7-2 电偶极辐射和磁偶极辐射

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电偶极子和磁偶极子的对比讲解

电偶极子和磁偶极子的对比

1 引言 (1)

2 定义 (1)

2.1 电偶极子的定义 (1)

2.2 磁偶极子的定义 (2)

3 电偶极子和磁偶极子比较---主动方面 (2)

3.1 电偶极子和磁偶极子的场分布 (2)

3.2 电偶极子和磁偶极子辐射 (4)

4 电偶极子和磁偶极子比较---被动方面 (4)

4.1 电偶极子和磁偶极子在外场E和B中的力和力矩 (4)

4.2 电偶极子和磁偶极子在外场中的相互作用能 (5)

5 应用 (8)

5.1 心脏的活动 (8)

5.2 赫濨磁偶极子天线 (9)

6 结论 (9)

参考文献：........................................................... 致谢................................................................

电偶极子和磁偶极子的对比

摘要：本文介绍了电偶极子和磁偶极子模型的建立, 并对两者在数学表达上的类似和内在结构土的不同所引起的差别作了讨论。这里的关键是通过电偶极子和磁偶极子各方面的的性质做出了基本论述电偶极子和磁偶极子都是非常实用的物理模型，让同学们更好的认识电磁偶极子非常重要的事。在研究物质电磁性态时，用电偶极子和磁偶极子就能很好地说明极化和磁化现象，在研究电磁辐射时，偶极辐射不论在理论上或实际应用中都十分重要。由于电偶极子和磁偶极子分别是复杂点体系和次体系的一级近似在数学表达上有不少的类似之处，使得研究更具更利，但应当认识到，这种类似只是形式上的，因为至今尚未有存在磁单极的实验证据，我们在进行类比并由此高清电偶极子和磁偶极子。

电偶极辐射

p i p
.. . .
0 ikeikR B( x , t ) n p 4 R
在 l R 条件下偶极辐射的磁感应强度为：
i t
p i / p
..
k / c, c 1/ 0 0
eikR B( x , t ) pn 3 4 0 c R
同样可以得到：
( x , t ) ( x )e
it
根据洛仑兹条件 2 r r r ic 可以得到矢势与 j ( x ) = 炎 A( x) w 标势的关系：此情况下电磁场也是时谐电磁场：
因此只要求出矢势即可得到标势
it B( x , t ) A( x , t ) B( x )e ic E ( x , t ) B( x , t ) （在 J 0 的区域成立）
2 n x 当 l x 时 kn x 2
近似公式可以仅取积分中的第一项，有：
0 e ikR A( x ) 4R

J ( x )dV 偶极辐射公式
机动
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结束
在满足 l R ， l 的前提下，按 R 与的关系还可分为三种情况：
0 J ( x)eikr dV ，则： A( x, t ) A( x )ei t 令 A( x ) 4 r

磁偶极辐射

磁偶极辐射是指由磁偶极子产生的辐射现象。磁偶极子是一对相等大小、反向取向的磁极，可以用一个磁矩来表示。当磁偶极子在外部磁场的作用下翻转或震荡时，会产生辐射，向周围空间传播电磁波。

磁偶极子的辐射机制是通过其磁场的变化而产生的。当磁偶极子磁矩发生变化时，会引起周围空间中的磁场的变化。根据麦克斯韦方程组的推导，磁场的变化会激发电场的变化，从而产生电磁波辐射。磁偶极辐射的频率与磁偶极子的振荡频率相同。

磁偶极辐射具有一定的辐射模式。通常情况下，磁偶极辐射沿垂直于磁偶极矩方向的轴向辐射较强，而在磁偶极矩方向的水平方向辐射较弱。辐射的方向性与辐射的频率有关。

磁偶极辐射在实际应用中有广泛的用途。例如，在天文学中，天体的磁场变化可能产生磁偶极辐射，可以通过观测这种辐射来研究天体的性质。此外，在无线通信领域，天线可以看作是磁偶极子，通过辐射电磁波来传输信号。磁偶极辐射的理论和实验研究对于理解和应用电磁波辐射具有重要意义。

电偶极子的三种实用的基本模型

1 2 R I 2 r 0
1 2
) 故知在 ω、 l、 I 0 相同的条件下 , 赫兹偶极振子 ( 模型 Ⅰ ) 的辐射电阻的 4 倍 . 的辐射电阻为短天线 ( 模型 Ⅲ
例3 设宏观带电粒子 , 电量为 q , 以圆频率 ω 作半径为 r0 的圆周运动 , 求其辐射场 E 、 B 及辐射能流
S、辐射总功率 P.
- iωt
模型 Ⅲ 短天线天线长度 l ν λ 时 , 称短天线 . 取其电流为简化的线性关系 , 如图 3 所示 , 即
I ( z , t ) = I0 1 -
辐射在其中起决定性的作用 .
4) 带电粒子作圆周运动时 , 其辐射场为两个相互
垂直、相位差
π 的电偶极振子辐射场的叠加 . 2 ) 可以直接用电偶极辐射解决 . 5) 短天线 ( l ν λ
l
2
l
I0 1 z e iωt
2
l
| z|
e - i t d z ez = 1 ω I l e - i t ez ( 5 ) 2 0
ω
注意 : 天线的每个基元 , 都只能是一个赫兹偶极振子 , 即模型 I ,因为模型 Ⅱ 将使天线断线 ,而模型 Ⅲ 将使天线元段的分割点断流 . 式 ( 11) 是 l ～λ的情况下所得结果 , 我们将此结果
解这是一个典型的电磁波辐射问题 , 计算较为繁难 . 它可以用模型 Ⅱ 处理 , 我们介绍两个有用的公式

电偶极子的辐射功率

电偶极子是由两个等大异号电荷组成的系统，它具有一个正电荷和一个负电荷，它们之间的距离称为电偶极矩。电偶极子在空间中运动时会产生辐射，这个辐射功率是电偶极子的一个重要性质。

我们来了解一下电偶极子的辐射机制。当电偶极子受到外界的激励，例如电场或者磁场，它的电荷会受到力的作用而产生加速度。根据电磁理论，加速度的变化会产生辐射场。因此，电偶极子也会产生辐射。

电偶极子的辐射功率可以通过辐射场的能流密度来描述。能流密度是单位面积上通过的能量流量。根据辐射场的理论，电偶极子的辐射功率与其加速度的平方成正比。也就是说，电偶极子的辐射功率与电偶极矩的大小、电偶极矩的变化率和加速度的平方成正比。

在电偶极子的辐射功率中，存在一个重要的参数，即辐射阻抗。辐射阻抗是辐射场与电偶极子之间的耦合系数，它决定了电偶极子辐射出去的功率与其自身的功率之间的关系。辐射阻抗与电偶极子的大小、形状以及辐射波长有关。通过调节电偶极子的大小和形状，可以改变辐射阻抗，进而影响电偶极子的辐射功率。

除了辐射阻抗，电偶极子的辐射功率还受到辐射波长的影响。根据辐射场的理论，当辐射波长远大于电偶极矩的尺寸时，电偶极子的辐射功率会随着辐射波长的平方递减。这是因为辐射波长较长时，

辐射场与电偶极子之间的耦合效应较弱，辐射功率会减小。

电偶极子的辐射功率还与运动轨迹有关。当电偶极子做直线运动时，其辐射功率最大。而当电偶极子做圆周运动时，其辐射功率最小。这是因为在直线运动时，电偶极子的加速度变化较大，辐射功率较大；而在圆周运动时，电偶极子的加速度几乎没有变化，辐射功率较小。

§53电偶极辐射§5.3电偶极辐射

§5.3 电偶极辐射

Electric Dipole Radiation

电磁波是以交变运动的电荷系统辐射出来的，在宏观情形电磁波由载有交变电流的天线辐射出来；在微观情形，变速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。

本节研究宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。

1、计算辐射场的一般公式当电流分布给定时，计算辐射场的基),(t x j ′′r r r 础是的推迟势：A τμ′′′=d t x j t x A ),(),(0r r r r π∫r

V 4若电流是一定频率ω的交变电流，有

),(t x j ′′r r t i e x j t x j ′−′=′′ω)(),(r r r

因此0())i t j x e ωμ′−′′r r r r (,4V A x t d r τπ=∫()0()r c i t j x e d ωμτ−−′′=r r ()4V i kr t r x e ωπ−′

∫

r r 0()4V j d r

μτπ′=∫式中为波数c k ω=

如果令−t i ω)r r r r ′=ikr e x e x A t x A (),(r r r r 且有∫

′=V d r j x A τπμ)(4)(0式中因子e ikr 是推迟作用因子，它表示电磁波传到场点时有相位滞后kr 。

根据Lorentz 条件，可求出标势：ϕA c r ⋅∇−=∂2ϕ由此可见，由矢势的公式完全确定了电磁场。t ∂A r

另外根据电荷守恒定律∂r 另外，根据电荷守恒定律且有0=∂+⋅∇t j ρ=⋅r r ，只要给定电流，则电荷分布ρ也

物理跃迁知识点总结

一、原子能级

能级的理论是量子力学的基础之一。在原子系统中，能级是指原子处于不同能量状态下的

可能性。原子的能级是通过求解薛定谔方程得到的。在原子内，能级通常用量子数来标识，每个能级有自己的能量和波函数。电子在原子中的能级结构决定了原子的光谱和其他性质。在原子的能级结构中，跃迁是电子从一个能级跳跃到另一个能级的过程。

二、原子跃迁的分类

在原子的能级结构中，跃迁可以分为受激辐射跃迁、自发辐射跃迁和受激吸收跃迁三种类型。

1. 自发辐射跃迁

自发辐射跃迁是指原子由高能级向低能级跃迁并释放出光子的过程。这种跃迁是由于原子

内部的不稳定性而导致的，它是一种自发性的现象。自发辐射跃迁是产生光谱辐射的主要

机制之一。

2. 受激辐射跃迁

受激辐射跃迁是指原子在外界光子的作用下，由低能级向高能级跃迁并且吸收入射光子能

量的过程。这种跃迁需要外界的激发光子来提供能量，因此称为受激辐射。受激辐射跃迁

是激光原理的基础之一。

3. 受激吸收跃迁

受激吸收跃迁是指原子处于高能级时，由外界光子的作用下，向更高的能级跃迁并吸收入

射光子能量的过程。这种跃迁需要外界光子提供能量，并且会增强入射光子的强度。

三、原子跃迁的选择定则

原子跃迁的选择定则是描述原子在跃迁过程中遵循的守恒规律，它是由旋转和电荷守恒、

动量守恒和角动量守恒等物理原理决定的。

1. 电偶极辐射选择定则

电偶极辐射选择定则是对原子在跃迁时电偶极辐射的强度和方向的规定。根据电偶极辐射

选择定则，两个能级间的跃迁只在它们的角动量量子数或自旋量子数相差一个单位时才会

发生电偶极辐射。

四,磁偶极辐射和电四极辐射（PDF）

3. 电四极辐射
Αv( xv)
=
−
ikµ 0e ikR 24πR
nv ⋅
Dt&
定义矢量 Dv (nv) = nv ⋅ Dt
Αv( xv)
=
−
ikµ0e ikR 24πR
Dv&
=
e ikR 24πε0c 3 R
D&v&
辐射区电磁场为
Βv
=
iknv ×
Αv
=
源自文库
e ikR 24πε0c 3 R
D&v&&× nv
∑ Dt = e(3 xv' xv' − r' 2 Jt )
∑ Dij =
e(3
x
' i
x'
j
−
r '2δij
)
单位张量
这样定义的电四极矩只有5个独立分量。
辐射平均能流密度为
S
=
1 2
Re(
Εv
∗
×
Ηv
)
=
c 2 µ0
Βv 2 nv
=
1 4πε0
1 288π c5R2
(D&t&&× nv)2
设电荷分布区域线度为 l Dij ~ O(l 2 )
线圈中当各点上的电流以相同振幅和相同相位振荡时, 每一时刻都有∇•J=0，这类电流分布是闭合的，线圈上不带电荷，因此线圈上的振荡电流所产生的辐射是纯磁多极辐射。

四磁偶极辐射和电四极辐射

+
1 (xv'Jv' 2
−
Jv' xv' )
则积分为
∫ ∫ 1
2
[(nv
⋅
xv '
)Jv'
+
(nv
⋅
Jv'
) xv '
]dV
'
+
1 2
[(nv ⋅ xv' )Jv' − (nv ⋅ Jv' )xv' ]dV '
(nv ⋅ xv' )Jv' − (nv ⋅ Jv' ) xv' = −nv × ( xv' × Jv' )
多极辐射在原子核物理中有重要意义辐射几率正比于经典辐射功率,乎正比于角分布, 可以推知辐射的电磁多极性质，进而提供关于原子核内部运动的一些知识。
例求图中电四极子以频率ω振荡时的辐射功率和角分布。
解该体系的电四极矩张量为
Dt = 6Ql 2evzevz Dv ≡ nv ⋅ Dt = 6Ql 2 cos2 θ evz
+ (nv ⋅ Jv' )xv']dV
=
1 2
e[(nv ⋅ xv' )vv + (nv ⋅ vv' )xv']
vv' 带电粒子的速度

电偶极辐射电偶极辐射-DSL

§5.3 电偶极辐射

Electric Dipole Radiation

本节研究宏观电荷系统在其线度远小于波长情形下的辐射问题。

1、计算辐射场的一般公式当电流分布给定时，计算辐射场的基),(t x j ′′r r r 础是的推迟势：A τμ′′′=d t x j t x A ),(),(0r r r r π∫r

V 4若电流是一定频率ω的交变电流，有

),(t x j ′′r r t i e x j t x j ′−′=′′ω)(),(r r r

因此0())i t j x e ωμ′−′′r r r r (,4V A x t d r τπ=∫()0()r c i t j x e d ωμτ−−′′=r r ()4V i kr t r x e ωπ−′

∫

r r 0()4V j d r

μτπ′=∫式中为波数c k ω=

如果令−t i ω)r r r r ′=ikr e x e x A t x A (),(r r r r 且有∫

′=V d r j x A τπμ)(4)(0式中因子e ikr 是推迟作用因子，它表示电磁波传到场点时有相位滞后kr 。

根据Lorentz 条件，可求出标势：ϕA c r ⋅∇−=∂2ϕ由此可见，由矢势的公式完全确定了电磁场。t ∂A r

另外根据电荷守恒定律∂r 另外，根据电荷守恒定律且有0=∂+⋅∇t j ρ=⋅r r ，只要给定电流，则电荷分布ρ也

电偶极子的辐射功率

电偶极子是指由两个相等但异号电荷构成的系统，它们之间的距离远小于它们到观察点的距离。当电偶极子加速运动时，会产生辐射功率。本文将从电偶极子的辐射机制、辐射功率的计算以及辐射功率的应用等方面进行探讨。

我们来了解一下电偶极子的辐射机制。电偶极子的加速运动会导致电磁辐射的产生，这是由于加速运动的电荷会产生变化的电场和磁场。根据麦克斯韦方程组，变化的电场和磁场会互相激发，形成电磁波的传播。这就是电偶极子辐射的基本原理。

接下来，我们来看一下如何计算电偶极子的辐射功率。根据经典电动力学理论，电偶极子辐射的辐射功率与加速度的平方成正比。具体地，辐射功率可以通过以下公式计算：

P = (2/3) * e^2 * a^2 / (4πε₀c^3)

其中，P表示辐射功率，e表示电荷的电量，a表示电偶极子的加速度，ε₀表示真空介电常数，c表示光速。

需要注意的是，这个公式只适用于电偶极子的加速度远小于光速的情况。当加速度接近光速时，需要采用相对论性的辐射功率计算公式。

然后，我们来看一下电偶极子辐射功率的应用。电偶极子辐射功率

的研究在无线通信、雷达、天线等领域具有重要的应用价值。例如，在通信系统中，我们常用天线来发送和接收无线信号。电偶极子辐射功率的计算可以帮助我们优化天线的设计，以提高信号传输的效率和距离。此外，电偶极子辐射功率的研究还有助于理解电磁辐射的物理机制，进而推动电磁学和无线通信技术的发展。

总结起来，电偶极子的辐射功率是由电偶极子的加速度决定的。加速度越大，辐射功率越大。我们可以通过计算辐射功率来优化天线设计，提高无线通信的效率。电偶极子辐射功率的研究对于电磁学和通信技术的发展具有重要意义。希望本文对读者对电偶极子的辐射功率有所了解，并对相关领域的研究和应用提供一定的帮助。

电偶极辐射

电偶极辐射是指由电偶极子产生的电磁辐射现象。在物理学中，电偶极子是指两个电荷大小相等、符号相反、并且之间的距离很小的系统。当这两个电荷发生振荡或加速运动时，就会产生电磁辐射。

电偶极辐射是一种无线电波辐射，它的频率范围通常在几千赫兹到几百兆赫兹之间。这种辐射是由于电偶极子的振荡或加速运动所产生的，具有电场和磁场的交变分量。这两个分量垂直于彼此，且垂直于电偶极子的运动方向。电偶极辐射的特点是能够远距离传播，并且可以被天线接收。

电偶极辐射的强度和频率有关，根据麦克斯韦方程组可以得到电偶极辐射的功率与频率的关系。在频率较低的情况下，电偶极辐射的功率与频率的平方成正比；而在高频率下，电偶极辐射的功率与频率的四次方成正比。

电偶极辐射在许多领域都有应用。在通信领域，电偶极辐射被广泛应用于无线电、电视和手机等设备中。在医学领域，电偶极辐射被用于医学成像，如核磁共振成像和X射线成像等技术中。此外，电偶极辐射还被用于雷达、卫星通信、天文观测等领域。

然而，电偶极辐射也存在一些问题和挑战。由于电偶极辐射的传播距离较远，因此可能会对环境和人体健康产生一定的影响。此外，在无线通信设备如手机和无线路由器等的使用过程中，电偶极辐射

也会对人体产生一定的辐射。因此，在使用这些设备时，应尽量减少辐射对人体的影响。

为了减少电偶极辐射对人体的影响，可以采取一些措施。例如，合理安排无线通信设备的使用时间和距离，避免长时间暴露在电磁辐射环境中。此外，还可以选择辐射较小的设备，并尽量减少无线通信设备在身体附近的使用。

电偶极辐射是由电偶极子产生的电磁辐射现象，具有远距离传播的特点。它在通信、医学和科学研究等领域都有广泛应用。然而，电偶极辐射也存在一定的问题和挑战，需要采取相应的措施来减少对人体的影响。通过科学合理地使用无线通信设备，可以有效降低电偶极辐射对人体健康的潜在风险。

§3电偶极辐射

§3 电偶极辐射

2、矢势的展开式

2）远区电磁场矢势的展开

对于远场区域的辐射场，可以采用近似方法求解

4.时变电偶极矩在远场区激发的电磁场辐射

——能流、辐射功率、角分布

θ∙∙

∙∙

p 在电偶极矩的轴线方向上没有辐射；

例题：

假设两个很小的金属球，之间用细导线相连，两个球上的电量分别是q(t)和-q(t)。假设：

()t

qω

cos

)(

计算平均能流密度和总辐射功率。

5、短天线的辐射辐射电阻

1）短天线辐射的偶极辐射近似

电偶极辐射近似：电荷体系的分布尺寸远小于辐射电磁波的波长

∙∙

120

Definition

Antenna (radio)：An antenna (or aerial) is a

transducer that transmits or receives

electromagnetic waves.

Wikipedia

Yagi‐Uda Antenna(八木宇田天线)

Wikipedia

“Rabbit ears” dipole antenna for television reception

Wikipedia

Cell phone base station

Parabolic antenna

antennas

天线阵列(Antenna array)

相控阵天线

❑天线阵是将若干个天线按一定规律排列组成的天线系统。❑

❑利用天线阵可以获得所期望的辐射特性，诸如更高的增益、需要的方向性图等。

❑组成天线阵的独立单元称为阵元，排列的方式有直线阵、平面阵等。

❑天线阵的辐射特性取决于阵元的型式、数目、排列方式、间距，以及各阵元上的电流振幅和相位等。

电偶极辐射

电偶极辐射是指由电偶极瞬时加速运动所产生的电磁辐射。电偶极是指电荷分布不对称的体系，例如带电球或者两个电荷相等但符号相反的点电荷。当电偶极瞬时加速运动时，即电偶极矩的瞬时变化率不为零时，就会产生电磁辐射。

电偶极辐射是一种无线电波，它的频率范围通常在几十千赫到几百兆赫之间。电偶极辐射的强度取决于电偶极矩的瞬时变化率。当电偶极瞬时变化率较大时，电偶极辐射的强度也较大。电偶极辐射的强度随着距离的增加而迅速减小，符合反比平方定律。

电偶极辐射具有以下几个特点：

1. 方向性强：电偶极辐射的强度在不同的方向上是不同的，呈现出明显的方向性。这是因为电偶极辐射是由电偶极瞬时变化率产生的，电偶极瞬时变化率的方向决定了电偶极辐射的方向。

2. 极化状态：电偶极辐射是一种电磁波，它具有电场和磁场的振动分量。这两个振动分量与电偶极辐射的传播方向垂直，并且振动方向也垂直于彼此。这种特性称为电磁波的极化状态。

3. 传播速度：电偶极辐射的传播速度是光速，即299792458米/秒。这是由于电偶极辐射是一种电磁波，电磁波在真空中的传播速度恒定为光速。

4. 能量传输：电偶极辐射具有能量传输的特性。当电偶极辐射传播到某个物体上时，它会被吸收或者反射。被吸收的电磁能量会转化为热能，而反射的电磁能量则会继续传播。

电偶极辐射在现实生活中有着广泛的应用。例如，在无线通信中，手机、无线电、卫星通信等设备都是通过电偶极辐射来传输信息的。此外，电偶极辐射还被广泛应用于雷达、遥感、医学影像等领域。

总结起来，电偶极辐射是由电偶极瞬时加速运动所产生的电磁辐射。它具有方向性强、极化状态、传播速度快、能量传输等特点。电偶极辐射在无线通信、雷达、遥感等领域有着广泛的应用。了解电偶极辐射的特点和应用，有助于我们更好地理解和利用电磁辐射的原理。

电磁辐射的多极展开与辐射模式

电磁辐射是指电场和磁场的能量传播。它在现代通信、无线电、雷达等领域具

有重要的应用价值。电磁辐射的理论基础是麦克斯韦方程组，通过这些方程可以描述电磁辐射的传播和特性。

在研究电磁波辐射时，人们常常使用多极展开来进行分析。多极展开的基本思

想是通过一系列球谐函数的线性组合来逼近一个给定的函数。在电磁辐射的研究中，一般使用电荷的电偶极矩和磁偶极矩来进行多极展开。

在电磁辐射中，电偶极辐射是最基本的一种辐射模式。电偶极辐射是由电场的

变化引起的，其辐射特性可以用辐射强度来描述。辐射强度与电偶极矩的大小和方向有关。在一个固定的电偶极矩方向上，随着距离的增加，辐射强度会减小。而在不同方向上的辐射强度也有所不同，这就构成了电磁辐射的辐射图案。

多极展开不仅适用于电偶极辐射，还可以推广到更高级别的多极辐射模式。例如，磁偶极辐射是由磁场的变化引起的，其辐射特性也可以用辐射强度来描述。与电偶极辐射类似，磁偶极辐射的辐射强度也与磁偶极矩的大小和方向有关。通过对磁偶极矩进行多极展开，可以得到不同级别的磁多极辐射模式。

除了电偶极和磁偶极辐射，高级别的多极辐射模式还包括电四极辐射、磁四极

辐射等。这些辐射模式的辐射特性和辐射强度都与相应的多极矩有关。通过对多极矩进行多极展开，可以得到更加复杂的辐射模式，从而更好地描述电磁辐射的特性。

电磁辐射的多极展开在实际应用中具有重要意义。首先，它可以帮助我们理解

电磁辐射的辐射机制和传播规律。通过研究不同级别的多极辐射模式，我们可以深入了解电磁辐射的特性，并找到改进电磁辐射系统性能的方法。

微波与天线电偶极子的辐射

t
得： 1 ( A )JC+ t( A t)
利用矢量恒等式： A ( A ) 2 A
1 ( A )JC+ t( A t) 2 A 2 tA 2 J C + ( A t)
V R
dV'
波源
观察点
R
场点R处的 A 和变化的相位较其源 J 和落后 t kR 。
该相位用时间表示： t k R (t kR ) (t R v) (t t')
式中 t ' R/v 就是波源 J 或的变化传递到观察点所需要
的时间。

Az cos Az sin

A

0
aˆ
P R
l
y

x
AR

Il
4π

ejkR R
cos
A
Il
4π
ejkR R
sin
（2）电偶极子的电磁场
磁场由：得:
电场由：
得:
aˆR Raˆ Rsinaˆ
H1(A)1

1
R2sin
R

得:
ER

ql 2 R3
cos
E

ql 4 R3