秋九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径练习课件(新版)新人教版
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秋九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径课件 (新版)新人教版
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人教版九年级数学上册 24.1.圆的有关性质 课件
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以 看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合．
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定 的一个端点O旋转一周，另一个端点A所 形成的图形叫做圆．
z x xk
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成 是所有到定点O的距离等于定长r 的点组 成的图形．
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN
O
C
A
B
N
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，（1）求⊙O的半径． 变式训练：
(2) 若弦AB长为8cm， ⊙O半径为5cm，求圆心O到AB距离 （3）若圆心O到AB距离为3cm，⊙O半径为5cm求弦AB长
解： 作 OE⊥AB，连接OA
A
E
B
OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O·
22
在Rt△ABC中 AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
“我国圆古人”很早指对
“圆周” 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
提问：根据圆的定义，”圆“指的是”圆周 “还是”圆面“？
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定 的一个端点O旋转一周，另一个端点A所 形成的图形叫做圆．
z x xk
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成 是所有到定点O的距离等于定长r 的点组 成的图形．
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN
O
C
A
B
N
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，（1）求⊙O的半径． 变式训练：
(2) 若弦AB长为8cm， ⊙O半径为5cm，求圆心O到AB距离 （3）若圆心O到AB距离为3cm，⊙O半径为5cm求弦AB长
解： 作 OE⊥AB，连接OA
A
E
B
OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O·
22
在Rt△ABC中 AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
“我国圆古人”很早指对
“圆周” 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
提问：根据圆的定义，”圆“指的是”圆周 “还是”圆面“？
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
2022九年级数学上册 第24章 圆 24.1圆的有关性 2垂直于弦的直径习题课件 (新版)新人教版
3.如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下选项中不一定成立的是D (A.CE) ＝DE B. ＝ C.∠BAC＝∠BAD D.OE＝BE
4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴 交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为 ，那么点P的坐标为 ________. (3，2)
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.2.2822.2.28Monday, February 28, 2022 10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:42:4309:42:4309:422/28/2022 9:42:43 AM 11、人总是珍惜为得到。22.2.2809:42: 4309:4 2Feb-2 228-Fe b-22 12、人乱于心，不宽余请。09:42:4309:42:4309:42M onday, February 28, 2022 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.2.2822.2.2809:42:4309:42:43Februar y 28, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年2月28日 星期一 上午9时42分43秒09:42:4322.2.28 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年2月 上午9时42分22.2.2809:42Februar y 28, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年2月28日 星期一 9时42分43秒09:42:4328 February 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时42分43秒 上午9时42分09:42:4322.2.28
.7米
D.8米
7.在直径为200 cm的圆柱形油箱内装入一些油后，截面如下图(油面在圆心 下).假设油面的宽AB＝160 cm，那么油的最大深度为40________cm.
最新新课标人教版九上数学 24.1.2垂直于弦的直径 (课件)
被平分的弦是直径
所以猜想1有问题，我们不妨要求被平分的
弦不能是直径，提出猜想2再来研究一下是
否成立
猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，
也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧
已知：如图，CD 是⊙O 的直径，CD平分弦AB于点E.
求证：CD ⊥AB于点E ，
C
AC = BC ，BD = AD
·
O
∴ CD ⊥ AB于点E，
AC BC，
E
B
A
AD BD.
试一试：更换条件你还能证明吗？
D
探究
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
猜想3：已知①⑤
？
②③④
猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直
平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
C
正确
·
O
E
B
A
D
归纳
已知
结论
周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
集合定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离
等于定长r的点的集合
什么叫做弦？
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫
做直径.
什么叫做弧？
连圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
我们学习完圆的定义后，这节课来学习一下圆的性质
弧
·
直径
弦
新知学习
命题
①②
③④⑤
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
①③
②④⑤
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
①④
②③⑤
24.1.2 垂直于弦的直径 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
求证:AC=BD
变式：若隐去原图中的大圆，连接OA，OB， 设OA=OB，
求证：AC＝BD。
O
AC
E
DB
说出你这节课的收获和体会，让大家 与你一起分享！！！
分析下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O
A
E
B
D
D
B
O A
石河子第十中学 郭丹
实践探究
把手中的圆对折，重复做几次，你发现 了什么?
可以发现：圆是轴对称图形，
任何一条直径所在直线都是它
●O
的对称轴．
实践探究(小组合作讨论）
利用手中的圆，动手折出与已知直径垂直的一条弦，并说 明你折纸的理由。在折好的圆上标出如图所示的字母，讨 论图中有哪些相等的量。
在△OAB中， ∵OA=OB ∴ △OAB是等腰三角形 又∵ AB⊥CD ∴AE=BE
O
E
BA
O EB D
是 不是 是
不是
O
C
AE B
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
AE B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。
O
AE
BLeabharlann ⑤A⌒D=B⌒D.结 论
∵ CD是⊙O的直径且 CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O 到弦AB的距离为3 cm，求⊙O的半径．
最新人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》优质教学课件
线段: AE=BE
C
劣弧: A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D
理由如下：
·O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧
的两个半圆重合，点A与点B重合， A E
B
AE与BE重合，A⌒C和B⌒C，A⌒D与B⌒D
D
重合．
归纳总结
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧． C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE，A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
思考探索
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧． 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
证明猜想
① CD是直径 ③ AE=BE
② CD⊥AB，垂足为E ④ A⌒C=B⌒C ⑤ A⌒D=B⌒D
求证：A⌒C＝B⌒D.
C
证明：作直径MN⊥AB.
A
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
M
D B
.O
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）. N
∴A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M.
∴A⌒C＝B⌒D.
归纳总结
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心
·O AE B
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种
语言要相互转化，形成整体，才能运用自如．
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
24.1.2《垂直于弦的直径》ppt课件
结论是否成立？
C
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直
于弦,并且平分弦所对的两条弧.
O
数学表达式：
E
A
B
CD是直径，AB是弦
AE=BE,
可推得
CD⊥AB
⌒⌒
D
AC=BC,
A⌒D=B⌒D.
图１
第9页，共20页。
Ｃ
几何语言表述
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
由 ① CD是直径
Ｄ
② CD⊥AB
推论：
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
1、2题
第20页，共20页。
（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦 AB是否一定被直径CD平分？
C B
O
C
B O
A D
AD
思考并猜想：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时， 弦AB有可能被直径CD平分？
第4页，共20页。
看一看
C
C
.O
A E B D
AE≠BE
.O
A
E
B
D
AE＝BE
第5页，共20页。
活动三
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使 CD⊥AB，垂足为E，沿着直径CD折一折， 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为 什么？
13 cm 4
.
C
A
D
B
O
第18页，共20页。
小结
１、圆的轴对称性 ２、垂径定理及其推论的图式
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦 直径平分弧 =>
人教版九年级上册数学精品教学课件 第二十四章 圆 圆的有关性质 垂直于弦的直径
r－1.∵OE⊥AB，∴AF＝12 AB＝12 ×3＝1.5.在
Rt△OAF 中，OF2＋AF2＝OA2，即(r－1)2＋1.52
＝r2，解得 r＝13 ，即⊙O 的半径为 13 m
8
8
课堂小结
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 垂 两条弧. 径 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 定 并且平分弦所对的两条弧. 理 方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作
∴直径CD所在的直线是AB的垂ห้องสมุดไป่ตู้平分线.
O
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直
E A
B 线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
D
圆是轴对称图形，任何一条直径所
在直线都是圆的对称轴.
知识点2 垂径定理及其推论
显然，由上面的证明可知，如 果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足 为E，那么点A、B是关于CD所在 直线的对称点，则AE=BE.把⊙O 沿CD对折时，A⌒D与B⌒D重合，即
圆有无数条对称轴，
每一条对称轴都是
直径所在的直线.
O
如何来证明圆是轴对称图形呢？
满足什么条件才能证明 已知：在⊙O中，CD是直圆径是，轴对A称B是图弦形，呢？CD⊥AB，垂足为E．
C
O
E A
B
D
思考
左图是轴对称图形吗？ 大胆猜想
是轴对称图形．
证明：连结OA、OB.
C
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相 重合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
等腰三角形
九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径课件2
A
C
D
E
O·
B
2021/12/11
第七页，共十八页。
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径(bànjìng)为 10cm,OE=6cm,则AB= cm。
解：连接(liánjiē)OA，∵ OE⊥AB A
E
B
∴ AE OA2 OE2
O·
102 62 8cm
∴ AB=2AE=16cm
2021/12/11
E
D
B
证明：连接OA，OB，则OA=OB
2021/12/11
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB
∴ A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC 第十二页，共十八页。
平分(píngfēn)弦的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。
此处的弦可以是直径(zhíjìng)吗？如果不能，请举出 反例。
C
2021/12/11
必平分此弦所对的弧
⑧圆是轴对称图形，直径是它的对称轴
第十五页，共十八页。
2、如图，有一段弧AB，你能用尺规将其平 分 吗？ (píngfēn)
A
B
2021/12/11
第十六页，共十八页。
3.你能破镜重圆 吗？ (pò jìng chóng yuán)
2021/12/11
第十七页，共十八页。
内容(nèiróng)总结
第八页，共十八页。
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心
O到AB的距离(jùlí)为3cm，求⊙O的半径。
解：过点O作OE⊥AB于E，连接
∴OAAE (liánjiē) 1 AB 4cm
圆心到弦的距2 离、半径、
弦构成O直E 角 3三cm角形，便
A
人教版九年级上册数学24.1.2 垂直于弦的直径课件
3．(4分)如图，在⊙O中，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3， 则⊙O的半径为( A ) A．5 B．10 C．8 D．6
4．(4 分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论
不成立的是( D )
A．CM＝DM
B.B︵D＝B︵C
C．∠ACD＝∠ADC
D．OM＝MD
15．(12分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BE＝1，AE ＝5，∠AEC＝30°，求CD的长．
解：作 OM⊥CD 于点 M，连接 OC，则 CM＝12CD.∵BE＝1，AE＝5， ∴OC＝12AB＝3，∴OE＝OB－BE＝3－1＝2，∵Rt△OME 中， ∠AEC＝30°，∴OM＝12OE＝1，在 Rt△OCM 中，∵OC2＝OM2＋MC2， 即 32＝12＋CM2，解得 CM＝2 2，∴CD＝2CM＝2×2 2＝4 2
足为 P，且 AB＝CD＝8，则 OP 的长为( C )
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
10．如图，直线与两个同心圆分别交于M，P，R，N四点，MP与
RN的大小关系是( C )
A．MP＜RN
B．MP＞RN
C．MP＝RN
D．大小关系不确定
第9题图
Hale Waihona Puke 第10题图11．如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与A， B 重 合 ) ，过 点 O 作 OC⊥AP 于 点 C ， OD⊥PB 于 点 D ， 则 CD 的 长 为 ___4___．
16．(13分)如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2 m，拱顶 CD高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，顶部为正方形并高出水面2 m的 货船经过这里，问：该货船能否顺利通过该桥？请说明理由．
4．(4 分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论
不成立的是( D )
A．CM＝DM
B.B︵D＝B︵C
C．∠ACD＝∠ADC
D．OM＝MD
15．(12分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BE＝1，AE ＝5，∠AEC＝30°，求CD的长．
解：作 OM⊥CD 于点 M，连接 OC，则 CM＝12CD.∵BE＝1，AE＝5， ∴OC＝12AB＝3，∴OE＝OB－BE＝3－1＝2，∵Rt△OME 中， ∠AEC＝30°，∴OM＝12OE＝1，在 Rt△OCM 中，∵OC2＝OM2＋MC2， 即 32＝12＋CM2，解得 CM＝2 2，∴CD＝2CM＝2×2 2＝4 2
足为 P，且 AB＝CD＝8，则 OP 的长为( C )
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
10．如图，直线与两个同心圆分别交于M，P，R，N四点，MP与
RN的大小关系是( C )
A．MP＜RN
B．MP＞RN
C．MP＝RN
D．大小关系不确定
第9题图
Hale Waihona Puke 第10题图11．如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与A， B 重 合 ) ，过 点 O 作 OC⊥AP 于 点 C ， OD⊥PB 于 点 D ， 则 CD 的 长 为 ___4___．
16．(13分)如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2 m，拱顶 CD高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，顶部为正方形并高出水面2 m的 货船经过这里，问：该货船能否顺利通过该桥？请说明理由．
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径(共26张PPT)
例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,
⌒
⌒
求证：AC＝BD.
C A
证明：作直径MN⊥AB.
M
D B
.O
∵A⌒B∥C⌒D，∴⌒MN⊥⌒CD.
则AM＝BM，CM＝DM
N
（⌒垂直平⌒分弦⌒的直径⌒平分弦所对的弧）
AM⌒－CM⌒＝BM－DM
∴AC＝BD
归纳总结
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
线段: AE=BE
C
弧: A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D
理由如下：
·O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
圆重合，点A与⌒点B重⌒合，A⌒E与B⌒E重合，AC A
E D
B
和BC,AD与BD重合．
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不
是，请说明为什么？
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
➢特别说明：
A
·O
圆的两条直径是互相平分的.
B
D
垂径定理及其推论的计算
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= 16 cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB， A
E
B
∴ AE OA2 OE 2
O·
102 62 8 cm.
∴ AB=2AE=16cm.
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且
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