复变函数第二章学习方法导学
复变函数及积分变换第二章
x
arg z在负实 轴上不连续.
若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点
arctan( y / x),
arg z arctan( y / x) π,
arctan( y / x), arctan( y / x),
x0 0
lim
z z0
arg
z
lim
( x, y)( x0
,
y0
)
arctan(
) ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连 内每一点都连续，那么称函
数f(z)在区域D内连续.
定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、 商（要求分母不为零）在点z0处连续.
(1)多项式 w a0 zn a1zn1 an1z an 在整个复平
面上连续；
(2)任何一个有理分式函数
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存
在，试求出极限值：
(1) f (z)
z Re(z) ; z
(2) f (z)
Re( z
z
2
2
)
.
解： (1)方法一
因为
f (z)
z
Re(z) z
z
所以 0，取 ，当0 z 时，总有
f (z) 0 f (z) z
根据极限定义 lim f (z) 0 z0
解：dw lim f (z Δz) f (z) lim (z Δz)n zn
dz Δz0
Δz
Δz 0
Δz
Δlizm0(Cn1 zn1 Cn2 zn2Δz
C n1 n
zΔz
n2
Cnn Δz n1 )
Cn1zn1 nzn1,
复变函数第二章学习指导
复变函数第二章学习指导一. 知识结构1.复变函数在一点可导的定义2.解析函数 2.42.53.15⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩函数在一点解析的定义定义函数在区域解析的定义四则运算运算复合运算定理充分必要条件定理及定理 3.初等函数(),,sin ,cos ,,z z z e z z Lnz z a z a αα⎧⎪⎨⎪⎩n 单值函数:z 与有例外 二. 学习要求⒈理解解析函数的定义，性质及其充分必要条件；⒉了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；⒊熟练掌握利用柯西——黎曼条件判别解析函数的方法；⒋熟练掌握“已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数”的方法.5.理解z z sin ,e 与z cos 的定义及其主要性质；6.,,z Lnz z a α的定义及其主要性质.三. 内容提要1.函数在一点可导的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，D z z D z ∈∆+∈)(,00，若z z f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim 0存在，则称此极限为函数)(z f 在点0z 的导数，记为)(0z f '，即 zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000 此时，称函数)(z f 在点0z 可导，否则，称函数)(z f 在点0z 不可导.2.函数在一点解析的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，0z 为D 内某一点，若存在一个邻域),(0p z N ，使得函数)(z f 在该邻域内处处可导，则称函数)(z f 在点0z 解析.此时称点0z 为函数)(z f 的解析点.若函数)(z f 在点0z 不解析，则称0z 为函数)(z f 的奇点.关于解析函数的定义，有下面的注解：注解1 解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解2 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析.3.若函数),(i ),()(y x v y x u z f ++=定义在区域D 内，则函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是：⑴),(y x u 与),(y x v 在D 内可微.⑵x y y x v u v u -==,在D 内成立.条件⑵称为柯西——黎曼条件或C.— R.条件.函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是：⑴y x y x v v u u ,,,在D 内连续．⑵x y y x v u v u -==,在D 内成立．关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R 方程的一组解； 注解2 解析函数的导数形式更简洁.4.初等解析函数整幂函数定义 设y x z i +=，n 为正整数，称n z w =为整幂函数．指数函数定义2.4 设y x z i +=，称)sin i (cos e e y y x z ⋅+=为指数函数，其等式右端中的e 为自然对数的底，即 2.71828e =． ⑴对任意二复数111i y x z +=与222i y x z +=,有2121e e e z z z z +=⋅⑵z e 在复平面上为解析函数，且有z z e )(e ='⑶对任意一复数y x z i +=，有 π2)(Arg ,e e k y z x z +== （k 为整数）⑷z e 只以i π2k (k 为整数)为周期．⑸21e e z z =的充分必要条件是i π212k z z =- （k 为整数）⑹z z e lim ∞→不存在． ⑺设y x z i +=，若0=y ，则x z e e =；若0=x ，则y y y sin i cos e i ⋅+=这便是欧拉公式．⑻若y x z i +=，则zz e e =．三角函数定义2.6 设z 为复数，称i 2e e i i zz -- 与2e e i i z z -+ 分别为z 的正弦函数和余弦函数，分别记作i2e e sin i i zz z --= 与 2e e cos i i z z z -+= 正.余弦 函数的性质：⑴z sin 与z cos 在复平面解析，且有z z z z sin )(cos ,cos )(sin -='='⑵三角学中实变量的三角函数间的已知公式对复变量的三角函数仍然有效：例如，由定义可推得1cos sin 22=+z zz z cos )2sin(=+π z z sin )2cos(-=+π212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=±212121sin sin cos cos )cos(z z z z z =±z z sin )sin(-=-z z cos )cos(=-⑶z z z i e sin i cos =+⑷z sin 仅在πk z =处为零，z cos 仅在π2πk z +=处为零，其中的k 为整数． ⑸z sin 与z cos 均以π2k （k 为整数)为周期； ⑹命题“若z 为复数，则1cos ,1sin ≤≤z z ”不真．⑺z z sin lim ∞→与z z cos lim ∞→均不存在． 同理可以定义其他三角函数：sin cos tan ,cot ,cos sin 11sec ,csc .cos sin z z z z z z z z z z ====5.初等多值函数.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，称满足z w n = （n 为不小于2的正整数）的w 为z 的n 次根式函数，或简称根式函数，记作n z w =⑴根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有n n r w θi 0e =n n r w π2i 1e +=θ … n n n n r w π)1(2i 1e -+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．⑵根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数．定义 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a 为函数)(z F 的支点．⑶根式函数n z w =的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．对数函数定义2.10 设∞≠,0z ，称满足z w =e的w 为z 的对数函数，记作z w Ln =注解1.由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为i π2的周期函数，所以对数函数必然是多值函数；注解2.Lnz ln|z|iArg 0w z,z ==+≠.多值函数的单值化：1）由于Ln ln ||z z iArgz =+，而是Argz 通常正数的自然 对数，Arg z 是多值函数，所以对数函数的多值性是由于辐角函数的多值性引起的，每两个函数值相差2i π的整数倍；2）像rg A z 一样，取主值arg z ，则得到Lnz 的一个单值分支，记为lnz ，也称为Lnz 的主值，即ln ln arg z z z =+令v u w z r z i ,,0,e i +=∞≠=θ由定义2.10可得z w Ln =)π2(ln k i r ++=θz i z Arg ln += （k 为整数）即对于每一个∞≠,0z ，有无穷多个不同的w ，即有)π4(i ln 2k z w ++=θ)π2(i ln 1k z w ++=θθi ln 0+=z w)π2(i ln 1k z w -+=-θ)π4(i ln 2k z w -+=-θ与之对应，因此，对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数． 一般幂函数定义：利用对数函数，可以定义幂函数：设a 是任何复数，则定义z 的a 次幂函数为Ln a a z z e =当a 为正实数，且0z =时，还规定0a z =.一般幂函数的基本性质：（1）由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；（2）当a 是正整数时，幂函数是一个单值函数；（3）当1a n=（当n 是正整数）时，幂函数是一个n 值函数； （4）当p a q=是有理数时，幂函数是一个q 值函数； （5）当a 是无理数时，幂函数是一个无穷值多值函数反正切函数：由函数w z tan =所定义的函数w 称为z 的反正切函数，记作z w Arctan =，由于iw iw iwiw ee e e i z --+-=1， 令τ=iw e 2，得到111+-=ττi z ， 从而 i z i z ++-=τ， 所以])(Ln )([Ln 21Ln 21Arctan πi i z i z i iz i z i z w ++--=++-==反正切函数是多值解析函数，它的支点是i z ±=，无穷远点不是它的支点.四. 疑难解析解析函数概念1．函数()f ω=z 在一点0z 可导与解析有什么不同？在一个区域D 呢？ 答：函数()f ω=z 在一点0z 解析比可导的要求要高的多.)(z f 在0z 解析，要求)(z f 不仅在0z 可导，还要求在的邻域内也可导.例如，函数()f =z zRe(z)在z =0可导（导数等于零），但在除去原点的全平面都不可导（因为[]Re()Re()Re()ω=-+ z z +z z z +z z z在→ z 0时，没有确定的极限），所以，)(z f 在z =0不解析.在一个区域D 内，因为所有点都是内点，所以()f ω=z 在D 内可导与在D 内解析是一致的.2．复变函数()f ω=z 的导数定义与实一元函数()y f x =的导数定义在要求上有什么不同？答: 两者在定义的形式与求导公式.求导法则上都完全相同.但是由于极限的要求不同，在复变函数()f ω=z 的导数定义()()lim f f →- 00z 0z +z z z中，0z ∆→的方式是任意的，而实一元函数()y f x = 定义中，0x ∆→的方式要简单的多.所以，我们说复变函数在一点可导的条件更为严格，从而复变函数的导数具有不少特殊的性质.3．判别函数可与解析有哪些方法？答: 目前为止，可用以下三种方法.（1）由定义判别.若()f ω=z 在0z 可导，且在0z 邻域内可导，则在解析.)(z f 在0z 导数存在，则在0z 可导；在0z 导数不存在，则0z 是)(z f 的奇点.（2）由定理1判别)(z f 在点z 是否可导.考察两个实二元函数(,)u x y 与(,)v x y 在点(,)x y 内是否可微，并验证是否满足柯西—黎曼条件（简称C —R 条件）.（3）用定理2判别)(z f 在D 内是否解析.考察两个实二元函数(,)u x y (,)v x y 在D 内是否可微，并验证是否满足C —R条件.常常有人忽略对与(,)v x y 可微的考察而导致错误.例如()f =z 个坐标轴上函数都等于零，所以在z =0处，有0u u v v x y x y ∂∂∂∂====∂∂∂∂ （()0,0(0,0)0lim lim 0x u x u u x x x→-∂===∂ 其他类似可求），即(,)u x y 与(,)v x y 在点(0,0)满足C —R 条件，但)(z f 在z =0不可微，所以在点(0,0)，)(z f 不解析（因为ω= z ，取x αγ=，y βγ=，则当0γ→时ω→ z 随,αβ的取值而改变，不惟一）.4 复变函数的连续.可导（可微）与解析之间有什么关系？答: 由于()f ω=z 在一点可导与解析不同，所以，对定义在D 上的函数)(z f 及点D ∈0z ，)(z f 的()f ω=z 连续.初等函数1.叙述复变函数与实变指数函数的区别.答: 由于exp (cos sin )x e y i y =+z z =e ，其区别为(1) 0≠z e ，而0x e >；(2) i π=z z+2k e e 是以2k i π为周期的周期函数，而x e 不是周期函数；(3) z e 没有乘幂的意义，而x e 可视为e 的x 次幂；(4) 0→z z lim e 不存在，而0x →-∞=x lim e ，x →+∞=+∞x lim e . ２.怎样区分e 的z 次幂与z e ？答: 由题1知，z e 没有乘幂的意义，它是单值的，而e 的z 次幂是一个多值函数，为了区别，记为⎡⎤⎣⎦z e ,[]exp()exp{}π⎡⎤==⎣⎦z e zlne z lne+i(0+2k ) []exp exp exp(ππ==⋅z(1+2k i)z 2k i)当0k =或0k ≠，z 为整数时，exp ⎡⎤=⎣⎦z e z .当0k ≠时，q z =p与exp z 的模相等，辐角不同. 当0k ≠，z 为无理数时，两者模相等，辐角不同.当0k ≠，z 为纯虚数时，两者模不等，辐角相同.当0k ≠，z 为复数时，两者模一般也不相同.３.exp z z =e 什么时候等于实数？答: 因为exp (cos sin )y i y +x z =e ，所以应有sin 0y ⋅=x e .而0≠x e ，故由 sin 0(0,1,).y y k k π=⇒==±⋅⋅⋅即当z 位于实轴且与实轴距离为k π的直线上时，x e 的值为实数.4. 叙述复变对数函数与实变对数函数的区别答: 因为ln ln 2k i π=+z z ，所以区别为：（1）ln z 是多值函数，ln x 是单值函数.（2）ln()ln ln =+1212z z z z ，ln()ln ln .=-1122z z z z 虽然与实对数函数运算法则相同，但意义不同.复变对数函数等式的意义是全体值的相等，而不是对应分支的相等.（3）1ln ln ln n n≠≠n z z,z.例如，对ln 2z ，当θi z =re 时，θ22i2z =r e ， 2ln ln (22),0,1,,r i m m θπ=++=±⋅⋅⋅2z 2ln 2ln (24),0,1,.r i k k θπ=++=±⋅⋅⋅z 显然两者实部相等，但虚部可取值却不相同.（4）ln z 的定义域为除零之外的全体复数，而ln x 的定义域是0x >.5．为什么sin 1≤z 与1≤cosz 在复数范围内不再成立？答: 因为sin ()i i e e --z z 1z =2i，所以 sin ()i i i i e e e e ---==-z z z z 1z 2i2ii i y y e e e e --=-=-z z 1122 当y =+∞时，0y e -→，y e →+∞，所以sin 1≤z 不再成立.同理可证，不再 有cos 1≤z .又sin sin()sin x y xchy icoxchy +z =+i =，而()y y chy e e -=+12， 1()2y y shy e e i-=-,当y →∞，chy 与shy →∞，所以sin 1≤z 不再成立. 平面场1.为什么要在无源又无旋的平面场上导轮复势函数？答： x A divA=y A x y∂∂+∂∂称为向量场A 的散度，divA 0≡的向量场称为管量场，即无旋场.divA>0称源，divA<0称沟（汇）.yA rotA=x A x y ∂∂+∂∂称为向量场A 的旋度.rotA=0的向量场称为势量场，即无旋场.无源又无旋的场，称为调和场，满足divA rotA 0≡≡.单连通域上的调和场是一个有势场.A 的势函数为v ，0v v =-. 使0A(x,y)=grad 0v .A 的力函数为u ，使1grad y x A A i A j u =-+=.u 和v 都是调和函数，且(,)v x y 是(,)u x y 的共轭调和函数.在单连通区域内，用势函数(,)u x y 和力函数(,)v x y 可以构造一个解析函数()(,)(,)f u x y iv x y ω==+z ，ω称为复势函数（简称复势）.讨论复势就是讨论一个解析函数.2.为什么在不同问题中场的复势表示有不同的形式？答: 因为在不同的物理应用中，为了各自的方便对复势采用了不同的定义，因而复势表示有不同的形式.如（1）在平面流速场(,)(,)x y v v x y i v x y j =+，有d (,)=-y x x y v dx v dy ϕ+, d (,)=-y x x y v dx v dy ϕ+.复势函数为()(,)(,)f x y i x y ωϕφ==+z ，______'()x y v v iv i i f x y x xϕϕϕφ∂∂∂∂=+=+=-=∂∂∂∂z （2）在平面静电场x y E E i E j =+，有(,)y x du x y E dx E dy =-+, (,)x y dv x y E dx E dy =-+复势函数为()(,)(,)f u x y iv x y ω==+z ,场E 何以用复势表示为______'()v u E i if x x∂∂=--=-∂∂z （3）在稳定状态的平面热流场，与题（2）类似______()()()d q k i k i k x y x x d ϕϕϕφ∂∂∂∂Φ=-+=--=-∂∂∂∂z 这里(,)(,)x y i x y ϕφΦ+(z)=称为复温度.五．典型例题例1 试证：函数)Re()(z z f =在复平面上处处不可导.分析：导数是一个特定类型的极限，要证明复变函数在某点的极限不存在，只需要找两条特殊的路径，使自变量沿这两条路径趋于该点时，函数值趋于不同的值.证 对任意点z ，因 zz z z z z f z z f ∆-∆+=∆-∆+)Re()Re()()( 令y x z ∆+∆=∆i ，于是有 yx x z z f z z f ∆+∆∆=∆-∆+i )()( 由于上式当z z ∆+沿平行于虚轴的方向趋于点z 时（即0,0→∆=∆y x ），其极限为0；当z z ∆+沿平行于实轴的方向趋于点z 时（即0,0→∆=∆x y ），其极限为1，所以zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim不存在，故)(z f 在点z 处不可导.由点z 的任意性，函数)Re()(z z f =于复平面上处处不可导.例2 试证函数1)(+=z z f 在复平面解析． 证 令y x z v u z f i ,i )(+=+=，则 1i 1)(++=+=y x z z f y x i 1++= v i u += 于是1+=x u y v = 从而有0,1==y x u u 1,0==y x v v显然，y x y x v v u u ,,,在复平面上处处连续，且满足C.— R.条件，故函数)(z f 在复平面解析.函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是)](Im[z f 为)](Re[z f 的共轭调和函数.例 3 设222),(y xy x y x u --=，试求以),(y x u 为实部的解析函数),(i ),()(y x v y x u z f +=，使得i )0(=f ．解 依C.— R.条件有y x u v x y 22-== 于是⎰-=y y x v d )22( )(22x y xy ϕ+-= 由此得)(2x y v x ϕ'+= y u -= y x 22+= 从而有c x x +=2)(ϕ 因此c x y xy y x v ++-=222),( （c 为任意常数） 故得)2(i 2)(2222c x y xy y xy x z f ++-+--= c z i )i 1(2++= 将i )0(=f 代入上式，得i c f ==i )0( 由此得1=c ，故得i )i 1()(2++=z z f 经验证，所得)(z f 既为所求.例4 试证zz e 1e =-． 证：设y x z i +=，由定义得及（实）三角函数的性质得 )]sin(i )[cos(e e y y x z -⋅+-=-- xyy e sin i cos ⋅-=)sin i (cos e )sin i )(cos sin i (cos y y y y y y x⋅+⋅+⋅-=)sin i (cos e sin cos 22y y yy x ⋅++=ze 1=. 例5 计算)i 1(Ln +．解：)i 1(Arg i i 1ln )i 1(Ln +++=+)π24π(i 2ln 21k ++=（k 为整数） 例6 试证z z z i 2i e sin i 21e =-. 证：由定义zz z z z i 2i i i e i 21e i 2e e sin -=-=- 可得z z z i 2i e sin i 21e =-.例7 计算)i 1cos(+的值．解 由定义得2e e 2e e )i 1cos(1i 1i )i 1(i )i 1(i +--+-++=+=+1sin )e e (21i 1cos )e e (2111-++=--. 例8设)(z f 在区域D 内解析，证明：若)(z f 满足下列条件之一，则)(z f 在D 内为常数：（1）对每一个∈z D ，有)(z f =0, （2）)(Re z f 或)(Im z f 在D 内为常数, （3）)f(z 在D 内为常数, （4）)(z f 在D 内解析, （5）)(z f 恒在D 内为实数, （6）)(arg z f 在D 内为常数, （7）2u v =,（8）c bu au =+,其中c b a ,,是不全为零的常实数.证明：（事实：在区域D 内，0====y x y x v v u u ,则在D 内，v u ,为常数） （2）设iv u z f +=)(,因为()z f 在D 内为解析，所以(),(1)u v u vx y y x∂∂-∂-∂==-∂∂∂∂()()()2,xu y u y u x u D iv u f z ∂-∂-=∂∂∂∂=∂∂+=内解析，所以也在又()()()内为常数在故得由D z f y v x v y u x u ，021=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂（8）因为au+bv=c 且a,b 与c 不全为零，所以a 与b 不能同时为零.否则，若a=b=0，则c=0.不妨设a ≠0，则于是有),(1bq c au -=()()(),,1,20,,,()u b v x a x u b v y a y f z u iv D u v u u x y y xu u v vx y x y u v f z D ∂∂⎧⎫=-⎪⎪∂∂⎪⎪⎨⎬∂∂⎪⎪=-∂∂⎪⎪⎩⎭=+∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂又因为在内解析所以由可得因此均为常数即在内为常数.例9．讨论函数i y x y x z f 22332)(+-=的可导性和解析性，并在可导处求导数22332),(,),(y x y x y x y x u ：=-=θ令解, y x xy y u x u y x y x 22224,4,3,3==-==θθ 显然上述四个偏导函数在z 平面上连续. 要使x y y x u u θθ-==,, 即222243,43xy y y x x -=-=,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==4343,00y x y x . 故处可导43430)(i z f +与在.在平面上不解析.)1(1627|)43()4343('0|)43(|)()('4343220220i xy i x i f xy i x i u o f i z z x x +=+=+=+=+=+==ϑ. 例10.试证()31)(z z z f w -==在割破0到1的直线段以及负虚轴的z 平面上，可以分成单值解析分支，且求出的0)2(<f 那个分支中)(i f 的值解：∞,1,0)()(的可能支点为z f i ,因3+1，3+（1+1）∞∴,1,0都是支点. 所以在割破0到1的直线段以及负虚轴的z 平面上可以分出三个单值解析分支()(2)0,arg (2),ii f f π<= 故可取而()πππ12543231)1arg(arg 31)(arg =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-∆+∆=∆z c z c z f c ()()()i i i eee i i i if 125612531321)(πππ-=⋅--=∴.例11.试证：在将z 平面适当割开后，函数 32)1()(z z f -=能分出三个单值解析分支，并求出在点z=2取值的那个分支在i z =的值解：())(z f i 的可能支点为。
复变函数与积分变换第2章2.3导数
例3
讨论函数f ( z )
xy 在z 0的可微性． xy , v( x , y ) 0所以
解 由于u( x , y )
u( x ,0) u(0,0) ux (0,0) lim 0 v y (0,0) x 0 x
u(0, y ) u(0,0) u y (0,0) lim 0 v x (0,0) y 0 y
讨论函数f ( z )
xy 在z 0的可微性．
例2 解 因为u( x , y ) x , v ( x , y ) y , 所以
2
u u v v 1, 0, 0, 2 y x y x y
u( x, y )和v( x, y )在复平面上处处可微, v u x 1 y 2 y 1 由C R方程 y 2 u v 0 x y 1 2 因此 , f ( z ) x iy 仅在直线Im(z )= 上 2 的各点可导
2 2
解：f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点z 0满足 u v u v C R方程： 0， 0 x y y x
但u( x , y )、v ( x , y )在点(0,0)不连续，所以复变 函数f ( z )在z 0不连续, 从而不可导.
第二章
导数
第三讲 复变函数的导数与解析函数 学习要点 掌握复变函数的导数与微分 掌握C-R方程与函数可导的充要条件
一、复变函数的导数与微分
1. 定义 设w f ( z )在区域D上有定义，z0为D中 一点，点z0 z z D . f ( z0 z ) f ( z ) 如果极限 lim 存在， z 0 z 则说f ( z )在z0可导，此极限值称为f ( z )在
《复变函数》第2章
u v , x y
u v y x
《复变函数》(第四版) 第21页
—— 柯西-黎曼 (Cauchy-Riemann)方程
2014-10-20
Th1 : f (z) = u(x, y) + i v(x, y) 定义在区域内 u(x, y), v(x, y) 在点(x, y) f (z)在 z = x+iy 可导 可微, 且 u v u v , x y y x (必要性已证, 下面证充分性) 证: (充分性) f f ( z z ) f ( z ) u vi ∵ u(x, y) 和 v(x, y) 在点(x, y)可微, ( 书 P.41 ) u u( x x, y y ) u( x, y ) u u x y 1x 2 y x y v v( x x, y y ) v( x, y ) v v x y 3 x 4 y x y 《复变函数》 2014-10-20 第22页
f (z)在zo解析. 2°f (z)在zo点可导 (在zo点可导与在zo点解析不等价) 3°f (z)在区域D内解析
2
f (z)在D内可导.
2
例3: 研究函数 f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和 h( z ) | z |
的解析性.
解: 由例1、例2， f (z) = z2 在复平面内解析.
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第13页
由求导法则, 可得 Th : 1) 解析函数的和、差、积、商 (除分母
为0的点) 仍解析. 2) 解析函数的复合函数仍解析. 结论: 1) 所有多项式在复平面内处处解析. P( z ) 2) 有理分式函数 在不含分母为零 Q( z) 的点的区域内解析.
复变函数第二章
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0
定理 ： 设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
4
例2 : 求极限 lim cos z
解：因为 cos z = cos( x + yi ) = cos xchy − i sin xshy
z → z0
若取 u(x,y) = cos xchy , v(x,y) = sin xshy , z 0 = x 0 + iy 0 , 则有
( x , y )→ ( x0 , y0 )
0
→ 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 记作 lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz → A) z→ z →
0
注意: 注意: 定义中 z → z0 的方式是任意的 . 几何意义: 几何意义 当变点z一旦进 当变点 一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 心邻域时 它的象 就落入A的 点f(z)就落入 的 就落入 一个预先给定的 ε邻域中 邻域中
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g ( z )] = A ± B;
z → z0 z → z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
复变函数第二章学习方法导学-精品
复变函数第二章学习方法导学-精品2020-12-12【关键字】情况、方法、条件、问题、有效、充分、整体、建立、掌握、了解、研究、特点、准则、思想、地位、作用、关系、分析、推广、满足、方向、中心解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用．本章，我们首先介绍复变函数的极限与连续，并从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质．一、基本要求1．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性．2．熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下：复变函数()f z 在点集E ⊂上一致连续⇔对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有()()0()n n f z f z n '-→→∞．３．掌握讨论0lim ()z z z Ef z →∈不存在的如下有效方法： 设l 是点集E ⊂中过0z 的一条曲线（0z 是E 的聚点），1l 和2l 是点集E 中过0z 的两条不同曲线，若0lim ()z z z l f z →∈不存在或01lim ()z z z l f z →∈，02lim ()z z z l f z →∈都存在但极限值不相等，则0lim ()z z z E f z →∈一定不存在．４．能正确地理解复变函数可微（可导）和解析的概念，并弄清下面几种关系： ●可微，解析与连续的关系；●可微与解析两个概念之间的联系和差异；●可微和解析与复变函数的实部、虚部两个二元实函数可微之间的联系和差别．５．熟习复变函数导数和解析的运算法则（如四则运算法则，复合函数的求导法则），能熟练地运用这些法则，并借助一些已知的解析函数来判断某些复变函数的解析性．下面列举的几类具体函数，其可微性和解析性情况希望大家要熟习： ●()f z z =；()f z z =；()Re f z z =；()Im f z z =都在上处处连续但处处不可微，从而它们都在上处处不解析． ●2()f z z =；2()Re f z z =在都在上处处连续但仅在原点0z =可微，从而它们都在上处处不解析 2()f z z a =-；2()Re ()f z z a =-在都在上处处连续但仅在一点z a =可微，从而它们都在上处处不解析． ●()f z c ≡（常函数）；多项式函数101()n n n P z a z a z a -=+++；指数函数z e ；正弦和余弦函数sin z 和cos z ；双曲正弦和余弦函数cosh z 和sinh z 都在上解析（即都是整函数，所谓整函数是指在上解析的函数） ●有理函数101101()n n n m m ma z a z a R zb z b z b --+++=+++；正切、余切、正割和余割函数tan z 、cot z 、sec z 和csc z 都在其自然定义域内解析． ６．掌握函数可微和解析的充要条件以及在可微情况下，函数导数用实或虚部的偏导数来计算的计算公式，如函数()f z u iv =+在点z x iy =+可微，则()u v u u v v v u f z i i i i x x x y y x y y∂∂∂∂∂∂∂∂'=+=-=+=-∂∂∂∂∂∂∂∂． 理解柯西—黎曼条件在函数可微或解析中的地位和作用，并能熟练地运用柯西—黎曼条件判别给定的函数的可导性和解析性．７．归纳区域内解析函数为常函数的若干等价条件，并通过这些等价条件的证明初步体会柯西—黎曼条件在讨论解析函数性质中的作用．８．熟练地掌握几类初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数，有理函数，复指数函数，复三角函数，复双曲函数以及这些函数经过有限次的四则运算或函数的复合所得的函数），以及这些函数的主要性质．９．初步了解和掌握研究初等多值解析函数的基本思想和基本方法，了解支点的特点（即动点单独围绕支点变化时，函数值会发生变化）以及支割线的特点（即将函数的定义范围沿支割线割开，能限制动点在割开的定义范围内不可能再围绕各支点变化），并理解它们在将多值函数单值化中的作用．１０．掌握将幅角函数，对数函数，，一般幂函数（包括根式函数w =）以及稍复杂一点的两类多值函数w =w =它们的单值分支函数，并会利用如下已知初值在连续变化的意义下求终值的公式，求满足初值条件要求的单值分支函数在另一指定点处的函数值．下面列举的三个公式是今后常用的已知初值在连续变化意义下求终值的公式：●已知幅角函数的一分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定）)(z f 在某一点0z 的值为0arg z ，则此函数在另一点1z 的值1arg z 要按下面的公式计算：其中C 是此函数的定义范围内，从0z 出发到1z 的一条简单曲线，z C arg ∆表示当动点z 从0z 出发沿C 连续变到1z (方向是从0z 到1z )时， 幅角的连续改变量．●已知多值函数的一分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定）)(z f 在某一点0z 的值为)(0z f , 则此函数在另一点1z 的值)(1z f 可按下面的公式计算: 其中)(arg )(arg )(arg 01z f z f z f C ∆+=，C 是此函数的定义范围内，从0z 出发到1z 一条简单曲线，)(arg z f C ∆表示当动点z 从0z 出发沿C 连续变到1z (方向是从0z 到1z )时，)(z f 的幅角的连续改变量．另外)(arg z f C ∆的值与)(arg 0z f 的取值无关, )(arg 0z f 的取值可相差π2的整数倍．●已知对数类函数Ln ()f z 的某一分支函数)(ln z f 在某一点0z 的值为)(ln 0z f ，则此函数在另一点1z 的值1ln ()f z ， 可用下面的公式计算：其中C 是此函数的定义范围内,从0z 出发到1z 一条简单曲线，)(arg z f C ∆表示当动点z 从0z 出发沿C 连续变到1z (方向是从0z 到1z )时, )(z f 的幅角的连续改变量. )(arg 0z f 是初值)(arg )(ln )(ln 000z f i z f z f +=的虚部．二、问题研究——复变函数的导数表示我们知道复变函数的代数表示可看成两个实变量x ，y 的二元实变复值函数，若(,)u x y 和(,)v x y 的偏导数存在，则类似于二元函数的偏导数的记号，令f u v i x x x ∂∂∂=+∂∂∂，f u v i y yy ∂∂∂=+∂∂∂ ┈┈┈┈┈┈┈ （Ⅰ） 分别称为()f z 对x ，y 的偏导数．若(,)u x y 和(,)v x y 都可微，则称()f z 作为两个实变量x ，y 的二元实变复值函数实可微．再令z x iy =+，由于1()2x z z =+，1()2y z z i=-，因此，()(,)(,)f z u x y iv x y =+也可形式上视为两个独立复变量z ，z 的二元函数，具体来讲，将f 视为()(,)(,)f x iy u x y iv x y +=+与1()2x z z =+和1()2y z z i=- 复合而成的复合函数（可见单复变函数可以看成一个多复变函数），类似于数学分析中的复合函数求导的链式法则，有1()2z f f f f i z x y ∆∂∂∂==-∂∂∂，1()2z f f f f i x y z ∆∂∂∂==+∂∂∂ ┈┈┈┈┈┈┈ （Ⅱ） 将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得将（Ⅱ）中两式相加、相减得z z f f f x ∂=+∂，1()z z f f f x i∂=-∂． 问题：若复变函数()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+定义在区域D 内，点z x iy D =+∈，则 （１）函数()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+在点z x iy D =+∈实可微是否能用下面的关系刻画：()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+在点z x iy D =+∈实可微 ⇔0()f f f x y z x y∂∂∆=∆+∆+∆∂∂，其中z x i y ∆=∆+∆． （２）()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+在点z x iy D =+∈实可微与()f z 在点z x iy =+可微有何关系？（３）若()f z 在点z x iy =+可微，则()f z '与f x∂∂有何关系？ （４）若()f z 在点z x iy =+可微，则(,)u x y 和(,)v x y 满足的Ｃ．Ｒ．条件与z f 有何关系？（５）若()f z 在点z x iy =+可微，则()f z '与z f 有何关系？（６）请用()f z 的实可微以及z f 所满足的关系，再建立一类判断复变函数()f z 可微和解析的判别方法．（７）利用（６）中你建立的方法，再讨论函数22()f z x iy =+和2()f z z =可微性和解析性，并求他们在可微点处的导数．。
复变函数第2章
By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。
.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。
)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。
复变函数第2章
18
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:
当点沿平行于实轴的方 向(y 0)而使z 0时,
6
y f f ( z z ) f ( z ) lim 0, lim lim x 0 x i y z 0 z z 0 z y 0
当点沿平行于虚轴的方 向(x 0)而使z 0时,
注意 e z 没有幂的意义, 只是代替 exp z 的符号.
（2） 加法定理 exp z1 exp z2 exp(z1 z2 )
27
(3 ) exp z 的周期性
exp z 的周期是2ki ,
即 e z 2 ki e z e 2 ki e z . (其中k为任何整数) 该性质是实变指数函数 e x所没有的.
2 2
u u v v 2 x, 2 y, 2 y , 2 x . x y x y
仅当 x 0 时, 满足柯西－黎曼方程,
故函数 w z 2 仅在直线 x 0 上可导,
在复平面内不解析 .
22
( 2) sin z sin x cosh y i cos x sinh y , u sin x cosh y , v cos x sinh y ,
y 1 f f ( z z ) f ( z ) lim , lim lim y 0 x i y z 0 z z 0 i z x 0
复变函数PPT第二章
(3) w z Re z.
解: (1) w z 2 x2 y2 , u x2 y2 , v 0,
u 2x, u 2 y, v 0, v 0.
x
y
x
y
z 偏导数在复平面上处处连续，但只在 =0满足C－R方程，
故函数 w z 2仅在 z 0 处可导, 且 f (z) 0．
在复平面内处处不解析.
x x y y 故 u v u v 0,
x y y x 所以 u 常数, v 常数,
因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
参照以上例题可进一步证明:
如果 f (z) 在区域 D内解析, 则以下条件彼此等价.
(1) f (z)为常数;
(2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
(2) f (z) e x (cos y i sin y) 指数函数 u e x cos y, v e x sin y,
u e x cos y, u e x sin y,
x
y
四个偏导数均连续
v e x sin y, v e x cos y,
x
y
且 u v , u v . x y y x
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (6) Im[ f (z)] 常数;
(7) v u2;
(8) arg f (z) 常数.
(9) au bv c（a，b，c为不全为零的实常数）.
思考题
(1)复变函数 f (z) 在点z0 可导与在z0 解析有无区别? (2)用柯西－黎曼条件判断f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
6z6 10z4 z2 6z 1 . (z2 1)2
(word完整版)复变函数教案第二章
章节名称：第二章 解析函数 学时安排：4学时教学要求：使学生熟悉复变函数导数与解析函数的概念；掌握判断复变函数可导与解析的方法;熟悉复变量初等函数的定义和主要性质教学内容：1，复变函数导数与解析函数的概念以及可导与解析的判别方法;2，复变初等函数定义及其主要性质教学重点：复变函数的导数与解析函数等基本概念，判断复变函数可导与解析的方法；复变量初等函数的定义和主要性质教学难点:函数解析的概念及判定方法 教学手段：课堂讲授 教学过程：一、第二章 解析函数 §1、解析函数的概念 1，复变函数的导数与微分： (1)导数的定义；设函数)(z f =ω定义在区域D 内,0z 为D 中的一点，点z z ∆+0不出D 的范围。
如果极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim000存在，那么就说)(z f =ω在0z 可导。
这个极限值称为)(z f =ω在0z 的导数，记作zz f z z f dzd z f z z z ∆-∆+==→∆=)()(lim)(0000'0ω注意：1）定义中的)0(00→∆→∆+z z z z 即的方向是任意的；2）如果)(z f =ω在区域D 内处处可导,就说)(z f =ω在D 内可导。
例1，求2)(z z f =的导数解 因为=∆-∆+→∆zz f z z f z )()(lim 0z z z z z z z z z 2)2(lim )(lim0220=∆+=∆-∆+→∆→∆ 所以 z z f 2)('= 思考题，问yi x z f 2)(+=是否可导？ （2）可导与连续1）连续不一定可导。
（解答上述思考题可得这一结论） 2）可导一定连续。
由函数)(z f =ω在0z 可导，则zz f z z f z f z ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'即对于任给的0>ε，相应有一个0>δ,使得当δ<∆<z 0时，有ε<-∆-∆+)()()(0'00z f zz f z z f令 )()()()(0'00z f zz f z z f z -∆-∆+=∆ρ那么 0)(lim 0=∆→∆z z ρ 由此得z z z z f z f z z f ∆∆+∆=-∆+)()()()(0'00ρ所以 )()(lim 000z f z z f z =∆+→∆即函数)(z f =ω在0z 连续。
复变函数 第二章 解析函数
例4 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1)w z; (2)w x3 y3 i(2x2 y 2 )
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v 0 x u 0 u v y v x y 1 y
故 w z在 全 平 面 不 可 导 ， 不 析 。 解
形如w u( x, y) iv( x, y)的解析函数，写成 f ( z)的形式时， w
w y 3x y i( x 3xy )
3 2 3
作业： P66 2, 4,8
(2) z 2, z 4 2
4
2k 2k z r cos i sin n n (k 0,1,...,n 1)
n 1 n
§2 函数解析的充要条件
1. 函数解析的充要条件
2. 例题
一. 函数解析的充要条件
设函数w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点 z x iy可导, 则
2
f ( z) | xy |
例5 设函数f ( z ) x axy by i(cx dxy y )
2 2 2 2
,当常数a, b, c, d取何值时函数在复平面 处处解析？
解：
u x axy by , v cx dxy y
2 2 2
2
u u 2 x ay, ax 2by, x y v v 2cx dy, dx 2 y x y
第二章 解析函数
第一节
解析函数的概念
第二节 函数解析的充要条件
完整版本复变函数学习知识点梳理解读
第一章 :复数与复变函数这一章主假如解说复数和复变函数的有关观点 ,大多数内容与实变函数近似 ,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法 ,其实就是把表示形式变来变去 ,方便和其余的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识 ,加减乘除 ,乘方开方等。
主假如用新的表示方法来解说了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替代成复数 ,因为复数的性质 ,因此平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点 ,一一映照到球面上 ,意义是扩大了复数域和复平面 ,就是多了一个无量远点 ,此刻还不知道有什么意义 ,猜想应当是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标 ,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标 ,因此看起来仿佛是映照在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性同样。
第二章 :分析函数这一章主要介绍分析函数这个观点 ,将实变函数中导数、初等函数等观点移植到复变函数系统中。
一、分析函数的观点介绍复变函数的导数 ,近似于实变二元函数的导数,求导法例与实变函数同样。
所谓的分析函数 ,就是函数到处可导换了个说法 ,并且只合用于复变函数。
而复变函数能够分析的条件就是 : μ对 x 与ν对 y 的偏微分相等且μ对 y 和ν对 x 的偏微分互为相反数 ,这就是柯西黎曼方程。
二、分析函数和调解函数的关系出现了新的观点:调解函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而分析函数的实部函数和虚部函数都是调解函数。
而知足柯西黎曼方程的两个调解函数能够构成一个分析函数 ,而这两个调解函数互为共轭调解函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式同样,可是变量成为复数 ,因此有一些不同的性质。
第三章 :复变函数的积分这一章 ,主假如将实变函数的积分问题,在复变函数这个系统里进行了系统的转化 ,让复变函数有独立的积分系统。
复变函数2 解析函数
u x = 1, u y = 0 , v x = 0 , v y = − 1 ⇒ u x ≠ v y u y ≠ − v x
故 w = z 在复平面内处处不可导, 处处不解析；
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以
u x = 2 x , u y = 0, vx = y , v y = x
f ( z )在z0的某邻域内可导. f ( z )在z 0 解析：
z 0 称为解析点， 否则称为奇点 。
f ( z )在D内处处解析. f ( z )在区域D内解析：
函数在一点解析 ⇒ 在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 解析 ⇔ 可导 . 例如 f (z) =
2
z2
在整个复平面上解析； w = f ( z) = z
证明：f ( z )在D内解析 ⇒
u x = v y , v x = −u y ,
⇒ u xx = v xy , u yy = −v xy ⇒ u xx + u yy = 0. 同样可得 vxx + v yy = 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) = u + iv 不一定是解析函数 . 例如： f ( z ) = z 2 = x 2 − y 2 + i 2 xy 是解析函数，
当且仅当 x = y = 0时, u x = v y , u y = − v x , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例题3 f ( z ) = u + iv是区域D内的解析函数， 且 f ′( z ) ≠ 0
复变函数第二章(1)导数
几何意义:
y
z
v f(z)
z0
O
A lim f ( z )
z z0
x O
意味着：
A u
当z从平面上任一方向、沿任何路径、以任意 方式趋近于 ( z ) e z 在 z 0时极限不存在。
证明: 当 z 沿实轴从
1
0的右方趋于
解： u ( x , y ) x 3 3 xy 2
v( x, y ) 3 x y y
2
3
u x
3x 3 y
2
2
u
v x
6 xy
v y
y
6 xy
2 2
3x 3 y
都是初等函数，在复平
面内处处连续；
针对柯西
v u x y 黎曼方程 在复平面内处处成立 u v y x
D 内，
则 f ( z ) 在 D 内一点 z x iy 可导的充要条件；
（1 u ( x , y ), v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微； ） v u x y （2）在点 ( x , y )满足柯西 黎曼方程 u v y x
f ( z )在
性质： (1)连续函数的四则运算仍然连续(定理2.3)； (2)连续函数的复合函数仍然连续(定理2.4)；
( 3 ) 设 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ), z 0 x 0 iy 0 ,
则 例3
f ( z )在点z0连续 u ( x, y ), v( x, y )在点( x0 , y0 )连续。
例5 解
讨论对数函数
Ln z 的连续性
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 解析函数解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用．本章，我们首先介绍复变函数的极限与连续，并从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质．一、基本要求1．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性．2．熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下：复变函数()f z 在点集E ⊂£上一致连续⇔对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有()()0()n n f z f z n '-→→∞．３．掌握讨论0lim ()z z z Ef z →∈不存在的如下有效方法： 设l 是点集E ⊂£中过0z 的一条曲线（0z 是E 的聚点），1l 和2l 是点集E 中过0z 的两条不同曲线，若0lim ()z z z l f z →∈不存在或01lim ()z z z l f z →∈，02lim ()z z z l f z →∈都存在但极限值不相等，则0lim ()z z z E f z →∈一定不存在．４．能正确地理解复变函数可微（可导）和解析的概念，并弄清下面几种关系： ●可微，解析与连续的关系；●可微与解析两个概念之间的联系和差异；●可微和解析与复变函数的实部、虚部两个二元实函数可微之间的联系和差别．５．熟习复变函数导数和解析的运算法则（如四则运算法则，复合函数的求导法则），能熟练地运用这些法则，并借助一些已知的解析函数来判断某些复变函数的解析性．下面列举的几类具体函数，其可微性和解析性情况希望大家要熟习： ●()f z z =；()f z z =；()Re f z z =；()Im f z z =都在£上处处连续但处处不可微，从而它们都在£上处处不解析． ●2()f z z =；2()Re f z z =在都在£上处处连续但仅在原点0z =可微，从而它们都在£上处处不解析 2()f z z a =-；2()Re ()f z z a =-在都在£上处处连续但仅在一点z a =可微，从而它们都在£上处处不解析．●()f z c ≡（常函数）；多项式函数101()n n n P z a z a z a -=+++L ；指数函数z e ；正弦和余弦函数sin z 和cos z ；双曲正弦和余弦函数cosh z 和sinh z 都在£上解析（即都是整函数，所谓整函数是指在£上解析的函数） ●有理函数101101()n n n m m ma z a z a R zb z b z b --+++=+++L L ；正切、余切、正割和余割函数tan z 、cot z 、sec z 和csc z 都在其自然定义域内解析．６．掌握函数可微和解析的充要条件以及在可微情况下，函数导数用实或虚部的偏导数来计算的计算公式，如函数()f z u iv =+在点z x iy =+可微，则()u v u u v v v u f z i i i i x x x y y x y y∂∂∂∂∂∂∂∂'=+=-=+=-∂∂∂∂∂∂∂∂． 理解柯西—黎曼条件在函数可微或解析中的地位和作用，并能熟练地运用柯西—黎曼条件判别给定的函数的可导性和解析性．７．归纳区域内解析函数为常函数的若干等价条件，并通过这些等价条件的证明初步体会柯西—黎曼条件在讨论解析函数性质中的作用．８．熟练地掌握几类初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数，有理函数，复指数函数，复三角函数，复双曲函数以及这些函数经过有限次的四则运算或函数的复合所得的函数），以及这些函数的主要性质．９．初步了解和掌握研究初等多值解析函数的基本思想和基本方法，了解支点的特点（即动点单独围绕支点变化时，函数值会发生变化）以及支割线的特点（即将函数的定义范围沿支割线割开，能限制动点在割开的定义范围内不可能再围绕各支点变化），并理解它们在将多值函数单值化中的作用．１０．掌握将幅角函数，对数函数，，一般幂函数（包括根式函数w =）以及稍复杂一点的两类多值函数w =w =它们的单值分支函数，并会利用如下已知初值在连续变化的意义下求终值的公式，求满足初值条件要求的单值分支函数在另一指定点处的函数值．下面列举的三个公式是今后常用的已知初值在连续变化意义下求终值的公式：●已知幅角函数的一分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定）)(z f 在某一点0z 的值为0arg z ，则此函数在另一点1z 的值1arg z 要按下面的公式计算：其中C 是此函数的定义范围内，从0z 出发到1z 的一条简单曲线，z C arg ∆表示当动点z 从0z 出发沿C 连续变到1z (方向是从0z 到1z )时， 幅角的连续改变量．●已知多值函数的一分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定）)(z f 在某一点0z 的值为)(0z f , 则此函数在另一点1z 的值)(1z f 可按下面的公式计算: 其中)(arg )(arg )(arg 01z f z f z f C ∆+=，C 是此函数的定义范围内，从0z 出发到1z 一条简单曲线，)(arg z f C ∆表示当动点z 从0z 出发沿C 连续变到1z (方向是从0z 到1z )时，)(z f 的幅角的连续改变量．另外)(arg z f C ∆的值与)(arg 0z f 的取值无关, )(arg 0z f 的取值可相差π2的整数倍．●已知对数类函数Ln ()f z 的某一分支函数)(ln z f 在某一点0z 的值为)(ln 0z f ，则此函数在另一点1z 的值1ln ()f z ， 可用下面的公式计算：其中C 是此函数的定义范围内,从0z 出发到1z 一条简单曲线，)(arg z f C ∆表示当动点z 从0z 出发沿C 连续变到1z (方向是从0z 到1z )时, )(z f 的幅角的连续改变量. )(arg 0z f 是初值)(arg )(ln )(ln 000z f i z f z f +=的虚部．二、问题研究——复变函数的导数表示我们知道复变函数的代数表示可看成两个实变量x ，y 的二元实变复值函数，若(,)u x y 和(,)v x y 的偏导数存在，则类似于二元函数的偏导数的记号，令f u v i x x x ∂∂∂=+∂∂∂，f u v i y y y∂∂∂=+∂∂∂ ┈┈┈┈┈┈┈ （Ⅰ） 分别称为()f z 对x ，y 的偏导数．若(,)u x y 和(,)v x y 都可微，则称()f z 作为两个实变量x ，y 的二元实变复值函数实可微．再令z x iy =+，由于1()2x z z =+，1()2y z z i=-，因此，()(,)(,)f z u x y iv x y =+也可形式上视为两个独立复变量z ，z 的二元函数，具体来讲，将f 视为()(,)(,)f x iy u x y iv x y +=+与1()2x z z =+和1()2y z z i=- 复合而成的复合函数（可见单复变函数可以看成一个多复变函数），类似于数学分析中的复合函数求导的链式法则，有1()2z f f f f i z x y ∆∂∂∂==-∂∂∂，1()2z f f f f i x y z ∆∂∂∂==+∂∂∂ ┈┈┈┈┈┈┈ （Ⅱ） 将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得将（Ⅱ）中两式相加、相减得z z f f f x ∂=+∂，1()z zf f f x i ∂=-∂． 问题：若复变函数()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+定义在区域D 内，点z x iy D =+∈，则 （１）函数()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+在点z x iy D =+∈实可微是否能用下面的关系刻画：()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+在点z x iy D =+∈实可微 ⇔0()f f f x y z x y∂∂∆=∆+∆+∆∂∂，其中z x i y ∆=∆+∆． （２）()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+在点z x iy D =+∈实可微与()f z 在点z x iy =+可微有何关系？（３）若()f z 在点z x iy =+可微，则()f z '与f x∂∂有何关系？ （４）若()f z 在点z x iy =+可微，则(,)u x y 和(,)v x y 满足的Ｃ．Ｒ．条件与z f 有何关系？ （５）若()f z 在点z x iy =+可微，则()f z '与z f 有何关系？（６）请用()f z 的实可微以及z f 所满足的关系，再建立一类判断复变函数()f z 可微和解析的判别方法．（７）利用（６）中你建立的方法，再讨论函数22()f z x iy =+和2()f z z =可微性和解析性，并求他们在可微点处的导数．。