《应用举例》教案1
解斜三角形应用举例(第一课时) 教案
解斜三角形应用举例（一）
●教学目标
（一）知识目标
1.实际应用问题中的专用名词；
2.解斜三角形问题的类型.
（二）能力目标
1.会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法；
2.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；
3.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；
4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力.
（三）德育目标
通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.
●教学重点
1.实际问题向数学问题的转化；
2.解斜三角形的方法.
●教学难点
实际问题向数学问题转化思路的确定.
●教学方法
启发式
在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理.
●教具准备
投影仪、三角板、幻灯片
第一张：例1、例2（记作§5.10.1 A）
［例1］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40 m，计算BC的长（保留三个有效数字）.
［例2］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.
2019人教A版数学必修五1.2《应用举例》教案
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
即：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦也可求出三角形的面积。
Ⅱ.讲授新课
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
学生回答
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
学生分析回答
教
学
过
程
及ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
人教版初三数学下册《解直角三角形应用举例(1)教案》
《解直角三角形应用举例（1）教案》
——福州江南水都中学魏文勋
【教学设计说明】《解直角三角形的应用》是学生在前一学段学习三角形、勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的边角关系之后的一堂综合运用课。应用解直角三角形的知识来解决现实生活中建筑物高度的测量问题。先让学生探究书中例题，而后进行例题的两个变式，这样既能激发学生的学习兴趣，又比较生动形象。从例题引入，到解两个直角三角形求和得高，从而测量楼高，第二个变式由建筑物的高度通过方程思想求水平距离，由浅入深，步步深入。最后使学生形成把实际问题通过建立数学模型，转换成数学问题进行求解的思想，并运用构建方程的思想达到数与形的结合。培养学生探索知识，理论联系实际的能力
【教学目标】
1、使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；
2、初步培养学生将实际问题转化为解直角三角形问题的能力；
3、体验数学思想（划归思想，方程思想）在解直角三角形中的魅力。
【教学重点、难点】
教学重点：将实际问题转化为解直角三角形问题。
教学难点：将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间关系进行解题的思想方法。
【温故知新】
1、在直角三角形中， ______________ _________________________
2、如图，在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
1）边的关系： ______________________
2）角的关系： ______________________
3）边角的关系：
sinA=_ _, cosA= _ _ ,
tan A= _
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案
一、教学目标：
1. 了解数学归纳法的基本概念和步骤。
2. 学会使用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 理解数学归纳法在数学研究中的应用和意义。
二、教学内容：
1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点：
1. 数学归纳法的步骤和条件。
2. 运用数学归纳法证明数学命题。
四、教学方法：
1. 讲授法：讲解数学归纳法的定义、步骤和条件。
2. 案例分析法：分析数学归纳法的应用举例。
3. 练习法：让学生通过练习巩固所学知识。
五、教学准备：
1. PPT课件：展示数学归纳法的定义、步骤、条件及应用举例。
2. 教案：详细记录教学过程和内容。
3. 练习题：供学生课后巩固练习。
【课堂导入】
（在这里引入数学归纳法的话题，激发学生的兴趣，为学生学习新知识做好铺垫。）
【新课讲解】
1. 数学归纳法的定义和步骤。
（1）定义：数学归纳法是一种证明命题的方法，它包括两个步骤：归纳基础和归纳步骤。
（2）步骤：
①归纳基础：证明当n取最小值时，命题成立。
②归纳步骤：假设当n=k时，命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立。
2. 数学归纳法的应用举例。
（1）举例1：证明n^2 + n + 41是一个质数。
（2）举例2：证明对于任意正整数n，都有n^3 n = n(n-1)(n+1)。
【课堂练习】
（请学生上台展示PPT上的练习题，讲解解题思路，巩固所学知识。）
【课堂小结】
（总结本节课的主要内容，强调数学归纳法的步骤和应用。）
【课后作业】
（布置课后练习题，让学生巩固所学知识。）
初中数学《相似三角形应用举例》教案1
《相似三角形应用举例》教案1
★新课标要求
一、知识与技能
1．了解常见的三角形相似模型．
2．会根据具体情景构建恰当的相似模型，解决不能直接测量的物体的测高、河的测宽等问题，培养学生建模能力．
3．会用数型结合的方法分析问题，多角度地思考问题，能有条理的表述解题过程．
二、过程与方法
1．让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力．
2．让学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，培养学生的数学学习兴趣．
三、情感、态度与价值观
★教学重点
将实际问题转化为数学问题，有条理的表述解题过程．
★教学难点
根据实际情境建立三角形相似模型．
★教学方法
通过具体实例培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力，提高分析问题和解决问题的能力．
★教学过程
一、引入新课
一天中午小明和他爸爸在公园里散步，在阳光的照射下地面上留下了两人的影子，小明的身高150cm ，影子长120cm ，他爸爸的影子长144cm ，你能求出他爸爸的身高吗？
二、进行新课
（一）测高
1．利用“同一时刻的两个物体的高与影长”构成相似三角形（ 甲物高乙物高甲物影长乙物影长
）． 例1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度． 如图，如果木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度
BO．
问：怎样测量OA的长？
生2：由平行四边形性质得OH=GK/2，量得GK和HA的长就可得OA的长．
学法：师生共同分析，把数字标在图上，应用数形结合的方法分析题意．
数学九年级下册《应用举例》教案
初中20 -20 学年度第一学期教学设计
例2：利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数
三.课堂练习
1、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
2、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
四.课堂小结
高中数学必修5高中数学必修5《1.2应用举例(一)》教案
1.2解三角形应用举例 第一课时
一、教学目标
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
二、教学重点、难点
教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
三、教学设想
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、设置情境
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 3、 新课讲授
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求
转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
(2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案
一、教学目标
1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过对数列综合应用的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质。
二、教学内容
1. 等差数列的应用：等差数列的求和公式、等差数列的通项公式等。
2. 等比数列的应用：等比数列的求和公式、等比数列的通项公式等。
3. 数列的极限：数列极限的定义、数列极限的性质等。
4. 数列的收敛性：收敛数列的定义、收敛数列的性质等。
5. 数列的应用举例：如数列在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
三、教学方法
1. 采用讲授法，讲解数列的基本概念、性质和应用。
2. 运用案例分析法，分析数列在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
4. 设置课后习题，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
四、教学步骤
1. 引入数列的基本概念，讲解等差数列和等比数列的定义和性质。
2. 引导学生运用数列知识解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
3. 讲解数列的极限和收敛性，分析数列在实际中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论，分享数列在实际问题中的应用案例。
5. 通过课后习题，检查学生对数列知识的掌握程度。
五、教学评价
1. 课后习题的完成情况，检验学生对数列知识的掌握。
2. 课堂讨论的参与度，评估学生的团队协作能力和思维水平。
3. 学生对数列应用案例的分析，评估学生的实际应用能力。
4. 定期进行教学质量调查，了解学生的学习需求，调整教学方法。
28.2.2《应用举例(1)》名师教案(人教版九年级下册数学)
28.2.2 应用举例
第一课时（刘佳）
一、教学目标
1．核心素养:
通过解直角三角形应用举例的学习，初步形成基本的运算能力、推理能力、应用意识. 2．学习目标
（1）1.1.1理解仰角、俯角等概念．
（2）1.1.2能将实际问题抽象成数学问题，并用解直角三角形的方法来解决.
（3）1.1.3能利用解直角三角形来灵活求解其他非直角三角形的问题．
3．学习重点
熟练运用解直角三角形的方法来解决视角相关的实际问题.
4．学习难点
将实际问题抽象为数学模型．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1 阅读教材P74---P76，思考：什么是仰角、俯角?
任务2 阅读教材P74---P76，思考：怎么利用仰角、俯角和解直角三角形的知识解决实际应用问题？
2．预习自测
一、填空题
1．某人从A看B的仰角为15°，则从B看A的俯角为______.
答案：15°
解析：根据平行线的定理，可知答案为15°.
二、选择题
2.如图，已知AC＝100 m，∠B＝30°，则B、C两地之间的距离为（）
A．1003m B．502m C．503m D.1003
3
m
答案：A
解析：tan ∠B=tan30°=3
3100==CB CB AC ,所以BC=1003m ，故选A. 3．如图,为测量某物体AB 的高度,在D 点测得A 点的仰角为30°,朝物体AB 方向前进16m,到达点C,再次测得点A 的仰角为60°,则物体AB 的高度为（ ）
A.8m
B. 83m
C.16 m
D.163m
答案：B
解析：设AB ＝x ，在Rt △ACB 中，tan60°=AB x BC BC
《数学应用举例》word“高效课堂”优质课教案
从双基教学的产生，到素质教育、情感态度价值观、学生学科核心素养等一系列理念的提出、研究和实施，不难发现，在这个变化发展的过程中，教育教学目标的实施一步步具体、明确、可操作，充分体现了基础教育科学研究的不断深入，体现了教育研究水平的不断提高。我们要深刻体会这种变化，最大限度地提高教学效率和教育质量，为现代化建设事业培养全面发展的合格接班人。
本课中，既体现出了双基教学，也在高效课堂上注重了重要环节的描写。通用技术课程立足实践，注重创造，高度综合，融科学与人文于一体，课程学习与实践中，必然涉及相关的数学核心素养，与其它素养相辅相成，使学生的身心素质得到全面健康的发展。
数学研究学习
——生活中的数学应用案例及做一个尽可能大的长方体
生活中无处不存在数学，数学是应用到我们的每个细节。学数学不是当死知识，而是要灵活运用。我们只有真正的学好数学，才能用到实际生活当中。
这天，我正在玩物理学具，因为电学下学期还要学，所以我就玩起了电学里的连接电路。看着那一闪一亮的灯泡，我突然心中起了一个问号，灯泡的容积怎么求呢？那不方不正，又不是球形的灯泡，又怎么能计算求出它的容积呢？最简单的办法就是碗里面灌满水，然后倒出来量。可是灯泡又扭不开，也不可能打碎，这怎么求。我低头思考了一会，就想出办法。
我首先找出一个玻璃钢（鱼缸），然后将灯泡放进去，测量说升高了多少。然后套用公示：升高的高度*长*宽，就计算出来了。
还有一个实例：过年的时候，小姑要和姑父回家乡过年，说是要给我带纪念品。不知道他们什么时候走的，等的我就急了，问爸爸，他这就考我了：“你小姑回去一周，平年2月有28天.，你算算吧。”
28.2.2应用举例(1)参考教案(新人教版九年级下)
28.2.2 应用举例（1）
教学目标：
知识与技能：
1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。
过程与方法：
1、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
2、注意加强知识间的纵向联系．
情感态度与价值观：
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重难点、关键：
重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
难点：实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习引入】
1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．
2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。
二、探索新知、分类应用
【活动一】例1：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角α一般要满足5070
︒≤α≤︒，(如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子。
引导学生先把实际问题转化成数学模型，然后分析提出的问题是数学模型中的什么量，在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？
几分钟后，让一个完成较好的同学示范。
数学教案-函数的应用举例
数学教案－函数的应用举例
教案一：函数在几何中的应用
目标：学会使用函数来描述各种图形的特征和变化。
一、引入：请学生观察下面两个图形：
图形1：正方形
图形2：长方形
请问，两个图形的周长和面积分别是多少？
二、概念解释：引入函数的概念
函数是输入与输出之间的关系。在这个例子中，图形的边长是函数的输入，而周长和面积是函数的输出。
三、实践操作：通过实际测量和计算，求解图形的周长和面积
1. 给出一个边长为x的正方形，求解其周长和面积。
提示：正方形的周长是边长的4倍，面积是边长的平方。
2. 给出一个长为x，宽为y的长方形，求解其周长和面积。
提示：长方形的周长是长和宽的和的2倍，面积是长和宽的乘积。
四、总结与应用：归纳函数在几何中的应用
通过上面的实践操作，我们可以发现函数可以用来描述图形的特征和变化。在几何中，函数可以描述图形的周长、面积、体积等属性。
五、拓展：让学生自选一个几何图形，通过函数来描述它的特征和变化。
教案二：函数在经济学中的应用
目标：学会使用函数来描述经济学中的问题。
一、引入：请学生观察下面的情况：
某公司的销售额与广告投入之间的关系如下表所示：
广告投入（万元）销售额（万元）
10 30
20 40
30 50
请问，广告投入与销售额之间存在什么样的关系？
二、概念解释：引入函数的概念
函数是输入与输出之间的关系。在这个例子中，广告投入是函数的输入，销售额是函
数的输出。
三、实践操作：通过给定的数据点，求解函数的表达式
通过观察给定的数据点，我们可以发现广告投入每增加10万元，销售额增加10万元。因此，我们可以得到函数的表达式为：
28.2.2应用举例 教案
一、知识与技能
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
二、过程与方法
让学生看到锐角三角函数和解直角三角形在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到数学问题的答案，再将数学问题的答案回到实际问题的这种实践----理论----实践的认识过程．
三、情感、态度与价值
实践----理论----实践的认识过程符合人的认知规律，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能够激发学生的学习兴趣．
★教学重点
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
★教学难点
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
★教学过程
一、引入新课
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
（1)勾股定理：a 2+b 2=c 2；
（2）锐角之间的关系：∠A +∠B =90°；
（3）边角之间的关系：
，，． 二、进行新课
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
2．学习例题
例1 2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0．1km ）
sin A A ∠=的对边斜边cos A A ∠=的邻边斜边tan A A A ∠=∠的对边
九年级数学下册28.2.2应用举例(1)教案(新版)新人教版
28.2.2应用举例
能用相关知识解决一些简单的实际
结合思想）在解直角三角形中的魅力。教学
过程问（
（
已知一条边和一个锐角
例题讲解
叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角
生互
根据条件的特点适当选用锐角三角
3.
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案
一、教学目标
1. 让学生理解数学归纳法的概念和原理。
2. 培养学生运用数学归纳法解决问题的能力。
3. 通过数学归纳法的学习，提高学生逻辑思维和创新思维能力。
二、教学内容
1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的基本性质和定理。
3. 数学归纳法在解决数学问题中的应用举例。
三、教学重点与难点
1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和逻辑推理。
四、教学方法
1. 采用讲授法讲解数学归纳法的概念、原理和应用。
2. 通过例题演示数学归纳法的解题过程，引导学生参与讨论和思考。
3. 利用练习题和实践环节，巩固学生对数学归纳法的理解和应用。
五、教学过程
1. 引入：通过一个简单的数学问题，引导学生思考如何证明一个关于自然数的命题。
2. 讲解数学归纳法的定义和步骤，让学生理解并掌握其基本原理。
3. 讲解数学归纳法的基本性质和定理，加深学生对数学归纳法的认识。
4. 通过具体例题，展示数学归纳法的应用过程，让学生学会如何运用数学归纳
法解决问题。
5. 布置练习题，让学生巩固所学内容，并培养实际解题能力。
7. 课后作业：让学生完成练习题，进一步巩固数学归纳法的理解和应用。
六、教学评估
1. 课堂讲解：通过观察学生在课堂上的参与程度和提问回答情况，评估学生对数学归纳法的理解和掌握程度。
2. 练习题完成情况：通过收集和批改学生的练习题，评估学生对数学归纳法的应用能力。
3. 课后作业：通过审阅学生的课后作业，了解学生对课堂内容的巩固程度和实际解题能力。
《应用举例》教案
《应用举例》教案
教学目标
1．使学生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念．
2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
学习重点
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学难点
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．
教学过程
一、寻疑之自主学习
1．仰角：如图1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角．
2．俯角：如图1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向．
图2
图1
4．坡角：如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α
5．坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i＝tan α
＝h l．
6．AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，OA=2，则BC长为（B ）．
A．2 B．C．4 D
7．[2014•济宁] 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为
____1___．
8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，b=∠A的平分线AD，解这个直角三角形．
解：∠A=60°，∠B=30°，c=2b=a=
9．如右上图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( D )
C．30米D．46米
二、解惑之例题解析
例1 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350 km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km）
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《应用举例》教案
一、教学目标
1．知识与技能
掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值
通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
二、教学重、难点
重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
三、教学方法
方法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。 教学用具：教学多媒体设备
四、课时
1课时
五、教学过程
[创设情景]
思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]
例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a
=
可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+
从而sin a C c A
= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。
2．当A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若sin a b A >，则有两解；
（2）若sin a b A =，则只有一解；
（3）若sin a b A <，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
（2）在∆ABC 中，若1a =，12
c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 （3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3
）2x <<
例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。
分析：由余弦定理可知
222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆
（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）
解：222753>+，即222a b c >+，
∴ABC 是钝角三角形∆。
[随堂练习2]
（1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。
（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。
（答案：（1）ABC 是钝角三角形
∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）
例3．在∆ABC 中，060A =，1b =，求sin sin sin a b c A B C
++++的值 分析：可利用三角形面积定理1
11sin sin sin 222
S ab C ac B bc A ===以及正弦定理
sin sin a
b
A B =sin c
C ==sin sin sin a b c A B C
++++
解：由1sin 22
S bc A ==得2c =，
则2222cos a b c bc A =+-=3，即a = 从而sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A
== [随堂练习3]
（1）在∆ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积S = C
（2）在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积2224a b c S +-=
，求角C （答案：（1）060或0120；（2）045）
[课堂小结]
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。