高中三角函数期末总复习(人教版)

高中三角函数总结（人教版）
1.任意角的三角函数定义：
设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为2
2
y x r +=，则：
)
(tan ),(cos ),(sin y x x
y
x r x y r y ⨯===正负看正负看正负看α
αα 2.特殊角三角函数值：
0° 30°
45°
60°
90° sin 0 2
1 2
2 23
1 cos 1
2
3
2
2
2
1 0 tan 1
3
3
1 3
无意义
3.同角三角函数公式：
α
ααααααααααtan 1
cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1
cos sin ,cos sin tan 2
2=
===+= 4.三角函数诱导公式：
（1）)(;tan )2tan(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+α
πααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(α
πααπααπα=+-=+-=+ （3）;
tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(α
ααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限）
（4）;
cot )2tan(,sin )2cos(,cos )2sin(απααπααπα-=+-=+=+ （5）;cot )2
tan(,sin )2cos(,cos )2sin(ααπααπααπ=-=-=- （正余互换，符号看象限）
注意：tan 的值，总为sin/cos ，便于记忆；
5.三角函数两角诱导公式：
（1）和差公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±β
αβαβαsin
sin cos cos )cos( =± β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=
±
（2）倍角公式
令上面的βα=可得：α
ααcos
sin 2)2sin(= ααααα2222sin 211
cos 2sin cos )2cos(-=-=-= α
α
α2
tan 1tan 2)2tan(-=
6.正弦定理：
△ABC 中三边分别为c b a ,,,外接圆半径为R ，则有：
R
C
c
B b A a 2sin sin sin === 7.余弦定理：
△ABC 中三边分别为c b a ,,,则有：ab
c
b a C 2cos 2
22-+=
8.面积公式：
△ABC 中三边分别为c b a ,,,面积为S ，则有：)(sin 2
1两边与夹角正C ab S = 9.三角函数图象：
函数名 图像 单调区间
y=sinx
递增区间：
]2
2,22[π
πππ+-k k
递减区间：
Z
k
k k ∈++],2
32,22[ππππ
y=cosx
递增区间： ]2,2[πππk k - 递减区间：
Z k k k ∈+],2,2[πππ
y=tanx
递增区间： Z k k k ∈+-),2
,2(π
πππ
定义域非R ，为：
}2
|{π
π+≠k x x
10.关于B
x A y ++=)sin(ϕω的性质： （1）最大值为B A +||，最小值为B A +-||（得最时,1)sin(±=+ϕ
ωx ） （2）周期|
|2ωπ
=
T ，频率πω2||1==T f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ
（3）图像的对称轴是直线：)(2
Z k k x ∈+=+π
πϕω，可化简为x=的形式；
（4）图像的对称中心为：B B x A y =++=)sin(ϕ
ω时得到的所有交点（x ，B ） （5）单调区间求取：一利用诱导公式将ω变为正，如变为cos 等，此处假设0>ω，二求出x A y sin =的单调区间，令ϕω+x 分别位于单调区间区域，反解x 范围；
11.图像变换：B
x A y ++=)sin(ϕω： B
x A y x A B y x A y x A
y x x y x y x
y B y A y x x ++=→+=-−−−−−→−+=→+=−−−−−−→−+=+=−−−−−−→−+=−−−−−→−=)sin()sin()
sin()sin()
sin()1
sin()
sin(sin 1
ϕωϕωϕωϕωϕωϕω
ϕω
ϕ个单位轴下移沿倍
变为原来的纵坐标倍
变为原来的横坐标个单位
轴左移沿
关键点：上+下-（y ），左+右-（x ），倍数相除（变为原来的n 倍，则对应的坐标都除以n ）。