高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理自我小测新人教A版选修4_1

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人教A版数学【选修4-1】ppt课件：2-2第二讲-直线与圆的位置关系

任意平行四边形的四个顶点在同一个圆上
平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，因为
它的对角相等，但不一定互补．当互补时，共圆．思考探究2 在我们学过的特殊四边形中，有哪些四边形
的四个顶点共圆？提示有矩形、正方形、等腰梯形，因为它们的四个内角
中相对的两个内角互补.Fra bibliotek名师点拨 1.判定四点共圆的方法 (1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆．
【证明】 O.
由A，B，D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙
(1)如果点C在⊙O的外部(如图①)，连接BC，与圆相交于点E. ∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB. 而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．
(2)如果点C在⊙O的内部(如图②)．延长BC与圆相交于点E，连接AE，则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾． ∴点C不可能在圆内．由(1)、(2)知，点C只能在圆上． ∴A，B，C，D四点共圆．
规律技巧
本例的证明应用了分类讨论的思想和反证法．
变式2
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G，求证： (1)D，E，F，G四点共圆； (2)G，B，C，F四点共圆．
证明 GEF＝90° .
(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠
规律技巧
本题除了运用圆内接四边形的性质定理，还运
用了垂径定理及圆周角定理的推论2解决问题．
变式1
如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB和DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q.如果∠A＝50° ，∠P＝ 30° ，求∠Q的度数．

高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理课件新人教A版选修41

因为∠AOB＝120°，所以A︵EB的度数为 120°， A︵CB的度数为 240°.
所以∠AEB＝12×240°＝120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
规律方法弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识.
跟踪演练 1 如图，已知：△ABC 内接于⊙O，D，E 在 BC 边上，且 BD＝CE，∠1＝∠2. 求证：AB＝AC. 证明延长 AD，AE，分别交⊙O 于 F，G，
要点三直径上的圆周角例 3 如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，AC
为弦，OD∥BC，交 AC 于 D，BC＝4 cm. (1)试判断 OD 与 AC 的位置关系； (2)求 OD 的长； (3)若 2sin A－1＝0，求⊙O 的直径.
解 (1)OD⊥AC.理由如下： ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC. (2)∵△AOD∽△ABC，∴OBCD＝AAOB＝12， ∴OD＝12BC＝2(cm). (3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝12.又∵sin A＝BACB， ∴AB＝2BC＝8 cm，即⊙O 的直径为 8 cm.
3.关于圆周角定理推论的理解 (1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的. (2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”. (3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”. (4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧.
所以B︵C＝A︵E.
规律方法证明弧相等只需证明弧所对的圆心角相等，通常用圆周角定理或平行来转化.

人教A版选修4-1配套练习第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理 Word版含解析

第二讲直线与圆的位置关系圆内接四边形的性质与判定定理级基础巩固一、选择题．圆内接平行四边形一定是( )．菱形．正方形．矩形．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．答案：．已知，是⊙的两条直径，则四边形一定是( )．菱形．矩形．等腰梯形．正方形解析：，均为⊙的直径，故四边形的四个角均为直角，且对角线＝，所以四边形为矩形．答案：．四边形内接于圆，∠∶∠∶∠＝∶∶，则∠等于( )．°．°．°．°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠＋∠＝°.又由∠∶∠＝∶，设∠＝，∠＝，则＝°，即＝°，所以∠＝＝°.故∠＝°－∠＝°.答案：.如图所示，四边形是⊙的内接四边形，为的延长线上一点，∠＝°，则∠等于( )．°．°．°．°解析：因为四边形是圆内接四边形，且∠＝°，由圆内接四边形性质知∠＝∠＝°，又由圆周角定理知∠＝∠＝°.答案：．如图所示，若是⊙的直径，是⊙的弦，∠＝°，则∠的度数为( )．°．°．°．°解析：如图所示，连接，则△是直角三角形，∠＝°，则∠＝°－∠＝°，根据同弧所对的圆周角相等，∠＝∠＝°.答案：二、填空题.如图所示，四边形是圆的内接四边形，延长与相交于点.若＝，。

高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段课件新人教a版选修4-1

连接AC、AD, 同样可以证明 PAC ~ PDA ( 请同学们自己证明),因而1 式仍然成立. 在这种情况下, A、B两点重合, PA PB PC PD, 变形为: 2 PA2 PC PD.
D C
P
A
O
B
图2 24
D C
P
AB
O
图2 25
由上述探究和论证, 我们有
例1 如图2 28 ,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA PB
A
C P
O
B
1 D 4, PC PD.求CD的长 . 4 图2 28 4 1 解设CD x, 则PD x, PC x. 5 5
由相交弦定理 , 得 PA PB PC PD.
1 4 所以 4 4 x x, x 10. 故CD 10 . 5 5
D
C,PA
O
B
图2 23
D C
P
A
O
根据上述探究和论证, 我们有
B
割线定理从圆外一点引圆图2 24 的两条割线 , 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
下面继续用运动变化思想探究.
探究在图2 24 中, 使割线 PB 绕 P 点运动到切线位置图 2 25, 是否还有PA PB PC PD ?
单击图标, 用几何画板作一系列探究实验.
D A A C P
O
D B P
O
D B A P B
O
图2 20
图2 21
C
C
图2 22
连接AD、BC, 则由圆周角定理的推论可得: A C. PA PC 故Rt APD ~ Rt CPB.则 .即PA PB PC PD. PD PB

2019_2020学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.1圆周角定理课件新人教A版选修4_1

A.20° B.40° C.80° D.70° 解析因为∠AMB=40°,所以∠AOB=80°,从而劣弧答案C
的��度�� 数为80°.
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答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
123
3.圆周角定理的推论 (1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. (2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
探究二
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探究三
思维辨析
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解析(1)∵∠D=60°,∴∠B=∠D=60°,∴��的度数为 120°.
∵AD∥BC,∴∠EAF=∠B=60°,
∴��的度数为 60°,故��的度数为 60°.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于( )
应用
【例 3】如图,在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,以 BC 为直径的☉O 交 AB 于点 E,D 为 AC 的中点,连接 BD 交☉O 于点 F.求证:�� = ��.

第二讲直线与圆的位置关系知识归纳课件(人教A选修4-1)

且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根． (1)证明：C，B，D，E四点共圆； (2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．
解：(1)证明：连接DE，则在△ADE和△ACB中， AD×AB＝mn＝AE×AC， AD AE 即AC ＝AB. 又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB，所以C，B，D，E四点共圆．
[解]
(1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝ ∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.如图． ∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上． ∴OP垂直平分线段AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90° . 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. AP PO ∴DP＝ PA .∴AP2＝PO· DP. 1 1 又∵OD＝ BC＝，∴PO(PO－OD)＝AP2. 2 2 1 2 即PO － PO＝( 3)2，解得PO＝2. 2 在Rt△APO中，OA＝ PO2－PA2＝1，即⊙O的半径为1.
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目
难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要
考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某

人教A版数学【选修4-1】ppt课件：《第二讲-直线与圆的位置关系》小结

(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF· BF，所以EF2＝AD· BC.
【解】 P运动2 s时，PC＝2×2＝4 cm，AC＝8 cm. ∴P是AC的中点，由勾股定理知， BC＝6 cm，BP＝2 13 cm. 连接OD，∵D为切点，∴OD⊥AC. DP PC 4 2 ∴OD∥BC，∴ ＝＝＝ . OD BC 6 3 设半径OD为3x，则DP＝2x(x>0)．由勾股定理可求出OP＝ 3x2＋2x2＝ 13x，
【分析】
如下图所示．
轮船是否有触礁的危险，在于轮船航行所在的直线与以A为圆心，15海里为半径的圆的位置关系，此题应从直线与圆A相切这一特殊关系入手，转化为三角函数求解．
【解】 (1)过B作⊙A的切线，切点为D，连接DA，则AD⊥ BD. 在Rt△BDA中，AB＝45，AD＝15， AD 1 ∴sin∠DBA＝ AB ＝3，∴∠DBA≈20° . (2)过C作⊙A的切线，切点为E，连接AE，则AE⊥CE，在Rt△ACE中， AC＝45－15＝30，AE＝15.
︵
【分析2】如图②，欲证∠CAE＝∠ACD，连接OC，AC，得到∠CAO＝∠OCA，因此只需证∠EAO＝∠OCD. ∵CD⊥AB，C为A E 的中点，∴OC⊥AE. ∴∠EAO＋∠COA＝∠OCD＋∠COA. ∴∠EAO＝∠OCD. ︵
【分析3】如图③，欲证∠CAE＝∠ACD，︵︵ ∵ CE ＝ AC ，∴∠CAE＝∠ABC，故只需证明∠ACD＝∠ ABC，这由∠ACB＝90° ，CD⊥AB可得．证明略．

4-1第二讲_直线与圆的位置关系

圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.
D C
A
B
E
9
10
圆与直线的位置关系:
相交-----有两个公共点相切-----只有一个公共点相离-----没有公共点
1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？ C B
× C A × B B A × B C
C
C
√
A
× A
A
B
17
2.弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
D ＣＯＡ
m
Ｂ
几何语言:
BA切⊙O于A
AC是圆O的弦
∠BAC= ∠ADC
24
A(B)
探究4:使割线PD绕P点运动到切线的位置,可以得出什么结论 ? C(D) D
C O P A(B) P A(B) O
PA² =PC· PD
易证Rt△OAP≌Rt△OCP.
PA=PC
4.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
25
11
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径。
l
A
M
反证法
假设l与OA不垂直, 作OM⊥ l 因“垂线段最短”,
O
故OA>OM, 即圆心到直线距离小于半径. 这与线圆相切矛盾.
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

人教版数学高二(新课标人教A版选修4-1)直线与圆的位置关系知识精讲

直线与圆的位置关系（一）一. 教学内容：直线与圆的位置关系（一）二. 重点、难点：1. 圆周角定理2. 圆心角定理3. 圆的内接四边形的对角互补4. 圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角5. 圆内接四边形判定定理6. 切线的判定定理7. 切线的性质定理8. 弦切角定理【典型例题】如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC。

证明：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠∠=∠BOCAOBBOCBACAOBACB22121BACACB∠=∠⇒2如图，已知：AB是⊙O的直径，CD是弦，AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，连结OE、OF。

求证：OE=OF及CE=DF。

证明：延长EO交AF于N点∵BE⊥CD，AF⊥CD ∴EB//AF ∴∠B=∠A 在△BEO与△ANO中，BO=AO ∠B=∠A，∠BOE=∠AON∴ EO=NO ∴ OF=EO=NO过O 作OM ⊥CD 于M ∴ CM=DM EM=MF ∴CE=DF已知：如图所示，AB 是⊙O 的直径，M 是AB 上一点，过M 作弦CD 且MC=MO ，求证：⋂⋂=AC DB 3。

证明：连结CO 且延长交⊙O 于E 点 ∵ MC=MO ∴ ∠MCO=∠MOC ∵ ∠EOB=∠MOC ∴ ∠MCO =∠EOB ∴ ⋂⋂=BE AC ∵∠MCO 是圆周角 ∴ ⋂⋂=BE DE 2 ∴ ⋂⋂=AC DB 3已知：如图AB 是直径，C 是⋂AE 的中点，CD ⊥AB 于D 交AE 于F ，求证：CF=AF 。

证明：连结AC ，CB ∵ C 是AE 的中点 ∴ ∠B=∠CAE ∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB=90° ∵ CD ⊥AB∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠ACD=∠CAF ∴ CF=AF已知：△ABC 内接于⊙O ，弦AB 的垂直平分线和CA 及BC 的延长线分别交于点D 及E ，交⊙O 于F 两点，求证：ED ·DO=AD ·DC 。

【优化方案】2022高考总复习(人教A版)高中数学选修4-1 第2讲直线与圆的位置关系

第2讲直线与圆的位置关系1．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．2．圆内接四边形的判定定理和性质定理定理(或推论)内容判定定理假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆性质定理圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的外角等于它的内角的对角3.圆的切线的性质及判定定理定义、定理及推论内容定义假如一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径性质定理的推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)P A·PB＝PC·PD(2)△CAP∽△BDP(1)在P A、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理P AB、PCD是⊙O的割线(1)P A·PB＝PC·PD(2)△P AC∽△PDB(1)求线段P A、PB、PC、PD(2)应用相像求AC、BD切割线定理P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)P A2＝PB·PC(2)△P AB∽△PCA(1)P A、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切线长定理P A、PB是⊙O的切线(1)P A＝PB(2)∠OP A＝∠OPB(1)证线段相等，已知P A，求PB(2)求角F考点一__圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题__(1)(2022·高考江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.(2)(2021·唐山市统考)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D 在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF＝AE，求证：BF是⊙O的切线．[证明](1)由于B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又由于C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.(2)连接BD.由于AD⊥AB，所以BD是⊙O的直径．由于AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA.又由于AB＝AC，所以∠FBA＝∠C.又由于∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°，所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，所以BF是⊙O的切线．[规律方法](1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相像，可求线段或角的大小．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．1. 如图，已知圆上的弧AC︵＝BD︵，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．求证：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明：(1)由于AC︵＝BD︵，所以∠BCD＝∠ABC.又由于EC与圆相切于点C，依据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)由于∠ECA等于AC︵所对的圆周角，∠ACB等于AB︵所对的圆周角，所以∠ECB等于CAB︵所对的圆周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.考点二__圆内接四边形的判定及性质____________(2022·高考课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．[证明](1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．[规律方法]证明四点共圆的常用方法：(1)四点到确定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．2.(2021·长春市调研) 如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝8，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是圆O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF，又GH＝8，GE＝4，∴GF＝16，∴EF＝GF－GE＝12.考点三__与圆有关的比例线段__________________(2022·高考课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[证明](1)连接AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.由于∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE︵＝EC︵.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.由于P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[规律方法]相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算供应了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用挂念线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理．3.(2021·辽宁省五校联考) 如图，A 、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．解：设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB(图略)，由于CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE ＝6 3.1. 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O 交于点F，连接CF并延长交AB于点E.(1)求证：E是AB的中点；(2)求线段BF的长．解：(1)证明：由题意知，AB与圆D和圆O相切，切点分别为A和B，由切割线定理有：EA2＝EF·EC＝EB2，∴EA＝EB，即E为AB的中点．(2)由BC为圆O的直径，易得BF⊥CE，∴S△BEC＝12BF·CE＝12CB·BE，∴BFBE＝CBCE，∴BF＝55a.2．(2021·郑州市质量猜想) 如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.(1)证明：A、E、F、M四点共圆；(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长．解：(1)证明：如图，连接AM，由AB为直径可知∠AMB＝90°，又CD⊥AB，所以∠AEF＝∠AMB＝90°，因此A、E、F、M四点共圆．(2)连接AC，由A、E、F、M四点共圆，可知BF·BM＝BE·BA，在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA，又由MF＝4BF＝4，知BF＝1，BM＝5，所以BC2＝5，BC＝ 5.3．(2021·山西省四校联考) 如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O 于B，C两点，P A＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：ABAC＝P APC；(2)求AD·AE的值．解：(1)证明：∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角，∴△P AB∽△PCA，∴ABAC＝P APC.(2)∵P A为圆O的切线，PC是过点O的割线，∴P A2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15，又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225，又由(1)知AB AC ＝P A PC ＝12， ∴AC ＝65， AB ＝35，连接EC (图略)，则∠CAE ＝∠EAB ， ∴△ACE ∽△ADB ，AB AE ＝ADAC ，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.4. (2021·河北石家庄质量检测)如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C ，D 两点，交圆O 于E ，F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．(1)求证：B ，D ，H ，F 四点共圆；(2)若AC ＝2，AF ＝22，求△BDF 外接圆的半径．解：(1)证明：由于AB 为圆O 的一条直径，所以BF ⊥FH .又DH ⊥BD ，故B ，D ，F ，H 四点在以BH 为直径的圆上．所以，B ，D ，F ，H 四点共圆． (2)由题意得AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得AF 2＝AC ·AD ，即(22)2＝2·AD ，AD ＝4，所以BD ＝12(AD －AC )＝1，BF ＝BD ＝1.又△AFB ∽△ADH ，则DH BF ＝ADAF，得DH ＝ 2.连接BH (图略)，由(1)可知BH 为△BDF 外接圆的直径．BH ＝BD 2＋DH 2＝3，故△BDF 的外接圆半径为32. 5．(2022·高考辽宁卷) 如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)由于PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°，故AB 是直径． (2)连接BC ，DC . 由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又由于∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .6. (2021·山西省忻州市联考)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . ∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．(2)∵ED 是直径，∴∠ECD ＝90°，∴∠E ＋∠EDC ＝90°，又∠BCD ＋∠OCD ＝90°，∠OCD ＝∠EDC ，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ， ∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BDBC ，BC 2＝BD ·BE .∵tan ∠CED ＝CD EC ＝12，△BCD ∽△BEC ，∴BD BC ＝CD EC ＝12，设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2＝BD ·BE ，∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2，∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.1. (2021·兰州市、张掖市联考)如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M .(1)求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； (2)求证：2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB . 证明：(1)连接BE 、OE (图略)，则BE ⊥EC .又D 是BC 的中点，所以DE ＝BD ，又OE ＝OB ，OD ＝OD ，所以△ODE ≌△ODB . 所以∠OED ＝∠OBD ＝90°，所以O 、B 、D 、E 四点共圆． (2)延长DO 交圆O 于点H (图略)．由于DE 2＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ，所以DE 2＝DM ·(12AC )＋DM ·(12AB )，所以2DE 2＝DM ·AC ＋DM ·AB .2．(2021·云南省第一次统一检测)已知：如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，CF 与AB 交于点E .(1)求证：P A ·PB ＝PO ·PE ；(2)若DE ⊥CF ，∠P ＝15°，⊙O 的半径等于2，求弦CF 的长．解：(1)证明：连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，C 在⊙O 上，∴∠DOA ＝∠DCF ， ∴∠POD ＝∠PCE . 又∵∠DPO ＝∠EPC ， ∴△PDO ∽△PEC ，∴PD PE ＝POPC，即PD ·PC ＝PO ·PE . 由割线定理得P A ·PB ＝PD ·PC ，∴P A ·PB ＝PO ·PE .(2)由已知，直线AB 是弦DF 的垂直平分线， ∴ED ＝EF ，∴∠DEH ＝∠FEH . ∵DE ⊥CF ，∴∠DEH ＝∠FEH ＝45°.由∠PEC ＝∠FEH ＝45°，∠P ＝15°，得∠DCF ＝60°. 由∠DOA ＝∠DCF ，得∠DOA ＝60°.在Rt △DHO 中，OD ＝2，DH ＝OD sin ∠DOH ＝3， ∴DE ＝EF ＝DH sin ∠DEH ＝6，CE ＝DEtan ∠DCE ＝2，∴CF ＝CE ＋EF ＝2＋ 6.3. (2021·沈阳市教学质量监测)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A 、B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D .(1)求证：C 、P 、B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，P A ，PB ，BO 2，∵AC 是圆O 1的直径，∴∠APC ＝90°.连接O 1O 2必过点P ，∵AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切点，∴∠BAP ＝∠ACP ＝α，∴∠AO 1P ＝2α.由于O 1A ⊥AB ，O 2B ⊥AB ，∴∠BO 2P ＝π－2α，∴∠O 2BP ＝α. 又∠ABP ＋∠O 2BP ＝90°，∴∠ABP ＋∠BAP ＝90°，∴C 、P 、B 三点共线． (2)∵CD 切圆O 2于点D ，∴CD 2＝CP ·CB . 在△ABC 中，∠CAB ＝90°，又∵AP ⊥BC ，∴CA 2＝CP ·CB ，故CD ＝CA .4. 如图，点A 是以线段BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点P .(1)求证：BF ＝EF ；(2)求证：P A 是⊙O 的切线．证明：(1)∵BE 是⊙O 的切线，∴EB ⊥BC . 又∵AD ⊥BC ，∴AD ∥BE .可以得知△BFC ∽△DGC ，△FEC ∽△GAC ，∴BF DG ＝CF CG ，EF AG ＝CF CG ，∴BF DG ＝EF AG ，又∵G 是AD 的中点，∴DG ＝AG .∴BF ＝EF .(2)如图，连接AO ，AB .∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在Rt △BAE 中，由(1)得知F 是斜边BE 的中点，∴AF＝FB＝EF.∴∠FBA＝∠F AB.又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠F AB＋∠BAO＝∠F AO＝90°，∴P A是⊙O的切线．。

高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理同步指导练习新人教A选修4_10108427

二圆内接四边形的性质与判定定理一、基础达标1.如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD 等于( )A.120°B.136°C.144°D.150°解析 ∵∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，∴∠ECD ＝72°，∴∠BOD ＝2∠A ＝2∠ECD ＝144°. 答案 C2.在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是( )A.4∶2∶3∶1B.4∶3∶1∶2C.4∶1∶3∶2D.以上都不对解析四边形ABCD 内接于圆，故∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ，所以只有B 适合.答案 B3.如图所示，已知在圆内接四边形ABCD 中，BA 的延长线和CD 的延长线交于点P ，AC 和BD 相交于点E ，则图中共有相似三角形( )A.5对B.4对C.3对D.2对解析由圆内接四边形的性质和圆周角定理可以判定：△ABE ∽△DCE ，△ADE ∽△BCE ，△PAC ∽△PDB ，△PAD ∽△PCB 共4对.答案 B4.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝110°，那么∠BCD 的度数为________.解析 ∵∠A ＝12∠BOD ＝12×110°＝55°，∴∠BCD ＝180°－55°＝125°.答案 125°5.如图，两圆相交于点A ，B ，过点A 的直线交两圆于点C ，D ，过点B 的直线交两圆于点E ，F ，连接CE ，DF ，若∠C ＝115°，则∠D＝________.解析如图，连接AB ，∵∠C ＝115°，∴∠ABE ＝65°，∴∠D ＝∠ABE ＝65°.答案 65°6.如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长.(1)证明连接DE ，∵ACED 是圆的内接四边形，∴∠BDE ＝∠BCA .又∠DBE ＝∠CBA ，∴△BDE ∽△BCA ，即有BE BA ＝DE CA，而AB ＝2AC ，∴BE ＝2DE . 又CD 是∠ACB 的平分线，∴AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)解由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，∴(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即AD ＝12. 二、能力提升7.如图，AB 是⊙O 的弦，过A ，O 两点的圆交BA 的延长线于C ，交⊙O于D ，若CD ＝5 cm ，则CB 等于( )A.25 cmB.15 cmC.5 cmD.52cm 解析连接OA ，OB ，OD ，∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠ODB ＝∠OBD .∵C ，D ，O ，A 四点共圆，∴∠OAB ＝∠CDO ，∠CDO ＝∠OBA ，∴∠CDO ＋∠ODB ＝∠OBA ＋∠OBD ，即∠CDB ＝∠CBD ，∴CD ＝CB ，∵CD ＝5 cm ，∴CB ＝5 cm.答案 C8.(2014·陕西高考)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.解析 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BC EF，∴EF ＝3.答案 39.如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，AC ＝a ，则四边形ABCD 的面积为________.解析如图，连接BD ，易知∠BAD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ACD ＝60°.设∠CAD ＝θ，AB ＝AD ＝b ，则∠BAC ＝60°－θ， S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12ab sin(60°－θ)＋12ab sin θ ＝12ab sin(60°＋θ)＝12ab sin ∠ABC ，在△ABC 中，由正弦定理可知a sin ∠ABC ＝b sin ∠ACB ＝bsin 60°， ∴b sin ∠ABC ＝a sin 60°.∴S 四边形ABCD ＝12·a ·a ·sin 60°＝34a 2. 答案 34a 2 10.四边形ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点.求证：BE ·AD ＝BC ·CD .证明如图，连接AC .∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠ADC ＝∠EBC .又BD ∥EC ，∴∠CEB ＝∠DBA ，且∠ACD ＝∠DBA ，∴∠CEB ＝∠ACD .∴△ADC ∽△CBE .∴AD DC ＝BCBE，即BE ·AD ＝BC ·CD .11.如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 是AC 的中点，DE 平分∠ADB 交AB 于E ，过A ，D ，E 的圆交BD 于N .求证：BN ＝2AE .证明连接EN .∵四边形AEND 是圆内接四边形，∴∠BNE ＝∠A ，又∵∠ABD ＝∠ABD ，∴△BNE ∽△BAD ，∴BN EN ＝AB AD，∵AB ＝AC ，AC ＝2AD ，∴AB ＝2AD ，BN ＝2EN ，又∵∠ADE ＝∠NDE ，∴AE ︵＝EN ︵，∴AE ＝EN ，∴BN ＝2AE .三、探究与创新12.如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足.求证：E ，B ，C ，F 四点共圆.证明法一连接EF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＋∠AFD ＝90°＋90°＝180°，∴A ，E ，D ，F 四点共圆，∴∠1＝∠2.∴∠BEF ＋∠C ＝∠BED ＋∠1＋∠C ＝90°＋∠2＋∠C ＝90°＋90°＝180°，∴E ，B ，C ，F 四点共圆.法二连接EF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＋∠AFD ＝90°＋90°＝180°，∴A ，E ，D ，F 四点共圆，∴∠3＝∠4.∴∠CFE ＋∠B ＝∠CFD ＋∠4＋∠B ＝90°＋∠3＋∠B ＝90°＋90°＝180°，∴E ，B ，C ，F 四点共圆.法三连接EF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＋∠AFD ＝90°＋90°＝180°，∴A ，E ，D ，F 四点共圆，∴∠1＝∠2.∵∠AEF ＝90°－∠1＝90°－∠2，∠C ＝90°－∠2，∴∠AEF ＝∠C ，∴E ，B ，C ，F 四点共圆.法四连接EF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＋∠AFD ＝90°＋90°＝180°，∴A ，E ，D ，F 四点共圆，∴∠3＝∠4.∵∠AFE＝90°－∠4＝90°－∠3，∠B＝90°－∠3，∴∠AFE＝∠B，∴E，B，C，F四点共圆.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2020学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系知识归纳与达标验收创新应用教学案新人教A版选修4_1

第二讲直线与圆的位置关系[对应学生用书P35]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．1．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r－1，解得r ＝32. 答案：322.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD的延长线交⊙O 于点E .证明：(1)BE ＝EC ；(2)AD ·DE ＝2PB 2.证明：(1)连接AB ，AC .由题设知PA ＝PD ，故∠PAD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠PAD ＝∠BAD ＋∠PAB ，∠DCA ＝∠PAB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC .因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得PA 2＝PB ·PC .因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB .由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝ 90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由BD ＝BE ，有CE ＝DC .又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12. [对应学生用书P35]圆内接四边形的判定与性质接四边形的判定和性质．[例1] 已知四边形ABCD 为平行四边形，过点A 和点B 的圆与AD 、BC 分别交于E 、F .求证：C 、D 、E 、F 四点共圆．[证明] 连接EF ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以∠B ＋∠C ＝180°.因为四边形ABFE 内接于圆，所以∠B ＋∠AEF ＝180°.所以∠AEF ＝∠C .所以C 、D 、E 、F 四点共圆．[例2] 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD 等于( )A ．120°B ．136°C ．144°D ．150°[解析] 由圆内接四边形性质知∠A ＝∠DCE ，而∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，且∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∠ECD ＝72°.又由圆周角定理知∠BOD ＝2∠A ＝144°.[答案] C 直线与圆相切要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．[例3] 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，点P 是圆外一点，PA 切⊙O 于点A ，且PA ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)已知PA ＝3，BC ＝1，求⊙O 的半径．[解] (1)证明：如图，连接OB .∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA .∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA .∴∠OAB ＋∠PAB ＝∠OBA ＋∠PBA ，即∠PAO ＝∠PBO .又∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO ＝90°.∴∠PBO ＝90°.∴OB ⊥PB .又OB 是⊙O 半径，∴PB 是⊙O 的切线．(2)连接OP ，交AB 于点D .如图．∵PA ＝PB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． ∵OA ＝OB ，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上．∴OP 垂直平分线段AB . ∴∠PAO ＝∠PDA ＝90°.又∵∠APO ＝∠OPA ，∴△APO ∽△DPA .∴AP DP ＝PO PA .∴AP 2＝PO ·DP .又∵OD ＝12BC ＝12，∴PO (PO －OD )＝AP 2.即PO 2－12PO ＝(3)2，解得PO ＝2.在Rt △APO 中，OA ＝PO 2－PA 2＝1，即⊙O 的半径为1.与圆有关的比例线段圆的切线、到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．[例4] 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．[解] 设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB，因为CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE＝6 3.[例5] △ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是⊙O的切线交AC于M(如图)．求证：DC2＝AC·CM.[证明] 连接AD、OD.∵AB是直径，∴AD⊥BC.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.又AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC.∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM.则DM⊥AC，DC2＝AC·CM.[对应学生用书P43](时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有( )A ．2个锐角和2个钝角B ．1个锐角和3个钝角C ．1个钝角和3个锐角D ．都是锐角或都是钝角解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角．答案：A2.如图，在⊙O 中，弦AB 长等于半径，E 为BA 延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．45°D ．30° 解析：∠BCD ＝∠DAE ＝80°，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12AC ， ∴∠ACB ＝30°.∴∠ACD ＝80°－30°＝50°.答案：B3．如图所示，在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB .则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析：作OC ⊥AB 于C ，则BC ＝3，在Rt △BOC 中cos ∠B ＝BO OB ＝32. ∴∠B ＝30°.∴∠BOC ＝60°.∴∠AOB ＝120°.答案：C4.如图，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( ) A.2143B.289C.273D.809 解析：过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，则DH ＝12CD ，由相交弦定理知，AE ·BE ＝CE ·DE .设CE ＝4x ，则DE ＝9x ，∴4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23， ∴OH ＝OD 2－DH 2＝52－1332＝2143. 答案：A5.如图，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，且PB ＝BC ，PA ＝32，那么BC 的长为( ) A. 3B ．2 3C ．3D ．3 3解析：根据切割线定理PA 2＝PB ·PC ，所以(32)2＝2PB 2.所以PB ＝3＝BC .答案：C6．两个同心圆的半径分别为3 cm 和6 cm ，作大圆的弦MN ＝6 3 cm ，则MN 与小圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：作OA ⊥MN 于A .连接OM .则MA ＝12MN ＝3 3. 在Rt △OMA 中， OA ＝OM 2－AM 2＝3(cm)．∴MN 与小圆相切．答案：A7.如图，PAB ，PDC 是⊙O 的割线，连接AD ，BC ，若PD ∶PB ＝1∶4，AD ＝2，则BC 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：由四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形可得∠PAD ＝∠C ，∠PDA ＝∠B .∴△PAD ∽△PCB .∴PD PB ＝AD CB ＝14. 又AD ＝2，∴BC ＝8.答案：D8．已知⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，若PA ＝8 cm ，PB ＝18 cm ，则CD 的长的最小值为( )A ．25 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．12 cm解析：设CD ＝a cm ，CD 被P 分成的两段中一段长x cm ，另一段长为(a －x ) cm.则x (a －x )＝8×18，即8×18≤(x ＋a －x 2)2＝14a 2. 所以a 2≥576＝242，即a ≥24.当且仅当x ＝a －x ，即x ＝12a ＝12时等号成立．所以CD 的长的最小值为24 cm.答案：B9．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC 、BC ，AB ＝10，tan∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( ) A.252π B.252π－24 C ．24D.252π＋24 解析：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵tan ∠BAC ＝34， ∴sin ∠BAC ＝35. 又∵sin ∠BAC ＝BC AB，AB ＝10，∴BC ＝35×10＝6. AC ＝43×BC ＝43×6＝8，∴S 阴影＝S 半圆－S △ABC ＝12×π×52－12×8×6 ＝252π－24. 答案：B10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以A 为圆心、AC 为半径的圆交AB 于F ，交BA 的延长线于E ，CD ⊥AB 于D ，给出四个等式：①BC 2＝BF ·BA ；②CD 2＝AD ·AB ；③CD 2＝DF ·DE ；④BF ·BE ＝BD ·BA .其中能够成立的有( )A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①②不正确，由相交弦定理知③正确，又由BC 2＝BE ·BF ，BC 2＝BD ·BA ，得BE ·BF ＝BD ·BA ，故④正确．答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝120°，OB ＝1，则∠BAD ＝________，∠BCD ＝________，BCD 的长＝________.解析：∠BAD ＝∠12BOD ＝60°， ∠BCD ＝180°－∠BAD ＝120°，由圆的半径OB ＝1，∠BOD ＝2π3， ∴BCD 的长为2π3. 答案：60° 120° 2π3 12．(陕西高考)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.解析：由相交弦定理可知ED 2＝AE ·EB ＝1×5＝5，又易知△EBD 与△FED 相似，得DF ·DB ＝ED 2＝5.答案：513.如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ，BC ，AB 分别与⊙O 切于点D ，E ，F ，∠C ＝90°，AD ＝3，⊙O 的半径为2，则BC ＝________.解析：如图所示，分别连接OD ，OE ，OF .∵OE ＝OD ，CD ＝CE ，OE ⊥BC ，OD ⊥AC ，∴四边形OECD 是正方形．设BF ＝x ，则BE ＝x .∵AD ＝AF ＝3，CD ＝CE ＝2，∴(2＋x )2＋25＝(x ＋3)2，解得x ＝10，∴BC＝12.答案：1214．如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC＝________.解析：∵CE为⊙O的切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，得EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理得EB2＋BC2＝EC2.∴42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案：3三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.证明：(1)连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA＝OB，PC＝PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l.因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连接AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD＝∠BAP.又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°，所以∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.16．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，AC ＝AE .17.(本小题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F .(1)证明：A ，E ，F ，M 四点共圆；(2)证明：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.证明：(1)连接AM ，则∠AMB ＝90°.∵AB ⊥CD ，∴∠AEF ＝90°.∴∠AMB ＋∠AEF ＝180°，即A ，E ，F ，M 四点共圆．(2)连接CB ，由A ，E ，F ，M 四点共圆，得BF ·BM ＝BE ·BA .在Rt △ACB 中，BC 2＝BE ·BA ，AC 2＋CB 2＝AB 2，∴AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.18．(辽宁高考)(本小题满分14分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA .由于AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径．文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理教材梳理素材新人教A版选修41

一圆周角定理庖丁巧解牛知识·巧学一、圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是，圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系.疑点突破在圆周角定理的证明中，运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的:当角的一边过圆心时，得到圆周角与同弧上的圆心角的关系;然后研究当角的一边不经过圆心时，圆周角与同弧上的圆心角之间的关系.在角的一边不经过圆心时，又有两种情况:一是圆心在圆周角内;二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论，最后得到不论角的一边是否经过圆心，都有定理中的结论成立.在几何里，许多定理的证明，都需要像这样分情况进行，后面还会遇到这种分情况证明的定理.方法归纳通过对这个定理的分析、证明，我们可以看到，在几何里讨论问题时，常常从特殊情况入手，因为特殊情况下的问题往往容易解决，如图2-1-2中，中间一种情况为圆周角的一边经过圆心，此时∠AOB=2∠C很容易证明.特殊情况下的问题解决之后，再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题，如图2-1-2左图和右图的情况，通过辅助线，把它们变成中间那样的两个角的和或差，这样利用特殊情况下的结论，便可使一般情况下的结论得证.联想发散定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.图2-1-2二、圆周角定理的两个推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.如图2-1-3，∠ABE=∠ACE=∠ADE，∠A=∠B=∠C.图2-1-3 图2-1-4推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.如图2-1-4，∠ACB=∠ADB=∠AEB=90°，AB是直径.深化升华圆周角定理及其推论是进一步推导圆的其他重要性质的理论根据，而且为角的计算,推证角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见的一些问题提供了十分简便的方法，学习中要注意体会.问题·探究问题1 在一个圆中，圆周角与它所对的弧的对应关系在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？思路:在圆中，只要有弧，就存在着弧所对的圆周角.同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推论提供了条件.探究:在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时，往往缺少用这个知识点的意识，应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角，如图2-1-5中，已知，那么在所对的圆周上任取一点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧，再由弧找角，如图2-1-6中，AD平分∠BAC，得∠1=∠2，∠1对，∠2对，∠3也对，故∠1=∠2=∠3，如果要证△DCB∽△DAB，无疑两个相等的角为此提供了条件.图2-1-5 图2-1-6问题2 在圆中，直径所对的圆周角等于90°，解决问题时应怎样利用这一条件？思路:只要在已知中给出了直径这一条件，不仅要想到它和半径的关系，还要想到封闭了它所对的圆周角，便得到了直角三角形，这样有关直角三角形的性质便可应用了.探究:如图2-1-7，以CD为直径的⊙O交△ACD的两边于B、E，连结BE.求证：ADcosA=AB.此题必须先证AD、AB所在的△ABD为直角三角形，此时连结BD，可由直径所对的圆周角为90°，创造所需的条件.又如图2-1-8，在⊙O中，直径AB⊥C D，弦AE⊥CF.要证△ABE≌△CDF，在已知∠A=∠C,AB=CD以后,还缺少一个条件，由AB、CD为直径，想到连结BE、CF，便可知∠E=∠F=90°，这就为证三角形全等提供了条件.图2-1-7 图2-1-8典题·热题例1如图2-1-9，已知⊙O中∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC.思路分析：圆周角∠ACB与圆心角∠AOB对着同一条弧，图2-1-9∴∠ACB=21∠AOB.同理，∠BAC=21∠BOC，再利用已知条件可得结论. 证明：∵∠ACB=21∠AOB,∠AOB=2∠BOC, ∴∠ACB=∠BOC. 又∵∠BAC=21∠BOC, ∴∠ACB=2∠BAC.深化升华只要是在圆中考查角的关系，那么就要考虑弧的中介作用.例2如图2-1-10，在Rt△ABC 中，∠BCA=90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，D 为AC 的中点，连结BD 交⊙O 于F 点.图2-1-10求证：EFCFBE BC =. 思路分析：要证EFCFBE BC =，虽然四条线段分别在△BEF 与△BCF 中，但这两个三角形一个是钝角三角形，另一个是直角三角形，不可能相似，故只能够借助中间比. 证明：连结CE ，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC=90°，∠BEC=90°. 又∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠A. 又∵∠BFE=∠BCE,∴∠BFE=∠A. ∴△BEF∽△BAD.∴BEEFBD AD =. ∵∠BFC=∠BCA，∠CBD=∠CBD,∴△CBF∽△DBC.∴BC CFBD CD =. 又∵AD=CD，∴EFCFBE BC =. 例3已知⊙O 中，AB=AC ，D 是BC 延长线上一点，AD 交⊙O 于E.求证：AB 2=AD·AE.图2-1-11思路分析：由欲证的乘积式写出比例式，找到应该证明的相似的三角形，利用同弧所对的圆周角相等的性质进行证明.证明：∵AB=AC,∴=AC.∴∠ABD=∠AEB.在△ABE 与△ADB 中,⎩⎨⎧∠=∠∠=∠.,ABD AEB DAB BAE∴△ABE∽△ADB.∴ABAE AD AB =,即AB 2=AD·AE. 深化升华在圆当中证明比例式或等积式时，通常利用两角相等加以说明，这当中使用最多的就是利用圆周角转移角的位置，产生相似关系.例4已知AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆O 的直径. 求证：∠BAE=∠DAC.图2-1-12思路分析：连结BE ，由AE 为直径可以得到∠ABE=90°.则在△ABE 与△ADC 中，又有同弧所对的圆周角∠C 与∠E 相等，可以证明结论. 证明：连结BE,∵AE 为直径，∴∠ABE=90°. ∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC=90°. ∴∠ADC=∠ABE. ∵∠E=∠C，∴∠BAE=180°-∠ABE -∠E，∠DAC=180°-∠ADC -∠C. ∴∠BAE=∠DAC.例5已知△ABC 的外接圆中，D 、E 分别为与的中点，弦DE 交AB 、AC 于F 、G.求证：AF=AG.图2-1-13思路分析：可以通过等角对等边来证明此题，即证明∠AFE=∠AGF，将∠AFE、∠AGF 分别看作△FBE 与△DGC 的外角，利用已知中D 、E 为、的中点可以证明角相等.证明：连结BE 、CD,∠AFE=∠1+∠2, 又∠1+∠2m 21(+),∴∠AFE m 21(+).∴∠AGD m21(+)m∠3+∠4.∵D、E为、中点，∴=，=.∴∠AFE=∠AGD.∴AF=AG.深化升华角的度数与弧的度数相等时，常采用如下记号表示：∠αm，即在等号的上方加上字母m.。