《应用举例》教案1

《应用举例》教案

一、教学目标

1．知识与技能

掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法

通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值

通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

二、教学重、难点

重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

三、教学方法

方法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。 教学用具：教学多媒体设备

四、课时

1课时

五、教学过程

[创设情景]

思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

[探索研究]

例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a

=

可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+

从而sin a C c A

= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，

如果a ≥b ，那么只有一解；

如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若sin a b A >，则有两解；

（2）若sin a b A =，则只有一解；

（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]

（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，12

c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 （3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3

）2x <<

例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

分析：由余弦定理可知

222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形

∆

（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）

解：222753>+，即222a b c >+，

∴ABC 是钝角三角形∆。

[随堂练习2]

（1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。

（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。

（答案：（1）ABC 是钝角三角形

∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）

例3．在∆ABC 中，060A =，1b =，求sin sin sin a b c A B C

++++的值 分析：可利用三角形面积定理1

11sin sin sin 222

S ab C ac B bc A ===以及正弦定理

sin sin a

b

A B =sin c

C ==sin sin sin a b c A B C

++++

解：由1sin 22

S bc A ==得2c =，

则2222cos a b c bc A =+-=3，即a = 从而sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A

== [随堂练习3]

（1）在∆ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积S = C

（2）在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积2224a b c S +-=

，求角C （答案：（1）060或0120；（2）045）

[课堂小结]

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

（2）三角形各种类型的判定方法；

（3）三角形面积定理的应用。