2018年秋高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算第

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[K12学习]2018版高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质(第1课时)指数函数的图象及性

2.1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)[基础·初探]教材整理1 指数函数的定义阅读教材P54，完成下列问题．指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－2x是指数函数．( )(2)函数y＝2x＋1是指数函数．( )(3)函数y＝(－2)x是指数函数．( )【解析】(1)由指数函数的定义形式可知(1)(2)(3)均错误．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2 指数函数的图象和性质阅读教材P55～P56，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) (2)当a >1时，对于任意x ∈R ，总有a x>1.( ) (3)函数f (x )＝2－x在R 上是增函数．( )【解析】 (1)√.因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x 轴的上方．(2)×.当x ≤0时，a x≤1.(3)×.因为f (x )＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，所以函数f (x )＝2－x在R 上是减函数．【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型](1)A ．y ＝a xB ．y ＝x a (a >0且a ≠1)C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1【精彩点拨】根据指数函数的定义判断、求解．【自主解答】 (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a(a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝1a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.【答案】 (1)C (2)C1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x的系数必须为1；2．求指数函数的解析式常用待定系数法．[再练一题]1．(1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________.(2)已知函数f (x )＝(2a －1)x是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 【解析】 (1)由题意设f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，则f (2)＝a 2＝9. 又因为a >0，所以a ＝3. 所以f (x )＝3x .(2)由题意可知{ 2a －1>0，a －1≠1，解得a >12，且a ≠1.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．【答案】 (1)3x(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)(1)y ＝1－3x；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x|； (3)y ＝4x＋2x ＋1＋2.【精彩点拨】函数式有意义―→原函数的定义域――→指数函数的值域原函数的值域【自主解答】 (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y ＝3x在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1.所以1－3x∈[0,1)，即函数y ＝1－3x的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，即函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．(3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x>0，所以4x＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)．1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． 2．函数y ＝af (x )的值域的求解方法如下：(1)换元，令t ＝f (x )； (2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； (3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(4)利用y ＝a t的单调性求y ＝a t，t ∈M 的值域．3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[再练一题]2．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －3；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2. 【解】 (1)函数的定义域为{x |x ≠3}．令t ＝1x －3，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t≠1，故函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2，则t ＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，故函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [探究共研型]探究1 f (x )＝ax －1＋2(a >0且a ≠1)的图象又过哪一定点呢？【提示】指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象过定点(0,1)；在f (x )＝a x －1＋2中令x－1＝0，即x ＝1，则f (x )＝3，所以函数f (x )＝ax －1＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,3)．探究2 若函数y ＝a x＋b (a >0，且a ≠1)的图象不经过第一象限，则a ，b 满足什么条件？【提示】如图，由图可知0<a <1，b ≤－1.(1)在同一坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )(2)函数y ＝a－|x |(0＜a ＜1)的图象是( )【精彩点拨】 (1)分a ＞1和0＜a ＜1两种情况分类讨论，结合排除法解题；(2)根据函数的奇偶性及指数函数的图象作出判断．【自主解答】 (1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增，又∵当a ＞1时，函数y ＝a x单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x单调递减，A 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图象上看，y ＝a x的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D. (2)y ＝a－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A .【答案】 (1)D (2)A指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .[再练一题]3.定义一种运算：g ⊙h ＝⎩⎪⎨⎪⎧gg ≥hh g <h ，已知函数f (x )＝2x⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致图象是( )【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx x，∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1xx，∴其图象为B ，故选B.【答案】 B1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)xB ．2xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.⎝⎛⎭⎪⎫22x【解析】由题意，设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x.【答案】 A2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x－1的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－89，8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，9 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9 【解析】 y ＝3－x－1，x ∈[－2,2)是减函数， ∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.【答案】 A3．已知1>n >m>0，则指数函数①y ＝m x，②y ＝n x的图象为( )【解析】由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x的图象，故选C.【答案】 C4．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0, 且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．【解析】因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a＞1，解得0＜a ＜1.【答案】 (0,1)5．设f (x )＝3x，g(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )，g(x )的图象；(2)计算f (1)与g(－1)，f (π)与g(－π)，f (m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？【解】 (1)函数f (x )，g(x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g(－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π，f (m )＝3m ，g(－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1

由图象可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．
与指数函数有关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝23－|x|.
思路点拨：
指数函数y＝axa＞0，且a≠1的定义域是R
―→
函数y＝afxa＞0，且a≠1 与fx的定义域相同
―→
值域
解：(1)由xx＋－11≥0，得 x≤－1 或 x＞1.
已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． ∵函数f(x)的图象过点(3,8)． ∴8＝a3，∴a＝2. ∴f(x)＝2x. ∴f(6)＝26＝64. 答案：64
2．指数函数的图象和性质 a＞1
图象图象
如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④ y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
思路点拨：
解析：方法一：在①②中底数大于零且小于 1，在 y 轴右边，底数越小，图象向下越靠近 x 轴，故有 b＜a，在③④中底数大于 1，在 y 轴右边，底数越大，图象向上越靠近 y 轴，故有 d<c.故选 B.
1．指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) 2．当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( ) 3．函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．思路点拨： ax的系数为1 ―→ a为常数，a＞0且a≠1 ―→ 不等式组解：∵y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， ∴aa＞2－03且a＋a≠3＝1，1，解得aa＝＞10或且2a，≠1. ∴a＝2.

高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数习题2.1》430教案教学设计一等奖名师公开课比赛优质课评比

2.1.1（1）指数与指数幂的运算（教学设计）教学目标1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。

2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对“当n是偶数时，)0()0(aaaaaann”的理解，培养学生分类讨论的意识。

3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。

教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。

教学难点：当n是偶数时，)0()0(aaaaaann的得出及运用教学过程一、创设情境，新课引入：问题（课本P58问题2）：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP．当生物死亡了5730，25730，35730，…年后，它体内碳14的含量P分别为21，2)21(，3)21(，…．是正整数指数幂．它们的值分别为21，41，81，…．当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容．二、师生互动，新课讲解：1、问题引入：（1）若ax2，则x叫a的.如：2是4的平方根一个正数的平方根有个，它们互为数；负数没有平方根；零的平方根是.（2）若ax3，则x叫a的.如：2是8的立方根，－2是－8的立方根。

一个正数的立方根是一个数，一个负数的立方根是一个数，0的立方根是.（3）类比平方根、立方根的定义，你认为，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的；一个数的五次方等于a，则这个数叫a的；一个数的六次方等于a，则这个数叫a的；……；一个数的n次方等于a，则这个数叫a的；一般地，如果axn，则x叫a的n次方根，其中1n且*Nn. 问：（1）16的四次方根是.32的五次方根是.－32的五次方根是.（2）一个正数的n次方根有几个？一个负数的n次方根有几个？0的n次方根是多少？（给学生留点时间进行探究）得出结论：（1）一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数；负数没有偶次方根。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(3)教案数学教案

指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题①我们知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值？③你能给上述思想起个名字吗?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如52,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于2的方向,另一方面从小于2的方向.问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2,称2的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的过剩近似值.②第一个表:从大于2的方向逼近2时,52就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近52.第二个表:从小于2的方向逼近2时,52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向逼近52.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向接近52,而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向接近52,可以说从两个方向无限地接近52,即逼近52,所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是52一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.41421<…<52<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明52是一个实数.③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断52是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.⑤无理数指数幂的意义:一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂. 提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? （3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么a α是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂a α是一个确定的实数,就不会再造成混乱. （2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s 都是无理数).②(a r )s =a rs(a>0,r,s 都是无理数).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r 是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈R ).②(a r )s =a rs(a>0,r,s∈R ).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈R ). 应用示例思路1例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.143;（4）33.活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值；对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032; （3）3.143≈2.336;（4）33≈6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n 位,只需看第（n+1）位能否进位即可.例2求值或化简. (1)3224ab ba -(a>0,b>0); (2)(41)21-213321)()1.0()4(---b a ab (a>0,b>0);(3)246347625---+-.活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解：(1)3224ab ba -=2224b a -(a 31b 32)21=a -2ba 61b 31=a611-b 34=61134ab .点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)(41)21-2133231)()1.0()4(---b a ab =223211044•a 23a 23-b 23-b 23=254a 0b 0=254.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3) 246347625---+- =222)22()32()23(---+- =3-2+2-3-2+2=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=21(5n 1-5n 1-),n∈N *,求(x+2x 1+)n 的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5n1与5n1-具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x 2=41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 2-2·50+5n 2-)=41(5n 2+2+5n 2--4) =41(5n 1+5n 1-)2-1. 这时应看到1+x 2=1+41(n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)2,这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,带入即可.解：将x=21(5n 1-5n 1-)代入1+x 2，得1+x 2=1+41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)n ,所以(x+2x 1+)n=［21(5n 1-5n 1-)+211)55(41n n-+］n=［21(5n 1-5n 1-)+21(5n 1+5n 1-)］n =(5n 1)n=5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2 例1计算:(1)105432)(0625.0833416--+++π;(2)12532+(21)-2+34331-(271)31-;(3)(-2x 41y31-)(3x 21y 32)；(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价. 解：(1)105432)(0625.0833416--+++π =(425)21+(827)31+(0.062 5)41+1-21=(25)2×21+(23)313⨯+(0.5)414⨯+21 =25+23+0.5+21 =5;(2)12532+(21)-2+34331-(271)31-=(53)32+(2-1)-2+(73)31-(3-3)31-=5323⨯+2-2×(-1)+7313⨯-3)31(3-⨯-=25+4+7-3=33; (3)(-2x 41y 31-)(3x 21y 32)=(-2×3)(x 41x 21·y31-y 32)=323121416+-+•-yx=-6x 43y 31=3436y x-;(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41)=((x 41)2-(y 41)2)÷(x 41-y 41) =(x 41+y 41)(x 41-y 41)÷(x 41-y 41) =x 41+y 41.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式: (1)323222323222--------+--++yxy x yxy x ;(2)(a 3+a -3)(a 3-a -3)÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］.活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x 2与x 32的关系可知x 2=(x 32)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解：(1)原式=323222323222--------+--++yxy x yxy x=])())(()[()()(23232322322323232232--------++-+-yyx x yy x x=343234343234)()(---------+-yxy xy xy x=xyxy xy 3322)(2-=--; (2)原式=［(a 3)2-(a -3)2］÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］=))(1()()(1442222----++-a a a a a a =))(1()1)((1444422-----++++-a a a a a a a a =1212)(----a a a a =a+a -1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a 23=(a 21)3还容易看出,对其中夹杂的数字m 可以化为m·a 21a 21-=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P 59习题2.1A 组 3.利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)(1+221-)的结果是( )A.21(1-2321-)-1B.(1-2321-)-1C.1-2321- D.21(1-2321-) 分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2321-)(1-2321-)=1-2161-,所以原式的分子分母同乘以(1-2321-),依次类推,所以321212121)21)(21(----+-=32112121----=21(1-2321-)-1. 答案：A2.计算(297)0.5+0.1-2+(22710)32--3π0+9-0.5+490.5×2-4.解：原式=(925)21+100+(6427)32-3+4921×161=53+100+169-3+31+167=100.3.计算1212--+-+a a a a (a≥1). 解：原式=|11|11)11()11(22--++-=--++-a a a a (a≥1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a>0,x=21(a n 1-a n 1-),则(x+2x 1+)n 的值为_______.分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到解：1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,将x=21(a n 1-a n 1-)代入1+x 2,得1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.所以(x+2x 1+)n=［21(a n 1-a n 1-)+41(a n 1+a n 1-)2］n=［21(a n 1-a n 1-)+21(a n 1+a n 1-)］n=a.答案：a 拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂32的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幂52的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算32的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”32的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.我们把用2作底数,3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…,同样把用2作底数, 3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数: 21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为32. 即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<32<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.也就是说32是一个实数,32=3.321 997 …也可以这样解释:当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时,32的近似值从大于32的方向逼近32；当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时,32的近似值从小于32的方向逼近32.所以32就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即32≈3.321 997.课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈R ).②(a r )s =a rs(a>0,r,s∈R ).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈R ).(3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业课本P 60习题2.1 B 组 2.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.。

2018-2019学年度高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.1.1 第一课

第一课时根式【选题明细表】1.化简-得( C )(A)6 (B)2x(C)6或-2x (D)6或2x或-2x解析:原式=|x+3|-(x-3),当x≥-3时,原式=6;当x<-3时,原式=-2x,故选C.2.+π等于( A )(A)4 (B)2π-4(C)2π-4或4 (D)4-2π解析:+π=4-π+π=4.故选A.3.若2<a<3,化简+的结果是( C )(A)5-2a (B)2a-5(C)1 (D)-1解析:原式=|2-a|+|3-a|,因为2<a<3,所以原式=a-2+3-a=1.4.化简-得( C )(A)6 (B)2x(C)6或-2x (D)-2x或6或2解析:-=|x+3|-(x-3)=故选C.5.若x<0,则|x|-+= .解析:因为x<0,所以原式=-x-(-x)+=-x+x+1=1.答案:16.若81的平方根为a,-8的立方根为b,则a+b= .解析:因为81的平方根为±9,所以a=±9.又因为-8的立方根为b,所以b=-2.所以a+b=-11或a+b=7.答案:-11或77.等式=(5-x)成立的x取值范围是.解析:要使==|x-5|=(5-x),则所以-5≤x≤5.答案:[-5,5]8.若代数式+有意义,化简+2.解:由+有意义,则即≤x≤2.故+2=+2=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.9.若a<,则的化简结果是( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:因为a<,所以2a-1<0,所以=.又==.故选C.10.设f(x)=,若0<a≤1,则f(a+)= .解析:f(a+)====|a-|,由于0<a≤1,所以a≤,故f(a+)=-a.答案:-a11.已知+1=a,化简()2++= .解析:由已知+1=a,即|a-1|=a-1知a≥1.所以原式=(a-1)+(a-1)+(1-a)=a-1.答案:a-112.已知a<b<0,n>1,n∈N*,化简+.解:当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a;当n是偶数时,因为a<b<0,所以a-b<0,a+b<0,所以原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a.所以+=13.若a2-b2>0,试化简a-b.名师点拨:由于本题待化简式中的分母一个为a-b,另一个为a+b,因此可想到统一分母的形式便于化简后通分,从而第一个式子分子分母同乘以a+b,第二个式子分子分母同乘以a-b,变形后的两个式子的分子均含完全平方式,开方时要考虑它们的符号,从而需分类讨论.解:原式=a-b=-,因为a2-b2>0,所以a+b>0且a-b>0或a+b<0且a-b<0.当a+b>0且a-b>0时,原式===.当a+b<0且a-b<0时,原式==.。

2018版高中人教A版数学必修1课件：第二章基本初等函数Ⅰ2-1-1-1 精品

[解析] 要使原式有意义，则a－1>0.
4 1－a2·
1 a－13
＝|1－a|·(a－1) －34
＝(a－1)·(a－1) －34
＝(a－1)
1 4
＝4
a－1.
[常见误区]
错解
错因剖析
忽略了偶次方根中被开方数必
A 须是非负数，即漏掉阴影处而导
致错误
[防范措施] 注意隐含条件的挖掘
要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时，要注意是不是
a 为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个，为n a； n为偶数，a的n次方根不存在.
零的 n 次方根为零，记为n 0＝0.
2．(n a)n 与n an的意义有什么不同？答案：对(n a)n 的理解：当 n 为大于 1 的奇数时，(n a)n 对任意 a∈R 都有意义，且(n a)n＝a，当 n 为大于 1 的偶数时，(n a)n 只有当 a≥0 时才有意义，且(n a)n＝a(a≥0)．对n an的理解：对任意 a∈R 都有意义，且当 n 为奇数时，n an ＝a；当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0，如：3 －33＝－ 3，－32＝|－3|＝3.
类型 3 有限制条件的根式的化简 [要点点击] 有限制条件的根式化简的步骤
[典例 3] 化简：设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值．
[思路点拨] 将根式化为幂的形式，然后按照幂的运算性质进行化简计算．
[解析] x2－2x＋1－ x2＋6x＋9 ＝ x－12－ x＋32 ＝|x－1|－|x＋3|，当－3＜x≤1 时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当 1＜x＜3 时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 因此，原式＝－－24x，－12＜，x－＜33＜ . x≤1，

2018版高中人教A版数学必修1课件：第二章基本初等函数Ⅰ2-1-1-2 精品

＋x－
1 2
)2＝9，则
x＋x－1＝7，
x
3 2
＋x－
3 2
＝(x
1 2
)3＋(x－
1 2
)3＝(x
1 2
＋x－
1 2
)(x－1＋x－1)＝3×6
＝18.
[巧归纳] 条件求值问题的常用方法 (1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻找求结果与条件的联系，进而整体代入求值． (2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．
(2)当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由
里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
(3)化简过程中要明确字母的范围，以免出错．
[练习 1]用分数指数幂表示下列各式：
(1)a3·3 a2；
(2)
b3 a·
ab26(a＞0，b＞0)；
(3) a－4b23 ab2(a＞0，b＞0)．
解：(1)a3·3
m
A．am·an＝amn B．am÷an＝a n C．(am)n＝am＋n D．1÷an＝a－n
答案：D
2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
1
A．－ x＝(－x) 2 (x＞0)
6 B.
y2＝y
1 3
(y＜0)
C．x－
3 4
＝
4
1x3(x＞0)
D．x－
1 3
＝－3
x(x≠0)
1
答案：C 解析：A 中结果应是－x 2 ；B 中由于 y＜0，因此
(4) m－n4＝(m－n)2 (m>n)；
1

2018人教A版高中数学必修一课件：第二章基本初等函数Ⅰ16 精品

由于 0<a≤1，所以 a≤a1，
a2＋a12－2＝
a－1a2＝
故 fa＋1a＝1a－a.
10．解：原式＝|x－2|＋|x＋2|. 当 x≤－2 时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x；当－2<x<2 时，原式＝(2－x)＋(x＋2)＝4；当 x≥2 时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x.
6．B 由－1x知 x<0，又当 x<0 时， x2＝|x|＝－x，因此(－x)2 －1x＝x2·|x－| x＝－x －x.
7．1 解析：原式＝x＋|x|＋xx＝x－x＋1＝1.
8．③ 解析：由③中被开方数为负数，且开偶次方，无意义，其余都有意义．
9.a1－a
解析：fa＋1a＝ a＋a12－4＝ a－1a，
－2x，x≤－2，综上，原式＝4，－2<x<2，
2x，x≥2.
11．(10 分)化简 y＝ 4x2＋4x＋1＋ 4x2－12x＋9，并画出简图，写出最小值．
能基力础提训升练
12．(5 分)计算 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2 2
D. 3＋ 2
10 A. 2
B．－10 2
C. 210
D．±10 2
2．下列各式正确的是( A. －32＝－3 C．(3 －2)3＝－2
)
B.4 a4＝a
3 D.
－23＝2
3．若 2 015<m<2 016，则(3 m－2 015)3＋4 m－2 0164等于
()
A．1
B．4 031－2m
C．4 031
D．2m－4 031
3．A 因为 2 015<m<2 016，所以 m－ 2 016<0. 故原式＝m－2 015＋|m－2 016| ＝m－2 015＋2 016－m ＝1. 故选 A.

2018年秋高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.1.2 指数函数及其性质第2课时指数函数及其性

第2课时指数函数及其性质的应用学习目标：1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)[合作探究·攻重难]利用指数函数的单调性比较大小比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1).【导学号：37102243】[解](1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x 在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a>1时，y＝a x在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，y＝a x在R上是减函数，故a1.1<a0.3.同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，观察出函数值的大小底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较当底数含参数时，要按底数两种情况分类讨论[跟踪训练]1．比较下列各值的大小：⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫3412. [解] 先根据幂的特征，将这4个数分类：(1)负数：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233；(2)大于1的数：⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223；(3)大于0且小于1的数：⎝ ⎛⎭⎪⎫3412. (2)中，⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<213<223 (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x，y ＝2x的图象，再分别取x ＝13，x ＝23，比较对应函数值的大小，如图)，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<223.利用指数函数的单调性解不等式(1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知a x 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围.【导学号：37102244】[解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0，故原不等式的解集是{x |x ≥0}． (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.[跟踪训练] 2．若ax ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] 因为ax ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x，所以ax ＋1>a3x －5，当a >1时，y ＝a x为增函数，可得x ＋1>3x －5，所以x <3；当0<a <1时，y ＝a x 为减函数，可得x ＋1<3x －5，所以x>3.综上，当a >1时，x 的取值范围为(－∞，3)；当0<a <1时，x 的取值范围为(3，＋∞)．指数型函数单调性的综合应用 [探究问题]1．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋1的单调区间是什么？提示：因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t在(－∞，＋∞)上单调递减，函数t ＝x 2－2x ＋1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以复合函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋1在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．2．函数y ＝a －x 2(a >0，且a ≠1)的单调性与y ＝－x 2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a >1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性一致；(2)当0<a <1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性相反．判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域.【导学号：37102245】思路探究：令u ＝x 2－2x ―→函数u x 的单调性―→函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性――――→同增异减函数f x 的单调性[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)， ∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]．xa >0的单调性的处理技巧关于指数型函数＝af xa >0，且a的单调性由两点决定，二是f x 的单调性，它由两个函数y ＝a u，u ＝f x 复合而成求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成u ，u φx ，通过考查u 和φx 的单调性，求出y ＝φx 的单调性.[当堂达标·固双基]1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)D [∵2x ＋1<1＝20，且y ＝2x是增函数，∴x ＋1<0，∴x <－1.] 2．下列判断正确的是( )【导学号：37102246】A ．1.72.5＞1.73B ．0.82＜0.83C ．π2＜π2D ．0.90.3＞0.90.5D [∵y ＝0.9x 在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调增区间为( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)A [令u (x )＝1－x ，则u (x )在R 上是减函数，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u (x )是减函数，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x在R 上单调递增，故选A.] 4．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________. 【导学号：37102247】m <n [∵a ＝5－12∈(0,1)，∴f (x )＝a x在R 上是减函数，又f (m )>f (n )，∴m <n .] 5．已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，19.(1)比较f (2)与f (b 2＋2)的大小；(2)求函数g (x )＝ax 2－2x(x ≥0)的值域．[解] (1)由已知得a 2＝19，解得a ＝13，因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，则2≤b 2＋2，所以f (2)≥f (b2＋2)．(2)因为x ≥0，所以x 2－2x ≥－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x≤3，即函数g (x )＝a x 2－2x(x ≥0)的值域为(0,3]．。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1第2

(1)原式＝[(53)
2 3
＋(2－4)

1 2
＋(73)
11
1
1
3 ] 2 ＝(52＋22＋7) 2 ＝36 2 ＝6.
(2)原式＝[141
27 000
2 3
＋14×50×1010600
3 4
]

1 2
＝[14130
3
2 3
＋14×50×120
4
4 B.
23
D．2 43
B.2 23 D． 1
3 22
探究一根式与分数幂的转化 [典例 1] 用分数指数幂形式表示下列各式(式中 a>0)：
(1)a2· a；(2)a3·3 a2；(3) a a；(4)
y2 x
x3 3 y6 y x3.
[解析]
(1)a2·
a＝a2·a
1 2
＝a
2+
1 2
＝a
5 2
第 2 课时指数幂及运算
考纲定位
重难突破
1.掌握根式与分数指数幂的重点：分数指数幂的意义．
互化．
难点：利用指数幂的运算
2．会用有理指数幂的运算性性质对代数式进行化简求
质进行简单运算.
值.
01 课前自主梳理 02 课堂合作探究 03 课后巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、分数指数幂的意义
y2 x

1
xy 2

2
＝y
5 4
＝y4

y.
(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运算性质化简． (2)化简过程中，要明确字母的范围，以防错解．

2018秋高一数学必修一课件：第二章基本初等函数Ⅰ 19 精品

人教A版 ·必修1
第二章基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算课时19 指数函数的图象问题
1
课前预习作业
指数函数的图象及性质
(1)当底数 a 大小不确定时，必须分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论函数的图象和性质．
(2)当 a>1 时，x 的值越小，函数的图象越接近 x轴；当 0<a<1 时，x 的值越大，
x≥0 x<0
，
∴f(x)的图象为 A.
6
知识点三
指数函数图象的应用
5.已知指数函数 f(x)＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象过点(3，π)，求 f(0)，f(1)，f(－3)的值．
1
x
解将点(3，π)，代入 f(x)＝ax，得到 f(3)＝π，即 a3＝π，解得：a＝π 3 ，于是 f(x)＝π 3 ，
所以
f(0)＝π0＝1，f(1)＝π
1 3
＝3
π，
f(－3)＝π－1＝1π.
7
易错点
对条件理解不全面致误
6.若函数 y＝ax＋(b－1)(a>0 且 a≠1)的图象不经过第二象限，则有( )
A<a<1 且 b≤1
C．0<a<1 且 b>0 D．a>1 且 b≤0
易错分析本题对图象不经过第二象限要理解准确，否则会以为经过一三四象限而错选 A.
解析先向右平移3个单位，得y＝2x－3，再向下平移1个单位即可．
5
4．[2016·延安高一检测]定义运算：a·b＝ab，，aa>≤bb，，则函数 f(x)＝1·2x 的图象大致为(
)

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质(第2课时)指数函数及其性质的应用学

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第2课时指数函数及其性质的应用1．掌握指数函数的性质并会应用,能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点）2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点）[小组合作型］比较大小与解不等式(1)设a＝错误!错误!错误!错误!错误!错误!b，c的大小顺序为( )A．c〈b〈a B．c<a〈bC．b<c<a D．b〈a〈c(2）设0＜a＜1，使不等式ax2－2x＋1＞ax2－3x＋5成立的x的集合是________．【精彩点拨】（1）利用指数函数的单调性即可判断．（2)先根据0＜a＜1，得到y＝a x为减函数，再根据指数函数的单调性得到x2－2x＋1＜x2－3x＋5，解得即可．【自主解答】∵指数函数y＝错误!x为增函数，错误!＞错误!,∴a＞b＞1，∴a＞b＞c，故选A.（2)∵0＜a＜1，∴y＝a x为减函数．∵a x2－2x＋1＞a x2－3x＋5,∴x2－2x＋1＜x2－3x＋5,解得x＜4.【答案】（1)A（2）（－∞,4）1．比较幂的大小的方法（1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2）对于底数不同，指数相同的幂的大小的比较,可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3）对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来判断．2．指数型不等式a f(x)＞a g（x）(a＞0,且a≠1)的解法(1)当a＞1时,f(x）＞g(x）；(2）当0＜a＜1时,f(x）＜g（x）．[再练一题]1．设a＝90。

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