关于三角模的直觉模糊群的若干性质

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三角模糊数直觉模糊Bonferroni平均算子及其应用_周晓辉_姚俭_吴天魁_袁

1
2
TFNIFN,则
~ ~ . ~ ~ ) ,则 S ( 1 2 2 ~ ~ 2)若 S (1 ) S ( 2 ) ,则 ~ ~ ~ ~ ① 当 H (1 ) H ( 2 ) 时 , 1 2 ~ ~ . ~ ) H ( ~ ) 时, H (
1)若 S (1 )
Triangular fuzzy number intuitionistic fuzzy Bonferroni means operator and its application
ZHOU Xiao-hui 1, YAO Jian 1, WU Tian-kui1 , YUAN Qing-hua2
(1. Business School, University of Shanghai for & Technology, Shanghai 200093, China; 2. Business School, Central University of Finance & Economics, Beijing 100081, China) Abstract: With respect to the problems of multiple attribute group decision-making (MAGDM) in which the attribute values are in the form of triangular fuzzy number intuitionistic fuzzy numbers (TFNIFN) and attributes are associated with each other, this paper present a method based on triangular fuzzy number intuitionistic fuzzy weighted Bonferroni means (TFNIFWBM) operator. Firstly, according to the TFNIFN’s operational laws and Bonferroni means(BM) operator, define triangular fuzzy number intuitionistic fuzzy Bonferroni means(TFNIFBM) operator and TFNIFWBM operator. Then, research the related properties, construct a multi-attribute decision group making model based on TFNIFWBM operator, which is for making decisions combining with sort methods. Finally, this paper gave an illustrative example of MAGDM problems to demonstrate the effectiveness and feasibility of the proposed operator. Key Words: triangular fuzzy number intuitionistic fuzzy number; triangular fuzzy number intuitionistic fuzzy Bonferroni means operator; triangular fuzzy number intuitionistic fuzzy weighted Bonferroni means operator; multi-attribute group decision making. 汪新凡[6]给出了 TFNIFN 的概念,定义了一些运算法则和 FIFWG 算子、FIFOWG 算子和 FIFHG 算子等几何集成算子,并给出了提出直觉模糊集[1](Intuitionistic Fuzzy Sets,IFS) TFNIFN 的记分函数及排序方法.戴厚平[7] 定义了模糊数直觉模糊数的得分函数 , 进而提出一种基于线性规划模型的模糊数直觉模糊多属性决策方法. 上述研究的 TFNIFN 集成算子仅考虑了属性间相互独立的情况,实际决策中,不同属性间会存在不同程度的联系 ,如互补、冗余、偏好关系等.有关属性间具有相互关联的 TFNIFN 集成算子却很少见到报道.基于 BM 算子能够很好地捕获输入变量之间的相互关联情况,其可以将多个输入变量集结为一个输入变量 , 是一种介于最大和最小之间的集成算子[8].目前, XU[9]提出了不

模糊数值直觉模糊群的性质

ｎ≤ １Ｏ，≤ ≤６ ≤６≤ １规定序及运算如下：，
（ｉｂ＝ａ ≤ ｂ， ≤ ６ａ ≤ ６）ｎＣ￣ａ，
（．）口一６ｎ — ｂ，一ｂａ一ｂ１ ∞ ａ，
（ｉ ∞ （，＾ｂ，还是模糊数，而ｎｎｎｂｂａｉ）ａｎ６ｎＡ６ａｉａ＾ｂ）从，２ｂｎ
的一些性质并加以证明。随后在两个非空有限经典群同态意义下，明这种模糊数值直觉模糊群的像仍是模糊数证
值直觉模糊群。
关键词：隶属函数；扩展原理；模糊数值直觉模糊集；模糊数值直觉模糊群
第３卷第１１期
２ｕ年３月Ｏ
辽
宁
石
油
பைடு நூலகம்
化
工
大
学
学
报
Ｖｏ１．３１
Ｎｏ．１
Ｊ０ＵＲＮＡＬ０ＦＩＩ）ＮＧＡ（ＮＩＳＨｌＨＵＡＵＮＩＶＥＲＳＴＹｌ
Ｍａ．２１ｒＯ１
文章编号：６２６５（０１０一０７ —０１７— ９２２１）ｌ０６３
ｎＭＢ）ＮＡＢ）ＮＡ）ＵＮＢ）Ｖｚ， ∈Ｇ，一方面ＭＡＢ（（，ｎ（一（（，ｎ）一ＭＡ（）ｎＭＢ）（（ＭＡ（ｚ）ｎ
ＭＡ）ｎ（Ｂ）（）Ｍ（ｎＭＢ）一（Ａ）（）（（）Ｍ（ｎＡ）ｎＭＲ（）ｎ（Ａ（ｎＢ（）ＭＡＢ）ｎＭａＢ）Ｍ）Ｍ）一ｎ（ｎ（；

离散数学三角模

离散数学三角模In the realm of discrete mathematics, the triangular norm, also known as the t-norm, plays a pivotal role in the study of lattices and fuzzy logic. This norm, derived from the concept of triangular inequality in geometry, finds applications in various fields such as decision-making, artificial intelligence, and information processing.在离散数学的领域中，三角模（也称为t-norm）在格论和模糊逻辑的研究中起着关键作用。

这个模是从几何学中三角不等式的概念推导出来的，在决策制定、人工智能和信息处理等多个领域都有应用。

The triangular norm, in essence, defines a way to combine two or more elements of a lattice in a manner that preserves certain properties. These properties often reflect the underlying structure and relationships within the lattice. In the context of fuzzy logic, the triangular norm is used to combine fuzzy sets or fuzzy values, allowing for a more nuanced representation of uncertainty and ambiguity.三角模本质上定义了一种在格中组合两个或多个元素的方式，这种方式能够保持某些属性。

一种基于三角模糊数的模糊多属性群决策方法

定义３［若三角模糊数矩阵Ａ一（中的元素ａ钉ｎ），一
（，，洳）ｎ一（，Ｊ，灿）满足口ａａ，ｚａａ，＋口＝ａｌ＋口ｊ一口＋“ 州一１。，驰≥ 。４ ≥ 州＞０（， ∈～）则称Ａ是三角，Ｊ，模糊数互补判断矩阵。３基于三角模糊数的不确定多属性群决策模型
（ｚａ，（，，一（・ｌａ・ｍｎ口，ａ）ｂ）ｎｂ，ｂ，・
决策的过程。但是在实际问题中，由于受到事物本身的客观
复杂性、不确定性和人类对待复杂问题思维的模糊性、主观偏好等因素影响使得多属性决策呈现出多样性、不确定性和模糊性等特点。综合决策群体中各个成员的意见与偏好形成整个群体的偏好，对各方案排序择优是解决模糊群决策问题的
１引言
ｂ）ｕ，
（，ａ口）（ｔ，）（口，， ④ ｂ，一盘＋岛，＋，ａａ＋
占
ｂ），・口一（ｆａａ）（ａ，ａｐ，＞Ｏ口，，一，ｌｚ，ａ）二。ｕ
群决策，就是根据群体中各个成员的意见和偏好来综合
Ｉｘ１ｍｘ— ｛０ｍ，，｝Ｔ｛Ｅａ（ — ａｍ－广０ｕ一Ｉａ＆ｏｏ）
Ｈ
为磅的可能度，中其 ∈［，］。的取值取决于决策者的ｏ１
风险态度。Ａ．＞Ｏ５时，称决策者是追求风险的；一０５时，．称
决策者是风险中立的；ｄＯ５时，决策者是厌恶风险的；Ａ．称特别地，一１时，ｐａ称（≥ 为 ≥ 的悲观可能度；Ａ～当＝Ｏ时，称ｐ（≥ 为 ≥ 的乐观可能度。ａ

基于三角模的直觉模糊综合评判模型

摘
要：对建立在Ｖ（大）针取一八（小）取复合运算基础上的模糊综合评判模型只考虑突出因素而导致一些信Ｘ失的问题，建０－－构
了基于三角模算子的直觉模糊综合评判模型。三角模算子组兼顾了权重分配和单因素评价的隶属度，把各因素的作用均衡平均，
ＺＡＧＣｉＬＩＹｎ－ｉ，ＡｕＨＮｈ，ＥｉｇｊＣＩＲｅ
空军工程大学导弹学院，陕西三原７３０１８０
ＭｉｓｌｎｔｕｅＡｉＦｒｅＥｎｉｅｒｎｉｅｓｙＳｎｕｎＳａｎｉ７３０ＣｈｎｓｉＩｓｔｔ，ｒｏｃｇｎｅｇＵｎｖｒｉ，ａｙａ，ｈａｘ１８０，ｉａｅｉｉｔ
１引言
，
（）１两极律：（，）０Ｔ１１＝。ｒ００＝，（，）１
在客观世界中，许多现象都是由多种因素综合影响的结
果，比如环境污染、气象形式、品质量、疗诊断等，产医都需要
（）２交换律：（，）６ａ，，，Ｔａｂ＝（，）ａｂ∈ 。（）３结合律：（（，）Ｃ＝（，（，），，， ∈ 。Ｔｒａｂ，）ＴｂＣ）ａｂＣＩ（）４单调律：≤ｃｂ。， ≤ ｊａｂ ≤Ｔｃｄ，，，， ∈，，）（，）ａｂＣｄ。此外，三角模满足ａＩ＝若，）ａ时，称为模；三角模若
ＣｍｐｔｒＥｇｎｅｉｇａｄＡｐｉａｉｎ．０８４（６：３ — ３。ｏｕｅｎｉｅｒｎｐｌｔｓ２０，４２）１２１４ｎｃｏＡｓａｔｏｔｅｑｅｔｎｏｎｙｃｎｉｅｎｈｒｍｎｎａｔＯａｏｌｓｓｍｎｏｍｔｎｉｕｚｏｐｅｅｓｅｊｄ — ｂｔｃ：ＴｈｕｓｏｆｏｌｏｓｒｇｔｅｐｏｉｅｔｆｃｏＳｓｔｏｔｏｅｉｒａｉｎｆｚｃｍｒｈｎｉｕｇｒｉｄｉｒｆｏｙｖｍｒｏｅｂｓｄｏＶ一ｏｐｕｄｏｅａｏ，ｉｐｐｒｂｉｓｔｅｍｏｅｏｎｕｔｎｓｅｆｚｏｐｅｅｓｅｊｄｍｎｎｅｔｍｄｌａｅｎｉ八ｃｍｏｎｐｒｔｎｔｓａｅｕｌｈｄｌｆｉｔｉｏｉｉｕｙｃｍｒｎｉｕｇｅｔｏｉｈｄｉｔｚｈｖ

三角形类型模糊模式识别新探_崔湘军

Study on triangle type fuzzy pattern recognition
CUI Xiangjun，CAO Bingyuan （School of Mathematics and Information Sciences, Guangzhou University, Guangzhou 51006, China） Abstract: In order to resolve the problem associated with a triangle type fuzzy pattern recognition for the identification of chromosome in biological cells and the classification of leukocyte, a new exponential membership function is proposed, which uses the addition or subtraction of triangle angles as the base or exponent of exponential function. The function proposed is developed using the maximum membership principle which is based on the given threshold, and the acceptable index factor method. The study result shows that the membership degrees obtained are acceptable once they are above a qualified index factor. The gaps among membership degrees obtained using the exponential functions are significantly large and easily identified, and depends on the angles of triangle. A case study demonstrates the superiority of this method for resolving the triangle type fuzzy pattern recognition． Key words: fuzzy pattern recognition; triangle type; maximum membership principle; threshold; acceptable index factor; exponential membership function 180、60、90 的理由，文献[3-4]定义隶属函数为原多项式的二次方。由于隶属函数的选取直接决定模糊模式识别的合理性，因此讨论了各文献中隶属函数的优越性，提出了一种新的解法，首先给出基本的概念及准则，其次介绍如何建立指数型隶属函数，然后给出了三角形类型模糊模式识别的一般步骤，用实例对比，最后得出结论。

Frank三角范数的三值模糊逻辑系统的真度理论

一
方面，着对逻辑应用层面的更多考虑，辑公式、理的程度化研究也越来越引起大家的关注。其中，随逻公
王国俊教授提出的计量逻辑学是对这一思想的体现Ｌ。计量逻辑学通俗地说就是将数值计算引入到数理８］
①Ａ是ｘ中的可测集之族；
②对于ＨＸ中的任一可测集ＥＥ，ＸⅡ Ｘ可测，且
一
１ Leabharlann 二ｍ十ｌ／Ｅ￣ＸⅡ Ｘ）／× ２（：（１ ×…× ））ｚ（，，，Ｅｍ＝ｌ２…，
收稿Ｅ期：０１０ —５ｔ２１－６１
（）１
２１年９月０１
Ｆａｋ三角范数的三值模糊逻辑系统的真度理论ｒｎ
马盈仓，张美，美英崔
（安工程大学理学院，西西安７０４）西陕１０８
摘
要：本文在Ｆａｋ三角范数的三值尺蕴涵模糊逻辑系统中，助逻辑公式Ａ所诱导的函数，立逻辑公ｒｎ一借建
式Ａ的真度概念，到一些三值Ｒ一涵逻辑系统下的真度推理规则。同时，用真度定义公式间的相似度和得蕴利伪距离，出相似度和伪距离的性质，Ｆａｋ三角范数命题逻辑系统中的近似推理提供了一种理论框架。给为ｒｎ
在模糊逻辑的研究中，Ｆａｋ三角范数作为逻辑 “ ” 模糊逻辑系统是非常重要的一种逻辑系以ｒｎ与的

Lukasiewicz型直觉模糊推理三I方法的性质分析

Lukasiewicz型直觉模糊推理三I方法的性质分析李骏;刘岩【摘要】直觉模糊推理的两个基本模型是Intuitionistic Fuzzy Modus Ponens(IFMP)和Intuitionistic Fuzzy Modus Tollens(IFMT).首先利用经典模糊集之间的自然距离定义了直觉模糊集间的一种距离.其次,证明了基于Lukasiewicz 直觉模糊蕴涵的IFMP和IFMT问题的三I方法关于该距离都具有连续性,并且分别给出了IFMP和IFMT问题的三I方法满足逼近性的充分条件.%The two basic reasoning models of intuitionistic fuzzy reasoning are Intuitionistic Fuzzy Modus Ponens(IFMP) and Intuitionistic Fuzzy ModusTollens(IFMT)respectively.A kind of distance between intuitionistic fuzzy sets is intro-duced by the natural distance between classical fuzzy sets in the present paper.It is proven that both the triple I methods for solving IFMP and IFMT problems based on Lukasiewicz intuitionistic fuzzy implication are continuous with respect to this distance.Some sufficient conditions to guarantee the approximation property of the triple I methods for solving IFMP and IFMT are given respectively.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2018(054)008【总页数】5页(P44-47,54)【关键词】直觉模糊集;直觉模糊推理;三I方法;连续性;逼近性【作者】李骏;刘岩【作者单位】兰州理工大学理学院,兰州730050;兰州理工大学理学院,兰州730050【正文语种】中文【中图分类】TP181;O1591 引言模糊推理作为模糊控制的核心，在模糊信息的处理过程中起着举足轻重的作用。

直觉区间值模糊推理的CRI算法

直觉区间值模糊推理的CRI算法俞峰;杨成梧【摘要】第一个处理模糊规则的推理模型是L.A.Zadeh的合成推理模型(CRI,Compositional Rule of Inference),并且是最重要的推理机制之一.很多文献研究了CRI法的推广以及满足不同要求的算子的合理选择.文章对直觉区间值模糊推理的CRI算法进行了一般研究,讨论了满足剩余原理的直觉区间值模糊三角模与直觉区间值模糊剩余蕴涵.由于一般形式的直觉区间值模糊推理均可以通过一定的处理方式转化为基本形式的MP(Modus Ponens)或MT(Modus Tollens)问题,所以文章仅就两种最简单的推理形式进行讨论,分别给出直觉区间值模糊环境下的MP和MT问题的CRI问题的一般形式,着重讨论其还原条件,给出还原准则.【期刊名称】《自动化与信息工程》【年(卷),期】2007(028)003【总页数】4页(P5-7,18)【关键词】直觉区间值模糊推理;直觉区间值模糊三角模;直觉区间值模糊剩余蕴涵;CRI;还原性【作者】俞峰;杨成梧【作者单位】南京理工大学动力工程学院;南京理工大学动力工程学院【正文语种】中文【中图分类】TP3Zadeh的模糊集理论是描述模糊现象的理论工具。

Atanassov提出的直觉模糊集[1]是对Zadeh模糊集理论的一种扩充和发展。

直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数，能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质，从而引起众多学者的研究和关注，国内外刊物的相关文献目前已累计达百篇以上，而且还有逐步增加的趋势。

在实际应用中，参数往往不是用一个数值，而是用一个数值的范围即区间值来表示更符合实际。

因此，Atanassov又进一步提出区间值直觉模糊集[2,3](本文称之为“直觉区间值模糊集”)。

定义1 一个直觉区间值即指 a将直觉区间值的全体记为D。

定义2 设a,b∈D，规定序及运算如下：则直觉区间值集合(D,≤)是一个完备格，＜[1,1],[0,0]＞与＜[0,0],[1,1]＞分别为最大元与最小元。

三角直觉模糊广义有序加权平均算子及其在多属性群决策中的应用

其中，是的权重，Ｏ
ｌ（ｆ＝ｌ，２， …，刀），∑ ＝ｌ，则称函数ＴＩＦＷＡ是ＴＩＦＮ加权平均算子。若＇．Ｉ＝ｌｌｎ
Ｈ（）＝（１一ｌ，面）（垡ｆ＋２＋）／４
定义如下：
（２）
问题是非常有必要的］Ｓ－ｌＯＪ。为此，本文将从分析ＴＩＦＮ的比较方法入手，研究ＴＩＦＮ的ＧＯＷＡ算子，详细探讨算子的相关性质，通过建立多目标优化模型，
信息的三角直觉模糊ＭＡＧＤＭ问题，运用ＴＩＦＧＯＷＡ算子提出一种新的多目标线性规划的求解方法。最后，运用一个算例
说明了本文所提方法的合理性与有效性。
关键词：多权平均：集成算子
经典的多属性决策（ＭＡＤＭ）在各种实际问题中得到广泛应用［Ｉ－３］，但是现实生活中的决策问题日益复杂，单个的决策者难以准确处理所有相关的问题。为了使决策更加合理、可靠，多个决策者开始共同参与解决一个复杂的决策问题【４ｌ，从而出现了多属性群决策（ＭＡＧＤＭ）。尽管现有的用于解决
（ａ）假如（）＝ Ⅳ（），则磊和是一样大的，表示为＝：
（ｂ）假如（磊）＜Ｈ（ａ２），则５２小，表示为磊＜。
２．２三，ＩＩ】Ｉ【觉模糊数的算术集成算子

直觉模糊三角模的剩余蕴涵及其性质

Ｖ（－），２ＥＬ则称（，＊）ｚ，ｚ，（ｙ），ｚＬ ≤Ｌ为完备格。显然，论域【上的直觉模糊集合Ａ是完备格。Ｌ，上的
０＊一（１，ＬＬ０，）１＊一（Ｏ。１，）
此，研究直觉模糊三角模的剩余蕴涵及其性质具有重要的理论与应用价值。文献Ｅ］１研究了直觉模糊三角模的构造，文献［］２研究了区间模糊集上的三角模的剩余蕴涵，文献［］３研究
１弓言ｌ
在Ｚｄｈ模糊集中，ａｅ模糊三角模的剩余蕴涵占有重要的
地位，是模糊逻辑、模糊推理和模糊粗糙集等的理论基础。而
Ａｔｎｓｏ直觉模糊集（ｎｕｔｎｓｉｆｚｙｓｔ，ＩＳ是对模ａａｓｖＩｔｉｏｉｃｕｚｅｉｔｓＦ）
（ｉｓｌｎｓｉｕｅＡｉｏｃｇｎｅｉｇＵｎｖｒｉｙ，ａｙａ１８０，ｉａＭｓｉｅＩｔｔｔ，ｒＦｒｅＥｎｉｅｒｎｉｅｓｔＳｎｕｎ７３０Ｃｈｎ）
ＡｂｔａｔＲｅｉｕｌｍｐｉａｉｎｏｎｕｔｏｉｔｕｚｒａｇｅｎｒａｄｉｒｐｒｉｓｗｅｅｒｓａｃｅ．Ｒｅｉｕｌｍｐｉａｓｒｃｓｄａｉｌｔｆｔｉｎｓｉｆｚｙｔｉｎｌｏｍｎｓｐｏｅｔｒｅｅｒｈｄｃｏｉｉｃｔｅｓｄａｉｌ — ｃ
计算机科学２０Ｖｏ．５ｏ１０８１Ｎ．３１
直觉模糊三角模的剩余蕴涵及其性质

三角模糊评价法

（一）三角模糊评价法三角模糊评价主要是基于三角模糊理论，依据模糊化法则对评语变量进行模糊综合评价，从而获得游客对评语变量的平均认知水平。

然后以模糊化的评语变量为基础，以及通过去模糊化法则对评价指标满意度进行去模糊化计算，获得评价指标的满意度分值和整体满意度去模糊化值。

其目的是为了更好的避免了因不同游客对评语变量认知的不同，而导致的对评语变量满意度调查的误差，更加准确的计算了游客对评价指标满意度的去模糊化值。

在对评语变量进行去模糊化的基础上，对数据的获取可由两种方法进行：第一是直接获取受访对象关于评语变量的认知以及对评价指标的满意度；第二是在对评语变量进行模糊综合评价的基础上，通过对评价指标进行满意度问卷调查，然后将两者一元化归一。

具体的说是将三角模糊化的评语变量与评价指标满意度进行矩阵相乘。

（二）IPA分析法IPA分析法(Importance-Performance Analysis),即重要性及其表现分析法，马提拉（Martilla）率先将其应用于评价服务性企业的服务质量与顾客的感知程度[36]。

在旅游研究方面是由伊万斯和晁恩将其引入，并对美国两个旅游目的地进行了旅游政策制定与评估研究[37]。

尹莱特和牛顿则以香港为例,采用IPA 分析方法对旅游从业者关于香港作为国际旅游目的地的评价进行了分析,为香港提高国际旅游竞争力指明了方向[38]。

具体的说，IPA分析法是通过将消费者产品体验前的期望和体验后的实际感知进行比较，并且进行计算，然后运用象限分析的方法将其分为四象限，从而可以评估消费者对产品或者服务的偏好程度，同时也可以用来评估消费者的表现程度。

一般情况下，IPA分析法是将消费者对产品或者服务的偏好即体验前的期望或者是评价指标重要性程度作为纵轴，将体验后的实际感知或者对产品和服务的满意度作为横轴。

在这里笔者将游客对古村落旅游资源评价指标重要性或者权重作为象限纵轴，将游客对评价指标的满意度模糊感知表现作为象限横轴进行分析。

直觉模糊逻辑算子研究’

１引言
Ａａａｏ觉模糊集（ｎｕｔｎｓｉＦｚｙＳｔ，Ｆ）】Ｊｔｎｓｖ直ＩｔｉｏｉｃｕｚｅｓＩＳ＿ｉｔ
ＩＳＵ）Ｆ（表示Ｕ上直觉模糊子集的全体。设＜ ≤ ＞一完备有界格，中Ｌ一｛ｚ，ｚＬ，是其（．）Ｅｚ［，］ｚ－２１，大元１一（，）最小元０一（，０１ｌ１ｔ ≤ ）最－Ｌ１Ｏ，Ｌ０１，）Ｖｚ，ｆＬ，一（ｌＸ）一（ｌｙ）≤ Ｌ定义为（ｌＸ）ｙｚｘ，２，ｙ，２，ｘ，２ ≤ ，）－≤ 且Ｘ ≥ 。对于任一非空子集ＡＬ，（ｚ㈢ｚ１２
ｑｉａｅｔｅｉｉｏｆＩｎａｓｅｉｌｌｔｉｅｗａｎｒｄｃｄＳｖｒｌｒｐｒｉｓｏｎｕｔｎｓｉｆｚｙｔｉｎｕａｏｍｕｖｌｎｆｔｎｏＦＳｏｐｃａａｔｓｉｔｏｕｅ．ｅｅａｏｅｔｆｉｔｉｏｉｔｕｚｒｇｌｒｎｒｄｎｉｃｐｅｉｃａ
ｍａｉｇＡｉｎｔｔｅｉｔｉｏｉｔｃｆｚｙｌｇｃｏｅａｏｓｗｈｃｒｍｉｉｇｅｔｎｉｎｏｕｚｏｉｏｅａｏｓａ — ｋｎ．ｍｉｇａｈｎｕｔｎｓｉｕｚｉｐｒｔｒｉｈｉａｐｏｓｎｘｅｓｏｆｆｚｙｌｇｃｐｒｔｒ，ｎｅｉｏｓ
ห้องสมุดไป่ตู้
模糊逻辑算子，首先引入了直觉模糊集在特殊格上的等价定义。其次，验证了直觉模糊ｔ与ｓ模的若干重要性质。一模＿在此基础上，对两种常用的蕴涵算子：直觉模糊蕴涵与直觉模糊Ｒ蕴涵所具有的新性质进行讨论和证明，而便于＿从直觉模糊逻辑算子的进一步应用。

q阶三角犹豫模糊BM算子及其多属性决策应用

第４４卷　第１期系统工程与电子技术Ｖｏｌ．４４　Ｎｏ．１２０２２年１月ＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓＪａｎｕａｒｙ２０２２文章编号：１００１５０６Ｘ（２０２２）０１０１８１１１　网址：ｗｗｗ．ｓｙｓｅｌｅ．ｃｏｍ收稿日期：２０２００９１２；修回日期：２０２１０４１４；网络优先出版日期：２０２１０７０２。

网络优先出版地址：ｈｔｔｐ：∥ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／１１．２４２２．ＴＮ．２０２１０７０２．１５５５．０２１．ｈｔｍｌ基金项目：国家自然科学基金（１１６７１００７）；陕西省自然科学基金（２０１９ＪＭ２７１）；基础部研究生创新基金项目资助课题通讯作者．引用格式：任耀军，袁修久，黄林．ｑ阶三角犹豫模糊ＢＭ算子及其多属性决策应用［Ｊ］．系统工程与电子技术，２０２２，４４（１）：１８１１９１．犚犲犳犲狉犲狀犮犲犳狅狉犿犪狋：ＲＥＮＹＪ，ＹＵＡＮＸＪ，ＨＵＡＮＧＬ．ｑｒｕｎｇｈｅｓｉｔａｎｔｔｒｉａｎｇｕｌａｒｆｕｚｚｙＢＭｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｍｕｌｔｉｐｌｅｃｒｉｔｅｒｉａｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇ［Ｊ］．ＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２０２２，４４（１）：１８１１９１．狇阶三角犹豫模糊犅犕算子及其多属性决策应用任耀军，袁修久，黄　林（空军工程大学基础部，陕西西安７１００５１）摘　要：为解决更为广泛的模糊决策问题，同时使决策信息与人的认知思维更为贴近，结合ｑ阶犹豫模糊集和三角模糊数，提出了ｑ阶三角犹豫模糊集的概念并定义了ｑ阶三角犹豫模糊集运算。

为了刻画信息集成过程中评价信息之间存在的关联关系，将Ｂｏｎｆｅｒｒｏｎｉ平均算子推广至ｑ阶三角犹豫模糊集，提出了ｑ阶三角犹豫模糊Ｂｏｎｆｅｒｒｏｎｉ平均算子。

为了刻画更多的关联关系，将广义Ｂｏｎｆｅｒｒｏｎｉ平均算子推广至ｑ阶三角犹豫模糊集，提出了ｑ阶三角犹豫模糊广义Ｂｏｎｆｅｒｒｏｎｉ平均算子。

评析政府战略管理三角模型

评析政府战略管理三角模型2010-01-11 清华领导力中国机构网政府战略管理三角模型的提出为政府管理者提供了新的管理思路与分析框架，对其进行评析和展望将为我国政府战略管理提供有益的借鉴和启示。

20世纪80年代，西方国家掀起了大规模的政府改革运动，政府部门的职能、角色、组织结构及其与社会的关系都发生了深刻的变化。

这场“新公共管理”运动对西方政府战略管理理论与实践产生了重大而深远的影响。

在私人部门战略管理模式的示范效应下，战略管理问题越来越受到政府部门的关注和重视，政府战略管理随之兴起。

自20世纪90年代开始，政府战略管理作为一门新学科诞生，出现了首批论述政府战略理的着作和教科书。

其中，哈佛大学肯尼迪政府学院的马克·莫尔教授在此领域进行了开创性的、卓有成效的研究工作。

他在所着的《创造公共价值：政府战略管理》一书中，提出了政府战略管理三角分析模型（下文简称三角模型），这一模型的提出为政府管理者提供了新的管理思路与分析框架，对其进行评析和展望将为我国政府战略管理提供有益的借鉴和启示。

一、政府战略管理三角模型介绍及拓展三角模型是由美国学者马克·莫尔提出的一种分析政府战略管理的模式和框架。

该模型确立了政府战略管理的核心目标-创造公共价值，分析了政府战略管理三大基本要素-使命管理、政治管理和运营管理（如图1所示）。

莫尔教授认为，政府管理的终极目的是为社会创造公共价值，因此三角模型的核心是公共价值。

为了创造公共价值，政府管理者必须首先确定政府组织究竟要创造何种公共价值，即对政府组织的角色和职能进行定位。

在完成对组织职能的精确定位后，管理者继而要通过整合内外部资源和大胆进行组织创新，争取最大程度地实现组织的公共价值。

因此，政府战略管理者的工作主要包括三项内容：确定组织工作目的；积极争取外部支持，使自己的工作目的具有合法性；提高组织能力，以真正实现工作目的。

这三项工作内容构成了三角模型的三大基本要素：使命管理、政治管理和运营管理。

基于二元联系数的三角模糊数直觉模糊集多属性决策

基于二元联系数的三角模糊数直觉模糊集多属性决策杨红梅【摘要】针对用三角模糊数表示的直觉模糊集多属性决策算法复杂又难以开展不确定性分析的问题,应用集对分析中的联系数给出一种新算法.该算法的基本原理是把三角模糊数转换成“均值”加“偏差”形式的二元联系数,再利用二元联系数的除法算得直觉模糊集的商,利用这种商进行多属性决策建模,计算简单又便于作不确定性分析.实例应用表明,该算法可行,结果可信,其他用直觉模糊集表示的决策问题也可借鉴应用文中的方法.【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(029)002【总页数】7页(P13-19)【关键词】三角模糊数直觉模糊集;多属性决策;二元联系数;集对分析;不确定性分析【作者】杨红梅【作者单位】山西广播电视大学网络教育学院,山西太原030027【正文语种】中文【中图分类】O159上世纪80年代，保加利亚数学家Atanassov 针对美国数学家Zadeh教授开创的模糊集理论在刻画模糊关系上的不足，于1986年提出了直觉模糊集的概念[1]，其特点是同时描述隶属度和非隶属度两方面的信息，从而使得直觉模糊集比Zadeh给出的模糊集有更强的信息表达能力，因而受到不少学者的青睐和进一步研究.Atanassov又于1994年提出区间直觉模糊集的概念，同时用区间数表示直觉模糊集中的隶属度和非隶属度[2].2007年，国内学者刘峰和袁学海又把三角模糊数引入直觉模糊集，用三角模糊数表示直觉模糊集中的隶属度和非隶属度，但相应的算法随之趋于复杂[3]，如何能让三角模糊数表示的直觉模糊集在不丢失信息的情况下得到简化，以便于实际决策工作者的应用，这是摆在数学工作者面前的一个问题[4].由中国学者赵克勤提出的集对分析(Set Pair Analysis，SPA)，基于客观世界确定性与不确定性对立统一的观点，构造出一种新的系统数学理论和一种新的数学工具——联系数[5～7]，借助联系数统一描述和处理随机、模糊、中介、不确知等不确定性问题，至今已在科学技术与社会经济等多个领域得到广泛应用[8～10].特别是近年来，一些学者应用联系数处理区间数、三角模糊数、梯形模糊数表示的模糊多属性决策问题，不仅算法简明，易于操作，还能方便地开展不确定性分析，从而使得模糊多属性决策结论更为客观、合理、可信[11～13].基于以上工作，本文首次把联系数的除法运算引入到用三角模糊数表示的直觉模糊集多属性决策研究.实例应用表明，不仅所得的最优方案,次优和再次优方案不仅与其他文献所得结果相同，而且原理清晰，算法简明，便于展开不确定性分析.1 二元联系数1.1 二元联系数定义联系数(Connection number，CN)是赵克勤在集对分析中给出的一种数学工具.二元联系数(Two element connection number，TECN)是一种最基本的联系数，其一般形式为U=A+Bi(1)式(1)中的A、B∈R+，i∈[-1,1].令N=A+B，μ=U/N，a=A/N，b=B/N，则由(1)式得μ=a+bi(2)显然式(2)中，a+b=1，i∈[-1,1].(1)和(2)式称为二元联系数，也简称联系数，其中的A(a)和B(b)称为联系数的联系分量，A(a)为确定性测度的联系分量，B(b)是不确定性测度的联系分量，i是一个在[-1,1]区间视不同情况取值的量，由于当A(a)和B(b)都确定时，i仍不确定，所以也称为B的不确定系数，Bi也因此是一个不确定量.若称U(μ)为联系数时，其实是指(1)和(2)式右边的式子.1.2 二元联系数的运算1.2.1 加法运算定义1 设μ1=a1+b1i，μ2=a2+b2i是两个二元联系数，则有μ=μ1+μ2=a+bi(3)其中，a=a1+a2，b=b1+b2，i∈[-1,1].显然，两个联系数的加法满足交换律，也就是μ1+μ2=μ2+μ1(4)推论若有n(n≥2)个二元联系数相加时，有以下加法公式(5)1.2.2 实数k与二元联系数的相乘定义2 令k为一实数，当k与二元联系数μ=a+bi相乘时，有以下乘法公式kμ=ka+kbi(6)1.2.3 两个二元联系数相乘设μ1=a1+b1i，μ2=a2+b2i是两个二元联系数，则有以下乘法公式μ1μ2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+(a1b2+a2b1)i+b1b2i2(7)根据集对分析理论[7]在不计及不确定性层次的前提下，两个二元联系数乘积中不同幂次i的可作为一次幂对待，也就是有i=i2=i3=…=in n≥1(8)这一简化公式.据此可以把(7)式简化为μ1μ2=a1a2+(a1b2+a2b1+b1b2)i(9)若令a1a2=a, a1b2+a2b1+b1b2=b,则(9)式进一步简化成μ1μ2=a+bi(10)由此得两个二元联系数相乘的乘法定理如下：定理1 设μ1=a1+b1i，μ2=a2+b2i是两个二元联系数，则它们的乘积是一个二元联系数μ=a+bi，其中μ=μ1μ2，a=a1a2，b=a1b2+a2b1+b1b2.定理的证明见前说明.定理1表明两个二元联系数相乘，其乘积仍是一个二元联系数.由定理1显然可以推广到有3个或3个以上二元联系数相乘的情形.因本文仅应用到两个二元联系数相乘，故略.1.2.4二元联系数的除法运算利用两个二元联系数的上述乘法定理，容易导出以下的除法定理.定理2 若已知二元联系数μ=a+bi是两个二元联系数的积，又已知其中的一个二元联系数μ1=a1+b1i，要求另一个二元联系数μ2=a2+b2i，则有(11)其中利用定理1即可证明定理2成立，证明略.2 三角模糊数直觉模糊集向二元联系数的转换2.1 用三角模糊数表示的直觉模糊集定义3 设X是一个非空集合，则称A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}为直觉模糊集，其中μA(x)和vA(x)分别是X中元素x属于X的隶属度μA：X[0,1]和非隶属度vA：X[0,1]且0≤μA(x)+vA(x)≤1，∀x∈X,对于X上的每一个直觉模糊集，称πA(x)=1-μA(x)-vA(x)为直觉模糊集的犹豫度.由于客观事物的复杂性和模糊性，直觉模糊集中的隶属度和非隶属度有时难以用一个精确的实数表示，为此，文献[14]引进了用三角模糊数表示隶属度和非隶属度的所谓三角模糊数直觉模糊集，其中的三角模糊数是用以下定义4刻画的模糊数. 定义4 记α=〈(a,b,c)〉∈F(D)，D=[0,1]，则称α为D上的一个三角模糊数，其隶属度μα(x)，R∈[0,1]表示为(12)由此得到三角模糊数表示的直觉模糊集定义.定义5 设论域U是一个非空有限集合，称G={(μ<tc(u),fc(u)>1)|u∈U}[17]为三角模糊数直觉模糊集.其中的和均为D上的三角模糊数，分别表示元素u属于U的隶属度和非隶属度，且满足并且称二元组〈tc(u),fc(u)〉为三角模糊数直觉模糊数，简记为α=〈(e,g,h),(l,p,q)〉，其中的(e,g,h)∈F(D)，(l,p,q)∈F(D)，且h+q≤1. 2.2 化三角模糊数直觉模糊数为二元联系数第1步化三角模糊数为二元联系数为不失一般性，用表示一个三角模糊数，并记为=(P,Q,K)，若记P,Q,K的平均值为，得(13)在此基础上，用)表示与P和K的最大偏差，则有-P)}(14)则得到由三角模糊数化成的二元联系数为)]i(15)(15)式称为三角模糊数转换为二元联系数的转换公式.据此公式可把定义5中的直觉模糊数G改写成用二元联系数表示的直觉模糊算子(16)第2步计算G′中表示隶属度的二元联系数与表示非隶属度的二元联系数的商得(17)称(17)式为三角模糊数直觉模糊数向二元联系数转换的转换公式，式中的i∈[-1,1]，(17)式中下标SPA表示这一转换公式是基于集对分析定义的.3 决策原理与方法3.1 问题描述对于属性值用三角模糊数表示的隶属度与非隶属度的模糊数直觉模糊集刻画的多属性决策问题.用X=(x1,x2,…,xm)表示待优劣排序的方案集.U=(u1,u2,…,un)为用三角模糊数直觉模糊数表示的属性集，其中的各属性值用三角模糊数直觉模糊数αtj=〈(etj,gtj,htj),(ltj,ptj,qtj)〉表示属性数量.向量W=(w1,w2,…,wn)设为已知，t=1,2,…,m，j=1,2,…,n，∑wi=1，且假定各属性都是越大越好的效益型属性，试在m个待评方案中求得最优方案，并作出个方案的优劣排序.3.2 决策步骤第1步利用式(17)将决策矩阵中各属性值的三角模糊数直觉模糊数化为形如μtj=atj+btji的二元联系数.第2步建立综合决策模型M(st)=wj(aij+btji)=(wjatj+iwjbtj)=wjatj+iwjbtj(18)第3步先依据的大小作出初排序.M′(st)大的优先于M′(st)小的，再计算i=-1,-0.5,0,0.5,1时对M′(st)的影响对初排序的干扰.综合不同情况下的排序变化作出终排序.第4步若同一问题有其他方法所作的决策结果时，则把第3步所得结论与其他方法所得结果作同异反对比研究，作出决策结论.4 实例应用为方便比较，这里采用[15]中的一个实例说明本文方法的应用.某单位在干部考核选拔时，制定了6项考核指标(属性)：思想品德(u1)、工作态度(u2)、工作作风(u3)、文化水平和知识结构(u4)、领导能力(u5)、开拓能力(u6)，各指标(属性)权重为W=(0.135 1,0.048 4,0.145 5,0.558 6,0.030 9,0.081 5).现有6位候选人由群众就以上6项指标进行评议，并作统计处理，其结果用三角模糊数表示的直觉模糊数，如表1所示.试决定最优候选人，并作出优劣排序.首先决策步骤如下，应用式(13),式(14)和式(15)把表1中的各三角模糊数化为二元联系数，得表2.第2步应用式(17)计算表2中各隶属度与非隶属度的商，得到表3.第3步根据表3以及各属性权重，利用式(18)算得各候选人的加权综合项系数如下：M(x1)=1.758 8+0.088 5i，M(x2)=4.585 6-0.692 4i，M(x3)=2.882 5-0.450 7i，M(x4)=2.848 5+0.683 2i，M(x5)=2.188 2+0.147 2i，M(x6)=2.405 8+0.076 3i.第4步不确定性分析.令M(xt)中的i在[-1,1]区间取i=-1,0.5,0,0.5,1，考察M(xt)的大小变化及大小排序，见表4.由表4可知，当M(xt)中的各个i同步取-1,-0.5,0,0.5,1时，都有M(x2)最大，M(x1)最小，也就是候选人x2为最优候选人，x1为最差候选人，这一结果与文献[15]中得到的结果相同.但文献[15]给出的6个候选人的优劣排序x2>x3>x4>x5>x6>x1仅是表4中的一种排序而已，其具体数值如下：M(x1)|i=-1=1.670 3⑥,M(x2)|i=-1=5.278①,M(x3)|i=-1=3.3332②,M(x4)|i=0=2.848 5③,M(x5)|i=1=2.335 4④,M(x6)|i=-1=2.329 5⑤.但此排序仅是表4给出的30种优劣排序中的一种；事实上，当i取-1,-0.5,0,0.5,1以外的值时，还能得到其他排序，从数学上看，这样的排序种数可以无穷多；但i 取-1,1是不确定性的两个边界值，因此从已有的排序结果中得出为最优的结论是可信的.表1 候选人在各指标下决策值Tab.1 Decision-making values of candidates under various indicatorsu1u2u3u4u5u6x1〈(04，05，06)，(03，035，04)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉〈(04，05，06)，(03，035，04)〉〈(03，035，04)，(05，055，06)〉〈(07，085，09)，(01，01，01)〉〈(07，075，08)，(015，015，02)〉x2〈(03，04，05)，(03，04，045)〉〈(05，06，07)，(01，02，03)〉〈(07，08，09)，(005，01，01)〉〈(06，07，08)，(01，015，02)〉〈(06，07，08)，(01，02，02)〉〈(04，05，06)，(03，04，045)〉x3〈(035，045，05)，025，035，04)〉〈(05，065，07)，(02，025，03)〉〈(07，075，08)，(01，015，02)〉〈(05，06，06)，(02，025，03)〉〈(06，075，08)，(02，02，03)〉〈(05，06，07)，(0，01，02)〉x4〈(04，05，05)，(04，045，05)〉〈(06，07，08)，(02，02，02)〉〈(06，07，075)，(02，025，025)〉〈(04，05，155)，(02，03，04)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉〈(06，07，08)，(015，015，02)〉x5〈(045，055，06)，(035，04，04)〉〈(07，075，08)，(01，01，02)〉〈(05，06，07)，(02，025，03)〉〈(03，04，05)，(04，045，05)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉〈(06，08，09)，(01，01，01)〉x6〈(06，07，08)，(01，015，02)〉〈(08，085，09)，(01，01，01)〉〈(04，045，05)，(035，045，05)〉〈(02，03，04)，(05，06，06)〉〈(08，085，09)，(01，01，01)〉〈(07，08，09)，(01，01，01)〉表2 6位候选人各属性值的二元联系数Tab.2 The two-element connection number of 6 candidates’ attributevalueu1u2u3u4u5u6x1(05+01i)(035+005i)(08+01i)(01+0i)(05+01i)(035+005i)(035+005i)(055+005i)(082+012i)(01+00i)(075+005i)(017+003i)x2(04+01i )(038+008i)(06+01i)(02+01i)(08+01i)(008+003i)(07+01i)(015+005i)(07+01i )(017+007i)(05+01i)(038+008i)x3(043+008i)(033+008i)(062+012i)(025+005i)(075+005i)(015+005i)(057+007i)(025+005i)(072+012i)(023+007i)(06+01 i)(01+01i)x4(047+007i)(045+005i)(07+01i)(02+0i)(068+008i)(023+003i)(082+073i)(03+01i)(08+01i)(01+0i)(07+01i)(017+003i)x5(053+008i)(038+003i) (075+005i)(013+007i)(06+01i)(025+005i)(04+01i)(045+005i)(08+01i)(01+0i )(077+017i)(01+0i)x6(07+01i)(015+005i)(085+005i)(01+0i)(045+005i)(043+ 008i)(03+01i)(057+007i)(085+005i)(01+0i)(08+01i)(01+0i)表3 6位候选人各属性值三角模糊数直觉模糊数的商二元联系数Tab.3 The factor of two-element connection number of triangular fuzzy number intuitionistic fuzzy number for 6 candidates’ attributevalueu1u2u3u4u5u6x1143+007i8+1i143+007i064+003i82+12i441+(-041)ix2105+003i3+(-067)i10+(-182)i467+(-067)i412+(-078)i132+(-001)ix313+(-006)i248+0013i5+(-1)i228+(-015)i313+(-033)i6+(-25)ix4104+004i35+05i296+(-003)i273+114i8+1i412+(-012)ix5139+009i577+(-177)i24+(-007)i089+011i8+1i77+17ix6467+(-067)i85+05i105+(-007)i053+01i85+05i8+1i表4 i 取不同值时的M(xt)及其排序Tab.4 Result and its order when i takes different valuesi=-1i=-05i=0i=05i=1M(x1)1．6703⑥1．7145⑥1．7588⑥1．8031⑥1．8473⑥M(x 2)5．278①4．9318①4．5856①4．2394①3．8932①M(x3)3．3332②3．10 78②2．8825②2．6571③2．4318④M(x4)2．1653④2．5069③2．8485③3．1901②3．5317②M(x5)2．041⑤2．1146⑤2．1882⑤2．2618⑤2．3354⑤M(x6)2．3295③2．3676④2．4058④2．444④2．4821③5 讨论在本文工作之前，已有学者刘秀梅[11,12]、施丽娟[17]、张肃[18] 和王霞[19] 把集对分析中的联系数用于直觉模糊决策研究，本文与这些文献的不同之处是首次把二元联系数的除法用于直觉模糊数中隶属度与非隶属度商的描述.利用这种商法等价地简化直觉模糊数的优点有，一是从信息利用的角度看，保留了直觉模糊数的全部信息，包括确定的信息和不确定的信息；二是从逻辑上看，一个直觉模糊数中的隶属度越大且非隶属度越小，这个直觉模糊数在总体上相对于参考集的隶属关系就越强，因为隶属度作分子，非隶属度作分母的分式及其所谓分式的值(商)在逻辑意义上与所论直觉模糊数是完全一致的；三是直觉模糊数本身含有不确定性，但利用直觉模糊数本身的数学形式不便开展不确定性分析，以至于不采用联系数处理的直觉模糊决策研究总是千方百计地避开“不确定性分析”这道坎，总是在把直觉模糊决策转化为确定性决策上下功夫，最后得到唯一确定的方案排序，完全忽视了不确定性对决策排序的干扰和影响，显而易见，这样的直觉模糊决策结果很难有充分的说服力，而利用联系数中的，则可以方便地考察不确定性对方案优劣排序的干扰和影响；第四个优点是，完全避开了利用所谓的直觉模糊数的“得分函数”而导致的失效问题.刘秀梅等人在一些文章中指出，直觉模糊数中的“得分函数”是一个不可靠的函数.例如，直觉模糊数〈3，2〉与〈5，4〉其得分函数的值都是1，但是其隶属度与非隶属度之比，前者是3/2=1.5，后者是5/4=1.25，总体上说，前者的综合隶属强度要大于后者，正是在这个意义上，本文采用两个联系数的商来简化一个直觉模糊数，也进而简化了后续的数学建模及其一系列的运算和分析.当然也有其不足，就是当除数为“0+0i”这种联系数时，本方法失效，因为“0”不能作除数.应当承认，模糊数学已获得了广泛的应用[20]，但模糊集理论一开始就用一个确定的实数去描述客观上存在不确定性的模糊现象，丢失了研究对象的不确定性信息，一直为人诟病;保加利亚学者Atanassov 提出的直觉模糊集，试图弥补Zadeh模糊集理论的不足，但同样采用一个确定的实数表示一个直觉模糊集中的隶属度和非隶属度，走的仍是Zadeh的路子；之后，有学者用区间数、三角模糊数、梯形模糊数代替普通的点实数表示直觉模糊集中隶属度和非隶属度，试图弥补前面所说的不足，但都难以从数学层面上展开简明清晰的不确定分析；而且给出的模糊决策建模运算过于复杂且难以实际应用，特别是这种不确定性分析从理论上说会涉及到无穷多种不同情况的分析，回避这些分析又会导致结论与实际情况相去甚远；相比之下，集对分析理论中的联系数，从理念上把客观事物的确定性与不确定性对立统一如实地反映在联系数中，保证了第一次数学“映射”不失真，后续运算遵循经典数学的多项式算法规则，对运算结果又借助联系数中的i展开不确定性分析，不失为是一种既简明扼要、又符合决策实际的科学处理方法，当然，集对分析联系数理论也有不成熟之处，有些问题还有待作深入研究，如联系数“0+0i”不能作除数等问题，需要深入研究[22].6 结语本文针对用三角模糊数表示的直觉模糊数集成运算复杂且集成结果不能作不确定性分析的问题，把集对分析二元联系数引入到三角模糊数表示的直觉模糊数模糊决策算法的改进，从决策实例的应用可以看出，其决策对象的最优排序结果不仅与实例中采用其他方法所得结果相同，而且还利用联系数中i的不同值考察排序结果在不确定性干扰下的变化，从而为决策者提供了较为客观的决策支持，特别是本文给出的算法原理清楚、运算方便,与其他直觉模糊数决策的集对分析联系数处理方法相比，本文是首次采用两个联系数的商来等价地表示直觉模糊数中隶属度与非隶属度的综合作用，从一个侧面说明了集对分析联系数方法简化有关模糊数直觉模糊数决策算法的灵活性和实用性.【相关文献】[1] Atanassov K T. 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CH1-3~4模糊集的T模与分解定理

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关于T-模及其在模糊逻辑中的应用, 澳大利亚学者 E.P.Klement, 捷克学者R.Mesiar, 南斯拉夫学者 E.Pap在专著Triangular Norms (Kluwer Academic Publicashers, 2000)中进行了全面总结。事实上, 除了概率度量空间和模糊逻辑外, T-模还应用于决策支持、函数方程、测度理论、博弈理论等许多领域.
第3-4节
T-模与分解定理
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一、三角模的概念
本节是对模糊集运算进行拓广,
就是将模糊集的并、交运算拓广到一般的T-模、S-模。 1、 T-模或T-范数或三角交
从C. Elkan的西瓜问题谈起考虑一堆西瓜, 定义西瓜为“里红且外绿”的水果, 这里“红”与“绿”是模糊概念, 从而这里的 “西瓜”也是一个模糊概念。假设某水果里红的程度是0.5, 外绿的程度是0.8. 它隶属于西瓜的程度如何 ?
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T-模(triangular norm, 又称为三角模或T-范数) 首先出现在 K.Menger 于 1942 年发表的论文 “Statistical metrics”(统计度量)中, 在这里, T模是作为经典度量空间中三角不等式的自然推广而提出的。上世纪60年代，B.Schweizer和 A.Sklar重新严格定义了T-模(即现在通用的定义)和统计度量空间(现称为概率度量空间), 从而导致了这个领域的飞速发展。由于T-模较好地反映了“逻辑与”的性质, 因此T-模作为一般的 “模糊与”算子一致受到模糊逻辑学界的青睐。
A
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性质

1）设AF(X), 1,2 [0,1],且1≤2
1 A 1 A
2）设 A B, 0,1 则 A B.

直觉模糊集合分解定理的探究

[
0 ΦλΦαA ( x) θΕ βA ( x) > A x) θ <βA ( x)
∨
(λ∧A (λ,θ) ( x) ) ]
(λ∧A (λ,θ) ( x) ) ] ∨ [λ α ∨ (
∨[
0 ΦλΦαA ( x) θ <βA ( x) > A x) θΕ βA ( x)
∨
(λ∧A (λ,θ) ( x) ) ]
(λ∧A (λ,θ) ( x) ) ] ∨ [λ α ∨ (
性质 , 关于 IFS截集的比较全面的性质可以参考文献 [ 5 ]. ( 1 ) A (λ,θ) ・ < A (λ,θ) ; ( 2 ) A ( 0, 1 ) = X, A ( 1, 0 ) ・ ;
( 3 ) ( A ) (λ,θ) ・ < ( A (θ ) ; ,λ) ・
( 2 ) 当 λ1 Φ λ2 ,θ λ2 ,θ 1 Ε θ 2 时, 有 H ( 2 ) Α
H (λ1 ,θ 1 ) ) 为集合套 . 则称 H (λ,θ [2 - 3] 定义 5 对任意的 A, B ∈ IFS [ X ] 且具有
下面的形式 : α A = (α A ,β A ) ,B = ( B ,β B ) 规定直觉模糊集合的运算如下 : ( 1 ) A ∪ B = ( (α β A ∨α B ) , ( A ∧β B ) ); ( 2 ) A ∩ B = ( (α α ) ( β β , A ∨ B ) ); A ∧ B
1 相关定义
设在一个非空经典集合 X 上 , 具有如下形式的集合 A = { ( x,α A ( x ) ,β A ( x) ) | x ∈ X } 称为 X 上的一个直觉模糊集 (简记为 IFS) . 其中函数α X → [ 0, 1 ] 和 β X → [ 0, 1 ] 分别表示 X 上 A ∶ A ∶ 元素 x 属于 A 的隶属度和非隶属度 , 并且满足 0 Φ α A ( x ) +β A ( x ) Φ 1, Π x ∈ X. 由直觉集的定义可知 X 上的一个直觉模糊集 X X A = { ( x,α ×I A ( x ) ,β A ( x ) ) | x ∈ X } 实际上与 I 上的有序对 (α A ,β A ) 是一一对应的 , 因此我们可以将任何一个直觉模糊集 A = { ( x,α A ( x ) ,β A ( x) ) | x ∈ X } 简记为一个有序对 A = (α A ,β A ). 注记 : 令 IFS [ X ] 表示 X 上的所有直觉模糊集构成的集合 , P ( X ) 表示 X 的幂集 1 定义 2 设 X 是一个非空经典集合 , A ∈ IFS [ X ], 对任意的 λ ∈ [ 0, 1 ] 及 θ∈ [ 0, 1 ] 且 0 Φ λ +θΦ 1, 称 A (λ,θ) = { x | α ,β } A ( x) Ε λ A ( x) Φ θ ) 水平截集 . 为 A 的 (λ,θ 定义 3 设 X 是一个非空经典集合 , A ∈ IFS [ X ], 对任意的 λ ∈ [ 0, 1 ] 及 θ∈ [ 0, 1 ] 且 0 Φ λ +θΦ 1, 称 A (λ,θ) = { x | α ,β } A ( x ) >λ A ( x ) <θ ) 水平截集 . 为 A 的强 (λ,θ 定义 4 设集映 H ∶[ 0, 1 ] → P ( X ) , (λ,θ) → ) , 若 H 具有下列性质 : H (λ,θ ( 1 ) H ( 0, 1 ) = X