选修2-1 空间向量知识点归纳总结材料

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空间向量知识点总结公式

一、空间向量的定义

在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，其中一个点P的坐标为（x，y，z），另一个

点Q的坐标为（a，b，c），那么PQ的空间向量为向量（a-x，b-y，c-z）。

二、空间向量的运算

1. 空间向量的加法运算

若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的和为C（a1+a2，b1+b2，

c1+c2）。

2. 空间向量的减法运算

若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的差为C（a1-a2，b1-b2，

c1-c2）。

3. 空间向量的数乘运算

若有一个向量A（a，b，c），一个实数k，则kA为（ka，kb，kc）。

4. 空间向量的数量积

数量积指两个向量的数量乘积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的数量

积为a1a2+b1b2+c1c2。

5. 空间向量的向量积

向量积又称为叉积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的向量积为

（b1c2-c1b2，c1a2-a1c2，a1b2-b1a2）。

6. 空间向量的混合积

定义为A·（B×C），其中A、B、C分别为三个向量，其中A·表示数量积，B×C表示向量积。

三、空间向量的坐标表示

空间向量通常有两种常见的表示方法，即点坐标表示和参数方程表示。

1. 点坐标表示

点坐标表示指的是根据两个点的坐标来表示一条向量。设两点P（x1，y1，z1）和Q（x2，y2，z2），则以P为起点Q为终点的向量为（x2-x1，y2-y1，z2-z1）。

2. 参数方程表示

空间向量知识点归纳总结

空间向量是高中数学中的一个重要概念，出现在向量代数、几何问题、解析几何以及线性代数等多个数学分支中。下面是空间向量知识点的归纳

总结：

1.空间向量的定义：

空间向量是具有大小和方向的量，它可以用有序三元数组表示，例如(a,b,c)。

2.空间向量的运算：

(1)向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，加法满足交换律和

结合律。

(2)向量数乘：一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量，数乘满

足分配律。

(3)内积：两个向量的内积是一个实数，可以用数量积的公式计算。

(4)外积：两个向量的外积是一个向量，可以用矢量积的公式计算。

3.空间向量的基本性质：

(1)零向量：长度为零的向量，与任何向量的加法的结果都是原向量

本身。

(2)单位向量：长度为1的向量，可以用一个非零向量除以其长度得到。

(3)向量的长度：向量的长度定义为该向量的模。

(4)向量的方向：向量的方向可以用与该向量共线的单位向量表示。

4.空间向量的共线与异面：

(1)两个向量共线意味着它们的方向相同或者相反。

(2)三个向量共面意味着它们位于同一个平面上。

(3)两个向量异面意味着它们不共线，且它们所在的直线与另外一个直线垂直。

5.空间向量的投影：

(1)向量在一些方向上的投影是一个标量，可以用点积的公式计算。

(2)向量在一些方向上的单位向量是该方向的基向量。

(3)向量在一些方向上的分量是该方向的基向量的数乘。

6.空间向量的表示：

(1)分解：一个向量可以表示为它在不同方向上的分量的和。

(2)基底：一个空间中的向量可以表示为基底向量的线性组合。

高中数学选修2-1-空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

一、知识网络：

空间向量的加减运算共线向量定理空

空间向量与立间

向

量

及

其

运

算

空间向量的数乘运算

共面向量定理

空间向量的数量积运算空间向量基本定理

平行与垂直的条件

体空间向量的坐标运算

几何立

体

向量夹角与距离

几直线的方向向量与平面的法向量

何

中

的

用空间向量证平行与垂直问题

向

量求空间角

方

法求空间距离

二．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

例1、有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；

②O, A, B,C 为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O, A,B,C 一定共面；③已知向量a,b,c 是空间的一个基底，则向量a b,a b,c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（）。

( A)①②(B)①③(C)②③( D)①②③

题型2：空间向量的基本运算

例2、如图：在平行六面体A BCD A1B C D 中，M 为A1C1 与B1D1 的

1 1 1 D1 C1

交点。若AB a ，A D b ，A A c ，则下列向量中与BM 相等的

A1 B1

向量是（）

D C

(A) 1 1

a b c (B)

2 2

1 1

a b c

2 2

A B

1 1

a b c (D) a b c

2 2 2 2

例3、已知： a 3m 2n 4p 0,b (x 1)m 8n 2 yp, 且m, n, p不共面. 若a ∥b , 求x, y 的值.

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1 中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.

空间向量知识点归纳总结

适用标准文案

空间向量知识点概括总结

知识重点。

1.空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量。

注：（ 1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（ 2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2.空间向量的运算。

定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘运算以下（如图）。

OB OA AB a b ; BA OA OB a b ; OP a(R)

运算律：⑴加法互换律： a b b a

⑵加法联合律：

⑶数乘分派律：

3.共线向量。(a b ) c a (b c) (a b )a b

（1）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共

线向量或平行向量， a 平行于b，记作a // b。

当我们说向量 a 、b共线（或 a //b）时，表示 a 、b的有向线段所在的直线可能是同向

来线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间随意两个向量a、b（b≠0），a // b存在实数λ，使a＝λb。

4.共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间随意的两向量都是共面的。

（ 2）共面向量定理：假如两个向量a, b 不共线，p与向量 a,b 共面的条件是存在实数x, y 使p xa yb 。

5. 空间向量基本定理：假如三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一直量p，存在一个独一的有序实数组 x, y, z ，使p xa yb zc。

若三向量 ab,,c不共面，我们把 { a, b, c} 叫做空间的一个基底，a,b , c 叫做基向量，空

选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点

空间向量及其运算知识点

1.空间向量的有关概念

⑴空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.

(2)单位向量：模为1的向量称为单位向量

(3)相等向量：方向相同且模相等的向量.

(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.

(5)共面向量：平行于同一个平面的向量.

2•空间向量的加法、减法与数乘运算

向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则

向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量

uuu uuu uuuu uuuu uuuuu

OAn=OA+A| A2+ A2A g+ + An—i A n•

运算律：①加法交换律： a + b= b + a ②加法结合律：(a+ b) + c= a + (b + c)③数乘分配律：入(+ b)=入a入b.

3.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理

对空间任意两个向量 a, b(b丰0) a II b的充要条件是存在实数人使得a =^b

推论：|点P在直线 AB上的充要条件是：

uuu um

存在实数人使得AP AB ①

uuu uir uur

或对空间任意一点O,有OP OA AB ②

um uur urn

或对空间任意一点O, 有OP xOA yOB其中x+ y= 1 ③

urn uur um uir uuu uur uur uur

【推论③推导过程: OP OA AB OA (AO OB) (1 )OA OB】

(2)共面向量定理

如果两个向量a, b不共线，那么p与a, b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使p = xa+ yb

高二空间向量法知识点归纳

空间向量法是数学中的一种重要工具，广泛应用于几何、物理

等领域。在高中数学的教学中，空间向量法也是一个重要的知识点。本文将对高二空间向量法的相关知识进行归纳总结。

一、空间向量的定义和表示方法

空间中的向量是有大小和方向的，它可以用坐标来表示。三维

空间中，向量通常用三个有序实数构成的有序三元组表示，记作：AB→=A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)。该向量的坐标表示为：(x2-x1, y2-y1, z2-z1)。

二、向量的共线和共面判定

1. 共线判定

设有向量AB→和CD→，如果它们的坐标比例相等，则两个向量共线，即(x2-x1)/a=(y2-y1)/b=(z2-z1)/c。

2. 共面判定

设有三个向量AB→，AC→和AD→，如果它们的混合积为0，则三个向量共面，即[(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)]a+[(y2-y1)(z3-

z1)-(y3-y1)(z2-z1)]b+[(x2-x1)(z3-z1)-(x3-x1)(z2-z1)]c=0。

三、向量的数量积和数量积的性质

1. 数量积的定义

设有向量AB→和CD→，数量积定义为：

AB→·CD→=|AB→|·|CD→|·cosθ，其中θ为AB→和CD→之间的夹角。

2. 数量积的性质

- 交换律：AB→·CD→=CD→·AB→

- 结合律：(AB→+CD→)·EF→=AB→·EF→+CD→·EF→

- 数量积与向量共线：若AB→·CD→=0，则向量AB→和CD→垂直或其中一个向量为零向量。

四、向量的向量积和向量积的性质

高二空间向量知识点归纳总结

一．知识要点

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算：

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）

。

b a B A OA OB ；b a OB OA BA ；)(R a OP

运算律：⑴加法交换律：a b

b a ⑵加法结合律：

)

()

(c b

b a

⑶数乘分配律：b

a b a

)

(运算法则：三角形法则、平行四边形法则

3. 共线向量：

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，

a 平行于b

，记作

b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b

（

b ≠0）

，a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>

AB <=>

OB y OA x OC ，其中1

y x （4）与

a 共线的单位向量为

|a a 4. 共面向量

：

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b

不共线，

p 与向量,a b

共面的条件是存在实数

,x y 使。b y a

x p

（3）四点共面：若

A 、

B 、

C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP <=>OC z OB y OA x OP ，其中1z y

5. 空间向量基本定理：如果三个向量

空间向量知识点总结

空间向量与立体几何知识点总结

一、基本概念: 1、空间向量：

2、相反向量：

3、相等向量：

4、共线向量：

5、共面向量：

6、方向向量:

7、法向量

8、空间向量基本定理：

二、空间向量的坐标运算： 1.向量的直角坐标运算

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则

(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 2.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.

3、设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则

a b ⇔(0)a b b λ=≠； a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.

4.夹角公式

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=.

5．异面直线所成角

cos |cos ,|a b θ==

||||||

a b a b x ⋅=

⋅+.

6．平面外一点p 到平面α的距离

已知AB 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法

向量，A 到平面α的距离为：||

AB n d n •=

空间向量与立体几何练习题

一、选择题

1.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系中，若,E F 分别是1,BC DD 中点，则EF 的坐标为（）

(完整版)空间向量知识点归纳总结(经典)

空间向量与立体几何知识点归纳总结

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r

运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++

⑶数乘分配律：b a b a ϖ

ϖϖϖλλλ+=+)(

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共

线向量或平行向量，a ρ

平行于b ρ，记作

b a ρϖ//。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ

（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ

＝λb ρ。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=

<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中

（4）与a 共线的单位向量为

a ±

4. 共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r

空间向量知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结

一．知识要点;

1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量; 注：1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量;

2向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算;

定义：与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图;

OB OA AB a b

=+=+;

BA OA OB a b

=-=-;

()OP a R λλ=∈

运算律：⑴加法交换律：a b b a

+=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a

++=++

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量;

1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量

也叫做共线向量或平行向量,a

平行于b ,记作b a //;

共线向量定理：空间任意两个向量a

、b

≠

0 ,a b a b

AB λ=)1(=++=y x OB y OA x OC 其中

a a

共面向量

1定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量; 说明：空间任意的两向量都是共面的;

2共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+;

3四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=

<=>

+++=y x OC z OB y OA x OP 其中

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量

空间向量知识点归纳总结

空间向量是代数矢量的一种推广，它在三维空间中表示具有大小和方向的物理量。在学习空间向量时，需要了解以下几个方面的内容：

一、空间向量的表示

1.平行四边形法则和三角形法则：空间向量可以用平行四边形法则或者三角形法则进行表示。

2.分解和合成：空间向量可以通过分解成两个或多个分量向量，或者合成两个或多个向量得到。

二、空间向量的基本运算

1.加法：两个空间向量相加的结果是一个新的空间向量。向量相加满足交换律和结合律。

2.减法：可以将减法转化为加法来处理。即将减法转化为加上一个相反向量。

3.数乘：空间向量与一个实数相乘，结果是一个新的空间向量。

三、空间向量的数学性质

1.零向量：长度为0的向量称为零向量。零向量与其他向量的加法运算结果均为其本身。

2.负向量：与一个向量大小相等，方向相反的向量称为其负向量。

3.平行向量和共线向量：如果两个向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行。如果两个向量共线，则它们是平行的特殊情况。

4.零向量的唯一性：零向量是唯一的，任何两个非零向量的和不可能是零向量。

5.向量共点的充分必要条件：三个向量共点的充分必要条件是其中两个向量的线性组合等于第三个向量。

四、空间向量的数量乘积

1.内积（点积）：两个向量的点积是一个实数，定义为两个向量的模的乘积与其夹角的余弦的乘积。

2.内积的性质：内积具有交换律、结合律、分配律等性质。

3.向量的模与内积之间的关系：向量的模可以通过内积来计算，即向量的模的平方等于它与自身的内积。

4.直角和斜角的判别定理：两个非零向量正交（垂直）的充分必要条件是它们的内积为零。

空间向量知识点归纳总结

空间向量知识点归纳总结(经典)(总

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空间向量与立体几何知识点归纳总结

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1

）向量一般用有向线段表示

同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈

运算律：⑴加法交换律：a b b a

+=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a

++=++

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做

共线向量或平行向量，a

平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a

、b （b ≠0 ），

a b a b

λ=)1(=++=y x y x 其中a a

±共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,

x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=

人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_《空间向量与立体几何》全章复习与巩固_基础

人教版高中数学选修2-1

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固

【学习目标】

1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；

2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；

3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；

4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：空间向量的有关概念

空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；

空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示，A 叫作起点，B 叫作终点；

一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a （而手写体）表示．

向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a ．

向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ,的相等向量OA 和OB ，则∠AOB 叫作向量a b ,的夹角，记作〈〉，a b ，规定0π≤〈〉≤，a b ．如图：

空间向量与立体几何

空间向量及其运算

空间向量在立体几何中的应用

空间向量的线性运算

空间向量的基本定理

两个向量的数量积

空间向量的直角坐标运算

共线向量定理

共面向量定理

空间向量分解定理

平行与垂直的条件

直线的方向向量与直线的向量方程

平面的法向量与平面的向量表示

直线与平面的夹角二面角及其度量距离

零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =．相等向量：方向相同且模相等的向量．相反向量：方向相反但模相等的向量．

空间向量知识点归纳总结

知识要点;

1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量;

注：1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量;

2空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示;

2. 空间向量的运算;

定义：与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图;

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈

运算律：⑴加法交换律：a b b a

+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a

++=++

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

3. 共线向量;

1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量

或平行向量,a 平行于b ,记作b a

//;

当我们说向量a 、b 共线或a b a b a b b 0 a b a b

共面向量 1定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;

说明：空间任意的两向量都是共面的;

2共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使

p xa yb =+;

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++;

若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数

空间向量关键知识点总结

1. 空间向量的基本概念

空间向量是用来表示空间中的位移、力、速度等物理量的，它由大小和方向两个要素组成。空间向量可以看作是一个有序数对或是坐标形式的表示，通常表示为(a，b，c)。其中，a、b、c分别代表向量在x轴、y轴和z轴上的投影。

2. 向量的加法和减法

向量的加法和减法是指两个向量相加或相减的运算。对于两个向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的和c=a+b的表示为(c1, c2, c3)=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)，而它们的差d=a-b

的表示为(d1, d2, d3)=(a1-b1, a2-b2, a3-b3)。从几何上看，向量的加法和减法实际上就是

平行四边形法则的应用，可以通过平移一个向量来得到另一个向量的和或差。

3. 向量的数乘运算

向量的数乘运算指的是一个向量乘以一个标量。设有向量a=(a1, a2, a3)和实数k，则它们

的数乘ka=(ka1, ka2, ka3)。这个运算实际上就是将向量a的大小变为原来的k倍，方向不变。

4. 向量的点乘

向量的点乘也称为内积，它是两个向量的乘积，结果是一个标量。设有向量a=(a1, a2, a3)

和b=(b1, b2, b3)，则它们的点乘运算表示为a·b=a1b1+a2b2+a3b3。从几何上来看，两个

向量的点乘等于它们的长度乘积与夹角的余弦值的乘积。

5. 向量的叉乘

向量的叉乘也称为外积，它是两个向量的乘积，结果是一个向量。设有向量a=(a1, a2, a3)

和b=(b1, b2, b3)，则它们的叉乘运算表示为a×b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。从