24.1.2垂直于弦的直径第一课时150922

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24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)

A
B
第2题图
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为（ A ） A A、3 B、2 C、1 D、0
。 O
C B D
活动三
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．解： OE
B
(4)
(5)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） _____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 2 4 到AB的距离是___________cm，AB=_________cm. A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 2 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
小结
１、圆的轴对称性２、垂径定理及其推论的图式
直径平分弦所对的弧直径垂直于弦直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧
OEA 90

EAD 90

ODA 90
C

∴四边形ADOE为矩形， ∵ OE⊥AC OD⊥AB 1 1 ∴ AE AC，AD AB 2 2 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.

数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)教学设计

活动 3：定理的基础应用 1、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于 E，则下列结论中不成立的是（）
3
2、如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10cm,OE=6cm,则 AB=
cm。
3、如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求⊙O 的半径
教学内容分析
理第 1 课的定理，为考察重点，所以至少需要 2 课时来探究。垂径定理的推论（知二推三）和灵活运用及更深入的应用和拓展将在第 2 课时进行研究、探讨。
知识能力目标：探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质及证明，能够利用垂径定理的性质求线段的长、证明线段相等、角相等等问题过程与方法：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，
反馈评价
做的不太好，需要老师评讲才会。
评价量规
1、本节课在课堂教学中采取了自主、合作、探究学习的方式，由学生动手操作、讨论观察得结果从而激发学生学习的兴趣。 2、将问题抛出引导学生进一步思考、小组讨论发现证明垂径定理的方法，从而归纳得出垂径定理加深对垂径定理的理解，突出了重点。 3、基本应用的 3 题简单且典型，引导学生联系弦、半径、弦心距等条件通过做辅助线构造直角三角形解决问题，第 4 题主要利用垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用，通过这种有梯度的训练加强了学生对垂径定理，突破了难点。
1
2
图1 图2
在完成上述的操作过程后，观察图形你能发现有相等的线段和相等的弧吗？如有，能证明吗？(探究垂径定理) 学生活动设计：如图 2 所示，连接 OA、OB，得到等腰△OAB，即 OA＝OB．因 CD ⊥AB，故△OAM 与△OBM 都是直角三角形，又 OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则 AM＝BM．所以 CD 是 AB 的垂直平分线，就是说圆上的任意一点 A 在圆上都有关于直线 CD 的对称点 B，因此⊙O 关于直径 CD 对称。由于⊙O 关于直径 CD 对称，所以 A 点和 B 点关于 CD 对称，当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， AC 与 BC

人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径精品教案

课题24.1.2垂直于弦的直径课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)充分认识圆的轴对称性.(2)利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质,掌握垂径定理.(3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图.2.过程与方法让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程,培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力.3.情感、态度与价值观通过实验操作探索数学规律,激发学生的好奇心和求知欲,同时培养学生勇于探索的精神.教学重难点重点:垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.难点:利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.教学活动设计二次设计课堂导入课件出示关于赵州桥的引例引例:你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,现在有个人想要知道它主桥拱的半径是多少?同学们,你能帮他求出来吗?学完了本节课的内容,我们一起来解决这个问题.探索新知合作探究活动1(温故知新)对折圆形纸片,圆的轴对称性.圆是轴对称图形吗?它有几条对称轴?分别是什么?活动2(探究)垂径定理(思考)如图:AB是☉O的一条弦,作直径CD使CD⊥AB,垂足为E.①这个图形是对称图形吗?②你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.③你能用一句话概括这些结论吗?垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.④你能用几何方法证明这些结论吗?⑤你能用符号语言表达这些结论吗?学生小组讨论,找出图中相等的量,教师在学生充分观察对折后的圆形纸片的几何性质后,将学生分析得到的几何等量关系在黑板上板书,为用数学符号语言翻译定理奠定基础.学生观察、思考和探究得出结论,再证明结论,使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起,从而使推理论证成为学生探究结论的自然延续和必然方法.【教师行为】由于定理的题设和结论关系较复杂,教师进一步帮助学生分析定理,并归结为:一条直线(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.同时引导学生认识到垂径定理就是满足条件(1),(2)而推出其他结论.续表【引申】定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段.从而得到垂径定理的变式:一条直线具有:例题讲解:现在我们学习了垂径定理,就可以对前面赵州桥的问题进行解决了.分析:(1)根据桥的实物图画出几何图形;(2)几何图形思考:圆的半径OA,弦心距OD、弦长AB、弓形高CD有怎样的数量关系?学生解答,教师演示过程,规范解题步骤,强调解题的严谨性.。

24.1.2 垂直于弦的直径(第一课时)

O
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
24.1.2 垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
发散题：有一截面为圆形的输油管，内径为650mm,若油面宽为600mm，求油的深度。 600mm
··
600mm
圆O的半径是5cm,AB、CD是圆O 的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，求AB、CD之间的距离。
C
O E
AB D
24.1.2 垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C
O E
AB D
24.1.2 垂直于弦的直径
1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

24.1.2垂直于弦的直径-九年级数学上册课件(人教版)

新知探究
垂径定理的实际应用问题 (教材P82例2)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
新知探究
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的
巩固练习
如图a、b，一弓形弦长为 4 6cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为 2CM或.12CM
新知探究
垂径定理
弓形中的重要数量关系
弦长a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+r=h
r2
=
d
2
+
a 2
2
课堂练习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 5 cm.
问题2：
圆是轴对称图形吗？
圆是周对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
情景导入
新知探究
C
A M D
要证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（轴对称）的对称点也在圆上。
设CD是⊙O的任意一条直径
A′ A为⊙O上点C、D以外的任意一条直径。
过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′。在△OAA′中， ∵OA=OA′ ∴△OAA′是等腰三角形又∵AA′⊥CD， ∴AM=MA′ 即CD使AA′的垂直平分线。
新知探究
C
A M
D
由上可得，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于 A′ 直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称。
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。

24.1.2垂直于弦的直径原创课件

24.1.2 垂直于弦的直径
问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,你能求出赵州桥拱的半径吗?
探究用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做
几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?(课件:探究圆的性质)
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O 的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD 折点AA⌒DE叠和＝分时B⌒B别点，E和重，CB合AD⌒ ⌒CC两，、＝侧A⌒BB⌒E的CD和两，重B⌒个A合ED重半。＝合圆因B，重D此A合⌒C，、A
练习：
1.如图2,在⊙O中,直径MN⊥ AB于C,则下列结论错误的
是( C ) A.AC=BC
B.A⌒N=B⌒N
C.OC=CN
⌒⌒ D.AM=BM
2.如图3,在⊙O中,弦AB的长为8CM,圆心O到AB的距离OD=3CM,则⊙O的半径为 CM 5
M
A
B
O
C
A
B
N
O <3>
讲解
问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,你能求出赵州桥拱的半径吗?
在RT⊿OAD中,由勾股定理A,得
OA2=AD2+OD2
B
D
即
R2=18.72+(R-7.2)2
Байду номын сангаас
解得 R≈27.9(M)
O
因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9M

初中数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径

Ｏ
Ｅ
Ａ
Ｂ
ＣＦ
Ｄ
重难互动探究（一变）
如图 :⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD， AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于
AB，CD之间，求AB和CD间的距离.
A
B
Ｏ
C
D
重难互动探究（二变）
已知：⊙O的半径为17 cm，弦 AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，求AB和CD间的距离.ＣＣＯＡM BBＯ
Ａ
M
Ｄ
Ｄ
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｃ垂径定理：
Ａ
Ｏ M
Ｄ
由 ① CD是直径Ｂ ② CD⊥AB
推论：
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
解：过点 O 作 OE⊥AB，交 CD 于 F，连接 OA， ∴AE＝BE＝12AB＝15， ∵AB∥CD，∴OF⊥CD 在 Rt△OAE 中，
∵OA＝17，AE＝15，
∴OE＝ 172－152＝8，同理 OF＝ 172－82＝15. ∵圆心 O 位于 AB，CD 的上方， ∴EF＝OF－OE＝15－8＝7，即 AB 和 CD 的距离是 7 cm.
一条直线具有:
1、过圆心
2、垂直于弦 3、平分弦（非直径弦） 4、平分弦所对的优弧 5、平分弦所对的劣弧
在这五个条件中知二推三
小试牛刀
如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB 的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A

24.1.2垂直于弦的直径一课的说课材料

《24.1.2垂直于弦的直径》说课材料各位老师，今天我说课的内容是：义务教育课程标准试验数学教科书九年级上册第二十四章第一单元第二节24.1.2垂直于弦的直径的第一节课下面，我从教材分析、目的分析、教学方法与教材处理、学法指导、教学流程、设计思想六个方面对本课的设计实行说明。

【教材分析】：本节内容是前面初步理解圆后的第一个重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为实行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。

另外，本节课通过“实验——观察——猜想——合作交流——证明”的途径，进一步培养学生的动手水平，观察水平，分析、联想水平、与人合作交流的水平，同时利用圆的轴对称性，能够对学生实行数学美的教育。

所以，这节课无论从知识上，还是在从学生水平的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。

通过度析，我们看到“垂径定理”在教材中起着重要的作用，是今后解决相关计算、证明和作图问题的重要依据，它有广泛的应用,所以，本节课的教学重点是：垂直于线的直径的性质、推论及其应用。

因为垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。

所以，本节课的难点是：对垂直于线的直径的性质、推论的说明过程的理解。

而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。

【目的分析】新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。

新数学课程数理念下的数学教学不但是知识的教学，技能的训练，更应重视水平的培养及情感的教育，所以根据本节课教材的地位和作用，结合我所教学生的特点，我确定本节课的教学目标如下：1.学生经历折纸等活动，进一步理解圆，了解圆是轴对称图形。

2.学生能够利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能初步应用它解决相关的证明、计算和作图问题。

24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)说课课件11.4

学情分析
1.从知识层面上说，我班学生几何基础还算不错，喜欢动手去发现问题，解决问题。 .从能力上讲，观察图形的能力已初步
形成，但在推理，证明方面还是不足从心理特点上讲，我班学生的好奇心很强，思维
较活跃，愿意接受新事物
教学方法 .以“动手—思考---证明---例题---练习 ---总结”为主线，我采用启发
∴四边形ADOE为矩形，
∵ OE⊥AC OD⊥AB
∴ AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
E
·O
∴ AE=AD
A
∴ 四边形ADOE为正方形.
D
B
圆是图形，
都是圆的对称轴
垂径定理：于弦的直径平分弦，并且弦所对的两条弧。
推论：平分弦（）的直径
弦，并且弦所对的两条弧
经常需要用到的辅助线有：过圆心做弦的垂线段，作半径，构造直角三角形经常使用到的方法是：勾股定理
知识目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；
学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
教学目标
能力目标：数形结合、方程等数学思想和方法，
培养学生实验、观察、猜想、推理等逻辑思维能力和识图能力。
德育目标：渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、
相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几何图形所蕴涵的对称美。
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC OEA 90 EAD 90 ODA 90

《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计(山西省市级优课)

垂直于弦的直径（第一课时）教学设计【教学内容】§24.1.2垂直于弦的直径.。

【教学目标】1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；③掌握辅助线的作法——作弦心距。

2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。

3．情感目标：①通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质；②培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验。

【教学重点】垂径定理及其应用。

【教学难点】垂径定理的语言表述理解。

【教学方法】探究发现法。

【教具准备】圆形纸片、电脑、三角板、圆规。

【教学过程设计】（一）实例导入，激疑引趣1．实例：同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。

因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.23米。

请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。

（图1）（二）尝试诱导，发现定理1．实验验证：让学生找到准备好的圆形纸片的圆心。

教师用电脑演示重叠的过程。

从而得到圆的一条基本性质——圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。

2．运动变换：如图(a)，当弦AB 与直径CD 不垂直时，此时图中有相等的线段和相等的弧吗？AB 与CD 相交于点E ，当弦AB 在圆上运动的过程中有没有特殊情况？如图(b)，当弦AB 与直径CD 垂直时,此时图中有相等的线段和相等的弧吗？(a) (b) （图２）3．提出猜想：根据以上的研究和图(b)，我们可以大胆提出这样的猜想—— （板书）4．验证猜想：教师提出问题：你如何验证你的结论的正确性？学生从轴对称的角度给予解答。