B ＝51812＝59. 10．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．解：设事件A 表示“选到第一组学生”，事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝14.(2)方法一 要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝415.方法二 P (B )＝1540＝38，P (AB )＝440＝110，∴P (A |B )＝P AB P B ＝415.B 级——能力提升练11．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红球，5个黄球，10个绿球，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A ．56 B ．34 C ．23D ．13【答案】C 【解析】在已知取出的小球不是红球的条件下，问题相当于从5黄10绿共15个小球中任取一个，求它是绿球的概率，∴p ＝1015＝23.12．将三颗骰子各掷一次，设事件A 表示“三个点数都不相同”，B 表示“至少出现一个6点”，则概率P (A |B )等于( )A ．6091B ．12C ．518D ．91216【答案】A 【解析】因为P (A |B )＝P AB P B ，P (AB )＝C 13C 15C 1463＝6063＝60216，P (B )＝1－P (B －)＝1－5363＝1－125216＝91216.所以P (A |B )＝P ABP B ＝6021691216＝6091.13．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A ．119B ．1738C ．419D ．217【答案】D 【解析】设事件A 表示“抽到2张都是假钞”，事件B 为“2张中至少有1张假钞”，所以“抽到第2张也是假钞”为P (A |B ). 而P (AB )＝P (A )＝C 25C 220＝119，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220＝1738.∴P (A |B )＝P AB P B ＝217. 14．有5瓶墨水，其中红色1瓶，蓝色、黑色各2瓶，某同学从中随机任取2瓶，若取得的2瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为( )A ．710B ．67C ．25D ．15【答案】B 【解析】设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C 且B 与C 互斥，又P (A )＝C 12C 13＋C 22C 25＝710，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝P AB P A ＋P AC P A ＝67.15．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率为________．【答案】9599 【解析】在第一次抽到次品的情况下，第二次抽取时有99件产品，其中次品4件，正品95件，故第二次抽取正品的概率为9599.16．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为________．【答案】59【解析】设第一支是好晶体管为事件A ，第二支是好晶体管为事件B ，则P (A )＝610＝35，P (AB )＝P (A )·P (B )＝35×59＝13，则P (B |A )＝1335＝59. 17．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A ，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB ．(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n (Ω)＝A 26＝30，根据分步计数原理n (A )＝A 14A 15＝20，于是P (A )＝n A n Ω＝2030＝23.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 于是P (AB )＝n AB n Ω＝1230＝25.(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P ABP A ＝2523＝35.方法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝20， 所以P (B |A )＝n AB n A ＝1220＝35.C 级——探究创新练18．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：降水量X X ＜300300≤X ＜700700≤X ＜900X ≥900工期延误天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7，又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P 300≤X ＜900P X ≥300＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.。
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一、离散型随机变量的数学期望
32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 1、概念的引入： 17天每天出两件废品; 某车间对工人的生产情况进行 21天每天出三件废品;
考察. 车工小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量. 如何定义X 的平均 值呢？ 若统计100天,可以得到这100天中每天的平均废品数 为，
|
1 注: (a b)是[a , b]的中点，即均匀分布的期望值 2
是a，b的平均值.
例：X 服从指数分布,
求E ( X ), E ( X ).
E ( X ) xe
0 x 0
2
e f ( x) 0
x
x
x0 x0
dx xde
e e
例:设 X 的分布律如下, 求EX , EX .
X p X2 p 0 1 2
2
1/4 1/4 1/2
0 1
1 1 1 1 EX 0 1 2 1 4 4 2 4
1 1 1 1 EX 0 1 4 2 4 4 2 4
2
４ 1/2
2
1 z 2, dxdy 1 . D 4
f Z ( z ) FZ ( z )
.
2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及 其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布， 那么X 的全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较 难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不 需要知道随机变量的一切概率性质，只要知 道它的一些综合指标就够了.比如分布的中心 位置，散布程度等，将这些称为数字特征。
xe x (1 y ) x 0, y 0 f (x, y ) = , 0 其他 求Z = XY 的 概率密度.
FZ ( z ) P ( XY z ) z 0, FZ ( z ) 0;
z
xy z
f ( x , y )dxdy
z 0, FZ ( z )
E ( X ) x k pk
k 1
32 30 17 21 也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝 0 1 2 3 1.27 100 .数学期望简称期望、均值。 100 100 100 对收敛的级数的和
随机变量的数学期望是随机变量的取值以概率为权 的加权平均。
在经济管理中，Ex也经常表现为正常生产
可概括为 , x i f i , 其中x i 为不同的废品件数 (0,1,2,3),
i
32 30 17 21 0 1 2 3 1.27 100 100 100 100
32 30 17 21 f i 为取值x i 的频率( , , , ) 100 100 100 100
y y exp( )dy 2 2 2
1
1
2
o
μ
x
二维随机变量( X , Y )的函数的数学期望 : ( X , Y )为离散型：E ( g( x , y )) g( xi , y j ) pij ,
ij
g( x , y ) p
i j ij
ij
( X , Y )为连续型：E ( g( x , y ))
1/4 1/4
设X是一个随机变量，Y=g(X)，则
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk ,
k 1
要求: " g( xk ) pk "
k 1
补充题: 某射击队共有9名队员，技术不相上下，每人射 击中靶的概率均为0.8，各自打中靶为止，但限
制每人最多打3次，问大约要为他们准备多少发
在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是
数学期望和方差
定义1 设X 是离散型随机变量，它的分布律 是:P(X=xk)=pk , k =1,2,… 如果 x k p k 绝对收敛,定义X 的数学期望
k 1
Expectation
k 1
x k p k 收敛
Ex =10×0.1+11×0.2+12×0.4+13×0.2+14×0.1 =12. 即Ex = 12，这表明生产是正常的，而且表明12mm 正是大家的期望，这也是期望名称的由来. 随机变量的数学期望是个实数，与随机变量有相同 的单位.数学期望反映了随机变量取值的平均水平，它
的统计意义是对随机变量进行大量观测后得到的理论
0 0
0
x
x y 1 0
1 EX= xf ( x, y)dxdy dx x 2dy 3 1 1 x 0 0 1 E(-3X+2Y)= dx 2(3x 2 y)dy 3 1 x 1 0 0 1 EXY= xyf ( x, y)dxdy dx x 2 ydy 12 1 1 x
f ( xi )( xi 1 xi )
f ( xi )xi
小区间 [xi, xi+1)
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi , xi+1)中的 值可以用 xi 来近似代替.
pi )xi 取值xi的离散型 因此 X 与以概率 f ( x 近似,该离散型随机变 量的数学期望是
阴影面积 近似为
1.24
E (x ) Ex E
二、连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x), 在数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落 在小区间[xi , xi+1)的概率是
x
xi 1
i
f ( x )dx
阴影面积 近似为 f ( x i )x i
习题六12题
设 ( X , Y )在正方形区域D上服从均匀分布， D : x 0, y 0. x 2, y 2，求X Y 的分布 函数和概率密度. 1 f ( x, y) 4 0 0 x 2, 0 y 2 其他
2-(-z) 2
D
2
,
FZ ( z ) P ( X Y z ) f ( x , y )dxdy z 2, f ( x , y ) 0, FZ ( z ) 0; 2 z 0,
x 0
E ( X ) x f ( x )dx
xe
e
0
x
1 dx .
E ( X 2 ) x 2 e x dx x 2 de x
0
x e
2
x 0
2 xe
0
0
x
2 dx 2
0
dx xe x (1 y )dy
0 z
x
0
dx[ e x
0
x
e xy d ( xy )]
0
(1 e z )e x dx
1 e z e z (z) Z = XY 的 概率密度: f Z ( z ) FZ 0 z0 其他 ,
例：X ~ N ( , )，求E ( X ).
2
E ( X ) x f ( x )dx
( x )2 解：E ( X ) x exp( )dx 2 2 2 x 1 y2 设 y EX ( y ) exp( )dy 2 2 2 1 y f ( x) exp( )dy 2 2 1
也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的积分. 同于离散型,
Y g ( X )，E ( g ( X )) 要求
g ( x ) f ( x )dx ,
g ( x ) f ( x )dx .
例
（均匀分布的期望值）设 x 在区间[a , b]上服从
g( x, y ) f ( x, y )dxdy,
g ( x , y ) f ( x , y )dxdy
例 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴， y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 y 求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
2, ( x, y ) A 解： f ( x, y ) 0, 其它；
P(X=k)= 1/n , k
n
n n1 1 1 P ( X 2 ) , n n1 n n1 n 2 1 1 P ( X 3) =1,2,…, n n n1 n 2 n
1 1 (1 n)n n 1 E(X) k n n 2 2 k 1
均匀分布，求 x 的期望值. 解 由于 x 的概率密度函数为
1 f ( x) b a 0
a, b x [a b]
其他
则由公式 Ex
x f ( x )dx 得 x
2 2 b 1 1 b b a ab 1 2 Ex a x b a dx b a 2 x a 2(b a ) 2 .
x f·( x )x
i i i
f ( xi )xi
i
这正是
x f ( x )dx
小区间[Xi, Xi+1)
的渐近和式.
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函 数为 f (x),如果
| x | f ( x )dx
有限,定义X的数学期望为
E ( X ) x f ( x )dx