运算定律及正推、逆推

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正推

一、正推：画树状图（先算的先画）；列综合式：从条件出发，先画的先算，先算的一定要加括号
逆推：画树状图（先算的先画）；列综合式：从结果出发，用关系式列式，先算的一定要加括号
（计算时一般用递等式，计算后代人树状图验算）
二、文字题
找出关键词（如：和、差、积、商、几的几倍、比多比少等）并分析是那两个数的，要先算，列式时一般要加括号，同时注意“除”等。

（列综合式先画树状图分析）
三、运算定律
加法交换律：a+b=b+a,即两个数相加。

乘法交换律：a x b=b x a,即两个数相乘。

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)即三个数相加。

乘法结合律：(a x b)x c=a x (b x C)即三个数相乘。

乘法分配律:(a+b) x c=a x b+a x c即两个数的和与一个数相乘。

四、简便运算（一定要先观察题目的结构，再选择相应的方法）
1、只有加减：能凑成整十、整百、整千的数先算。

2、只有乘法:125和8、25和4、5和2结合起来先算。

3、乘+乘（或乘—乘），并且有相同因数的：相同的因数不变，另外的因数相加或相减
4、两个数的和或差乘以一个数：用括号外的数和里面的数分别相乘，再相加或相减。

加减乘除的运算定律

题例(简算过程)：30×25×4
=30×（25×4）
=30×100
=3000
3.乘法分配律——乘法分配律：两个数与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
字母公式：(a+b)×c=a×c+b×c
题例(简算过程)：(1)12×6.2+3.8×12
=12×(6.2+3.8)
=12×10
=120
= 6X100-1.99X100
=( 600-199)/100
=4.01
四．除法性质
一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除。
字母公式：a÷b÷c=a÷(b×c)
题例(简算过程)：20÷8÷1.25
=20÷(8×1.25)
=20÷10
=2
1.商不变的规律
被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变。
字母公式：A÷B=(AN)÷(BN)=(A÷N)÷(B÷N) （N≠0 B≠0)
题例：80÷125
=(80×8)÷(125×8)
=640÷1000
=0.64
五．小数的基本性质
小数的末尾添上“0”或去掉“0”，数的大小不变。
三．减法性质：一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加，再相减。
字母公式：A-B-C=A-(B+C)
题例(简算过程)：20-8-2
=20-(8+2)
=20-10
=10
1.差不变的规律：一个数连续减去几个数，可以用这个数减去所有减数的和，差不变。
字母公式：A-B-C=A-(B+C)
题例：6-1.99
=6+(18+2)
=6+20

初中数学重点梳理：逆推法

逆推法知识定位如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理，那么与习惯方法相反的逆向推理方法，就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言，没有绝对的界限.逆向推理包括了公式、法则、定义、定理的逆向应用。

解答数学题通常是：在顺向推理有困难时用反向推理；在正面探求有困难时用反面探求；直接解答有困难时用简接解答。

顺、逆两种方法都能熟练掌握，灵活应用，那么解题能力就能较大地提高。

知识梳理知识梳理：逆推法乘法公式的逆向应用之一，就是因式分解. 还有其他变形的应用，如： (x+y)2=x2+xy+y2，以x, y 的基本对称式，表示x, y 的平方和、立方和(差)：x2+y2=(x+y)2－2xy ， x3+y3=(x+y)3－3xy(x+y).分数的加减法则的逆向应用，可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差)：1=b a b b a a +++， 111)1(1+-=+n n n n . “互为相反数相加得零”的逆向应用：0=a+(－a).在因式分解中折项，添项，配方都用到它，在证明恒等式或化简、计算中也常用它.公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如：⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 的逆向应用是：当a ≥0时，a=2a ；当a<0 时,a= －2a ；如 x<y<0时，则x －y=－2)(y x -.因为定义可以反叙，所以定义既是判定又是性质. 例如：相似多边形的定义：相似多边形对应角相等对应边成比例⇔⎭⎬⎫.方程解的定义：若m 是方程ax2+bx+c=0的解，则 am2+bm+c=0；反过来，若an2+bn+c=0,则n 是方程ax2+bx+c=0的解. 对于定理的逆用，当然要先判断定理的逆命题为真.一个定理的题设和结论不只一项时，交换题设和结论中的一项，就组成一个逆命题，故逆命题有多个，有真，有假.一般地，若题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理；对于分段式的定理也有逆定理.例题精讲【试题来源】【题目】例1解方程(a 2－)12b x 2+()122c b-x+c 2－a 2=0 . (a 2－)012≠b . 【答案】∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【解析】由观察法，可得到一个根为1 (∵方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解：∵方程a 2－21b +()122c b-+ c 2－a 2=0 ，有一个实数根是1 . ∴可设另一根为x 2，根据韦达定理得 1×x 2=22212ba a c --=1(22)222--b a a c b . 解得 x 2=1(22)222--b a a c b . ∴原方程的解是 x 1=1, x 2=1(22)222--b a a c b .【知识点】逆推法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】化简53-5-3+.【答案】－2【解析】∵53-5-3+<0，∴53-5-3+=－2)53-5-3(+=－)53)(5-3(2-535-3+++＝－2.【知识点】逆推法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：1<a，1<b.求证：abba+<+1.【答案】见解析【解析】本题直接证明有困难，不论是从左到右或从右到左，都难以完成，估计是要从某一个已知不等式出发.试用逆推法，从结论倒推出应有的不等式.由abba+<+1两边平方，得a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2. a2+b2－a2b2－1<0,分解因式：（1－b2）(a2－1)<0,由已知可推出这不等式.证明：∵1<a，1<b，∴a2＜1，b2＜1，∴a2－1＜0，1－b2＞0.（a2－1）（1－b2）＜0,a2+b2－a2b2－1<0,∴a2+b2＋2ab<1+a2b2+2ab ∴(a+b)2<(1+ab)2 .∴abba+<+1.【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：四边形ABCD中，AB＋BD＜AC＋CD.求证：AB＜AC.【答案】见解析【解析】直接推导，应证明BD＝CD或BD＞CD.即证明∠BCD≥∠1，有困难，不妨用反证法.这也是一种逆推法，从反面推导.证明：设AB不小于AC，即AB≥AC，∴∠2≥∠ABC.∵∠BCD＞∠2，∠ABC＞∠1.∴∠BCD＞∠1.∴BD＞CD.∴AB＋BD＞AC＋CD，这和已知条件相矛盾，故假设不能成立.∴AB＜AC.【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】有100个人排成一列，自1往下报数，报奇数的人，走出队列，留下的人按原顺序重新报数，报奇数的又走出队列，这样继续下去，最后留下一人，问这人第一次报数是多少？【答案】64【解析】从第1，2，3……次往下推，可知人数分别是100，50，25，12，6，3人，要确定留下的人，依次是报几号，最好是用逆推法，由最后一次，在3人中的报号必定是2；上一次，在6人中的报号必定是报4；再上一次在12人中，必是报8. 其规律是：21，22，23，…，2 n.所以，第一次报数应是小于100的2的最高次幂，∵26<100<27，∴这人第一次报数是26即64.【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】计算：3×5×17×257×……×()n221+【答案】1212-+n【解析】本题直接计算有困难，可由通式122+n，用确定n 的自然数值，回还原数3，5，17，257，…再逆用平方差公式a+b=b a b a --22, 就可很快得出结果 .解：原式=）＋（1202 ()1221+ ()2221+ ()3221+…()n 221+=1212121212121212 81648422--⋅--⋅--⋅--1212222--⨯nn. =()22-1 ()221+ ()421+ ()821+……()n221+=1212-+n【知识点】逆推法【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知： (x+y)(y+z)(z+x)=0,xyz ≠0. 求证： z y x z y ++=++111 x 1.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c 是△ABC的三边长. 求证：3(ab+bc+ca)<(a+b+c)2<4(ab+bc+ca). 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a, b, c 是互不相等的实数.求证：accbbabcacbaabcbaccabacb-+-+-=---+---+---222))(())(())((.【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：a,b,c,d 都是实数. 求证：(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】三个容器内都有水，如果把甲容器内的水的31倒入乙容器，再把这时乙容器内的水的41倒入丙容器，最后把丙容器内现有的水的101倒入甲容器，则各容器内的水都是9升，问原有各容器内的水各是几升？【答案】甲：12 乙：8 丙：7 【解析】【知识点】逆推法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】对于方程(1+a)x4+x3－(3a+2)x2－4a=0.求证：（1）不论a 取什么值，如下方程都有实数解.（2）存在一实数x,使得不论a为任何实数,x都不是这个方程的解. 【答案】见解析【解析】【知识点】逆推法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】311【试题来源】【题目】若三个一元二次方程,中至少有一个方程有实数根,求m的取值范围。

(完整版)四则运算规律及其简便运算

四则运算规律及其简便运算一、四则运算的运算顺序1、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。

2、在没有括号的算式里，同时有加、减法和乘、除法，要先算乘除法，再算加减法。

3、算式有括号，先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。

二、关于“0”的运算：1、“0”不能做除数；2、一个娄加上0或者减去0，最终还等于原数3、被减数等于减数，差得04、0乘任何数或0除以任何数，都得0三、运算定律与简便运算（一）加法运算定律：1、两个加数交换位置，和不变这叫做加法交换律。

字母公式：a+b=b+a2、先把前两个数相加，或者先把后两个数相加；和不变，这叫做加法结合律。

字母公式：(a+b)+c=a+(b+c)（二）乘法运算定律1、交换两个因数的位置，积不变，这叫做乘法交换律。

字母公式：a × b=b × a2、先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这叫乘法结合律。

字母公式：（a ×b）× c=a ×(b ×c)3、两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，这员乘法分配律。

字母公式：(a+b)⨯c=a⨯c+b⨯c 或a⨯(b+c)=a⨯b+a⨯c（加号也可以换成减号）（三）减法简便运算：1、一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个数的和。

用字母表示：a-b-c=a-(b+c)2、一个数连续减去两个数，可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。

用字母表示：a-b-c=a-c-b （四）除法简便运算1、一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个数的积。

用字母表示：a÷b÷c=a÷(b x c)2、一个数连续除以两个数，可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。

用字母表示：a÷b÷c=a÷c÷b能简便运算的要简算，不能简算的按四则运算来计算。

沪教版小学四年级[上册]数学知识点汇总

第一章复习与提高一、加法和减法（1）加法：求两个数的和的运算。

①加数+加数=和②一个加数=和—另一个加数（2）减法：已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算。

①被减数—减数=差②被减数=差+减数③减数=被减数—差（减法是加法的逆运算）二、乘法与除法（1）乘法：求几个相同加数和的简便运算。

①因数×因数=积②一个因数=积÷另一个因数（2）除法：已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。

①被除数÷除数=商②被除数=商×除数③除数=被除数÷商（除法是乘法的逆运算）三、分数（1）进一步直观认识几分之一、几分之几,能根据直观图的阴影部分写出分数。

（2）通过直观图初步认识相等的分数。

1 / 10一、大数的认识一）整数数位顺序表数级…亿级万级个级数位…千亿位百亿位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位计数单位…千亿百亿十亿亿千万百万十万万千百十个十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率是(10),这样的计数法叫(十进制计数法)。

10个一万是十万,10个十万是一百万,10个一百万是一千万,10个一千万是一亿。

弄清不同计数单位之间的进率。

如：百万和万之间的进率是（100）,十亿和千万之间的进率是（100）。

题目举例：（100）个千万是十亿。

一亿是100个（一百万）。

二）、数的读法和写法:亿以内数的读法、写法知识点:1、亿以内数的读数方法。

（课本上只有“万以内数的读数方法”）含有个级、万级和亿级的数,必须先读亿级,再读万级,最后读个级。

（即从高位读起）亿级或万级的数都按个级读数的方法,在后面要加上亿或万。

在级末尾的零不读,在级中间的零必须读,每级最多读两个0。

中间不管连续有几个零,只读一个零。

2、亿以内数的写数方法。

（课本上只有“万以内数的写数方法”）从高位写起,按照数位顺序写,中间或末尾哪一位上一个计数单位也没有,就在那一位上写0。

3、比较数大小的方法。

递推算法、顺推、逆推概念

递推算法、顺推、逆推概念在计算机科学中，递推算法是一种基于已知结果计算下一个结果的算法。

递推算法通常用于计算数列、统计问题和最短路径等问题。

递推算法可以分为两种类型：顺推和逆推。

顺推算法是从已知的第一个值开始，按照某种规律依次计算出后续的值。

例如，斐波那契数列就是一种顺推算法。

斐波那契数列的计算规律是：第一个值为0，第二个值为1，后续的值等于前两个值的和。

因此，斐波那契数列的前几个值为0、1、1、2、3、5、8、13、21……逆推算法则是从已知的最后一个值开始，按照某种规律依次计算出前面的值。

逆推算法通常用于计算最短路径等问题。

例如，如果要计算从起点到终点的最短路径，可以从终点开始，逆推出每个节点的最短路径，最终得出起点的最短路径。

递推算法也可以用于解决统计问题。

例如，如果要计算n个人中任选k个人的组合数，可以使用递推算法。

假设已知n个人中任选k-1个人的组合数为C(n,k-1)，则n个人中任选k个人的组合数为C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。

这是因为，当第n个人被选中时，剩下的k-1个人必须从前n-1个人中选，而当第n个人不被选中时，剩下的k个人必须从前n-1个人中选。

因此，n个人中任选k个人的组合数等于这两种情况的组合数之和。

递推算法具有简单、高效的特点，适用于大部分数学问题的求解。

但是，在实际应用中，递推算法也有一些缺点。

首先，递推算法需要占用大量的内存空间，因为需要保存所有已知结果。

其次，递推算法对于某些问题可能无法求解，因为递推过程中可能会出现死循环或无法到达的状态。

总之，递推算法是一种重要的计算机算法，可以用于解决数学问题、统计问题和最短路径等问题。

顺推和逆推是递推算法的两种基本形式，分别适用于不同的问题类型。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的递推算法。

12个运算律公式和性质

12个运算律公式和性质数学中的运算律公式和性质是我们在进行各种数学计算和推导时不可或缺的重要工具。

在代数运算中，掌握这些运算律可以帮助我们更好地理解和运用数学知识。

以下是一些常见的12个运算律公式和性质：1. 加法交换律加法交换律指的是两个数相加的结果与加数的顺序无关。

即对任意实数a和b，都有a +b = b + a。

2. 加法结合律加法结合律表示三个数相加的结果不受加数的加法顺序影响。

对任意实数a、b和c，都有(a + b) + c = a + (b + c)。

3. 乘法交换律乘法交换律表明两个数相乘的结果与乘数的顺序无关。

即对任意实数a和b，都有a × b = b × a。

4. 乘法结合律乘法结合律表示三个数相乘的结果不受乘数的乘法顺序影响。

对任意实数a、b和c，都有(a × b) × c = a × (b × c)。

5. 分配律分配律是指加法和乘法之间的关系。

对任意实数a、b和c，都有a × (b + c) = a × b +a × c。

6. 加法逆元每个实数a都有一个加法逆元，记作-a，满足a + (-a) = 0。

7. 乘法逆元对于任意实数a（a≠0），都有一个乘法逆元，记作1/a，使得a × (1/a) = 1。

8. 零乘法零乘法指任何实数乘以0的结果都是0，即a × 0 = 0。

9. 负数乘法负数乘法满足负负得正的性质，即两个负数相乘的结果是正数。

例如，-a × -b = a ×b。

10. 分数的乘法分数的乘法遵循分子相乘，分母相乘的原则。

即a/b × c/d = (a × c) / (b × d)。

11. 分数的除法分数的除法可以转化为乘法运算，即a/b ÷ c/d = a/b × d/c。

12. 平方的乘法平方的乘法是指两个平方数相乘的结果仍为一个平方数。

初中所有运算规律或公式

初中所有运算规律或公式一、数正数：正数大于0负数：负数小于00既不是正数，也不是负数；正数大于负数整数包括：正整数，0，负整数分数包括：正分数，负分数有理数包括：整数，分数/有限小数，无限循环小数数轴：在直线上取一点表示0（原点），选取单位长度，规定直线上向右的方向为正方向任何一个有理数（实数）都可以用数轴上的一个点表示，点和数是一一对应的两个数只有符号不同，其中一个数为另一个的相反数；两个互为相反数0的相反数就是0在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且与原点距离相等数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大绝对值：数轴上，一个数所对应的点与原点的距离正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0两个负数比较大小，绝对值大的反而小有理数加法法则：同号相加，不变符号，绝对值相加异号相加，绝对值相等得0；不等，符合和绝对值大的相同，绝对值相减一个数加0，仍是这个数加法交换律：A+B=B+A加法结合律：(A+B)+C=A + (B+C)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号的负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0 乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数乘法交换律：AB=BA乘法结合律：(AB)C=A (BC)乘法分配律：A (B+C) =AB+AC有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号的负，绝对值相除0除以任何非0的数都得0；0不能做除数乘方：求n个相同因数a的积的运算；结果叫幂；a是底数；n是指数；an读作a的n次幂有理数混和运算法则：先算乘方，再乘除，后加减；括号里的先算无理数：无限不循环小数，有正负之分。

算数平方根：一个正数x的平方等于a，即x2＝a，则x是a的算数平方根，读作“根号a”0的算数平方根是0平方根：一个数x的平方根等于a，即x2＝a，则x是a的平方根（又叫：二次方根）一个正数有两个平方根，且互为相反数；0只有一个，是它本身；负数没有平方根开平方：求一个数的平方根的运算；a叫做被开方数立方根：一个数x的立方等于a，即x3＝a，则x是a的立方根（又叫：三次方根）每个数只有一个立方根，正数的是正数；0的是0；负数的是负数开立方：求一个数的立方根的运算；a叫做被开方数实数：有理数和无理数的统称，包括有理数，无理数。

小学四年级数学第一单元知识点指导

小学四年级数学第一单元知识点指导如何把小学各门基础学科学好大致是专门多学生都发愁的问题，以下确实是为大伙儿分享的四年级数学第一单元知识点，期望对大伙儿有关心。

工作效率1、把握工作效率的概念。

2、明白得并把握工作效率、工作时刻与工作量三者之间的关系。

3、能灵活运用“工作效率、工作时刻与工作量”三个数量之间的关系解决实际问题。

树状图与算法流程(正推和逆推)1、学会结合树状算图明白得正推、逆推的思想方法。

2、能将“正推和逆推”的思维方法用树状图表示。

3、能列综合算式表达正推和逆推的过程，正确运算输出的数。

4、能够结合生活，解决一些实际问题。

5、能列综合算式表达正推和逆推的推算过程，解决实际问题，并能用逆推和正推的思想进行检验。

三步运算的式题和文字题1、明白四则混合运算的运算顺序。

2、能用递等式正确地运算三步式题。

3、能结合树状图将分步列式合并成综合算式。

4、把握三步运算文字题的摸索步骤和正确解三步运算的文字题。

运算定律1、把握加法和乘法的运算定律。

2、能运用所学的运算定律使一些运算简便。

3、能依照数据特点和运算符号，合理选择算法。

应用1、能结合树状算图明白得分析应用题的数量关系的思路。

2、能用“从条件或问题动身”分析应用题的数量关系，确定解题步骤。

3、能列综合算式解答含有三个量的两步运算应用题。

观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观看过程中指导。

我注意关心幼儿学习正确的观看方法，即按顺序观看和抓住事物的不同特点重点观看，观看与说话相结合，在观看中积存词汇，明白得词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观看雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么模样的，有的小孩说：乌云像大海的波浪。

小学数学解题方法解题技巧之逆推法

小学数学解题方法解题技巧之逆推法小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。

有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。

由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。

解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。

这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。

用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。

（一）从结果出发逐步逆推例1一个数除以4，再乘以2，得16，求这个数。

（适于四年级程度）解：由最后再乘以2得16，可看出，在没乘以2之前的数是：16÷2=8在没除以4之前的数是：8×4=32答：这个数是32。

*例2 粮库存有一批大米，第一天运走450千克，第二天运进720千克，第三天又运走610千克，粮库现有大米1500千克。

问粮库原来有大米多少千克？（适于四年级程度）解：由现有大米1500千克，第三天运走610千克，可以看出，在没运走610千克之前，粮库中有大米：1500+610=2110（千克）在没运进720千克之前，粮库里有大米：2110-720=1390（千克）在没运走450千克之前，粮库里有大米：1390+450=1840（千克）答：粮库里原来有大米1840千克。

*例3 某数加上9后，再乘以9，然后减去9，最后再除以9，得9。

问这个数原来是多少？（适于四年级程度）解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的数是：9×9=81在减去9之前的数是：81+9=90在乘以9之前的数是：90÷9=10在加上9之前，原来的数是：10-9=1答：这个数原来是1。

*例4 解放军某部进行军事训练，计划行军498千米，头4天每天行30千米，以后每天多行12千米。

逆推与图示整理

逆推与图示引入：张老师说；“把我的年龄数减去8，除以5，加上8，再乘6，正好是72.”同学们，你能推算出张老师今年多大吗？【知识要点】1、必要知识储备。

运用“逆推法”解决问题要以四则运算中加减乘除的各部分之间的关系为知识基础。

加数＋加数=和 =〉一个加数=和－另一个加数被减数－减数=差 =〉被减数=减数＋差因数×因数=积 =〉一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商 =〉被除数=除数×商2、对“逆推法”的理解。

“逆推法”思考问题，不仅是解题思路的“逆向”，而且计算方法也是恰恰相反。

从后往前推，原来是加法，推回去是减法，原来是减法，推回去是加法；原来是乘法，推回去是除法，原来是除法，推回去是乘法；总之，总是逆着往回想、往回算，因而，这种解题思路，又称“还原”。

3、需要用“逆推法”解决的问题，常常要满足三个条件：⑴、已知最后结果；⑵、已知在达到最终结果时每一步具体过程；⑶、最初结果为未知数。

把握这三个条件，准确运用画图来帮助分析题意，“逆推法”一定会运用得好的。

〔典型例题〕〔例1〕、一根钢管，第一次截去3米，第二次截去剩下的一半后，还剩 5米。

这根钢管原来长多少米？〔例2〕、工人们铺一段公路，第一天铺了全长的一半还多2千米，第二天铺了余下的一半少1千米，此时还剩18千米。

公路全长多少千米？〔例3〕、小马虎抄了一道整数加法题，因为字迹潦草，算题时，把个位上的6看做了0，把十位上的5看做了8，结果所得的和是123，那么，正确答案是多少？注：同学们，虽然“逆推法”帮助小马虎解决了问题，可是我真心希望你们要认真审题，仔细书写，不要再犯“小马虎式”的错误了！〔例4〕、小华在郊外采了一大把野花，在回家的路上，碰见了哭鼻子的小妹妹，她把花束的一半送给了小妹妹；后来，她有碰见了爱花的小哥哥，她又把此时手中的花束的一半给了小哥哥；最后又遇见了好朋友妞妞，她又把此时手中花束的一半分给了妞妞，这样一来，小华手里只剩下3枝花了，可她一样很高兴。

小学数学解题方法解题技巧之逆推法

小学数学解题方法解题技巧之逆推法小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。

有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。

由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。

解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。

这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。

用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。

（一）从结果出发逐步逆推例1一个数除以4，再乘以2，得16，求这个数。

（适于四年级程度）解：由最后再乘以2得16，可看出，在没乘以2之前的数是：16÷2=8在没除以4之前的数是：8×4=32答：这个数是32。

*例2 粮库存有一批大米，第一天运走450千克，第二天运进720千克，第三天又运走610千克，粮库现有大米1500千克。

*例3 某数加上9后，再乘以9，然后减去9，最后再除以9，得9。

*例4 解放军某部进行军事训练，计划行军498千米，头4天每天行30千米，以后每天多行12千米。

小升初奥数第2节：运算定律

使用运算定律的准确理解，避免使用错误或不理解的定律进行计算。
灵活运用：在解题过程中，根据需要选择合适的运算定律，提高计算效率和准确性。
避免混淆：注意区分不同类型的运算定律，避免混淆使用，导致计算错误。
逐步运算：在应用运算定律时，应按照运算顺序逐步进行，确保每一步的正确性。
添加标题
举例：例如计算(a+b)+c时，可以先计算a+c，再计算b+c，最后将两个结果相加，得到(a+b)+c的结果。这正是利用了加法交换律的原理。
加法结合律的证明
定义：加法结合律是指三个数相加，任意改变加数的结合顺序，结果不变。
应用：在数学中，加法结合律是基本的运算定律之一，广泛应用于各种数学运算中。
添加标题
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证明：设三个数为a、b、c，则 a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，即加法结合律成立。
举例：例如，在计算(3+4)+5 时，可以按照加法结合律先算 3+4=7，再算7+5=12，得到结果12。
乘法交换律的证明
定义：乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
乘法分配律的证明
定义：乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，等于将这两个数分别与这个数相乘后再求和
证明方法：通过代数运算和等式的变形，证明乘法分配律的正确性
证明过程：利用代数表达式展开，逐步推导，最终得出证明结果
应用举例：通过具体例题，展示乘法分配律在解题中的应用
05
运算定律的注意事项

数字的逆运算与逆推

数字的逆运算与逆推数字的逆运算与逆推是数学中的重要概念，指的是通过一系列的运算或推理，从给定的结果反推回原始数字或数列。

逆运算和逆推在数学问题的求解和证明过程中起着至关重要的作用。

本文将探讨数字的逆运算与逆推的理论基础、相关方法以及实际应用。

一、逆运算的基本概念逆运算是指对某种运算进行相反操作的过程。

在数学中，常见的逆运算有加法与减法、乘法与除法等。

逆运算可以将一个数字转换为与之相反的数字，如减法是加法的逆运算，乘法是除法的逆运算。

逆运算常常用于解方程、求函数的反函数等问题中。

以加法为例，如果有一个数字x，进行加法运算得到结果y，那么通过减法运算可以将结果y逆推回原始数字x。

这是因为加法与减法是互为逆运算的，它们的运算结果可以相互抵消。

类似地，乘法与除法、指数运算与对数运算等也都有对应的逆运算关系。

了解和应用逆运算关系，可以帮助我们在数学问题中快速求解或验证结果的准确性。

二、逆推的基本原理逆推是指从某个已知的结果出发，逆向推导出产生该结果的原因或过程。

在数字领域中，逆推常常用于数列、方程等问题中。

在数列问题中，逆推可以帮助我们找到数列中的规律，并根据这个规律来求解未知项。

例如，给定一个等差数列的前几项，我们可以通过逆推来确定首项和公差，从而进一步计算其他项。

在方程求解中，逆推可以用于验证方程的解的正确性或求解多次方程。

当我们已知方程的解时，可以通过代入等方法来逆推方程的各项系数，从而得到方程的具体表达式。

逆推在数学问题的解决过程中具有重要作用，它不仅可以帮助我们理解问题的本质，还可以提供解题思路和方法。

三、逆运算与逆推的应用1. 逆运算在密码学中的应用逆运算在密码学中具有广泛的应用。

在加密过程中，通过使用逆运算可以将明文转化为密文。

而在解密过程中，通过应用逆运算的逆运算，可以将密文还原为明文。

逆运算在密码学中起着保护信息安全和确保通信隐私的重要作用。

2. 逆推在数学证明中的应用逆推在数学证明中经常被使用。

运算律的整理与复习

用字母表示：a-b-c=a-（b+c)
被除数连续除两个数，可以除这两个数的积，结果不变这叫做除法的运算性质。
用字母表示：a÷b÷c=a÷（b×c)
文字表述
字母表示
例子 =
提示
加法交换律两个数相加，交换加数的位置，
和不变。三个数相加，可以先加前两个数，也可以先加后两个数，和不变。两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。三个数相乘，可以先乘前两个数，也可以先乘后两个数，积不变。两个数的和乘一个数，可以把它们分别乘这个数再相加，结果不变。
ab=bc 282+63+37=282+ =a+（b+c）（63+37）（ab）c= a（bc）（a+b）c =ac+bc a-b-c= a-（b+c） a÷b÷c= a÷（bc）
58×4×25=58× （4×25）
凑整
乘法结合律
方便计算
乘法分配律
56×67+56×33=56 ×（67+33） 324-45-55=324（45+55） 270÷45÷2=270÷ （45×2）
运算律的整理与复习
大丈小学
想一想
• 1、我们之前都学过哪些运算律？
• 2、学过这些运算律的哪些知识？
交换两个因数的位置，积不变。这叫做加法交换律。
用字母表示：a+b=b+a
先加前两个数，或者先加后两个数，和不变。这叫做加法结合律。
用字母表示：(a+b)+c=a+(b+c)
交换两个加数的位置，和不变。这叫做乘法交换律。
用字母表示：a×b=b×a
先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。这叫做乘法结合律。

逆推法解决加减乘除问题

逆推法解决加减乘除问题在数学学习中，加减乘除是最基本的四则运算。

对于一些简单的问题，我们可以直接计算得出答案。

但是，对于一些复杂的算式，我们可能需要运用逆推法来解决。

逆推法是一种解决问题的思维方法，通过逆向思维，将问题逐步分解，最终得到答案。

下面，我将通过几个例子来说明逆推法的应用。

首先，我们来看一个加法问题。

假设有一个数x，已知x加上5等于15，我们需要求出x的值。

通过逆推法，我们可以先减去5，得到x等于10。

这个例子中，我们通过逆向思维，将问题转化为减法，从而得到了答案。

接下来，我们来看一个减法问题。

假设有一个数y，已知y减去7等于3，我们需要求出y的值。

同样地，通过逆推法，我们可以先加上7，得到y等于10。

这个例子中，我们同样通过逆向思维，将问题转化为加法，从而解决了减法问题。

然后，我们来看一个乘法问题。

假设有一个数a，已知a乘以3等于21，我们需要求出a的值。

通过逆推法，我们可以先除以3，得到a等于7。

这个例子同样展示了逆推法的威力，通过逆向思维，将问题转化为除法，从而得到了答案。

最后，我们来看一个除法问题。

假设有一个数b，已知b除以2等于4，我们需要求出b的值。

通过逆推法，我们可以先乘以2，得到b等于8。

同样地，通过逆向思维，我们将问题转化为乘法，从而解决了除法问题。

通过以上几个例子，我们可以看到逆推法在解决加减乘除问题中的重要性。

逆推法可以帮助我们将复杂的问题简化为更简单的问题，从而更容易得到答案。

逆推法的核心思想是逆向思维，通过逆向推导，逐步分解问题，最终得到答案。

除了以上的基本四则运算，逆推法在解决其他数学问题中也有广泛的应用。

例如，在解决方程问题中，我们可以通过逆推法将方程逐步化简，从而得到方程的解。

在解决几何问题中，逆推法可以帮助我们从已知条件出发，逆向推导，得到未知的几何要素。

总结来说，逆推法是一种解决加减乘除问题的有效方法。

通过逆向思维，将问题逐步分解，我们可以更轻松地得到答案。

小学到大学的运算定律。

运算定律概述一、小学数学运算定律1、加法运算定律⑴加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。

⑵加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c)。

2、乘法运算定律⑴乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b ×a。

⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。

⑶乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。

⑷乘法分配律扩展：两个数的差与一数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相减，即(a-b)×c=a×c-b×c。

3、减法运算定律⑴从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。

⑵一个数连续减去两个数，可以先减去第二个减数，再减去第一个减数，即a-b-c=a-c-b。

4、除法运算定律⑴一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的集，即a÷b÷c=a÷(b×c)。

⑵一个数连续除以两个数，可以先除以第二除数，再除以第一个除数，即 a÷b÷c=a÷c÷b。

5、其它a-b+c=a+c-ba-b+c=a+(b-c)a÷b×c=a×c÷ba÷b×c=a÷(b÷c)6、积的变化规律：在乘法中，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。

推广：一个因数扩大A倍，另一个因数扩大B倍，积扩大AB倍。

运算定理倒退法

②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只）
③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只）
④第三棵树上原有鸟只数.16—6＝10（只）
答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.
例4篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？
199999+19998+1997+196+10
=（199999+1）+（19998+2）+（1997+3）+（196+4）
=200000+20000+2000+200
=222200
4、18×25+81×25+25
解：本题是乘法分配律形式的简单变化，注意最后一个加数“25”可以看成“25×1”的形式。
例1一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？
分析这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.
如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？
②第二天运进200千克后的一半是多少千克？
600＋30＝630（千克）
③第二天运进200千克后有白菜多少千克？
630×2＝1260（千克）
④原来的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克）
⑤原有贮存多少千克？1060×2＝2120（千克）
答：菜站原来贮存大白菜2120千克.

运算定律及正推、逆推

正推

加减乘除的运算定律

初中数学重点梳理：逆推法

(完整版)四则运算规律及其简便运算

沪教版小学四年级[上册]数学知识点汇总

递推算法、顺推、逆推概念

12个运算律公式和性质

初中所有运算规律或公式

小学四年级数学第一单元知识点指导

小学数学解题方法解题技巧之逆推法

逆推与图示整理

小学数学解题方法解题技巧之逆推法

小升初奥数第2节：运算定律

数字的逆运算与逆推

运算律的整理与复习

逆推法解决加减乘除问题

小学到大学的运算定律。

运算定理 倒退法

运算定理倒退法