(江苏专用)2020年高考数学二轮复习 专题15解析几何中的综合问题学案
江苏省2020届高考数学二轮复习 专题十五 附加题23题 苏教版
江苏省2020届高考数学（苏教版）二轮复习专题15 附加题23题1江苏高考考试说明中附加题圆锥曲线与方程中抛物线为B级要求，2020年、2020年高考中均没有考查，预测2020年高考中可能会考查；2江苏高考考试说明附加题中对空间向量与立体几何是B级要求，2020年、2020年、2020年高考没有考查，2020年高考考查空间角的概念，求线段的长.预测2020年高考会考查.[典例1]在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过焦点F，且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于D，E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式．[解] (1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px.因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p＝1.因此，抛物线C的标准方程为y2＝2x.(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.(3)法一：设点D 和E 的坐标分别为(x 1， y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0.将x ＝yk＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0， 解得y 1,2＝1±1＋2mk2k.由ME ＝2DM ，知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)， 化简得k 2＝4m，因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 241＋2mk 2k 2＝94(m 2＋4m )． 所以f (m )＝32m 2＋4m (m >0)．法二：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫s 22，s ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22，t ， 由点M (m,0)及ME u u u r ＝2DM u u u u r得12t 2－m ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －s 22，t －0＝2(0－s )． 因此t ＝－2s ，m ＝s 2，所以f (m )＝DE ＝⎝⎛⎭⎪⎫2s 2－s 222＋－2s －s2＝32m 2＋4m (m >0)．本小题主要考查直线、抛物线方程及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力． [演练1](2020·徐州信息卷)过直线x ＝－2上的动点P 作抛物线y 2＝4x 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)若切线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值； (2)求证：直线AB 恒过定点．证明：(1)不妨设A (t 21，2t 1)(t 1>0)，B (t 22，2t 2)(t 2<0)，P (－2，m )． 因为y 2＝4x ，所以当y >0时，y ＝2x ，y ′＝1x，所以k 1＝1t 1.同理k 2＝1t 2.由k 1＝2t 1－m t 21＋2＝1t 1，得t 21－mt 1－2＝0.同理t 22－mt 2－2＝0.所以t 1，t 2是方程t 2－mt －2＝0的两个实数根． 所以t 1t 2＝－2. 所以k 1k 2＝1t 1t 2＝－12为定值． (2)直线AB 的方程为y －2t 1＝2t 2－t 1t 22－t 21(x －t 21)， 即y ＝2t 1＋t 2x ＋2t 1－2t 21t 1＋t 2，即y ＝2t 1＋t 2x ＋2t 1t 2t 1＋t 2，由于t 1t 2＝－2， 所以直线方程化为y ＝2t 1＋t 2(x －2)， 所以直线AB 恒过定点(2,0)．[典例2](2020·泰州期末)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面ABC ⊥平面APC ，AB ＝BC ＝AP ＝PC ＝2，∠ABC ＝∠APC ＝90°.(1)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(2)若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M －PA －C 的余弦值为31111，求BM 的最小值．[解] (1)取AC 中点O ， ∵AB ＝BC ，∴OB ⊥OC . ∵平面ABC ⊥平面APC ， 平面ABC ∩平面APC ＝AC ， ∴OB ⊥平面PAC . ∴OB ⊥OP .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系． ∵AB ＝BC ＝PA ＝2，∴OB ＝OC ＝OP ＝1.从而O (0,0,0)，B (1,0,0)，A (0，－1,0)，C (0,1,0)，P (0,0，1)，∴BC u u u r＝(－1,1,0)，PB u u u r ＝(1,0，－1)，AP u u u r ＝(0,1,1)．设平面PBC 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，由BC u u u r ·n 1＝0，PB u u u r ·n 1＝0得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －z ＝0.取n 1＝(1,1,1)，∴cos 〈AP u u u r ，n 1〉＝AP u u u r·n 1| AP u u u r ||n 1|＝63. 设PA 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AD u u u r ，n 1〉|＝63.∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63. (2)由题意平面PAC 的法向量n 2＝(1,0,0)． 设平面PAM 的法向量为n 3＝(x ，y ，z )，M (m ，n,0)．∵AP u u u r ＝(0,1,1)，AM u u u u r＝(m ，n ＋1,0)，又∵AP u u u r ·n 3＝0，AM u u u u r·n 3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，mx ＋n ＋1y ＝0，取n 3＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1m ，－1，1.∴cos 〈n 2，n 3〉＝n 2·n 3|n 2||n 3|＝n ＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1m 2＋2＝31111.∴⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1m 2＝9.∴n ＋1＝3m 或n ＋1＝－3m (舍去)．∴AM u u u u r＝(m,3m,0)． 又AB u u u r＝(1,1,0)，∴cos 〈AM u u u u r ，AB u u u r 〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ，3m ，0·1，1，010m 2·2＝255. 则sin 〈AM u u u u r ，AB u u u r 〉＝53，∴d ＝AB ·55＝105. ∴B 点到AM 的最小值为垂直距离d ＝105.考查空间向量在立体几何中的应用，求出平面的法向量是解题的关键． [演练2](2020·苏北四市二模)在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 的中点，点P 在平面A 1B 1C 1D 1中，D 1P ⊥平面PCE .(1)试求：线段D 1P 的长；(2)直线DE 与平面PCE 所成角的正弦值．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，E (2,1,0)，C (0,2,0)．设P (x ，y,2)，则1D P u u u u r＝(x ，y,0)， EP u u u r＝(x －2，y －1,2)， EC u u u r＝(－2,1,0)．因为D 1P ⊥平面PCE ，所以D 1P ⊥EP .D 1P ⊥EC .所以1D P u u u u r ·EP u u u r ＝0，1D P u u u u r ·EC u u u r＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x x －2＋y y －1＝0，－2x ＋y ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝85.即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85，2，所以1D P u u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85，0，所以D 1P ＝1625＋6425＝455.(2)由(1)知，DE u u u r＝(2,1,0)，1D P u u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85，0，1D P u u u u r ⊥平面PEC ，设DE 与平面PEC 所成角为θ，1D P u u u u r 与DE u u u r 所成角为α，则sin θ＝|cos α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1D P u u u u r ·DE u u u r | 1D P u u u u r ||DE u u u r |＝1655·8025＝45. 所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为45.[专题技法归纳](1)抛物线与直线的位置关系中重点考查顶点在原点的抛物线与过焦点的直线的位置关系，熟练掌握抛物线的几何性质，利用几何性质解决问题较为简单；(2)空间向量与立体几何主要考查向量的坐标表示、向量运算、平面的法向量、空间角及距离的计算．对于点的位置的探索问题，可以利用向量共线定理设元确定．1.(2020·苏北四市三模)在三棱锥S —ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点，侧棱SA 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SA 上一点，当SD DA为何值时，BD ⊥AC ； (2) 求二面角S —AC —B 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系．因为△ABC 是边长为23的正三角形，又SA 与底面所成角为45°，所以∠SAO ＝45°.所以SO ＝AO ＝3.所以O (0,0,0)，C (3，0,0)，A (0,3,0)，S (0,0,3)，B (－3，0，0)．(1)设AD ＝a ，则D ⎝⎛⎭⎪⎫0，3－22a ，22a ，所以BD u u u r ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，3－22a ，22a ，AC u u u r ＝(3，－3,0)．若BD ⊥AC ，则BD u u u r ·AC u u u r ＝3－3⎝⎛⎭⎪⎫3－22a ＝0，解得a ＝22，而AS ＝32，所以SD ＝ 2.所以SD DA ＝222＝12.(2)因为AS u u u r ＝(0，－3,3)，BC u u u r＝(23，0,0)．设平面ACS 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·AC u u u r＝x ，y ，z ·3，－3，0＝3x －3y ＝0，n 1·AS u u u r＝x ，y ，z ·0，－3，3＝－3y ＋3z ＝0，令z ＝1，则x ＝3，y ＝1，所以n 1＝(3，1,1)． 而平面ABC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋32·1＝15，显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55. 2.(2020·镇江5月)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .(1)若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； (2)若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以DA u u u r ，DC u u u r ，1DD u u u ur 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .则A (1,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，12， 于是DE u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，12，1CD u u u u r＝(0，－1,1)．由cos 〈DE u u u r ，1CD u u u u r 〉＝DE u u u r ·1CD u u u u r| DE u u ur |·| 1CD u u u u r |＝36. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. (2)设平面CD 1O 的向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO u u u r ＝0，m ·1CD u u u u r＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12x 1－12y 1＝0，－y 1＋z 1＝0，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m ＝(1,1,1)． 由D 1E ＝λEO ，则E ⎝⎛⎭⎪⎫λ21＋λ，λ21＋λ，11＋λ，DE u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ21＋λ，λ21＋λ，11＋λ.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD u u u r＝0，n ·DE u u u r ＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝0，λx 221＋λ＋λy 221＋λ＋z 21＋λ＝0，取x 2＝2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2,0，λ)．因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以m ·n ＝0，得λ＝2.3.(2020·南通密卷)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足1A P u u u r ＝λ11A B u u u u r.(1)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？(2)若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，试确定点P 的位置． 解：(1)以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P (λ，0,1)，则PN u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1， 平面ABC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，则sin θ＝|cos 〈PN u u u r ，n 〉|＝|PN u u u r·n || PN u u u r ||n |＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋54.于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，当θ最大时，sin θ最大，所以当λ＝12时，sin θ最大，θ也最大．(2)已知给出了平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，即可得到平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA u u u r ＝(0,0,1)，设平面PMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，MP u u u r ＝⎝⎛⎭⎪⎫λ，－1，12.由⎩⎨⎧m ·NP u u u r＝0，m ·MP u u u r＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12x －12y ＋z ＝0，λx －y ＋12z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2λ＋13x ，z ＝21－λ3x .令x ＝3，得m ＝(3,2λ＋1,2(1－λ))，于是由 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n|＝|21－λ|9＋2λ＋12＋41－λ2＝22，解得λ＝－12， 故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12.4．(2020·泰州期末)对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C 经过两点A (a,2a )，B (4a,4a )(其中a 为正常数)．(1)求抛物线C 的方程；(2)设动点T (m,0)(m >a )，直线AT ，BT 与抛物线C 的另一个交点分别为A 1，B 1，当m 变化时，记所有直线A 1B 1组成的集合为M ，求证：集合M 中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．解：(1)当抛物线焦点在x 轴上时， 设抛物线方程y 2＝2px ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝2pa ，16a 2＝8pa ，∴p ＝2a .∴y 2＝4ax .当抛物线焦点在y 轴上时，设抛物线方程x 2＝2py ，∵⎩⎪⎨⎪⎧16a 2＝8pa ，a 2＝4pa ，方程无解，∴抛物线不存在．综上抛物线C 的方程为y 2＝4ax .(2)设A 1(as 2,2as )，B 1(at 2,2at )，T (m,0)(m >a )． ∵k TA ＝kTA 1，∴2a a －m ＝2asas 2－m， ∴as 2＋(m －a )s －m ＝0.∵(as ＋m )(s －1)＝0，∴s ＝－m a ，∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2a ，－2m .∵k TB ＝kTB 1，∴4a 4a －m ＝2atat 2－m.∵2at 2＋(m －4a )t －2m ＝0，∴(2at ＋m )(t －2)＝0.∴t ＝－m 2a .∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24a ，－m .∴直线A 1B 1的方程为y ＋2m ＝－2m ＋m m 2a －m 24a⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2a .∵直线的斜率为－4a3m 在(a ，＋∞)单调，∴集合M 中的直线必定相交．∵直线的横截距为－m 22a 在(a ，＋∞)单调，纵截距为－2m 3在(a ，＋∞)单调， ∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上． 5．(2020·常州)已知斜率为k (k ≠0)的直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且交抛物线于A ，B 两点．设线段AB 的中点为M .(1)求点M 的轨迹方程；(2)若－2<k <－1时，点M 到直线l ′：3x ＋4y －m ＝0(m 为常数，m <13)的距离总不小于15，求m 的取值范围．解：(1)焦点F (1,0)，直线AB 方程为y ＝k (x －1)，因为k ≠0，所以x ＝yk＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y k＋1，y 2＝4x 得y 2－4ky －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，显然Δ>0恒成立，则y 0＝y 1＋y 22＝2k . 又x 0＝y 0k ＋1，消去k ，得y 20＝2(x 0－1)，所以点M 的轨迹方程为y 2＝2(x －1)．(2)由(1)知，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1，2k . 因为m <13，所以d ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 2＋8k －m ＋3＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋8k －m ＋3. 由题意，得15⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋8k －m ＋3≥15，m ≤6k 2＋8k ＋2对－2<k <－1恒成立． 因为－2<k <－1时，6k 2＋8k ＋2的最小值是－23， 所以m ≤－23. 6．(2020·南通密卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线x 2＝4y 上有两个动点A ，B ，且满足AF u u u r ＝λFB u u u r ， 过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M .(1)求：OA u u u r ·OB u u u r 的值；(2)证明：FM u u u u r ·AB u u u r 为定值．解：(1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，∵焦点F (0,1)，∴AF u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1，1－x 214，FB u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224－1. ∵AF u u u r ＝λFB u u u r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＝λx 2，1－x 214＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224－1，消λ，得x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224－1＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝0. 化简整理得(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋1＝0. ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＝－4.∴y 1y 2＝x 214·x 224＝1. ∴OA u u u r ·OB u u u r ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.(2)证明：抛物线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝12x . ∴过抛物线A ，B 两点的切线方程分别为y ＝12x 1(x －x 1)＋x 214和y ＝12x 2(x －x 2)＋x 224， 即y ＝12x 1x －x 214和y ＝12x 2x －x 224. 联立解出两切线交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－1. ∴FM u u u u r ·AB u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－2·⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 1，x 22－x 214 ＝x 22－x 212－x 22－x 212＝0(定值).7.(2020·淮阴联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,1)，P是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k PA .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ u u u r ＝λOA u u u r ，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA ＝2S△PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)设点P (x ，y )为所求轨迹上的任意一点，则由k OP ＋k OA ＝k PA得，y x ＋1－1＝y －1x ＋1，整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1)． (2)设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)， 由PQ u u u r ＝λOA u u u r 可知直线PQ ∥OA ，则k PQ ＝k OA ，故x 22－x 21x 2－x 1＝1－0－1－0，即x 2＝－x 1－1. 直线OP 方程为y ＝x 1x .①直线QA 的斜率为－x 1－12－1－x 1－1＋1＝－x 1－2， ∴直线QA 方程为y －1＝(－x 1－2)(x ＋1)，即y ＝－(x 1＋2)x －x 1－1.②联立①②，得x ＝－12，∴点M 的横坐标为定值－12. 由S △PQA ＝2S △PAM ，得到QA ＝2AM ，因为PQ ∥OA ，所以OP ＝2OM ， 由PO u u u r ＝2 OM u u u u r ，得x 1＝1，∴P 的坐标为(1,1)．∴存在点P 满足S △PQA ＝2S △PAM ，P 的坐标为(1,1)．8.(2020·徐州一模)如图，过抛物线C ：y 2＝4x 上一点P (1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求y 1＋y 2的值；(2)若y 1≥0，y 2≥0，求△PAB 面积的最大值．解：(1)因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线C ： y 2＝4x 上，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2， k PA ＝y 1＋2y 214－1＝4y 1＋2y 21－4＝4y 1－2， 同理k PB ＝4y 2－2，依题有k PA ＝－k PB ， 所以4y 1－2＝－4y 2－2，即y 1＋y 2＝4. (2)由(1)知k AB ＝y 2－y 1y 224－y 214＝1，设AB 的方程为 y －y 1＝x －y 214，即x －y ＋y 1－y 214＝0， P 到AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142，AB ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 214－y 224＝2|y 1－y 2|＝22|2－y 1|， 所以S △PAB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142×22|2－y 1|＝14|y 21－4y 1－12||y 1－2| ＝14|(y 1－2)2－16||y 1－2|， 令y 1－2＝t ，由y 1＋y 2＝4，y 1≥0，y 2≥0，可知－2≤t ≤2.S △PAB ＝14|t 3－16t |， 因为S △PAB ＝14|t 3－16t |为偶函数，只考虑0≤t ≤2的情况， 记f (t )＝|t 3－16t |＝16t －t 3，f ′(t )＝16－3t 2>0，故f (t )在[0,2]是单调增函数，故f (t )的最大值为f (2)＝24，故S △PAB 的最大值为6.。
高三数学第二轮复习教案——解析几何
2020年高三数学第二轮复习教案——解析几何（4课时）一、考试内容回顾2009年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为26.9分，占17．9％；近几年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。
选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平面几何知识和向量的方法．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化二、高考大纲要求(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程。
(二)圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4．了解圆锥曲线的初步应用。
三、复习目标1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.四、基础知识再现(一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+bya x ；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(三)线性规划问题1．线性规划问题涉及如下概念：⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解. 2．线性规划问题有以下基本定理：⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题 1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+. 2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）； 当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形. (四)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ac e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即ca y 2±=.(六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan ab=； ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为x a by ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式： k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有ac e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
(江苏专用)2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何教学案
专题三 解析几何[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.直线与圆、圆与圆的位置关系(5年4考)2.圆锥曲线的方程及几何性质(5年5考)本单元主要考查直线与椭圆(2020年、2020年、2020年、2020年)的位置关系、弦长问题、面积问题等；有时考查直线与圆(如2020年)，经常与向量结合在一起命题．偶考点 直线的方程、圆的方程第一讲 | 小题考法——解析几何中的基本问题考点(一) 直线、圆的方程主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.[题组练透]1．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．解析：法一：由题意可设P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥2 2x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.法二：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，由y ＝x ＋4x 得y ′＝1－4x 2，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴ P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x(x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.答案：42．(2020·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为________．解析：法一：根据圆经过点A (1，3)，B (4，6)，知圆心在线段AB 的垂直平分线上，由点A (1，3)，B (4，6)，知线段AB的垂直平分线方程为x ＋y －7＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －1＝0，x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即圆心坐标为(5，2)，所以圆的半径r ＝（5－1）2＋（2－3）2＝17，故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －2)2＝17.法二：因为圆心在直线x －2y －1＝0上，所以圆心坐标可设为(2a ＋1，a )，又圆经过点A (1，3)，B (4，6)，所以圆的半径 r ＝（2a ＋1－1）2＋（a －3）2＝（2a ＋1－4）2＋（a －6）2，解得a ＝2，所以r ＝17，故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －2)2＝17.法三：设圆心的坐标为(a ，b )，半径为r (r ＞0)，因为圆心在直线x －2y －1＝0上，且圆经过点A (1，3)，B (4，6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2b －1＝0，（a －1）2＋（b －3）2＝（a －4）2＋（b －62）＝r 2， 得a ＝5，b ＝2，r ＝17，故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －2)2＝17. 答案：(x －5)2＋(y －2)2＝173．(2020·扬州期末)若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为________．解析：法一：若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则有m 1＝－4－2≠34，求得m ＝2，故两平行直线l 1，l 2间的距离为|8－3|22＋（－4）2＝52. 法二：若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则有m 1＝－4－2≠34，求得m ＝2，所以直线l 2：2x －4y ＋3＝0，在l 1：x －2y ＋4＝0上取一点(0，2)，则两平行直线l 1，l 2间的距离就是点(0，2)到直线l 2的距离，即|0－4×2＋3|22＋（－4）2＝52. 答案：52[方法技巧]1．求直线方程的两种方法 直接法 选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果 待定 系数法先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数2．圆的方程的两种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.[典例感悟][典例] (1)(2020·无锡期末)过圆O ：x 2＋y 2＝16内一点P (－2，3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________．(2)(2020·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4，0)，B (0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．[解析] (1)设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 21＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，d 22＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝r 2－d 21＝16－132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB ×CD ＝12×38×38＝19. (2)法一(几何法)：因为A (－4，0)，B (0，4)，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以PC 的方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD 的方程为x 2x ＋y 2y＝4，将P (a ，a ＋4)分别代入PC ，PD的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋（a ＋4）y 1＝4，ax 2＋（a ＋4）y 2＝4，则直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，4－4y ＝0，所以直线CD 过定点N (－1，1)，又因为OM ⊥CD ，所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点)．又因为以ON 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，因为A 在该圆外，所以AM 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2.法二(参数法)：同法一可知直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，得a ＝4－4y x ＋y .又因为O ，P ，M 三点共线，所以ay －(a ＋4)x ＝0，得a ＝4x y －x .因为a ＝4－4y x ＋y ＝4xy －x，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12(除去原点)，因为A 在该圆外，所以AM 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2. [答案] (1)19 (2)3 2[方法技巧]解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．[演练冲关]1．(2020·南通、泰州等七市一模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P (m ，0)的直线l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x －m )(k ≠0)，圆心O ，C 到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则由直线l 与圆O 相交得d 1＝|km |k 2＋1＜1，得m 2＜1＋1k 2.由直线l 被两圆截得的弦长相等得1－d 21＝4－d 22，则d 22－d 21＝3，即（4k －km ）2k 2＋1－k 2m2k 2＋1＝3，化简得m ＝138－38k 2，则m ＜138－38(m 2－1)，即3m 2＋8m －16＜0，所以－4＜m ＜43.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－4，43 2．(2020·南京盐城一模)设M ＝{(x ，y )|3x ＋4y ≥7}，点P ∈M ，过点P 引圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)的两条切线PA ，PB (A ，B 均为切点)，若∠APB 的最大值为π3，则r 的值为________．解析：由题意知点P 位于直线3x ＋4y －7＝0上或其上方，记圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)的圆心为C ，则C (－1，0)，C 到直线3x ＋4y －7＝0的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2，连接PC ，则PC ≥2.设∠APB ＝θ，则sin θ2＝r PC ，因为θmax ＝π3，所以⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2max ＝r PC min ＝r 2＝12，所以r ＝1.答案：13．(2020·苏北三市一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0(m ∈R )与以C 2(－2，3)为圆心的圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足x 21－x 22＝y 22－y 21，则实数m 的值为________．解析：由题意得C 1(－m ，2m ＋3)，C 2(－2，3)．由x 21－x 22＝y 22－y 21，得x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即OA ＝OB ，所以△OAB 为等腰三角形，所以线段AB 的垂直平分线经过原点O ，又相交两圆的圆心连线垂直平分公共弦AB ，所以两圆的圆心连线C 1C 2过原点O ，所以OC 1∥OC 2，所以－3m ＝－2(2m ＋3),解得m ＝－6.答案：－64．(2020·常州期末)过原点O 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为________．解析：易知A (－1，0)．因为PQ 是圆O 的直径，所以AP ⊥AQ .以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，则AN ⊥NQ ，所以k AN ＝－1k NQ＝－1k PO，又直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，所以k AN k AP ＝1，所以k AP ＝－k PO ，所以∠OAP ＝∠AOP ，所以点P 为OA 的垂直平分线与圆O 的交点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±32，所以直线l 的方程为y ＝±3x .答案：y ＝±3x5．(2020·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上的两个动点，且AB ＝211.若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，则实数a 的值为________．解析：法一：设AB 的中点为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，则由AB ＝211，得CM ＝16－11＝5，即点M 的轨迹为(x 0＋4)2＋(y 0－a )2＝5.又因为PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，所以PM ―→＝12OC ―→，即(x 0－x ，y 0－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，a 2，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －2，y 0＝y ＋a 2，则动点P 的轨迹方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝5，又因为直线l 上存在唯一的一个点P ，所以直线l 和动点P 的轨迹(圆)相切，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4－a 222＋（－1）2＝5，解得a ＝2或a ＝－18.法二：由题意，圆心C 到直线AB 的距离d ＝16－11＝5，则AB 中点M 的轨迹方程为(x ＋4)2＋(y －a )2＝5.由PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，得2PM ―→＝OC ―→，所以PM ―→∥OC ―→.如图，连结CM 并延长交l 于点N ，则CN ＝2CM ＝2 5.故问题转化为直线l 上存在唯一的一个点N ，使得CN ＝25，所以点C 到直线l 的距离为|2×（－4）－a |22＋（－1）2＝25，解得a ＝2或a ＝－18. 答案：2或－18考点(三)圆锥曲线的方程及几何性质主要考查三种圆锥曲线的定义、方程及几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的几何性质为主.[题组练透]1．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3，4)，所以9－16b2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x2．(2020·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为______．解析：由题意，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由双曲线的一条渐近线过点(－3，1)，得－a b ＝－13，可得9a 2＝b 2＝c 2－a 2，得10a 2＝c 2，所以可得该双曲线的离心率e＝c a＝10.答案：103．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 故四边形F 1PF 2Q 的面积是 12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3. 答案：234.(2020·南通、扬州等七市一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y2＝2px (p ＞0)的准线为l ，直线l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为直线，l ：x ＝－p2，不妨令A 点在第二象限，则直线l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线y ＝±12x 分别交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，p 4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p 4，则AB＝p2＝6，p ＝2 6.答案：2 6[方法技巧]应用圆锥曲线的性质的两个注意点(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0； (3)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．直线与圆相交 (1)几何法由弦心距d 、半径r 和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长AB ＝2r 2－d 2. (2)代数法设直线y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交于点M ，N ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线方程代入圆方程中，消去y 得关于x 的一元二次方程，求出x 1＋x 2和x 1·x 2，则MN ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2. 3．判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O 1O 2与两圆半径R ，r (R >r )的关系来判断两圆位置关系． (1)外离：O 1O 2>R ＋r ； (2)外切：O 1O 2＝R ＋r ； (3)相交：R －r <O 1O 2<R ＋r ； (4)内切：O 1O 2＝R －r ； (5)内含：0≤O 1O 2<R －r .4．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．(二) 二级结论要用好1．过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2.过圆C 外一点P 做圆C 的切线，切点分别为A ，B (求切线时要注意斜率不存在的情况)如图所示，则(1)P ，B ，C ，A 四点共圆，且该圆的直径为PC ； (2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成； (3)cos ∠BCA 2＝sin ∠BPA 2＝r PC；(4)直线AB 的方程可以转化为圆C 与以PC 为直径的圆的公共弦，且P (x 0，y 0)时，直线AB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.3．椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)．(1)三角形的三个边长是PF 1＝a ＋ex 0，PF 2＝a －ex 0，F 1F 2＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .4．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S ＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b 2tanθ2(其中PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，PF 1＝ex 0＋a ·PF 2＝ex 0－a ；若P 在左支上，PF 1＝－ex 0－a ，PF 2＝－ex 0＋a .5．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的3个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2； (3)AB ＝x A ＋x B ＋p .[课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________．解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1. 答案：12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22＋（5）2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝93．(2020·无锡期末)以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．解析：由题可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，双曲线中，c ＝5＋4＝3，所以双曲线的右焦点的坐标为(3，0)，则抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以p2＝3，p ＝6，所以抛物线的标准方程为y 2＝12x .答案：y 2＝12x4．已知直线l 过点P (1，2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________．解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，即kx －y －k ＋2＝0.因为S△ABC＝12CA ·CB ·sin ∠ACB ＝1，所以12×2×2×sin ∠ACB ＝1，所以sin ∠ACB ＝1，即∠ACB ＝90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线方程为3x －4y ＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.答案：3x －4y ＋5＝0或x ＝15．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围为________．解析：由题意知，过点A 的两直线与圆M 相切时，夹角最大，当∠BAC ＝60°时，|MA |＝|MB |sin ∠BAM ＝2sin 30°＝4.设A (x ，6－x )，所以(x －1)2＋(6－x －1)2＝16，解得x ＝1或x＝5，因此点A 的横坐标的取值范围为[1，5]．答案：[1，5]6．(2020·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴的对称圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx ＋y ＋3＝0的距离d ＝|2k －2＋3|k 2＋1≤1，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值为－43.答案：－437．(2020·南京四校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，半径为1的圆M 的圆心M 在线段CD ：y ＝x －4(m ≤x ≤n ，m ＜n )上移动，过圆O 上一点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，且满足∠APB ＝60°，则n －m 的最小值为________．解析：设M (a ，a －4)(m ≤a ≤n )，则圆M 的方程为(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.连接MP ，MB ，则MB ＝1，PB ⊥MB .因为∠APB ＝ 60°，所以∠MPB ＝30°，所以MP ＝2MB ＝2，所以点P 在以M 为圆心，2为半径的圆上，连接OM ，又点P 在圆O 上，所以点P 为圆x 2＋y 2＝1与圆(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝4的公共点，所以2－1≤OM ≤2＋1，即1≤a 2＋（a －4）2≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－8a ＋15≥0，2a 2－8a ＋7≤0，解得2－22≤a ≤2＋22.所以n ≥2＋22，m ≤2－22，所以n －m ≥ 2.答案： 28．(2020·南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．解析：设点P (x 0，y 0)，则直线PA 的方程为y ＝y 0x 0＋1(x ＋1), 在y 轴上的截距为y 0x 0＋1，同理可得直线PB 在y 轴上的截距为－5y 0x 0－5，由直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，得－5y 0x 0－5×y 0x 0＋1＝5，化简，得(x 0－2)2＋y 20＝9(y 0≠0)，所以点P 的轨迹是以C (2，0)为圆心，3为半径的圆(点A (－1，0)，B (5，0)除外)，由题意知点P 的轨迹与圆M 恰有一个公共点，若A ，B 均不在圆M 上，因此圆心距等于半径之和或差，则22＋m 2＝5，解得m ＝±21；或22＋m2＝1，无解．若A 或B 在圆M 上，易得m ＝±3，经检验成立．所以m 的值为±21或± 3.答案：±21或± 39．(2020·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0，得圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝4，所以圆心C (0，3)，半径r ＝2.因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线bx ±ay ＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即|b ×0±a ×3|b 2＋a2>2，即3a >2c ，即e ＝c a <32，又e >1，故双曲线离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________．解析：设∠PCA ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以PQ ＝22sin θ.又cos θ＝2AC ，AC ∈[3，＋∞)，所以cos θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23，所以cos 2θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，29，sin 2θ＝1－cos 2θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫79，1，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，1，所以PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，2211．(2020·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 是⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点．当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x －3y －5＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是________． 解析：因为MN 是⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点，所以PC ＝22r ＝1，点P 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1.圆心C 到直线l ：x －3y －5＝0的距离为|1－3×2－5|12＋（－3）2＝10.因为直线l 上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，所以AB min＝210＋2.答案：210＋212．(2020·苏锡常镇调研)已知直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．解析：法一：由AB ⊥BP ，得点B 在以AP 为直径的圆D 上，所以圆D 与圆C 相切． 由题意得A (－2，0)，C (2，0)．若圆D 与圆C 外切，则DC －DA ＝2；若圆D 与圆C 内切，则DA －DC ＝ 2.所以圆心D 在以A ，C 为焦点的双曲线x 212－y 272＝1上，即14x 2－2y 2＝7.又点D 在直线l 上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，14x 2－2y 2＝7，得12x 2－8x －15＝0，解得x D ＝32或x D ＝－56.所以x P ＝2x D －x A ＝2x D ＋2＝5或x P ＝13.法二：由题意可得A (－2，0)，设P (a ，a ＋2)，则AP 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22，AP ＝2（a ＋2）2，故以AP 为直径的圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a ＋222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|22.由题意得圆C 与圆M 相切(内切和外切)，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋222＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2±|a ＋2|2，解得a ＝13或a ＝5.故点P 的横坐标的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，5. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，513．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A ，B 两点．若△FAB的周长最大时，△FAB 的面积为ab ，则椭圆的离心率为________．解析：设直线x ＝m 与x 轴交于点H ，椭圆的右焦点为F 1，由椭圆的对称性可知△FAB 的周长为2(FA ＋AH )＝2(2a －F 1A ＋AH )，因为F 1A ≥AH ，故当F 1A ＝AH 时，△FAB 的周长最大，此时直线AB 经过右焦点，从而点A ，B 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以△FAB 的面积为12·2c ·2b 2a ，由条件得12·2c ·2b 2a ＝ab ，即b 2＋c 2＝2bc ，b ＝c ，从而椭圆的离心率为e ＝22. 答案：2214．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为________．解析：因为A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上，且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→|.因为点P是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH ―→|≤5＋32，即72≤|PH ―→|≤132，所以7≤2|PH ―→|≤13，从而|PA ―→＋PB ―→|的取值范围是[7，13]． 答案：[7，13]B 组——力争难度小题1．(2020·苏锡常镇四市一模)若直线l ：ax ＋y －4a ＝0上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：根据题意得，圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点C ，使得点C 到直线l 的距离为1，那么圆心O 到直线l 的距离不大于2，即|4a |1＋a2≤2，解得－33≤a ≤33，于是a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 法二：因为△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，所以点C 在以AB 为直径的圆上，记圆心为M ，半径为1，且CM ⊥直线l ，又点C 也在圆O ：x 2＋y 2＝1上，所以C 是两圆的交点，即OM ≤2，所以d OM ＝|4a |1＋a2≤2，解得－33≤a ≤33，于是a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 2．(2020·全国卷 Ⅰ )已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a ，0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. 答案：2333．(2020·江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k )2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当|PQ |最小时，k ＝________．解析：由题意得，圆C 1与圆C 2外离，如图．因为PQ 为切线，所以PQ ⊥C 2Q ，由勾股定理，得|PQ |＝|PC 2|2－1，要使|PQ |最小，则需|PC 2|最小．显然当点P 为C 1C 2与圆C 1的交点时，|PC 2|最小，此时，|PC 2|＝|C 1C 2|－1，所以当|C 1C 2|最小时，|PC 2|就最小，|C 1C 2|＝k 2＋（－k ＋4）2＝2（k －2）2＋8≥22，当k ＝2时，|C 1C 2|取最小值，即|PQ |最小． 答案：24．(2020·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若AF ＋BF ＝4OF ，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知AF ＝y 1＋p 2，BF ＝y 2＋p 2，OF ＝p2，由AF ＋BF ＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4OF ＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 5．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．解析：过点C 作CH ⊥l 于H ，因为C 到l 的距离CH ＝32＝322>2＝r ，所以直线l 与圆C相离，故点P 在圆C 外．因为PA ―→·PB ―→＝|PA ―→||PB ―→|cos ∠APB ≤0，所以cos ∠APB ≤0，所以π2≤∠APB <π，圆C 上存在两点A ，B 使得∠APB ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π，由于点P 在圆C 外，故当PA ，PB 都与圆C 相切时，∠APB 最大，此时若∠APB ＝π2，则PC ＝2r ＝22，所以PH ＝PC 2－CH2＝（22）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝142，由对称性可得EF max ＝2PH ＝14.答案：146．设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 为抛物线上第一象限内一点，满足AF ＝2，已知P 为抛物线准线上任一点，当PA ＋PF 取得最小值时，△PAF 外接圆的半径为________．解析：由抛物线的方程x 2＝4y 可知F (0，1)，设A (x 0，y 0)，又由AF ＝2，根据抛物线的定义可知AF ＝y 0＋p2＝y 0＋1＝2，解得y 0＝1，代入抛物线的方程，可得x 0＝2，即A (2，1)．如图，作抛物线的焦点F (0，1)，关于抛物线准线y ＝－1的对称点F 1(0，－3)，连接AF 1交抛物线的准线y ＝－1于点P ，此时能使得PA ＋PF 取得最小值，此时点P 的坐标为(1，－1)，在△PAF 中，AF ＝2，PF ＝PA ＝5，由余弦定理得cos ∠APF ＝（5）2＋（5）2－222×5×5＝35，则sin ∠APF ＝45.设△PAF 的外接圆半径为R ，由正弦定理得2R ＝AFsin ∠APF ＝52，所以R ＝54，即△PAF 外接圆的半径R ＝54.答案：54第二讲 | 大题考法——直线与圆题型(一) 直线与圆的位置关系主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程.[典例感悟][例1] 如图，在Rt △ABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，BC 中点为M (2，0)．(1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与Rt △ABC 的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆方程．[解] (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB 垂直，所以直线AC 的斜率为－3.故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)． 点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，25. 所以BC 所在直线方程为x ＋7y －2＝0.(2)因为Rt △ABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为Rt △ABC 外接圆的圆心． 又AM ＝22，从而Rt △ABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝（a ＋2）2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线m 的方程为(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0. 因为公共弦长为4，⊙M 半径为22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2（4－2a ）＋a 2＋b 2－r 2＋4|2（2－a ）2＋b2＝2， 化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝ （a ＋2）2＋b 2＝ 4a 2＋4. 当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4.[方法技巧]解决有关直线与圆位置关系的问题的方法(1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用方程．(2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况．(3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组．[演练冲关](2020·连云港模拟)已知圆O 1：x 2＋y 2＝25，点P 在圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0＜r ＜5)上，过点P 作圆O 2的切线交圆O 1于点M ，N 两点，且r ，OM ，MN 成等差数列．(1)求r ；(2)若点P ′的坐标为(－4，3)，与直线MN 平行的直线l 与圆O 2交于A ，B 两点，则使△AOB 的面积为43的直线l 有几条？并说明理由．解：(1)显然圆O 1和圆O 2是圆心在原点的同心圆． 连接OP ，则OP ⊥MN ，OM ＝5，OP ＝r ， 在直角三角形MOP 中，MP ＝52－r 2， 所以MN ＝252－r 2. 由r ，OM ，MN 成等差数列， 得2OM ＝r ＋MN ，即2×5＝r ＋225－r 2，解得r ＝4. (2)因为点P ′的坐标为(－4，3)， 所以k OP ′＝－34，所以直线l 的斜率k ＝43，设直线l 的方程为y ＝43x ＋b ，即4x －3y ＋3b ＝0.设圆心到该直线的距离为d ，则d ＝|3b |5，则AB ＝242－d 2，所以S △AOB ＝12×AB ×d ＝42－d 2×d ＝43，整理得 d 4－16d 2＋48＝0，(d 2－4)(d 2－12)＝0， 解得d ＝2或d ＝2 3 ，因为d ＝|3b |5，从而对应的b 有4个解：b ＝±103或b ＝±1033， 检验知均符合题意，故使△AOB 的面积为43的直线l 有4条.题型(二) 圆中的定点、定值问题主要考查动圆过定点的问题其本质是含参方程恒有解，定值问题是引入参数，再利用其满足的约束条件消去参数得定值.[典例感悟][例2] 已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，直线l ：x －2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB PA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．[解] (1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ， 即2x ＋y －b ＝0. 因为直线与圆C 相切， 所以|－b |22＋12＝3，解得b ＝±3 5.所以所求直线方程为2x ＋y ±35＝0. (2)法一：假设存在这样的点B (t ，0)． 当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3，0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3，0)时，PB PA ＝|t －3|8.依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－95或t ＝－5(舍去)．下面证明点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数．设P (x ，y )，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825·（5x ＋17）2·（5x ＋17）＝925.从而PB PA ＝35为常数．法二：假设存在这样的点B (t ，0)，使得PBPA为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，所以(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)．故存在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35.[方法技巧]关于解决圆中的定点、定值问题的方法(1)与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程．(2)与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明．[演练冲关]1．(2020·无锡天一中学模拟)已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t 为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ，∴半径r ＝OC . ∵OC 2＝t 2＋4t2，∴设圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t ，0)． 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t .∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，r ＝|OC |＝5， 此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2，1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 解：(1)设P (2m ，m )，因为∠APB ＝60°，AM ＝1， 所以MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解得m ＝0或m ＝45，故所求点P 的坐标为P (0，0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (2)易知直线CD 的斜率存在，可设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)， 由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以22＝|－2k －1|1＋k2，解得k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0. (3)设P (2m ，m )，MP 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋1，因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为(x －m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 2－12＝m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－12，化简得x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式， 故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25.题型(三)与直线、圆有关的最值或范围问题主要考查与直线和圆有关的长度、面积的最值或有关参数的取值范围问题.[典例感悟][例3] 已知△ABC 的三个顶点A (－1，0)，B (1，0)，C (3，2)，其外接圆为圆H . (1)若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．[解] (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0. 所以外接圆圆心H (0，3)，半径为12＋32＝10. 圆H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆H 截得的弦长为2，所以d ＝（10）2－1＝3.当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43. 所以直线l 的方程为y －2＝43(x －3)，即4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.(2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )． 因为点M 是线段PN 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2，又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －2）2＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －2）2＝r 2，（x ＋m －6）2＋（y ＋n －4）2＝4r 2. 因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3，2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m ，4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2.又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对任意的m ∈[0，1]成立． 而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0，1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，所以r 2≤325且10≤9r 2.又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对任意的m ∈[0，1]成立，即r 2<325.故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，4105.[方法技巧]1．隐形圆问题有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．2．隐形圆的确定方法(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆； (2)动点P 对两定点A ，B 张角是90°(k PA ·k PB ＝－1)确定隐形圆； (3)两定点A ，B ，动点P 满足PA ―→·PB ―→＝λ确定隐形圆； (4)两定点A ，B ，动点P 满足PA 2＋PB 2是定值确定隐形圆；(5)两定点A ，B ，动点P 满足PA ＝λPB (λ＞0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)； (6)由圆周角的性质确定隐形圆． 3．与圆有关的最值或范围问题的求解策略与圆有关的最值或取值范围问题的求解，要对问题条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，要掌握解决问题常使用的思想方法，如要善于利用数形结合思想，利用几何知识，求最值或范围，要善于利用转化与化归思想将最值或范围转化为函数关系求解．[演练冲关]1．在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，且点B (－1，0)．点D (2，0)为AC 的中点． (1)求点C 的轨迹方程；(2)已知直线l ：x ＋y －4＝0，求边BC 在直线l 上的射影EF 长的最大值． 解：(1)设C (x ，y )， ∵D (2，0)为AC 的中点． ∴A (4－x ，－y )，。
部编版2020高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 解析几何的综合问题学案
第3讲 解析几何的综合问题[考情考向分析] 江苏高考解析几何的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．热点一 最值、范围问题例1 (2018·南通模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点，右焦点分别为A ，F ，右准线为m ，(1)若直线m 上不存在点Q ，使△AFQ 为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；(2)在(1)的条件下，当e 取最大值时，A 点坐标为(－2,0)，设B ，M ，N 是椭圆上的三点，且OB →＝35OM →＋45ON →，求以线段MN 的中点为圆心，过A ，F 两点的圆的方程．解 (1)设直线m 与x 轴的交点是R ， 依题意FR ≥FA ，即a 2c －c ≥a ＋c ，a 2c ≥a ＋2c ，a c ≥1＋2c a ，1e≥1＋2e ， 2e 2＋e －1≤0,0<e ≤12.(2)当e ＝12且A (－2,0)时，F (1,0)，故a ＝2，c ＝1,所以b ＝3， 椭圆方程是x 24＋y 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2) ，则 x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.由OB →＝35OM →＋45ON →，得 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2.因为B 是椭圆C 上一点，所以⎝⎛⎭⎪⎫35x 1＋45x 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 1＋45y 223＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 214＋y 213⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224＋y 223⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2·35·45⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24＋y 1y 23＝1，x 1x 24＋y 1y 23＝0，① 因为圆过A ，F 两点， 所以线段MN 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1＋y 22， 又⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝14(y 21＋y 22＋2y 1y 2)＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋2y 1y 2，②由①和②得⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1x 22 ＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－14(x 1＋x 2)2＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－14＝2116，所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±214，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±2142＝5716.思维升华 处理求最值的式子常用两种方式 (1)转化为函数图象的最值．(2)转化为能利用基本不等式求最值的形式．若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法)．跟踪演练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值．解 (1)由已知得ca ＝32，3a 2＋14b2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝1，椭圆C 的标准方程是x 24＋y 2＝1.(2)设l 与x 轴的交点为D (n,0)，直线l ：x ＝my ＋n ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0，Δ＝16(m 2－n 2＋4)＞0，y 1,2＝－2mn ±(2mn )2－4(4＋m 2)(n 2－4)2(4＋m 2)， 所以y 1＋y 22＝－mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m2，所以x 1＋x 22＝m (y 1＋y 2)＋2n2＝4n4＋m2， 即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m2，－mn 4＋m 2， 由OH ＝1，得n 2＝(4＋m 2)216＋m2，则S △POQ ＝12·OD ·|y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|，n 2(y 1－y 2)2＝n 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝12×16×4＋m2(16＋m 2)2.设t ＝4＋m 2(t ≥4)， 则4＋m 2(16＋m 2)2＝t t 2＋24t ＋144＝1t ＋144t＋24≤148，当且仅当t ＝144t，即t ＝12时取等号，此时S △POQ ＝1，所以△POQ 面积的最大值为1. 热点二 定点问题例2 (2018·全国大联考江苏卷)如图，已知A ，B 是椭圆x 24＋y 23＝1的长轴顶点，P ，Q 是椭圆上的两点，且满足k AP ＝2k QB ，其中k AP ，k QB 分别为直线AP ，QB 的斜率．(1)求证：直线AP 和BQ 的交点R 在定直线上；(2)求证：直线PQ 过定点．证明 (1)根据题意，可设直线AP 的方程为y ＝k AP (x －2)，直线BQ 的方程为y ＝k QB (x ＋2)， 则直线AP 和BQ 的交点R 的横坐标x 0满足x 0＋2x 0－2＝2，即x 0＝6. 因此直线AP 和BQ 的交点R 在定直线x ＝6上. (2)由(1)，可设点R 的坐标为(6，m )，则直线AP 的方程为y ＝m 4(x －2)，直线BQ 的方程为y ＝m8(x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m4(x －2)，x 24＋y23＝1，得(m 2＋12)x 2－4m 2x ＋4(m 2－12)＝0，设P (x P ，y P )，则根据根与系数的关系，得2×x P ＝4(m 2－12)m 2＋12，即x P ＝2(m 2－12)m 2＋12，代入直线AP 的方程得，y P ＝－12mm 2＋12， 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(m 2－12)m 2＋12，－12m m 2＋12.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m8(x ＋2)，x 24＋y23＝1，得(m 2＋48)x 2＋4m 2x ＋4(m 2－48)＝0，设Q (x Q ，y Q ), 则－2×x Q ＝4(m 2－48)m 2＋48，即x Q ＝2(48－m 2)m 2＋48，代入直线BQ 的方程得，y Q ＝24mm 2＋48， 故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(48－m 2)m 2＋48，24m m 2＋48， 当2(48－m 2)m 2＋48＝2(m 2－12)m 2＋12，即m 2＝24时， 直线PQ 与x 轴的交点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，当2(48－m 2)m 2＋48≠2(m 2－12)m 2＋12，即m 2≠24时，下面证直线PQ 过点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.k PT－k QT＝－12mm2＋12－2(m2－12)m2＋12－23－24mm2＋48－02(48－m2)m2＋48－23＝－9mm2－24－9m24－m2＝0，故直线PQ过定点T⎝⎛⎭⎪⎫23，0.思维升华如果要解决的问题是一个定点问题，我们可以根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后再进行一般性证明．跟踪演练2 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：x24＋y2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D⎝⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.(1)求k1k2的值；(2)记直线PQ，BC的斜率分别为k PQ，k BC，是否存在常数λ，使得k PQ＝λk BC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC必过点Q.(1)解设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，x204＋y20＝1，所以k1k2＝y0x0－2·y0x0＋2＝y20x20－4＝1－x204x20－4＝－14.(2)解由题意得直线AP的方程为y＝k1(x－2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝k1(x－2)，x2＋y2＝4，得(1＋k21)x2－4k21x＋4(k21－1)＝0，设P(x p，y p)，解得x p＝2(k21－1)1＋k21，y p＝k1(x p－2)＝－4k11＋k21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝k1(x－2)，x24＋y2＝1，得(1＋4k21)x2－16k21x＋4(4k21－1)＝0，设B (x B ，y B )，同理得x B ＝2(4k 21－1)1＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y p x p ＋65＝－4k 11＋k 212(k 21－1)1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1，所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC ，(3)证明 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则k AQ ＝852＋65＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65x 2＋y 2＝4，，解得x Q ＝－2(16k 21－1)16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－2(16k 21－1)16k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2， 故直线AC 必过点Q . 综上可知，直线AC 必过点Q . 热点三 定值问题例3 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E ：x 216＋y 212＝1，以椭圆E 的焦点为顶点作相似椭圆M . (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且与椭圆M 仅有一个公共点，试判断△ABO 的面积是否为定值(O 为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由条件知，椭圆M 的离心率e ＝12，且长轴的顶点为(－2,0)，(2,0)，∴椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l: y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1得，()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0.令Δ＝64k 2b 2－4()3＋4k 2()4b 2－12＝0得，b 2＝3＋4k 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 216＋y 212＝1，化简得()3＋4k 2x 2＋8kbx ＋4b 2－48＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1,2＝－8kb ±64k 2b 2－4(3＋4k 2)(4b 2－48)2(3＋4k 2)∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k 2＝－8kb，x 1·x 2＝4b 2－483＋4k 2＝4b 2－48b2.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2||x 1－x 2＝121＋k2||b ，而原点O 到直线l 的距离d ＝||b 1＋k2，∴S △ABO ＝12AB ·d ＝6.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2或x ＝－2，则AB ＝6，原点O 到直线l 的距离d ＝2， ∴S △ABO ＝6.综上所述，△ABO 的面积为定值6.思维升华 (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．跟踪演练3 (2018·苏锡常镇四市调研)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点M (x 1,0)，直线AC 与直线BD 交于点N (x 2，y 2)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若CM →＝2MD →，求直线l 的方程； (3)求证：x 1x 2为定值． (1)解 由椭圆的离心率为22，焦点到对应准线的距离为1. 得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2c －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)解 由(1)知C (0,1)，设D (x 0，y 0)， 由CM →＝2MD →，得2y 0＝－1，所以y 0＝－12，代入椭圆方程得x 0＝62或－62， 所以D ⎝⎛⎭⎪⎫62，－12或D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－12，所以k l ＝－12－162－0＝－62或k l ＝－12－1－62－0＝62.所以直线l 的方程为6x －2y ＋2＝0或6x ＋2y －2＝0.(3)证明 设D (x 3，y 3)，由C (0,1)，M (x 1,0)可得直线CM 的方程为y ＝－1x 1x ＋1,联立椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x1x ＋1，x22＋y 2＝1，解得x 3＝4x 1x 21＋2，y 3＝x 21－2x 21＋2.由B (2，0) ，得直线BD 的方程为y ＝x 21－2－2x 21＋4x 1－22(x －2)， 因为点N (x 2，y 2)在直线BD 上，所以y 2＝x 21－2－2x 21＋4x 1－22(x 2－2)，① 直线AC 的方程为y ＝22x ＋1，因为点N (x 2，y 2)在直线AC 上，所以y 2＝22x 2＋1，② 联立①②得x 2＝2x 1，从而x 1x 2＝2为定值．1．(2017·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标． 解 (1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)， 因为P 为第一象限的点，故x 0＞0，y 0＞0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符． 当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2， 所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0， 直线l 2的斜率为－x 0－1y 0， 从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又点P 在椭圆上，故x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 23＝1，解得x 0＝477，y 0＝377，由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 23＝1，无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫477，377.2．(2018·苏州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为 2，一条准线方程为x ＝2，P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q .(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 的坐标为()0，b ，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； (3)若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求OP →·OQ →的最大值． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a2c ＝2，解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为P (0,1)，F 1(－1,0)， 所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－13.设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得D ＝13，E ＝13，F ＝－43.所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0.(3)设P ()x 1，y 1，Q ()x 2，y 2，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)． 因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ.所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2()－1－λ－λx 2－λy 22 ＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ＝－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3λ2λ2－()1＋λ1－3λ2λ－λ ＝74－58⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ，因为λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以λ＋1λ≥2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →的最大值为12.A 组 专题通关1．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，若P ，Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为______． 答案2－1解析 方法一 由抛物线方程，得焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.由椭圆方程，可得上焦点为(0，c )， 故p2＝c ， 将y ＝c 代入椭圆方程可得x ＝±b 2a.又抛物线通径为2p ， 所以2p ＝2b2a＝4c ，所以b 2＝a 2－c 2＝2ac ，即e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.方法二 如图所示，由抛物线方程以及直线y ＝p2，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2.又p2＝c ，即Q (2c ，c )， 代入椭圆方程可得c 2a 2＋4c 2b2＝1，化简可得e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22，e 2＝3＋22>1(舍去)， 即e ＝3－22＝2－1(负值舍去)．2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 答案 6解析 由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)． OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2.又因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.3．已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________． 答案105解析 A (－1,0)关于直线l ：y ＝x ＋2的对称点为A ′(－2,1)，连结A ′B 交直线l 于点P ，则椭圆C 的长轴长的最小值为A ′B ＝(1＋2)2＋1＝10，所以椭圆C 的离心率的最大值为c a＝1102＝105. 4．如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的长轴长是短轴长的________倍．答案 32解析 连结PF 1，OQ ，则PF 1＝2OQ ＝2b ，PF 1⊥PF 2， 由PF 21＋PF 22＝F 1F 22，得(2b )2＋(2a －2b )2＝(2c )2，解得b a ＝23，故2a 2b ＝32.5．(2018·江苏省扬州树人学校模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为22，离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知A 为椭圆C 的上顶点，点M 为x 轴正半轴上一点，过点A 作AM 的垂线AN 与椭圆C 交于另一点N ，若∠AMN ＝60°，求点M 的坐标． 解 (1)因为椭圆C 的短轴长为22，离心率为63， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝22，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝2，c ＝2，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)因为A 为椭圆C 的上顶点，所以A (0，2)． 设M (m,0)(m >0)，则k AM ＝－2m.又AM ⊥AN ，所以k AN ＝m2，所以直线AN 的方程为y ＝m2x ＋ 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m2 x ＋2，x 26＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3m 2)x 2＋12mx ＝0，所以x N ＝－12m 3m 2＋2，y N ＝m 2×－12m3m 2＋2＋2，所以AN ＝(x N －0)2＋(y N －2)2＝2＋m 22×12m3m 2＋2， 在Rt △AMN 中，由∠AMN ＝60°，得AN ＝3AM ， 所以2＋m22×12m 3m 2＋2＝3×2＋m 2，解得m ＝63. 所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫63，0. 6．已知椭圆C ：x 2m2＋y 2＝1(常数m ＞1)，点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．(1)若M 与A 重合，求C 的焦点坐标； (2)若m ＝3，求PA 的最大值与最小值； (3)若PA 的最小值为MA ，求m 的取值范围．解 (1)m ＝2，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c ＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标为(－3，0)，(3，0)． (2)m ＝3，椭圆方程为x 29＋y 2＝1，设P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 29＝89⎝⎛⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)，∴当x ＝94时，(PA )min ＝22，当x ＝－3时，(PA )max ＝5. (3)设动点P (x ，y )，则PA 2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m2＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m 2m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )，∵当x ＝m 时，PA 取最小值，且m 2－1m2＞0，∴2m2m 2－1≥m 且m ＞1， 解得1＜m ≤1＋ 2.7．(2018·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程． 解 (1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3. (2)①设直线l 与圆O 相切于点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)， 则x 20＋y 20＝3，所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0，消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)·(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0. 因为x 0＞0，y 0＞0， 所以x 0＝2，y 0＝1.因此，点P 的坐标为(2，1)． ②因为△OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1,2＝24x 0± 48y 20(x 20－2)2(4x 20＋y 20)，所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20(x 20－2)(4x 20＋y 20)2. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16(x 20－2)(x 20＋1)2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0， 解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12，代入Δ＝48y 20(x 20－2)＞0，满足题意， 因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫102，22. 所以直线l 的方程为y ＝－5x ＋32，即5x ＋y －32＝0.B 组 能力提高8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x轴下方)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； (3)记直线l 与y 轴的交点为P .若AP →＝25TB →，求直线l 的斜率k .解 (1)因为椭圆x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1.因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1.整理得 b 4－12b 2＋32＝0， 解得b 2＝4或b 2＝8(舍) .所以椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1,0)，所以直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y24＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0， 所以x 1,2＝4k 2±16k 4－4(2k 2＋1)(2k 2－8)2(2k 2＋1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以直线MN 的方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2. 因为(1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝72k 2＋1， (x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1， 所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732. (3)在y ＝k (x －1)中，令x ＝0， 则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而AP →＝(－x 1，－k －y 1)，TB →＝(x 2－1，y 2)． 因为AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25.由(2)知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1). 因为x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1，所以－4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1， 整理得50k 4－83k 2－34＝0， 解得k 2＝2或k 2＝－1750 (舍) .又因为k ＞0，所以k ＝ 2.9.如图，椭圆C ：x2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点分别为A 1，A 2，B 1，B 2，1221A B A B S 四边形＝4，直线y＝x ＋2与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线A 1P 交y 轴于点F ，直线A 1B 1交直线B 2P 于点E ，问直线EF 是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解 (1)因为直线y ＝x ＋2与圆O 相切，由点到直线的距离公式得，|0－0＋2|12＋(－1)2＝22＝b ，即b ＝1.又1221A B A B S 四边形＝4，所以12×2a ×2b ＝4，所以a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，离心率e ＝c a ＝32. (2)由题意知直线B 2P 的斜率存在，设直线B 2P 的斜率为k ，由(1)可知，A 1(－2,0)，B 1(0，－1)，B 2(0,1)，则直线B 2P 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0，其中xB 2＝0，所以x P ＝－8k1＋4k2. 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2，易知k ≠0，且k ≠±12.则直线A 1P 的斜率1A P k ＝1－4k21＋4k 2－8k 1＋4k 2＋2＝－2k ＋12(2k －1)，直线A 1P 的方程为y ＝－2k ＋12(2k －1)(x ＋2)，令x ＝0，则y ＝－2k ＋12k －1，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k ＋12k －1.21 易知直线A 1B 1的方程为x ＋2y ＋2＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋2＝0，y ＝kx ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－42k ＋1，y ＝－2k －12k ＋1， 所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42k ＋1，－2k －12k ＋1，所以直线EF 的斜率k 0＝－2k ＋12k －1＋2k －12k ＋142k ＋1＝－2k2k －1，所以直线EF 的方程为y ＝－2k2k －1x －2k ＋12k －1，即2k (x ＋y ＋1)－(y －1)＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1， 所以直线EF 过定点(－2,1)．。
高三数学第二轮复习教案
高三数学第二轮复习教案第5讲 解析几何问题的题型与方法（二）七、强化训练1、已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若021=⋅PF PF 21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 （ ）（A ）21 （B ）32 （C ）31 （D ）352、已知△ABC 的顶点A （3，－1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x +10y －59=0，∠B 的平分线所在直线的方程为：x －4y +10=0，求边BC 所在直线的方程。
3、求直线l 2：7x －y +4=0到l 1：x +y －2=0的角平分线的方程。
4、已知三种食物P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示。
现在将xk g 的食物P 和yk g 的食物Q 及zk g 的食物R 混合，制成100k g 的混合物.如果这100k g 的混合物中至少含维生素A44 000单位与维生素B48 000单位，那么x ，y ，z 为何值时，混合物的成本最小？5、某人有楼房一幢，室内面积共180 m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？6、已知△ABC 三边所在直线方程AB ：x －6=0，BC ：x －2y －8=0，CA ：x +2y =0，求此三角形外接圆的方程。
7、已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，求点A 的坐标。
8、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）上两点A 、B ，直线k x y l +=:上有两点C 、D ，且ABCD 是正方形。
2020届高三数学第二轮复习教案解析几何
查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都
有涉及．高考解析几何试题一样共有 4 题(2 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 )，共计 30 分
左右，考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一样紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题
和填空题考查直线、 圆、圆锥曲线、 参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆
专门地，当圆心在原点〔 0， 0〕，半径为 r 时，圆的方程为 x 2 y 2 r 2 .
坐标和半径，把握圆的一样方程： x 2 y 2 Dx Ey F 0 ，明白该方程表示圆的充要
条件并正确地进行一样方程和标准方程的互化，能依照条件，用待定系数法求出圆的方程， 把握直线与圆的位置关系的判定方法 .
5．正确明白得椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能依照椭圆、 双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程； 能依照条件，求出椭圆、 双曲线和抛物线的标准方程；把握椭圆、 双曲线和抛物线的几何性 质：范畴、对称性、顶点、离心率、准线〔双曲线的渐近线〕等，从而能迅速、正确地画出 椭圆、双曲线和抛物线；把握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双 曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单咨询题；明 白得椭圆、 双曲线和抛物线的参数方程， 并把握它的应用；把握直线与椭圆、双曲线和抛物 线位置关系的判定方法 .
.
⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的 .
⑶ 关于不是求最优整数解的线性规划咨询题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到
.
3. 线性规划咨询题一样用图解法 .
( 四 ) 圆的有关咨询题
1. 圆的标准方程
(江苏版)高考数学二轮复习 专题六 第3讲 解析几何中的综合问题 理
第3讲解析几何中的综合问题一、填空题1. (2013·苏、锡、常二模)若双曲线x2-2ya=1(a>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于3,则此双曲线的方程为.2. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p= .3. 已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,若等轴双曲线C与抛物线y2=16x的准线交于A,B 两点,AB=43,则等轴双曲线C的实轴长为.4. (2013·盐城三模)在平面直角坐标系xOy中,点F是双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,延长FA与另一条渐近线交于点B.若FB=2FA,则双曲线的离心率为.5. 已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的两个焦点为F13-,02⎛⎫⎪⎪⎝⎭,F232,0,点P是第一象限内双曲线上的点,且tan∠PF1F2=12,tan∠PF2F1=-2,则双曲线的离心率为.6. (2013·盐城一模)已知F1,F2分别是椭圆28x+24y=1的左、右焦点,点P是椭圆上的任意一点,则121|-P|PF FPF的取值范围是.7. 设F1,F2是椭圆E:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=32a上一点,F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为.8. 已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若FA=2FB,则k=.二、解答题9. 如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴的左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且椭圆C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与椭圆C1交于B,C两点,与椭圆C2交于A,D两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1) 设e=12,求BC与AD的比值;(2) 当e变化时,是否存在直线l,使得|BO∥AN|请说明理由.(第9题)10. 中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2,两准线间的距离为10.设点A(5,0),过点A作直线l交椭圆C于P,Q两点,过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点S.(1) 求椭圆C的方程;(2) 求证:直线SQ过x轴上一定点B;(3) 若过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D,求过B,D两点、且以AD为切线的圆的方程.11. (2013·盐城三模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:2xm+28-ym=1.(1) 若椭圆C的焦点在x轴上,求实数m的取值范围;(2) 已知m=6.①若P是椭圆C上的动点,点M的坐标为(1,0),求PM的最小值及对应的点P的坐标;②过椭圆C的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线l交x轴于点N,求证:ABFN是定值;并求出这个定值.第3讲解析几何中的综合问题1. x2-23y=12. 23. 44. 25. 35 56. [0,22+2]7. 3 48. 22 39. (1) 因为椭圆C1,C2的离心率相同,故依题意可设椭圆C1:22xa+22yb=1,椭圆C2:224b ya+22xa=1(a>b>0),设直线l:x=t(|t|<a),分别与椭圆C1,C2的方程联立,求得A22,-at a tb⎛⎫⎪⎝⎭,B22,-bt a ta⎛⎫⎪⎝⎭.当e=12时,b=32a,分别用yA,y B表示A,B的纵坐标,可知BC ∶AD=22B A y y =22b a =34,故BC 与AD 的比值为3∶4.(2) 当t=0时,l 不符合题意.当t ≠0时,若BO ∥AN,则当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等,即22-b a t a t =22--a a t bt a , 解得t=-222-ab a b =22-(1-)a e e .因为|t|<a,又0<e<1,所以221-e e <1,解得22<e<1.所以当0<e ≤22时,不存在直线l,使得BO ∥AN;当22<e<1时,存在直线l 使得BO ∥AN.10. (1) 设椭圆的标准方程为22x a +22y b =1(a>b>0),依题意得222,210,c ac =⎧⎪⎨=⎪⎩得1,5,c a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以b 2=4.所以椭圆的标准方程为25x +24y =1.(2) 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),AP=tAQ,则1212-5t(-5),t ,x x y y =⎧⎨=⎩结合221122221,541,54x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得12-2t 3,3-2.x t x t =+=设B(x,0),则12-x -x x x =t,x=12t 1x x t ++=1,所以直线SQ 过x 轴上一定点B(1,0).(3) 设过点A 的直线方程为y=k(x-5),代入椭圆方程25x +24y =1得(4+5k 2)x 2-50k 2x+125k 2-20=0.依题意,得Δ=0,即(50k 2)2-4(4+5k 2)(125k 2-20)=0,解得k=±5,且方程的根为x=1.所以D451,⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭. 当点D 位于x 轴上方时,过点D 与AD 垂直的直线与x 轴交于点E,直线DE 的方程是y-455=5(x -1),所以E 1,05⎛⎫ ⎪⎝⎭.所求的圆即为以线段DE 为直径的圆,方程为23-5x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+225y ⎛⎝⎭=2425;同理可得当点D 位于x 轴下方时,圆的方程为23-5x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2255y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=2425. 11. (1) 由题意得m>8-m>0,解得4<m<8. 即实数m 的取值范围是(4,8).(2) 因为m=6,所以椭圆C 的方程为26x +22y =1. ①设点P 坐标为(x,y),则26x +22y =1.因为点M 的坐标为(1,0),所以PM 2=(x-1)2+y 2=x 2-2x+1+2-23x =223x-2x+3 =223-32x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+32,x ∈66].所以当x=32时,PM 的最小值为6,此时对应的点P 坐标为35,22⎛± ⎝⎭. ②由a 2=6,b 2=2,得c 2=4,即c=2,从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0),右准线方程为x=3,离心率e=6.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点H(x 0,y 0),则216x +212y =1,226x +222y =1,所以2212-6x x+2212-2y y=0,即k AB=1212--y yx x=-3xy.令k=k AB,则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y0=-1k(x-x0).令y=0,则x N=ky0+x0=23x0.因为F(2,0),所以FN=|x N-2|=23|x0-3|.因为AB=AF+BF,所以AB=e(3-x1)+e(3-x2)=63|x0-3|.所以ABFN=26×326.即ABFN6.。
解析几何-2020年高考数学(理)二轮专项复习
专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )， 则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0． 【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|P A|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率 倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 ⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈ k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝， 若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围． 解法一：解方程组，得交点 由题意，得，解得 解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得 此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10． 【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含． 【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ． 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系． 解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0． 整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2， 故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程． 解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3， 验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)， 设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，， 此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)， 所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5， 且点A 到圆C 的圆心的距离等于 所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ， 所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)． 则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合． 所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) ,11k k -= ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+bya xA ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5 C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个． 8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即 化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x。
江苏省南京市高三数学二轮专题复习 解析几何
解析几何二轮复习建议引入坐标系，使点与坐标，曲线与方程联系起来的坐标方法对于数学发展起了巨大的作用。
用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线（几何图形）求方程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质。
由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质通常包括：曲线的范围，曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具有的一些特殊性质，例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性。
用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。
坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法。
因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程组的能力要求较高。
以下解析几何二轮复习建议，仅供参考。
基本题型一：求基本量1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的几何量主要是圆心、半径。
这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现．2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。
在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a ，b ，c ，p 的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量．例1．直线l ：3x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则直线l 在x 轴上的截距_____． 解：因为⊙C 方程可化为(x －1)2＋y 2＝(3)2，所以圆心C (1，0)，半径r ＝3，因为直线l 与圆C 相切，直线C 到l 的距离等于r ，即∣3⋅1－1⋅0＋m ∣2＝3，解得m ＝－33或3．当m ＝3时，直线l 方程为3x －y ＋3＝0，在x 轴上的截距为－1； 当m ＝－33，直线l 方程为3x －y ＋－33＝0，在x 轴上的截距为3．例2．(2008天津）设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为___________解：根据椭圆定义得2a ＝1＋3，a ＝2，即m ＝2，b ＝m 2－1＝3，c ＝1，e ＝c a ＝12，根据第二定义得P 到右准线距离为2．例3．（2007安徽）如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为___________．解法一：不妨设OF 2＝1，因为OF 1＝OF 2＝OA ， 所以△AF 1F 2为直角三角形．所以AF 1＝1．所以2a ＝AF 2－AF 1＝3－1,又2c ＝2，所以e ＝ca＝3＋解法二：连接OA ，由△ABF 2为等边三角形，可得A 点的坐标为(－12c ，32c )． 因为A 在双曲线上，所以(－12c )2a 2－(32c )2b 2＝1，即14e 2－34e 2e 2－1＝1，去分母整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，e ＝3±1．因为e ＞1，所以e ＝3＋1．例4．（2008四川）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为____________．解：如图，过A 作AH ⊥l ，垂足为H ，由抛物线的定义可知，AF ＝AH ，又AK ＝2AF ，所以AK ＝2AH ，因为∠AHK ＝90︒，所以∠AKH ＝45︒，所以KH ＝AH ＝y A ．所以AF ＝y A ．即AF ⊥x 轴． 所以AF ＝FK ＝4，S △AFK ＝8．例5．（2010四川）椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．分析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等，FA PF =。
2020届江苏高考数学二轮复习微专题：解析几何
解析几何1.直线的倾斜角α与斜率k(1)倾斜角α的范围为[0，π).(2)直线的斜率①定义：k ＝tan α⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2；倾斜角为π2的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k ).[回顾问题1] 直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 2.直线的方程(1)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线.(2)斜截式：y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线.(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线. (4)截距式：x a ＋y b ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式.[回顾问题2] 已知直线过点P (1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03.点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2； (2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [回顾问题3] 直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋8y －7＝0的距离为________.答案 17104.两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[回顾问题4] “a ＝15”是“直线2ax ＋(a －1)y ＋2＝0与直线(a ＋1)x ＋3ay ＋3＝0垂直”的________条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选取一个填写)答案 充分不必要5.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0).(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，只有当D 2＋E 2－4F＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为 12D 2＋E 2－4F 的圆. [回顾问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案 －16.直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)有相交、相离、相切三种位置关系.可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d ＜r ⇔相交；d ＞r ⇔相离；d ＝r ⇔相切.(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当O 1O 2＞r 1＋r 2时，两圆外离；②当O 1O 2＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|＜O 1O 2＜r 1＋r 2时，两圆相交；④当O 1O 2＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤O 1O 2＜|r 1－r 2|时，两圆内含. 若两圆相交把两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0方程相减即得相交弦所在直线方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.[回顾问题6] 已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为________.答案 (x ＋3)2＋(y ＋3)2＝187.对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支.[回顾问题7] 方程（x ＋3）2＋y 2＋（x －3）2＋y 2＝6表示的曲线是________.答案 线段y ＝0(－3≤x ≤3)8.求椭圆、双曲线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数.(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0).(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).[回顾问题8] (2019·如皋市高三年级第二学期语数英学科模拟(二)，3)已知双曲线x 2m －y 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝________.答案 99.(1)在把圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解情况可判断位置关系.有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系.(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]或P 1P 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]. [回顾问题9] 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx 被圆x 2＋y 2－2mx －23。
2020江苏高考理科数学二轮练习：解答题专题练解析几何含解析
所以直线PQ的方程为(a2－r2)y－2t(ax－r2)＋t2y＝0.令y＝0得x＝ ，故直线PQ过定点 .
x2，y2)，
因为斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C： ＋ ＝1交于A，B两点，且OA⊥OB，
直线PQ的方程为y－ ＝ · .
令y＝0得x＝ ，是一个与t无关的常数，
故直线PQ过定点 .
法二：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0)．
设M(a，t)，则直线MA1的方程为y＝ (x＋r)，直线MA2的方程为y＝ (x－r)，则直线MA1与圆C的交点为P(x1，y1)，直线MA2与圆C的交点为Q(x2，y2)．
所以∠AOB＝90°，所以 · ＝0，
所以x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，
所以(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0，(*)
联立 ，消去y得x2＋3(kx＋t)2＝9，即(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ，且Δ＞0，代入(*)，
得(1＋k2)(3t2－9)－6k2t2＋t2(1＋3k2)＝0，所以3t2－9－9k2＋t2＝0，
同理(x －8)k －2x0y0k2＋y －8＝0.
所以k1，k2是方程(x －8)k2－2x0y0k＋y －8＝0的两个不相等的实数根，k1k2＝ .
因为 ＋ ＝1，所以y ＝12－ x .
所以k1k2＝ ＝－ ，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则 · ＝－ ，所以y y ＝ x x ，
因为 ，所以 ，
所以 ＝ x x ，
所以x ＋x ＝24，y ＋y ＝12，
所以OP2＋OQ2＝36.
(ii)当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2＋OQ2＝36，
2020届江苏高考数学：解析几何试题解析
4k 4k
2
，x1
x2
3
1 4k2
，
N E
O
x
非对称式 消元
y 4k1 x2x 3x1 x2 （*） 消去x2 3x1 x2
M B1
y 4kx1 x2 x1 x2 4x1
2x1 (x1 x2 )
4k 3 1 4k 2
4k 1 4k
设直线
M
N：y
kx
1 2
写直线 B2M 求点 T
写直线 B1N
(用 x1，y1，x2，y2 表示)
得x1 x2
1
4k 4k
2
，x1 x2
3
1 4k 2
求点 T 轨迹方程
02 解法赏析
【运算过程
2】由
x2 4
y
y2 kx
1
1 2
得：
x
1 ②，
由①②联立，求得 y 2 ，所以点T 在直线 y 2 上．
02 解法赏析
【构图方式 2】过点 E 的直线 MN 与椭圆交于 M，N，连结 B2M 与 B1N 并延长交于点 T．
y T
【运算路径 2】两点均未知——“设而不求”
B2 N
E
O
x
M B1
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)
为8 3
3．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知
B2，B1
分别是椭圆的上、下顶点，过点
E(0，
1 2
)的直线
l
与
椭圆交于 M，N 两点，直线 MB2 与直线 NB1 交于点 T．
y T
江苏省高考二轮复习专题：以解析几何为载体的应用题教学课件
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考题赏析：
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法一：显性发现解三角形
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本专题主要解决两类问题： 1.显性解析几何为背景的应用题的处理
用函数或者基本不等式解决
2.隐性解析几何为背景的应用题的处理
最值问题
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C
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p
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（直线与圆相离）
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分析： (2)要使所挖土方最少，等腰梯形两腰必与抛物线相切
从而问题转化为求梯形OABC面积何时最小，又需要哪 些量？
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(江苏专用)2020年高考数学二轮复习专题15解析几何中的综合问题学案
专题15解析几何中的综合问题回顾2020〜2 012年的高考题，解析几何是重要内容之一，所占分值在 30分以上，大题小题同时有,除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析 几何题•预测在2020年的高考题中：1填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能 涉及• 2在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程 和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题I X I AOTi J ICHU L IANQI MG2 21•椭圆a 2+b 2= 1的内接矩形的面积最大值为 --------- 当紅br 2时等号成立•答案：2ab2 .两点A (3,0) , B (0,4)，动点P (x , y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为 ________________ 解析：由题意得£+ 4= 1( x >0, y >0)所以1 = 3+彳》2即xy 三3,当且仅当£= y =三时等号成立. 答案：33. _________________________________________________________________ 和圆(x — 3) + (y — 1) = 36关于直线x + y = 0对称的圆的方「程是 _________________________________________ ... 2解析：圆心(3,1)关于直线x + y = 0的对称点的坐标为(一1,— 3)，半径不变，方程为(x + 1) + (y +23) = 36.答案：(x + 1) + (y + 3) = 364. __________________________________________________________ 若实数x , y 满足x 2 + y 2— 2x = 0,贝U x 2+ y 2的取值范围是 ______________________________________________ .2 2解析：由y = 2x — x 》0得0W x < 2, 所以 x 2 + y 2= 2x € [0,4]. 答案：[0,4]5.设A (X 1, y 1) , B 4, 5 , qx 2, y 2)是右焦点为F 的椭圆金+鲁=1上三个不同的点，若 AF, BF, CF小题基础练请、金取送另融一分不能少解析：设P (x , y )为矩形的一个顶点，则驾沽，所以S = 4|xy | W2ab ,当且仅3成等差数列，贝y X 1 + X 2 =解析：根据圆锥曲线的共同性质可知 A B, C 到右准线X = #的距离成等差数列，则 2 224 — 4 = 2425 刚 X1+ 4 - X2,即 X1 + X2= 8.答案：8暉分考点讲透■■■ L QFE N K AODIAN JIANGTOU ［典例1］已知i , j 是X , y 轴正方向的单位向量，设 a = (X — ：3) i + yj , b = (X + ：3) i + yj ，且满足|a | + | b |=4.(1) 求点P (X , y )的轨迹C 的方程；(2) 如果过点Q O , m )且方向向量为c = (1,1)的直线I 与点P 的轨迹交于 A , B 两点，当△ AOB 勺面积 取到最大值时，求 m 的值.［解］ ⑴ T a = (X — !‘3)i + yj , b = (x + ：3)i + yj ，且 | a | + | b | = 4.2•••点F (X , y )到点(：3, 0) , ( — .''3, 0)的距离之和为4，故点P 的轨迹方程为 扌+ y 2= 1. (2)设 A (X 1, y" , B (X 2, y 2), 依题意直线 AB 的方程为y = X + m2 , 2 2 2 5 d = 5 : 5 — m m w 5x Q = 1. 当 5 — m i = m i 时，即 n =±」20时，S max = 1.(1) 本题以向量为载体考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题.(2) 求解解析几何中的最值问题，一般要先建立目标函数，再求最值，求最值的方法主要是配方法和 利用基本不等式.［演练1］厂厂uuu uuu厂uuu uuu已知点A — 2 2, 0) , B ( — \ 2, 0)，动点P 满足AP • AB = 2| AB | •I BP |，若动点P 的轨迹记 作曲线C 1. (1) 求曲线C 的方程；(2) 已知曲线C 交y 轴正半轴于点 Q,过点D 0,—* 作斜率为k 的直线I 交曲线C 于M N 点，求代入椭圆方程，得2 25X + 8mx^ 4m — 4= 0,冲 8 则 X 1+X 2=—二m 54 2X 1 • X 2 = ( m — 1).5 1因此，AO = Q AB •证：无论k 如何变化，以 MN 为直径的圆过点 Quuu解：(1)设 P (x , y )，则有 AP = (x + 2 j2, y ), uuu muAB = ( .'2, 0) , BP = (x + ,：2, y ). uuu uuu uuu uuu •/ AP • AB = ：'2 •I AB | •I BP | ,•••农x + 4 =述•护X + <2 2+ y 2.2 2化简得x 4 +与=i.2 2故曲线C 的方程为4+ 2= i.2 2x yl(2)证明：由 4 + 2 = 1，得Q0,⑵. 设直线l1的方程为y = kx —-3?,x 2 y 22 2 4 232代入 4 + 2 = 1 得(1 + 2k )x —才双一—=0.uuuuuuu设 M (X 1, y" , N (X 2, y 2)，则 QM =(X 1, y 1— , 2), QN =(X 2, y 2 — ：2).32 21^2+--弩 k • +32=01 + 2k 3 3 1 + 2k 9uuuu uuu• QM 丄 QN .即点Q 在以MN 为直径的圆上.［典例2］2 2X y已知椭圆—+ 2= 1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1, F 2,点M 0,2)是椭圆的一个顶点，△ F 1MF 是等腰a b直角三角形.(1) 求椭圆的方程；(2) 过点M 分别作直线 MA MB 交椭圆于A , B 两点，设两直线的斜率分别为 k 1,应，且刚+ k 2= 8，证1明：直线AB 过定点一, — 2 .［解］(1)因为b = 2,△ F 1MF 是等腰直角三角形，所以c = 2,所以a = 2 2,2 2x y故椭圆的方程为了+丁= 1.8 4⑵ 证明：①若直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为y = kx + m A 点坐标为(X 1, y" , B 点坐标为uuu u •- QM4 ;'2k 1+ 2kX 1 • X2= —932 1 + 2kuur 4 QN = X 1X 2+ kx 1— 33kx 2— 4*2 332~9=X 1X 2(1X 1 + X 2) +g y 2),2 2x y—I —= 1联立方程得， 8 4' 消去y ,得y = kx + m(1 + 2 k 2) x 2+ 4kmx + 2n i - 8 = 0, 心 4 km 2n i - 8 则 x i + X 2=— i | 2k 2，xix2= I I 2k 2. 由题知k i + k 2=匚+匚=8,x i X 2”、「kx i + n — 2 kx 2 + n — 2 所以—x — + —xr-=8, 即 2k + (n — 2)xj -|x x ^= 8.X i X 2mki所以k — m^=4,整理得m = 2k —2.故直线AB 的方程 为y = kx + 2k — 2,i所以直线AB 过定点—, — 2 .②若直线AB 的斜率不存在，设直线 AB 的方程为x = x o , A (x o , y o ) , B(x o ,— y o ), 则由题知山+二心=8,x o x oi i i得x o =—彳此时直线AB 的方程为x =— 2,显然直线 AB 过点—2，— 2 . 综上可知，直线 AB 过定点 —i ,— 2 .⑴本题主要考查椭圆的标准方程，直线方程及圆锥曲线中定值问题的证明. (2)证明直线过定点时，可先用参数表示出直线方程，再根据方程的特点去证明. (3) 证明函数式为定值时，一般是写出其表达式，消去参数，从而证明为定值.线PA PB 分别交椭圆于 A B 两点.(i)求点P 的坐标；[演练2]如图，已知椭圆的两个焦点 F 、F a 在y 轴上，短轴长为2眾，离心率为椭圆上一点，且在第一象限内,uuur uuuuPF i • PF 2 = i ,过点P 作关于直线 PF 对¥，点P 是 称的两条直⑵ 求证：直线 AB 的斜率为定值.2 2y x解：(1)设椭圆方程为a + b = 1(a >b >0).因为椭圆的短轴长为 2 ；2，离心率为-2,解得 a = 2, b = 2 c =、2,2 2 所以椭圆的方程为y 4 + X 2 = 1.厂厂、uur所以 F i (0 ,⑵,F a (0，—；2).设 Rx o , y o )( x o >0, y o >0)，则 PR = ( — x o , '2 — y o ) LUJIT uuur 2 2—：2 — y o )，所以 PF | • PF 2 = x o — (2 — y o ) = 1.2 2又点F (x o , y o )在椭圆上，贝U 号+ 4 = 1，2 2所以 x o = ¥，从而 4—^— (2 — y o )= 1,解得y o = :2或y o =— '2(舍去)， 则点P 的坐标为(1 ,'2).(2)证明：由(1)知PF // x 轴，所以直线PA PB 的斜率互为相反数.设直线PB 的斜率为 则直线PB 的方程为y — .;2= k (x — 1),2 2x y+ — = 12十4，得(2 + k 2) x 2 + 2k ( :'2 — k )x + (，:‘2 — k )2— 4= 0.y A — y B =— k (X A — 1) — k ( X B —1)=所以直线AB 的斜率k AB =比二鉴=2为定值.X A — X B 、[典例3][2已知中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 于的椭圆C 经过点(，6, 1).(1)求椭圆C 的标准方程；⑵若过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线 丨1、丨2分别与椭圆交于 A B 和C D,那么是否存在常数 入y — :2 = k x — 1uuiuPF 2 = ( —k ,不妨令k >0,设 B ( X B , y B )，贝U X B =」2— k 2+ kk 2— 2 ]2k —2k 2同理可得 k 2 + 2 ：2k —22+ k 2所以 X A — X B = 8k2 + k 2.2+ k 2,［演练3］使得AB+ CD= X • AB- CD ?若存在，求出实数 入的值；若不存在，请说明理由.2 2x y［解］ ⑴ 设椭圆C 的标准方程为 云+器=1(a >b >0), 由离心率e =a 諾,c 2"2-b 2.：5軀丈辉“本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质及圆锥曲线中的探索性问题•本题 变形，即把问题转化为弦长的计算问题，体现了化归思想的重要作用.可得2 2a —b 2=a1，从而 a 2= 2b 2,2 2故椭圆C 的标准方程为2^+蒼=1, 将点(丿6, 1)代入椭圆方程可得 b 2= 4, 2 2oXV易知a 2= 8,则椭圆C 的标准方程为 石+?= 1.8 41 1⑵ 原问题等价于AB + CD = X (入为常数). 不妨取椭圆C 的右焦点(2,0),①当直线AB 的斜率存在且不为 0时， 设直线AB 的方程为y = k (x — 2),将其代入椭圆方程得(1 + 2k 2) x 2— 8k 2x + 8k 2— 8 = 0, 设 A (X 1, y 1) , B (X 2, y 2),小 8 k 2 8k 2— 8 则 x i + X 2 = 1 * 2k 2，X 1X 2 = 1 + 2疋. 根据弦长公式易得AB= ：1 + k 2• ；' X 1 + X 2 2— 4x 1X 2= : 1 + k 2•/挖2—4.咤=诽十2■- 1 + 2k 1 + 2k 1 + 2k从而易知， 4 ;'2 1 + k 2 CD = 2 +k 2，所以AB +晋，A 聊CD =晳AB. CD②当直线AB 斜率不存在或为0时，AB CD 中一个是长轴的长度，另一个是通径的长度. 易得A 聊CD=CD综上所述，存在常数X =¥，使得 AB+ CD= X AB- CD(2)的解法中将等式巧妙2 2已知A B 为椭圆X 4 + 3 = 1的左、右顶点，F 为椭圆的右焦点，P 是椭圆上异于 A B 的任意一点，直 线AP BP 分别交直线1 :x = m m >2)于 MN 两点，l 交x 轴于 C 点1沖Joc i1V⑴当PF// I 时，求点P 的坐标；(2)是否存在实数 m,使得以MN 为直径的圆过点 F ?若存在，求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由.解：(1) ••• a 2 3= 4, b 2 = 3,「. c = .：a 2— b 2= 1.2 2x y 连结PF 当PF// I 时，将x = 1代入-+ 3 = 1,3 3得 y =± 2，贝V P 1，土 2 .(2)设椭圆上任意一点 P (x o , y o )，易得直线 AM 勺方程为y =—J(x + 2),X o 十2 =y o由 y xo + 2x = m直线BN 的方程为 y =占(x —2)，吊一4 y 22 ‘m — 42 …3 m -4 4 m- 1要使以MN 为直径的圆过点 F ,即要满足 MFLNF,贝U k MF- k NF =— 1,解得m= 4. 所以存在m= 4,使得以MN 为直径的圆过点 F. ［专题技法归纳］1 •定点定值问题的求解策略： (1)从一般的情形进行论证.2・m-1y o由 y =R x - 2，m - 2 y ox o — 2x = m2 2x y•••点 F (x o , y o )在椭圆 4 + 3 = 1 上,2 x o ••• 丁十42 2斗=1，变形得x^7 = — 4, 3 X o — 4 4 J. k MF-m 十 2 y o(x o + 2 k NF = m- 1 m- 2 y o x o — 2 m- 1得Mmm 十 2 y o x o + 22 2m- 1 x o — 42.(2)运用从特殊到一般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值，如直线的斜率不存在的情况, 再论证该特殊值对一般情形也成立.2 •求解最值问题应注意： (1) 如果建立的函数是关于斜率k 的函数，要增加考虑斜率不存在的情况；(2) 如果建立的函数是关于点的坐标 x , y 的函数，可以考虑用代入消元、基本不等式、三角换元或几 何解法来解决问题.配套专题检测\■■TFliT^O 7HUANTI JIANCln| AF | , |尸冋，| RB 成等比数列，则此椭圆的离心率为 ________________1.(2020 •陕西高考)右图是抛物线形拱桥， 当水面在I 时，拱顶离水面 水面宽4米.水位下降1米后，水面宽 __________ 米.解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物方程为x 2=— 2py ,则点(2 , - 2)在抛物线上，代入可得 p = 1,所以x 2= — 2y .=—3时，X = 6，所以水面宽为2 6.答案：2 ,： 62 2x y2. (2020 •江西高考)椭圆g+ b ,= 1(a >b >0)的左、右顶点分别是A, B ,左、右焦点分别是F 1, 米，线的 当yF 2.若解析：依题意得| F 冋2=|AF |I BF |，即 4c 2= (a — c )・(a + c ) = a 2— c 2,整理得 5c 2 = a 2,得答案：卡52 2x y3. (2020 •湖北高考)如图，双曲线 g —合=1(a , b >0)的两 虚轴两端点为 B , B,两焦点为F 1, F 2.若以A 1A 2为直径的圆内 F 1BF 2B ,切点分别为 A , B , C, D.贝U(1) 双曲线的离心率 e = __________ ;S解析：(1)由题意可得 a ：'b 2 + c 2= be ,则 a 4— 3a 2c 2 + c 4 = 0, 即 e 4— 3e 2 + 1 = 0,解得 e 2= 3: 5,故 e = 1；"'5.S2bc2S 2 4a sin 0 cos 02bc2bc4a• b^?普=e 2-2+ ;52顶点为A , A , 切于菱形(2)设/ BF1A = 0，贝U sin答案：⑴与芒(2)务芒4 .(2020 •北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 4= 4x 的焦点F ,且与该抛物线相交于 A , B 两点，其中点 A 在x 轴上方•若直线l 的倾斜角为60°，则厶OAF 勺面积为 ______________________ .解析：直线I 的方程为y = .3(x — 1)，即xn-^y + 1,代入抛物线方程，得 寸-~^3~y — 4= 0,1故△ OAF 勺面积为2X 1X2 3= 3.答案：32 2x y5 .已知椭圆孑+詁=1( a >b >0)的左顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F.设线段AB 的中点为 M 若2uuur uuur uuuirMA • MF + BF 2>0,则该椭圆离心率的取值范围为 _______________ .a b uuur a b uuur a b解析：由题意得 A — a, 0) , B (0 ,b ), M — ^, 2，F ( c,0)，则 MA=—㊁,—2 , MF = c +^,— p.uuur uuur uuuu 2 由 2 MA • MF + BF 》0 可得 c + 2ac — 2a w 0,解得 e € [ — 1 — 3,— 1+ 3 ].又e € (0,1)，所以椭圆离心率的取值范围为 (0 , 3 — 1].答案：(0 , ,3— 1]6•若三角形三边所在直线方程分别为 x + 2y — 5= 0, y — 2 = 0, x + y — 4 = 0,则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为 ___________ .则点A 的坐标是 __________ . 解析：根据题意设 A 点坐标为(m n ) , B 点坐标为(c , d ) . F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标__uuir uuur分别为(—2,0) , ( 2, 0)，可得 F 1A = (m + 2, n ), F 2B = (c — . 2, d ).uur uuu6.2 nT F 1A = 5 F 2B ，二 c =, d = 5.43 2 57. (2020 •浙江高考)设F 1, F>分别为椭圆 2才+ y 2= 1的左,uui T uuur 右焦点，点A, B 在椭圆上，若F 1A = 5F 2B ,解析：由已知条件可得三角形的三个顶点是 (1,2), (2,2) 和(3,1)，作出图形可知该三角形为钝角三角形•而能够覆盖钝角三角形的面积最小的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆，而最长边的两个端点 坐标分别为(1,2) , (3,1)，故圆心坐标为2,3，半径为则所求圆的方程为(x — 2)2+ y —-32= 5=4.解得舍)解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为?+ 4 = 1(a >2),n 2=1.解得m= 0, n =± 1,故点A 坐标为(0 , ± 1).5的平分线，则 AF =又 AF — AF = 6, 故 AF = 6. 答案：6的距离为由抛物线的定义知 A 內BC = AF + BF = 3,所以M = |,又由于准线I 的3 14, 所以线段AB 中点到y 轴的距离为一厂4 答案：5410. ____________________________ 已知直线I 过抛物线C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，I 与C 交于A,B 两点，AB= 12 , P 为C 的 「准线上一点，则厶 ABP 勺面积为 .解析：设抛物线方程为 y 2 = 2px ( p >0),ppp则焦点 F 2, 0 , A 2, p , B 2,— p , 所以 AB= 2p = 12,所以 p = 6. 又点P 到AB 边的距离为p = 6 , 1所以 S AB = 2* 12X 6= 36. 答案：362x11. (2020 •陕西高考)已知椭圆C ： 丁 + y 2= 1,椭圆G 以C 1的长轴为短轴，且与 G 有相同的离心率.4 (1) 求椭圆G 的方程；uuu uuu(2) 设O 为坐标原点，点 A , B 分别在椭圆C 和C 2上,OB = 2OA ,求直线AB 的方程.2 2y x2m 2•••点A B 都在椭圆 上，••• - + n = m^ 6 [2 25"^答案：(0 , 土 1) &已知F 1、F 2分别为双曲线 2 2X yC: 9 — 27= 1的左、右焦点，点 A € C,点M 的坐标为(2,0) , AM 为/ F 1AR 解析：根据角平分线的性质,AR MF 1 MF = 2.AF 9 .已知F 是抛物线 y 2= x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点， AF + BF = 3,则线段AB 的中点到y 轴解析：如图，过A B 分别作准线 I 的垂线AD, BC 垂足分别为D, C, M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线 I 于N,由于 n\/KJ B ■…1 11MN 是梯形ABCD 勺中位线，所以 方程为 x =解：(1)由题意可知 c =■. 2, b 2 + c 2= ( ,3)2, 其离心率为事故Y — 4 =身，贝U a = 4,2 a 22 2, y x 故椭圆C 2的方程为花+ 丁= 1.16 4uuu uuu(2)法一：A , B 两点的坐标分别记为(X A , y A ) , (X B , y B )，由OB = 2OA 及⑴ 知，0, A , 点A , B 不在y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为y = kx .2 将 y = kx 代入X + y 2 = 1 中，得(1 + 4k 2)x 2= 4, 42 2 y x 2 2将 y = kx 代入 16+ 4= 1 中，得(4 + k )x = 16,uuu uuu 2 216 16 又由 0B = 20A ，得 X B = 4X A ,即 4+ k 2 = 1 + 4k 2,解得k =± 1,故直线 AB 的方程为y = x 或y = — x .法二：A , B 两点的坐标分别记为(X A , y A ) , (X B , y B ),uuu uuu由OB = 2OA 及(1)知，O, A B 三点共线且点 A B 不在y 轴上, 因此可设直线AB 的方程为y = kx .22 2 2将 y = kx 代入4 + y = 1 中，得(1 + 4k )x = 4,即 4 + k 2= 1 + 4k 2,解得k =± 1,故直线 AB 的方程为y = x 或y = — x .2 212•给定椭圆C ： X 2+ *= 1(a >b >0)，称圆心在原点 0,半径为.a 2+ b 2的圆是椭圆C 的“ 圆C 的一个焦点为F ( ,2, 0)，且其短轴上的一个端点到F 的距离为，3.(1) 求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；(2) 点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点 P 作直线丨1,丨2,使得丨1,丨2与椭圆 交点，试判断丨1,丨2是否垂直，并说明理由. 所以 2 X A = 4 1 +4k 2. B 三点共线且所以 2X B = 16 4+^. 2 所以X A = 41 + 4k - uuu uuu o 由 O B =2 OA ，得 X B = 16 1 + 4k 2，2 y B = ,216k 1 + 将x B ,2 2y B 代入鲁+X =1中，得 4+ k 2 T +i? =1, 准圆” •若椭 C 都只有一个则a= 3, b= 1,2X 2所以椭圆方程为3 + y = i.易知准圆半径为，:—3^+ 12= 2,则准圆方程为x2+ y2= 4.(2)①当l i,丨2中有一条直线的斜率不存在时，不妨设11的斜率不存在，因为l i与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =± ：'3,当l i的方程为x = .''3时，此时l i与准圆交于点(.'3, 1) , ( '3, - 1),此时经过点(, 1)或()3,—1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y = 1或y = - 1, 即12为y= 1或y=—1，显然直线l 1, 12垂直；同理可证直线l 1的方程为x =—时，直线丨1,丨2也垂直.②当丨1,丨2的斜率都存在时，设点P(x。
2020版新高考复习理科数学教学案：解析几何含答案
教课资料范本2020版新高考复习理科数学教教案：分析几何含答案编辑： __________________时间： __________________4讲分析几何■真题调研——————————————x2 y2【例 1】[20xx ·天津卷 ]设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F.上极点为 B.已知椭圆的短轴长为 4.离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点 P在椭圆上 .且异于椭圆的上、下极点 .点M为直线 PB与x 轴的交点 .点N在y轴的负半轴上．若 |ON|＝|OF|(O为原点 ).且OP⊥ MN.求直线 PB的斜率．c5解： (1)设椭圆的半焦距为 c.依题意 .2b＝4.a＝5 .又 a2＝b2＋c2.可得 a＝ 5.b＝2.c＝1.x2 y2所以 .椭圆的方程为5＋4＝1.(2)由题意 .设 P(x P.y P)(x P≠0).M(x M, 0)．设直线 PB 的斜率为k(k≠0).又 B(0,2).则直线 PB 的方程为 y＝kx＋2.与椭圆方程联立得y＝kx＋2，20kx2 y2整理得 (4＋5k2)x2＋20kx＝0.可得 x P＝－4＋5k2.代5＋4＝1，8－10k2yP 4－5k2入 y＝kx＋2 得 y P＝4＋5k2 .从而直线 OP 的斜率xP＝－10k .在 y＝kx＋22.由题意得 N(0.－1).所以直线 MN 的斜率中.令 y＝0.得 x M＝－kk4－5k2 －k224为－2.由 OP⊥ MN.得－10k·2＝－ 1.化简得 k＝5 .从而 k＝230±5 .230230.所以 .直线 PB 的斜率为或－553Ⅰ]已知抛物线 C ：y 2＝3x 的焦点为 F.斜率为 2 的直线 l 与 C 的交点为 A.B.与x 轴的交点为 P.(1)若|AF|＋|BF|＝4.求l 的方程；→＝ →(2)若AP 3PB.求|AB|.3解：设直线 l ：y ＝2x ＋t.A(x 1.y 1).B(x 2.y 2)．33(1)由题设得 F 4，0 .故|AF|＋|BF|＝ x 1＋x 2＋2.由题设可得 x 1＋x 25 ＝2.3由 y ＝2x ＋t ，可得 9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0.则 x 1＋x 2＝－y2＝3x12 t －112 t －15 79 .从而－9＝2.得 t ＝－ 8. 3 7所以 l 的方程为 y ＝2x －8.由 → →＝－ 3y 2(2) ＝3PB 可得 y 1.AP3由 y ＝2x ＋t ，可得 y 2－2y ＋2t ＝0.y2＝3x所以 y 1＋y 2＝2.从而－ 3y 2＋y 2＝2.故 y 2＝－ 1.y 1＝3.1代入 C 的方程得 x 1＝3.x 2＝3.4 13故 |AB|＝ 3 .Ⅱ ]已知点 A(－2,0).B(2,0).动点 M(x.y)知足直线 AM 与BM 的斜率之积为1－2.记M 的轨迹为曲线 C.(1)求C 的方程 .并说明 C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C 于P.Q 两点 .点P 在第一象限 .PE ⊥ x 轴.垂足为 E.连结 QE 并延伸交 C 于点 G.(ⅰ)证明：△ PQG 是直角三角形；(ⅱ)求△ PQG 面积的最大值．解： (1)由题设得 yy ＝－ 1 化简得x2 y2· 2.4 ＋2 ＝1(|x|≠2).所以x ＋2 x －2C 为中心在座标原点 .焦点在 x 轴上的椭圆 .不含左右极点．(2)( ⅰ)设直线 PQ 的斜率为 k.则其方程为 y ＝kx(k ＞0)．y ＝kx ，由 x2 y22.得 x ＝±4＋2＝11＋2k2记 u ＝2.则 P().Q(－u.－uk).E(u,0)．1＋2k2k k于是直线 QG 的斜率为 2.方程为 y ＝2(x －u)．k由y ＝2 x － u ，得(2＋k2 2－2uk 2 ＋ 2 2－8＝0. ①x2y2)x x k u4＋2 ＝1设 G(x G .y G ).则－ u 和 x G 是方程①的解 .u 3k 2＋2 uk3故 x G ＝ 2＋k 2 .由此得 y G ＝2＋k2.uk32＋k2－uk 1从而直线 PG 的斜率为u 3k 2＋2 ＝－ k .2＋k 2－u所以 PQ⊥PG.即△ PQG 是直角三角形．(ⅱ)由(ⅰ)得 |PQ|＝2u2uk k2＋11＋k2.|PG|＝2＋k2.18k 1＋k22＝所以△ PQG 的面积 S＝2|PQ||PG|＝＋2＋12k 2 k18 k＋k.11＋2 k＋k 21设 t＝k＋k.则由 k＞0 得 t≥2.当且仅当 k＝1 时取等号．8t因为 S＝1＋2t在[2.＋∞)上单一递减 .所以当 t＝2.即 k＝ 1 时.S取16得最大值 .最大值为9 .16所以 .△PQG 面积的最大值为9 .x21【例 4】[20xx ·全国卷Ⅲ ]已知曲线 C：y＝2 .D为直线 y＝－2上的动点 .过D作C的两条切线 .切点分别为 A.B.(1)证明：直线 AB过定点；5(2)若以 E 0，2为圆心的圆与直线 AB相切 .且切点为线段 AB的中点 .求四边形 ADBE 的面积．1解： (1)设 D t ，－2 .A(x1.y1).则 x21＝2y1.由 y′＝x.所以切线 DA 的斜率为 x1.1y1＋2故x1－t＝x1.5/14设 B(x 2.y 2).同理可得 2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线 AB 的方程为 2tx －2y ＋1＝0.1所以直线 AB 过定点 0，2 .1(2)由(1)得直线 AB 的方程为 y ＝tx ＋2.1y ＝tx ＋2，由可得 x 2－2tx －1＝0.x2y ＝ 2于是 x 1＋x 2＝2t.x 1x 2＝－ 1.y 1＋ y 2＝t(x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1.＝ ＋－x ＝ ＋ t2 × x 1 ＋x 2－4x ＝2(t 2＋1)． |AB| 1 t2 |x 1 2 | 1 2 1x 2设 d 1.d 2 分别为点 D.E 到直线 AB 的距离 .则 d 1＝ t2 ＋1.d 2＝2t2 ＋1.1所以 .四边形 ADBE 的面积 S ＝2|AB|(d 1＋d 2)＝(t 2＋3) t 2 ＋1.1设 M 为线段 AB 的中点 .则 M t ，t2 ＋2 .因为→⊥→→＝ 2－→与向量平行 所以 ＋2－＝EM AB.而EM (t.t 2).AB(1.t) . t (t 2)t0.解得 t ＝0 或 t ＝ ±1.当 t ＝0 时 .S ＝3；当 t ＝±1 时.S ＝4 2.所以 .四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2.■模拟操练 ——————————————x2 y21．[20xx ·南昌二模 ]已知椭圆 C ：a2＋b2＝1(a>b>0).点 M 在C 的长轴上运动 .过点 M 且斜率大于 0的直线 l 与C 交π于P.Q两点 .与y轴交于 N点．当 M为C的右焦点且 l的倾斜角为时.N.P重合 .|PM|＝2.(1)求椭圆 C的方程；→→ →(2)当均不重合时 .记NP＝λNQ.MP→＝μMQ.若λμ＝1.求证：直线 l的斜率为定值．6π解： (1)因为当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为6时.N.P 重合.|PM|＝2.b3所以＝＝所以椭圆的方程为x2所以 a＝2. ＝3 .3.b C＋y2c c 1.4＝1.m1.(2)设 l：x＝ty＋m(t>0.m≠0).则 M(m,0).N 0，－.k l＝t t 设 P(x1122则→＝ x1，y1＋m→＝ x2，y2＋m.y ).Q(x .y ).NP t .NQ t .→→由 NP＝λNQ得.x ＝λx①12.同理可得 y1＝μy2②.两式相乘得 .x11＝λμx22又λμ＝所以 1 1＝x22y y . 1.x y y .所以 (ty1＋ m)y1＝(ty2＋m)y2即－＝2－y1).即(y2－y1. t(y21 y2)m(y)[m ＋t(y1＋y2)] ＝0.由 k l>0.知 y1－y2≠0.所以 m＋t(y1＋y2)＝0.x＝ty ＋m，由x2得(t2＋4)y2＋2tmy＋m2－4＝0.所以y1＋y2 4＋y2＝1，2tm＝－t2 ＋4.2t2m所以 m－t2＋4＝0.又 m≠0.所以 t2＝4.解得 t＝2(t＝－ 2 舍去 ).1 11所以 k l＝t＝2.即直线 l 的斜率为2.2．[20xx ·济南模拟]设 M是抛物线 E：x2＝2py(p>0)上的一点 .抛物线 E在点 M处的切线方程为 y＝x－1.(1)求E的方程．(2)已知过点 (0,1)的两条不重合直线 l1.l2的斜率之积为 1.且直线 l1.l 2分别交抛物线E于A.B两点和C.D两点 .能否存在常数λ使得|AB|＋|CD | ＝λ|AB| ·|CD|建立？若存在 .求出λ的值；若不存在 .请说明原因．y＝x－1，解： (1)解法一：由消去y得x2－2px＋2p＝0.x2＝2py由题意得＝4p2－8p＝0.因为 p>0.所以 p＝2.故抛物线 E：x2＝4y.x20x2x 解法二：设 M x0，2p.由 x2＝2py 得 y＝2p.则 y′＝p.x0p＝1，由解得 p＝2.x202p＝x0－1，故抛物线 E：x2＝4y.1(2)假定存在常数λ使得 |AB|＋ |CD|＝λ|AB| ·|CD|建立 .则λ＝|AB|＋1|CD|.由题意知 .l1.l 2的斜率存在且均不为零 .设直线 l 1的方程为 y＝kx＋1(k≠0).则由y＝kx＋1，消去 y x2＝4y，得.x2－4kx－4＝0.设 A(x1.y1).B(x2.y2).则 x1＋x2＝4k.x1·x2＝－ 4.8/14所以 |AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1 2＝1＋k216k2＋16＝4(1＋xk2)(也能够由 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2.获得 |AB|＝y1＋y2＋2＝4(1＋k2))．1因为直线 l1.l 2的斜率之积为 1.所以 |CD|＝4 1＋k2 .11111 ＝所以λ＝|AB|＋|CD|＝4 1＋k2＋1＋4k21＋k214 1＋k2＝4.1所以存在常数λ＝4使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|建立．3．[20xx ·福建质检]在平面直角坐标系 xOy中.圆F： (x－1)2＋y2＝1外的点 P在y轴的右边运动 .且P到圆 F上的点的最小距离等于它到 y轴的距离 .记P 的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)过点 F的直线交 E于A.B两点 .以AB为直径的圆 D与平行于 y 轴的直线相切于点 M.线段 DM 交E于点 N.证明：△ AMB的面积是△AMN的面积的四倍．解：解法一： (1)设 P(x.y).依题意 x＞0.F(1,0)．因为 P 在圆 F 外.所以 P 到圆 F 上的点的最小距离为 |PF|－1.依题意得 |PF|－1＝x.即x－1 2＋y2－1＝x.化简得 E 的方程为 y2＝4x(x＞0)．(2)当直线 AB 的斜率不存在时 .不切合题意 .舍去．当直线 AB 的斜率存在时 .如图 .在平面直角坐标系中 .9/14设 N(x 0.y 0).A(x 1.y 1).B(x 2.y 2).则 Dx1＋x2，y1＋y2.22设直线 AB 的方程为 y ＝k(x －1)(k ≠0).y ＝k x －1 ，得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋ k 2＝0.由y 2＝4x因为＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16＞0.所以 x 1＋x 2＝ 2k2＋4k2 .4所以 y 1＋y 2＝k(x 1－1)＋k(x 2－1)＝k .＋ 2 2故 Dk2k2 ，k .4k2＋4由抛物线的定义知 |AB|＝ x 1＋x 2＋2＝.k22设 M(x M .y M ).依题意得 y M ＝k .k2＋2所以 |MD|＝k2－x M .|AB|k2＋22又 |MD|＝ 2 .所以 k2 －x M ＝k2＋2.2解得 x M ＝－ 1.所以 M －1，k .因为 N x0， 2在抛物线上 .k11 2所以 x 0＝k2.即 N k2，k .所以 S △AMB ＝ 1－y ＝ k2＋1 － y|.2|MD||y 1 2|k2 |y 1 21S △ AMN ＝2|MN||y 1－y D |＝11k2＋12|MN|×2|y 1－y 2|＝ 4k2 |y 1－y 2|.故 S△AMB＝4S△AMN .解法二： (1)设 P(x.y).依题意 x＞0.因为 P 在圆 F 外.所以 P 到 F 上的点的最小距离为 |PF|－1.依题意得 .点 P 到圆 F(1,0)的距离 |PF|等于 P 到直线 x＝－ 1 的距离．所以 P 在以 F(1,0)为焦点 .x＝－ 1 为准线的抛物线上 .所以 E 的方程为 y2＝4x(x＞0)．(2)如图 .在平面直角坐标系中 .设 A(x1.y1).B(x2.y2)．因为直线 AB 过 F(1,0).依题意可设其方程为x＝ty＋1(t≠0)．x＝ty ＋1，由y2＝4x得 y2－4ty－4＝0.因为＝16t2＋16＞0.所以 y1＋y2＝4t.则有 x1＋x2＝(ty1＋1)＋(ty2＋1)＝4t2＋2.因为 D 是 AB 的中点 .所以 D(2t2＋1,2t)．由抛物线的定义得|AB|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4t2＋4.设与圆 D 相切于 M.且平行于 y 轴的直线为 l：x＝m.因为 DM 与抛物线订交于N.所以 m＜0.且 DM⊥l.11又 |DM|＝2|AB|.所以 2t2＋1－m＝2(4t2＋4).解得 m＝－ 1.设 N(x0.y0).则 y0＝2t.所以 (2t)2＝4x0.所以 x0＝t2.2t2 ＋1＋－1因为2＝t2.所以 N 为 DM 的中点 .△△所以 S AMD ＝2S AMN.又 D 为 AB 的中点 .S△AMB＝2S△AMD .所以 S△AMB＝ 4S△AMN .解法三： (1)同解法一．(2)如图 .在平面直角坐标系中 .连结 MF.NF.设 A(x1.y1).B(x2.y2)．因为直线 AB 过 F(1,0).依题意可设其方程为x＝ty＋1(t≠0)．x＝ty ＋1，由y2＝4x得 y2－4ty－4＝0.因为＝16t2＋16＞0.所以 y1＋y2＝4t.所以 y M＝y D＝2t.|AB|因为 |MD|＝2.|AB|＝x1＋x2＋2.x1＋x2|MD|＝－x M.2所以x1＋ x2＋2 x1＋x22＝2－x M.解得 x M＝－ 1.所以 M(－1,2t)．所以 k MF·AB＝2t×1＝－ 1.k－1－1t故∠ MFD ＝90°.又 |NM|＝|NF|.所以 |NF|＝|ND|.1从而 |MN|＝ |ND|.所以 S△AMN＝2S△AMD .1又 S △ AMD ＝2S △ AMB .所以 S △ AMB ＝ 4S △AMN .4．[20xx ·郑州质量展望二]在平面直角坐标系 xOy 中.已知圆 C 1： x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线 l 0：y＝x ＋2 →2相切 .点 A 为圆 C 1上一动点 .AN ⊥x 轴于点 N.且动点 M 知足OM＋→＝→.设动点 M 的轨迹为曲线 C.AM ON(1)求曲线 C 的方程；(2)设P.Q 是曲线 C 上两动点 .线段 PQ 的中点为 T.直线 OP.OQ 的斜1率分别为 k 1.k 2.且k 1k 2＝－ 4.求|OT|的取值范围．解： (1)设动点 M(x.y).A(x 0.y 0).因为 AN ⊥x 轴于点 N.∴ N(x 0,0)．又圆 C 1：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线 l 0：y ＝x ＋2 2.即 x－ y ＋2 2＝0 相切 .|2 2|∴ r ＝＝2.2∴圆 C 1：x 2＋y 2＝4.由 →＋→ ＝→OM AM ON.得(x.y)＋(x －x 0.y －y 0)＝(x 0,0).2x －x0＝x0， x0＝x ， ∴即2y －y0＝0，y0＝2y ，又点 A 为圆 C 1 上一动点 .∴ x 2＋4y 2＝4.x2∴曲线 C 的方程为 4 ＋y 2＝1.1(2)当直线 PQ 的斜率不存在时 .可取直线 OP 的方程为 y ＝2x.不如取点 P 222， 2 .则 Q 2，－ 2 .T( 2.0).∴ |OT|＝ 2.13/14当直线 PQ 的斜率存在时 .设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋m.P(x1.y1).Q(x2.y2).y＝kx＋m，由可得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.x2＋4y2＝4，－8km4m2－4∴x1＋x2＝1＋4k2.x1x2＝1＋4k2.1∵k1k2＝－4.∴4y1y2＋x1x2＝0.∴4(kx1＋ m)(kx2＋m)＋x1x2＝(4k2＋1)x1x2＋4km(x1＋ x2)＋4m2＝32k2m24m2－4－1＋4k2＋ 4m2＝0.1化简得 2m2＝1＋4k2.∴m2≥2.＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝16(4k2＋1－ m2)＝16m2＞0.x1＋x2－4km－2k设 T(x′0.y′0).则 x′0＝2＝1＋4k2＝m .y′0＝kx′0＋m1＝.2m∴|OT|2＝ x′02＋y′02＝4k2＋1＝2－3∈1，2 .m2 4m24m2 2∴ |OT|∈2.， 22综上 .|OT|的取值范围为2.， 2 2。
(江苏专用)2020高考数学二轮复习专题二立体几何教学案
专题二 立体几何[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点 空间几何体的表面积与体积(5年4考)本专题在高考大题中的考查非常稳定，主要是线线、线面、面面的平行与垂直的证明，一般第(1)问是线面平行的证明，第(2)问是线线垂直或面面垂直的证明，考查形式单一，难度一般.偶考点简单几何体与球的切接问题 第一讲 | 小题考法——立体几何中的计算考点(一)空间几何体的表面积与体积主要考查柱体、锥体以及简单组合体的表面积与体积.1．(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E BCD 的体积是________．解析：设长方体中BC ＝a ，CD ＝b ，CC 1＝c ，则abc ＝120， ∴ V E BCD ＝13×12ab ×12c ＝112abc ＝112×120＝10.答案：102．(2018·苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为23，则该直四棱柱的侧面积为________．解析：由题意得，直四棱柱的侧棱长为（23）2－22＝22，所以该直四棱柱的侧面积为S ＝cl ＝4×2×22＝16 2.答案：16 23.(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥＝2×13×(2)2×1＝43.答案：434.(2018·南通、泰州一调)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的几何体．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损耗)．解析：由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为6×34×42×4－93×4＝60 3 (cm 3)，设所求正三棱柱的底面边长为x cm ，则有34x 2·6＝603，解得x ＝210，所以所求边长为210 cm.答案：2105．(2019·苏北三市一模)已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为________．解析：易知正四棱锥的斜高为12＋（3）2＝2，所以该正四棱锥的侧面积为4×12×23×2＝8 3.答案：8 3[方法技巧]求几何体的表面积及体积的解题技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.考点(二)简单几何体与球的切接问题主要考查简单几何体与球切接时的表面积、体积的计算问题，以及将空间几何体的问题转化为平面几何图形的关系的能力.1．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.答案：322．(2019·南通等七市二模)设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2 m ，PB ＝3 m ，PC ＝4 m ，则球O 的表面积为________m 2.解析：根据题意，可知三棱锥P ABC 是长方体的一个角，该长方体的外接球就是经过P ，A ，B ，C 四点的球，∵PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4， ∴长方体的对角线的长为PA 2＋PB 2＋PC 2＝29，即外接球的直径2R ＝29，可得R ＝292， 因此，外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫2922＝29π.答案：29π3．(2019·无锡期初测试)已知正四面体ABCD 的所有棱长都等于6，则以A 为顶点，△BCD 的内切圆为底面的圆锥的体积V ＝________．解析：设正△BCD 内切圆的圆心为O ，连接OB ，OA ，则圆O 的半径r ＝36BC ＝22，OB ＝33BC ＝ 2.易知OA ⊥平面BCD ，所以OA ⊥OB ，所以圆锥的高h ＝OA ＝AB 2－OB 2＝6－2＝2，所以圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×2＝π3.答案：π34．(2018·全国卷Ⅲ改编)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为________．解析：由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D ABC体积的最大值为13×93×6＝18 3.答案：18 3[方法技巧]简单几何体与球切接问题的解题技巧方法解读适合题型截面法解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作 球内切多面体或旋转体构造 直角 三角 形法首先确定球心位置，借助外接的性质——球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造成直角三角形，利用勾股定理求半径正棱锥、正棱柱的外接球 补形法因正方体、长方体的外接球半径易求得，故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求解三条侧棱两两垂直的三棱锥，从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等考点(三)平面图形的翻折与空间图形的展开问题主要考查空间图形与平面图形之间的转化，面积、体积以及最值 问题的求解.[典例感悟][典例] (1)如图，正△ABC 的边长为2，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别为边AC 与BC 的中点，现将△ABC 沿CD 翻折，使平面ADC ⊥平面DCB ，则三棱锥E DFC 的体积为________．(2)如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．[解析] (1)S △DFC ＝14S △ABC ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22＝34，E 到平面DFC 的距离h 等于12AD ＝12，所以V E DFC ＝13×S △DFC ×h ＝324.(2)将侧面展开后可得：本题AM ＋MC 1最小可以等价为在矩形ACC 1A 1中求AM ＋MC 1的最小值．如图，当A ，M ，C 1三点共线时，AM ＋MC 1最小． 又AB ∶BC ＝1∶2，AB ＝1，BC ＝2，CC 1＝3， 所以AM ＝2，MC 1＝22，又AC 1＝9＋5＝14，所以cos ∠AMC 1＝AM 2＋C 1M 2－AC 212AM ·C 1M ＝2＋8－142×2×22＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32， 故△AMC 1的面积为S △AMC 1＝12×2×22×32＝ 3.[答案] (1)324(2) 3 [方法技巧]解决翻折问题需要把握的两个关键点(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“不变性”．①与折线垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变； ②与折线平行的线段，翻折前后平行关系不改变．(2)解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．[演练冲关]1．有一根长为6 cm ，底面半径为0.5 cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为________cm.解析：由题意作出图形如图所示，则铁丝的长度至少为62＋（4π）2＝36＋16π2＝29＋4π2. 答案：29＋4π22．(2018·南京、盐城、连云港二模)在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图①中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥S EFGH (如图②)，则正四棱锥S EFGH 的体积为________．解析：连结EG ，HF ，交点为O (图略)，正方形EFGH 的对角线EG ＝2，EO ＝1，则点E 到线段AB 的距离为1，EB ＝12＋22＝5，SO ＝SE 2－OE 2＝5－1＝2，故正四棱锥S EFGH 的体积为13×(2)2×2＝43.答案：433．如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：如图，取BD 的中点E ，BC 的中点O ，连接AE ，OD ，EO ，AO .因为AB ＝AD ，所以AE ⊥BD .由于平面ABD ⊥平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD . 因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AE ＝22，EO ＝12.所以OA ＝32. 在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32. 所以该球的体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2.答案：3π2[必备知能·自主补缺](一) 主干知识要牢记1．空间几何体的侧面展开图及侧面积公式 几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S 直棱柱侧＝chc 为底面周长h 为高 正棱锥S 正棱锥侧＝12ch ′c 为底面周长 h ′为斜高即侧面等腰三角形的高正棱台S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′c ′为上底面周长c 为下底面周长h ′为斜高，即侧面等腰梯形的高圆柱S 圆柱侧＝2πrlr 为底面半径l 为侧面母线长 圆锥S 圆锥侧＝πrlr 为底面半径l 为侧面母线长 圆台S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)lr 1为上底面半径 r 2为下底面半径l 为侧面母线长(1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； (2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；(3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)．3．球的表面积和体积公式 (1)S 球＝4πR 2(R 为球的半径)； (2)V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．4．立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题，都可以转化为平面几何中两点距离最短．(二) 二级结论要用好1．长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系d 2＝a 2＋b 2＋c 2；若长方体外接球半径为R ，则有(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2.[针对练1] 设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，23，4，则其外接球的表面积为________．解析：依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R ，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R ＝1222＋（23）2＋42＝22，所以该三棱锥外接球的表面积为S ＝4πR 2＝32π.答案：32π2．棱长为a 的正四面体的内切球半径r ＝612a ，外接球的半径R ＝64a .又正四面体的高h ＝63a ，故r ＝14h ，R ＝34h . [针对练2] 正四面体ABCD 的外接球半径为2，过棱AB 作该球的截面，则截面面积的最小值为________．解析：由题意知，面积最小的截面是以AB 为直径的圆，设AB 的长为a ， 因为正四面体外接球的半径为2， 所以64a ＝2，解得a ＝463， 故截面面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝8π3.答案：8π33．认识球与正方体组合的3种特殊截面：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a ，球的半径为R )．[课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ________．解析：由题意，得圆锥的母线长l ＝12＋22＝5，所以S 圆锥侧＝πrl ＝π×1×5＝5π.答案：5π2．已知正六棱柱的侧面积为72 cm 2，高为6 cm ，那么它的体积为________cm 3. 解析：设正六棱柱的底面边长为x cm ，由题意得6x ×6＝72，所以x ＝2，于是其体积V ＝34×22×6×6＝363(cm 3)． 答案：36 33．(2019·扬州中学模拟)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， ∴三棱锥S ABC 的体积 V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33， 即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π. 答案：36π4．(2019·南京四校联考)如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，点E 是棱BB 1上一点(异于端点)，则三棱锥A 1AEC 的体积为________．解析：由题意知，在正三角形ABC 中，AB ＝2，所以S △ABC ＝34×22＝ 3.连接BA 1，由等体积法知，VA 1AEC ＝VE AA 1C ＝VB A 1AC ＝VA 1ABC ＝13×AA 1×S△ABC＝ 3. 答案： 35．(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，则由12·2π3·l 2＝3π，得l ＝3，又由2π3·l ＝2πr ，得r ＝1，从而有h ＝l 2－r 2＝22，所以V ＝13·πr 2·h ＝223π. 答案：223π6. 一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3.解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm 为边长的正方形，侧面高为5 cm ，则正四棱锥的高为52－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝4(cm)，所以所求容积V ＝13×62×4＝48(cm 3)．答案：487．(2019·苏锡常镇四市一模)已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由圆柱的轴截面的对角线长为2知，4r 2＋h2＝4.圆柱的侧面积S ＝2πrh ≤π×4r 2＋h22＝2π，当且仅当2r ＝h 时取等号，所以这个圆柱的侧面积的最大值为2π.答案：2π8．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2的值为________．解析：由题意知，V 1＝a 3，S 1＝6a 2，V 2＝13πr 3，S 2＝2πr 2，由V 1V 2＝3π，即a 313πr 3＝3π，得a ＝r ，从而S 1S 2＝6a 22πr 2＝62π＝32π. 答案：32π9．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为________．解析：设B ，C ，D 三点重合于点P ，得到如图所示的四面体P AEF .因为AP ⊥PE ，AP ⊥PF ，PE ∩PF ＝P ，所以AP ⊥平面PEF ，所以V 四面体P AEF ＝V 四面体A PEF ＝13·S △PEF ·AP ＝13×12×1×1×2＝13.答案：1310．(2018·常州期末)已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．解析：设截得的小圆锥的高为h 1，底面半径为r 1，体积为V 1＝13πr 21h 1；大圆锥的高为h＝6，底面半径为r ，体积为V ＝13πr 2h ＝8.依题意有r 1r ＝h 1h ，V 1＝1，V 1V ＝13πr 21h 113πr 2h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1h 3＝18，得h 1＝12h ＝3，所以圆台的高为h －h 1＝3.答案：311.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是________．解析：连结A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开，与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连结A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．因为A 1C 1＝6，A 1B ＝210，BC 1＝2，所以A 1C 21＋BC 21＝A 1B 2，所以∠A 1C 1B ＝90°. 又∠BC 1C ＝45°，所以∠A 1C 1C ＝135°，由余弦定理，得A 1C 2＝A 1C 21＋CC 21－2A 1C 1·CC 1·cos ∠A 1C 1C ＝36＋2－2×6×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝50，所以A 1C ＝52，即CP ＋PA 1的最小值是5 2. 答案：5 212．(2019·南京三模)有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a ，b ，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．解析：设所得新长方体的高为h ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，（a ＋1）（b ＋2）h ＝2，所以h ＝2（a ＋1）（b ＋2）＝2ab ＋2a ＋b ＋2＝22a ＋b ＋4≤222ab ＋4＝14，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号，故所得新长方体高的最大值为14.答案：1413．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．解析：如图，设底面半径为r ，由题意可得：母线长为2r .又侧面展开图面积为12×2r ×2πr ＝42π，所以r ＝2.又截面三角形ABD 为等边三角形，故BD ＝AB ＝2r ，又OB ＝OD ＝r ，故△BOD 为等腰直角三角形．设圆锥底面中心到截面的距离为d ，又V O ABD ＝V A BOD ，所以d ×S △ABD ＝AO ×S △OBD .又S △ABD ＝34AB 2＝34×8＝23，S △OBD ＝2，AO ＝r ＝2，故d ＝2×223＝233.答案：23314. 底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12 cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________cm 3.解析：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，O 1O 2O 3O 4为正四面体，棱O 1O 2到棱O 3O 4的距离为22，所以注水高为1＋22.故应注水体积为π⎝⎛⎭⎪⎫1＋22－4×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋22π(cm 3)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋22πB 组——力争难度小题1．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O EFGH 后所得的几何体．其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm 和4 cm ， 故V 挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm 3)．又V 长方体＝6×6×4＝144(cm 3)， 所以模型的体积为V 长方体－V 挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)． 答案：118.82.(2018·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．解析：设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上．球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R＝12＋22＋52＝30，得4R2＝30.从而S球面＝4πR2＝30π.答案：30π3.(2019·启东中学模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为________cm.解析：法一：如图，过点S作SM⊥平面ABCD，垂足为M，连接AM，由题意，可知SM＝10 2 cm，AM＝10 2 cm，易发现点M到每条棱的距离均为10 cm，所以点M即球心，球半径为10 cm.法二：在四棱锥SABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 2 cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝10 2 cm，SA＝20 cm，所以O到SA的距离d＝10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心O，所以皮球的半径r＝10 cm.答案：104．(2019·河南模拟)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面为M，则截面M的面积为________．解析：如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝52，PG ∥CD ，AF ∥D 1G .由题意易知CD ∥C 1D 1， ∴PG ∥C 1D 1，∴四边形C 1D 1GP 为平行四边形， ∴PC 1∥D 1G ， ∴PC 1∥AF ，∴A ，P ，C 1，F 四点共面， ∴四边形APC 1F 为菱形． ∵AC 1＝3，PF ＝2，∴截面M 的面积S ＝12AC 1·PF ＝123× 2＝62.答案：625.如图所示，在直三棱柱中，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝CC 1＝2，若用平行于三棱柱A 1B 1C 1ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．解析：用过AB ，AC 的中点且平行于平面BCC 1B 1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个边长为2的正方体，其表面积为24；用过AB ，BC 的中点且平行于平面ACC 1A 1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为4，1，2的长方体，其表面积为28；用过AA 1，BB 1，CC 1的中点且平行于平面ABC 的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为4，2，1的长方体，其表面积为28，因此所求的长方体表面积的最小值为24. 答案：246.如图，在棱长为4的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，D 1C 1上的动点，点G 为正方形B 1BCC 1的中心．则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为________．解析：四边形AEFG 在前、后面的正投影如图①，当E 与A 1重合，F 与B 1重合时，四边形AEFG 在前、后面的正投影的面积最大值为12；四边形AEFG 在左、右面的正投影如图②，当E 与A 1重合，四边形AEFG 在左、右面的正投影的面积最大值为8；四边形AEFG 在上、下面的正投影如图③，当F 与D 重合时，四边形AEFG 在上、下面的正投影的面积最大值为8.综上所述，所求面积的最大值为12.答案：12第二讲 | 大题考法——平行与垂直题型(一)线线、线面位置关系的证明平行、垂直关系的证明是高考的必考内容，主要考查线面平行、垂直的判定定理及性质定理的应用，以及平行与垂直关系的转化等.[典例感悟][例1] (2017·江苏高考)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[证明] (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.[方法技巧]立体几何证明问题的2个注意点(1)证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理．如线面平行的判定定理中要求其中一条直线在平面内，另一条直线必须说明它在平面外；线面垂直的判定定理中要求平面内的两条直线必须是相交直线等，如果定理的条件不完整，则结论不一定正确．(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．[演练冲关]1.(2018·苏锡常镇调研)如图，在四棱锥PABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；(2)求证：CE∥平面PAD.证明：(1)取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD＝CB，所以BD⊥CO.因为PB＝PD，所以BD⊥PO.又PO∩CO＝O，所以BD⊥平面PCO.因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD.(2)由E为PB中点，连结EO，则EO∥PD，又EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD.由∠ADB＝90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面PAD，所以CO∥平面PAD.又CO∩EO＝O，所以平面CEO∥平面PAD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD.2．(2019·江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA 1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.证明：(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.题型(二)两平面之间位置关系的证明考查面面平行和面面垂直，都需要用判定定理，其本质是考查线面垂直和平行.[典例感悟][例2] (2019·南京盐城一模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点(其中点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的点，且A1F⊥B1C1.求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)A1F∥平面ADE.[证明] (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又AD⊥DE，在平面BCC1B1中，CC1与DE相交，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，因为A1F⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F.又A1F⊥B1C1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1F⊥平面BCC1B1.在(1)中已证得AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，所以A1F∥平面ADE.[方法技巧]证明两平面位置关系的求解思路(1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．(2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决.[演练冲关](2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明：(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.题型(三)空间位置关系的综合问题主要考查空间线面、面面平行或垂直的位置关系的证明与翻折或存在性问题相结合的综合问题.[典例感悟][例3] 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AM AB的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2，∴AE ＝BE ＝2 2.又AB ＝4，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE .又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，BE ⊂平面ABCE ，∴BE ⊥平面D 1AE .(2)AM AB ＝14，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC ，FL ＝12EC ＝1.又EC ∥AB ，∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面．若MF ∥平面AD 1E ，则MF ∥AL .∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，即AM AB ＝14.[方法技巧]与平行、垂直有关的存在性问题的解题步骤[演练冲关](2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q ABP 的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作QE ⊥AC ， 垂足为E ，则QE 綊13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q ABP 的体积为V Q ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.[课时达标训练]A 组——大题保分练1．(2019·苏北三市期末)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是B 1C 1，AB ，AA 1的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1BD ；(2)若A 1B 1＝A 1C 1，求证：平面A 1BD ⊥平面BB 1C 1C .证明：(1)因为E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，所以EF ∥A 1B .因为EF ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，所以EF ∥平面A 1BD .(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面A 1B 1C 1，因为A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1D . 因为A 1B 1＝A 1C 1，且D 是B 1C 1的中点， 所以A 1D ⊥B 1C 1.因为BB 1∩B 1C 1＝B 1，B 1C 1，BB 1⊂平面BB 1C 1C ， 所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C . 因为A 1D ⊂平面A 1BD ， 所以平面A 1BD ⊥平面BB 1C 1C .2.(2019·南京四校联考)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 是BC 的中点，F 在棱PC 上，且PA ∥平面DEF .(1)求证：AD ⊥PC ； (2)求PF FC的值．解：(1)证明：因为底面ABCD 是矩形，所以AD ⊥DC . 因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD . 又PD ，DC ⊂平面PCD ，PD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面PCD . 又PC ⊂平面PCD ，所以AD ⊥PC .(2)如图，连接AC ，交DE 于G ，连接FG .因为PA ∥平面DEF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面DEF ＝FG . 所以PA ∥FG ， 所以PF FC ＝AGGC.因为底面ABCD 是矩形，E 是BC 的中点， 所以AD ∥BC ，AD ＝2EC . 所以易知AG GC ＝ADEC＝2.所以PF FC＝2.3.(2019·扬州期末)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，E ，F 分别是四边形AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)BB1⊥AC.证明：(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形．∵E，F分别是四边形AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，∴E，F分别是AB1，CB1的中点，∴EF∥AC.∵EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵四边形AA1B1B为矩形，∴BB1⊥AB，∵平面AA1B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BB1⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴BB1⊥AC.4．(2019·南京三模)在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°.(1)求证：平面PAC⊥平面PAB；(2)设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：BC∥l.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC.因为AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，所以由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC＝12＋22－2×1×2cos 60°＝ 3.因为12＋()32＝22，即AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB.又AC⊥PA，PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.(2)因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.又BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.B组——大题增分练1．(2018·盐城三模)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，M，N分别是棱A1D1，D1C1的中点．求证：(1)AC∥平面DMN；(2)平面DMN⊥平面BB1D1D.证明：(1)连结A1C1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为AA1綊BB1，BB1綊CC1，所以AA1綊CC1，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC.又。
江苏省高考数学二轮复习考前回扣解析几何学案
6.解析几何1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tanα(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC .[问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法是________的．(填正确或错误)(2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是____________________．答案 (1)错误 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π2．直线方程的五种形式(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03．两条直线的位置关系(1)若已知直线的斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则①l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；③l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2. (2)若已知直线的一般方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 ①l 1∥l 2平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0； ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； ③l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；④l 1与l 2重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0且A 1C 2－A 2C 1＝0.[问题3] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝_____时，l 1∥l 2；当m ＝______时，l 1⊥l 2；当_____时，l 1与l 2相交；当m ＝_______时，l 1与l 2重合．答案 －1 12 m ≠3且m ≠－1 34．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[问题4] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． 答案1513265．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案 －16．直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系来判定．(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据Δ的符号来判断． [问题6] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为_______． 答案 (x －1)2＋y 2＝1解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)， 所以a ＝1，b ＝0，又由直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，得r ＝3＋25＝1，所以该圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 7．圆锥曲线的定义和性质 名称 椭圆双曲线抛物线定义 PF 1＋PF 2＝2a (2a >F 1F 2)|PF 1－PF 2|＝2a (2a <F 1F 2)PF ＝PM ，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)图形范围 |x |≤a ，|y |≤b |x |≥a x ≥0顶点 (±a,0)，(0，±b )(±a,0)(0,0)对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称关于x 轴对称焦点 (±c,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 轴 长轴长2a ，短轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b离心率 e ＝ca ＝1－b 2a 2(0<e <1) e ＝c a ＝1＋b 2a 2(e >1) e ＝1 准线 x ＝±a 2cx ＝±a 2cx ＝－p 2通径 AB ＝2b 2aAB ＝2p渐近线y ＝±b ax[问题7] 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 答案 2解析 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.8．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有惟一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或P 1P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径CF ＝x 1＋p2；②弦长CD ＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[问题8] 如图，斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．答案 85解析 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由椭圆方程知，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3， 所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3. 将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0， 解得x 1＝43＋225，x 2＝43－225，所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85.所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×(83)2－4×5×85＝85.易错点1 直线的倾斜角和斜率关系不清例1 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是__________．易错分析 本题易混淆α和倾斜角的关系，不能真正理解斜率和倾斜角的实质，忽视倾斜角本身的范围．解析 设直线的倾斜角为θ， 则有tan θ＝－sin α. 因为sin α∈[－1,1]， 所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π易错点2 忽视直线的特殊位置例2 已知l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，求使l 1∥l 2的a 的值． 易错分析 本题易出现的问题是忽视直线斜率不存在的特殊情况，即忽视a ＝0的情况． 解 当直线斜率不存在，即a ＝0时，l 1：3x －5＝0，l 2：－x －2＝0，符合l 1∥l 2；当直线斜率存在时，l 1∥l 2⇔－32a ＝3a －1a ⇔a ＝－16，经检验，a ＝－16符合题意．故使l 1∥l 2的a 的值为－16或0.易错点3 焦点位置考虑不全例3 已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝______.易错分析 本题易出现的问题就是误以为给出方程的椭圆，其焦点在x 轴上导致漏解．该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确定焦点所在坐标轴，所以应该根据其焦点所在坐标轴进行分类讨论．解析 ①当椭圆的焦点在x 轴上时，由方程x 24＋y 2m＝1，得a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝22－(3)2＝1. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1.由方程，得b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故a 2－b 2a ＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ，所以a ＝4，故m ＝a 2＝16. 综上，m ＝1或16. 答案 1或16易错点4 忽视斜率不存在例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点． ①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证：OP ⊥OQ .易错分析 解答本题第(2)②问时需要考虑直线的斜率是否存在，可分两类情况分别求解． (1)解 由题意，得ca ＝22，4a 2＋1b2＝1，解得a 2＝6，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)①解 由题意得，直线l 的斜率存在，椭圆C 的右焦点为F (3，0)． 设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0， 所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．当k ＝2时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －3)，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43＋325，y ＝－6＋65或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43－325，y ＝－6－65.所以点P ，Q 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫43＋325，－6＋65，⎝ ⎛⎭⎪⎫43－325，－6－65，所以PQ ＝665. 因为O 到直线PQ 的距离为2， 所以△OPQ 的面积为635.根据椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，△OPQ 的面积也为635.综上所述，△OPQ 的面积为635. ②证明 (ⅰ)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－ 2. 当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)． 因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ . 当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ . (ⅱ)若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0. 因为直线与圆相切，所以|m |1＋k2＝2，即m 2＝2k 2＋2.将直线PQ 的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有 x 1,2＝－4km ±24－8m 2＋48k 22(1＋2k 2) ＝－2km ±6－2m 2＋12k 21＋2k2， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.因为OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)×2m 2－61＋2k 2＋km ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2＋m 2.将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ . 综上所述，OP ⊥OQ .易错点5 忽视Δ>0例5 设过点A (0，－2)的动直线l 与x 24＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．当△OPQ的面积最大时，求直线l 的方程．易错分析 本题通过弦长公式、面积公式等工具将△OPQ 的面积表示为关于变量k 的函数解析式f (k )，再求函数最大值及相应的k 值，此时需借助隐含条件直线与椭圆相交得到Δ>0进行验证．解 当l ⊥x 轴时不合题意，故设直线l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0， 当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而PQ ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·PQ ＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，k ＝±72时取等号，且满足Δ>0.所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.1．(2018·江苏淮安等四市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1上，则r 的取值范围是________． 答案 [2－1，2＋1]解析 C 2关于直线x －y ＝0的对称圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1， 由题意，知圆C 与圆C 1有交点， 所以r －1≤2≤r ＋1，所以r 的取值范围是[2－1，2＋1]．2．已知椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点为(0,2)，则m 的值是________． 答案 5解析 方程变形为x 26＋y 22m＝1，∵焦点在y 轴上，∴a 2＝2m ，b 2＝6， 又c ＝2且a 2－b 2＝c 2， ∴2m －6＝22，∴m ＝5.3．设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，则抛物线的方程为________． 答案 y 2＝8x 或y 2＝－16x解析 当m >0时，准线方程为x ＝－m4＝－2，∴m ＝8，此时抛物线方程为y 2＝8x ； 当m <0时，准线方程为x ＝－m4＝4，∴m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x . ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .4．已知双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________． 答案3215解析 由题意求出双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5， 则双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，不妨设直线BF 的斜率为43，可求出直线BF 的方程为4x －3y －20＝0，(*)将(*)式代入双曲线方程，解得y B ＝－3215，则S △AFB ＝12AF ·|y B |＝12(c －a )·3215＝3215.5．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案 53解析 椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F (1,0)，故直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2(x －1)消去y ，整理得3x 2－5x ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2， 则x 1，x 2是方程3x 2－5x ＝0的两个实根， 解得x 1＝0，x 2＝53，故A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43， 故S △OAB ＝S △OFA ＋S △OFB ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|＋43×1＝53.6．若圆x 2＋y 2＝r 2过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A ，B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为________． 答案 2解析 由题意，直线的一条渐近线方程的斜率为3， ∴b a＝3，∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2.7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．答案5－12解析 F (c,0)，A (a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )， ∴FB 2→＝(－c ，b )，B 1A ―→＝(a ，b )， ∵B 2F ⊥AB 1，∴FB 2→·B 1A ―→＝－ac ＋b 2＝0， ∴a 2－c 2－ac ＝0， 化为e 2＋e －1＝0,0<e <1. 解得e ＝5－12. 8．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－355，355解析 设点P 的坐标为(x ，y )，F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 在△PF 1F 2中，∵∠F 1PF 2为钝角，∴PF 1→·PF 2→<0， 即(－5－x ，－y )·(5－x ，－y )<0， 即x 2＋y 2－5<0.∵x 29＋y 24＝1，∴5x29－1<0， ∴－355<x <355.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的焦点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)记直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆E 于P ，Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M (－1,0)，N (1,0)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当2m 2－2k 2＝1时，求k 1·k 2的值． 解 (1)因为0<b <2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上， 又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c ＝b ，所以2b 2＝4，即b 2＝2， 所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 则x 1,2＝－4km ±16－8m 2＋32k 22(1＋2k 2) ＝－2km ±4－2m 2＋8k 21＋2k 2， 所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k2，又2m 2－2k 2＝1，所以x 1＋x 2＝－2k m，所以x 0＝－k m ，y 0＝m －k ·k m ＝12m， 则k 1·k 2＝12m－k m ＋1·12m－k m－1＝14k 2－4m 2 ＝1－2(2m 2－2k 2)＝－12.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP2＋1OQ 2的值．解 (1)由题意得c a ＝22，a 2c－c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝1，b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，OP 的斜率存在，当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2， 所以1OP2＋1OQ 2＝1，当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1.因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x ，得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2，所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1.综上可知，1OP2＋1OQ 2＝1.。
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专题15解析几何中的综合问题回顾2020～2012年的高考题，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.预测在2020年的高考题中：1填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及.2在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题.1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的内接矩形的面积最大值为________．解析：设P (x ，y )为矩形的一个顶点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1≥2x 2y 2a 2b 2＝2|xy |ab，所以S ＝4|xy |≤2ab ，当且仅当x 2a 2＝y 2b 2＝12时等号成立． 答案：2ab2．两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________． 解析：由题意得x 3＋y 4＝1(x >0，y >0)所以1＝x 3＋y4≥2xy12即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12时等号成立． 答案：33．和圆(x －3)2＋(y －1)2＝36关于直线x ＋y ＝0对称的圆的方程是________．解析：圆心(3,1)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标为(－1，－3)，半径不变，方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝36.答案：(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝364．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＝0，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：由y 2＝2x －x 2≥0得0≤x ≤2， 所以x 2＋y 2＝2x ∈[0,4]． 答案：[0,4]5．设A (x 1，y 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，95，C (x 2，y 2)是右焦点为F 的椭圆x 225＋y 29＝1上三个不同的点，若AF ，BF ，CF成等差数列，则x 1＋x 2＝________.解析：根据圆锥曲线的共同性质可知A ，B ，C 到右准线x ＝254的距离成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫254－4＝254－x 1＋254－x 2，即x 1＋x 2＝8.答案：8[典例1]已知i ，j 是x ，y 轴正方向的单位向量，设a ＝(x －3)i ＋y j ，b ＝(x ＋3)i ＋y j ，且满足|a |＋|b |＝4.(1)求点P (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)如果过点Q (0，m )且方向向量为c ＝(1,1)的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，当△AOB 的面积取到最大值时，求m 的值．[解] (1)∵a ＝(x －3)i ＋y j ，b ＝(x ＋3)i ＋y j ，且|a |＋|b |＝4.∴点P (x ，y )到点(3，0)，(－3，0)的距离之和为4，故点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 依题意直线AB 的方程为y ＝x ＋m . 代入椭圆方程，得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0， 则x 1＋x 2＝－85m ，x 1·x 2＝45(m 2－1)．因此，S △AOB ＝12AB ·d ＝255－m2m 2≤25×52＝1.当5－m 2＝m 2时，即m ＝±102时，S max ＝1.(1)本题以向量为载体考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题．(2)求解解析几何中的最值问题，一般要先建立目标函数，再求最值，求最值的方法主要是配方法和利用基本不等式．[演练1]已知点A (－22，0)，B (－2，0)，动点P 满足AP u u u r ·AB u u u r ＝2|AB u u u r |·|BP u u u r|，若动点P 的轨迹记作曲线C 1.(1)求曲线C 1的方程；(2)已知曲线C 1交y 轴正半轴于点Q ，过点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23作斜率为k 的直线l 交曲线C 1于M 、N 点，求证：无论k 如何变化，以MN 为直径的圆过点Q .解：(1)设P (x ，y )，则有AP u u u r＝(x ＋22，y )， AB u u u r ＝(2，0)，BP u u u r＝(x ＋2，y )． ∵AP u u u r ·AB u u u r ＝2·|AB u u u r |·|BP u u u r|，∴2x ＋4＝2·2· x ＋22＋y 2.化简得x 24＋y 22＝1.故曲线C 1的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：由x 24＋y 22＝1，得Q (0，2)．设直线l 的方程为y ＝kx －23， 代入x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－423kx －329＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则QM u u u u r ＝(x 1，y 1－2)，QN uuu r＝(x 2，y 2－2)．∴x 1＋x 2＝42k31＋2k 2，x 1·x 2＝－3291＋2k2. ∴QM u u u u r ·QN uuu r ＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 1－423⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－423＝x 1x 2(1＋k 2)－423k (x 1＋x 2)＋329＝－3291＋k 21＋2k 2－423k ·42k 31＋2k 2＋329＝0. ∴QM u u u u r ⊥QN uuu r.即点Q 在以MN 为直径的圆上． [典例2]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. [解] (1)因为b ＝2，△F 1MF 2是等腰直角三角形，所以c ＝2，所以a ＝22， 故椭圆的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：①若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，联立方程得，⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.由题知k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8， 所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝8， 即2k ＋(m －2)x 1＋x 2x 1x 2＝8. 所以k －mk m ＋2＝4，整理得m ＝12k －2. 故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－2. 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. ②若直线AB 的斜率不存在，设直线AB 的方程为x ＝x 0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)， 则由题知y 0－2x 0＋－y 0－2x 0＝8， 得x 0＝－12.此时直线AB 的方程为x ＝－12，显然直线AB 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 综上可知，直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.(1)本题主要考查椭圆的标准方程，直线方程及圆锥曲线中定值问题的证明． (2)证明直线过定点时，可先用参数表示出直线方程，再根据方程的特点去证明． (3)证明函数式为定值时，一般是写出其表达式，消去参数，从而证明为定值． [演练2]22，点P 是如图，已知椭圆的两个焦点F 1、F 2在y 轴上，短轴长为22，离心率为椭圆上一点，且在第一象限内，1PF u u u r ·2PF u u u u r＝1，过点P 作关于直线PF 1对称的两条直线PA 、PB ，分别交椭圆于A 、B 两点．(1)求点P 的坐标；(2)求证：直线AB 的斜率为定值．解：(1)设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为椭圆的短轴长为22，离心率为22， 所以2b ＝22，c a ＝22， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.所以F 1(0，2)，F 2(0，－2)．设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则1PF u u u r ＝(－x 0，2－y 0)，2PF u u u u r＝(－x 0，－2－y 0)，所以1PF u u u r ·2PF u u u u r ＝x 20－(2－y 20)＝1.又点P (x 0，y 0)在椭圆上，则x 202＋y 204＝1，所以x 2＝4－y 202，从而4－y 202－(2－y 20)＝1，解得y 0＝2或y 0＝－2(舍去)， 则点P 的坐标为(1，2)．(2)证明：由(1)知PF 1∥x 轴，所以直线PA 、PB 的斜率互为相反数．设直线PB 的斜率为k ，不妨令k >0， 则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －1，x 22＋y 24＝1，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. 设B (x B ，y B )，则x B ＝2－k 2－42＋k 2＝k 2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k2. 所以x A －x B ＝42k 2＋k2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k2＋k2. 所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y Bx A －x B＝2为定值． [典例3]已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22的椭圆C 经过点(6，1)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l 1、l 2分别与椭圆交于A ，B 和C ，D ，那么是否存在常数λ使得AB ＋CD ＝λ·AB ·CD ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由离心率e ＝c a ＝22，c 2＝a 2－b 2， 可得a 2－b 2a 2＝12，从而a 2＝2b 2，故椭圆C 的标准方程为x 22b 2＋y 2b2＝1，将点(6，1)代入椭圆方程可得b 2＝4， 易知a 2＝8，则椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)原问题等价于1AB ＋1CD＝λ(λ为常数)．不妨取椭圆C 的右焦点(2,0)， ①当直线AB 的斜率存在且不为0时， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－8＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－81＋2k 2.根据弦长公式易得AB ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 21＋2k 22－4·8k 2－81＋2k 2＝421＋k 21＋2k 2， 从而易知，CD ＝421＋k 22＋k2，所以1AB ＋1CD ＝328，AB ＋CD ＝328AB ·CD .②当直线AB 斜率不存在或为0时，AB 、CD 中一个是长轴的长度，另一个是通径的长度． 易得AB ＋CD ＝328AB ·CD .综上所述，存在常数λ＝328，使得AB ＋CD ＝λAB ·CD .本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质及圆锥曲线中的探索性问题．本题(2)的解法中将等式巧妙变形，即把问题转化为弦长的计算问题，体现了化归思想的重要作用．[演练3]已知A 、B为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右顶点，F 为椭圆的右焦点，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交直线l ：x ＝m (m >2)于M 、N 两点，l 交x 轴于C 点．(1)当PF ∥l 时，求点P 的坐标；(2)是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆过点F ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1. 连结PF ，当PF ∥l 时，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得y ＝±32，则P ⎝⎛⎭⎪⎫1，±32. (2)设椭圆上任意一点P (x 0，y 0)，易得直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝y 0x 0＋2x ＋2，x ＝m ，得M ⎝⎛⎭⎪⎫m ，m ＋2y 0x 0＋2.直线BN 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x 0－2x －2，x ＝m ，得N ⎝⎛⎭⎪⎫m ，m －2y 0x 0－2.∵点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 23＝1上，∴x 204＋y 203＝1，变形得y 20x 20－4＝－34， ∴k MF ·k NF ＝m ＋2y 0x 0＋2m －1·m －2y 0x 0－2m －1＝m 2－4y 20m －12x 20－4＝m 2－4m －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－3m 2－44m －12.要使以MN 为直径的圆过点F ，即要满足MF ⊥NF ，则k MF ·k NF ＝－1，解得m ＝4. 所以存在m ＝4，使得以MN 为直径的圆过点F . [专题技法归纳] 1．定点定值问题的求解策略： (1)从一般的情形进行论证．(2)运用从特殊到一般的思想来解决问题，即先求出特殊情形下的值，如直线的斜率不存在的情况，再论证该特殊值对一般情形也成立．2．求解最值问题应注意：(1)如果建立的函数是关于斜率k 的函数，要增加考虑斜率不存在的情况；(2)如果建立的函数是关于点的坐标x ，y 的函数，可以考虑用代入消元、基本不等式、三角换元或几何解法来解决问题．1.(2020·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽______米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为2 6.答案：2 62．(2020·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为____________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|BF 1|，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55. 答案：553.(2020·湖北高考)如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析：(1)由题意可得a b 2＋c 2＝bc ，则a 4－3a 2c 2＋c 4＝0， 即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52，故e ＝1＋52. (2)设∠B 2F 1A 2＝θ，则sin θ＝bb 2＋c2，cos θ＝c b 2＋c2，S 1S 2＝2bc4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2·bc b 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.答案：(1)1＋52 (2)2＋524．(2020·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程，得y 2－433y －4＝0， 解得y A ＝433＋ 163＋162＝23(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.答案： 35．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的中点为M ，若2MA u u u r ·MF u u u r ＋2BF u u u ur ≥0，则该椭圆离心率的取值范围为________．解析：由题意得A (－a,0)，B (0，b )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，b 2，F (c,0)，则MA u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，MF u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a 2，－b 2.由2 MA u u u r ·MF u u u r ＋2BF u u u u r ≥0可得c 2＋2ac －2a 2≤0，解得e ∈[－1－3，－1＋ 3 ]．又e ∈(0,1)，所以椭圆离心率的取值范围为(0，3－1]． 答案：(0，3－1]6．若三角形三边所在直线方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．解析：由已知条件可得三角形的三个顶点是(1,2)，(2,2)和(3,1)，作出图形可知该三角形为钝角三角形．而能够覆盖钝角三角形的面积最小的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆，而最长边的两个端点坐标分别为(1,2)，(3,1)，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，半径为52，则所求圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝547．(2020·浙江高考)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A u u u r ＝52F B u u u u r，则点A 的坐标是________．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得1F A u u u r ＝(m ＋2，n )，2F B u u u u r＝(c －2，d )．∵1F A u u u r ＝52F B u u u u r ，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 52＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)8．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则AF 2＝________.解析：根据角平分线的性质，AF 2AF 1＝MF 2MF 1＝12. 又AF 1－AF 2＝6，故AF 2＝6. 答案：69．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：如图，过A ，B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，C ，M 是线段MN ＝AD ＋BC2.AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD 的中位线，所以由抛物线的定义知AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝3，所以MN ＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－14，所以线段AB 中点到y 轴的距离为32－14＝54. 答案：5410．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB ＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p ， 所以AB ＝2p ＝12，所以p ＝6. 又点P 到AB 边的距离为p ＝6， 所以S △ABP ＝12×12×6＝36.答案：3611．(2020·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB uuu r ＝2OA u u u r，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4， 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB uuu r ＝2OA u u u r 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB uuu r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB uuu r ＝2OA u u u r 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k2. 由OB uuu r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1， 即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 12．给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，称圆心在原点O ，半径为a 2＋b 2的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F (2，0)，且其短轴上的一个端点到F 的距离为 3. (1)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，试判断l 1，l 2是否垂直，并说明理由．解：(1)由题意可知c ＝2，b 2＋c 2＝(3)2，则a ＝3，b ＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. 易知准圆半径为32＋12＝2， 则准圆方程为x 2＋y 2＝4.(2)①当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，不妨设l 1的斜率不存在，因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x ＝±3，当l 1的方程为x ＝3时，此时l 1与准圆交于点(3，1)，(3，－1)，此时经过点(3，1)或(3，－1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y ＝1或y ＝－1， 即l 2为y ＝1或y ＝－1，显然直线l 1，l 2垂直；同理可证直线l 1的方程为x ＝－3时，直线l 1，l 2也垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，设点P (x 0，y 0)，其中x 20＋y 20＝4.设经过点P (x 0，y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝t (x －x 0)＋y 0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝tx ＋y 0－tx 0，x 23＋y 2＝1，消去y ，得 (1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0.由Δ＝0化简整理得，(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋1－y 20＝0.因为x 20＋y 20＝4，所以有(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0.设直线l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，因为l 1，l 2与椭圆只有一个公共点，所以t 1，t 2满足方程(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0，所以t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直．综合①②知，l 1，l 2垂直．。