辽宁省阜新二高2017_2018学年高二数学下学期期中试题理
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z 1=（m 2﹣2m+3）+（m 2﹣m+2）i （m ∈R ），z 2=6+8i ，则m=3是z 1=z 2的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除3．定积分（x 2+sinx ）dx 的值为（ ）A ．+ B ．﹣ C ．﹣ D ．+4．若复数z=（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则复数z 的共轭复数是（ ）A ． iB ．﹣ iC ．3iD ．﹣3i5．求曲线y 2=4x 与直线y=x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积（ ）A ．B ．π C ．π D ．24π6．若复数z 满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（ ）A ．3+B ．+C ．+D ．37．已知=（ ）A ． f′（x 0）B ．f′（x 0）C ．2f′（x 0）D ．﹣f′（x 0）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．例如，用十六进制表示E+D=1B ，则A ×C=（ ）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），），∴=2f′（x故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i 17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算． 【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i ）﹣=+3+i ﹣i 10=i+3+i+1 =4+2i ；故答案为：4+2i ．14．在Rt △ABC 中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S ﹣ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC上的高为h ，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可． 【解答】解：∵PA 、PB 、PC 两两互相垂直，∴PA ⊥平面PBC ． 设PD 在平面PBC 内部，且PD ⊥BC ，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为 4x+y ﹣4=0 ． 【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a ﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x ）=x 2﹣（3a+2）x+6a ，由函数f （x ）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a ，b ．（2）由f′（x ）=x 2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f （x ）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f （x ）=﹣x 2+6ax+b ，其中a ，b ∈R ，∴f′（x ）=x 2﹣（3a+2）x+6a ，∵函数f （x ）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f （x ）=﹣+2x ﹣1，∴f′（x ）=x 2﹣3x+2，由f′（x ）=x 2﹣3x+2＞0，得x ＞2或x ＜1，∴函数f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且关于x 的方程x 2﹣a n x ﹣a n =0有一根为S n ﹣1． （1）求出S 1，S 2，S 3；（2）猜想{S n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 【考点】RG ：数学归纳法；8E ：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S 1=，S 2=．S 3=．（2）由此猜想S n =，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x 2﹣a 1x ﹣a 1=0有一根为S 1﹣1=a 1﹣1，于是（a 1﹣1）2﹣a 1（a 1﹣1）﹣a 1=0，解得a 1=．当n=2时，x 2﹣a 2x ﹣a 2=0有一根为S 2﹣1=a 2﹣，于是（a 2﹣）2﹣a 2（a 2﹣）﹣a 2=0，解得a 2=由题设（S n ﹣1）2﹣a n （S n ﹣1）﹣a n =0， S n 2﹣2S n +1﹣a n S n =0． 当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1， 代入上式得S n ﹣1S n ﹣2S n +1=0．①得S 1=a 1=，S 2=a 1+a 2=+=．由①可得S 3=．（2）由（1）猜想S n =，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论． （i ）n=1时已知结论成立．（ii ）假设n=k 时结论成立，即S k =，当n=k+1时，由①得S k+1=，可得S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i ）、（ii ）可知S n =对所有正整数n 都成立．20．设铁路AB 长为100，BC ⊥AB ，且BC=30，为将货物从A 运往C ，现在AB 上距点B 为x 的点M 处修一公路至C ，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4． （1）将总运费y 表示为x 的函数； （2）如何选点M 才使总运费最小．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC ⊥AB ，BC=30，BM=x ，则AM=100﹣x ．MC=，可得总运费y 表示为x 的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC ⊥AB ，BC=30，BM=x ，则AM=100﹣x ．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x ﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。
2017—2018学年第二学期高二年级期中考试数学(理)试卷解析版
2017～2018学年第二学期高二年级期中考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数ii+310对应的点的坐标为( A )A ．)3,1(B ．)1,3(C ．)3,1(-D ．)1,3(-2.已知随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，若15.0)6()2(=>=<ξξP P ，则=<≤)42(ξP （ B ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 3.设)(x f 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数)('x f 的图象可能是（ B ）4.用反证法证明命题：“若0)1)(1)(1(>---c b a ，则c b a ,,中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( B )A ．假设c b a ,,都大于1B ．假设c b a ,,都不大于1C ．假设c b a ,,至多有一个大于1D ．假设c b a ,,至多有两个大于15.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，从)(*N k k n ∈=到1+=k n 时，等式左边应添加的式子是( B )A ．222)1(k k +- B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D.]1)1(2)[1(312+++k k6.3名志愿者完成4项工作，每人至少1项，每项由1人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.在62)12(xx -的展开式中，含7x 的项的系数是（ D ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．2408.函数xe xf x2)(=的导函数是（ C ）A ．xe xf 2'2)(= B ．x e x f x 2'2)(= C ．22')12()(x e x x f x -= D ．22')1()(x e x x f x -=9.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对),(b a 为（ C ）A ．)3,3(-B ．)4,11(-C ．)11,4(-D ．)3,3(-或)11,4(-10.若等差数列}{n a 公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d.类似，若各项均为正数的等比数列}{n b 公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列}{n n T 公比为( C )A.2q B ．2q C.q D.n q 11.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率=)|(B A P ( C )A.21691 B.185 C.9160 D.2112.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，都有2)()(2'<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ B ）A ．}1|{±≠x xB ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设),(~p n B ξ，若有4)(,12)(==ξξD E ，则=p 2/3 14.若函数32)1(21)(2'+--=x x f x f ，则=-)1('f -1 15.如图所示，阴影部分的面积是 32/316.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题：②函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0． 其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）设复数i m m m m z )23()32(22+++--=，试求实数m 的取值，使得 （1）z 是纯虚数； （2）z 对应的点位于复平面的第二象限． 解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0分5302303222 =∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--m m m m m （2）当复数对应的点在第二象限时，分103102303222<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>++<--m m m m m 18.（本小题满分12分) 在数列}{n a 中，已知)(13,2*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）计算432,,a a a 的值，并猜想出}{n a 的通项公式； （2）请用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）72123213112=+⨯=+=a a a ,19213,132********=+==+=a a a a a a于是猜想出分5562-=n a n （2）①当1=n 时，显然成立；②假设当)(*N k k n ∈=时，猜想成立，即562-=k a k 则当1+=k n 时，5)1(6216215623562131-+=+=+-⨯-=+=+k k k k a a a k k k ， 即当1+=k n 时猜想也成立． 综合①②可知对于一切分12562,*-=∈n a N n n 19.（本小题满分12分)“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望． 解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,23821)0(22021505===C C C X P ，3815)1(22011515===C C C X P ， 191)2(22001525===C C C X P , 所以随机变量X 的分布列为：分62192381380 =⨯+⨯+⨯=∴EX（2）合格机器人的件数可能是0,1,2,3，相应的不合格机器人的件数为3,2,1,0.所以ξ的可能取值为1,3，有题意知：1122213331319(1)()()()()444416P C C ξ==+=，3333331317(3)()()()()444416P C C ξ==+= 所以随机变量ξ的分布列为：分128163161)( =⨯+⨯=∴ξE 20.（本小题满分12分)编号为5,4,3,2,1的五位学生随意入座编号为5,4,3,2,1的五个座位，每位学生坐一个座位．设与座位编号相同的学生人数是X .(1)试求恰好有3个学生与座位编号相同的概率)3(=X P ； (2)求随机变量X 的分布列及均值．解：(1)恰好有3个学生与座位编号相同，这时另两个学生与座位编号不同，所以分412112010)3(5525 ====A C X P(2)随机变量X 的一切可能值为0,1,2,3,4,5. 且121)3(,00)4(,120112011)5(5555=========X P A X P A X P ； 83120459)1(,61120202)2(55155525========A C X P A C X P301112044)]5()4()3()2()1([1)0(===+=+=+=+=-==X P X P X P X P X P X P 随机变量X 的分布列为故分1211205041236281300)( =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 21.（本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围． 解：（1）2),0(1)('=>+=a x x a x f )0(12)('>+=∴x xx f ， 3)1('=∴f ， 3=∴k又切点)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即：013=--y x 故曲线)(x f y =在1=x 处切线的切线方程为分4013 =--y x（2）)0(11)('>+=+=x xax x a x f ①当0≥a 时，0)('>x f ，所以)(x f 的单调递增区间为分6),0( +∞②当0<a 时，由0)('=x f ，得ax 1-= 在区间)1,0(a -上0)('>x f ，在区间),1(+∞-a上，0)('<x f . 所以，函数)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，单调递减区间为分8),1( +∞-a（3）由已知，转化为]1,0[,1)1()(,)()(2max max ∈+-=<x x x g x g x f ，2)(max =∴x g 由（2）知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意．）当0<a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减， 故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1()(max a af x f ---=-=， 所以2)ln(1<---a ，解得31e a -< 综上：分1213 ea -< 22.（本小题满分12分) 已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)1()1(2)1)(2(1121)('->+-+-=++-=x x x x x x x f 令0)('>x f 得11<<-x ，令0)('<x f 得1>x .)(x f ∴在)1,1(-上是增函数，在),1(+∞上是减函数. 2ln 41)1()(+-==∴f x f 极大值，)(x f 无极小值分4（2）因为函数)(x f 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以0112)('≤++=x ax x f 对任意的),1[+∞∈x 恒成立， 即)1(21+-≤x x a 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，4121)211(2121)21(21)1(2122-=-+-≥-+-=+-x x x分841-≤∴a（3）因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立， 即0)1ln(2≤-++x x ax 恒成立，令)0()1ln()(2≥-++=x x x ax x g ， 转化为0)(max ≤x g 即可.1)]12(2[1112)('+-+=-++=x a ax x x ax x g 当0=a 时，1)('+-=x x x g ，0>x ，0)('<∴x g 即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 当0>a 时，令0)('=x g 得，0=x 或121-=ax 若0121≤-a 即21≥a 时，),0(+∞∈x 有0)('>x g ， 则)(x g 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g ，不满足题设； 若0121>-a 即210<<a 时，)121,0(-∈a x 有0)('<x g ，),121(+∞-∈ax 有0)('>x g ， 则)(x g 在)121,0(-a 上单调递减，在),121(+∞-a上单调递增，无最大值，不满足题设； 当0<a 时，0>x ，0)('<∴x g即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 综上：实数a 的取值范围为分12]0,( -∞。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版含答案
2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。
辽宁省阜新二高2017-2018学年高二下学期寒假验收考试数学理试卷
2017-2018学年度寒假验收考试高二数学(理)考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：白杨一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1.若集合A={x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x |x ＜1}，则A ∩B 等于（ ）A ．（1，3）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣1，1）D ．（﹣3，1）2.从编号为1，2，…，80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为8的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若S △ABC =（其中S △ABC 表示△ABC 的面积），且（+）•=0，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．有一个角是30°的等腰三角形4.已知数列{a n }是等比数列，且a 1=81，a 4=-1，则{a n }的公比q 为（ ）A.2B.21 C.-2 D.21 5.5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（ ）A..40B.36C.32D.246.抛物线y=3x 2的焦点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．7.若焦点在x 轴上的椭圆+=1的离心率是，则m 等于（ ） A ． B ． C ． D ．8.已知命题p ：x ∈A ∪B ，则非p 是（ ）A ．x 不属于A ∩B B ．x 不属于A 或x 不属于BC ．x 不属于A 且x 不属于BD ．x ∈A ∩B 9.已知两定点F 1（﹣5，0），F 2（5，0），动点P 满足|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，则当a=3和5时，P 点的轨迹为（ ）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线10.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．2 C．3 D．11.．如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在△AOB内的概率是（）A．B．C．D．12.设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）13.复数 2-i （i为虚数单位）的虚部为14.已知x，y∈R+，且满足x+2y=2xy，那么x+4y的最小值为。
辽宁省阜新市数学高二下学期理数期中考试试卷
辽宁省阜新市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·衡阳模拟) i是虚数单位，复数，则a+b=（）A . 0B . 2C . 1D . ﹣22. （2分）点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（）A . １B .C . ２D .3. （2分）命题：“正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数”结论是错误的，其原因是（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 以上都不是4. （2分）在一次射击比赛中，8个泥制的靶子挂成三列（如图），其中有两列各挂3个，一列挂2个，一位射手按照下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低一个，若每次射击都严格执行这一规则，击碎全部8个靶子的不同方法有（）A . 560B . 320C . 650D . 3605. （2分） (2017高二下·郑州期中) 用反证法证明命题“若a2+b2=0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（）A . a，b至少有一个为0B . a，b至少有一个不为0C . a，b全部为0D . a，b中只有一个为06. （2分）如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线，所围成的阴影部分的面积为（）A . 1B .C . 2D .7. （2分）已知定义在R上的函数满足，为的导函数，且导函数的图象如右图所示．则不等式的解集是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·黄山期末) 关于函数极值的判断，正确的是（）A . x=1时，y极大值=0B . x=e时，y极大值=C . x=e时，y极小值=D . 时，y极大值=9. （2分）设是定义在R上的可导函数，且满足，对于任意的正数，下面不等式恒成立的是（）A .B .C .D .10. （2分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A . 58B . 88C . 143D . 17611. （2分）某五国领导人A，B，C，D，E参加国际会议，除E与B，E与D不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤，现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（）A . 48种B . 36种C . 24种D . 8种12. （2分）(2018·栖霞模拟) 已知命题，，，，若为假命题，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）由曲线y=2x2 ，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为________14. （1分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没有去过C城市；乙说：我没有去过A城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可以判断乙去过的城市________．15. （2分）(2017高二下·武汉期中) 由恒等式：．可得=________；进而还可以算出、的值，并可归纳猜想得到=________．（n∈N*）16. （1分）函数y=（x2﹣4x+1）ex在区间[﹣2，0]上的最大值是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高二下·徐州期中) 设复数z=a+bi（a，b∈R，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足|z|=，复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若 + 为纯虚数（其中m∈R），求实数m的值．18. （5分） (2018高二上·定远期中) 已知函数，．（I）求函数的单调区间；（Ⅱ），使不等式成立，求的取值范围．19. （10分） (2015高二下·思南期中) 已知函数f（x）=（x﹣1）2（x﹣a）（a∈R）在x= 处取得极值．（1）求实数a的值；（2）求函数y=f（x）在闭区间[0，3]的最大值与最小值．20. （10分）数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．（1）计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中的猜想．21. （10分）(2019·湖南模拟) 已知函数 .（1）求函数在区间上的最大值；（2）证明：， .22. （15分） (2019高三上·天津期末) 已知函数，其中 .（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）记的导函数为，若不等式在区间上恒成立，求的取值范围；（3）设函数，是的导函数，若存在两个极值点，且满足，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
高二数学理2017-2018学年度第二学期中期质量检测试题
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A. -1 B. 1 C. -5 D. 3
2. 已知函数 f x ax3 3x2 2 ，若 f ' 1 4 ，则 a
A. 10 B. 13
3
3
3. 已知 a (2, 1,3) ， b
C. 16 D.
19
3
3
1, x,2 ，若 a b 0 ，则 x
A. -4 B. 8 C. -8 D. -6 4. 下列求导运算正确的是（ ）
22. 已知函数 f x lnx 1 ax2 2x, a R 2
（1）若 a 1 ，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
（2）若函数 f x 在定义域内是单调递增，求实数 a 的取值范围。
20．如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，梯形 ABCD ， AD // BC ， AB AD AC 3 ，
15. 已知函数 y f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值，则 a 的取值范围是 __________ 16. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED与平面 ABCD所成的锐二面角的余弦 值为 ________．
三、解答题（共 6 题， 17 题 10 分， 18-22 每题 12 分，共 70 分） 17. 求下列函数的导数 （1） y ex cos x
A. a // c, b // c
B. a // b, a c C. a // c, a b D. 以上都不对
辽宁省阜新二高2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试卷 Word版含答案
2017-2018学年度第二学期阜蒙县第二高中期中考试高二数学试卷（理科）命题人：李春梅一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1、设集合, B, 则（）A、B、C、D、2、已知为虚数单位，复数满足,则复数的虚部为（）A、B、C、D、3、角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则（）A、B、C、D、4、某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的）无法看清，若统计员计算无误，则数字为（）A、B、C、D、8 9 8 79 2 x 3 4 2 15、以点、、为顶点的三角形是以角C为直角的直角三角形，满足条件的三角形个数为（）A、B、C、D、6、如图所示的阴影部分由方格纸上的3个小方格组成，我们称这样的图案为型（每次旋转型图案），那么在由45小方格组成的方格纸上，可以画出不同位置的型图案的个数为（）A、B、C、D、7、在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为，则三棱锥的外接球的体积为（）A、B、C、D、8、在数列中，已知等于的个位数，则（）A、B、C、D、9、已知抛物线C：的焦点为F，点M（）在抛物线C上，则等于（）A、B、C、D、10、的展开式中，的系数为（）A、B、C、D、11、某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）种A、B、C、D、12、若关于的不等式b（为自然对数的底数）在上恒成立，则的最大值为（）A、B、C、D、二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、若随机变量（用数字做答）14、已知等比数列，则15、若在区间内随机取一个数，在区间内随机取一个数,则使得方程有两个不相等的实数根的概率为16、若函数（为自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质，下列函数中所有具有M 性质的函数序号为三、解答题（本题共6小题，共70分）17、（本小题满分12分）在中，角所对边分别为，且成等差数列，（1）求角的大小；（2）若时，求的面积。
最新17—18学年下学期高二期中考试数学试题(附答案)
2017学年第二学期高二期中考试数 学考生须知：1. 全卷分试卷和答卷. 试卷2页，答卷 2页，共 4页. 考试时间120分钟，满分150分.2. 本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效；选择题用答题卡的，把答案用2B 铅笔填涂在答题卡上.3. 请用钢笔或圆珠笔将班级、序号、姓名、座位号分别填写在答卷的相应位置上. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设()log (0a f x x a =>且1a ≠），若()12 2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ▲ ) A ．2 B ．2- C ．12-D ．122．已知()3sin 5πα+=，α为第三象限角，则tan α=( ▲ ) A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 3．已知平面向量()1,2a = ，()//a b b +，则b 可以是( ▲ )A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()2,1D ．()1,24．下列求导运算正确的是( ▲ ) A ．3211)1(xx x -='+B ．(2)2ln 2x x '=C ．2(sin )2cos x x x x '=D ．1(ln 2)2x x'=5．已知集合{}2|430A x x x =++≤，{}2|0B x x ax =-≤.若B A ⊆，则实数a 的取值范围是( ▲ )A ．33≤≤-aB ．0≥aC ．3-≤aD ．3-<a6．在R 上的可导函数)(x f 的图象如图所示，则关于x 的不等式0)(<'x f x 的解集是( ▲ )A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()0,1(+∞-C ．)2,1()1,2( --D ．),2()2,(+∞--∞7．若函数21()f x x ax x =++在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是( ▲ ) A ．[]1,0- B ．[)1,-+∞ C ．[]1,3-D ．[)3,+∞8．已知三棱台111ABC A B C -的底面是锐角三角形，则存在过点A 的平面( ▲ )A ．与直线BC 和直线11AB 都平行 B ．与直线BC 和直线11A B 都垂直C ．与直线BC 平行且与直线11A B 垂直D ．与直线BC 和直线11A B 所成的角相等9．设F 是双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若3AF BF =，则C 的离心率是( ▲ )A B CD ．210.设函数()()22()2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在()00,x ∈+∞，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值是 ( ▲ ) A ．12 B ．1 C ．15 D ．25二、填空题（本题共有7小题，其中第11、12、13、14小题每空3分，第15、16、17小题每空4分，共36分.）11.设集合{}{}|1,|2,S x x T x x =<=≤则S T = ▲ ；R T C S = ▲ .（R 表示实数集）12. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x ≤时，()23f x x x a =++，则a = ▲ ；当[]13x ∈，时，()f x 的取值范围是 ▲ .13. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若30A =︒，3a =，2c =，则si n C = ▲ ，b = ▲ .14.已知直线20x y +-=与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，P 是抛物线的弧AOB 上的动点，当ABP ∆的面积最大时，点P 的坐标是 ▲ ，此时ABP ∆的面积是 ▲ .15.已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()3f f x =的零点的个数是 ▲ .16. 已知a 、b 是平面内的两个单位向量，若()c a b a b -+≤- ，则c的最大值是▲ .17. 已知函数xxx a x f +-+=11ln 2)(，其中0>a .若()f x 有极值，则它的所有极值之和为 ▲ .三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=+-()0ω>的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.19.已知函数1)(23+++=bx ax x x f 在1-=x 处有极值2. （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）当[]t x ,1-∈时，设)(x f 的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面DABCD .12PA PB AB BC AD ====，G 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：//CG 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CA 与平面PAD 所成角的正弦值.21.已知椭圆22:13x C y +=，点P 是直线3x =上的动点，过点P 作椭圆的切线PA ，切点为A ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若切线PA 的斜率为1，求点A 的坐标；（Ⅱ）求AOP ∆的面积的最小值，并求出此时PA 的斜率.22.已知函数()2xf x e x =--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x >时，不等式()()1x k x f x '+>-恒成立，求整数k 的最大值.2017学年第二学期高二期中考试数学答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题（本题共有7小题，其中第11、12、13、14小题每空3分，第15、16、17小题每空4分，共36分）11.(],2-∞；[]1,2 12. 0；90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦13.1314.()1,2-；15. 416. 17. 0三、解答题(本大题共5题：其中第18题14分，第19、20、21、22题各15分，共74分)18.已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=+-()0ω>的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 解：（Ⅰ）∵1()2cos 222f x x x ωω=- …………………………2分 ()sin 26f x x πω⎛⎫∴=-⎪⎝⎭………………………………………2分,1T πω=∴= ……………………………………………………2分()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 3222262k x k πππππ∴+≤-≤+ ∴函数()f x 的单调递减区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦………………2分（Ⅱ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦………………………………2分 ∴()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………………………………………………4分 19.已知函数1)(23+++=bx ax x x f 在1-=x 处有极值2. （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）当[]t x ,1-∈时，设)(x f 的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式.解: （Ⅰ）()b ax x x f ++='232 ……………………………………………………2分()()⎩⎨⎧=-=-'2101f f⎩⎨⎧=+-+-=+-∴211023b a b a ,⎩⎨⎧-==∴11b a …………………………………………3分此时()()()1131232+-=-+='x x x x x f ，所以1-=x 是极大值点1)(23+-+=∴x x x x f ……………………………………………………2分 （Ⅱ）)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31上递增…………………………2分 若311<<-t ，则()1)()(23min +-+===t t t t f x f t g ……………………2分 若31≥t ，则272231)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f t g ……………………………………………2分 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-+-+=31,2722311,1)(23t t t t t t g ………………………………………………2分20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD .12PA PB AB BC AD ====，G 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：//CG 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CA 与平面PAD 所成角的正弦值. 解：（Ⅰ）取AD 的中点M ，则//GM PA ，所以//GM 平面PAB …………2分//CM AB ，//CM ∴平面PAB …………2分所以平面//CGM 平面PAB ……………1分CG ⊂ 平面CGM//CG ∴平面PAB . …………………………2分（Ⅱ）BC AB ⊥ ,侧面PAB ⊥底面ABCD BC ∴⊥平面PAB …………………………2分 B C P B ∴⊥ 设112PA PB AB BC AD =====，则PC CD ==CG PD ∴⊥ ……………………………………………………1分 BC ⊥ 平面PAB ，BC ∴⊥平面CGM BC CG ∴⊥，CG AD ∴⊥ CG ∴⊥平面PADCAG ∴∠即为所求角…………………………3分PDCG ∴=CA =sin CAG ∴∠=∴直线CA 与平面PAD…………………………2分 21.已知椭圆22:13x C y +=，点P 是直线3x =上的动点，过点P 作椭圆的切线PA ，切点为A ，O 为坐标原点. （Ⅰ）若切线PA 的斜率为1，求点A 的坐标；D（Ⅱ）求AOP ∆的面积的最小值，并求出此时PA 的斜率.解：（Ⅰ）设切线PA ：y x m =+2233y x m x y =+⎧⎨+=⎩得到2246330x mx m ++-=………2分 0∆=，得到24m =，所以2m =±……………2分 所以31,22A ⎛⎫-⎪⎝⎭或31,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭…………………2分 （Ⅱ）设切线PA ：y kx m =+2233y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得到222(13)6330k x kmx m +++-=…………………………2分0∆=，得到2213m k =+………………………………………1分23313A km kx k m--∴==+……………………………………………1分132AOP A S m x ∆∴=-133322k m m k m =⋅+=+…………………………2分 令m k t +=，则m t k =-，代入2213m k =+，得到222210k tk t ++-=0∆≥，得到223t ≥，所以t ≥ 所以()min 2AOP S ∆=2分此时6k =±.……………………………………………………1分 另解：设()00,A x y ，则00:13PA x xl y y +=……………………1分 所以0013,x P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭………………………………………………2分 0000001311322AOP x x S x y y y ∆--∴=⋅-=…………………………2分设直线3x =与y 轴的交点为M ，则112AOP AMS k ∆∴=，当AM 与椭圆相切时，AM k 最大，即AOP ∆的面积最小所以()3,0P ，此时1,A ⎛ ⎝⎭，所以6k =± …………2分∴()min AOP S ∆=2分 22.已知函数()2x f x e x =--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x >时，不等式()()1x k x f x '+>-恒成立，求整数k 的最大值. 解：（Ⅰ）()1xf x e '=-………………………………………………2分令()0f x '>，则0x >所以，()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增. ……………2分（Ⅱ）()()11xx k x e +>--令()()()11xg x x k e x =--++，则()min 0g x >…………………………………2分()()1xg x x k e'=-+………………………………………………1分 ①若1k ≤，则()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上递增，所以()()01g x g >=1k ∴≤成立………………………………………………………2分 ②若1k >，则()g x 在区间()0,1k -上递减，在()1,k -+∞上递增所以()()1min 110k g x g k e k -=-=-++>………………………………………2分即110k ek ---<()2x f x e x =-- 在区间()0,+∞上单调递增令1()1k h k ek -=--，则()h k 在()1,+∞上单调递增…………………………2分2(2)30,(3)40h e h e =-<=->，所以函数()h k 的零点()2,3∈∴整数k 的最大值是2………………………………………………2分。
高二数学理2017-2018学年度第二学期中期质量检测试题及答案
2017-2018学年度第二学期中期质量检测高二数学（理科）试卷满分：150分 时间：120分钟注意事项：1．答题前请在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（共12题，每小题5分，共60分）1．曲线曲线在32y x =-点x=－1处切线的斜率为( ) A. -1 B. 1 C. -5 D. 3 2. 已知函数()3232f x ax x =++，若()'14f -=，则()a =A.103 B. 133 C. 163 D. 1933.已知(2,1,3)a =-，()1,,2b x =-，若0a b ⋅=，则()x =A. -4B. 8C. -8D. -6 4. 下列求导运算正确的是（ ）'211.1A x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ()'2.cos 2sin B x x x x =- ()'3.33log e x x C = ()'21.ln 2logx D x =5．若(2,2,2)a =--，()2,0,4b =，则a与b 的夹角的余弦值为（ ）A.15B. 5-15- D.0 6.已知(2,3,1)a =--，()2,0,4b =，()4,6,2c =--，则下列结论正确的是（ ）.//,//A a c b c .//,B a b a c ⊥ .//,C a c a b ⊥ D.以上都不对7．已知函数()()3'0,3f x x f x ==，则0x 的值为（ ）A. -1B. 1C. 1或或9.已知曲线2122y x =-上一点 21,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，则过点 P 的切线的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 135D. 60 9．函数22ln y x x =-的单调增区间为（ ） A. （﹣∞，﹣1）和（0，1） B. （1，+∞） C. （﹣1，0）和（1，+∞） D. （0，1）10. 函数()31443f x x x =-+在[]0,3上的最值是（ ）A. 最大值是4,最小值是13-B. 最大值是2,最小值是13-C. 最大值是4,最小值是43-D. 最大值是2,最小值是43-11.若2x =- 或4x =是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点，则有（ ）.2,4A a b =-= .3,24B a b =-=- .1,3C a b == .2,4D a b ==-12．已知()y x f x =⋅'的图象如图所示，则()f x 的一个可能图象是（ ）A.B.C.D.二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13．函数ln y x x =-的单调递减区间是_________14．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则()()44f f -'=__________． 15.已知函数()()3261y f x x ax a x ==++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是__________ 16. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．三、解答题（共6题，17题10分，18-22每题12分，共70分） 17.求下列函数的导数（1）cos x e xy x=（2）()1ln 21y x x=--18.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4PD PC ==,6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F G 、分别在线段AB BC 、上，且2AF FB =,2CG GB =. （1）证明： PE FG ⊥；（2）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. 已知函数()3293f x x x x a --=+（a 为常数） （1）求()f x 的单调区间；（2）函数()f x 在[]2,2-上的最大值为10，求a 的值20．如图，四棱锥P ABCD-中，PA ABCD ⊥平面，梯形ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =,N 为PC 的中点． （1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值21．已知函数()32f x x x a bx c +=++在点0x 处取得极小值5-，其导函数()'y f x =的图像经过点()0,0和点()2,0，（1）求,a b 的值；（2）求0x 及函数()f x 的表达式22. 已知函数()()21ln ,22f x x ax x a R -=-∈（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在定义域内是单调递增，求实数a 的取值范围。
2017-2018年辽宁省六校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x∈R，sinx≥1B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x∈R，sinx＞1D．¬p：∀x∈R，sinx＞12．（5分）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理4．（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则的虚部等于（）A．2B．2i C．﹣2D．﹣2i5．（5分）二项式展开式中的常数项为（）A．﹣40B．40C．﹣80D．806．（5分）若e是自然对数的底数，则=（）A．﹣1B．1﹣C．1﹣e D．e﹣17．（5分）已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，用反证法证明：a，b，c，d中至少有一个小于0．下列假设正确的是（）A．假设a，b，c，d至多有一个小于0B．假设a，b，c，d中至多有两个大于0C．假设a，b，c，d都大于0D．假设a，b，c，d都是非负数8．（5分）函数y=x3﹣bx2+x有极值点，则b的取值范围为（）A．B．C．D．9．（5分）学校艺术节对绘画类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖．在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品观测如下：甲说：“C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A．A B．B C．C D．D10．（5分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（）A．12B．24C．36D．4812．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为14．（5分）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为．15．（5分）三角形面积S=（a，b，c为三边长，p为半周长），又三角形可以看作是四边形的极端情形（即四边形的一边长退化为零）．受此启发，请你写出圆内接四边形的面积公式：．16．（5分）若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a7的值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．（12分）是否存在常数a，b使得等式12+22+..+n2=n（2n+1）（an+b）对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．（1）求证：SD∥平面CFA；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．20．（12分）已知圆M：x2+y2+2x=0，圆N：x2+y2﹣2x﹣8=0，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若A、B是曲线C上关于x轴对称的两点，点D（3，0），直线DB交曲线C于另一点E，求证：直线AE过定点，并求该定点的坐标．21．（12分）函数f（x）=ln（1+2x）+mx﹣2m，其中m＜0．（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）已知当m≤﹣（其中e是自然对数的底数）时，在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e+1成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：当m=﹣1时，对任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，点M坐标是（3，），曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是﹣1的直线l 经过点M．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设关于x的不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a．（1）若a=5，求此不等式解集；（2）若此不等式解集不是空集，求实数a的取值范围．2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x∈R，sinx≥1B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x∈R，sinx＞1D．¬p：∀x∈R，sinx＞1【解答】解：∵p：∃x∈R，sinx≤1，∴p：∀x∈R，sinx＞1考查四个选项，D正确故选：D．2．（5分）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．（5分）“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理【解答】解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中所有金属都能导电，是大前提铁是金属，是小前提所以铁能导电，是结论故此推理为演绎推理故选：A．4．（5分）已知复数z=，是z的共轭复数，则的虚部等于（）A．2B．2i C．﹣2D．﹣2i【解答】解：∵z==+=1+i+i=1+2i，∴=1﹣2i，∴的虚部是﹣2．故选：C．5．（5分）二项式展开式中的常数项为（）A．﹣40B．40C．﹣80D．80【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C5r x10﹣5r，令10﹣5r=0得r=2，所以展开式中的常数项为（﹣2）2C52=40，故选：B．6．（5分）若e是自然对数的底数，则=（）A．﹣1B．1﹣C．1﹣e D．e﹣1【解答】解：∵（﹣e2﹣x）′=e2﹣x∴=﹣e2﹣x=﹣e﹣1+e0=1﹣故选：B．7．（5分）已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，用反证法证明：a，b，c，d中至少有一个小于0．下列假设正确的是（）A．假设a，b，c，d至多有一个小于0B．假设a，b，c，d中至多有两个大于0C．假设a，b，c，d都大于0D．假设a，b，c，d都是非负数【解答】解：由于命题：“若a，b，c，d中至少有一个小于0”的反面是：“a，b，c，d都是非负数”，故用反证法证明若实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，那么a，b，c，d中至少有一个小于0，假设应为“a，b，c，d都是非负数”，故选：D．8．（5分）函数y=x3﹣bx2+x有极值点，则b的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：y′=3x2﹣2bx+1，若函数y=x3﹣bx2+x有极值点，则y′=3x2﹣2bx+1与x轴有2个不同的交点，故△=4b2﹣12＞0，解得：b＞或b＜﹣，故选：C．9．（5分）学校艺术节对绘画类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖．在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品观测如下：甲说：“C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A．A B．B C．C D．D【解答】解：根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品B为一等奖；故选：B．10．（5分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，令AB=1，则B（1，1，2），E（1，0，1），C（0，1，2），D1（0，0，0），=（0，﹣1，﹣1），=（0，﹣1，﹣2），∴|cos＜，＞|=||=．∴异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．故选：C．11．（5分）张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A22=2种排法，②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22=2种排法，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A33=6种排法，则共有2×2×6=24种排法，故选：B．12．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点因为O为FF'的中点，E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，属于OE∥PF'因为|OE|=a，所以|PF'|=2a又PF'⊥PF，|FF'|=2c 所以|PF|=2b设P（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，∴x=2a﹣c过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1=0，∴e=．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），双曲线的渐近线为y=±x，即x±y=0，则抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离d==；故答案为：．14．（5分）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为ln2﹣1．【解答】解：y′=（lnx）′=，令=得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1．故答案为：ln2﹣115．（5分）三角形面积S=（a，b，c为三边长，p为半周长），又三角形可以看作是四边形的极端情形（即四边形的一边长退化为零）．受此启发，请你写出圆内接四边形的面积公式：（其中a，b，c，d为各边长，p为四边形半周长）．【解答】解：三角形面积S=（a，b，c为三边长，p为半周长），结合三角形可以看作是四边形的极端情形（即四边形的一边长退化为零）．利用类比推理得出圆内接四边形的面积公式：（其中a，b，c，d为各边长，s为四边形半周长）故答案为：（其中a，b，c，d为各边长，s为四边形半周长）．16．（5分）若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a7的值是﹣131．【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8=（﹣2）7=﹣128．令x=0得a0=1；令x=1得a0+a1+a2+…+a8=﹣2，∴a1+a2+…+a8=﹣2﹣a0﹣a8=﹣2﹣1﹣128=﹣131．故答案为：﹣131．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：当P为真时，a=0，或，解得：a∈[0，4）﹣﹣（3分）当Q为真时，△=1﹣4a≥0．解得：a∈（﹣∞，]﹣﹣（6分）如果p∨q为真，p∧q为假，即p和q有且仅有一个为真，﹣﹣（8分）当p真q假时，a∈（，4）当p假q真时，a∈（﹣∞，0）a的取值范围即为：（﹣∞，0）∪（，4）﹣﹣（12分）18．（12分）是否存在常数a，b使得等式12+22+..+n2=n（2n+1）（an+b）对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解答】解：分别取n=1，2得，解得a=，b=．猜想12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）．对一切正整数n都成立．证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=×1×（1+1）×（2+1）=1，即原式成立，假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2=k（k+1）（2k+1），当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2=k（k+1）（2k+1）+（k+1）2=（k+1）（k+2）（2k+3），即原式成立，根据（1）和（2）可知等式对任意正整数n都成立，∴12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．（1）求证：SD∥平面CFA；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．【解答】（1）证明：连结BD交AC于点E，连结EF，∵底面ABCD为平行四边形，∴E为BD的中点．在△BSD中，F为SB的中点，∴EF∥SD，又∵EF⊂面CFA，SD⊄面CFA，∴SD∥平面CFA．（2）解：以BC的中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OS为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．则有，，，，∴，，，，（7分）设平面SAB的一个法向量为由得，令z=1得：x=1，y=﹣1∴同理设平面SCD的一个法向量为由，得，令b=1得：a=﹣1，c=1，∴设面SCD与面SAB所成二面角为θ，则=，∴面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值为．20．（12分）已知圆M：x2+y2+2x=0，圆N：x2+y2﹣2x﹣8=0，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若A、B是曲线C上关于x轴对称的两点，点D（3，0），直线DB交曲线C于另一点E，求证：直线AE过定点，并求该定点的坐标．【解答】解：（1）圆M：x2+y2+2x=0的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N：x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心为N（1，0），半径r2=3，………（2分）设动圆P的半径为R，∵圆P与圆M外切，与圆N内切，∴|PM|=R+1，|PN|=3﹣R，∴|PM|+|PN|=4，……（4分）∴曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2的椭圆（左顶点除外），其方程为；………（6分）（2）设A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，﹣y1），由题意知直线AE的斜率存在，设直线AE为：y=kx+m，代入，得到（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，则△=（8km）2﹣4（4k2+3）×（4m2﹣12）＞0，整理得m2＜4k2+3①，……（8分）∴，，∵D、B、E共线，∴k PB=k PD，即，整理得2kx1x2+（m﹣3k）（x1+x2）﹣6m=0，∴，整理得，满足判别式①；∴直线AE的方程是，过定点．………（12分）21．（12分）函数f（x）=ln（1+2x）+mx﹣2m，其中m＜0．（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）已知当m≤﹣（其中e是自然对数的底数）时，在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e+1成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：当m=﹣1时，对任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+2x）+mx﹣2m，∴f′（x）=x﹣+m==；①当2m+1=0，即m=﹣时，f′（x）≥0，故f（x）在（，+∞）上是增函数；②当0＜2m+1＜1，即﹣＜m＜0时，故f（x）在（，﹣），（0，+∞）上是增函数；在（﹣，0）上是减函数；③当m＜﹣时，f（x）在（，0），（﹣，+∞）上是增函数；在（0，﹣）上是减函数；（Ⅱ）∵m≤﹣，∴≤﹣，故在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e+1成立可化为f（0）＞e+1，即﹣2m＞e+1，故m＜﹣；（Ⅲ）证明：当m=﹣1时，f′（x）=x+﹣1在（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数，且f′（0）=0，f′（1）=；故f′（x）＜，任意x∈（0，1），而由导数的定义可得，对任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，点M坐标是（3，），曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是﹣1的直线l 经过点M．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（1）∵点M的直角坐标是（0，3），直线l倾斜角是1350，…（1分）∴直线l参数方程是，即，…（3分）即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ化简得x2+y2﹣2x﹣2y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0；…（5分）（2）代入x2+y2﹣2x﹣2y=0，得，∵△＞0，∴直线l和曲线C相交于两点A、B，…（7分）设的两个根是t1，t2，t1t2=3，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=3．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设关于x的不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a．（1）若a=5，求此不等式解集；（2）若此不等式解集不是空集，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=5时，不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜5⇔，或，或．解得1＜x＜3，或3≤x＜4，或4≤x＜6．因此此不等式解集是{x|1＜x＜6}．…………（5分）（2）因为|x﹣4|+|x﹣3|≥|（x﹣4）﹣（x﹣3）|=1，当（x﹣4）（x﹣3）≤0，即3≤x≤4时取等号，所以此不等式解集不是空集时，实数a的取值范围是{a|a＞1}．…………（10分）。
辽宁省阜新二高2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 文
2017-2018学年度第二学期阜蒙县第二高中期末考试高二数学试卷（文科）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1、已知全集为，集合, , 则（ ）A 、B 、C 、D 、2、设复数，则复数的虚部为（ ）A 、B 、C 、D 、3、 已知 为上的奇函数，当时，，则（ ）A 、B 、C 、D 、4、设，若，则（ ）A 、B 、C 、D 、5、某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A 、B 、C 、D 、俯视图 6、将函数的图像上各点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位，得到的函数的图像的对称中心可以为（ ）11A、 B、 C、 D、7、已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则双曲线的方程为（）A、 B、 C、 D、8、锐角中，角所对的边分别为，若，则（）A、 B、 C、 D、9、“”是“直线和直线平行”的（）条件A、 B、 C、充要 D、既不充分也不必要10、等差数列中，则数列的前9项和（）A、 B、 C、 D、29711、已知，则（）A、 B、 C、 D、12、为函数的导函数，当时，恒成立，则（）A、 B、C、 D、P二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13、正切函数14、若实数满足，则的最大值为15、若向量不共线，且向量与向量的夹角为，则实的值为16、已知函数的值域为，则实数的取值范围为三、解答题（本题共6小题，共70分） 17、（本小题满分12分）在中，角所对边分别为，且，（1） 求的大小；（2） 求的值。
18、（本小题满分12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： 频率/组距成绩（分） （1）求频率分布直方图中的的值； （2）分别求出成绩在中的学生人数； （3）从成绩在的学生中任选2人，求此2人的成绩都在中的概率。
19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，的中点（1）证明：；（2）证明：。
辽宁省阜新市高二下学期期中数学试卷(理科)
辽宁省阜新市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2016高一下·汉台期中) 下列说法中正确的有________①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等．②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大．③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响．④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．2. （1分） (2016高二上·公安期中) 某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________．3. （2分）如图甲是某市有关部门根据当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图．已知图甲中从左到右第一组的频数为4000，在样本中记月收入在[1000，1500]，[1500，2000]，[2000，2500]，[2500，3000]，[3000，3500]，[3500，4000]的人数依次为A1 ， A2 ，…A6 ．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的程序框图，则样本的容量n=________，图乙输出的S=________，（用数字作答）4. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75）中的频数为100，则n的值为________．5. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 某中学有3个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为________．6. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则cos 的值介于0到之间的概率为________．7. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 若i是虚数单位，复数z= 的虚部为________．8. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 在（x2﹣）6的展开式中，常数项等于________．9. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有________种．10. （1分）(2016高二下·丹阳期中) 设（2x﹣1）6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0 ，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=________．11. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．12. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 口袋中有n（n∈N*）个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若P（X=2）= ，则n的值为________．13. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10 ，则a8=________．14. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 将集合{2x+2y+2z|x，y，z∈N，x＜y＜z}中的数从小到大排列，第100个数为________（用数字作答）．二、解答题 (共6题；共55分)15. （5分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰好有1名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？（结果保留三个有效数字）下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式: ，其中．16. （5分）如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，是的中点.（Ⅰ）问：上是否存在点使得平面？请说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.17. （10分） (2016高二下·丹阳期中) 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的槪率为，购买C种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立（1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的槪率分布和数学期望．18. （10分） (2016高二下·丹阳期中) 已知（其中n＜15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．（1）求n的值；（2）写出它展开式中的所有有理项．19. （15分） (2016高二下·丹阳期中) 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2 ，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20. （10分） (2016高二下·丹阳期中) 已知数列{an}满足an+1=a ﹣nan+1，且a1=2．（1）计算a2 ， a3 ， a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）求证：2nn≤a ＜3nn ．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共55分)15-1、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、第11 页共11 页。
2017-2018学年辽宁省六校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)含解析
2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x∈R，sinx≥1 B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞12．（5.00分）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5.00分）“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理4．（5.00分）已知复数z=，是z的共轭复数，则的虚部等于（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i5．（5.00分）二项式展开式中的常数项为（）A．﹣40 B．40 C．﹣80 D．806．（5.00分）若e是自然对数的底数，则=（）A．﹣1 B．1﹣C．1﹣e D．e﹣17．（5.00分）已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，用反证法证明：a，b，c，d中至少有一个小于0．下列假设正确的是（）A．假设a，b，c，d至多有一个小于0B．假设a，b，c，d中至多有两个大于0C．假设a，b，c，d都大于0D．假设a，b，c，d都是非负数8．（5.00分）函数y=x3﹣bx2+x有极值点，则b的取值范围为（）A．B．C．D．9．（5.00分）学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”乙说：“B作品获得一等奖”丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A．A B．B C．C D．D10．（5.00分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5.00分）张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（）A．12 B．24 C．36 D．4812．（5.00分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．B． C．+1 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5.00分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为14．（5.00分）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为．15．（5.00分）三角形面积S=（a，b，c为三边长，p为半周长），又三角形可以看作是四边形的极端情形（即四边形的一边长退化为零）．受此启发，请你写出圆内接四边形的面积公式：．16．（5.00分）若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a7的值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．（12.00分）是否存在常数a，b使得等式12+22+..+n2=n（2n+1）（an+b）对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．19．（12.00分）四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．（1）求证：SD∥平面CFA；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．20．（12.00分）已知圆M：x2+y2+2x=0，圆N：x2+y2﹣2x﹣8=0，动圆P与圆M 外切并且与圆N内切，圆心P轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若A、B是曲线C上关于x轴对称的两点，点D（3，0），直线DB交曲线C 于另一点E，求证：直线AE过定点，并求该定点的坐标．21．（12.00分）函数f（x）=ln（1+2x）+mx﹣2m，其中m＜0．（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）已知当m≤﹣（其中e是自然对数的底数）时，在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e+1成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：当m=﹣1时，对任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10.00分）在极坐标系中，点M坐标是（3，），曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是﹣1的直线l 经过点M．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设关于x的不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a．（1）若a=5，求此不等式解集；（2）若此不等式解集不是空集，求实数a的取值范围．2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x∈R，sinx≥1 B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞1【解答】解：∵p：∃x∈R，sinx≤1，∴p：∀x∈R，sinx＞1考查四个选项，D正确故选：D．2．（5.00分）已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．（5.00分）“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理【解答】解：在推理过程“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”中所有金属都能导电，是大前提铁是金属，是小前提所以铁能导电，是结论故此推理为演绎推理故选：A．4．（5.00分）已知复数z=，是z的共轭复数，则的虚部等于（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i【解答】解：∵z==+=1+i+i=1+2i，∴=1﹣2i，∴的虚部是﹣2．故选：C．5．（5.00分）二项式展开式中的常数项为（）A．﹣40 B．40 C．﹣80 D．80=（﹣2）r C5r x10﹣5r，【解答】解：展开式的通项为T r+1令10﹣5r=0得r=2，所以展开式中的常数项为（﹣2）2C52=40，故选：B．6．（5.00分）若e是自然对数的底数，则=（）A．﹣1 B．1﹣C．1﹣e D．e﹣1【解答】解：∵（﹣e2﹣x）′=e2﹣x∴=﹣e2﹣x=﹣e﹣1+e0=1﹣故选：B．7．（5.00分）已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，用反证法证明：a，b，c，d中至少有一个小于0．下列假设正确的是（）A．假设a，b，c，d至多有一个小于0B．假设a，b，c，d中至多有两个大于0C．假设a，b，c，d都大于0D．假设a，b，c，d都是非负数【解答】解：由于命题：“若a，b，c，d中至少有一个小于0”的反面是：“a，b，c，d都是非负数”，故用反证法证明若实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，那么a，b，c，d中至少有一个小于0，假设应为“a，b，c，d都是非负数”，故选：D．8．（5.00分）函数y=x3﹣bx2+x有极值点，则b的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：y′=3x2﹣2bx+1，若函数y=x3﹣bx2+x有极值点，则y′=3x2﹣2bx+1与x轴有2个不同的交点，故△=4b2﹣12＞0，解得：b＞或b＜﹣，故选：C．9．（5.00分）学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”乙说：“B作品获得一等奖”丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A．A B．B C．C D．D【解答】解：根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品B为一等奖；故选：B．10．（5.00分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，令AB=1，则B（1，1，2），E（1，0，1），C（0，1，2），D1（0，0，0），=（0，﹣1，﹣1），=（0，﹣1，﹣2），∴|cos＜，＞|=||=．∴异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．故选：C．11．（5.00分）张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（）A．12 B．24 C．36 D．48【解答】解：分3步进行分析，①、先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A22=2种排法，②、两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22=2种排法，③、将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A33=6种排法，则共有2×2×6=24种排法，故选：B．12．（5.00分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．B． C．+1 D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点因为O为FF'的中点，E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，属于OE∥PF'因为|OE|=a，所以|PF'|=2a又PF'⊥PF，|FF'|=2c 所以|PF|=2b设P（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，∴x=2a﹣c过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1=0，∴e=．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5.00分）抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），双曲线的渐近线为y=±x，即x±y=0，则抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离d==；故答案为：．14．（5.00分）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为ln2﹣1．【解答】解：y′=（lnx）′=，令=得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1．故答案为：ln2﹣115．（5.00分）三角形面积S=（a，b，c为三边长，p为半周长），又三角形可以看作是四边形的极端情形（即四边形的一边长退化为零）．受此启发，请你写出圆内接四边形的面积公式：（其中a，b，c，d为各边长，p为四边形半周长）．【解答】解：三角形面积S=（a，b，c为三边长，p为半周长），结合三角形可以看作是四边形的极端情形（即四边形的一边长退化为零）．利用类比推理得出圆内接四边形的面积公式：（其中a，b，c，d为各边长，s为四边形半周长）故答案为：（其中a，b，c，d为各边长，s为四边形半周长）．16．（5.00分）若（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a7的值是﹣131．【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8=（﹣2）7=﹣128．令x=0得a0=1；令x=1得a0+a1+a2+…+a8=﹣2，∴a1+a2+…+a8=﹣2﹣a0﹣a8=﹣2﹣1﹣128=﹣131．故答案为：﹣131．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：当P为真时，a=0，或，解得：a∈[0，4）﹣﹣（3分）当Q为真时，△=1﹣4a≥0．解得：a∈（﹣∞，]﹣﹣（6分）如果p∨q为真，p∧q为假，即p和q有且仅有一个为真，﹣﹣（8分）当p真q假时，a∈（，4）当p假q真时，a∈（﹣∞，0）a的取值范围即为：（﹣∞，0）∪（，4）﹣﹣（12分）18．（12.00分）是否存在常数a，b使得等式12+22+..+n2=n（2n+1）（an+b）对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解答】解：分别取n=1，2得，解得a=，b=．猜想12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）．对一切正整数n都成立．证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=×1×（1+1）×（2+1）=1，即原式成立，假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2=k（k+1）（2k+1），当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2=k（k+1）（2k+1）+（k+1）2=（k+1）（k+2）（2k+3），即原式成立，根据（1）和（2）可知等式对任意正整数n都成立，∴12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）．19．（12.00分）四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．（1）求证：SD∥平面CFA；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．【解答】（1）证明：连结BD交AC于点E，连结EF，∵底面ABCD为平行四边形，∴E为BD的中点．在△BSD中，F为SB的中点，∴EF∥SD，又∵EF⊂面CFA，SD⊄面CFA，∴SD∥平面CFA．（2）解：以BC的中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OS为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．则有，，，，∴，，，，（7分）设平面SAB的一个法向量为由得，令z=1得：x=1，y=﹣1∴同理设平面SCD的一个法向量为由，得，令b=1得：a=﹣1，c=1，∴设面SCD与面SAB所成二面角为θ，则=，∴面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值为．20．（12.00分）已知圆M：x2+y2+2x=0，圆N：x2+y2﹣2x﹣8=0，动圆P与圆M 外切并且与圆N内切，圆心P轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若A、B是曲线C上关于x轴对称的两点，点D（3，0），直线DB交曲线C 于另一点E，求证：直线AE过定点，并求该定点的坐标．【解答】解：（1）圆M：x2+y2+2x=0的圆心为M（﹣1，0），半径r1=1，圆N：x2+y2﹣2x﹣8=0的圆心为N（1，0），半径r2=3，………（2分）设动圆P的半径为R，∵圆P与圆M外切，与圆N内切，∴|PM|=R+1，|PN|=3﹣R，∴|PM|+|PN|=4，……（4分）∴曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2的椭圆（左顶点除外），其方程为；………（6分）（2）设A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，﹣y1），由题意知直线AE的斜率存在，设直线AE为：y=kx+m，代入，得到（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，则△=（8km）2﹣4（4k2+3）×（4m2﹣12）＞0，整理得m2＜4k2+3①，……（8分）∴，，∵D、B、E共线，∴k PB=k PD，即，整理得2kx1x2+（m﹣3k）（x1+x2）﹣6m=0，∴，整理得，满足判别式①；∴直线AE的方程是，过定点．………（12分）21．（12.00分）函数f（x）=ln（1+2x）+mx﹣2m，其中m＜0．（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）已知当m≤﹣（其中e是自然对数的底数）时，在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e+1成立，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：当m=﹣1时，对任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+2x）+mx﹣2m，∴f′（x）=x﹣+m==；①当2m+1=0，即m=﹣时，f′（x）≥0，故f（x）在（，+∞）上是增函数；②当0＜2m+1＜1，即﹣＜m＜0时，故f（x）在（，﹣），（0，+∞）上是增函数；在（﹣，0）上是减函数；③当m＜﹣时，f（x）在（，0），（﹣，+∞）上是增函数；在（0，﹣）上是减函数；（Ⅱ）∵m≤﹣，∴≤﹣，故在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e+1成立可化为f（0）＞e+1，即﹣2m＞e+1，故m＜﹣；（Ⅲ）证明：当m=﹣1时，f′（x）=x+﹣1在（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数，且f′（0）=0，f′（1）=；故f′（x）＜，任意x∈（0，1），而由导数的定义可得，对任意x1，x2∈（0，1），x1≠x2，有．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10.00分）在极坐标系中，点M坐标是（3，），曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是﹣1的直线l 经过点M．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（1）∵点M的直角坐标是（0，3），直线l倾斜角是1350，…（1分）∴直线l参数方程是，即，…（3分）即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ化简得x2+y2﹣2x﹣2y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0；…（5分）（2）代入x2+y2﹣2x﹣2y=0，得，∵△＞0，∴直线l和曲线C相交于两点A、B，…（7分）设的两个根是t1，t2，t1t2=3，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=3．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设关于x的不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a．（1）若a=5，求此不等式解集；（2）若此不等式解集不是空集，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=5时，不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜5⇔，或，或．解得1＜x＜3，或3≤x＜4，或4≤x＜6．因此此不等式解集是{x|1＜x＜6}．…………（5分）（2）因为|x﹣4|+|x﹣3|≥|（x﹣4）﹣（x﹣3）|=1，当（x﹣4）（x﹣3）≤0，即3≤x≤4时取等号，所以此不等式解集不是空集时，实数a的取值范围是{a|a＞1}．…………（10分）。
辽宁省阜新市高二下学期期中数学试卷(理科)
辽宁省阜新市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在频率分布直方图中，小长方形的面积是（）A . 频率/样本容量B . 组距×频率C . 频率D . 样本数据2. （2分）若的展开式中没有x的奇次幂项，则含项的系数为（）A . 5B . -5C . 10D . -103. （2分）某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A . 140种B . 120种C . 35种D . 34种4. （2分）七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（）A . 240种B . 192种C . 120种D . 96种5. （2分）(2016·淮南模拟) 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）设，，，是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）A . x和y相关系数为直线l的斜率B . x和y的相关系数在0到1之间C . 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D . 直线l过点7. （2分）(2016·安徽) 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A . 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B . 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C . 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D . 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差8. （2分）(2017·常宁模拟) 在如图所示的矩形中随机投掷30000个点，则落在曲线C下方（曲线C为正态分布N（1，1）的正态曲线）的点的个数的估计值为（）A . 4985B . 8185C . 9970D . 245559. （2分） (2017高二下·宜昌期中) 某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）A . 1860B . 1320C . 1140D . 102010. （2分）将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的指数是整数的项共有（）个A . 3B . 4C . 5D . 611. （2分） (2015高三上·承德期末) 把5名新同学分配到高一年级的A，B，C三个班，每班至少分配一人，若A班要分配2人，则不同的分配方法的种数为（）A . 90B . 80C . 60D . 3012. （2分）(2017·重庆模拟) 在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·安顺模拟) 某学校高一、高二、高三年级的学生人数成等差数列，现用分层抽样的方法从这三个年级中抽取90人，则应从高二年级抽取的学生人数为________.14. （1分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________15. （1分）（x3+2x+1）（3x2+4）展开后各项系数的和等于________16. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 口袋中有n（n∈N*）个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若P（X=2）= ，则n的值为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共55分)17. （20分） (2017高二下·徐州期中) 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员．18. （10分）(2017·南京模拟) 从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y为所组成的三位数各位数字之和．（1）求Y是奇数的概率；（2）求Y的概率分布和数学期望．19. （5分）(2017·江西模拟) 某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．20. （10分） (2016高三上·汕头模拟) 某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：倾向“平面几何选讲”倾向“坐标系与参数方程”倾向“不等式选讲”合计男生164626女生481224合计20121850（1）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；附：K2= ．P（k2≤k0）0.1000.0500.0100.0050.001k0 2.7063.8416.6357.87910.828（2）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．21. （5分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．附表及公式P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 K2=．22. （5分） (2018高二下·中山月考) 已知的三边长分别为，其面积为，则的内切圆的半径．这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”．由平面类比到空间，设空间四面体的各表面面积分别为，其体积为，四面体的内切球半径为r ，试猜测对空间四面体存在什么类似结论？并加以证明．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共55分)17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、。
辽宁省阜新市高二下学期数学期中考试试卷
辽宁省阜新市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若复数z满足，则z的虚部为（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·漳州模拟) 已知点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）“”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的（）A . 充分不必要条件B . 充分且必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A . m≥4或m≤－2B . m≥2或m≤－4C . －2＜m＜4D . －4＜m＜25. （2分）(2018·栖霞模拟) 已知命题，，，，若为假命题，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）(2016·青海) 已知，，记则A,B的大小关系是（）A . A>BB .C . A<BD .7. （2分）(2017·莆田模拟) 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，点O在BC上，且BO=OC，过点O的直线l与直线AA1 ， C1D1分别交于M，N两点，则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为（）A .B .C .D .8. （2分）某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（）A . 16种B . 36种C . 42种D . 60种9. （2分）复数，且A+B=0，则m=（）A .B .C .D . 210. （2分） (2019高三上·梅州月考) 已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点M，则四边形AMCF的面积为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·南宁模拟) 定义在上的单调函数，，，则方程的解所在区间是（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·郑州模拟) 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，左、右焦点分别是，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·泗水期中) 已知x∈（0，+∞），不等式x+ ≥2，x+ ≥3，x+ ≥4，…，可推广为x+ ≥n+1，则a等于________．14. （1分） (2019高三上·和平月考) 已知函数 .若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为 ________， ________.15. （1分）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有________ ．（用数字作答）16. （1分）若∀x＞0，ex﹣1+1≥a+lnx，则a的最大值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高三上·天水开学考) 已知函数f（x）= sin2x+ sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）= ，△ABC的面积为3 ，求a 的最小值．18. （10分） (2019高一下·哈尔滨月考) 已知各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意的，有 .（1）求常数的值；（2）求数列的通项公式.19. （15分） (2016高一下·兰州期中) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表（部分）运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．20. （10分） (2016高一下·定州期末) 如图，正方形ABCD的边长为2 ，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，且FO⊥平面ABCD，FO= ．（1）求BF与平面ABCD所成的角的正切值；（2）求三棱锥O﹣ADE的体积；（3）求证：平面AEF⊥平面BCF．21. （5分）(2019·枣庄模拟) 如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），G为圆H：（x+2）2+y2=1上一动点，由G向C引切线，切点分别为E，F，当G点坐标为（-1，0）时，△GEF的面积为4．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）当点G在圆H：（x+2）2+y2=1上运动时，记k1 ， k2 ，分别为切线GE，GF的斜率，求| |的取值范围．22. （10分） (2016高三上·赣州期中) 已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m＞0，g（x）=f（x）+ 存在两个极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＜0，求m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
辽宁省阜新市高二下学期数学期中考试试卷
B .
C .
D .
3. （2分） (2016高三上·虎林期中) 过点（4，0）且斜率为﹣ 的直线交圆x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则 的值为（ ）
A . 6
B . 8
C .
D . 4
4. （2分） (2017·南阳模拟) 已知z=2x+y，其中实数x，y满足 ，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（ ）
三、 解答题 (共5题；共60分)
18. （10分） (2018高一下·深圳期中) 函数 ．
（1） 求 的值；
（2） 求函数 的最小正周期及单调递增区间．
19. （10分） (2017高二下·赣州期中) 如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
1、
10-1、
二、 填空题 (共7题；共8分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、 解答题 (共5题；共60分)
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
20-3、
21-1、
21-2、
A . （0，1）
B . （0，+∞）
C . （1，2）
D . [2，+∞）
10. （2分） (2018·浙江学考) 如图，设矩形 ABCD 所在的平面与梯形 ACEF 所在平面交于 AC ，若 ，则下面二面角的平面角大小为定值的是（ ）
A .
B .
C .
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辽宁省阜新二高2017-2018学年高二数学下学期期中试题理
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的）
1、设集合, B, 则（）
A、 B、 C、 D、
2、已知为虚数单位，复数满足,则复数的虚部为（）
A、 B、 C、 D、
3、角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则
（）
A、 B、 C、 D、
4、某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高
分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的）无法看清，若统计员计算无误，则数字为（）
A、 B、 C、 D、 8 9 8 7
9 2 x 3 4 2 1
5、以点、、为顶点的三角形是以角C为直角的直角三角形，满足条
件的三角形个数为（）
A、 B、 C、 D、
6、如图所示的阴影部分由方格纸上的3个小方格组成，
我们称这样的图案为型（每次旋转型图案），
那么在由45小方格组成的方格纸上，可以画出不同
位置的型图案的个数为（）
A、 B、 C、 D、
7、在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别
为，则三棱锥的外接球的体积为（）
A、 B、 C、 D、
8、在数列中，已知等于的个位数，则
（）
A、 B、 C、 D、
9、已知抛物线C：的焦点为F，点M（）在抛物线C上，则等于（）
A 、
B 、
C 、
D 、
10、的展开式中，的系数为（）
A 、
B 、
C 、
D 、
11、某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必
须排在前三位，且节目丙、
丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）种
A 、
B 、
C 、
D 、
12、若关于的不等式b（为自然对数的底数）在上恒成立，则
的最大值为（）
A 、
B 、
C 、
D 、
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若随机变量（用数字做答）
14、已知等比数列，则
15
、若在区间内随机取一个数
，在区间内随机取一个数,则使得方程
有两个不相等的实数根的概率为
16、若函数（为自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M
性质，下列函数中所有具有M 性质的函数序号为
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17、（本小题满分12分）在中，角所对边分别为，且
成等差数列，
（1）求角的大小；
（2）若时，求的面积。
18、（本小题满分12分）在测试中，客观题难度的的计算公式为，其中为第题的
难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数。
现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题。
测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示 （“”表示答对，“”表示答错）：
（1） 根据题中数据，将抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下
表，并估计这120名学生中第5题的答对人数；
（2）从编号为1～5的5人中随机抽取2人，记答对第5题的人数为X ，求X 的分布列。
（3）定义统计量
，其中
为第
为第。
规定：若，则称该次测试的
难 度预估合理，否则为不合理。
判断本次测试的难度预估是否合理。
19、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线AC,BD 交于O ，OA=4,OB=3,OP=4,OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足
(
).
（1）时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值。
（2）若二面角M-AB-C 的大小为，求的值。
考前预估难度
20、（本小题满分12分）已知，是椭圆的左，右焦点，为原点，
在椭圆上，线段与轴的交点满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点作直线交椭圆于，两点，交点，若，，
求.
21、（本小题满分12分）已知函数的图像在点处的切线与直线平行
（1）若函数在上是减函数，求实数的最小值；
（2）设，若存在，使成立，求实数的取值范围。
22、（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线+,以平面直角坐标系的原点O为极点，轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线
，
（1）试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出最大值。
参考答案（解答过程与评分标准不唯一，此处仅供参考） BBC BAD CBC AAD 4 3π 2
32
17． ∵α，β为锐角，∴sin α＝3
10，sin β＝2
5
， ∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β ＝
1
10·15－310·25＝－550
＝－22.
又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π
4.
18. (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋
3π
2
，k ∈Z 时，y 有最大值5，相应x 的集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .
当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π
2，k ∈Z 时，y 有最小值1，相应x 的集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z .
(2)令z ＝x
3，∵－1≤sin z ≤1，
∴y ＝sin x
3
的最大值为1，最小值为－1.
又使y ＝sin z 取得最大值的z 的集合为{z |z ＝2k π＋π2，k ∈Z}，由x 3＝2k π＋π
2，得x ＝6k π
＋3
2
π， ∴使函数y ＝sin x 3取得最大值的x 的集合为{x |x ＝6k π＋3
2π，k ∈Z}．
同理可得使函数y ＝sin x 3取得最小值的x 的集合为{x |x ＝6k π－3
2
π，k ∈Z}．
19. ⑴解 (1)∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零， ∴设切线方程为x ＋y ＝a (a ≠0)， 又∵圆C ：(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝2，
∴圆心C (－1,2)到切线的距离等于圆的半径2， ∴
|－1＋2－a |
2
＝2⇒a ＝－1，或a ＝3，则所求切线的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 20. ⑴由题意可知：f (x )＝2sin(x ＋π
3)……………………………………2′
∴T=2π……………………………………………………………………4′ ⑵x ∈(0，π)即0＜x ＜π
∴π3＜x +π3＜4π
3
………………………………………………6′
∴－
32＜sin(x ＋π
3
)≤1，f (x )值域为(－3，2]……………………8′ 分别令π3＜x +π3＜π2，π2＜x +π3＜4π3
得f (x )增区间为(0，π
6)………………………………………………10′
减区间为(π
6，π)…………………………………………12′
21. ⑴∵＝(2,2)，则||＝ 6 ∵||＝26，∥
∴＝2或＝－2………………………………………………2′ ∴|－|＝||＝ 6 或|－|＝|－3|＝36…………4′ ⑵－与3+2垂直，那么(－)·(3+2)＝0…………6′ ∴3||2
－2||2
－·=3×(6)2
－2×(23)2
－·= 0
∴·= －6…………………………………………………………8′ 当＝2时，·(++)＝12………………………………10′ 当＝－2时，·(++)＝－12…………………………12′ 22. ⑴设A(a ,0)，B(0,b )(b ＞0)
则＝(a ,3)，＝(x －a , y )，＝(－x , b －y )………………2′
∴即⎩⎪⎨⎪⎧
a (x －a )+3y ＝0
x －a ＝32x
y ＝32(y －b )
……………………4′
得到x 与y 满足的关系式为y ＝14 x 2
(x ≠0)…………………………6′
⑵设M(m , 14m 2
)，那么d ＝
116m 4+12m 2+1＝1
4
m 2+1………………8′ h ＝14
m 2+1………………………………………………………………10′
于是d h
＝1………………………………………………………………12′。