【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二学业分层测评12 Word版含答案
高中数学 学业分层测评1 苏教版必修2(2021年整理)
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学业分层测评(一）(建议用时：45分钟）[学业达标]一、填空题1．下列说法中正确的个数是________．①棱柱的面中，至少有两个面互相平行;②棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；③棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高；④棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形．【解析】棱柱的面中，有两个底面,所以至少有两个面互相平行,故①正确．棱柱中两个互相平行的平面可能是棱柱的侧面,②错误．棱柱中一条侧棱的长不一定是棱柱的高，③错误．棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面可能是平行四边形，④错误．【答案】12．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为______(填序号)．图1.1。
11【解析】结合棱锥的定义可知，①不符合其定义，故填①.【答案】①3．在正方体上任意选择4个顶点，它们可以确定的几何图形或几何体为________．(写出所有正确结论的编号）①矩形;②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【解析】在正方体ABCD.A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可以确定:①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体，如AA1BD;④每个面都是等边三角形的四面体,如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A。
2016-2017学年高中数学第二章概率2.2超几何分布学业分层测评苏教版选修2-3
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 概率 2.2 超几何分布学业分层测评 苏教版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．【解析】 由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12.【答案】 122．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)【解析】 二级品不多于1台，即一级品有3台或者4台，其概率为C 13C 397＋C 497C 4100. 【答案】 C 13C 397＋C 497C 41003．下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是________． ①将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X ；②从7男3女的10名学生干部中选出5名优秀学生干部，女生的人数为X ； ③某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X ；④盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时摸球的总次数．【解析】 ①③均为重复试验，不符合超几何分布总体的分类要求；②④总体分为明确的两类，但④中的随机变量X 不是抽取样本中一类元素的个数．【答案】 ②4．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则P (X ≤1)＝________.【解析】 由已知X ～H (2,4,26)， 则P (X ＝0)＝C 04C 222C 226，P (X ＝1)＝C 14C 122C 226，故P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 222＋C 122C 14C 226＝319325. 【答案】3193255．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．【解析】 P ＝C 13C 22C 35＋C 23C 12C 35＝910.【答案】9106．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率是________．(用式子表示)【解析】 组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 410C 25C 615.【答案】 C 410C 25C 6157．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】281458．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________. 【导学号：29440040】【解析】 用X 表示中奖票数， P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，解得n ≥15. 【答案】 15 二、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，X ～H (3,6,10)． 则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k4C 310(k ＝0,1,2,3)，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝23.10．袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的概率分布； (2)求得分大于6分的概率．【解】 (1)从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.∴P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求概率分布为(2)根据随机变量X P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.能力提升]1．在六个数字1,2,3,4,5,7中，若随机取出三个数字，则剩下三个数字都是奇数的概率是________．【解析】 剩下三个数字都是奇数，则取出的三个数字为两偶一奇．故P ＝C 22·C 14C 36＝420＝0.2.【答案】 0.22．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本有________本. 【导学号：29440041】【解析】 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k m C 2－k7－mC 27(k ＝0,1,2)．由题意，得P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 17－m C 27＝12×7－m6－m21＋m 7－m21＝57， ∴m 2－m －12＝0，解得m ＝4或m ＝－3(舍去)． 即7本书中语文课本有4本． 【答案】 43．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为_____________________________________．【解析】 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从超几何分布H (2,2,5)，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.【答案】 354．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A “取出的2件产品都是二等品”的概率P (A )＝0.04.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的概率分布．【解】 (1)设任取一件产品是二等品的概率为p ，依题意有P (A )＝p 2＝0.04，解得p 1＝0.2，p 2＝－0.2(舍去)．故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2件，故X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 22C 210＝145.所以X 的概率分布为X 0 1 2 P28451645145。
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：第二章 推理与证明 11
学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________.【解析】 从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.【答案】 1232．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.【解析】 ∵2＋182＝10，4.5＋15.52＝10，3＋2＋17－22＝10， ∴不难得出，若a ＋b ＝20，a ＋b <210. 【答案】 若a ＋b ＝20，则a ＋b <210 3．观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …，照此规律，第n 个等式可为________． 【解析】 12＝1， 12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)24．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 041，…，则72 013的末两位数字为________.【导学号：01580032】【解析】 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4. 又2 013＝4×503＋1，所以72 013的末两位数字与71的末两位数字相同，为07. 【答案】 07 5．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f ((f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f ((f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f ((f 3(x ))＝x15x ＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.【解析】 函数结果的分母中x 项系数所组成的数列为1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.分母中常数项依次为2,4,8,16，…，其通项为2n . 又函数中，分子都是x . ∴当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x(2n －1)x ＋2n. 【答案】 x(2n －1)x ＋2n6．(2016·青岛高二检测)容易计算2×5＝10,22×55＝1 210，222×555＝123 210，2 222×5 555＝12 343 210.根据此规律猜想22…229位×55…559位所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为________．【解析】 由已知可归纳出22…229位×55…559位＝ 123 456 789 876 543 210，所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为898.【答案】 8987．(2016·东北三校高二联考)某种平面分形图如图2-1-5所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．图2-1-5则n 级分形图中共有________条线段．【解析】 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝3×2－3条线段，二级分形图中有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律得n 级分形图中的线段条数a n ＝3·2n－3(n ∈N *)．【答案】 3·2n －3(n ∈N *)8．把正整数按一定的规则排成了如图2-1-6所示的三角形数表，设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 行．如a 42＝8，若a ij ＝2 009.则i 和j 的和为________．1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 … … … … … … …【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.【答案】 107 二、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *)10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图2-1-6所示的三角形数：图2-1-6将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 014是数列{a n }的第几项？ (2)用k 表示b 2k －1.【解】 (1)a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×(2×5)2＝a 9，b 4＝(2×5)×112＝a 10，b 5＝14×(3×5)2＝a 14，b 6＝(3×5)×162＝a 15，…b 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5＋12＝a 5 035.即b 2 014是数列{a n }的第5 035项． (2)由(1)知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2.能力提升]1．已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 014(x )的表达式为________．【解析】 由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，故可猜想f 2 014(x )＝x1＋2 014x . 【答案】x1＋2 014x2．观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝________. 【解析】 观察所给等式知，第n 个等式的右边为1－1(n ＋1)×2n. 【答案】 1－1(n ＋1)×2n3．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请写出一个一般性的命题：___________________.【答案】 sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝324．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2-1-6①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图2-1-6(1)求f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 【解】 (1)f (5)＝41. (2)f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， ……由上式规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1 ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .。
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件：第二章 平面解析几何初步-2.1-2.1.2-第2课时
3 【答案】 －2
3．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是________．
【解析】 因为由两点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，所以 x y 直线方程为4＋ ＝1. －3
x y 【答案】 4－3＝1
x y 4．直线a2－b2＝1在y轴上的截距是________. 【导学号：60420058】
【答案】 －b2
5．直线l经过点A(2,1)和点B(a,2)，求直线l的方程．
【解】 ①当a＝2时，直线的斜率不存在，直线上每点的横坐标都为2， 所以直线方程为x＝2； y－2 x－a ②当a≠2时，由 ＝ ，得x＋(2－a)y＋a－4＝0.综上，当a＝2时，所 1－2 2－a 求直线方程为x＝2； 当a≠2时，所求直线方程为x＋(2－a)y＋a－4＝0.
[ 再练一题] 3．三角形的顶点是A(－4,0)，B(3，－3)，C(0,3)，求这个三角形三边所在 的直线的方程．
y－0 【解】 ∵直线AB过点A(－4,0)，B(3，－3)两点，由两点式方程得 －3－0 x－－4 ＝ ， 3－－4 整理得3x＋7y＋12＝0， ∴直线AB的方程为3x＋7y＋12＝0.
y2－y1 y－y1 斜式方程得y－y1＝ (x－x1)．由于y1≠y2，方程两边同除y2－y1得 ＝ x2－x1 y2－y1 x－x1 . x2－x1
探究2 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适用求什么样的直 线方程．
【提示】 两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．
已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中 a≠0，b≠0，求l的方程．
我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
【精彩点拨】 已知直线上的两点，可利用两点式求方程，也可利用两点 先求斜率，再利用点斜式写直线方程．
苏教版高中数学必修二第2章学业分层测评12.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是________．(填序号)①频率分布折线图与总体密度曲线无关；②频率分布折线图就是总体密度曲线；③样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线；④如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线．【解析】由总体密度曲线定义知④正确．【答案】④2．为了解高二年级女生的身高情况，从中抽出20名进行测量，所得结果如下：(单位：cm)149159142160156163145150148151156144148149153143168168152155在列样本频率分布表的过程中，如果设组距为4 cm，那么组数为________．【解析】极大值为168，极小值为142，极差为168－142＝26，根据组距＝极差组数，知组数为7. 【答案】 73．一个容量为40的样本数据，分组后，组距与频数如下：[5,10)5个；[10,15)14个；[15,20)9个；[20,25)5个；[25,30)4个；[30,35]3个．则样本在区间[20，＋∞)上的频率为________．【解析】 由题意知在区间[20，＋∞)上的样本数为5＋4＋3＝12个，故所求频率为1240＝0.3.【答案】 0.34．如图2-2-5是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图中的数据填空．图2-2-5(1)样本数据在范围[6,10)内的频率为________； (2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________． 【解析】 (1)样本数据在[6,10)内频率为0.08×4＝0.32. (2)在[10,14)内的频数为0.09×4×100＝36. 【答案】 (1)0.32 (2)365．在样本频率分布直方图中，共有11个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积的和的14，且样本容量为100，则中间一组的频数为________．【解析】 设中间一个小矩形的面积为x ，由题意得x 1－x ＝14，解得x ＝15，故中间一组的频数为100×15＝20.【答案】 206．为了了解某地区10 000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图2-2-6.根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是________．图2-2-6【解析】 依题意得，该地区高三男生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是10 000×(0.03＋2×0.05＋0.07)×2＝4 000.【答案】 4 0007．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图2-2-7，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________.【导学号：11032040】图2-2-7【解析】 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m ，则15m ＝0.3，m ＝50.【答案】 508．对某市“两学一做”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图2-2-8)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：图2-2-8(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“两学一做”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．【解析】 设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h ，则5×(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h ＝0.04.志愿者年龄在[25,35)的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)的人数约为0.55×800＝440.【答案】 (1)0.04 (2)440 二、解答题9．某工厂对一批产品进行了抽样检测，图2-2-9是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是多少？图2-2-9【解】 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.10．下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).分组 [122， 126) [126， 130) [130， 134) [134， 138) [138， 142) 人数58102233分组 [142， 146) [146， 150) [150， 154) [154， 158] 人数201165(1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134 cm 的人数占总人数的百分比． 【解】 (1)样本频率分布表如下：分组 频数 频率 [122,126) 5 0.04 [126,130) 8 0.07 [130,134) 10 0.08 [134,138) 22 0.18 [138,142) 33 0.28 [142,146) 20 0.17 [146,150) 11 0.09 [150,154) 6 0.05 [154,158] 5 0.04 合计1201(2)其频率分布直方图如下：(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm 的人数占总人数的19%.[能力提升]1．某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下，则表中字母m、n、M、N所对应的数值分别为________、________、________、________.组别频数频率[145.5,149.5)80.16[149.5,153.5)60.12[153.5,157.5)140.28[157.5,161.5)100.20[161.5,165.5)80.16[165.5,169.5]m n合计M N【解析】由题意知样本容量为80.16＝50，故M＝50，从而m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，所以n＝450＝0.08；N＝1.【答案】40.0850 12．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图2-2-10)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．图2-2-10【解析】由题意知1－(0.005＋0.035＋0.020＋0.010)×10＝0.3，故a＝0.3 10＝0.030；由分层抽样的方法知，在[140,150]内的学生中选取的人数为18×0.010.03＋0.02＋0.01＝18×16＝3人．【答案】 0.030 33．某市数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图2-2-11所示，已知130～140分数段的人数为90人，求90～100分数段的人数a ＝________，则下边的流程图(图2-2-12)的功能是________．图2-2-11 图2-2-12【解析】 ①在频率分布图中，由题意可得900.05＝a0.45，∴a ＝810. ②在图2中，∵a ＝810， n ←1时，S ←1，S ←1×1， n ←2时，S ←1×1，S ←1×1×2， n ←3时，S ←1×2，S ←1×2×3， 依此循环，n >810时终止循环，输出S . 此时S ＝1×2×3×4× (810)故该流程图的功能是计算并输出1×2×3×4×…×810的值． 【答案】 810 计算并输出1×2×3×…×810的值4．从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，被抽取的学生的身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；…；第八组[190,195]，如图2-2-13是按上述分组方法得到的频率分布直方图．图2-2-13(1)根据已知条件填写下面表格：组别12345678样本数(2)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180 cm以上(含180 cm)的人数．【解】(1)由频率分布直方图得第七组的频率为1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06，∴第七组的人数为0.06×50＝3.同理可得各组人数如下：组别12345678样本数2410101543 2(2)由频率分布直方图得后三组的频率为0.016×5＋0.06＋0.008×5＝0.18.估计这所学校高三年级身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144.。
高中数学学业分层测评23苏教版必修2word版本
2016-2017学年高中数学学业分层测评23 苏教版必修2(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若点P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________.【解析】点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.【答案】02．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述：①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)；②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)；④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)．其中叙述正确的序号是________．【解析】由图形几何性质知①②③错，④正确．【答案】④3.图233如图233所示，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC ＝1，BE＝3，CF＝4，按图建立空间直角坐标系，则G的坐标为________．【解析】∵长方体的对面互相平行，且被截面AEFG所截，∴交线AG∥EF.又∵BE＝3，CF＝4，∴DG＝1，故G的坐标为(0,0,1)．【答案】(0,0,1)4.图234如图234，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知点B1的坐标为(a，a，a)，则点D1的坐标为________．【解析】由点B1的坐标为(a，a，a)知点D1的坐标为(0,0，a)．【答案】 (0,0，a )5．已知点M 到三个坐标平面的距离都是1，且点M 的三个坐标同号，则点M 的坐标为________． 【解析】 根据点M 到三个坐标平面的距离均为1，结合点的对称性，知M (1,1,1)或(－1，－1，－1)．【答案】 (1,1,1)或(－1，－1，－1)6．已知点P ′在x 轴正半轴上，OP ′＝2，PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，PP ′＝1，则点P ′和P 的坐标分别为________，________. 【导学号：60420093】【解析】 由于P ′在x 轴的正半轴上，故点P ′的坐标为(2,0,0)，又PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，故P 点坐标为(2,0，±1)．【答案】 (2,0,0) (2,0，±1) 7.图235正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图235所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为________．【解析】 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DC |＝23，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，138.图236如图236, M OAB 是棱长为a 的正四面体，顶点M 在底面OAB 上的射影为H ，则M 的坐标是________．【解析】 由M OAB 是棱长为a 的正四面体知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，0，A (0，a,0)，O (0,0,0)． 又点H 为△OAB 的中心知H ⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，0， 从而得M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，63a . 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫36a ，a2，63a 二、解答题9．在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．【解】 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连结BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，BO ⊥OO 1，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1均在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝⎛⎭⎪⎫32，0，1.图23710．如图237，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．【解】∵ABCD A 1B 1C 1D 1为长方体，∴可以以顶点A 为原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AD ⊥平面AA 1B 1B ，∴∠ABD 就是直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角，∠ABD ＝30°， ∴Rt △BAD 中，由AB ＝2，AE ⊥BD ，∠ABD ＝30°可解得AD ＝AB ·tan 30°＝2×33＝233，BD ＝2AD ＝433，AE ＝1. 过点E 在平面ABCD 内作AB 的垂线EM ，垂足为点M ，∴Rt △AEM 中，EM ＝AE ·sin 60°＝32， AM ＝AE ·cos 60°＝12.又长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，F 为A 1B 1的中点，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，A 1(0,0,1)，B 1(2,0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，233，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，F (1,0,1)． [能力提升]1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是________．【解析】 由A ，B 两点的坐标可知关于y 轴对称． 【答案】 关于y 轴对称2．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为________．【解析】 点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4,0，－6)．【答案】 (－4,0，－6)3.图238如图238所示，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，则写出A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标．A ________，B ________，C ________，D ________，P ________，E ________.【解析】如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，与过点A 与AB 垂直的直线AG 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0. 【答案】 (0,0,0) (1,0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0 (0,0,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0(答案不唯一)4.图239如图239所示，AF ，DE 分别是圆O ，圆O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8，BC 是圆O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．【解】因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，又BC是圆O的直径，所以OB＝OC，又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6 2.所以OA＝OB＝OC＝OF＝3 2.如图所示，以O为原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，所以A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．。
2016-2017学年高中数学学业分层测评2苏教版必修2资料
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法正确的是________．①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；③过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形；④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形．【解析】由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．【答案】③2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．【解析】连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．【答案】两个圆锥的组合体3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．图1124【解析】一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．【答案】一个六棱柱中挖去一个圆柱4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是________．【解析】由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是圆锥的侧面．【答案】圆锥的侧面5．如图1125所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的. 【导学号：60420008】图1125【解析】旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．【答案】圆锥、圆柱6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是________．①②③④图1126【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.【答案】①②③7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为________．【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝5，r2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d1＝R2－r21，d2＝R2－r22，∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.【答案】 38．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________．【解析】因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足4S ＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝S，故底面面积为πS.【答案】πS二、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．【解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16 cm2，解得r＝2 cm.所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高2r＝4 cm.10.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图1127所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．图1127【解】 轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O 1C ＝R ，设圆锥的截面圆的半径O 1D 为x .因为OA ＝AB ＝R ，所以△OAB 是等腰直角三角形．又CD ∥OA ，则CD ＝BC ，所以x ＝l ，故截面面积S ＝πR 2－πl 2＝π(R 2－l 2)．[能力提升]1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是________．【解析】 如图以AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．【答案】 一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥2．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到点G 的最短距离是________cm. 【导学号：60420009】【解析】 如图所示，E ′F ＝12×2π×52＝52π(cm)， ∴最短距离E ′G ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52π2＝52π2＋4(cm)．【答案】 52π2＋4 3．在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，其中AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________． 【解析】 由线段的长度知△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r ＝AB 2＝5，所以d ＝R 2－r 2＝12. 【答案】 124．如图1128所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：图1128(1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f (x )的最大值．【解】 将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)． f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ， ∴SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4)．(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数，∴f (x )的最大值为f (4)＝32.。
2016-2017学年高中数学学业分层测评19苏教版必修2资料
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．以A(1,2)，B(3,0)的中点为圆心，以5为半径的圆的方程为________．【解析】AB中点为(2,1)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝52．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是________．【解析】∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，∴P点在圆外．【答案】P在圆外3．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【解析】由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.【答案】x2＋(y－1)2＝14．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为________．【解析】已知圆的圆心为(－2,0)，它关于P(0,0)的对称点为(2,0)，所以关于P对称的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.【答案】(x－2)2＋y2＝55．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是__________.【导学号：60420079】【解析】∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．【答案】相交6．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为__________．【解析】圆的方程化为(x－a)2＋y2＝3－2a，∵过点A(a，a)可作圆的两条切线，∴点A(a，a)在圆外，a>0，2>3－2a，解得a<－3或1<a<32.【答案】7．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是________________．【解析】设直线端点为B (x 0,0)，C (0，y 0)，则x 0＋02＝2，∴x 0＝4，0＋y 02＝－3，∴y 0＝－6，r ＝4－22＋0＋32＝13，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.【答案】(x －2)2＋(y ＋3)2＝138．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．【解析】设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝2－32＋－3－42＝5 2.而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.【答案】52－4二、解答题9．已知平面直角坐标系中有四个点A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，这四个点能否在同一个圆上？为什么？【解】设经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．代入三点的坐标得2＋b －12＝r 2，a －22＋b －12＝r 2，a －32＋b －42＝r 2，＝1，＝3，2＝5，所以经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D 点坐标代入圆的标准方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以点D 在圆上，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．10．如图222所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为63m，行车道总宽度BC 为211m，侧墙EA ，FD 高为2m，弧顶高MN 为5m.图222(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【解】(1)法一以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．则有E(－33，0)，F(33，0)，M(0,3)．由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2，∵F(33，0)，M(0,3)都在圆上，332＋b2＝r2，2＋3－b2＝r2，解得b＝－3，r2＝36.所以圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.法二以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G，半径为r，则点G在y轴上，在Rt△GOE中，|OE|＝33，|GE|＝r，|OG|＝r－3，由勾股定理，r2＝(33)2＋(r－3)2，解得r＝6，则圆心G的坐标为(0，－3)，圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.(2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h＋0.5.将点P的横坐标x＝11代入圆的方程，得112＋(y＋3)2＝36，解得y＝2，或y＝－8(舍)．所以h＝|CP|－0.5＝(y＋|DF|)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．即车辆的限制高度为3.5m.[能力提升]1．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．【解析】在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213.【答案】2132．(2016·徐州高一检测)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为__________________.【导学号：60420080】【解析】设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意得1－a 2＋b 2＝r 2，3－a2＋b 2＝r 2，a|＝r ，＝2，＝±3，＝2，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.【答案】(x －2)2＋(y ±3)2＝43．已知实数x ，y 满足y ＝9－x2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是______________．【解析】y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率．如图，A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.【答案】t ≤－32或t ≥344．已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】(1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设yx＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，即b＝－2± 6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－4 3.。
2016-2017学年高中数学学业分层测评8苏教版必修2资料
学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．有下列命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________(填序号)．【解析】由面面平行的定义、性质得③正确．【答案】③2．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为________．【解析】过B作BC⊥α于C，则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin 60°＝3 3.【答案】3 33．设直线l，m，平面α，β，则由l⊥α，m⊥β且l∥m，能得出α与β的位置关系是________．【答案】平行4．如图1283，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥α，垂足为F，l⊂α，C，D∈α，AC ⊥l，则当BD与l______时，平面ACE∥平面BFD.图1283【解析】l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD.【答案】垂直5．已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，DEDF＝25，则AC＝________. 【导学号：60420028】【解析】 ∵α∥β∥γ，∴AB BC ＝DEEF. 由DE DF ＝25，得DE EF ＝23，即AB BC ＝23， 而AB ＝6，∴BC ＝9，∴AC ＝AB ＋BC ＝15. 【答案】 156．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d ，则在平面β内，下列说法正确的是________(填序号)．①有且只有一条直线与平面α的距离为d ； ②所有直线与平面α的距离都等于d ； ③有无数条直线与平面α的距离等于d ； ④所有直线与平面α的距离都不等于d .【解析】 由两平行平面间的距离可知，②③正确． 【答案】 ②③7．如图1284所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.图1284【解析】 ∵HN ∥BD ，HF ∥DD 1，HN ∩HF ＝H ，BD ∩DD 1＝D ，∴平面NHF ∥平面B 1BDD 1，故线段FH 上任意点M 与N 连结，有MN ∥平面B 1BDD 1. 【答案】 M ∈线段FH8．如图1285，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．图1285【解析】 取CD 的中点H ，连结EH ，FH .在正四面体CDEF 中，由于CD ⊥EH ，CD ⊥HF ，所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥平面EFH ，则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行，则EF 也与之平行，与其余四个平面相交．【答案】 4 二、解答题9．如图1286所示，B 为△ACD 所在平面外一点，M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．图1286(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG ∶S △ACD .【解】 (1)证明：连结BM ，BN ，BG 并延长交AC ，AD ，CD 分别于点P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， ∴BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2.连结PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD . ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD .又MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD . (2)由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△ACD ，其相似比为1∶3. ∴S △MNG ∶S △ACD ＝1∶9.10.如图1287，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？图1287【解】如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.[能力提升]1．如图1288，在多面体ABCA1B1C1中，如果在平面AB1内，∠1＋∠2＝180°，在平面BC1内，∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是________．图1288【解析】在平面AB1内，∠1＋∠2＝180°知A1B1∥AB，在平面BC1内，∠3＋∠4＝180°，知B1C1∥BC，所以平面ABC与平面A1B1C1平行．【答案】平行2．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则a，b，c之间的大小关系为__________. 【导学号：60420029】【解析】在如图所示的棱长为1的正方体中，上、下底面分别记为α，β.直线m即直线AD1，直线n即直线BD.显然点A，B之间的距离为a＝3，点A到直线n的距离为b＝2，直线m和n的距离为c＝1，则c<b<a.【答案】 c <b <a3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点．点P 在对角线BD 1上，且BP ＝23BD 1，给出下列四个命题：图1289①MN ∥平面APC ；②C 1Q ∥平面APC ； ③A ，P ，M 三点共线；④平面MNQ ∥平面APC . 其中正确命题的序号为______________．【解析】 E ，F 分别为AC ，MN 的中点，G 为EF 与BD 1的交点，显然△D 1FG ∽△BEG ，故D 1G BG ＝D 1F BE ＝12，即BG ＝23BD 1.又BP ＝23BD 1，故点G 与点P 重合，所以平面APC 和平面ACMN 重合，MN ⊂平面APC ，故命题①不正确，命题④也不正确．【答案】 ②③4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，如图1290所示．图1290(1)求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)试找出体对角线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 的交点E ，F ，并证明A 1E ＝EF ＝FC . 【解】 (1)证明：因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ═∥B 1C 1，所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形，所以AB 1∥C 1D .又因为C 1D ⊂平面C 1BD ，AB 1⊄平面C 1BD . 所以AB 1∥平面C 1BD .同理可证，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图所示，连结A1C1，交B1D1于点O1；连结AO1，与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．连结AC，交BD于O；连结C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即FC＝EF，所以A1E＝EF＝FC.。
高中数学 学业分层测评12 苏教版必修2(2021年整理)
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学业分层测评（十二）（建议用时：45分钟)［学业达标]一、填空题1．下列说法中，正确的是________．①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α；②直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；③若直线的倾斜角为α，则sin α>0;④任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α。
【解析】α＝90°时，①不成立；α不一定符合倾斜角的范围，故②错；当α＝0°时，sin α＝0，故③错；④正确．【答案】④2．若三点A(2，3），B（3，2)，C错误!共线，则实数m的值为__________．【解析】根据斜率公式得k AB＝－1，k AC＝错误!.∵A，B，C三点共线，∴k AB＝k AC，∴错误!＝－1。
∴m＝9 2 .【答案】9 23．已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α〈135°,则直线l的斜率的取值范围是__________________．【解析】设直线l的斜率为k，当0°≤α<90°时，k＝tan α≥0；当α＝90°时,无斜率；当90°<α〈135°时；k＝tan α<－1，∴直线l 的斜率k的取值范围是（－∞，－1)∪［0,＋∞）．【答案】(－∞,－1）∪[0，＋∞)4．若直线l过原点,且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是________。
2016-2017学年高中数学苏教版必修2学业分层测评10 空间几何体的表面积 含解析
学业分层测评（十）(建议用时：45分钟）［学业达标］一、填空题1．下列有四个结论，其中正确的是________．(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;（2）三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；(3）底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；（4）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥．【解析】（1）不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；（2)缺少第一个条件；（3)缺少第二个条件；而（4)可推出以上两个条件,故正确．【答案】(4）2．一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.【解析】设底面边长,侧棱长分别为a cm，l cm，错误!∴错误!∴S侧＝4×4×7＝112 cm2.【答案】1123．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°,那么这个斜三棱柱的侧面积是________。
【导学号：60420037】【解析】由题意可知S侧＝2×5×2错误!＋5×4＝20＋20错误!。
【答案】20＋20错误!4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π,则母线长为________．【解析】∵l＝错误!,∴S侧＝π（R＋r)l＝2πl2＝32π,∴l＝4。
【答案】45．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为错误!,则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为__________．【解析】斜高h′＝错误!＝错误!，S1＝错误!×(3×2＋3×4）×错误!＝9错误!，S2＝错误!×22＋错误!×42＝5错误!,∴S1>S2。
【答案】S1〉S26．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为________．【解析】设圆锥底面半径为r,母线为l，则有2l＋2πr＝2m.∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr（m－πr)＝（π－π2）r2＋πmr。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 模块学习评价 苏教版必修2
模块学习评价(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分；请把答案填在题中横线上) 1．(2013·广州检测)在空间直角坐标系中，点(1，－2，－3)到原点的距离是________． 【解析】 点(1，－2，－3)到原点的距离d ＝12＋－2＋－2＝1＋4＋9＝14. 【答案】142．(2013·宿迁检测)若A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，m )三点共线，则m 的值为________．【解析】 由题意可知k AB ＝k AC ，即－2－33－－＝m －312＋2，解得m ＝12.【答案】 123．(2013·郑州检测)不共面的四点最多可以确定平面的个数为________． 【解析】 不共面的四点最多可以确定4个平面． 【答案】 44．已知△ABC 的水平放置的直观图是如图1所示的等腰直角三角形A ′B ′C ′且直角边A ′B ′长为2 cm ，则平面图形中△ABC 的面积为__________．图1【解析】 根据等腰直角三角形A ′B ′C ′中，A ′B ′＝2 cm ，B ′C ′＝2 2 cm ，则平面图形中AB ＝4 cm ，BC ＝2 2 cm ，且∠ABC ＝90°.∴△ABC 的面积为：12×22×4＝4 2 cm 2.【答案】 4 2 cm 25．(2013·苏州检测)已知一个棱长为3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积等于________．【解析】 由题意可知，球的直径2R ＝(3)2，∴R ＝32，故所求球的表面积S ＝4πR 2＝9π. 【答案】 9π6．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －2＝0相交，则圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线的方程为______________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0 ①x 2＋y 2－4x －4y －2＝0 ②，①－②得x ＋2y －1＝0.即两圆公共弦所在的直线方程为x ＋2y －1＝0. 【答案】 x ＋2y －1＝07．(2013·开原检测)以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程是____________．【解析】 由题意知，圆的半径r ＝|3×2＋－－＋5|32＋－2＝3，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.【答案】 (x －2)2＋(y ＋1)2＝98．(2013·衡水检测)点A (3,5)作圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，则切线的方程为____________．【解析】 由题意可知，当x ＝3时合题意义．设过点A (3,5)的圆C 的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋5＝0. 由题意可知|2k －3－3k ＋5|1＋k 2＝1， 解得k ＝34.即3x －4y ＋11＝0.综上可知满足题意的圆C 的切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0. 【答案】 x ＝3或3x －4y ＋11＝09．(2013·内蒙古检测)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下面结论错误的是________(填序号)．①BD ∥平面CB 1D 1 ②AC 1⊥BD ③AC 1⊥平面CB 1D ④异面直线AD 与CB 1所成角为45° 【解析】 ①正确，∵BD ∥B 1D 1，∴BD ∥平面CB 1D 1. ②正确，易证BD ⊥平面ACC 1. ③不正确．④正确．∵AD ∥BC ，而BC 与CB 1成45°.【答案】 ③10．(2013·南通检测)已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________．【解析】 设圆锥的母线为l ，高为h ，由题意可知2π＝πl ， ∴l ＝2，∴h ＝l 2－12＝ 3. ∴V ＝13π×3＝33π.【答案】33π 11．(2013·辽宁实验高中检测)若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)，则ab 的值为________．【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b －3＝0，|－2a －3|a 2＋b 2＝5解得a ＝1，b ＝2. ∴ab ＝2. 【答案】 212．如图2所示，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，给出三个论断：①四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1是直四棱柱；②底面ABCD 是菱形；③AC 1⊥B 1D 1.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，可以得到________个正确结论．图2【解析】 由题目可以构成①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①三个结论，根据直棱柱的性质知命题①②⇒③是正确结论，其余两个是错误结论，故填1.【答案】 113．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，则这个三棱柱的侧面积是__________．【解析】 设正三棱柱的棱长为a ，则其底面积为S ＝12a ·32a ＝34a 2，∴34a 2·a ＝23，∴a ＝2， ∴侧面积S ′＝3·a ·32a ＝6 3. 【答案】 6 314．如图3所示，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点，则从点A 到点A 1的最短路线的长为________．图3【解析】 把正三棱柱沿着棱AA 1展开，便得到了如图所示的矩形，自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A 1点的长度就是AM ＋A 1M 的长度，要求最短，也即是求AM ＋A 1M 的长度最小，实际上就是求M 的位置．容易得出AM ＋A 1M ≥10，当M 取AA 1的中点时，AM＋A 1M 取得最小值10.【答案】 10二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2013·潮州检测)已知点A (－1,2)和B (3,4)，求： (1)线段AB 的垂直平分线l 的方程； (2)以AB 为直径的圆的方程．【解】 设线段AB 的中点为C (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1＋32＝1，y 0＝2＋42＝3.∴C (1,3)．(1)∵A (－1,2)和B (3,4)，∴k AB ＝4－23－－＝12. ∵直线l 垂直于直线AB ， ∴k 1＝－1k AB＝－2.利用直线的点斜式得l 的方程：y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.(2)∵A (－1,2)和B (3,4)， ∴|AB |＝＋2＋－2＝20＝25，∴以AB 为直径的圆的半径R ＝12|AB |＝5，圆心为C (1,3)．∴以AB 为直径的圆的方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝5.16．(本小题满分14分)(2013·江门检测)如图4，已知三角形的顶点为A (2,4)，B (0，－2)，C (－2,3)，求：(1)AB 边上的中线CM 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．图4【解】 (1)AB 中点M 的坐标是M (1,1)，中线CM 所在直线的方程是y －13－1＝x －1－2－1，即2x ＋3y －5＝0.(2)法一 AB ＝－2＋－2－2＝210，直线AB 的方程是3x －y －2＝0， 点C 到直线AB 的距离是d ＝－－3－2|32＋12＝1110. 所以△ABC 的面积是S ＝12AB ·d ＝11.法二 设AC 与y 轴的交点为D ，则D 恰为AC 的中点，其坐标是D (0，72)，BD ＝112，S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ＝11.17．(本小题满分14分)(2013·泰州检测)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－4mx －2y ＋8m －7＝0，(m ∈R )．(1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(4，－3)的直线方程． 【解】 配方得圆的方程为(x －2m )2＋(y －1)2＝4(m －1)2＋4. (1)当m ＝1时，圆的半径最小，此时圆的面积最小． (2)当m ＝1时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 当斜率存在时设所求直线方程为y ＋3＝k (x －4)， 即kx －y －4k －3＝0.由直线与圆相切，所以|2k －1－4k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝－34.所以切线方程为y ＋3＝－34(x －4)，即3x ＋4y ＝0.又过(4，－3)点，且与x 轴垂直的直线x ＝4，也与圆相切． 所以所求直线方程为3x ＋4y ＝0及x ＝4.18．(本小题满分16分)如图5所示，AB 是圆柱的母线，BD 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上一点，E 是AC 中点，且AB ＝BC ＝2，∠CBD ＝45°.图5(1)求证：CD ⊥面ABC ；(2)求直线BD 与面ACD 所成角的大小． 【解】 (1)∵BD 是底面圆直径， ∴CD ⊥BC ，又AB ⊥面BCD ，CD ⊂面BCD ， ∴AB ⊥CD ，又BC ∩AB ＝B .从而，CD⊥面ABC；(2)连结DE，由(1)知BE⊥CD，又E是AC中点，AB＝AC＝2，∠ABC＝90°，则BE⊥AC，所以，BE⊥面ACD.于是，直线BD与面ACD所成角为∠BDE，而BE⊥面ACD，则BE⊥ED，即△BED为直角三角形．又AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，则BD＝2 2.而BE＝2，所以∠BDE＝30°.19．(本小题满分16分)(2013·宿迁检测)如图6，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1.【解】(1)∵ABCA1B1C1为直三棱柱，∴C1C⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴C1C⊥AC∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥CB又C1C∩CB＝C，∴AC⊥平面C1CB1B，BC1⊂平面C1CB1B，∴AC⊥BC1.(2)设CB1∩BC1＝E，∵C1CBB1为平行四边形，∴E为C1B的中点．又D为AB中点，∴AC1∥DEDE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.20．(本小题满分16分)(2013·苏州检测)如图7，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知AD ＝4，BD ＝43，AB ＝2CD ＝8.图7(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (2)当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD?(3)求四棱锥P ABCD 的体积．【解】 (1)在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝43，AB ＝8，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面PAD .(2)当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA ∥平面MBD . 证明如下：连结AC ，交BD 于点N ，连结MN . ∵AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是梯形． ∵AB ＝2CD ，∴CN ∶NA ＝1∶2. 又∵CM ∶MP ＝1∶2， ∴CN ∶NA ＝CM ∶MP .∴PA ∥MN . ∵PA ⊄平面MBD ，MN ⊂平面MBD ， ∴PA ∥平面MBD .(3)过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD .即PO 为四棱锥P ABCD 的高． 又∵△PAD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝32×4＝2 3. 在Rt△ADB 中，斜边AB 边上的高为4×438＝23，此即为梯形ABCD 的高．∴梯形ABCD 的面积S ABCD ＝4＋82×23＝12 3.故V P ABCD ＝13×123×23＝24.。
高中数学 学业分层测评24 苏教版必修2(2021年整理)
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学业分层测评(二十四)(建议用时：45分钟)[学业达标］一、填空题1．已知A(1，－2，1），B（2,2,2），点P在z轴上，且PA＝PB,则点P的坐标为________．【解析】设P(0,0，c)，由题意得错误!＝错误!，解得c＝3,∴点P的坐标为（0，0，3)．【答案】（0,0,3）2．已知平行四边形ABCD，且A（4,1，3)，B(2，－5,1)，C（3，7,－5)，则顶点D的坐标为__________．【解析】由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点,AC的中点M错误!.设D(x，y,z)，则错误!＝错误!，4＝错误!,－1＝错误!，∴x＝5,y＝13,z＝－3，∴D(5,13，－3)．【答案】（5,13，－3）3．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图23。
13所示，则BC边上的中线的长是________．图2。
3。
13【解析】BC的中点坐标为（1，1,0)．又A(0,0，1），∴AM＝错误!＝错误!.【答案】错误!4．点B是点A(2，－3，5)关于xOy平面的对称点，则AB＝________.【解析】点B的坐标为B（2,－3,－5)，∴AB＝错误!＝10.【答案】105．在空间直角坐标系中,一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．【解析】设P(x，y,z），由题意可知错误!∴x2＋y2＋z2＝错误!，∴错误!＝错误!。
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学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列说法中，正确的是________．
①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α； ②直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α； ③若直线的倾斜角为α，则sin α>0；
④任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α.
【解析】 α＝90°时，①不成立；α不一定符合倾斜角的范围，故②错；当α＝0°时，sin α＝0，故③错；④正确．
【答案】 ④
2．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，m 共线，则实数m 的值为__________．
【解析】 根据斜率公式得k AB ＝－1，k AC ＝6－2m
3. ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，∴6－2m
3＝－1. ∴m ＝92. 【答案】 9
2
3．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α<135°，则直线l 的斜率的取值范围是__________________．
【解析】 设直线l 的斜率为k ，当0°≤α<90°时，
k ＝tan α≥0；当α＝90°时，无斜率；当90°<α<135°时；k ＝tan α<－1，∴直线l 的斜率k 的取值范围是
(－∞，－1)∪[0，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1)∪[0，＋∞)
4．若直线l 过原点，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是________. 【导学号：60420050】
【解析】 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．
【答案】 90°≤α<180°或α＝0°
5．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．
【解析】 直线P A 的斜率k P A ＝2，直线PB 的斜率k PB ＝3
4，结合图象，可知直线l 的斜率k 的取值范围是k ≥2或k ≤3
4.
【答案】 k ≥2或k ≤3
4
6．若过点P (3－a,2＋a )和点Q (1,3a )的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是__________．
【解析】 k ＝tan α＝3a －(2＋a )1－(3－a )
＝
2a －2a －2
，
∵α为钝角， ∴2a －2a －2<0， ∴1<a <2. 【答案】 (1,2)
7．已知直线l 1的倾斜角为α，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角用α表示为________．
【解析】 设l 2的倾斜角为θ，当α＝0°时，θ＝0°； 当0°<α<180°时，θ＝180°－α. 【答案】 0°或180°－α
8．已知过点(－3，1)和点(0，b)的直线的倾斜角α满足30°≤α<60°，则b 的取值范围是________．
【解析】因为30°≤α<60°，所以
3
3≤k<3，
又k＝b－1
3
，
所以3
3≤b－1
3
<3，解得2≤b<4.
【答案】2≤b<4
二、解答题
9．△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(2,2)，C(1,2)，试求△ABC三边所在直线的斜率和倾斜角．
【解】由各点坐标知，三边所在直线的斜率分别为k AB＝2－1
2－1
＝1，k AC不
存在，k BC＝2－2
1－2
＝0，故相应的三条直线的倾斜角分别为45°，90°，0°.
10．过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4，1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
【解】如图所示，(1)直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角α1为最小值，
∵tan α1＝0－(－3)
3－0
＝1，
∴α1＝45°.
(2)直线l过点B(－4,1)时，即为直线MB，倾斜角α2为最大值，
∵tan α2＝
1－(－3)－4－0
＝－1，
∴α2＝135°.
所以直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；
当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)．
[能力提升]
1．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 ∵k ＝a －1a ＋2
且直线的倾斜角为钝角，
∴a －1a ＋2<0， 解得－2<a <1. 【答案】 (－2,1)
2．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是__________．
【解析】 依题意，作出图形，k AO ＝2，k AB ＝0， 由数形结合可知k l ∈[0,2]．
【答案】 [0,2]
3．若点P (x ，y )在线段AB ：y ＝1(－2≤x ≤2)上运动，则y
x 的取值范围是________．
【解析】
如图所示，y x 的几何意义为点(x ，y )与(0,0)连线的斜率，∴y x ≥12或y x ≤－1
2.
【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞ 4．光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，求点Q 的坐标及入射光线的斜率．
【解】 点B (4,3)关于y 轴的对称点B ′(－4,3)，k AB ′＝1－32＋4
＝－1
3，从而入射
光线的斜率为－13.设Q (0，y )，则k 入＝k QA ＝1－y 2＝－1
3
，
解得y ＝53，即Q 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，53.。