四川省乐山市2020届高三第三次调查研究考试数学(理)试题 含解析

乐山市高中2020届第三次调查研究考试理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}2,0,1M =-，{}23N x x =∈-<<N ，则M N ⋃=（ ） A. {}2,1,0,1,2,3-- B.2,0,1,2C. {}2,0,1,2,3-D. {}2,1,0,1,2--【答案】B 【解析】 【分析】用列举法写出集合N ，即可求出M N ⋃.【详解】易知{}{}230,1,2N x x =∈-<<=N ，所以{}2,0,1,2M N =-.故选:B.【点睛】本题考查了集合的并集运算.2. 已知复数(1)z a a i =+-（i 为虚数单位，a R ∈），则“(0,2)a ∈”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据复平面内点的坐标表示，结合充分必要条件的性质即可判断.【详解】复数(1)z a a i =+-，所以在复平面内对应的点坐标为(),1a a -，若(0,2)a ∈，则10a ->，10a -=或10a -<都有可能，因而不一定位于第一象限，所以不是充分条件；若在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限，有可得010a a >⎧⎨->⎩，可得01a <<，而()()0,10,2⊆所以是必要条件，综上可知， “(0,2)a ∈”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的必要不充分条件， 故选:B【点睛】本题考查了复数的几何意义，充分必要条件的判断，属于基础题. 3. 已知函数()f x 是奇函数，且0x >时，()2π1sin 2f x x x =+，则()2f -=（ ）. A. 2 B. 2-C. 3D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质()()f x f x -=-计算可得；【详解】解：因为()f x 是奇函数，所以()()π122sin 4322f f ⎡⎤-=-=-+⨯=-⎢⎥⎣⎦， 故选：D.【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，属于基础题.4.已知a =344log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.A. a b c >>B. a c b >>C. b c a >>D.c a b >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质分别求出a 、b 、c 的范围，即可比较大小；【详解】解：由题得14661a ==>=，33444log log 1021b =<=，2.9110133c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故有a c b >>， 故选：B.【点睛】本题考查对数函数、指数函数的性质的应用，属于基础题.5. 已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（ ） A. ()4,6B. ()4,6--C. 213313,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 213313,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】设(),a x y =，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a 的坐标.【详解】设(),a x y =，且()4,6m =，()5,1b =-，由//a m 得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=，②，所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--.故选：B .【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.6. 支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的22⨯列联表：附表及公式：()()()()()22n ad cb K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++()2P K k >0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828则下列结论正确的是（ ）.A. 在犯错的概率不超过001的前提下，认为“支付方式与性别有关”B. 在犯错的概率超过001的前提下，认为“支付方式与性别有关”C. 有0099.9以上的把握认为“支付方式与性别有关”D. 有0099.9以上的把握认为“支付方式与性别无关” 【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可以根据题意得出40a =、10b =、25c =以及25d =，然后将其带入()()()()()22n ad cb K a b c d a c b d -=++++中，最后通过计算并与表中数据进行对比即可得出结果. 【详解】由22⨯列联表得到40a =，10b =，25c =，25d =，代入()()()()()22n ad cb K a b c d a c b d -=++++，解得()2210010002509.8950506535K ⨯-=≈⨯⨯⨯， 因为6.6359.8910.828<<，所以有0099.9以上的把握认为“支付方式与性别有关”， 故选：C.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，能否明确a 、b 、c 、d 所对应的数字是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.7. 秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入2x =，2n =，依次输入a 为1，2，4，则输出的S 的值为（ ）.A. 4B. 10C. 11D. 12【答案】D 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件后可得结论．【详解】输入1a =时，0211s =⨯+=，011k =+=，此时12k =>不成立； 输入2a =时，1224s =⨯+=，112k =+=，此时22k =>不成立； 输入4a =时，42412s =⨯+=，213k =+=，此时32k =>成立； 输出的S 的值为12， 故选：D.【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察程序中变量值的变化，得出结论．8. 数列{}n a 中，已知对任意*n ∈N ，1231n n a a a +++=-，则22212n a a a +++=（ ）A. 912n -B. 912n +C. 922n -D. 922n +【答案】A【分析】利用数列的前n 项和与通项的关系求解可得123n n a -=⨯,进而得到{}2n a 为等比数列,首项214a =,公比为29q =,再利用等比数列的求和公式求解即可.【详解】1231n n a a a +++=- ① 当2n ,112131n n a a a --+++=- ②①-②得()()11313123(2)nn n n a n --=---=⨯,又11312a =-=符合123n n a -=⨯.{}n a ∴为等比数列,首项12a =,公比为3q =,{}2n a ∴为等比数列,首项214a =,公比为29q =,故()2221241991192n n na a a --+++==-. 故选：A【点睛】本题主要考查了数列的前n 项和与通项的关系以及等比数列的求和公式,属于中档题.9. 双曲线22x a－22y b ＝1 (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. 51⎛ ⎝⎭，B. 5⎫+∞⎪⎪⎝⎭， C. 514⎛⎫⎪⎝⎭，D.54，⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据点在不等式表示的区域内，即可求得,a b 的不等关系，据此求得离心率范围.【详解】由题意可得双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，且“右”区域由不等式组b y x ab y x a ⎧<⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩确定，∵点(2,1)在“右”区域内， ∴21ba >，即12b a >， ∴22151()1()22c b e a a ==+>+=， 即双曲线离心率e 的取值范围是5(,)2+∞． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属中档题.10. 已知角α始边与x 轴的非负半轴重合，与圆224x y +=相交于点A ，终边与圆224x y +=相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为C ，ABC ∆的面积为()S x ，函数()y S x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.【解析】如图A （2，0），在RT△BOC 中，|BC|=2|sinx|，|OC|=2|cosx|， ∴△ABC 的面积为S （x ）=12|BC||AC|≥0， 所以排除C 、D ；选项A 、B 的区别是△ABC 的面积为S （x ）何时取到最大值？ 下面结合选项A 、B 中的图象利用特值验证： 当x=2π时，△ABC 的面积为S （x ）=12×2×2=2，当x=34π时，|BC|=2|sin 34π2 ，|OC|=2|cos 34π2则2∴△ABC 的面积为S （x ）=122×(222+1＞2， 综上可知，答案B 的图象正确， 故选B ．点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积公式，以及选择题的解题方法：排除法和特值法，考查了数形结合思想，属于中档题．11. 已知A BCD -是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且4AC =，2BD =，3ACD ACB π∠=∠=，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）A.263462343【答案】B【分析】由题意可得AC 为直径，则AC 中点即为球心O ，可得2ADC ABC π∠=∠=.由3ACD ACB π∠=∠=，可得BCD 为正三角形. 取BCD 中心H ，则OH HC ⊥.在Rt OCH 中求出OH ，即可求点A 到平面BCD 的距离.【详解】由题意知A B C D ，，，四点都在球面上，且AC 为直径，AC ∴中点即为球心O ，如图所示2ADC ABC π∴∠=∠=，4AC =，3ACD ACB π∠=∠=，2BC CD ∴==，又2BD =，BCD ∴△为正三角形. 取BCD 中心H ，连接,OH HC . 则OH ⊥面BCD ，OH HC ∴⊥. 可求得23CH =2OC =，26OH ∴=又因为AC 中点为O ，所以点A 到面BCD 的距离为点O 到面BCD 的距离的2倍， 即距离为63. 故选：B .点睛】本题考查点面距，属于中档题. 12. 已知函数()4sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，430,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且123n x x x x <<<<，则1231222n n x x x x x -+++++=（ ）A.11903πB.11923πC. 398πD.11963π【解析】 【分析】由题可得，是要求解关于对称轴对称的两点与对称轴的关系问题，需要先求出对称轴通式1()23x k k ππ=+∈Z ，再判断在符合定义域取值范围内有多少条对称轴，确定每相邻两零点与对称轴关系，再通过叠加法表示出1231222n n x x x x x -+++++，结合数列通项公式求和即可【详解】函数()4sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()262x k k Z πππ-=+∈，可得1()23x k k ππ=+∈Z ， 即函数的对称轴方程为1()23x k k ππ=+∈Z ，又()f x 的周期为T π=，430,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令143=233k πππ+，可得28k =，所以函数在430,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有29条对称轴，根据正弦函数的性质可知，122315832,2,,2366n n x x x x x x πππ-+=⨯+=⨯+=⨯（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴） 将以上各式相加得12312588322226666n n x x x x x ππππ-⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2+83281190==323ππ⨯⨯ 答案选A【点睛】本题考查复合型正弦函数零点的个数问题，而相邻两个零点之间等于中间对称轴数值的两倍这个条件至关重要，通过每两个相邻零点叠加的方式，可表示出1231222n n x x x x x -+++++，难点在于确定对称轴的条数问题，最后一条对称轴是函数的最大值点，所以取第28条确定对称轴数值为836x π=非常关键，后续通过数列的通项求和最终求得数值．本题整体综合性强，对于逻辑性与推理性，运算能力都有较高要求 二、填空题：13. 已知函数()()3211f x x xf '=+-，则函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为______.【答案】330x y ++= 【解析】 【分析】求出导函数，令1x =可求得(1)f '，再计算出(1)f ，由点斜式写出直线方程，整理成一般式． 【详解】因为()()2321f x x f ''=+，则()()1321f f ''=+，得()13f '=-，则()()112316f =+⨯--=-，故切线方程为()()631y x --=--，即330x y ++=. 故答案为：330x y ++=.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算，属于基础题．求切线方程时要区别在某点处的切线和过某点的切线．14. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成.如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为______.【答案】38【解析】 【分析】设拼成的正方形的面积为1，计算出阴影部分的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得； 【详解】解：设拼成的正方形的面积为1， 由图知，最大的三角形面积为14，最小的三角形面积为116， 平行四边形的面积是最小三角形面积的2倍， 由此可得阴影部分的面积为38，则所求的概率为38.故答案为：38【点睛】本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.15. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，A 、B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线FB 与直线x a =的交点为M ，若2BM FB =，且AFM △的面积为2，则椭圆的标准方程为______.【答案】22143x y +=【解析】 【分析】依题意可得2BM FB =，且//OB AM （O 为坐标原点），所以13OF OB AF AM ==，从而得到2a c =，3AM b =，b =，再根据AFM △的面积计算可得；【详解】解：由2BM FB =，且//OB AM （O 为坐标原点），得13OF OB AF AM ==，所以2a c =，3AM b =，b =，又因为()132AFM S a c b =+⨯=△，解得1c =，所以2a =，b =22143x y +=.故答案为：22143x y +=【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，数形结合思想，属于基础题. 16. 我们把一系列向量()1,2,,i a i n =按次序排列成一列，称之为向量列，记作{}i a .已知向量列{}i a 满足：()11,1a =，()()()11111,,22n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥，设n θ表示向量1n a -与n a 的夹角，若2πn n n b θ=，对于任意正整数n ，不等式()1221111log 122a n n n ab b b +++>-恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()21 【解析】 【分析】利用数量积公式得出π4n θ=，进而得出24n n b =，从而得出122111222122n n n b b b n n n+++=+++++，利用定义证明()f n 的单调性，求出其最小值，再解不等式()11log 122n a >-，即可得出实数a 的取值范围.【详解】11cos n nn n na a a a θ--⋅=()()()11111111,,n n n n n n x y x y x y ------⎛⎫⋅-+ ⎪=2211112n n x y --+==所以π4n θ=，故24n n b =21222122n b n n n+=+++++ 令()222122f n n n n=+++++ 则()()()22222212321122f n f n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭ 2202122n n =->++ 所以()f n 单调递增，所以()()min 11f n f ==，则()11log 122a a >- 因为120a ->，所以102a <<，则212a a -> 解得11a -<<-+综上所述，()1a ∈ 故答案为：()1【点睛】本题主要考查了数列不等式的恒成立问题，涉及了判断数列的增减性，向量的数量积公式的应用，属于较难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据需求作答. （一）必考题17. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-.（1）求角B 的值；（2）若7a c +=，b =，求ABC 的面积.【答案】（1）π3B =（2）【解析】 【分析】（1）由222cos cos sin sin sin C B A A C-=-，利用平方关系得到222sin sin sin sin sin B C A A C -=-，再由正弦定理将角转化为边，得到222a c b ac +-=，然后利用余弦定理求得角B .（2）结合（1）及7a c +=，b =ac ，再由1sin 2ABC S ac B =求解. 【详解】（1）因为222cos cos sin sin sin C B A A C -=-， 所以222sin sin sin sin sin B C A A C -=-，由正弦定理得222b c a ac -=-，即222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为0πB <<， 所以π3B =. （2）由（1）得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 即2213a c ac +-=，所以()2313a c ac +-=，即12ac =，所以11sin 12222ABC S ac B ==⨯⨯=【点睛】本题主要考查平方关系，正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18. 为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI 的平均值为依据播报该市的空气质量.（1）若某日播报的AQI 为119，已知轻度污染区AQI 平均值为70，中度污染区AQI 平均值为115，求重试污染区AQI 平均值；（2）如图是2018年11月份30天的AQI 的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI 在[)140150,内.①某校参照官方公布的AQI ，如果周日AQI 小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从11月份AQI 不小于170的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中AQI 值不小于200的天数的分布列和数学期望.【答案】（1）157（2）①17②详见解析 【解析】 【分析】（1）设重度污染区AQI 平均值为x ,根据每日9个监测站测得的AQI 总值进行求解即可； （2）①由频率分布直方图可得AQI 在不小于140的不同区间的频数,再根据11月份仅有1天AQI 在[)140150,内,即可获得AQI 不小于150的频数,进而求解； ②由①, AQI 不小于170天的共7天,不小于200天的共2天,则X 的所有可能取值为0,1,2, 进而根据超几何分布求解分布列和期望.【详解】解:（1）设重度污染区AQI 平均值为x , 则119970211543x ⨯=⨯+⨯+,解得157x =. （2）①AQI 在[)140,170上的有830308900⨯⨯=天, AQI 在[)170,200上的有530305900⨯⨯=天, AQI 在[)200,230上的有230302900⨯⨯=天, 因为11月份仅有1天AQI 在[)140150,内, 所以11月份AQI 不小于150的共852114++-=天,即能参加户外活动的概率为14813015P =-=. ②由①,AQI 不小于170天的共7天,不小于200天的共2天, 则X 的所有可能取值为0,1,2,所以()8387207C P x C ===,()213237417C C P x C ===,()123237127C C P x C ===, 所以X 的分布列为:X0 1 2P2747 17则24160127777EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查利用频率分布直方图求频数,考查超几何分布的分布列和期望.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，23BAC π∠=，E ，F 分别是AB ，11B C 中点，G 为线段1CC 上的一个动点.（1）证明：//EF 平面11AAC C ；（2）当二面角11F AG C --21时，证明：1BF AG ⊥. 【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取11A C 中点M ，连,FM MA ，可证四边形AEFM 为平行四边形，得到//EF AM ，即可证明结论；（2）不妨设11AB AC AA ===，如下图建立空间直角坐标系1A xyz -，设1C G h =，得到11,,,,B B C F G 坐标， 求出平面1A GF 的法向量坐标，取平面11AC G 法向量为(1,0,0)n =，根据已知求出h ，证明10BF AG ⋅=即可. 【详解】（1）如图，取11A C 中点M ，连,FM MA ， 因为F 是11B C 的中点，所以11111//,2MF A B MF A B =， 在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =， 因为E 是AB 中点，所以//,MF AE MF AE =， 所以四边形AEFM 为平行四边形，//EF AM ， 因为EF ⊄平面11AAC C ，AM ⊂平面11AAC C ， 所以//EF 平面11AAC C ；（2）不妨设11AB AC AA ===，如图建立空间直角坐标系1A xyz -，设(0,1,)G h ，131,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,122B ⎛⎫-⎪⎝⎭，1(0,1,0)C ， 所以113131(,0),(0,1,),(,0)4444F AG h A F ==， 设平面1A FG 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1100A G m A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即03104y hz y +=⎧⎪⎨+=⎪，令x h =，所以平面1A FG 的一个法向量(,3,3)m h h =-， 平面11AGC 的一个法向量(1,0,0)n =， 所以2213cos ,4||||43m n m n h m n h ⋅〈〉===⇒=⋅+，此时33,,14BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，130,1,4AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以0BF AG ⋅=，即1BF AG ⊥.【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面平行、异面直线垂直的证明，利用空间向量法求二面角的余弦，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 20. 已知抛物线2:4C y x =，过()2,0P 的直线与抛物线C 相交于,M N 两点.（1）若点Q 是点P 关于坐标原点O 的对称点，求MQN ∆面积的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PM 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由.【答案】（1）822）存在，直线l 的方程为1x =；定值为2 【解析】 【分析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为2x my =+，联立直线的方程与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得124y y m +=，128y y ⋅=-，然后12142MQN S y y ∆=⨯⨯-=m 将MQN S ∆表示出来即可.（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，则以PM 为直径的圆的方程为()()()1120x x x y y y --+-=，将直线方程x a =代入，得()()21120y y y a a x -+--=，然后将AB 表示出来即可.【详解】（1）依题意，点Q 的坐标为()2,0Q -，可设()11,M x y ，()22,N x y ， 直线MN 的方程为2x my =+，与24y x =联立得2480y my --=.由韦达定理得：124y y m +=，128y y ⋅=-，于是12142MQN S y y ∆=⨯⨯-==≥，所以当0m =时，MQN ∆面积最小值，最小值为（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，则以PM 为直径的圆的方程为()()()1120x x x y y y --+-=，将直线方程x a =代入，得()()21120y y y a a x -+--=，则()()()()2111424120y a a x a x a a ∆=---=-+->⎡⎤⎣⎦.设直线l 与以PM 为直径的圆的交点为()3,A a y ，()4,B a y ， 则341y y y +=，()()3412y y a a x ⋅=--，于是有34AB y y =-==.当10a -=，即1a =时，2AB =为定值. 故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =.【点睛】本题主要考查的是直线与抛物线的位置关系，三角形面积的最值及弦长的定值问题，属于中档题.21. 已知函数()2ln 2f x x x ax =+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断并说明函数()()cos g x f x x =-的零点个数.若函数()g x 所有零点均在区间[]()m n m n ∈∈Z Z ，，内，求n m -的最小值.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减（2）()g x 存在两个零点1x ，2x ，且1π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(]2π,4x ∈，详见解析；n m -的最小值为3【解析】 【分析】（1）函数求导()2122122ax x f x ax x x-++'=+-=，根据二次函数的性质分0a = 0a <，0a >三种情况分类讨论求解..（2）当1a =时，()2ln 23cos g x x x x x =+--，当(]0,1x ∈时，()2ln 2f x x x x =+-单调递增，()()11f x f ≤=，π33cos 3cos13cos 32x >=≥，则()0g x <，故不存在零点；然后从cos y x =的定义域入手，分π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦，(]π,4x ∈，()4,x ∈+∞四种情况分类讨论求解.【详解】（1）()2ln 2f x x x ax =+-的定义域为()0,∞+，()2122122ax x f x ax x x-++'=+-=， 当0a =时，()210x f x x+'=>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，220ax ->，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，令22210ax x -++=，得1x =，2x =（舍）.当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,2x a ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '<，所以()f x 在10,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在12a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在10,2a ⎛ ⎝⎭上单调递增，在12a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）当1a =时，()2ln 23cos g x x x x x =+--，当(]0,1x ∈时，()2ln 2f x x x x =+-单调递增，()()11f x f ≤=，π33cos 3cos13cos32x >=≥，则()0g x <，故不存在零点； 当π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1223sin g x x x x '=+-+，()122f x x x '=+-在π1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， 所以()π22π2f x f π⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭≥，π33sin 3sin13sin 62x >>=， 所以()232π0π2g x '>+-+>，()g x 单调递增， 又()113cos10g =-<，2πππln π0224g ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭， 所以存在唯一11,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()10g x =. 当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()1223sin g x x x x '=+-+，()2123cos 0g x x x ''=--+<，所以()g x '单调递减， 又π22π302πg ⎛⎫'=+-+>⎪⎝⎭，()12π2π0πg =+-<'， 所以存在0π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，使得()00g x '=， 当0π,2x x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()00g x '>，()g x 单调递增； 当(]0,πx x ∈时，()00g x '<，()g x 单调递减，又π02g ⎛⎫>⎪⎝⎭，()2πln π2ππ30g =+-+>， 因此，()0g x >在π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上恒成立，故不存在零点. 当(]π,4x ∈时，()2123cos 0g x x x''=--+<，所以()g x '单调递减， 因为()π0g '<，所以()0g x '<，()g x 单调递减， 又()π0g >，()4ln 48163cos40g =+--<， 所以存在唯一(]2π,4x ∈，使得()20g x =.当()4,x ∈+∞时，()22123320g x x x x x x <-+-+=-++<，故不存在零点.综上，()g x 存在两个零点1x ，2x ，且1π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(]2π,4x ∈， 因此n m -的最小值为3.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题. （二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以O 为极点x ，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox . （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知,A B 是曲线C 上任意两点，且4AOB π∠=，求OAB ∆面积的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=；（2）2+. 【解析】 【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程为：()2224x y -+=，再根据cos ,sin x y ρθρθ==转化为极坐标方程即可．（2）利用极坐标系，设()1020,,,4A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭其中1200,0,22ππρρθ>>-<<，利用极径的几何意义、三角形面积公式和三角函数的性质，可得答案．【详解】解：（1）消去参数α，得到曲线C 的标准方程为：()2224x y -+=，()()22cos 2sin 4ρθρθ∴-+= ∴()222sin cos 4cos 44ρθθρθ+-+= ∴24cos 0ρρθ-=故曲线的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）极坐标系Ox 中，不妨设()1020,,,4A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中1200,0,22ππρρθ>>-<<.由（1）知： 10204cos ,4cos 4πρθρθ⎛⎫==+⎪⎝⎭OAB ∆面积，12001sin cos 244S ππρρθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭20004cos 4sin cos S θθθ=-002cos 22sin 22θθ=-+0224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当024πθ=-时，即00,cos 284ππθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭有最大值1，此时min 2S =+.故OAB ∆面积的最大值为2+.【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程与极坐标方程互化，考查了利用极坐标解决面积最值问题，属基础题． [选修4-5：不等式选讲]23. 已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=.（13. （2）证明：9412ab bc ac abc ++≥. 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析； 【解析】【分析】(1)用均值定理直接证明；(2) 用分析法证明．【详解】证明：（1）因为a ，b 为正数，所以a b +≥，同理可得b c +≥，a c +≥，所以()2a b c ++≥ 当且仅当1a b c ===时，等号成立3≤.（2）要证9412ab bc ac abc ++≥，只需证14912a b c++≥ 即证()14936a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭， 即证499414936a b a c b c b a c a c b++++++++≥， 即证499422a b a c b c b a c a c b +++++≥.因为44a b b a +≥=，96a c c a +≥=，9412b c c b +≥=， 所以499422a b a c b c b a c a c b+++++≥， 当且仅当12a =，1b =，32c =时，等号成立，从而9412ab bc ac abc ++≥得证.【点睛】证明不等式常用的方法：综合法，分析法．综合法：从已知条件、不等式的性质和基本不等式出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．分析法：将待证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口．。