考点42 椭圆——2021年高考数学专题复习讲义

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2021高考数学复习专题椭圆 (文精讲)

专题9.5 椭圆【考情分析】1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．3.了解椭圆的简单应用．4.理解数形结合的思想. 【重点知识梳理】知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集．知识点二椭圆的标准方程和几何性质【知识必备】1．焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|.(1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； (2)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．2．焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的∈PF 1F 2叫做焦点三角形，∈F 1PF 2＝θ，∈PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中(1)当P 为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a .4．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则(1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.【典型题分析】高频考点一椭圆的定义及其应用【例1】（2020·山西平遥中学模拟）已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 【方法技巧】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求||PF 1·||PF 2，通过整体代入可求其面积等．【变式探究】（2020·吉林长春外国语学校模拟）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若∈AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1 高频考点二椭圆的标准方程【例2】【2019·全国Ⅰ卷】已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若，，则C 的方程为（）A ．B ．C ．D ．【方法技巧】(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．(2)待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．【变式探究】（2020·江苏淮阴中学模拟）已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为．121,01,0F F -()，()22||2||AF F B =1||||AB BF =2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=高频考点三椭圆的几何性质【例3】【2019·北京卷】已知椭圆2222 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.14【方法技巧】(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围、离心率的范围等不等关系．(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．(3)求椭圆离心率的方法：①直接求出a ，c ，从而求解e ；②构造a ，c 的齐次式，解出e ，由a ，c 的二元齐次方程，转化为关于e 的一元二次方程求解；③通过特殊值或特殊位置，求出离心率．【变式探究】(2018·全国卷∈)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1∈PF 2，且∈PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－3 C.3－12D.3－1高频考点四直线与椭圆的位置关系【例4】（2020·浙江效实中学模拟）过点M (－4,4)作椭圆x 24＋y 23＝1的切线，切点N 在第一象限，设椭圆的左焦点为F ，则直线NF 的斜率为．【变式探究】（2020·江西上高二中模拟）若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ＞1B ．m ＞0C ．0＜m ＜5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5高频考点五直线与椭圆相交的弦长问题【例5】(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．【变式探究】（2020·广西南宁三中模拟）椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且∈ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求∈ABF 2的面积．高频考点六弦中点问题【例6】（2020·福建师大附中模拟）已知椭圆x 29＋y 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x ＋y －5＝0B ．9x －y －4＝0C ．x ＋9y －5＝0D ．x －9y ＋4＝0【方法技巧】处理中点弦问题常用的两种方法 (1)点差法设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．【变式探究】（2020·四川彭州中学模拟）焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为．专题9.5 椭圆【考情分析】1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程．2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．3.了解椭圆的简单应用．4.理解数形结合的思想. 【重点知识梳理】知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集．知识点二椭圆的标准方程和几何性质【知识必备】1．焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|.(1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； (2)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．2．焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的∈PF 1F 2叫做焦点三角形，∈F 1PF 2＝θ，∈PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中(1)当P 为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a .4．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则(1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.【典型题分析】高频考点一椭圆的定义及其应用【例1】（2020·山西平遥中学模拟）已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 【答案】D【解析】由题意得|P A |＝|PB |，∈|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∈点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∈b ＝2， ∈动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D【方法技巧】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求||PF 1·||PF 2，通过整体代入可求其面积等．【变式探究】（2020·吉林长春外国语学校模拟）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若∈AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1 【答案】D【解析】由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以∈AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D 。

2021年北京市高考数学专题复习：椭圆(含答案解析)

2021年北京市高考数学专题复习：椭圆
1．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=√3
2，已知点P(0，3
2
)到椭圆的最远
距离是√7，求椭圆的标准方程．
2．设b＞0，椭圆方程为x2
2b2+
y2
b2
=1，抛物线方程为x2＝8（y﹣b）．如图所示，过点F（0，
b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
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新高考数学复习基础知识专题讲义43 椭圆(解析版)

新高考数学复习基础知识专题讲义知识点43 椭圆知识理解一．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.二．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大. 三．椭圆的几何性质－a≤x≤a －b≤x≤b四．直线与椭圆的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．五．弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|=(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； ②|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)=⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 考向一椭圆的定义及应用考向分析【例1-1】（2021·全国课时练习）下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点12(1,0),(1,0)F F -，则满足|PF 1|＋|PF 2|的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹为椭圆. 【答案】②【解析】①中，因为12(1,0),(1,0)F F -，可得122F F =2，所以点P 的轨迹不存在；②中，因为12124PF PF F F +==，所以点P 的轨迹是线段12F F ；③中，由定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线，即0x =. 故答案为：②【例1-2】．（2021·上海市奉贤中学）若过椭圆2211612y x +=上焦点1F 的直线交椭圆于点A ，B ，2F 为椭圆下焦点，则三角形2F AB 的周长为___________. 【答案】16【解析】在椭圆2211612y x +=中，4a =由椭圆的定义得12122,2AF AF a BF BF a +=+=所以12124,AF AF BF BF a +++=即22+416AF BF AB a +== 故答案为：16【例1-3】（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已如12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P是椭圆上一点，1234PF PF =，则12PF F △的面积等于（）A ．24B ．26C ．．【答案】A【解析】由椭圆方程可得焦点在y 轴上，7a =，b =5c ==，由椭圆定义可得12214PF PF a +==，又1234PF PF =，则可解得128,6PF PF ==，12210F F c ==，满足2221212PF PF F F +=，则12PF PF ⊥，121212186242PF F PF P SF ⋅=⨯⨯∴==.故选：A. 【举一反三】1．（2021·广西桂林市）设P 是椭圆2222143x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两焦点距离之和为_____.【答案】8【解析】由2222143x y +=，得4a =，由椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为28a =.故答案为：82．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆2224x y +=上一点P 到其左焦点F 的距离为1，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（） A ．3B ．32C ．1D ．12【答案】B【解析】易知椭圆的标准方程为22142x y +=．设椭圆的长轴长为2a ，则2a =，设椭圆的右焦点为1F ，连接1PF ，则由椭圆的定义得123PF a PF =-=．在1PFF 中，易知OM 为1PFF 的中位线，所以11322OM PF ==，故选：B ． 3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）已知P 是椭圆22193x y +=上的任意一点，若12PF =，则2PF =___________. 【答案】4【解析】由椭圆的方程22193x y +=知：3,a b ==，由椭圆的定义知：1226PF PF a +==，12PF = 所以2164PF PF =-= 故答案为：44．（2021·陕西安康市）已知点(3,A -，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，则||||PB PA -的最大值为___________.【答案】2【解析】由椭圆22:143x y C +=，可得2,1a b c ===，设右焦点为()'1,0F -，因为P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，所以'||||1||||12||||PB PA PF PA a PF PA -≤+-=+--()'5||||PF PA =-+，3PF PA AF +≥=''=，当且仅当',,A P F 共线时取等号，()52PB PA PF PA -≤-+≤'，故答案为：2.5．（2021·全国课时练习）已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △的面积是______.【解析】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =由椭圆的定义可得1224PF PF a +==，12F F = 在12F PF △中，1260F PF ∠=，由余弦定理可得()22221212121212122cos603F F PF PF PF PF PF PF PF PF ==+-⋅=+-⋅12163PF PF =-⋅，解得1243PF PF ⋅=，因此，121213sin 602PF F S PF PF =⋅=△故答案为：考向二椭圆的标准方程【例2-1】（2021·全国单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（）A ．221167x y +=B ．221167y x +=C ．2212516x y +=D ．221259y x +=【答案】B【解析】∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．∵28,a ==∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为221167y x +=．故选：B ．【例2-2】（2021·黑龙江大庆市）已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】D【解析】依题意程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆列不等式，所以2120k k ->->，解得12k <<，所以实数k 的取值范围是()1,2.故选：D 【举一反三】1．（2021·全国课时练习）经过点P (3，0)，Q (0，2)的椭圆的标准方程为（）A ．22194x y +=B ．22194y x +=C ．22194x y -=D ．22194y x -=【答案】A【解析】依题意可知3,2a b ==且椭圆焦点在x 轴上，故椭圆方程为22194x y+=.故选：A2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A ．(0，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1) 【答案】D【解析】因为方程222x ky +=，即22122+=x y k表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22>k，即01<<k ，所以实数k 的取值范围是(0,1)．故选：D ．3．（2021·湖南岳阳市·岳阳一中）椭圆221y x k+=的一个焦点是(，那么k =（）A ．6-B ．6C1D．1【答案】B【解析】因为椭圆221y x k+=上的一个焦点为，在y 轴上，所以1k >，所以15k -=则6k =.故选：B4．（2021·浙江丽水市）“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为曲线2211x yt t +=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件.故选：B考向三直线与椭圆的位置关系【例3】（2021·全国课时练习）已知椭圆2241x y +=与直线y x m =+有公共点，则实数 m 的取值范围是 _______ .【答案】m ≤≤【解析】由2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得225210x mx m ++-=．因为直线与椭圆有公共点，所以()2242010m m ∆=--≥，即254m ≤，解得m ≤≤．故答案为：m ≤≤．【举一反三】1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．【答案】 [1,5)∪(5，＋∞)【解析】方法一由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0. 由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.2．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________．【答案】相交【解析】由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是(，0). （1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围. 【解析】（1）由已知得2a =c =a =2321b ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为2213x y +=．（2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=，有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->．解不等式得22m -<<．考向四弦长【例4】（2021·上海市进才中学高二月考）过椭圆22:143x y C +=的左焦点，斜率为1的直线被椭圆C截得的弦长为________．【答案】247【解析】设直线与椭圆相交的两个交点坐标为()()1122,,,x y x y椭圆22:143x y C +=的左焦点为()1,0-所以直线的方程为1y x =+则22217880143y x x x x y =+⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩所以121288,77x x x x +=-=-247=故答案为：247【举一反三】1．（2021·全国课时练习）求过点(3，0)且斜率为45的直线被椭圆2212516x y +=所截得的线段的长度．【答案】415【解析】过点(3，0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得()22312525x x -+=，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.∴415AB ===. 2．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是()，).（1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于A ､B两不同的点，若AB =，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1m =±. 【解析】（1）由已知得2a =，则a =c =2221b a c =-=所以椭圆的标准方程2213x y +=（2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 得2246330x mx m ++-= 因为有两个不同的交点，所以()222(6)44(33)1240m m m ∆=-⨯⨯-=--> 得m 的取值范围为()2,2-由韦达定理得：126342m m x x --+== ，212334m x x -=所以2AB ===解得1m =± 考向五离心率【例5】（2021·全国课时练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A ．12BC【答案】A【解析】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴1cos602c a ︒==，即椭圆的离心率12e =.故选：A【举一反三】1．（2021·全国高三月考（文））已知点(M 是椭圆22221x y a b+=()0a b >>上的一点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，若△12MF F 为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（）A ．23B ．24C ．12或23D ．23 【答案】D【解析】由△12MF F 为等腰三角形知：当112||||2F M F F c ==，而1(,0)F c -，则22(3)154c c ++=，整理得2280c c --=，解得4c =或2c =-（舍），而242228F M a c a ===-=-，故6a =，此时23c e a ==；当212||||2F M F F c ==，而2(,0)F c ，则22(3)154c c -+=，整理得2280c c +-=，解得2c =或4c =-（舍），而12224F M a c a ===-=-，故2a =+，此时23c e a ==；故选：D.2．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PF FOP π∠=∠=，则椭圆的离心率是（） AB【答案】D【解析】根据12123F PF FOP π∠=∠=以及121PF F OF P ∠=∠，得121PFO F F P ∽△△，于是11121PF F O F F PF =，所以1PF =，又122PF PF a +=，所以22PF a =．在21F FP △中，由余弦定理，得)()()22214222()2c a a =+-⨯-，即2220c a +-=，所以220e -=，因为01e <<，所以椭圆的离心率e =D 3．（2021·江苏启东市）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（）A．10B．3C．2D【答案】A【解析】由题意可知：223bc =，即3b c =，所以a ==所以离心率10c e a ===.故选：A1．（2021·江西高三其他模拟（文））如图，P 是椭圆22194x y +=上的一点，F 是椭圆的右焦点且PQ FQ =-，2OQ =，则PF =（）强化练习A ．2B ．3D ．4 【答案】A【解析】由22194x y +=可得：3a =因为PQ FQ =-，所以点Q 是线段PF 的中点，设椭圆的右焦点为F '，则O 是FF '的中点，所以24PF OQ '==，由椭圆的定义可知：26PF PF a '+==，所以2PF =，故选：A.2．（2021·全国课时练习）已知椭圆2211612x y +=的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝（） A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3 【答案】C【解析】由2211612x y +=＝1可知216a =，212b =，所以22216124c a b =-=-=，所以F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上，且原点O 为线段12F F 的中点，所以2//PF MO ，所以2PF x ⊥轴，∴可设P (2，y )，把P (2，y )代入椭圆2211612x y +=，得29y =.∴|PF 1|5=，|PF 2|＝3.∴12||5||3PF PF =. 故选：C3．（2021·上海市莘庄中学）平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲：12||||MF MF +是定值，命题乙：点M 的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数）成立是定值．若动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数），当122||a F F ，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B ．4．（2021·重庆）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限上的一点P 与椭圆的左、右焦点1F 、2F 恰好构成顶角为120的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A B ．12C ．2D 【答案】A【解析】因为点P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上位于第一象限的点，12PF PF >，所以，12PF F ∠为锐角，因为12PF F △是顶角为120的等腰三角形，但1221PF F PF F ∠<∠，故21120PF F ︒∠=，所以，2212PF F F c ==，由余弦定理可得12PF ==，由椭圆定理可得1222PF PF c a +=+=，故12c a -==. 故选：A.5．（2021·江苏南通市）设1F ，2F 是椭圆22:13x y C m +=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是（）A ．[)3044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,B ．[)9044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,C ．[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)90124⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,【答案】C【解析】由题意可知，若焦点在x 轴上，223,(0)==>a b m m ，则23=-c m ，椭圆C 上存在点M满足12120F MF ∠=︒，如图所示，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即33-≥m m ，得34m ≤；若焦点在y 轴上，22,3(3)==>a m b m ，则23c m =-，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即39-≥m ，得12m ≥；所以m 的取值范围是[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.6．（2021·江西高三其他模拟（文））若椭圆22: 15x y C m+=的一个焦点坐标为(1,0)-，则实数m 的值为（） A ．9B ．6C ．4D ．1 【答案】C【解析】因为椭圆的焦点(1,0)-在x 轴上，所以25a =，2b m =，所以2225c a b m =-=-，所以51m -=，解得4m =. 故选：C7．（2021·福建龙岩市）已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（） A ．22132x y +=B ．22142x y +=C ．22152x y +=D ．22162x y +=【答案】C【解析】解：椭圆22212x y a +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=．故选：C ． 8．（2021·江西赣州市）已知椭圆222116x y m+=的右焦点为(2,0)，则m =（）A ．．．±．±【答案】C【解析】因为右焦点为(2,0)，故焦点在x 轴上且2164m -=，故m =±，故选：C.9．（2021·广西百色市）“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴的椭圆”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则满足120m m +>>，解得01m <<；又由当01m <<则必有0m >，但若0m >则不一定有01m <<成立，所以“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件．故选：B ．10．（2021·河南郑州市）设1F 、2F 分别是椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在椭圆C 上且满足4OP =，则12PF F △的面积为（）A ．3B ．．6D ．9【答案】D【解析】在椭圆22:1259x y C +=中，5a =，3b =，则4c =，所以，1228F F c ==，设点()00,P x y ，则22001259x y +=，可得220025259x y =-，4OP ===，解得208116y =，094y ∴=，因此，12PF F △的面积为1212011989224PF F S F F y =⋅=⨯⨯=△. 故选：D.11．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛ ⎝⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．22⎣⎦【答案】A【解析】由120PF PF ⋅=得：12PF PF ⊥，∴点P 在以()()12,0,,0F c F c -为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径r c b =≥，2222c b a c ∴≥=-，即222c a ≥，22212c e a ∴=≥，12e ∴≤<.故选：A.12．（2021·江苏）若椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）的焦距为2，且其离心率为2，则椭圆的方程为（）A ．22+=142x yB ．22+=121x yC ．22143+=x yD ．22+=184x y【答案】B【解析】由题意可知：22c =，即1c =，由椭圆的离心率2c e a ==，解得：a = 2221b a c =-= ∴椭圆的标准方程：2212x y +=故选：B13．（2021·全国课时练习）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是（）A ．22134x y +=B ．2214x +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且11,2,2c c e a b a ===⇒=== 因此椭圆的方程是22143x y +=.故选：C14．（多选）（2021·山东滨州市·高三一模）已知椭圆22:12520x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，则下列说法正确的是（） A ．125PF PF +=B ．直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为45- C ．存在点P 满足1290F PF ∠=︒D ．若12F PF △的面积为P 的横坐标为【答案】BD【解析】由题意5,a b c ===，1(F ，2F ，1(5,0)A -，2(5),0A ，短轴一个顶点2B ，12210PF PF a +==，A 错；设(,)P x y ，则2212520x y +=，2220(1)25x y =-，所以1222221420(1)552525255PA PAy y y x k k x x x x =⨯==-⨯=-+---，B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，C 错；(,)P x y，1212132PF F P P S F F y y ===△4P y =，则21612520P x +=，P x =D 正确．故选：BD ．15．（多选）（2021·武冈市第二中学）已知点(),2P a a -在直线730x ay ++=上，则圆锥曲线221x y a+=的离心率为（） ABD．2【答案】AC【解析】∵(),2P a a -在直线730x ay ++=上，所以27230a a -++=, 即22730a a -+=,解得3a =或12a =, 当3a =时，圆锥曲线2213x y +=,为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率e ==, 当12a =时，圆锥曲线22112x y +=,为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆，2e ==, 故选:AC.16．（多选）（2021·山东聊城市）已知五个数1，p ，m ，q ，16成等比数列，则曲线221x y p m+=的离心率可以是（）A B ．2C 【答案】AC【解析】由题意416p =，2p =±，4m =，曲线方程为22124x y +=或22124x y +=-，方程为22124x y +=时，离心率为22e ==，方程为22124x y +=-，离心率为22e ==．故选：AC ．17．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线1l 与过2F 的直线2l 交于P 点，点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=．则椭圆C 的离心率e =________．1 【解析】如下图所示：由已知条件可知，在12Rt PF F 中，1290F PF ∠=，1230PF F ∠=，21212PF F F c ∴==，则1PF ==，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，即12c a ，1c e a ∴===.1.18．（2021·安徽芜湖市·）已知F 1，F 2为椭圆22C :14x y +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=___________. 【答案】43【解析】由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝4，利用余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，所以22121212()312PF PF PF PF F F +-⋅==，解得3|PF 1|·|PF 2|＝4，即12PF PF ⋅=43，故答案为：4319．（2021·上海市西南位育中学）已知Р为椭圆22195x y +=上的点，1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF =_____ 【答案】203【解析】由椭圆22195x y +=，可得()12,0F -、()22,0F由条件可得1226PF PF a +== 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒所以()21212163PF PF PF PF =+-，即1216363PF PF =-所以12PF PF =203故答案为：20320．（2021·江苏南通市）已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()4,4M ，若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PM PF -的最小值为____________. 【答案】1【解析】由已知得222224,3,1a b c a b ===-=，2(1,0)F ，因为2124PF PF a +==，所以124PF PF =-，所以()12244PM PF PM PF PM PF -=--=+-，所以当三点2M P F 、、共线时，24PM PF +-最小，即224441PM PF MF +-=-==.故答案为：1.21．（2021·广西百色市）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的一个交点M 满足21122MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于________．1【解析】设直线)y x c =-的倾斜角为α，则tan α=0180α≤<120α∴=．21211212122360090F MF F MF F M F MF M F F F ∴∠=∠=∠∴∠=∴∠=在直角三角12F MF 形中，令1c =，则211,MF MF ===由椭圆定义得122||||1a MF MF =+=∴椭圆的离心率212c e a ===．1．22．（2021·内蒙古赤峰市·高三期末（理））已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为12e =，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=，则12F PF △的面积为__________．【答案】24-【解析】由已知得12,2c e ==，所以4a =，由椭圆定义得12248F P PF +=⨯=，由余弦定理得222121212123cos cos302F P PF F F F PF F P PF +-∠===⨯，即()2121212216F P PF FP PF P PF +-⨯-=⨯，12F P PF⨯=，则12F PF △的面积为12111sin 3024222S F P PF =⨯⨯=⨯=-故答案为：24-23．（2021·广东梅州市）已知过点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆C 的焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，则椭圆C 的标准方程是___________.【答案】22143x y +=【解析】由题意24a ==，2a =，所以b =,所以椭圆方程为22143x y +=．故答案为：22143x y +=．24．（2021·安徽省临泉第一中学）椭圆22134x y+=的离心率等于______.【答案】12【解析】由题意2,a b ==，所以1c ==，离心率为12c e a ==．故答案为：12．25．（2021·湖南常德市一中高三月考）写一个离心率是椭圆2211612x y +=的离心率4倍且焦点在x 轴上的双曲线标准方程：___________.【答案】2213y x -=(答案不唯一)【解析】有椭圆方程可知216a =，212b =，则216124c =-=，所以椭圆的离心率2142c e a ===，则双曲线的离心率2e =，则双曲线中22cc a a=⇒=，即22224c a a b ==+，得223b a =，令21a =，则23b =，所以满足条件的一个双曲线方程是2213y x -=.故答案为：2213y x -=(答案不唯一)26．（2021·全国高三专题练习）过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________．【答案】12-【解析】根据题意，圆222210x y x y +--+=的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，其圆心为(1,1)，半径1r =，过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 经过圆的圆心，故直线l 的斜率1211(1)2k -==---；故答案为：12-． 27．（2021·六安市裕安区新安中学）已知椭圆的两个焦点坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线1y x =+与椭圆交于A ､B 两点，求AB 中点的坐标．【答案】（1）221106x y +=；（2）53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】（1）由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>，由椭圆定义知2c =，2a ==所以a =，所以222104b a c =-=-，所求椭圆标准方程为221106x y +=．（2）设直线与椭圆的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2211061x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2810250x x +-=，得1254x x +=-，12258x x =-．设AB 的中点坐标为()00,x y ，则120528x x x +==-，038y =，所以中点坐标为53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭．28．（2021·河南高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若1110·3AF BF =，求AB ．【答案】（1）2212x y +=；（2）||3AB =．【解析】解：（1）因为椭圆C过点33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以2241133a b +=．① 又椭圆C2212c a =，故2222222112b ac c a a a -==-=．② 联立①②得2222411,331,2a b b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）当直线l的斜率不存在时，2222b AF BF a ===，所以211910223AF BF ⋅==≠，故直线l 的斜率存在，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-．联立22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222214220k x k x k +-+-=，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++．1AF ====，同理1||BF =．因为()2121211242182102423x x x x k AF BF k ++++⋅===+，解得21k =，所以11AF BF +==又因为11||AF BF AB++=||3AB =． 29．（2021·吉林长春市·高三二模（文））已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于,A B 两点，1AF B △的周长为8,O 为坐标原点，（1）求椭圆的方程；（2）求面积AOB 的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）32．【解析】（1）设椭圆半焦距为,c 由题意可知48,2a a ==，由离心率有21,3c b ==，所以椭圆方程为22143x y +=，（2）设直线:1AB x ty =+，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2243690tyty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，有12122269,4343t y y y y t t --+==++，由21OF =，所以OAB的面积2121612S OF y y =⋅-==⨯，函数1()3f x x x=+[)1,x ∈+∞，令121x x >≥，则()1212121212123111()()33x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为121x x >≥，所以()121212310x x x x x x -->，12())0(f x f x ->。

2021版新高考数学一轮复习讲义：第八章第五讲椭圆 (含解析)

第五讲椭圆ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；(3)若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为__2a__；短轴B1B2的长为__2b__焦距|F1F2|＝__2c__离心率e＝ca∈(0,1)a、b、c__c2＝a2－b2__重要结论1．a ＋c 与a －c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a ，称为通径．3．若过焦点F 1的弦为AB ，则△ABF 2的周长为4a ． 4．e ＝1－b 2a2． 5．椭圆的焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大，椭圆的焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大．6．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则(1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆C ．方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆D ．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同题组二走进教材2．(必修2P 42T4)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( C )A ．4B ．8C ．4或8D ．12[解析] 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4．当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8． ∴m ＝4或8．3．(必修2P 68A 组T3)过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 225＋y 220＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 220＋y 215＝1题组三考题再现4．(2019·湖南郴州二模)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为 x 28＋y 24＝1 ．[解析] ∵椭圆上一点到焦点的最小距离为a －c ， ∴a －c ＝22－2，∵离心率e ＝22， ∴c a ＝22，解得a ＝22，c ＝2，则b 2＝a 2－c 2＝4， ∴椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1．5．(2018·课标全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( D )A ．1－32B ．2－ 3C ．3－12D ．3－1[解析] 设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝3x ，|F 1F 2|＝2x ，故2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋3)x,2c ＝|F 1F 2|＝2x ，于是离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝2x(1＋3)x＝3－1．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1)(2019·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，那么动点M 的轨迹是( B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线(2)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点．则|P A |＋|PF |的最大值和最小值分别为 6＋2，6－2 ．(3)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°.若△PF 1F 2的面积为33，则b ＝__3__．[解析] (1)如图所示，由题知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，设椭圆方程：x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a >b >0)．连接MO ，由三角形的中位线可得：|F 1M |＋|MO |＝a (a >|F 1O |)，则M 的轨迹为以F 1、O 为焦点的椭圆．(2)如下图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6．∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6．由椭圆方程x 29＋y 25＝1知c ＝9－5＝2，∴F 1(2,0)，∴|AF 1|＝2．利用－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P 、A 、F 1共线时等号成立)． ∴|P A |＋|PF |≤6＋2，|P A |＋|PF |≥6－2．故|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－2． (3)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2，即(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2，所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，又因为S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3.故填3．名师点拨 ☞(1)椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． ②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1||PF 2|；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕(1)(2019·大庆模拟)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为__8__．(2)(2020·河北衡水调研)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为__－5__．[解析] (1)直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)．而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8．(2)由题意可知F 2(3,0)，由椭圆定义可知|PF 1|＝2a －|PF 2|.∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10，∴|PM |－|PF 2|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5．考点二求椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(4)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，且经过点(2，－3)．[解析] (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．。

2021版江苏高考数学复习讲义：椭圆及其性质含答案

(3,4)∪(4,5)[由已知得⎩⎨⎧5－k ＞0，k －3＞0，5－k≠k－3.解得3＜k ＜5且k ≠4.]4．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)、离心率为12、则椭圆的标准方程为．x24＋y23＝1 [设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)、离心率e ＝12、所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝2c ＝2，b2＝3，故椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.]第1课时椭圆及其性质考点1 椭圆的定义及应用已知F 1、F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点、P 为椭圆C 上的一点、且PF 1⊥PF 2、若△PF 1F 2的面积为9、则b ＝ .3 [设|PF 1|＝r 1、|PF 2|＝r 2、则⎩⎨⎧r1＋r2＝2a ，r21＋r22＝4c2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 2)＝4a 2－4c 2＝4b 2、所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9、所以b ＝3.]考点2 椭圆的标准方程定义法又∵|AF 1|＝3|F 1B |、∴由AF1→＝3F1B →得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b23、代入x 2＋y2b2＝1 得25c29＋b49b2＝1. 又c 2＝1－b 2、 ∴b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.](1)已知椭圆上两点、常设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0、n ＞0、m ≠n )；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b2a .考点3 椭圆的几何性质。

考点42 椭圆——2021年高考数学专题复习真题附解析

考点42 椭圆【题组一椭圆的定义及运用】1．设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段【答案】D【解析】当0a >时，由均值不等式的结论有：96a a +≥=，当且仅当3a =时等号成立.当96a a+=时，点P 的轨迹表示线段12F F , 当1296a F F a+>=时，点P 的轨迹表示以12F F 为焦点的椭圆,本题选择D 选项. 2．如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等分,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F 是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=" " .【答案】35【解析】由已知得5a =，如图，E 是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知17FP EP =，26FP EP =，35FP EP =，又45FP =，∴1234567FP FP FP FP FP FP FP ++++++7655675EP EP EP FP FP FP =++++++222535a a a =+++=．故答案为35．3．椭圆22192x y+=的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若14PF=，2PF=_______；12F PF∠的小大为__________．【答案】2 ；23π；【解析】因为由椭圆的定义，我们可知12212221212 12121222||||cos21642812422PF PF a PF a PFPF PF F F PF F F PFPF PF +=∴=-+-∆∠=⨯+-==-⨯⨯中，4．过椭圆2212516x y+=的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则PFQ△的周长的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D【解析】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F ,则根据椭圆的对称性知道:1QF PF = ,2PQ PO =,设(cos ,sin )P a b θθ ,则222222222=cos +sin =()cos +PO a b a b b θθθ-,又因为220a b ->,2cos 0θ≥,所以22PO b ≥,即PO b ≥,22PQ PO b =≥．所以PQF ∆的周长为122210818QF PF PQ PF PF PQ a PQ a b ++=++=+≥+=+=故选：D5．已知椭圆22:11612x y C +=，圆22:320A x y x y +--+=，P 、Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，()2,0F -，则PQ PF +的最小值为（）A ．42-B ．8-C ．4D ．8【答案】D【解析】圆A 的标准方程为22311222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径22r ，如下图所示，可知点F 为椭圆C 的左焦点，设点E 为椭圆C 的右焦点，易知点E 在圆A 上，由椭圆的定义可得28PF a PE PE =-=-，由圆的几何性质可得2PQ PA r PA ≥-=-，8888PQ PF PQ PE PA PE AE ∴+=+-≥-+≥-+-=-当且仅当P 、A 、E 三点共线且点P 在点A 的上方时，PQ PF +取得最小值8. 故选：D.【题组二焦点三角形周长及面积】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12【答案】C【解析】设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上，所以ABC ∆的周长l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==故选：C2．已知椭圆22:14924x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，若C 上的点A 到2F 的距离为6，则△12AF F 的面积为（） A ．48 B ．25C ．24D ．12【答案】C【解析】依题意知，7a =，b =5c =，因为12||||214AF AF a +==，且2||6AF =，所以1||8AF =，在△12AF F 中，12||210F F c ==，因为2221212||||||AF AF F F +=，所以12AF AF ⊥，所以△12AF F 的面积为1211||||862422AF AF ⋅=⨯⨯=.故选：C. 3．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒【答案】C【解析】由题意，12F F =126PF PF +=，又22PF =，则14PF=，由余弦定理可得22212121212164281cos 22242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯.故12120F PF ︒∠=.故选：C.4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是_______【答案】【解析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为，所以，答案为.5．若12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，P 是该椭圆上的一个动点，则12PF PF ⋅的最大值是________.【答案】4【解析】由椭圆方程2214x y +=可知2a =，因为P 是该椭圆上的一个动点，所以1224PF PF a +==，因此由基本不等式可得；12212()42PF PF PF PF +⋅≤=（当且仅当122PF PF ==时，取等号）.故答案为：4【题组三离心率】1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于。

考点42 椭圆——2021年高考数学专题复习讲义

数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法（已知 Sn 求 an、已知 Sn 与 an 关系求 an（前两种都是利用 an=Sn-Sn1，注意讨论 n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列 lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以 n 为自变量的函数。第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积，注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。求概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数 /所有可能的个数；理科用排列组合算数。独立性检验根据公式算 K 方值，别算错数了，会查表，用 1 减查完的概率。回归分析，根据数据代入公式（公式中各项的意义）即可求出直线方程，注意（x 平均，y 平均）点满足直线方程。理科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是 1，不是 1 说明要不你概率

高考数学总复习——椭圆课件

椭圆中的最值问题
运用基本不等式
解决椭圆中的最值问题时，可以运用基本不等式，通过合理转化，将问题转化为容易处理的形式。
椭圆中的最值问题
数形结合
结合椭圆的几何图形，将问题转化为几何问题，利用几何性质求解最值，是解决这类问题的常用方法。
椭圆中的最值问题
代数运算
02
01
在解决椭圆最值问题时，需要进行一些代数运算，如配方、换元
2018年高考数学全国卷Ⅱ 椭圆题目：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点P到焦点的距离和为12，点P的横坐标是 3，且过点P作短轴的垂线
，垂足Q的轨迹为圆C。
01
2019年高考数学全国卷Ⅲ 椭圆题目：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点P到焦点的距离和为10，点P的横坐标是 4，且过点P作短轴的垂线
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是 $left{ begin{array}{l} x = a cos theta y = b sin theta end{array} right.$，其中 $theta$ 是参数。
该方程通过三角函数将椭圆上的点与角度 $theta$ 关联起来，方便进行角度和距离的计算。
高频考点总结与预测
总结
通过对近五年高考真题的分析，可以发现椭圆的离心率的计算、直线与椭圆的交点以及弦长问题等知识点是高频考点。同时还需要注意椭圆的几何意义和性质的应用。
预测
根据高频考点的规律和趋势，预测未来高考中可能会出现的考点包括椭圆的切线问题、椭圆的参数方程以及椭圆的对称性等知识点。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。

2021年高考数学一轮复习第二讲椭圆讲练理新人教A版

2021年高考数学一轮复习第二讲椭圆讲练理新人教A 版一、椭圆的定义平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数．(1)若2a ＞|F 1F 2|，则集合P 为椭圆； (2)若2a ＝|F 1F 2|，则集合P 为线段；(3)若2a ＜|F 1F 2|，则集合P 为空集．二、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b －b ≤y ≤b －a ≤y ≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) B 1(－b,0)，B 2(b,0)离心率e ＝ca∈(0,1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2点P (x 0，y 0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.基础自测1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 【答案】 D2．“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】要使方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，应满足5－m ＞0，m ＋3＞0且5－m ≠m＋3，解之得－3＜m ＜5且m ≠1，∴“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．【答案】 B3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21【解析】若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 【答案】 C4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为________．【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由于c a ＝55，故a 2＝5c 2，b 2＝4c 2，椭圆方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，P (－5,4)在椭圆上代入解得c 2＝9，于是所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.【答案】x 245＋y236＝1 考点一椭圆的定义与标准方程例 [xx·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案：43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝ca ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.方法与技巧 1.1求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法.2确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a 、b 的值.运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a ，b ，c 的方程.2.涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正余弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF 1|＋|PF 2|与|PF 1|·|PF 2|整体代换.跟踪练习 (xx·大纲全国卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【解析】由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】 C考点二椭圆的几何性质例 (1)(xx·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67(2)已知椭圆：x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2→|＋|AF 2→|的最大值为8，则b 的值是( )A ．2 2 B. 2 C. 3 D. 6【思路点拨】 (1)利用余弦定理确定AF ，进而判定△ABF 的形状，利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率．(2)因△AF 2B 的周长等于两个长轴长，欲使|BF 2→|＋|AF 2→|的值最大，只需|AB |最小，利用椭圆的性质可求得b 的值．【尝试解答】 (1)在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6.由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝|AB |2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，有平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF |＝|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.(2)∵F 1、F 2为椭圆x 29＋y 2b2＝1的两个焦点，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6，|BF 1|＋|BF 2|＝6，△AF 2B 的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝12，当|AB |最小时，|BF 2→|＋|AF 2→|的值最大，又当AB ⊥x 轴时，|AB |最小，此时|AB |＝2b23，故12－2b23＝8，∴b ＝ 6.【答案】 (1)B (2)D方法与技巧 1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.2.e 与a ，b 间的关系e 2＝c 2a 2 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.跟踪练习 (xx·福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．【解析】已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c . 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.【答案】3－1考点三直线与椭圆的位置关系例 [xx·江苏卷] 如图15所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．图15解：设椭圆的焦距为2c, 则 F 1(－c, 0), F 2(c, 0)．(1)因为B (0, b ), 所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0, b ), F 2(c, 0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为 x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b ，所以点 A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2.因为直线 F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2，故e 2＝15，因此e ＝55. 方法与技巧直线与椭圆相交问题解题策略,当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据.跟踪练习已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与曲线C 交于不同的A 、B 两点，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．【解】 (1)由题意得c a ＝22，c ＝2∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆c 的方程为：x 28＋y 24＝1.(2)设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1y ＝x ＋m，消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0∵Δ＝96－8m 2＞0，∴－23＜m ＜2 3∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 1＝x 0＋m ＝m 3∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，即m ＝±355.∵±355∈(－23，23)，∴所求m 的值为±355.25496 6398 掘9S33618 8352 荒 b29430 72F6 狶d29599 739F 玟` 30046 755E 畞936297 8DC9 跉#。

2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《9.5.1椭圆》

代入x2＋y2＝1，得 x＝± 15，又 x>0，所以 x＝ 15，
54
2
2
15，1
15，－1
所以 P 点坐标为 2 或 2
.
题组三易错自纠
5．若方程 x2 ＋ y2 ＝1 表示椭圆，则 m 的取值范围是( ) 5－m m＋3
A．(－3,5)
B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5)
D．(－5,1)∪(1,3)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b
焦距离心率 a，b，c 的关系
|F1F2|＝2c e＝c∈(0,1)
a a2＝b2＋c2
概念方法微思考
1．在椭圆的定义中，若 2a＝|F1F2|或 2a<|F1F2|，动点 P 的轨迹如何？提示当 2a＝|F1F2|时动点 P 的轨迹是线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时动点 P 的轨迹是不存在的． 2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
P
是椭圆x2＋y2＝1 54
上
y
轴右侧的一点，且以点
P
及焦点
F1，F2
为顶点的
三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为__________________．
答案
15，1
15，－1
2 或2
解析设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以 c＝1，则 F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y＝±1，把 y＝±1

2021届新高考数学一轮专题复习(新高考专版)第42讲双曲线(讲义版)

第42讲双曲线一、考情分析1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；2、知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).二、知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2[微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a . 2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.三、经典例题考点一双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.解析 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).答案 (1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系. 考点二双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1解析 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案 (1)B (2)C规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). 考点三双曲线的性质角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x解析法一由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x . 法二由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ＝±2x . 答案 A角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋ 34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C.(1，2)D.(2，＋∞)解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233. 答案 (1)C (2)A角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 答案 A规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. [方法技巧]1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.3.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.4.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y＝±a b x .四、课时作业1．（2020·四川省仁寿第二中学月考（理））若双曲线22:13x y C m-=C 的虚轴长为（）A ．4B ．C ．D ．22．（2020·江苏省镇江中学开学考试）双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（）A ．4B ．C ．8D ．3．（2020·沙坪坝·重庆一中高三其他（文））若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为120︒，则该双曲线离心率为（）A B ．2C D4．（2020·安徽省太和中学开学考试（文））双曲线2244x y -=的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．y =5．（2020·利辛县阚疃金石中学月考）双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4B ．－4C ．－14D ．146．（2020·浙江其他）双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（）A ．2B ．95C ．125D ．37．（2020·四川省武胜烈面中学校高三月考（理））已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（） A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=8．（2020·江西九江一中期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过E 的右焦点F 作其渐近线的垂线，垂足为P ，若OPF △，则E 的离心率为（）A B ．3C ．2D9．（2019·福建省泰宁第一中学月考）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>，则C 的渐近线方程为（） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±10．（2020·正定县弘文中学月考）双曲线221102x y -=的焦距为（）A ．B ．C ．D ．11．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为（）A ．22126x y -=B ．22162x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=12．（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:410C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．2215x y -=13．（2020·四川省内江市第六中学其他（文））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（）A ．B ．C ．10D ．14．（2020·安徽高三月考（文）的双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个顶点为P ，直线//l x 轴，l 交双曲线C 于A ，B 两点，则APB ∠取值范围是（） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2π C ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭15．（2020·安徽宣城·高二期末（文））已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是（）A B C D16．（2020·梅河口市第五中学其他（文））已知双曲线的一条渐近线方程为y =，且双曲线经过点()2,3，若1F ，2F 为其左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若点()6,8A ，则当2PA PF +|取最小值时，点P 的坐标为（）A ．1,322⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭B ．122⎛++ ⎝⎭C ．1⎛++ ⎝⎭D ．1⎛+ ⎝⎭17．（多选题）（2020·江苏南京·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=，则（）A ．实轴长为2B ．渐近线方程为y =C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为318．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知双曲线C 过点(且渐近线为3y x =±，则下列结论正确的是（）A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D ．直线10x -=与C 有两个公共点19．（多选题）（2020·江苏省镇江中学开学考试）已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线20．（多选题）（2020·全国开学考试）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（）A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=B ．双曲线C 的离心率为2C ．||1OE =D ．OMN 的面积为621．（2020·全国课时练习）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点在直线:3120l y ++=上，且其一条渐近线与直线l 平行，求该双曲线的方程.22．（2019·上海黄浦·高二期末）已知双曲线22116x y n -=的焦点在x 轴上，焦距为10. （1）求n 的值；（2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程.23．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线2222C:1x y a b-= (a>0,b>0)(1)求双曲线C 的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆225x y +=上,求m 的值.24．（2020·上海高三专题练习）设圆C 与两圆(224x y ++=，(224x y +=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M ⎝⎭，)F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．25．（2020·全国高二单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线1C 交于P 、Q 两点．若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；。

专题42 椭圆-2021年高考数学一轮复习专题讲义附真题及解析

考点42 椭圆【思维导图】【常见考法】考点一椭圆的定义及运用1．已知1F ､2F 是定点，12||6F F =.若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（）A ．直线B ．线段C ．圆D ．椭圆2．已知椭圆22143x y +=上一点(),P x y 到其一个焦点的距离为3，则点P 到其另一个焦点的距离等于（）A ．2B ．3C ．1 D3．把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成2018等份，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于2017个点，F 是椭圆的一个焦点，则这2017个点到F 的距离之和为______.4．椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于______5．点1(1,1),A F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上一动点，则1||PA PF +的最大值是___________．考法二焦点三角形的周长及面积1．过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆右焦点，则2ABF ∆的周长为（）A ．8B ．C ．4D ．2．椭圆221259x y+=的焦点为1F、2F，P为椭圆上一点，已知12PF PF⊥，则12F PF△的面积为A．9B．12 C．10D．83．已知椭圆C：2216439x y+=的左、右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆C上，若16PF=，则12PF F∠的余弦值为（）A．310B．710C．25D．354．设P是椭圆221169x y+=上一点，12,F F分别是椭圆的左、右焦点，若12||.||12PF PF=，则12F PF∠的大小_____.考法三离心率1．椭圆2212516x y+=的离心率为。

2．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的上顶点为B，右顶点为A，若过原点O作AB的垂线交椭圆的右准线于点P，点P到x轴的距离为22ac，则此椭圆的离心率为。

2021年新课标新高考数学复习练习讲义：§9.3 椭圆

§9.3 椭圆基础篇固本夯基【基础集训】考点一椭圆的定义及标准方程1.已知椭圆y 2m +x 22=1的一个焦点为(0,12),则m=( ) A.1 B.2 C.3 D.94答案 D2.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为√33,过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为4√3,则C 的方程为( )A.x 23+y 22=1 B.x 23+y 2=1 C.x 212+y 28=1 D.x 212+y 24=1 答案 A3.在平面直角坐标系xOy 中,P 是椭圆y 24+x 23=1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 A4.椭圆x 29+y 225=1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m,当m 取最大值时,点P 的坐标是 . 答案 (-3,0)或(3,0)考点二椭圆的几何性质5.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是( ) A.13B.√33C.√34D.2√23答案 D6.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 是C 上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为( ) A.√36B.13C.12D.√33答案 D7.设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(b ≥√32a >0),右焦点为F(c,0)(c>0),方程ax 2+bx-c=0的两实根分别为x 1,x 2,则x 12+x 22的取值范围是( )A.(0,32] B.(1,32] C.(1,34] D.(1,74] 答案 D考点三直线与椭圆的位置关系8.(2019河北衡水中学五调,6)与椭圆x 22+y 2=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切的椭圆的离心率为( ) A.√22B.√55C.12D.15答案 B9.椭圆x 225+y 216=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,弦AB 过F 1,若△ABF 2的内切圆周长为π,A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|y 1-y 2|的值为( ) A.53 B.103C.√103D.√53答案 A10.已知P(1,1)为椭圆x 24+y 22=1内一定点,经过P 引一条弦,使此弦被P 点平分,且弦与椭圆交于A 、B 两点,则此弦所在直线的方程为 . 答案 x+2y-3=011.设F 1,F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且|MN|=5|F 1N|,求a,b. 解析 (1)根据题意知F 1(-c,0),M (c,b 2a). 由k MN =34得b2a -0c -(-c)=34, 即2b 2=3ac,将b 2=a 2-c 2代入得2(a 2-c 2)=3ac,2c 2-2a 2+3ac=0, 2e 2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍),故C 的离心率为12.(2)由题意,知原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,设直线MF 1与y 轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a=4,即b 2=4a,① 由|MN|=5|F 1N|得|DF 1|=2|F 1N|. 设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则 {2(-c -x 1)=c,-2y 1=2,即{x 1=-32c,y 1=-1. 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.② 将①及c=√a 2-b 2代入②得9(a 2-4a)4a 2+14a =1. 解得a=7,则b 2=4a=28.故b=2√7.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.综合篇知能转换【综合集训】考法一与椭圆定义相关的问题1.(2018湖北十堰十三中质检,6)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,√3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为()A.x 28+y26=1 B.x216+y26=1C.x 24+y22=1 D.x28+y24=1答案A2.(2019豫东豫北十校4月联考,8)椭圆C:x 2a2+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2√3,则△PF1F2的周长是()A.2(√2+√3)B.4+2√3C.√2+√3D.√2+2√3答案A3.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆x 24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为()A.43B.1 C.45D.34答案D考法二椭圆离心率问题的求法4.(2019福建3月质检,9)设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为()A.√2-1B.√5-12C.√22D.√2+1答案A5.(2018河北衡水金卷二模,7)我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,在地球轨道上经历3次调相轨道变轨,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点,远地点离地面的距离分别是R2,5R2(如图所示),则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为()A.25B.15C.23D.13答案 A6.(2019河北武邑中学二模,12)设F,B 分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点和上顶点,O 为坐标原点,C 是直线y=b ax 与椭圆在第一象限内的交点,若FO ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则椭圆的离心率是( ) A.2√2+17 B.2√2-17C.2√2-13D.√2-1答案 A考法三直线与椭圆位置关系问题的解法7.(2019北京清华中学生标准学术能力试卷文,6)已知椭圆x 2a 2+y 24=1(a>2)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线交椭圆于A,B 两点.若|AF 2|+|BF 2|的最大值为283,则该椭圆的离心率为( ) A.√22B.√53C.12D.59答案 B8.(2017北京,19,14分)已知椭圆C 的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x 轴上,离心率为√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M,N,过D 作AM 的垂线交BN 于点E.求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解析本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0). 由题意得{a =2,c a=√32,解得c=√3. 所以b 2=a 2-c 2=1.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)证明:设M(m,n), 则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m ≠±2,且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM =n m+2, 故直线DE 的斜率k DE =-m+2n. 所以直线DE 的方程为y=-m+2n(x-m). 直线BN 的方程为y=n2-m(x-2). 联立{y =-m+2n (x -m),y =n2-m(x -2),解得点E 的纵坐标y E =-n(4-m 2)4-m 2+n 2.由点M 在椭圆C 上,得4-m 2=4n 2. 所以y E =-45n.又S △BDE =12|BD|·|y E |=25|BD|·|n|, S △BDN =12|BD|·|n|,所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.【五年高考】考点一椭圆的定义及标准方程1.(2019课标Ⅰ,10,5分)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1 B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1 答案 B2.(2019课标Ⅲ,15,5分)设F 1,F 2为椭圆C:x 236+y 220=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为 . 答案 (3,√15)3.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O 到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c. (1)求椭圆E 的离心率;(2)如图,AB 是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E 经过A,B 两点,求椭圆E 的方程.解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O 到该直线的距离d=bcb +c 2=bc a,由d=12c,得a=2b=2√a 2-c 2,可得离心率c a =√32. (2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.① 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|=√10. 易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得 (1+4k 2)x 2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k(2k+1)1+4k 2,x 1x 2=4(2k+1)2-4b 21+4k 2.由x 1+x 2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|=√1+(12)2|x 1-x 2|=√52√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√10(b 2-2).由|AB|=√10,得√10(b 2-2)=√10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A,B 关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=√10. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2,得 -4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0,易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=12. 因此直线AB 的方程为y=12(x+2)+1, 代入②得x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|=√1+(12)2|x 1-x 2| =√52√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√10(b 2-2).由|AB|=√10,得√10(b 2-2)=√10, 解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解题关键对于第(2)问,利用弦长及韦达定理或点差法构造关于参数的方程是解题的关键.考点二椭圆的几何性质4.(2017浙江,2,4分)椭圆x 29+y 24=1的离心率是( ) A.√133B.√53C.23D.59答案 B5.(2019北京,4,5分)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则( ) A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a=2bD.3a=4b答案 B6.(2018课标Ⅱ,12,5分)已知F 1,F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14答案 D7.(2017课标Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为( )A.√63B.√33C.√23D.13答案 A8.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34答案 A9.(2018北京,14,5分)已知椭圆M:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),双曲线N:x 2m 2-y 2n 2=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为 ;双曲线N 的离心率为 . 答案 √3-1;210.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l,在x 轴的上方,l 与圆F 2:(x-1)2+y 2=4a 2交于点A,与椭圆C 交于点D.连接AF 1并延长交圆F 2于点B,连接BF 2交椭圆C 于点E,连接DF 1.已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.解析本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. (1)设椭圆C 的焦距为2c.因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c=1. 又因为DF 1=52,AF 2⊥x轴,所以DF 2=√DF 12-F 1F 22=√(52)2-22=32.因此2a=DF 1+DF 2=4,从而a=2. 由b 2=a 2-c 2,得b 2=3.因此,椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)解法一:由(1)知,椭圆C:x 24+y 23=1,a=2.因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F 2的方程(x-1)2+y 2=16,解得y=±4.因为点A 在x 轴上方,所以A(1,4). 又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y=2x+2. 由{y =2x +2,(x -1)2+y 2=16,得5x 2+6x-11=0, 解得x=1或x=-115.将x=-115代入y=2x+2,得y=-125. 因此B (-115,-125). 又F 2(1,0),所以直线BF 2:y=34(x-1).由{y =34(x -1),x 24+y 23=1,得7x 2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以x=-1. 将x=-1代入y=34(x-1),得y=-32. 因此E (-1,-32).解法二:由(1)知,椭圆C:x 24+y 23=1. 如图,连接EF 1.因为BF 2=2a,EF 1+EF 2=2a,所以EF 1=EB, 从而∠BF 1E=∠B.因为F 2A=F 2B,所以∠A=∠B. 所以∠A=∠BF 1E,从而EF 1∥F 2A.因为AF 2⊥x 轴,所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1,0),由{x =-1,x 24+y 23=1,解得y=±32.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点,所以y=-32. 因此E (-1,-32).考点三直线与椭圆的位置关系11.(2019天津,18,13分)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为√55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O 为原点),且OP ⊥MN,求直线PB 的斜率.解析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,c a =√55,又a 2=b 2+c 2,可得a=√5,b=2,c=1. 所以,椭圆的方程为x 25+y 24=1.(2)由题意,设P(x P ,y P )(x P ≠0),M(x M ,0).设直线PB 的斜率为k(k ≠0),又B(0,2),则直线PB 的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立{y =kx +2,x 25+y 24=1,整理得(4+5k 2)x 2+20kx=0,可得x P =-20k 4+5k 2,代入y=kx+2得y P=8-10k 24+5k 2,进而直线OP 的斜率y P x P =4-5k 2-10k .在y=kx+2中,令y=0,得x M =-2k .由题意得N(0,-1),所以直线MN 的斜率为-k 2.由OP ⊥MN,得4-5k 2-10k ·(-k2)=-1,化简得k 2=245,从而k=±2√305. 所以,直线PB 的斜率为2√305或-2√305.思路分析 (1)根据条件求出基本量a,b 得到椭圆方程.(2)要利用条件OP ⊥MN,必须求P 点和M 、N 点坐标.由直线PB 的方程与椭圆方程联立得到P 点坐标,求出M 及N 点坐标,利用k OP ·k MN =-1求出k PB .12.(2018天津,19,14分)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为√53,|AB|=√13.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q 两点,l 与直线AB 交于点M,且点P,M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,求k 的值.解析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c 2a 2=59,又由a 2=b 2+c 2,可得2a=3b.由|AB|=√a 2+b 2=√13,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点M 的坐标为(x 2,y 2),由题意,x 2>x 1>0,点Q 的坐标为(-x 1,-y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x 2-x 1=2[x 1-(-x 1)],即x 2=5x 1.易知直线AB 的方程为2x+3y=6,由方程组{2x +3y =6,y =kx,消去y,可得x 2=63k+2.由方程组{x 29+y24=1,y =kx,消去y,可得x 1=6√9k +4.由x 2=5x 1,可得√9k 2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k 2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.当k=-89时,x 2=-9<0,不合题意,舍去; 当k=-12时,x 2=12,x 1=125,符合题意. 所以,k 的值为-12.解题关键第(2)问中把两个三角形的面积的关系转化为点P 、M 的横坐标间的关系,进而得到关于k 的方程是求解的难点和关键. 13.(2018课标全国Ⅰ,19,12分)设椭圆C:x 22+y 2=1的右焦点为F,过F 的直线l 与C 交于A,B 两点,点M 的坐标为(2,0). (1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 解析 (1)由已知得F(1,0),l 的方程为x=1, 由已知可得,点A 的坐标为(1,√22)或(1,-√22).所以AM 的方程为y=-√22x+√2或y=√22x-√2.(2)证明:当l 与x 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°, 当l 与x 轴垂直时,直线OM 为AB 的垂直平分线, 所以∠OMA=∠OMB.当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y=k(x-1)(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1<√2,x 2<√2,直线MA,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1-2+y 2x 2-2,由y 1=kx 1-k,y 2=kx 2-k 得k MA +k MB =2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k(x 1-2)(x 2-2).将y=k(x-1)代入x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0,所以,x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2-22k 2+1.则2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k=4k 3-4k -12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0,从而k MA +k MB =0,故MA,MB 的倾斜角互补, 所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.14.(2015安徽,20,13分)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a,0),点B 的坐标为(0,b),点M 在线段AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线OM 的斜率为√510.(1)求E 的离心率e;(2)设点C 的坐标为(0,-b),N 为线段AC 的中点.证明:MN ⊥AB. 解析 (1)由题设条件知,点M 的坐标为(23a,13b), 又k OM =√510,从而b 2a =√510.进而a=√5b,c=√a 2-b 2=2b.故e=c a =2√55. (2)证明:由N 是AC 的中点知,点N 的坐标为(a 2,-b 2),可得NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 6,5b6). 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,b),从而有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-16a 2+56b 2=16(5b 2-a 2). 由(1)的计算结果可知a 2=5b 2,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故MN ⊥AB. 评析本题考查椭圆的简单几何性质及利用向量法证明线线垂直,较难.教师专用题组考点一椭圆的定义及标准方程1.(2014安徽,14,5分)设F 1,F 2分别是椭圆E:x 2+y 2b2=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B|,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为 . 答案 x 2+32y 2=12.(2011课标,14,5分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为√22.过F 1的直线l 交C 于A,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为 . 答案x 216+y 28=1 3.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)过点(0,√2),且离心率e=√22.(1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l:x=my-1(m ∈R )交椭圆E 于A,B 两点,判断点G (-94,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析(1)由已知得{b =√2,ca=√22,a 2=b 2+c 2.解得{a =2,b =√2,c =√2. 所以椭圆E 的方程为x 24+y 22=1.(2)解法一:设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为H(x 0,y 0).由{x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my-3=0,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2, 从而y 0=mm 2+2.所以|GH|2=(x 0+94)2+y 02=(my 0+54)2+y 02=(m 2+1)y 02+52my 0+2516.|AB|24=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)24=(1+m 2)(y 1-y 2)24=(1+m 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]4=(1+m 2)(y 02-y 1y 2),故|GH|2-|AB|24=52my 0+(1+m 2)y 1y 2+2516=5m 22(m 2+2)-3(1+m 2)m 2+2+2516=17m 2+216(m 2+2)>0, 所以|GH|>|AB|2. 故点G (-94,0)在以AB 为直径的圆外.解法二:设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94,y 1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+94,y 2).由{x =my -1,x 24+y 22=1得(m 2+2)y 2-2my-3=0,所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=-3m 2+2, 从而GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94)(x 2+94)+y 1y 2=(my 1+54)(my 2+54)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2+54m(y 1+y 2)+2516=-3(m 2+1)m 2+2+52m 2m 2+2+2516=17m 2+216(m 2+2)>0,所以cos<GA⃗⃗⃗⃗⃗ ,GB ⃗⃗⃗⃗⃗ >>0.又GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以∠AGB 为锐角. 故点G (-94,0)在以AB 为直径的圆外.评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.考点二椭圆的几何性质4.(2012课标,4,5分)设F 1,F 2是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,P 为直线x=3a 2上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45答案 C5.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆x 2a2+y 2=1(a>1). (1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k 表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP, 由{y =kx +1,x 2a2+y 2=1得(1+a 2k 2)x 2+2a 2kx=0, 故x 1=0,x 2=-2a 2k1+a 2k 2.因此|AP|=√1+k 2|x 1-x 2|=2a 2|k|1+a 2k 2·√1+k 2.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|. 记直线AP,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,且k 1,k 2>0,k 1≠k 2. 由(1)知,|AP|=2a 2|k 1|√1+k 121+a 2k 12,|AQ|=2a 2|k 2|√1+k 221+a 2k 22,故2a 2|k 1|√1+k 121+a 2k 12=2a 2|k 2|√1+k 221+a 2k 22,所以(k 12-k 22)[1+k 12+k 22+a 2(2-a 2)k 12k 22]=0. 由于k 1≠k 2,k 1,k 2>0得1+k 12+k 22+a 2(2-a 2)k 12k 22=0,因此(1k 12+1)(1k 22+1)=1+a 2(a 2-2),①因为①式关于k 1,k 2的方程有解的充要条件是1+a 2(a 2-2)>1,所以a>√2.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤√2, 由e=c a =√a 2-1a得,所求离心率的取值范围为0<e ≤√22.评析本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力. 6.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b),连接BF 2并延长交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F 1C. (1)若点C 的坐标为(43,13),且BF 2=√2,求椭圆的方程; (2)若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值.解析设椭圆的焦距为2c,则F 1(-c,0),F 2(c,0). (1)因为B(0,b),所以BF 2=√b 2+c 2=a. 又BF 2=√2,故a=√2. 因为点C (43,13)在椭圆上, 所以169a2+19b2=1,解得b 2=1.故所求椭圆的方程为x 22+y 2=1.(2)因为B(0,b),F 2(c,0)在直线AB 上, 所以直线AB 的方程为x c +yb=1.解方程组{x c +yb=1,x 2a 2+y 2b2=1,得{x 1=2a 2ca 2+c 2,y 1=b(c 2-a 2)a 2+c 2,{x 2=0,y 2=b.所以点A 的坐标为(2a 2c a 2+c 2,b(c 2-a 2)a 2+c 2). 又AC 垂直于x 轴,由椭圆的对称性,可得点C 的坐标为(2a 2c a 2+c 2,b(a 2-c 2)a 2+c 2).因为直线F 1C的斜率为b(a 2-c 2)a 2+c 2-02a 2ca 2+c2-(-c)=b(a 2-c 2)3a 2c+c 3,直线AB 的斜率为-bc,且F 1C ⊥AB,所以b(a 2-c 2)3a 2c+c 3·(-bc)=-1.结合b 2=a 2-c 2,整理得a 2=5c 2.故e 2=15.因此e=√55.7.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P,Q 两点,且PQ ⊥PF 1. (1)若|PF 1|=2+√2,|PF 2|=2-√2,求椭圆的标准方程; (2)若|PF 1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解析 (1)由椭圆的定义,有2a=|PF 1|+|PF 2|=(2+√2)+(2-√2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF 1⊥PF 2,得2c=|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2=√(2+√2)2+(2-√2)2=2√3,即c=√3,从而b=√a 2-c 2=1. 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)解法一:连接F 1Q,如图,设P(x 0,y 0),因为点P 在椭圆上,且PF 1⊥PF 2,所以x 02a 2+y 02b2=1,x 02+y 02=c 2,求得x 0=±a c√a 2-2b 2,y 0=±b 2c. 由|PF 1|=|PQ|>|PF 2|得x 0>0,从而|PF 1|2=(a √a 2-2b 2c+c)2+b 4c2=2(a 2-b 2)+2a √a 2-2b 2 =(a+√a 2-2b 2)2.由PF 1⊥PF 2,|PF 1|=|PQ|,知|QF 1|=√2|PF 1|. 因此(2+√2)|PF 1|=4a, 即(2+√2)(a+√a 2-2b 2)=4a, 于是(2+√2)(1+√2e 2-1)=4, 解得e=√12[1+(2+√21)2]=√6-√3. 解法二:连接F 1Q,由椭圆的定义,有|PF 1|+|PF 2|=2a,|QF 1|+|QF 2|=2a.从而由|PF 1|=|PQ|=|PF 2|+|QF 2|,有|QF 1|=4a-2|PF 1|. 又由PF 1⊥PQ,|PF 1|=|PQ|,知|QF 1|=√2|PF 1|, 因此,4a-2|PF 1|=√2|PF 1|,得|PF 1|=2(2-√2)a, 从而|PF 2|=2a-|PF 1|=2a-2(2-√2)a=2(√2-1)a. 由PF 1⊥PF 2,知|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=(2c)2,因此e=c a =√|PF 1|2+|PF 2|22a=√(2-√2)2+(√2-1)2=√9-6√2=√6-√3.考点三直线与椭圆的位置关系8.(2014辽宁,20,12分)圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图). (1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P,且与直线l:y=x+√3交于A,B 两点.若△PAB 的面积为2,求C 的标准方程.解析 (1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则切线斜率为-x0y 0,切线方程为y-y 0=-x 0y 0(x-x 0),即x 0x+y 0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=12·4x 0·4y 0=8x 0y 0,由x 02+y 02=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=√2时x 0y 0有最大值,即S 有最小值,因此点P 的坐标为(√2,√2). (2)设C的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由点P 在C上知2a 2+2b2=1,并由{x 2a 2+y 2b 2=1,y =x +√3得b 2x 2+4√3x+6-2b 2=0,又x 1,x 2是方程的根,因此{x 1+x 2=-4√3b2,x 1x 2=6-2b2b 2,由y 1=x 1+√3,y 2=x 2+√3,得|AB|=√2|x 1-x 2|=√2·√48-24b 2+8b 4b2.由点P 到直线l 的距离为√3√2及S △PAB =12×√3√2|AB|=2得b 4-9b 2+18=0,解得b 2=6或3,因此b 2=6,a 2=3(舍)或b 2=3,a 2=6,从而所求C 的方程为x 26+y 23=1.9.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点(√3,12),焦点F 1(-√3,0),F 2(√3,0),圆O 的直径为F 1F 2. (1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P.①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标; ②直线l 与椭圆C 交于A,B 两点.若△OAB 的面积为2√67,求直线l 的方程.解析本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.解法一:(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(-√3,0),F 2(√3,0),所以可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0).又点(√3,12)在椭圆C上,所以{3a 2+14b2=1,a 2-b 2=3,解得{a 2=4,b 2=1.因此,椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.因为圆O 的直径为F 1F 2,所以其方程为x 2+y 2=3.(2)①设直线l 与圆O 相切于P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则x 02+y 02=3.所以直线l 的方程为y=-x 0y 0(x-x 0)+y 0,即y=-x 0y 0x+3y 0.由{x 24+y 2=1,y =-x 0y 0x +3y 0消去y,得(4x 02+y 02)x 2-24x 0x+36-4y 02=0.(*)因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x 0)2-4(4x 02+y 02)(36-4y 02)=48y 02(x 02-2)=0.因为x 0,y 0>0,所以x 0=√2,y 0=1. 因此,点P 的坐标为(√2,1). ②因为三角形OAB 的面积为2√67, 所以12AB ·OP=2√67,从而AB=4√27. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由(*)得x 1,2=24x 0±√48y 02(x 02-2)2(4x 02+y 02),所以AB 2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(1+x 02y 02)·48y 02(x 02-2)(4x 02+y 02)2.因为x 02+y 02=3,所以AB 2=16(x 02-2)(x 02+1)2=3249,即2x 04-45x 02+100=0.解得x 02=52(x 02=20舍去),则y 02=12,因此P 的坐标为(√102,√22).则直线l 的方程为y=-√5x+3√2.解法二:(1)由题意知c=√3,所以圆O 的方程为x 2+y 2=3,因为点(√3,12)在椭圆上,所以2a=√(√3-√3)2+(12-0)2+√(√3+√3)2+(12-0)2=4,所以a=2.因为a 2=b 2+c 2,所以b=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)①由题意知直线l 与圆O 和椭圆C 均相切,且切点在第一象限,所以直线l 的斜率k 存在且k<0, 设直线l 的方程为y=kx+m(k<0,m>0),将直线l 的方程代入圆O 的方程,得x 2+(kx+m)2=3,整理得(k 2+1)x 2+2kmx+m 2-3=0,因为直线l 与圆O 相切,所以Δ=(2km)2-4(k 2+1)(m 2-3)=0,整理得m 2=3k 2+3,将直线l 的方程代入椭圆C 的方程,得x 24+(kx+m)2=1,整理得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0,因为直线l 与椭圆C 相切,所以Δ=(8km)2-4(4k 2+1)(4m 2-4)=0,整理得m 2=4k 2+1,所以3k 2+3=4k 2+1,因为k<0,所以k=-√2,则m=3,将k=-√2,m=3代入(k 2+1)x 2+2kmx+m 2-3=0,整理得x 2-2√2x+2=0,解得x 1=x 2=√2,将x=√2代入x 2+y 2=3,解得y=1(y=-1舍去),所以点P 的坐标为(√2,1). ②设A(x 1,kx 1+m),B(x 2,kx 2+m), 由①知m 2=3k 2+3,且k<0,m>0,因为直线l 和椭圆C 相交,所以结合②的过程知m 2<4k 2+1,解得k<-√2,将直线l 的方程和椭圆C 的方程联立可得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0,解得x 1,2=-8km±4√4k 2+1-m 22(4k 2+1),所以|x 1-x 2|=4√4k 2+1-m 24k 2+1,因为AB=√(x 1-x 2)2+(kx 1-kx 2)2=|x 1-x 2|√k 2+1=4√4k 2+1-m 24k 2+1·√k 2+1,O 到l 的距离d=√k +1=√3,所以S △OAB =12·4√4k 2+1-m 24k 2+1·√k 2+1·|m|√k +1=12·4√k 2-24k 2+1·√k 2+1·√3=2√67, 解得k 2=5,因为k<0,所以k=-√5,则m=3√2, 即直线l 的方程为y=-√5x+3√2.解后反思 (1)常用待定系数法求圆锥曲线方程.(2)①直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切,因此也可设出直线方程求解. ②因为△AOB 的面积为2√67,而△AOB 的高为√3,所以解题关键是求AB 的长,可利用弦长公式AB=√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=√1+k 2·√(x 1-x 2)2=√1+k 2·|x 1-x 2|(x 1、x 2分别为A 、B 的横坐标)求解.10.(2017天津,19,14分)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12.已知A 是抛物线y 2=2px(p>0)的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l 上两点P,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B(B 异于点A),直线BQ 与x 轴相交于点D.若△APD 的面积为√62,求直线AP 的方程.解析本小题主要考查椭圆、抛物线的标准方程和几何性质,直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设F 的坐标为(-c,0).依题意,c a =12,p 2=a,a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b 2=a 2-c 2=34.所以,椭圆的方程为x 2+4y 23=1,抛物线的方程为y 2=4x.(2)设直线AP 的方程为x=my+1(m ≠0),与直线l 的方程x=-1联立,可得点P (-1,-2m),故Q (-1,2m).将x=my+1与x 2+4y 23=1联立,消去x,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0,解得y=0或y=-6m3m 2+4.由点B 异于点A,可得点B (-3m 2+43m 2+4,-6m3m 2+4).由Q (-1,2m),可得直线BQ 的方程为(-6m 3m 2+4-2m )(x+1)-(-3m 2+43m 2+4+1)(y -2m )=0,令y=0,解得x=2-3m 23m 2+2,故D (2-3m 23m 2+2,0).所以|AD|=1-2-3m 23m 2+2=6m 23m 2+2.又因为△APD 的面积为√62,故12×6m 23m 2+2×2|m|=√62,整理得3m 2-2√6|m|+2=0,解得|m|=√63,所以m=±√63.所以,直线AP 的方程为3x+√6y-3=0或3x-√6y-3=0.方法总结 1.利用待定系数法求圆锥曲线标准方程的三个步骤:(1)作判断:根据焦点位置设方程;(2)找等量关系;(3)解方程得结果.2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的基本策略:(1)巧设直线方程:当已知直线与x 轴交点固定时,常设为x=my+b 的形式,这样可避免对斜率是否存在的讨论;(2)注意整体代入思想的应用,利用根与系数的关系可以简化运算,提高运算的效率和正确率. 11.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 2a 2+x 2b2=1(a>b>0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2√6. (1)求C 2的方程;(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A,B 两点,与C 2相交于C,D 两点,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向. (i)若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率;(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M,证明:直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形. 解析 (1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1.①又C 1与C 2的公共弦的长为2√6,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(±√6,32),所以94a 2+6b 2=1.② 联立①,②得a 2=9,b 2=8.故C 2的方程为y 29+x 28=1.(2)如图,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).(i)因AC⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向,且|AC|=|BD|,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k,则l 的方程为y=kx+1.由{y =kx +1,x 2=4y得x 2-4kx-4=0.而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4.④ 由{y =kx +1,x 28+y 29=1得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0.而x 3,x 4是这个方程的两根,所以x 3+x 4=-16k 9+8k 2,x 3x 4=-649+8k 2.⑤ 将④,⑤代入③,得16(k 2+1)=162k 2(9+8k 2)2+4×649+8k 2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2,所以(9+8k 2)2=16×9,解得k=±√64,即直线l 的斜率为±√64.(ii)证明:由x 2=4y 得y'=x 2,所以C 1在点A 处的切线方程为y-y 1=x 12(x-x 1),即y=x 1x 2-x 124. 令y=0,得x=x 12,即M (x 12,0),所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x12,-1).而FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1-1),于是FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 122-y 1+1=x 124+1>0,因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM 是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共40分)1.(2018山东青岛城阳期末,7)若椭圆x 25+y 2a=1的焦距为4,则实数a 的值为( ) A.1 B.21 C.4 D.1或9 答案 D2.(2019湖北重点中学第一次调研,11)点P 是椭圆x 29+y 25=1上的点,F 1、F 2是椭圆的左、右焦点,则△PF 1F 2的周长是( ) A.12 B.10 C.8 D.6 答案 B3.(2019广东深圳二模,10)设点F 1、F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1的左、右焦点,点A 、B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点,且点F 1关于直线AB 的对称点为M.若MF 2⊥F 1F 2,则椭圆C 的离心率为( ) A.√3-12B.√3-13C.√5-12D.√22答案 C4.(2020届广东深圳第七高级中学第二次月考,11)F 1,F 2分别是椭圆x 2+2y 2=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,线段PF 2与y 轴的交点为M,且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点M 到坐标原点O 的距离是( )A.14 B.12C.1D.2 答案 A5.(2019安徽宣城二模,12)已知F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P 是椭圆上位于第二象限内的点,延长PF 1交椭圆于点Q,若PF 2⊥PQ,且|PF 2|=|PQ|,则椭圆的离心率为( )A.√6-√3B.√2-1C.√3-√2D.2-√2 答案 A6.(2019广东七校4月联考,11)已知点P 为椭圆x 216+y 212=1上的动点,EF 为圆N:x 2+(y-1)2=1的任一直径,则PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值和最小值分别是( )A.16,12-4√3B.17,13-4√3C.19,12-4√3D.20,13-4√3答案 C7.(2020届湖北洪湖第二中学月考,12)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交C 于A,B 两点.若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =47AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AF 2|=|F 1F 2|,则椭圆C 的离心率为( )A.27B.37C.47D.57答案 D8.(2019江西五校协作体4月联考,11)已知点F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆上的动点,动点Q 满足F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =|F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |且|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,其中F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0,若|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为1,最大值为9,则椭圆的方程为( ) A.x 225+y 29=1 B.x 29+y 2=1 C.x 225+y 216=1 D.x 281+y 2=1 答案 A二、多项选择题(每题5分,共10分)9.(2020届山东菏泽期中,8)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m 千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n 千米,并且F 、A 、B 三点在同一直线上,地球半径约为R 千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c,则( )A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=√(m +R)(n +R) 答案 ABD10.(改编题)已知点P 在以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,离心率为12的椭圆上.若过点P 作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点F 1,与椭圆的另一个交点为A.若△PF 2A 的面积为12(F 2为椭圆的另一个焦点),则椭圆的方程为( ) A.x 23+y 24=1 B.x 24+y 23=1 C.x 216+y 212=1 D.x 212+y 216=1 答案 CD三、填空题(每题5分,共10分)11.(2020届湖北洪湖第二中学月考,14)万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次成为奥运会开幕式的主办场地.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为 cm. 答案 2012.(2020届广西南宁10月摸底考,15)已知F 1,F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A,B 两点,且|AF 1|=3|BF 1|,|AB|=|BF 2|,则椭圆的离心率为 .答案 √105四、解答题(共50分)13.(2020届广东深圳第七高级中学第二次月考,20)已知椭圆G:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√32,直线l 过椭圆G 的右顶点A(2,0),且交椭圆G 于另一点C.(1)求椭圆G 的标准方程;(2)若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B,求直线l 的方程.解析 (1)由题设可得e=c a =√32,a=2,解得c=√3,因为a 2=b 2+c 2,所以b=√a 2-c 2=1, 所以椭圆G 的标准方程为x 24+y 2=1. (2)设C(x C ,y C ).以AC 为直径的圆经过点B 等价于BC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.由题设及(1)可得B(0,1),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x C ,y C -1),所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x C -y C +1=0.又C(x C ,y C )在椭圆G 上,所以x C 24+y C 2=1, 由y C =2x C +1,可得17x C 2+16x C =0,解得x C =0或x C =-1617, 所以C(0,1)或C (-1617,-1517),所以,直线l 的方程为x+2y-2=0或3x-10y-6=0.14.(2020届广东珠海9月摸底测试,20)已知离心率为2√23的椭圆x 2a 2+y 2=1(a>1)与直线l 交于P,Q 两点,记直线OP 的斜率为k 1,直线OQ 的斜率为k 2.(1)求椭圆的方程; (2)若k 1·k 2=-19,则三角形POQ 的面积是不是定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.解析 (1)由题意可知{b =1,e =c a =2√23,a 2=b 2+c 2,解得a=3,c=2√2, 所以椭圆的方程为x 29+y 2=1. (2)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),当直线PQ 的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,与椭圆方程联立得(9k 2+1)x 2+18kmx+9m 2-9=0, 则x 1+x 2=-18km9k 2+1,x 1x 2=9m 2-99k 2+1.因为|PQ|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=6√1+k 2√9k 2-m 2+19k 2+1, 点O 到直线PQ 的距离d=√1+k , 所以S △POQ =12|PQ|·d=3√m 29k 2+1(1-m 29k 2+1),(※)由k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=-19化简得9k 2=2m 2-1,代入(※)式得S △POQ =32.若直线PQ 的斜率不存在,则易算得S △POQ =32.综上,得三角形POQ 的面积是定值32.15.(2019福建四地七校3月调研,19)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E 的离心率;(2)如图,若直线l 与椭圆相交于A,B,且AB 是圆(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径,求椭圆E 的标准方程.解析 (1)由题意不妨设椭圆上的点P 的坐标为(a 2,a 2),代入椭圆方程可得14+a 24b 2=1,即a 2=3b 2,∴a 2=3b 2=3(a 2-c 2),∴2a 2=3c 2,∴e=√63. (2)由(1)得椭圆E 的方程为x 23b 2+y 2b 2=1,易知直线l 的斜率存在,设其方程为y=k(x-1)-1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).{y =k(x -1)-1,x 2+3y 2=3b 2⇒(3k 2+1)x 2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b 2=0(*). ∴x 1+x 2=6k(k+1)3k 2+1,x 1x 2=3(k+1)2-3b 23k 2+1. 又x 1+x 2=2,∴k=13,∴x 1x 2=16-9b 24, 则|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√103√4-4·16-9b 24=2√5,∴b 2=103,则a 2=10,∴椭圆E 的标准方程为x 210+y 2103=1. 16.(2019黄山一模,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率e=12,点P 是椭圆上的一个动点,△PF 1F 2面积的最大值是4√3.(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D 是椭圆上不重合的四点,AC 与BD 相交于点F 1,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=967,求此时直线AC 的方程. 解析 (1)由题意知,当点P 是椭圆上(或下)顶点时,△PF 1F 2的面积取得最大值.此时,S △PF 1F 2=12·2c ·b=4√3,又e=c a =12,a 2=b 2+c 2, 所以a=4,b=2√3,故所求椭圆的方程为x 216+y 212=1.(2)由(1)知F 1(-2,0),由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得AC ⊥BD. ①当直线AC 与BD 中有一条直线的斜率不存在时,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=14,不合题意. ②当直线AC 的斜率存在且为k(k 不为0)时,其方程为y=k(x+2).。

高考数学总复习考点知识专题讲解49---椭圆(一)

A．1 C．4
B．2 3 D．4 3
[思路引导] (1)列出方程表示椭圆的条件→结合已知条件列式→得解．
→→ (2)设 P(x0，y0)→根据PF，PA列式→根据 x0 的范围求解．
(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( × )
(3)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭
圆．( √ )
(4)
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
与
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)
的
焦
距
相
同．( √ )
2．(2019·山西大学附属中学诊断)已知方程mx22＋m＋y2 2＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是( D )
(2)(2019·福建三明期中)已知 P 是椭圆2x52 ＋y92＝1 上一点，
F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2 面积为( A )
A．3 3
B．2 3
C． 3
D．
3 3
[思路引导] (1)两圆内切的条件→|MC1|＋|MC2|为定值
→定义法求得点 M 的轨迹方程． (2)△F1PF2 为焦点三角形→利用椭圆定义和余弦定理进
行边角转化→求面积．
[解析] (1)设圆 M 的半径为 r，则
|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8<16，∴动圆圆心 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，则 a＝8，c＝4， ∴b2＝48，故所求的轨迹方程为6x42 ＋4y82 ＝1.

2021版高中全程复习方略配套课件：椭圆(北师大版·数学理)

b2=2，离心率为
又离心率为所以解得
m= .
答案：
(3)已知椭圆的短轴长为6，离心率为，则椭圆的一个焦点到
长轴端点的距离为__________.
【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 ①
又因为离心率为，所以
②
又因为a2=b2+c2
③
解①②③组成的方程组得：a=5,c=4.
所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.
(3)设椭圆方程为
因为P到两焦点的距离分别
为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为过P且与长轴垂直的
直线恰好过椭圆的一个焦点，所以(2c)2=52-32=16，所以c2=4
，因此b2=a2-c2=12，所以椭圆方程为：
【反思·感悟】1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于 2a求解，涉及到椭圆上的点与焦点构成的三角形时，还常用余弦定理求解. 2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解； ⒊当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有a>b>0.
【例2】(2012·淮南模拟)设椭圆
(a>b>0)的两个焦点
分别为F1、F2，点P在椭圆上，且该椭圆的离心率等于___________.
，tan∠PF1F2=2,则
【解题指南】由
得△F1PF2为直角三角形，再由
tan∠PF1F2=2得出两直角边的比为2，而斜边长为2c，由勾股
定理及椭圆的定义即可求出离心率.

2021高考数学(理)大一轮复习第八篇平面解析几何第3节椭圆

第3节椭圆[选题明细表]知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程2,3,7,9,11椭圆的几何性质1,4,8,13 直线与椭圆的位置关系5,6,10,12,14(建议用时:20分钟)1.椭圆+=1的焦距为2,则m的值等于( C )(A)5 (B)3 (C)5或3 (D)8解析:由题意知椭圆焦距为2,即c=1,又满足关系式a2-b2=c2=1,故当a2=4时,m=b2=3;当b2=4时,m=a2=5.故选C.2.方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( D )(A)(4,+∞) (B){4}(C)(-∞,4) (D)(0,4)解析:方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴上的椭圆,即方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,可得0<k<4,故选D.3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为12,则C的方程为( D )(A)+y2=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:由题意可得=,4a=12,解得a=3,c=2,则b==,所以椭圆C的方程为+=1.故选D.4.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等差数列,则此椭圆的离心率为( A ) (A)(B)(C)(D)-2解析:由题意可得2|F1F2|=|AF1|+|F1B|,即4c=a-c+a+c=2a,故e==.故选A.5.已知椭圆E:+=1,直线l交椭圆于A,B两点,若AB的中点坐标为(,-1),则l的方程为( D )(A)2x+y=0 (B)x-2y-=0(C)2x-y-2=0 (D)x-4y-=0解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式作差并化简整理得=-·,而x1+x2=1,y1+y2=-2,所以=,直线l的方程为y+1=(x-),即x-4y-=0.故选D.6.过椭圆+=1内一点P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是 ;此弦的长为.解析:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由于A,B两点均在椭圆上,故+=1,+=1,两式相减得+=0.又因为P是A,B的中点,所以x1+x2=6,y1+y2=2,所以k AB==-.所以直线AB的方程为y-1=-(x-3),即3x+4y-13=0.由消去y整理得13x2-78x+105=0,则x1+x2=6,x1x2=,所以此弦长为|AB|=|x 1-x2|==·=.答案:3x+4y-13=07.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,-2)且a=2b,则椭圆的标准方程为.解析:因为c=2,a2=4b2,所以a2-b2=3b2=c2=12,b2=4,a2=16.又焦点在y轴上,所以标准方程为+=1.答案:+=18.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为A,经过原点的直线l交椭圆C于P,Q两点,若|PQ|=a,AP⊥PQ,则椭圆C的离心率为.解析:不妨设点P在第一象限,O为坐标原点,由对称性可得|OP|==,因为AP⊥PQ,所以在Rt△POA中,cos∠POA==,故∠POA=60°,易得P(,),代入椭圆方程得+=1,故a2=5b2=5(a2-c2),所以椭圆C的离心率e=.答案:(建议用时:25分钟)9.已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是( A )(A) (B)2 (C)2(D)解析:由椭圆的方程可知a=2,c=,且|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=3,|PF2|=1.又|F 1F2|=2c=2,所以有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即△PF1F2为直角三角形,且∠PF2F1为直角,所以=|F 1F2||PF2|=×2×1=.故选A.10.在平面直角坐标系xOy中,直线x+y-2=0与椭圆C:+=1(a>b>0)相切,且椭圆C的右焦点 F(c,0) 关于直线l:y=x的对称点E在椭圆C上,则△OEF的面积为( C )(A)(B)(C)1 (D)2解析:联立方程可得消去x,化简得(a2+2b2)y2-8b2y+b2(8-a2)=0,由Δ=0得2b2+a2-8=0.设F′为椭圆C的左焦点,连接F′E,易知F′E∥l,所以F′E⊥EF,又点F到直线l的距离d==,所以|EF|=,|F′E|=2a-|EF|=,在Rt△F′EF中,|F′E|2+|EF|2=|F′F|2,化简得2b2=a2,代入2b2+a2-8=0得b2=2,a=2,所以|EF|=|F′E|=2,所以S△OEF=S△F′EF=1.故选C.11.设F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F 2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为.解析:因为△F 2AB是面积为4的等边三角形,所以AB⊥x轴,所以A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可求得|F1A|=|F1B|=.又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30°,所以=×2c.①又=×2c×=4,②a2=b2+c2,③由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=112.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点,求△PAB的面积的最大值.解:(1)因为e2===,所以a2=4b2.又椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,1),所以+=1.所以a2=8,b2=2.故所求椭圆方程为+=1.(2)设l的方程为y=x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y整理得x2+2mx+2m2-4=0.所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4.又直线l与椭圆相交,所以Δ=4m2-8m2+16>0,解得|m|<2.则|AB|=×=.点P到直线l的距离d==.所以S△PAB=d|AB|=××=≤=2.当且仅当m2=2,即m=±时,△PAB的面积取得最大值为2.13.已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若=2,·=,求椭圆的方程.解:(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有|OA|=|OF2|,即b=c.所以a=c,椭圆的离心率为e==.(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,设B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B(,-).将B点坐标代入+=1,得+=1,即a2=3c2.①又由·=(-c,-b)·(,-)=,得b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为+=1.14.已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),上顶点为A,过F 且垂直于x轴的直线l交椭圆Γ于B,C两点,若=.(1)求椭圆Γ的方程;(2)动直线m与椭圆Γ有且只有一个公共点,且分别交直线l和直线x=2于M,N两点,试求的值.解:(1)由题意得解得所以椭圆Γ的方程为+y2=1.(2)设切点为P(x 0,y0)(y0≠0),则m:+y0y=1. 令x=1得y=,即M(1,).令x=2得y=,即N(2,).所以====.。

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